9. Ch֓ng 2
n
Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
§2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30
Tu
(x y) (x2 + y2) = 13
C¥u 1
(x + y) (x2 y2) = 25
Gi£i
D¹ d ng nhªn th§y ¥y l mët h» ¯ng c§p bªc 3, b¼nh th÷íng ta cù nh¥n ch²o l¶n rçi chia 2
v¸ cho x3 ho°c y3. Nh÷ng h¢y xem mMinh ët c¡ch gi£i tinh t¸ sau ¥y:
L§y (2) (1) ta ÷ñc : 2xy(x y) = 12 (3)
L§y (1) (3) ta ÷ñc : (x y)3 = 1 , x = y + 1
V¼ sao câ thº câ h÷îng n y ? Xin th÷a â l düa v o h¼nh thùc èi xùng cõa h». Ngon l nh
rçi. Thay v o ph÷ìng tr¼nh ¦u ta ÷ñc
n
1)2 y2 y = 2
(y + + = 13 ,
y = 3
NguyVªy h» ¢ cho câ nghi¹»m (x; y) = (3; 2); (2;3)
x3 8x = y3 + 2y
C¥u 2
x2 3 = 3 (y2 + 1)
Gi£i
º þ nh÷ sau : Ph÷ìng tr¼nh 1 gçm bªc ba v bªc nh§t. Ph÷ìng tr¼nh 2 gçm bªc 2 v bªc 0
(h¬ng sè).
Rã r ng ¥y l mët h» d¤ng nûa ¯ng c§p. Ta s³ vi¸t l¤i nâ º ÷a v· ¯ng c§p
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng :
x3 y3 = 8x + 2y
x2 3y2 = 6
Gií ta nh¥n ch²o hai v¸ º ÷a nâ v· d¤ng ¯ng c§p
, 6
x3 y3
= (8x + 2y)
x2 3y2
, 2x (3y x) (4y + x) = 0
10. 10 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
TH1 : x = 0 thay v o (2) væ nghi»m
TH2 : x = 3y thay v o (2) ta câ:
6y2 = 6 ,
y = 1; x = 3
y = 1; x = 3
TH3 : x = 4y thay v o (2) ta câ:
n
2
§13y2 = 6 ,
TuMinh ¹n Nguy664
y =
r
6
13
r
; x = 4
6
13
r
y =
6
13
r
; x = 4
6
13
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = (3; 1); (3;1);
4
r
6
13
;
r
6
13
!
;
4
r
6
13
r
;
6
13
!
C¥u 3
x2 + y2 3x + 4y = 1
3x2 2y2 9x 8y = 3
Gi£i
º þ khi nh¥n 3 v o PT(1) rçi trø i PT(2) s³ ch¿ cán y . Vªy
3:PT(1) PT(2) , y2 + 4y = 0 ,
2
64
y = 0 , x =
p
7
2
3
y = 4 , x =
p
7
2
3
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
3
p
7
2
!
;
; 0
3
p
7
2
!
;4
C¥u 4
x2 + xy + y2 = 19(x y)2
x2 xy + y2 = 7 (x y)
Gi£i
Nhªn x²t v¸ tr¡i ang câ d¤ng b¼nh ph÷ìng thi¸u, vªy ta thû th¶m bît º ÷a v· d¤ng b¼nh
ph÷ìng xem sao. N¶n ÷a v· (x y)2 hay (x + y)2. Hiºn nhi¶n khi nh¼n sang v¸ ph£i ta s³
chån ph÷ìng ¡n ¦u
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
(x y)2 + 3xy = 19(x y)2
(x y)2 + xy = 7 (x y)
°t x y = a v xy = b ta câ h» mîi
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
12. 12 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
p
(2) , x + y + 2 + 2
xy + x + y + 1 = 16
M tø (1) ta câ x + y = 3 +
p
xy n¶n
(2) , 3 +
q
xy +
p
xy + 2 + 2
p
xy + 4 = 16 ,
p
xy = 3 ,
xy = 9
x + y = 6
, x = y = 3
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (3; 3)
§n
p
p
p x + 5 +
p
y 2 = 7
C¥u 8
x 2 +
y + 5 = 7
TuGi£i
èi xùng lo¤i II. Khæng cán g¼ º nâi. Cho 2 ph÷ìng tr¼nh b¬ng nhau rçi b¼nh ph÷ìng tung
tâe º ph¡ sü khâ chàu cõa c«n thùc
i·u ki»n : x; y 2
Tø 2 ph÷ìng tr¼nh ta câ
p
Minh p
p
p
x + 5 +
y 2 =
x 2 +
y 5
p
p
, x + y + 3 + 2
(x + 5)(y 2) = x + y + 3 + 2
(x 2)(y + 5)
p
p
,
(x + 5)(y 2) =
(x 2)(y + 5) , x = y
Thay l¤i ta câ
n p
p
x + 5 +
x 2 = 7 , x = 11
NguyVªy h» ¢ cho câ nghi¹»m : (x; y) = (11; 11)
p
p
p
x2 + y2 +
2xy = 8
2
C¥u 9
p p
x +
y = 4
Gi£i
H» ¢ cho câ v´ l nûa èi xùng nûa ¯ng c§p, º þ bªc cõa PT(2) ang nhä hìn PT(1) mët
chót. Ch¿ c¦n ph²p bi¸n êi b¼nh ph÷ìng (2) s³ vøa bi¸n h» trð th nh ¯ng c§p vøa ph¡ bä
bît i c«n
i·u ki»n : x; y 0
H» ¢ cho
,
p
2(x2 + y2) + 2
p
xy = 16
x + y + 2
p
xy = 16
,
p
2 (x2 + y2) = x + y , x = y
p
x = 4 , x = 4
Thay l¤i ta câ : 2
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
16. 16 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
C¥u 18
p
x + y +
p
x y = 1 +
p
x2 y2
p
x +
p
y = 1
Gi£i
i·u ki»n :x y 0
Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìng ÷ìng
p
p
p
p
p
x + y = 1 x =
1 y
n
x + y 1 =
x y
x + y 1
,
p
,
p
x y = 1
x =
1 + y
2
§p
p
y = 0; x = 1
p 1 y +
y = 1
Tø â )
p
,
4
y = 1; x = 0(L)
y + 1 +
y = 1
y = 0; x = 1
TuVªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 0)
p
2x y = 1 +
x(y + 1)
C¥u 19
x3 y2 = 7
Minh Gi£i
i·u ki»n : x(y + 1) 0
Tø (2) d) p
¹ th§y p
x 0
p
y 1
p
(1) ,
x
y + 1
2
x +
y + 1
= 0 , x = y + 1
) (y + 1)3 y2 = 7 , y = 1; x = 2
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; n y) = (2; 1)
NguyTø c¥u 20 trð ¹i tæi xin giîi thi»u cho c¡c b¤n mët ph÷ìng ph¡p r§t m¤nh º
gi£i quy¸t gån µp r§t nhi·u c¡c h» ph÷ìng tr¼nh húu t¿. â gåi h» sè b§t ành
(trong ¥y tæi s³ gåi nâ b¬ng t¶n kh¡c : UCT). S³ m§t kho£ng hìn chöc v½ dö º
di¹n t£ trån vµn ph÷ìng ph¡p n y
Tr÷îc h¸t iºm qua mët mµo ph¥n t½ch nh¥n tû cõa a thùc hai bi¸n r§t nhanh b¬ng m¡y
t½nh Casio. B i vi¸t cõa t¡c gi£ nthoangcute.
V½ dö 1 : A = x2 + xy 2y2 + 3x + 36y 130
Thüc ra ¥y l tam thùc bªc 2 th¼ câ thº t½nh ph¥n t½ch công ÷ñc. Nh÷ng thû ph¥n t½ch
b¬ng Casio xem .
Nh¼n th§y bªc cõa x v y ·u b¬ng 2 n¶n ta chån c¡i n o công ÷ñc
Cho y = 1000 ta ֖c A = x2 + 1003x 1964130 = (x + 1990) (x 987)
Cho 1990 = 2y 10 v 987 = y 13
A = (x + 2y 10) (x y + 13)
V½ dö 2 : B = 6x2y 13xy2 + 2y3 18x2 + 10xy 3y2 + 87x 14y + 15
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
17. 2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 17
Nh¼n th§y bªc cõa x nhä hìn, cho ngay y = 1000
B = 5982x2 12989913x + 1996986015 = 2991 (2x 333) (x 2005)
Cho 2991 = 3y 9 ,333 =
y 1
3
, 2005 = 2y + 5
B = (3y 9)
2x
y 1
3
(x 2y 5) = (y 3) (6x y + 1) (x 2y 5)
n
V½ dö 3 : C = x3 3xy2 2y3 7x2 + 10xy + 17y2 + 8x 40y + 16
Bªc cõa x v y nh÷ nhau
Cho y = 1000 ta ֖c C = x3 7x2 2989992x 1983039984
§Ph¥n t½ch C=(x 1999) (x + 996)2
Cho 1999 = 2y 1 v 996 = y 4
C = (x 2y + 1) (x + y 4)2
TuV½ dö 4 : D = 2x2y2 + x3 + 2y3 + 4x2 + xy + 6y2 + 3x + 4y + 12
Bªc cõa x v y nh÷ nhau
Cho y = 1000 ta ֖c D = (x + 2000004) (x2 + 1003)
Cho 2000004 = 2y2 + 4 v 1003 = y + 3
D = (x + 2y2 + 4) (x2 + y + 3)
Minh V½ dö 5 : E = x3y + 2x2y2 + 6x3 + 11x2y xy2 6x2 7xy y2 6x 5y + 6
Bªc cõa y nhä hìn
Cho x = 1000 ta ֖c E = 1998999y2 + 1010992995y + 5993994006 =
2997 (667y + 333333) (y + 6)
ƒo hâa E=999 (2001y + 999999) (y + 6)
Cho 999 = x 1; 2001 = 2y + 1; 999999 = x2 1
E = (x 1) (y + 6) (x2 + 2xy n + y 1)
Nguy¹V½ dö 6 : F = 6x4y + 12x3y2 + 5x3y 5x2y2 + 6xy3 + x3 + 7x2y + 4xy2 3y3 2x2 8xy +
3y2 2x + 3y 3
Bªc cõa y nhä hìn
Cho x = 1000 ta ֖c F = 5997y3 + 11995004003y2 + 6005006992003y + 997997997
Ph¥n t½ch F=(1999y + 1001001) (3y2 + 5999000y + 997)
Cho 1999 = 2x 1; 1001001 = x2 + x + 1; 5999000 = 6x2 x; 997 = x 3
F = (x2 + 2xy + x y + 1) (6x2y xy + 3y2 + x 3)
L m quen ÷ñc rçi chù ? Bt ¦u n o
C¥u 20
8
:
x2 + y2 =
1
5
4x2 + 3x
57
25
= y(3x + 1)
Gi£i
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
18. 18 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
Líi gi£i gån µp nh§t cõa b i tr¶n l
25:PT(1) + 50:PT(2) , (15x + 5y 7)(15x + 5y + 17) = 0
¸n ¥y d¹ d ng t¼m ÷ñc nghi»m cõa h» : (x; y) =
2
5
;
1
5
;
11
25
;
2
25
n
14x2 21y2 6x + 45y 14 = 0
C¥u 21
35x2 + 28y2 + 41x 122y + 56 = 0
§Gi£i
TuLíi gi£i gån µp nh§t cõa b i n y l
49:PT(1) 15:PT(2) , (161x 483y + 218)(x + 3y 7) = 0
V ¸n ¥y công d¹ d ng t¼m ra nghi»m (x; y) = (2; 3); (1; 2)
Qua 2 v½ dö tr¶n ta °t ra c¥u häi : V¼ sao l¤i th¸ ? C¡i nhâm th nh nh¥n tû th¼ tæi khæng
nâi bði t h¯n c¡c b¤n ¢ åc nâ ð tr¶n rçi. V¼ sao ð ¥y l t¤i sao l¤i ngh¾ ra nhúng h¬ng sè
kia nh¥n v o c¡c ph÷ìng tr¼nh, mët sMinh ü t¼nh cí may mn hay l c£ mët ph÷ìng ph¡p. Xin th÷a
â ch½nh l mët v½ dö cõa UCT. UCT l mët cæng cö r§t m¤nh câ thº qu²t s¤ch g¦n nh÷ to n
bë nhúng b i h» d¤ng l hai tam thùc. C¡ch t¼m nhúng h¬ng sè nh÷ th¸ n o. Tæi xin tr¼nh
b y ngay sau ¥y. B i vi¸t cõa t¡c gi£ nthoangcute.
