Giáo trình Mật mã học.pdf

Lêi nãi ®Çu
Trong sù ph¸t triÓn cña x· héi loµi ng−êi, kÓ tõ khi cã sù trao
®æi th«ng tin, an toµn th«ng tin trë thµnh mét nhu cÇu g¾n liÒn víi nã
nh− h×nh víi bãng. Tõ thña s¬ khai, an toµn th«ng tin ®−îc hiÓu ®¬n
gi¶n lµ gi÷ ®−îc bÝ mËt vµ ®iÒu nµy ®−îc xem nh− mét nghÖ thuËt chø
ch−a ph¶i lµ mét ngµnh khoa häc. Víi sù ph¸t triÓn cña khoa häc kü
thuËt vµ c«ng nghÖ, cïng víi çc nhu cÇu ®Æc biÖt cã liªn quan tíi an
toµn th«ng tin, ngµy nay çc kü thuËt chÝnh trong an toµn th«ng tin bao
gåm: Kü thuËt mËt m· (Cryptography), Kü thuËt nguþ trang
(Steganography), Kü thuËt t¹o bãng mê (Watermarking - hay x¨m ®iÖn
tö). Kü thuËt mËt m· nh»m ®¶m b¶o ba dÞch vô an toµn c¬ b¶n:BÝ mËt
(Confidential), X¸c thùc (Authentication), §¶m b¶o tÝnh toµn vÑn
(Integrity). Cã thÓ thÊy r»ng mËt m· häc lµ mét lÜnh vùc khoa häc réng
lín cã liªn quan rÊt nhiÒu ®Õn to¸n häc nh−: §¹i sè tuyÕn tÝnh, Lý
thuyÕt th«ng tin, Lý thuyÕt ®é phøc t¹p tÝnh to¸n….
N¾m b¾t ®−îc nhu cÇu t×m hiÓu vÒ mËt m· häc, Häc viÖn C«ng
nghÖ B−u chÝnh ViÔn th«ng phèi hîp víi Nhµ xuÊt b¶n B−u ®iÖn xuÊt
b¶n cuèn gi¸o tr×nh "MËt m· häc" do PGS.TS NguyÔn B×nh chñ biªn.
Cuèn gi¸o tr×nh nµy sÏ giíi thiÖu víi b¹n ®äc vÒ çc kiÕn thøc to¸n häc
c¬ b¶n nh−: lý thuyÕt sè, çc cÊu tróc ®¹i sè nh− vµnh nhãm, tr−êng...;
mét sè thuËt to¸n mËt m· cæ ®iÓn vµ hiÖn ®¹i; çc thñ tôc vµ çc chuÈn
øng dông trong thùc tÕ. Víi nhiÒu vÝ dô cô thÓ, cuèn s¸ch gióp cho b¹n
®äc thuËn tiÖn trong qu¸ tr×nh häc tËp nghiªn cøu ®Ó n©ng cao kiÕn thøc
vÒ mËt m· häc. §©y lµ gi¸o tr×nh phôc vô ®µo t¹o t¹i Häc viÖn C«ng
nghÖ B−u chÝnh ViÔn th«ng.

Hy väng cuèn s¸ch sÏ lµ tµi liÖu tham kh¶o h÷u Ých cho gi¶ng
viªn, sinh viªn c¸c tr−êng ®¹i häc vÒ kü thuËt vµ c«ng nghÖ.
Xin tr©n träng giíi thiÖu cïng b¹n ®äc.
Hµ Néi, ngµy 23 th¸ng 10 n¨m 2003
Häc viÖn c«ng nghÖ b−u chÝnh viÔn th«ng

thuËt ng÷ viÕt t¾t
DES Data Encryption Standard ChuÈn m· d÷ liÖu
LAN Local Area Network M¹ng côc bé
MDV M· dÞch vßng
MTT M· thay thÕ
MHV M· ho¸n vÞ
ECB Electronic Code Book ChÕ ®é quyÓn m· ®iÖn tö
CFB Cripher Feedback ChÕ ®é ph¶n håi m·
CBC Cripher Block Chaining ChÕ ®é liªn kÕt khèi m·
RSA Rivest - Shamir - Adleman
MAC Message Authentication Code M· x¸c thùc th«ng b¸o
OWHF Oneway Hash Funtion Hµm b¨m mét chiÒu
CRHF Collision Resistant hash function Hµm b¨m khã va ch¹m
MDC Manipulation Detection Code M· ph¸t hiÖn sù söa ®æi
LSB Least Signification Bit Bit thÊp nhÊt (cã gi¸ trÞ nhá
nhÊt
Header Tiªu ®Ò
IDEA International Data Encryption
Algorithm
ThuËt to¸n m· hãa d÷ liÖu
quèc tÕ
PGP Pretty Good Privacy ThuËt to¸n m· hãa PGP
SET Secure Electronic Transaction Giao dÞch ®iÖn tö an toµn
LFSR Linear Feedback Sequence
Register
Thanh ghi håi tiÕp tuyÕn tÝnh
Firewall Bøc t−êng löa
Server M¸y chñ
Router Bé ®Þnh tuyÕn