a1x2 + b1y2 + c1xy + d1x + e1y + f1 = 0
Têng Qu¡t:
a2x2 + n b2y2 + c2xy + d2x + e2y + f2 = 0
Nguy¹Gi£i
Hiºn nhi¶n nhªn x²t ¥y l h» gçm hai tam thùc bªc hai. M nhc ¸n tam thùc th¼ khæng
thº khæng nhc tîi mët èi t÷ñng â l . Mët tam thùc ph¥n t½ch ÷ñc nh¥n tû hay khæng
ph£i xem x ho°c y cõa nâ câ ch½nh ph÷ìng hay khæng. N¸u h» lo¤i n y m tø ngay mët
ph÷ìng tr¼nh ra k¼ di»u th¼ ch¯ng nâi l m g¼, th¸ nh÷ng c£ hai ph÷ìng tr¼nh ·u ra r§t
k¼ cöc th¼ ta s³ l m nh÷ n o. Khi â UCT s³ l¶n ti¸ng. Ta s³ chån h¬ng sè th½ch hñp nh¥n v o
mët (ho°c c£ hai ph÷ìng tr¼nh) º ²p sao cho ch½nh ph÷ìng.
Nh÷ vªy ph£i t¼m h¬ng sè k sao cho PT(1) + k:PT(2) câ thº ph¥n t½ch th nh nh¥n tû
°t a = a1 + ka2; b = b1 + kb2; c = c1 + kc2; d = d1 + kd2; e = e1 + ke2; f = f1 + kf2
Sè k l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh sau vîi a= 60
cde + 4abf = ae2 + bd2 + fc2
D¤ v¥ng câ h¯n mët cæng thùc º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh lo¤i n y. T¡c gi£ cõa nâ kh¡ xu§t
sc !!!. Thû kiºm chùng l¤i v½ dö 21 nh²
a = 14 + 35k; b = 21 + 28k; c = 0; d = 6 + 41k; e = 45 122k; f = 14 + 56k
Sè k s³ l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh
4(14+35k)(21+28k)(14+56k) = (14+35k)(45122k)2+(21+28k)(6+41k)2 , k =
15
49
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
19. 2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 19
Nh÷ vªy l PT(1)
15
49
:PT(2) hay 49:PT(1) 15:PT(2)
Mët chót l÷u þ l khæng ph£i h» n o công ¦y õ c¡c h¬ng sè. N¸u khuy¸t thi¸u ph¦n n o th¼
cho h¬ng sè â l 0. Ok!!
Xong d¤ng n y rçi. H¢y l m b i tªp vªn döng. ¥y l nhúng b i h» tæi têng hñp tø nhi·u
nguçn.
x2 + 8y2 6xy + x 3y 624 = 0
n
1.
21x2 24y2 30xy 83x + 49y + 585 = 0
x2 + y2 3x + 4y = 1
§2.
3x2 2y2 9x 8y = 3
y2 = (4x + 4)(4 x)
3.
y2 5x2 4xy + 16x 8y + 16 = 0
Tuxy 3x 2y = 16
4.
x2 + y2 2x 4y = 33
x2 + xy + y2 = 3
5.
x2 + 2xy 7x 5y + 9 = 0
(2x + 1)2 + y2 + y = 2x + 3
6.
xy + x = 1
x2 + 2y2 = 2y 2xy + 1
7.
3x2 + 2xy y2 = 2x y + 5
Minh (x 1)2 + 6(x 1)y + 4y2 = 20
8.
x2 + (2y + 1)2 = 2
2x2 + 4xy + 2y2 + 3x + 3y 2 = 0
9.
x2 + y2 + 4xy + 2y = 0
2x2 + 3xy = 3y 13
10.
3y2 + 2xy = 2x + 11
4x2 + 3y(x 1) = 7
11.
n
3y2 + 4x(y 1) = 3
Nguyx2 + 2 = x(y ¹1)
12.
y2 7 = y(x 1)
x2 + 2xy + 2y2 + 3x = 0
13.
xy + y2 + 3y + 1 = 0
x3 y3 = 35
C¥u 22
2x2 + 3y2 = 4x 9y
Gi£i
Líi gi£i ngn gån cho b i to¡n tr¶n â l
PT(1) 3:PT(2) , (x 2)3 = (y + 3)3 , x = y + 5
Thay v o (2) ta d¹ d ng t¼m ra nghi»m (x; y) = (2;3); (3;2)
C¥u häi °t ra ð ¥y l sû döng UCT nh÷ th¸ n o ? T§t nhi¶n ¥y khæng ph£i d¤ng tr¶n núa
rçi. Tr÷îc h¸t ¡nh gi¡ c¡i h» n y ¢
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
20. 20 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
- Bªc cõa x v y l nh÷ nhau
- C¡c bi¸n x,y ëc lªp vîi nhau
- Ph÷ìng tr¼nh mët câ bªc cao hìn PT(2)
Nhúng nhªn x²t tr¶n ÷a ta ¸n þ t÷ðng nh¥n h¬ng sè v o PT(2) º PT(1) + a:PT(2) ÷a
÷ñc v· d¤ng h¬ng ¯ng thùc A3 = B3
PT(1) + a:PT(2) , x3 + 2ax2 4ax y3 + 3ay2 + 9ay 35 = 0
C¦n t¼m a sao cho v¸ tr¡i câ d¤ng (x + )3 (y +
21. )3 = 0
n
C¥n b¬ng ta ÷ñc :
Tu§Minh ¹n Nguy8
:
3
25. 22 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
C¥u 25
x3 + 3xy2 = 49
x2 8xy + y2 = 8y 17x
Gi£i
Líi gi£i ngn gån nh§t cõa b i tr¶n â l :
n
PT(1) + 3:PT(2) , (x + 1)
(x + 1)2 + 3(y 4)2= 0
§¸n ¥y d¹ d ng t¼m ra nghi»m (x; y) = (1; 4); (1;4)
C¥u häi ÷ñc °t ra l b i n y t¼m h¬ng sè nh÷ th¸ n o ? Câ r§t nhi·u c¡ch gi£i th½ch nh÷ng
tæi xin tr¼nh b y c¡ch gi£i th½ch cõa tæi :tuzki:
TuL m t÷ìng tü theo nh÷ hai c¥u 23 v 24 xem n o. Vi¸t l¤i h» ¢ cho th nh
3xy2 + x3 + 49 = 0
y2 + 8(x + 1)y + x2 17x = 0
Mët c¡ch trüc gi¡c ta thû vîi x = 1. V¼ sao ? V¼ vîi x = 1 ph÷ìng tr¼nh 2 s³ khæng cán
ph¦n y v câ v´ 2 ph÷ìng tr¼nh s³ t÷ìMinh ng ÷ìng. Khi thay x = 1 h» ¢ cho trð th nh
3y2 + 48 = 0
y2 16 = 0
Hai ph÷ìng tr¼nh n y t÷ìng ÷ìng. Tríi th÷ìng rçi !! Vªy x = 1 ch½nh l 1 nghi»m cõa
h» v tø h» thù hai ta suy ra ngay ph£i l m â l PT(1) + 3:PT(2). Vi»c cán l¤i ch¿ l ph¥n
t½ch nèt th nh nh¥n tû.
Ti¸p theo ¥y chóng ta s³ ¸n vîi mët chòm h» dà b£n cõa þ t÷ðng tr¶n. Tæi khæng tr¼nh
b y chi ti¸t m ch¿ gñi þ vn k¸t qu£
Nguy¹
y3 + 3xy2 = 28
C¥u 26
x2 6xy + y2 = 6x 10y
Gñi þ : PT(1) + 3:PT(2) , (y + 1) (3(x 3)2 + (y + 1)2) = 0
Nghi»m cõa h» : (x; y) = (3;1); (3;1)
C¥u 27
6x2y + 2y3 + 35 = 0
5x2 + 5y2 + 2xy + 5x + 13y = 0
Gñi þ : PT(1) + 3:PT(2) , (2y + 5)
3
x +
1
2
2
+
y +
5
2
2
!
= 0
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
26. 2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 23
C¥u 28
x3 + 5xy2 = 35
2x2 5xy 5y2 + x + 10y 35 = 0
Gñi þ : PT(1) + 2:PT(2) , (x 2) (5(y 1)2 + (x + 3)2) = 0
n
x3 + 3xy2 = 6xy 3x 49
C¥u 29
x2 8xy + y2 = 10y 25x 9
§Gñi þ : PT(1) + 3:PT(2) , (x + 1) ((x + 1)2 + 3(y 5)2) = 0
Tuiºm qua c¡c c¥u tø c¥u 23 ¸n c¥u 29 ta th§y d÷íng nh÷ nhúng c¥u h» n y kh¡ °c bi»t.
Ph£i °c bi»t th¼ nhúng h» sè kia mîi t¿ l» v ta t¼m ÷ñc x = hay y =
27. l nghi»m cõa
h». Th¸ vîi nhúng b i h» khæng câ ÷ñc may mn nh÷ kia th¼ ta s³ l m nh÷ n o. Tæi xin giîi
thi»u mët ph÷ìng ph¡p UCT r§t m¤nh. Câ thº ¡p döng r§t tèt º gi£i nhi·u b i h» húu t¿ (kº
c£ nhúng v½ dö tr¶n). â l ph÷ìng ph¡p T¼m quan h» tuy¸n t½nh giúa x v y. V ta s³
khæng ch¿ nh¥n h¬ng sè v o mët ph÷ìng tr¼nh m thªm ch½ nh¥n c£ mët h m f(x) hay g(y)
v o nâ. Tæi s³ ÷a ra v i v½ dö cö thMinh º sau ¥y :
3x2 + xy 9x y2 9y = 0
C¥u 30
2x3 20x n x2y 20y = 0
Nguy¹Gi£i
B i n y n¸u thû nh÷ c¥u 23, 24, 25 ·u khæng t¼m ra nêi x hay y b¬ng bao nhi¶u l nghi»m cõa
h». Vªy ph£i dòng ph²p düng quan h» tuy¸n t½nh giúa x v y. Quan h» n y câ thº x¥y düng
b¬ng hai c¡ch th÷íng dòng sau :
- T¼m tèi thiºu hai c°p nghi»m cõa h»
- Sû döng ành lþ v· nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh húu t¿
Tr÷îc h¸t tæi xin ph¡t biºu l¤i ành lþ v· nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh húu t¿ :
X²t a thùc : P(x) = anxn + an1xn1 + :::: + a1x + a0
p
a thùc câ nghi»m húu t¿
, p l ÷îc cõa a0 cán q l ÷îc cõa an
q
OK rçi chù ? B¥y gií ta h¢y thû x¥y düng quan h» theo c¡ch ¦u ti¶n, â l t¼m tèi thiºu hai
c°p nghi»m cõa h» ( Casio l¶n ti¸ng :v )
D¹ th§y h» tr¶n câ c°p nghi»m l (0; 0 v (2;1)
Chån hai nghi»m n y l¦n l÷ñt ùng vîi tåa ë 2 iºm, khi â ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng qua
chóng s³ l : x + 2y = 0 , x = 2y
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
28. 24 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
Nh÷ vªy quan h» tuy¸n t½nh ð ¥y l x = 2y. Thay l¤i v o h» ta ÷ñc
9y (y + 1) = 0
20y (y + 1) (y 1) = 0
Sau â ta chån biºu thùc phò hñp nh§t nh¥n v o 2 ph÷ìng tr¼nh.
Ð ¥y s³ l 20 (y 1) :PT(1) + 9:PT(2)
Nh÷ vªy
n
20 (y 1) :PT(1) + 9:PT(2) , (x + 2y)
18x2 + 15xy 60x 10y2 80y
§= 0
TH1 : x = 2y thay v o (1)
TH2 : K¸t hñp th¶m vîi PT(1) núa th nh mët h» gám hai tam thùc ¢ bi¸t c¡ch gi£i
Nghi»m cõa h» :
p
!
p
!
15
145
p
15 +
Tu145
p
(x; y) = (0; 0); (2;1); (10; 15);
; 11
145
;
; 11 +
145
2
2
Sû döng c¡ch n y chóng ta th§y, mët h» ph÷ìng tr¼nh húu t¿ ch¿ c¦n t¼m ÷ñc mët c°p
nghi»m l ta ¢ x¥y düng ÷ñc quan h» tuy¸n t½nh v gi£i quy¸t b i to¡n. ¥y ch½nh l ÷u
iºm cõa nâ. B¤n åc thû vªn döng nâ v o gi£i nhúng v½ dö tø 23 ¸n 29 xem. Tæi thû l m
c¥u 25 nh² : C°p nghi»m l (1; 4); (1;4) n¶n quan h» x¥y düng ð ¥y l x = 1. Thay l¤i
v o h» v ta câ h÷îng chån h» sè º nh¥n.
Tuy nhi¶n c¡ch n y s³ chàu ch¸t vMinh îi nhúng b i h» ch¿ câ mët c°p nghi»m ho°c nghi»m qu¡
l´ khæng thº dá b¬ng Casio ÷ñc. ¥y l nh÷ñc iºm lîn nh§t cõa nâ
N o b¥y gií h¢y thû x¥y düng quan h» b¬ng ành lþ nh².
Vîi h» n y v¼ ph÷ìng tr¼nh d÷îi ang câ bªc cao hìn tr¶n n¶n ta s³ nh¥n a v o ph÷ìng tr¼nh
tr¶n rçi cëng vîi ph÷ìng tr¼nh d÷îi. V¼ bªc cõa x ang cao hìn n¶n ta vi¸t l¤i biºu thùc sau
khi thu gån d÷îi d¤ng mët n ph÷ìng tr¼nh bi¸n x. Cö thº â l
Nguy2x3 + ¹(3a y) x2 + (ay 9a 20) x y (ay + 9a + 20) = 0()
Nghi»m cõa (*) theo ành lþ s³ l mët trong c¡c gi¡ trà
1;1
;y
;y; ::::
2 2 1
T§t nhi¶n khæng thº câ nghi»m x =
hay x = 1 ÷ñc. H¢y thû vîi hai tr÷íng hñp cán l¤i.
2
3y2 18y = 0
* Vîi x = y thay v o h» ta ÷ñc
y3 40y = 0
Khi â ta s³ ph£i l§y (y2 40):PT(1)3(y
6):PT(2). Rã r ng l qu¡ phùc t¤p. Lo¤i c¡i n y.
y2 = 0
* Vîi x = y thay v o h» ta ÷ñc
3y3 = 0
Khi â ta s³ l§y 3y:PT(1) + PT(2). Qu¡ ìn gi£n rçi. Khi â biºu thùc s³ l
(x + y)
2x2 + 6xy
3y2 + 27y + 20
= 0
C¡ch sè hai r§t tèt º thay th¸ c¡ch 1 trong tr÷íng hñp khæng t¼m nêi c°p nghi»m. Tuy nhi¶n
y¸u iºm cõa nâ l khæng ph£i h» n o dòng ành lþ công t¼m ÷ñc nghi»m. Ta ph£i bi¸t k¸t
hñp nhu¦n nhuy¹n hai c¡ch vîi nhau. V h¢y thû dòng c¡ch 2 l m c¡c c¥u tø 23 ¸n 29 xem.
Nâ s³ ra nghi»m l h¬ng sè.
L m mët c¥u t÷ìng tü núa. Tæi n¶u luæn h÷îng gi£i.
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
30. 26 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
C¥u 32
x5 + y5 = 1
x9 + y9 = x4 + y4
Gi£i
Nhªn th§y rã r ng ¥y l lo¤i h» b¡n ¯ng c§p. Ta nh¥n ch²o hai v¸ vîi nhau ÷ñc
x9 + y9 = (x4 + y4)(x5 + y5) , x4y4(x + y) = 0
n
TH1 : x = 0 ) y = 1
§TH2 : y = 0 ) x = 1
TH3 : x = y thay v o (1) rã r ng væ nghi»m
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 0); (0; 1)
Tu
x3 + 2xy2 = 12y
C¥u 33
8y2 + x2 = 12
Gi£i
L¤i th¶m mët h» còng lo¤i, nh¥n ch²Minh o hai v¸ cho nhau ta ÷ñc
x3 + 2xy2 = y(8y2 + x2) , x = 2y
Khi â (2) s³ t÷ìng ÷ìng
12y2 = 12 , y = 1; x = 2
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; n y) = (2; 1); (2;1)
Nguy¹C¥u 34
8
:
x2 + y2 +
2xy
x + y
= 1
p
x + y = x2 y
Gi£i
i·u ki»n : x + y 0
Rã r ng khæng l m «n ÷ñc tø ph÷ìng tr¼nh (2). Thû bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh (1) xem
(1) , (x + y)2 1 +
2xy
x + y
2xy = 0
, (x + y + 1)(x + y 1)
2xy(x + y 1)
x + y
= 0
Câ nh¥n tû chung rçi. Vîi x + y = 1 thay v o (2) ta ÷ñc
1 = (1 y)2 y , y = 0; y = 3
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
31. 2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 27
Gií ta x²t tr÷íng hñp cán l¤i. â l x + y + 1 =
2xy
x + y
, x + y + 1 = 1 x2 y2 , x2 + y2 + x + y = 0
Rã r ng sai v¼ tø i·u ki»n ¢ cho ngay x + y 0
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 0); (2; 3)
n
x3 y3 = 3(x y2) + 2
§C¥u 35
p
p
x2 +
1 x2 3
2y y2 + 2 = 0
Gi£i
Tui·u ki»n : 1 x 1, 0 y 2
Th÷íng th¼ b i n y ng÷íi ta s³ l m nh÷ sau. º þ ph÷ìng tr¼nh (1) mët chót
(1) , x3 3x = (y 1)3 3(y 1)
X²t f(t) = t3 3t vîi 1 t 1 th¼ f0(t) = 3t2 3 0
Suy ra f(t) ìn i»u v tø â suy ra x = y 1 thay v o (2)
C¡ch n y ên. Tuy nhi¶n thay v o l m Minh v¨n ch÷a ph£i l nhanh. H¢y xem mët c¡ch kh¡c r§t mîi
m´ m tæi l m
p
p
(2) , x2 +
1 x2 + 2 = 3
2y y2 , f(x) = g(y)
13
X²t f(x) tr¶n mi·n [1; 1] ta s³ t¼m ÷ñc 3 f(x)
p
4
y + 2 y
Ta l¤i câ : g(y) = 3
y(2 y) 3
= 3
2
Vªy f(x) g(y). D§u b¬ng n x£y ra khi
y = 1
NguyThay ¹v o ph÷ìng tr¼nh ¦u ch¿ câ c°p (x; y) = (0; 1) l thäa m¢n
x = 1; x = 0
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; 1)
x3 3x = y3 3y
C¥u 36
x6 + y6 = 1
Gi£i
D¹ th§y ph÷ìng tr¼nh (1) c¦n x²t h m rçi, tuy nhi¶n f(t) = t33t l¤i khæng ìn i»u, c¦n ph£i
bâ th¶m i·u ki»n. Ta s³ dòng ph÷ìng tr¼nh (2) º câ i·u ki»n. Tø (2) d¹ th§y 1 x; y 1.
Vîi i·u ki»n â rã r ng f(t) ìn i»u gi£m v suy ra ÷ñc x = y
Thay v o (2) ta ֖c
2x6 = 1 , x =
1
6 p
2
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) =
1
6 p
2
;
1
6 p
2
;
1
6 p
2
;
1
6 p
2
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
32. 28 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
C¥u 37
x3(2 + 3y) = 1
x(y3 2) = 3
Gi£i
Nhªn th§y x = 0 khæng l nghi»m. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
§n
TuMinh ¹n Nguy8
:
3y + 1 =
1
x3
3
x
+ 2 = y3
) y =
1
x
Thay l¤i (1) ta câ
2x3 + 3x2 1 = 0 ,
x = 1 ) y = 1
x =
1
2
) y = 2
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = (1;1);
1
2
; 2
C¥u 38
x2 + y2 + xy + 1 = 4y
y(x + y)2 = 2x2 + 7y + 2
Gi£i
Sû döng UCT s³ th§y y = 0 l nghi»m cõa h». Thay l¤i v ta s³ câ
2PT(1) + PT(2) , y(x + y + 5)(x + y 3) = 0 ,
2
4
y = 0
x = 5 y
x = 3 y
Vîi y = 0 thay l¤i væ nghi»m
Vîi x = 5 y khi â ph÷ìng tr¼nh (1) s³ t÷ìng ÷ìng
(y + 5)2 + y2 y2 5y + 1 = 4y , V L
T÷ìng tü vîi x = 3 y công væ nghi»m
Vªy h» ¢ cho væ nghi»m
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
34. 30 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
0;
3
4
p
x2 + y2 = 185
C¥u 41
Tu§n
Minh n Nguy¹
(x2 + xy + y2)
p
x2 + y2 = 65
(x2 xy + y2)
Gi£i
Tho¤t nh¼n qua th¼ th§y ¥y l mët h» ¯ng c§p bªc 3 rã r ng. Tuy nhi¶n n¸u tinh þ ta em
cëng 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau s³ ch¿ cán l¤i x2 + y2
Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau ta câ
p
x2 + y2 = 250 ,
2(x2 + y2)
p
x2 + y2 = 5
Khi â thay l¤i h» ta câ
(25 + xy):5 = 185
(25 xy):5 = 65
)
xy = 12
x2 + y2 = 25
,
2
664
x = 3; y = 4
x = 4; y = 3
x = 3; y = 4
x = 4; y = 3
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (3; 4); (4; 3); (3;4); (4;3)
C¥u 42
8
:
r
y
x
+
r
x
y
=
7
p
xy
+ 1
x
p
xy + y
p
xy = 78
Gi£i
i·u ki»n : xy 0
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8
:
x + y
p
xy
=
p
xy
p
xy
7 +
p
xy(x + y) = 78
°t x + y = a,
p
xy = b. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
a b = 7
ab = 78
,
2
664
a = 13
b = 6
a = 6
b = 13
(L)
,
x + y = 13
xy = 36
,
x = 9; y = 4
x = 4; y = 9
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (9; 4); (4; 9)
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
35. 2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 31
C¥u 43
x3 y3 = 9
x2 + 2y2 x + 4y = 0
Gi£i
Dòng UCT
PT(1) 3:PT(3) , (x 1)3 = (y + 2)3 , x = y + 3
n
¸n ¥y d¹ d ng t¼m nghi»m (x; y) = (1;2); (2;1)
§
8x3y3 + 27 = 18y3
C¥u 44
4x2y + 6x = y2
TuGi£i
¥y l mët h» hay. Ta h¢y t¼m c¡ch lo¤i bä 18y3 i. V¼ y = 0 khæng l nghi»m n¶n (2) t÷ìng
֓ng
72x2y2 + 108xy = 18y3
¸n ¥y þ t÷ðng rã r ng rçi chù ? ThMinh ¸ 18y3 tø (1) xuèng v ta thu ÷ñc
2
8x3y3 72x2y2 108xy + 27 = 0 ,
¹n Nguy666664
xy =
3
2
xy =
p
5
4
21 9
xy =
p
5
4
21 + 9
Thay v o (1) ta s³ t¼m ÷ñc y v x
)
2
66664
y = 0(L)
r
y = 3
8(xy)3 + 27
18
=
3
2
p
) x =
5 3
1
4
3
p
5
r
y = 3
8(xy)3 + 27
18
=
3
2
3 +
) x =
p
5
1
4
3 +
p
5
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
1
4
3
;
p
5
3
2
p
5 3
;
1
4
3 +
;
p
5
3
2
3 +
p
5
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
37. 2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 33
C¥u 47
x3 + 4y = y3 + 16x
1 + y2 = 5(1 + x2)
Gi£i
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
x3 16x = y (y2 4)
y2 4 = 5x2
n
Nh÷ vªy ph÷ìng tr¼nh (1) s³ l
2
§x = 0; y = 2
x3 16x = 5x2y ,
4
x2 16
y =
5x
TuTr÷íng hñp 2 thay v o (2) s³ l
(x2 16)2
x2
= 1
5x2 x = 1; y = 3
4 = ,
64
,
25x2
x2 =
x = 1; y = 3
31
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; Minh 2); (0;2); (1;3); (1; 3)
p
x C¥u 48
p
+
y2 x2 = 12 y
x
y2 x2 = 12
n Gi£i
i·u kip
»n : y2 x2
Nguyº þ x
y2 x2 sinh ¹ra tø vi»c ta b¼nh ph÷ìng (1). Vªy thû b¡m theo h÷îng â xem. Tø (1)
ta suy ta
p
x2 + y2 x2 + 2x
y2 x2 = (12 y)2
, y2 + 24 = (12 y)2 , y = 5
Thay v o (2) ta câ
p
x
25 x2 = 12 , x = 3; x = 4
èi chi¸u l¤i th§y thäa m¢n
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (3; 5); (4; 5)
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
38. 34 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
C¥u 49
x4 4x2 + y2 6y + 9 = 0
x2y + x2 + 2y 22 = 0
Gi£i
º þ n¸u °t x2 = a th¼ h» ¢ cho bi¸n th nh h» tam thùc bªc 2 ta ho n to n ¢ bi¸t c¡ch
gi£i. Cö thº ð ¥y s³ l
n
PT(1) + 2:PT(2) , (x2 + y)2 2(x2 + y) 35 = 0
§TH1 : x2 + y = 7 , x2 = 7 y thay (2) ta câ
y = 3 ) x = 2
(7 y)y + 7 y + 2y 22 = 0 ,
Tup
y = 5 ) x =
2
TH2 : x2 + y = 5 , x2 = 5 y. Ho n to n t֓ng p
tü thay (p
2) s³ cho y væ nghi»m
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 3); (2; 3); (
2; 5); (
2; 5)
C¥u 50
Minh n Nguy¹8
:
x2 + y + x3y + xy + y2x =
5
4
x4 + y2 + xy(1 + 2x) =
5
4
Gi£i
¥y l c¥u Tuyºn sinh khèi A - 2008. Mët c¡ch tü nhi¶n khi g°p h¼nh thùc n y l ta ti¸n h nh
nhâm c¡c sè h¤ng l¤i
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8
:
(x2 + y) + xy + (x2 + y)xy =
5
4
(x2 + y)2 + xy =
5
4
¸n ¥y h÷îng i ¢ rã r ng. °t x2 + y = a, xy = b ta câ
8
:
a + b + ab =
5
4
a2 + b =
5
4
,
2
64
a = 0; b =
5
4
a =
1
2
; b =
3
2
,
2
6666664
(
x2 + y = 0
xy =
5
4 8
:
x2 + y =
1
2
xy =
3
2
,
2
64
r
x = 3
5
4
r
; y = 3
25
16
x = 1; y =
3
2
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) =
r
3
5
4
r
; 3
25
16
!
;
1;
3
2
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
39. 2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 35
C¥u 51
x2 + 1 + y(y + x) = 4y
(x2 + 1)(x + y 2) = y
Gi£i
H» g¦n nh÷ ch¿ l c¥u chuy»n cõa x2 + 1 v x + y. Tuy nhi¶n y chen v o ¢ khi¸n h» trð n¶n
khâ chàu. H¢y di»t y i ¢. C¡ch tèt nh§t â l chia khi m y = 0 khæng ph£i l nghi»m cõa
h». H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8
§n
TuMinh ¹n Nguy:
x2 + 1
y
+ x + y 2 = 2
x2 + 1
y
(x + y 2) = 1
H÷îng i rã r ng. °t
x2 + 1
y
= a, x + y 2 = b
H» ¢ cho trð th nh
a + b = 2
ab = 1
,
a = 1
b = 1
,
x2 + 1 = y
x + y = 3
,
x = 1; y = 2
x = 2; y = 5
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 2); (2; 5)
C¥u 52
y + xy2 = 6x2
1 + x2y2 = 5x2
Gi£i
Lo¤i h» n y khæng khâ. Þ t÷ðng ta s³ chia º bi¸n v¸ ph£i trð th nh h¬ng sè
Nhªn th§y x = 0 khæng l nghi»m. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
8
:
y
x2 +
y2
x
= 6
1
x2 + y2 = 5
,
8
:
y
x
1
x
+ y
= 6
1
x
+ y
2
2
y
x
= 5
°t
y
x
= a,
1
x
+ y = b. H» trð th nh
ab = 6
b2 2a = 5
,
a = 2
b = 3
,
(
y = 2x
1
x
+ y = 3
,
x = 1; y = 2
x =
1
2
; y = 1
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 2);
1
2
; 1
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
40. 36 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
C¥u 53
x2 + 2y2 = xy + 2y
2x3 + 3xy2 = 2y2 + 3x2y
Gi£i
º þ mët chót ¥y l h» b¡n ¯ng c§p. N¸u ta vi¸t l¤i nh÷ sau
x2 + 2y2 xy = 2y
n
2x3 + 3xy2 3x2y = 2y2
§Tø â ta câ
2y2(x2 + 2y2 xy) = 2y
2x3 + 3xy2 3x2y
, 4y (y x)
Tu
x2 xy + y2= 0
TH1 : y = 0 ) x = 0
TH2 : x = y = 0
TH3 : x = y thay v o (1) ta ֖c
2y2 x = y = 0
= 2y ,
x = y = 1
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; Minh 0); (1; 1)
2x2y + y3 2x4 x6
C¥u 54
p
= + (x + 2)
y + 1 = (x + 1)2
n Gi£i
i·u ki»n : y 1
NguyKhai th¡c tø (1). Câ ¹v´ nh÷ l h m n o â. Chån chia cho phò hñp ta s³ ÷ñc möc ½ch, ð ¥y
s³ chia cho x3 v¼ x = 0 khæng l nghi»m cõa h». PT(1) khi â s³ l
y
y
3
y
2
+
= 2x + x3 ,
= x , y = x2
x
x
x
Thay v o (2) ta s³ ÷ñc
p
p
(x + 2)
x2 + 1 = (x + 1)2 ) (x + 2)2 x2 x =
3; y = 3(TM)
+ 1
= (x + 1)4 ,
p
x =
3; y = 3(TM)
p
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (
3; 3)
Ta s³ ¸n mët c¥u t÷ìng tü nâ
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
41. 2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 37
C¥u 55
x5 + xy4 = y10 + y6
p
4x + 5 +
p
y2 + 8 = 6
Gi£i
5
i·u ki»n : x
4
Th§y y = 0 khæng l nghi»m cõa h». Chia 2 v¸ cõa (1) cho y5 ta ÷ñc
n
x
5
x
x
+
= y5 + y ,
= y , x = y2
§y
y
y
Thay v o (2) ta ֖c
p
p
Tu4x + 5 +
x + 8 = 6 , x = 1 ) y = 1
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1;1)
xy + x + 1 = 7y
C¥u 56
x2y2 + xy + 1 = 13y2
Minh Gi£i
¥y l c¥u Tuyºn sinh khèi B - 2009. C¡c gi£i thæng th÷íng nh§t â l chia (1) cho y, chia (2)
cho y2 sau khi kiºm tra y = n 0 khæng ph£i l nghi»m. Ta s³ ÷ñc
Nguy¹8
:
x +
x
y
+
1
y
= 7
x2 +
x
y
+
1
y2 = 13
,
8
:
x +
1
y
+
x
y
= 7
x +
1
y
2
x
y
= 13
,
a + b = 7
a2 b = 13
,
a = 4; b = 3
a = 5; b = 12
,
2
6666664
8
:
x +
1
y
= 4
x = 3y 1
x +
:
y
8 = 5
x = 12y
,
x = 1; y =
1
3
x = 3; y = 1
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
1;
1
3
; (3; 1)
Ti¸p töc ta ¸n th¶m mët c¥u tuyºn sinh núa
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
45. 2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 41
Ti¸p töc khai th¡c (2). D¹ th§y °t
p
x2 + xy + 4 = t 0 th¼ (2) trð th nh
t2 + t = 56 ,
t = 7
t = 8(L)
) x2 + xy = 45
K¸t hñp l¤i ta ÷ñc
(
4
y =
x
5
,
x2 §n
+ xy = 45
TuMinh ¹n Nguy2
664
x = 5; y = 4
x = 5; y = 4
x = 15; y = 12
x = 15; y = 12
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (5;4); (5; 4); (15; 12); (15;12)
C¥u 64
p
x +
p
y +
p
x
p
p y = 2
p
p
y +
x
y
p
x = 1
Gi£i
i·u ki»n : x; y 0 ,
p
y minfxg ,
p
x minfyg
Khæng t¼m ÷ñc mèi li¶n h» g¼ tø c£ hai ph÷ìng tr¼nh, ta ti¸n h nh b¼nh ph÷ìng nhi·u l¦n º
ph¡ vï to n bë c«n thùc khâ chàu. Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng
2x + 2
p
x2 y = 4 ,
p
x2 y = 2 x ) x2 y = x2 4x 4 , 4x y = 4
L m t÷ìng tü ph÷ìng tr¼nh (2) ta s³ câ : 4x 4y = 1. K¸t hñp 2 k¸t qu£ l¤i d¹ d ng t¼m
֖c x,y
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
17
12
;
5
3
C¥u 65
8
:
x +
2xy
3 p
x2 2x + 9
= x2 + y
y +
2xy
3 p
y2 2y + 9
= y2 + x
Gi£i
H¼nh thùc cõa b i h» l èi xùng. Tuy nhi¶n biºu thùc kh¡ cçng k·nh v l¤i nhªn x²t th§y
x = y = 1 l nghi»m cõa h¶. Câ l³ s³ ¡nh gi¡
Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh l¤i ta câ
x2 + y2 = 2xy
1
3 p
x2 2x + 9
+
1
3 p
y2 2y + 9
!
Tø â ta nhªn x²t º câ nghi»m th¼ xy 0 v º þ l 3 p
t2 2t + 9 2 n¶n ta ¡nh gi¡
x2 + y2 2xy
1
2
+
1
2
, (x y)2 0
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
46. 42 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
D§u b¬ng x£y ra khi (x; y) = (1; 1)
C¥u 66
Tu§n
Minh n Nguy¹(
6
x
y
2 =
p
3x y + 3y
p
3x +
2
p
3x y = 6x + 3y 4
Gi£i
i·u ki»n : y6= 0 , 3x y, 3x +
p
3x y 0
Ph÷ìng tr¼nh (1) khi â s³ t÷ìng ÷ìng
6x 2y = y
p
3x y + 3y2 , 2 (3x y) y
p
3x y 3y2 = 0 ,
p
3x y = y
p
3x y =
3y
2
TH1 :
p
3x y = y. Tø ¥y suy ra y 0 v 3x = y2 + y thay t§t c£ v o (2) ta ÷ñc
p
y2 + y y = 2
2
y2 + y
+ 3y 4 ,
2y2 + 7y 4 = 0
y 0
, y = 4 ) x = 4
TH2 :
p
3x y =
3y
2
. Tø ¥y suy ra y 0 v 3x =
9y2
4
+ y thay t§t c£ v o (2) ta công s³ t¼m
֖c y =
8
9
) x =
8
9
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (4; 4);
8
9
;
8
9
C¥u 67
p
2 x 2y
(3 x)
p
2y 1 = 0
3 p
p
y + 2 = 5
x + 2 + 2
Gi£i
i·u ki»n : x 2; y
1
2
Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng
p
2 x +
(2 x)
p
2y 1 +
p
2 x = (2y 1)
p
2y 1 , f(
p
2y 1)
p
2x 1) = f(
Vîi f(x) = x3 + x ìn i»u t«ng. Tø â suy ra
p
2 x =
p
2y 1 , x = 3 2y thay v o (2)
ta câ
3 p 5 2y + 2
p
y + 2 = 5 ,
a + 2b = 5
a3 + 2b2 = 9
,
2
6664
a = 1; b = 2
a =
p
65
4
3
; b =
p
65
8
23 +
a =
p
65 3
4
; b =
p
65
8
23
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
47. 2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 43
,
2
6664
y = 2
y =
233 + 23
p
65
32
y =
p
65
233 23
32
Vªy h» ¢ cho câ
nghi»m
p
p
!
p
p
!
23
65 185
233 23
65
23
65 + 185
233 + 23
65
(x; y) = (1; 2);
;
;
16
32
16
32
n
Sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè công l mët h÷îng kh¡ phê bi¸n trong gi£i h» ph÷ìng tr¼nh.
Ch¿ c¦n kh²o l²o nh¼n ra d¤ng cõa h m, ta câ thº rót ra nhúng i·u k¼ di»u tø nh§úng ph÷ìng
tr¼nh khæng t¦m th÷íng chót n o
Tu p
p
1 + xy +
1 + x + y = 2
C¥u 68
x2y2 xy = x2 + y2 + x + y
Gi£i
i·u ki»n : xy 1 , x + y 1
Mët chót bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh (2) ta Minh s³ ÷ñc
x2y2 y)2 x + y = xy
+ xy = (x + + x + y , (xy x y)(xy + x + y + 1) = 0 ,
x + y = xy 1
TH1 : xy = x + y thay v o (1) ta ֖c
p
2
1 + xy = 2 , xy = 0 , x = y = 0
TH2 : x + y = xy 1 thay n v o (1) ta ֖c
p
p
1 + xy +
xy = 2(V L)
NguyVªy h» ¢ cho câ nghi¹»m : (x; y) = (0; 0)
C¥u 69
8
:
x +
3x y
x2 + y2 = 3
y
x + 3y
x2 + y2 = 0
Gi£i
Tæi khæng nh¦m th¼ b i to¡n n y ¢ xu§t hi»n tr¶n THTT, tuy nh¼n h¼nh thùc cõa h» kh¡ µp
mt v gån nhµ nh÷ng khæng h· d¹ gi£i mët chót n o. H÷îng l m tèi ÷u cõa b i n y â l phùc
hâa. Düa v o þ t÷ðng h» kh¡ èi xùng çng thíi d÷îi m¨u nh÷ l b¼nh ph÷ìng cõa Moun m
ta sû döng c¡ch n y. H÷îng gi£i nh÷ sau
PT(1)+i.PT(2) ta s³ ÷ñc
x + yi +
3(x yi) (xi + y)
x2 + y2 = 0
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
48. 44 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
°t z = x + yi khi â ph÷ìng tr¼nh trð th nh
z +
3z iz
jzj2 = 3 , z +
3z iz
z:z
= 3 , z +
3 i
z
= 3 ,
z = 2 + i
z = 1 i
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (2; 1); (1;1)
H¼nh thùc cõa nhúng b i h» n y kh¡ d¹ nhªn th§y. Thû l m mët sè c¥u t÷ìng tü nh².
§n
C¥u 70
TuMinh ¹n Nguy8
:
x +
5x + 7
p
5y
x2 + y2 = 7
y +
p
5x 5y
x2 + y2 = 0
7
C¥u 71
8
:
x +
5x y
x2 + y2 = 3
y
x + 5y
x2 + y2 = 0
C¥u 72
8
:
x +
16x 11y
x2 + y2 = 7
y
11x + 16y
x2 + y2 = 0
C¥u 73
(6 x)(x2 + y2) = 6x + 8y
(3 y)(x2 + y2) = 8x 6y
Gñi þ : Chuyºn h» ¢ cho v· d¤ng
8
:
x +
6x + 8y
x2 + y2 = 6
y +
8x 6y
x2 + y2 = 3
Nghi»m : (x; y) = (0; 0); (2; 1); (4; 2)
Phùc hâa l mët ph÷ìng ph¡p kh¡ hay º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh mang t½nh ¡nh è cao. Khæng
ch¿ vîi lo¤i h» n y m trong cuèn s¡ch tæi s³ cán giîi thi»u mët v i c¥u h» kh¡c công sû döng
phùc hâa kh¡ µp mt.
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
49. 2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 45
C¥u 74
4x2y2 6xy 3y2 = 9
6x2y y2 9x = 0
Gi£i
¥y l mët b i to¡n công kh¡ µp mt. Th§y x = 1 l nghi»m cõa h» . Ta suy ra
PT(1) + PT(2) , (x 1)(4y2(x + 1) + 6xy 9) = 0
n
TH1 : x = 1 ) y = 3
TH2 : 4y2(x + 1) + 6xy 9 = 0
§V¼ x = 0 khæng l nghi»m. Suy ra 4y2x(x + 1) + 6x2y 9x = 0 (*)
V¼ sao nh¥n x v o §y. UCT ch«ng ? Tæi ch¿ giîi thi»u cho c¡c b¤n UCT n¥ng cao thæi chù
tæi ch£ dòng bao gií. L½ do ch¿ ìn gi£n tæi muèn xu§t hi»n 6x2y Tu9x = y2 tø (2) thæi
Vªy (*) , 4y2x(x + 1) + y2 = 0 , y2(2x + 1)2 = 0
TH1 : y = 0 væ nghi»m
1
3
TH2 : x =
) y = 3; y =
2
2
Minh
1
1
3
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 3);
; 3
;
;
2
2
2
C¥u 75
¹n Nguy8
:
x2
(y + 1)2 +
y2
(x + 1)2 =
1
2
3xy = x + y + 1
Gi£i
i·u ki»n x; y6= 1
B i to¡n n y câ kh¡ nhi·u c¡ch gi£i. Tæi xin giîi thi»u c¡ch µp ³ nh§t cõa b i n y
p döng B§t ¯ng thùc AM GM cho v¸ tr¡i cõa (1) ta câ
V T
2xy
(x + 1)(y + 1)
=
2xy
xy + x + y + 1
=
2xy
xy + 3xy
=
1
2
D§u b¬ng x£y ra khi (x; y) = (1; 1);
1
3
;
1
3
C¥u 76
3y2 + 1 + 2y(x + 1) = 4y
p
x2 + 2y + 1
y(y x) = 3 3y
Gi£i
i·u ki»n : x2 + 2y + 1 0
Khæng l m «n g¼ ÷ñc tø (2). Thû bi¸n êi (1) xem sao. PT(1) t÷ìng ÷ìng
4y2 4y
p
x2 + 2y + 1 + x2 + 2y + 1 = x2 2xy + y2 ,
2y
p
x2 + 2y + 1
2
= (x y)2
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
53. 2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 49
C¥u 85
(x + 1)(y + 1) + 1 = (x2 p
+ x + 1)(y2 + y + 1)
x3 + 3x + (x3 y + 4)
x3 y + 1 = 0
Gi£i
i·u ki»n : x3 y + 1 0
Tho¤t nh¼n b i to¡n câ v´ d¹ d ng khi º þ mët chót th¼ (2) câ d¤ng h m sè. Tuy nhi¶n §y
v¨n ch÷a ph£i l nót tht. ¥y l mët b i to¡n y¶u c¦u kh£ n«ng xû l½ ph÷ìng tr¼nh n
bªc cao
tèt. Tam thíi ta xû l½ (2) tr÷îc ¢.
p
§°t
x3 y + 1 = t khi â ph÷ìng tr¼nh (2) s³ l
x3 + 3x + t3 + 3t = 0 , x3 + 3x = (t)3 + 3(t) , Tut = x
x 0
,
y = x3 x2 + 1
i·u ki»n x 0 kh¡ quan trång. Nâ gióp ta câ ¡nh gi¡ tèt hìn sau ¥y
PT(1) , 1 = x2y + x2 + y2x + y2 + x2y2
, 1 = x2(x3 x2 + 1) + x2 + Minh x(x3 x2 + 1)2 + (x3 x2 + 1)2 + x2(x3 x2 + 1)2
, x8 x7 + 2x5 + x2 + x = 0
TH1 : x = 0 ) y = 1 (TM)
TH2 : x7 + 2x4 + x = x6 1
x(x3 1)2 (x3 1)(x3 x = 1 ! y = 1(TM)
, + = + 1) ,
x4 x3 + x + 1 = 0()
n 1
1
1
() , x4 + x + 1 = x3 , x4 x2 +
+ x2 + x +
+
= x3
4
4
2
1
2
1
2
1
Nguy¹,
x2
+
x +
+
= x3
2
2
2
Do V T 0 V P n¶n væ nghi»m
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 1); (1;1)
p
x3(4y2 + 1) p
+ 2(x2 + 1)
x = C¥u 86
p
6
x2y(2 + 2
4y2 + 1) = x +
x2 + 1
Gi£i
i·u ki»n : x 0
H¼nh thùc cõa b i h» rã r ng l kh¡ rc rèi. Tuy nhi¶n, º þ ð (2) n¸u ta chia c£ 2 v¸ cho x2
th¼ s³ cæ lªp ÷ñc x v y v hi vång s³ ra ÷ñc i·u g¼.
Nhªn th§y x = 0 khæng l nghi»m. Chia 2 v¸ cõa (2) cho x2 ta ÷ñc
2y + 2y
p
4y2 + 1 =
1
x
+
1
x
r
1
x2 + 1
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
54. 50 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
p
t2 + 1 v h m n y ìn i»u t«ng. Vªy tø â ta suy ra
Rã r ng 2 v¸ ·u câ d¤ng f(t) = t + t
֖c 2y =
1
x
thay v o (1) ta câ
x3
1
x2 + 1
+ 2(x2 + 1)
p
x = 6
p
, x3 + x + 2(x2 + 1)
x = 6
n
Rã r ng v¸ tr¡i ìn i»u t«ng vîi i
·u ki
»n cõa x. Vªy x = 1 l nghi»m duy nh§t
1
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
1;
Tu§2
p
p
p 7x + y +
2x + y = 5
C¥u 87
2x + y + x y = 2
Gi£i
¥y l c¥u trong · VMO 2000-2001. Khæng h¯n l mët c¥u qu¡ khâ
i·u ki»n : y minf2x;7xg
p
Minh p
Xu§t hi»n hai c«n thùc vªy thû °t
7x + y = a ,
2x + y = b xem
Nh÷ng cán x y th¼ th¸ n o ? Chc s³ li¶n quan ¸n a2; b2. Vªy ta sû döng çng nh§t thùc
3
8
x y = k(7x + y) + l(2x + y) , k =
; l =
5
5
Vªy h» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
¹n Nguy8
:
a + b = 5
b +
3a2
5
8b2
5
= 2
a; b 0
,
8
:
a =
p
77
2
15
b =
p
77 5
2
,
8 :
7x + y =
p
77
151 15
2
2x + y =
p
77
2
51 5
,
8
:
x = 10
p
77
y =
p
77
2
11
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
10
p
77;
p
77
2
11
!
Mët c¡ch kh¡c công kh¡ tèt. °t
p
7x + y = a;
p
2x + y = b v ta x¥y düng mët h» t¤m sau
a + b = 5
a2 b2 = 5x
,
a + b = 5
a b = x
, b =
5 x
2
Thay v o (2) v ta ֖c
5 x
2
+ x y = 2 , x = 2y 1
¸n ¥y thay l¤i v o (2) v ta công ra k¸t qu£
Mët v½ dö t÷ìng tü cõa b i n y
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
55. 2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 51
C¥u 88
p
11x y
p
y x = 1
p
y x + 6y 26x = 3
7
Nghi»m : (x; y) =
37
20
;
81
10
§n
C¥u 89
TuMinh ¹n Nguy8
:
p
3x
1 +
1
x + y
= 2
p
7y
1
1
x + y
p
2
= 4
Gi£i
¥y l c¥u trong · VMO 1995-1996. Mët þ t÷ðng kh¡ µp mt m s¡ng t¤o
i·u ki»n : x; y 0; x + y 0
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
8
:
1 +
1
x + y
=
2
p
3x
1
1
x + y
=
p
4
2
p
7y
,
8
:
1
x + y
=
1
p
3x
p
2
2
p
7y
1 =
1
p
3x
+
p
2
2
p
7y
,
1
x + y
=
1
p
3x
p
2
2
p
7y
!
1
p
3x
+
p
2
2
p
7y
!
,
1
x + y
=
1
3x
8
7y
, 21xy = (x + y)(7y 3x)
, (y 6x)(7y + 4x) = 0 , y = 6x
Thay v o ph÷ìng tr¼nh ¦u ta ÷ñc
1 +
1
7x
=
2
p
3x
, x =
11 + 4
p
7
21
) y =
22
7
+
8
p
7
Mët p
c¡ch kh¡c câ thº sû döng trong b i n y â l phùc hâa. Nâ mîi xu§t hi»n g¦n ¥y
p
°t
x = a 0 ,
y = b 0. Ta câ h» mîi nh÷ sau
8
:
a +
a
a2 + b2 =
2
p
3
b
b
a2 + b2 =
p
2
p
7
4
PT(1) + i:PT(2) , (a + bi) +
a bi
a2 + b2 =
2
p
3
+
p
2
p
7
4
i
°t z = a + bi ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh
z +
1
z
=
2
p
3
+
p
2
p
7
4
i ) z ) a; b ) x; y
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
56. 52 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
11 + 4
p
7
21
;
22
7
+
8
p
7
!
B i h» n y câ kh¡ nhi·u dà b£n phong phó. Tæi xin giîi thi»u cho c¡c b¤n
C¥u 90
Tu§n
Minh n Nguy¹8
:
p
x
3
1 +
6
x + y
=
p
2
p
y
1
6
x + y
= 1
Nghi»m : (x; y) = (8; 4)
2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120
C¥u 91
8
:
p
x
1
12
y + 3x
= 2
p
y
1 +
12
y + 3x
= 6
p
3; 12 + 6
Nghi»m : (x; y) = (4 + 2
p
3)
C¥u 92
8
:
p
10x
1 +
3
5x + y
= 3
p
y
1
3
5x + y
= 1
Nghi»m : (x; y) =
2
5
; 4
C¥u 93
8
:
4 p
x
1
4
+
p
x +
2
p
y
x + y
= 2
4 p
y
1
4
p
x +
2
p
y
x + y
= 1
Ti¸p theo ta ¸n mët v i v½ dö v· sû döng ph÷ìng ph¡p l÷ñng gi¡c hâa trong gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
57. 2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 53
C¥u 94
x
p
1 y2 + y
p
1 x2 = 1
(1 x)(1 + y) = 2
Gi£i
i·u ki»n : jxj 1 , jyj 1
h
i
i·u ki»n n y cho ta þ t÷ðng l÷ñng gi¡c hâa. °t x = sina , y = sinb vîi a; b 2
;
2
2
n
Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìng ÷ìng
sinacosb + sinbcosa = 1 , sin(a + b) = 1 , a + b =
§2
Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng
Tu
a =
b =
(1 sina)(1 + sinb) = 2 , (1 sina)(1 + cosa) = 2 ,
2
,
a = 0
b =
2
x = 1; y = 0(L)
,
x = 0; y = 1
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; Minh 1)
2y = x(1 y2)
C¥u 95
3x x3 = y(1 3x2)
Gi£i
Tho¤t nh¼n ta th§y câ v´ hn » n y công xo ng, ch£ câ g¼ khi vi¸t nâ d÷îi d¤ng
xy2 = x 2y
Nguy¹x3 3x2y = 3x y
÷a nâ v· d¤ng ¯ng c§p, nh÷ng c¡i ch½nh ð ¥y l nghi»m nâ qu¡ l´. Vªy thû h÷îng kh¡c
xem. Vi¸t l¤i h» ¢ cho sau khi ¢ x²t
8
:
x =
2y
1 y2
y =
3x x3
1 3x2
Nh¼n biºu thùc v¸ ph£i câ quen thuëc khæng ? R§t gièng cæng thùc l÷ñng gi¡c nh¥n æi v
nh¥n ba cõa tan. Vªy þ
t÷ðng ¢ n£y ra
°t x = tan vîi 2
2
;
2
. Tø PT(2) ta s³ câ
y =
3 tan tan3
1 3tan2
= tan 3
M nh÷ th¸ theo (1) ta s³ câ
x =
2 tan 3
1 tan23
= tan 6
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
58. 54 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
Tø â suy ra
tan = tan 6 , =
k
5
, =
2
5
;
5
; 0;
5
;
2
5
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
tan
2
5
; tan
6
5
;
tan
5
; tan
3
5
; (0; 0)
L m mët b i t÷ìng tü nh².
§n
C¥u 96
TuMinh ¹n Nguy8
:
y =
3x x3
1 3x2
x =
3y y3
1 3y2
Sû döng ph÷ìng ph¡p l÷ñng gi¡c hâa trong gi£i h» ph÷ìng tr¼nh c¦n ph£i nm rã c¡c h¬ng
¯ng thùc, ¯ng thùc, cæng thùc l÷ñng gi¡c, v c¦n mët nh¢n quan tèt º ph¡t hi»n mët biºu
thùc n o â gièng vîi mët cæng thùc l÷ñng gi¡c.
C¥u 97
x3y(1 + y) + x2y2(2 + y) + xy3 30 = 0
x2y + x(1 + y + y2) + y 11 = 0
Gi£i
¥y l mët h» kh¡ m¤nh nh÷ng hay. Nh¼n v o 2 ph÷ìng tr¼nh ta th§y c¡c bi¸n k¸t d½nh vîi
nhau kh¡ tèt v h¬ng sè câ v´ nh÷ ch¿ l k´ ùng ngo i. Vªy h¢y vùt h¬ng sè sang mët b¶n v
thüc hi»n bi¸n êi v¸ tr¡i. H» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng
xy(x + y)(x + y + xy) = 30
xy(x + y) + x + y + xy = 11
¸n ¥y þ t÷ðng ¢ rã r ng. °t a = xy(x + y) , b = xy + x + y v h» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
ab = 30
a + b = 11
,
a = 5; b = 6
a = 6; b = 5
,
2
664
xy(x + y) = 5
xy + x + y = 6
xy(x + y) = 6
xy + x + y = 5
TH1 :
xy(x + y) = 6
xy + x + y = 5
,
2
664
xy = 2
x + y = 3
xy = 3
x + y = 2
(L)
,
x = 2; y = 1
x = 1; y = 2
TH2 :
xy(x + y) = 5
xy + x + y = 6
,
2
664
xy = 5
x + y = 1
(L)
xy = 1
x + y = 5
,
2
64
x =
5
p
21
2
; y =
5 +
p
21
2
x =
5 +
p
21
2
; y =
5
p
21
2
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
60. 56 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
C¥u 99
x
p
x
p
x = y
p
y + 8
p
y
x y = 5
Gi£i
i·u ki»n : x; y 0
Æ h» n y cho mët ph÷ìng tr¼nh ìn gi£n qu¡. Th¸ th¯ng l¶n (1) ch«ng ? Khæng n¶n ! Bi¸n êi
1 tµo ¢ rçi h¢y th¸. H÷îng bi¸n êi kh¡ ìn gi£n l l m ph¡ vï c«n thùc
n
Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng
p
p
§x(x 1) =
y(y + 8) ) x(x 1)2 = y(y + 8)2
¸n ¥y thüc hi»n th¸ x = y + 5 l¶n (1) v ta ÷ñc
Tu(y + 5)(y + 4)2 = y(y + 8)2 , y = 4 ) x = 9
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (9; 4)
C¥u 100
Minh n Nguy¹8
:
1
p
x
+
y
x
=
p
x
y
2
+ 2
y
p
=
x2 + 1 1
p
3x2 + 3
Gi£i
i·u ki»n : x 0; y6= 0
Rã r ng vîi i·u ki»n n y th¼ tø (2) ta th§y ngay º câ nghi»m th¼ y 0
Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng
p
x + y
x
=
p
x + y)
y
2 (
,
p
x + y = 0(L)
y = 2x
Vîi y = 2x thay v o (2) ta ÷ñc
2x
p
=
x2 + 1 1
p
3x2 + 3 ,
2x
p
p
3
x2 + 1 = 2x ,
p
x2 + 1 =
2x
2x
p
3
Rã r ng vp
¸ tr¡i ìn ip
»u t«ng v v¸ ph£i ìn i»u gi£m n¶n ph÷ìng tr¼nh n y câ nghi»m duy
nh§t x =
3 ) y = 2
3
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (
p
3; 2
p
3)
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
61. 2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 57
C¥u 101
y = x3 + 3x + 4
x = 2y3 6y 2
Gi£i
H¼nh thùc b i h» kh¡ gån nhµ nh÷ng công õ khi¸n nhi·u ng÷íi ph£i lóng tóng. Nhªn x²t
x = y = 2 l nghi»m. Ta ti¸n h nh t¡ch nh÷ sau
n
y 2 = (x + 1)2(x 2)
x 2 = (y + 1)2(y 2)
§¸n ¥y nh¥n ch²o v¸ vîi v¸ ta ÷ñc
2(y 2)2(y + 1)2 = (x + 1)2(x 2)2
TuD¹ th§y V T 0 V P. Ð ¥y ¯ng thùc x£y ra khi x = y = 2
x3 xy2 + 2000y = 0
C¥u 102
y3 yx2 500x = Minh 0
Gi£i
D¹ d ng ÷a ÷ñc v· h» ¯ng c§p. Nh÷ng ta bi¸n êi mët tµo º nâ tèi ÷u.
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
n 2
x (x2 y2) = 2000y
¹) 500x2(x2 y2) = 2000y2(x2 y2) ,
y(x2 y2) = 500x
Nguy664
x = y
x = y
x = 2y
x = 2y
Thay l¤i vîi méi tr÷íng hñp v o (1) v ta ÷ñc
2
66664
y = 0; x r
= 0
y = 10
10
3
r
; x = 20
10
3
r
y = 10
10
3
r
; x = 20
10
3
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 0);
20
r
10
3
r
;10
10
3
!
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
63. 2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 59
C¥u 105
x3(2 + 3y) = 8
x(y3 2) = 6
Gi£i
¥y l mët c¥u kh¡ gièng c¥u sè 37
Nghi»m : (x; y) = (2;1); (1; 2)
n
§2x2y + 3xy = 4x2 + 9y
C¥u 106
7y + 6 = 2x2 + 9x
TuGi£i
B i n y n¸u l÷íi ngh¾ câ thº dòng mæn vã th¸ th¦n ch÷ðng y v o PT(1). Nh÷ng h¢y dòng UCT
ð ¥y s³ tèt hìn.
Nhªn th§y y = 3 l nghi»m (c¡i n y gið l¤i nh², tæi khæng gi£i th½ch núa), thay y = 3 v o h»
ta câ
Minh 2x2 + 9x 27 = 0
27 2x2 + 9x = 0
Nh÷ vªy h÷îng cõa ta s³ cëng hai ph÷ìng tr¼nh ban ¦u l¤i v nh¥n tû y 3 s³ xu§t hi»n. Vªy
PT(1) + PT(2) , (3 y)
2x2 + 3x 2
= 0
p
!
n 16
1
1
3(3
33)
¸n ¥y d¹ d ng gi£i ra (x; y) =
2;
;
;
;
; 3
7
2
7
4
Nguy
¹x2 + 3y = 9
C¥u 107
y4 + 4(2x 3)y2 48y 48x + 155 = 0
Gi£i
¥y l mët c¥u kh¡ hâc, khæng ph£i ai công câ thº d¹ d ng gi£i nâ ÷ñc.
Th¸ 3y = 9 x2 tø (1) xuèng (2) ta ÷ñc
y4 + 8xy2 12y2 16(9 x2) 48x + 155 = 0
y2 y4 + 4x = 1
, + 8xy2 + 16y2 12(y2 + 4x) + 11 = 0 ,
y2 + 4x = 11
TH1 :
y2 + 4x = 11 ,
9 x2
3
2
+ 4x = 11 , x4 18x2 + 36x 18 = 0
, x4 = 18(x 1)2 ,
x2 3
p
2x + 3
p
2 = 0
x2 + 3
p
2 = 0
p
2x 3
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
64. 60 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
,
2
664
x =
p
2
3
p
18 12
p
2
p
2
18 12
) y =
p
36 24
p
2 6
12
p
2
12
x =
p
2
3
p
2
2
) y =
p
36 24
p
2 6
12
p
2
12
TH2 :
y2 + 4x = 1 ,
§n
TuMinh n Nguy¹
9 x2
3
2
+ 4x = 1 , x4 18x2 + 36x + 72 = 0
,
x2 6x + 12
x2 + 6x + 6
= 0 , x = 3
p
3 ) y = 1 2
p
3
Vªy h» câ c£ th£y 6 nghi»m nh÷ tr¶n
Mët thc mc nhä l ð TH2 v¼ sao x4 18x2 + 36x + 72 = (x2 6x + 12)(x2 + 6x + 6). T¡ch
nh¥n tû kiºu g¼ hay vªy ? Casio truy nh¥n tû ch«ng ? Câ thº lm. Nh÷ng thüc ra ph÷ìng tr¼nh
bªc 4 ¢ câ c¡ch gi£i têng qu¡t b¬ng cæng thùc Ferrari. èi vîi v½ dö tr¶n ta l m nh÷ sau
x4 18x2 + 36x + 72 = 0 , x4 2ax2 + a2 = (18 2a) x2 36x + a2 72
Ta ph£i t¼m a sao cho v¸ ph£i ph¥n t½ch ÷ñc th nh b¼nh ph÷ìng. Nh÷ th¸ ngh¾a l
182 = (18 2a)
a2 72
, a = 9
Nh÷ vªy
x4 18x2 + 36x + 72 = 0 , (x2 + 9)2 = 9(2x 1)2 , (x2 6x + 12)(x2 + 6x + 6) = 0
Chi ti¸t v· gi£i ph÷ìng tr¼nh bªc 4 c¡c b¤n câ thº t¼m d¹ d ng tr¶n google. Gií ta ti¸p töc c¡c
b i h». Ti¸p theo l mët chòm h» sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè kh¡ d¹ nh¼n.
C¥u 108
8
:
x +
p
x2 + 1
y +
p
y2 + 1
= 1
y +
y
p
x2 1
=
35
12
Gi£i
i·u ki»n : x2 1
Khæng thº l m «n ÷ñc g¼ tø (2). Tø (1) ta nhªn x²t th§y hai h m gièng nhau nh÷ng chóng
l¤i d½nh ch°t vîi nhau, khæng chàu t¡ch ríi. Vªy ta dùt chóng ra. Ph²p li¶n hñp s³ gióp ta
Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng
x +
p
x2 + 1
y +
p
y2 + 1
p
y2 + 1 y
=
p
y2 + 1y , x+
p
x2 + 1 = y +
p
y2 + 1
T¡ch ÷ñc rçi nh÷ng câ v´ hai b¶n khæng cán gièng nhau núa. Khoan !! N¸u thay y2 = (y)2
th¼ sao nh¿. Qu¡ tèt. Nh÷ vªy c£ hai v¸ ·u câ d¤ng f(t) = t +
p
t2 + 1 v h m n y ìn i»u
t«ng. Tø â ta rót ra x = y
Thay l¤i v o (2) ta ÷ñc
y +
y p
y2 1
=
35
12
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
65. 2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 61
¥y thüc ra l mët ph÷ìng tr¼nh kh¡ khâ chàu. Tho¤t ti¶n khi th§y lo¤i n y ta s³ b¼nh ph÷ìng
2 v¸ l¶n. i·u ki»n b¼nh ph÷ìng l y 0 khi â ta câ
y2 +
2y2
p
y2 1
+
y2
y2 1
=
35
12
2
,
y4 y2 + y2
y2 1
+
2y2
p
y2 1
=
35
12
2
y2
¸n ¥y ¢ kh¡ rã r ng . °t
p
= t 0 v ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng
y2 1
n
2
35
2
Tu§t2 + 2t
= 0 ,
12
Minh ¹n Nguy64
t =
49
12
(L)
t =
25
12
,
y2
p
y2 1
=
25
12
,
2
64
y =
5
4
y =
5
3
èi chi¸u i·u ki»n b¼nh ph÷ìng ch¿
l§y 2 gi¡ trà d÷ìng.
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
5
4
;
5
4
;
5
3
;
5
3
C¥u 109
p
5 2y = 0
(4x2 + 1)x + (y 3)
4x2 + y2 + 2
p
3 4x = 7
Gi£i
i·u ki»n : y
5
2
; x
3
4
Vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh (1) nh÷ sau
(4x2 + 1)x = (3 y)
p
5 2y , (4x2 + 1)2x = (6 2y)
p
5 2y , f (2x) = f
p
5 2y
Vîi f(t) = t3 + t l h m ìn i»u t«ng. Tø â ta câ 2x =
p
5 2y ) x 0 thay v o (2) ta câ
4x2 +
5
2
2x2
2
+ 2
p
3 4x = 7
Gií cæng vi»c cõa ta l kh£o s¡t h m sè v¸ tr¡i tr¶n
0;
3
4
v chùng minh nâ ìn i»u gi£m.
Xin nh÷íng l¤i b¤n åc
Vîi h m sè v¸ tr¡i ìn i»u gi£m ta câ x =
1
2
l nghi»m duy nh§t ) y = 2
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
1
2
; 2
H¢y º þ k¾ mèi t÷ìng quan giúa c¡c biºu thùc trong mët ph÷ìng tr¼nh va ta s³ ¤t möc ½ch
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
66. 62 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
C¥u 110
p y3 + y = x3 + 3x2 + 4x + 2
p
1 x2
y =
p
2 y 1
Gi£i
i·u ki»n : 0 y 2;1 x 1
Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng
n
y3 + y = (x + 1)3 + (x + 1) , y = x + 1
§Thay v o (2) ta câ p
p
p
1 x2
1 + x =
1 x 1
p
p
p
t2 2
Ph÷ìng tr¼nh n y khæng qu¡ khâ. °t t =
1 + x +
1 x )
Tu1 x2 =
. Thay v o
2
ph÷ìng tr¼nh ta ÷ñc
p
p
t2 2
t = 0
p 1 x +
p
1 + x = 0
= t 1 ,
,
, x = 0; y = 1
2
t = 2
1 x +
1 + x = 2
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = (0; 1)
Nhúng b i n y th÷íng s³ n°ng v· gi£Minh i ph÷ìng tr¼nh væ t¿ hìn.
p
p
p
p
p
p
x + 1 +
x + 3 +
x + 5 =
y 1 +
y 3 +
y 5
C¥u 111
x + y + x2 n + y2 = 80
Gi£i
Nguyi·u ki»n : x 1; y ¹ 5
Ph÷ìng tr¼nh ¦u câ d¤ng
f(x + 1) = f(y 5)
p
p
p
Vîi f(t) =
t +
t + 2 +
t + 4 l h m ìn i»u t«ng. Tø â ta câ y = x + 6 thay v o (2) ta
câ
p
p
5
5 7
5
5 + 5
x + x + 6 + x2 + (x + 6)2 = 80 , x =
) y =
2
2
p
p
!
5
5 7
5
5 + 5
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
;
2
2
Ð ¥y tæi ¢ ÷a ra mët sè c¥u h» sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè kh¡ ìn gi£n. Nâi l ìn
gi£n v¼ tø mët ph÷ìng tr¼nh ta nh¼n th§y ngay ho°c mët chót bi¸n êi º nh¼n ra d¤ng cõa
h m c¦n x²t. Tæi s³ cán giîi thi»u kh¡ nhi·u nhúng b i c¦n bi¸n êi tinh t¸ º nh¼n ra d¤ng
h m, ð nhúng c¥u sau cõa cuèn s¡ch.
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
67. 2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 63
C¥u 112
p
x + 4 p
32 x y2 = 3
4 p
x +
p
32 x + 6y = 24
Gi£i
i·u ki»n : 0 x 32
Câ v´ ¥y l mët h» kh¡c rc rèi khi xu§t hi»n c«n bªc 4. Ta s³ dòng c¡c ¡nh gi¡ º gi£i
quy¸t c¡i h» n y
n
Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau ta ÷ñc
p
p
x +
32 x + x + 32 x = y2 6y + 21
§Hiºn nhi¶n ta câ : V P 12
Gií ta ti¸n h nh ¡nh gi¡ v¸ tr¡i. p döng b§t ¯ng thùc CauchySchwarz Tucho v¸ tr¡i ta câ
p
p
p
x +
32 x
(1 + 1)(x + 32 x) = 8
x + 32 Minh x
4 p
4 4 n Nguy¹p
p
4 p
q
(1 + 1)(
p
x +
p
32 x) 4
Vªy V T V P
D§u b¬ng x£y ra khi (x; y) = (16; 3)
Tæi cán mët c¥u þ t÷ðng gièng b i n y nh÷ng hìi khâ hìn mët chót. B¤n åc câ thº gi£i nâ
C¥u 113
p
p
2
2x + 2 4 p
6 x y2 = 2
4 p
2x + 2
p
6 x + 2
p
2y = 8 +
p
2
Nghi»m : (x; y) = (2;
p
2)
C¥u 114
x2(y + 1)(x + y + 1) = 3x2 4x + 1
xy + x + 1 = x2
Gi£i
B i n y câ l³ khæng c¦n suy ngh¾ nhi·u. Cù th¸ y + 1 l¶n (1) coi sao
Nhªn th§y x = 0 khæng l nghi»m. Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng
x(y + 1) = x2 1 , y + 1 =
x2 1
x
Thay l¶n (2) ta s³ ÷ñc
x(x2 1)
x +
x2 1
x
= 3x2 4x + 1 ,
x = 2 ) y =
5
2
x = 1 ) y = 1
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1;1);
2;
5
2
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
69. 2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 65
°t x + y = a; y x +
1
y x
= b; jbj 2 ta câ h» mîi
8
:
a + b =
5
4
25
2a2 b2 =
8
§n
TuMinh ¹n Nguy,
8
:
a =
5
4
b =
5
2
,
2
6666664
(
y + x =
5
4
y x = 2 8
:
y + x =
5
4
y x =
1
2
,
2
64
x =
13
8
; y =
3
8
x =
7
8
; y =
3
8
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
7
8
;
3
8
;
13
8
;
3
8
Tæi s³ ÷a th¶m 2 c¥u núa cho b¤n åc luy»n tªp
C¥u 117
8
:
3(x2 + y2) + 2xy +
1
(x y)2 = 20
2x +
1
x y
= 5
Nghi»m : (x; y) = (2; 1);
4
p
10
3
;
p
10 3
3
!
;
4 +
p
10
3
;
p
10
3
3
!
C¥u 118
(4x2 4xy + 4y2 51)(x y)2 + 3 = 0
(2x 7)(x y) + 1 = 0
Thû ëng n¢o mët chót xem v¼ sao l¤i ÷a ÷ñc v· gièng 3 c¥u tr¶n ?
Nghi»m :(x; y) =
5
p
3
2
;
p
3
2
1 +
!
;
5 +
p
3
2
;
p
3
2
1
!
C¥u 119
8
:
2x2 + x
1
y
= 2
y y2x 2y2 = 2
Gi£i
i·u ki»n : y6= 0
Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng vîi
1
y
x 2 =
2
y2
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
70. 66 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
°t a =
1
y
ta chuyºn h» v·
2x2 + x a = 2
2a2 + a x = 2
p
3
2
,
n
Tu§Minh n Nguy¹2
666664
x = 1; a = 1
x = 1; a = 1
1
x =
; a =
p
3 1
2
x =
p
3 1
2
; a =
p
3
2
1
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1;1);
1
p
3
2
; 1
!
p
3
C¥u 120
4x2 + y4 4xy3 = 1
4x2 + 2y2 4xy = 2
Gi£i
H¼nh thùc kh¡ gån nhµ nh÷ng công r§t khâ chìi. Mët chót tinh þ ta nhªn th§y y2 = 1 l
nghi»m cõa h». Thay v o v ta rót ra
PT(1) PT(2) , y4 4xy3 2y2 + 4xy + 1 = 0 , (y2 1)(y2 4xy 1) = 0
Vîi y = 1 thay v o (2) ta t¼m ÷ñc x = 0 ho°c x = 1
Vîi y = 1 thay v o (2) ta t¼m ÷ñc x = 0 ho°c x = 1
Vîi y2 = 4xy + 1. Khæng c¦n ngh¾ nhi·u, th¸ tr¥u bá v o cho nhanh !!!
Ta rót ra x =
y2 1
4y
thay v o (2) ta câ
y2 1
4
4y
2
+ 2y2 + 1 y2 = 2 , 5y4 6y2 + 1 = 0 ,
2
666664
y = 1 ) x = 0
y = 1 ) x = 0
y =
1
p
5
) x =
1
p
5
y =
1
p
5
) x =
1
p
5
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1); (1;1); (0; 1); (0;1);
1
p
5
;
1
p
5
;
1
p
5
;
1
p
5
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
71. 2.5 C¥u 121 ¸n c¥u 150 67
2.5 C¥u 121 ¸n c¥u 150
C¥u 121
x4 + x3y + 9y = y3x + x2y2 + 9x
x(y3 x3) = 7
Gi£i
Khæng c¦n bi¸t Tê quèc nìi ¥u, chi¸n ph÷ìng tr¼nh ¦u ¢
n
PT(1) , (x y)(x(x + y)2 9) = 0
§Vîi x = y k¸t hñp vîi (2) rã r ng khæng thäa
Cán l¤i ta k¸t hñp th nh mët h» mîi
x (y3 x3) = 7
Tux(x + y)2 = 9
¥y l mët b i to¡n kh¡ quen thuëc v h§p d¨n ¢ tøng xu§t hi»n tr¶n b¡o THTT, c¡ch l m
phê bi¸n nh§t v¨n l tr¥u bá
r
7
Tr÷îc h¸t câ ¡nh gi¡ x 0 v rót ra y = 3
x3 +
. Thay xuèng ta câ
x
r
!2
7
x
x + 3
x3 +
= Minh 9 , x3 + 2x x6 + 7x2 + x(x4 + 7)2 = 9
x
°t v¸ tr¡i l f(x). Ta câ
f0(x) = 3x2 + 2
n Nguy3 3 p
p
¹3 p
x6 + 7x2 +
6x6 + 14x2
3 3 p
(x6 + 7x2)2
!
+
1
3
:
9x8 + 70x4 + 49
3 p
x2(x4 + 7)4
0
Vªy f(x) = 9 câ nghi»m duy nh§t x = 1 ) y = 2
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 2)
v
!u
!Ti¸p theo tæi xin giîi thi»u cho c¡c b¤n mët sè c¥u h» sû döng B§t ¯ng thùc Minkowski º
gi£i. B§t ¯ng thùc Minkowski l mët b§t ¯ng thùc khæng khâ v công th÷íng ÷ñc dòng,
b§t ¯ng thùc · cªp ¸n v§n · ë d i cõa vectì trong khæng gian m sau n y håc sinh quen
gåi nâ l b§t ¯ng thùc V ector
Vîi hai vectì ;b§t k¼ ta luæn câ
j!u
j + j!v
j j!u
+ !v
j
N¸u tåa ë hâa 2 vecto n y ta s³ thu ÷ñc
p
a1
2 + b1
2 +
p
a2
2 + b2
2
q
(a1 + a2)2 + (b1 + b2)2
¯ng thùc x£y ra khi (a1; a2) v (b1; b2) l 2 bë t¿ l»
¥y l mët h» qu£ hay dòng trong gi£i h»
Th¼ khi n o nh¼n v o mët b i h» ta câ thº ngh¾ ¸n sû döng B§t ¯ng thùc Minkowski. Th÷íng
khi nh¼n th§y têng hai c«n thùc m bªc cõa biºu thùc trong c«n khæng v÷ñt qu¡ 2 th¼ ta câ
thº chån h÷îng n y. Tæi s³ n¶u 3 v½ dö º b¤n åc hiºu rã hìn
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n