PhÇn I
C¸c kiÕn thøc to¸n häc phô trî

bæ tóc vÒ lý thuyÕt sè
1.1. Sè nguyªn
TËp çc sè nguyªn { } .
Z
,
3
,
2
,
1
,
0
,
1
,
2
,
3
, =
−
−
− K
K
1.1.1. §Þnh nghÜa 1.1
Cho Ζ
∈
b
,
a
a lμ −íc cña b nÕu .
c
.
a
b
:
Z
c =
∈
∃ Ký hiÖu lμ .
b
a
1.1.2. Çc tÝnh chÊt chia hÕt
Ζ
∈
∀ c
,
b
,
a ta cã:
(i) .
a
a
(ii) NÕu b
a vμ c
b th× .
c
a
(iii) NÕu b
a vμ c
a th× ( )
cy
bx
a + víi .
Z
y
,
x ∈
∀
(iv) NÕu b
a vμ a
b th× .
b
a ±
=
1.1.3. §Þnh nghÜa 1.2 (ThuËt to¸n chia ®èi víi çc sè nguyªn)
NÕu a vμ b lμ çc sè nguyªn víi 1
b ≥
th× b
r
0
;
r
qb
a <
≤
+
=
q vμ r lμ nh÷ng gi¸ trÞ duy nhÊt.

Gi¸o tr×nh MËt m· häc
10
PhÇn d− cña phÐp chia a vμ b ®−îc ký hiÖu r
b
mod
a =
Th−¬ng cña phÐp chia a vμ b ®−îc ký hiÖu q
b
div
a =
Ta cã .
b
a
b
a
b
mod
a
,
b
a
b
div
a ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
VÝ dô: a = 73, b = 17.
73 div 17 = 4, 73 mod 17 = 5.
1.1.4. §Þnh nghÜa 1.3 (¦íc chung)
c lμ −íc chung cña a vμ b nÕu .
b
c
&
a
c
1.1.5. §Þnh nghÜa 1.4 (¦íc chung lín nhÊt (¦CLN))
Sè nguyªn d−¬ng d lμ ¦CLN cña çc sè nguyªn a vμ b (Ký
hiÖu d = (a, b)) nÕu:
(i) d lμ −íc chung cña a vμ b.
(ii) NÕu cã a
c vμ b
c th× d
c .
Nh− vËy (a,b) lμ sè nguyªn d−¬ng lín nhÊt −íc cña c¶ a vμ b
kh«ng kÓ (0,0) = 0.
VÝ dô: Çc −íc chung cña 12 vμ 18 lμ { }
6
,
3
,
2
,
1 ±
±
±
±
(12,18) = 6
1.1.6. §Þnh nghÜa 1.5 (Béi chung nhá nhÊt (BCNN))
Sè nguyªn d−¬ng d lμ BCNN cña çc sè nguyªn a vμ b (Ký
hiÖu d = BCNN (a,b)) nÕu:
(i) .
d
b
,
d
a
(ii) NÕu cã c
b
,
c
a th× .
c
d
Nh− vËy d lμ sè nguyªn d−¬ng nhá nhÊt lμ béi cña c¶ a vμ b.

Ch−¬ng 1: Bæ tóc vÒ lý thuyÕt sè 11
1.1.7. TÝnh chÊt
( )
( )
b
,
a
b
.
a
b
,
a
BCNN =
VÝ dô: ( ) ( ) 36
6
18
.
12
18
,
12
BCNN
6
18
,
12 =
=
⇒
= .
1.1.8. §Þnh nghÜa 1.6
Hai sè nguyªn d−¬ng a vμ b ®−îc gäi lμ nguyªn tè cïng nhau
nÕu: (a,b) = 1.
1.1.9. §Þnh nghÜa 1.7
Sè nguyªn 2
p ≥ ®−îc gäi lμ sè nguyªn tè nÕu çc −íc d−¬ng
cña nã chØ lμ 1 vμ p. Ng−îc l¹i p ®−îc gäi lμ hîp sè.
1.1.10. §Þnh lý c¬ b¶n cña sè häc
Víi mçi sè nguyªn 2
n ≥ ta lu«n ph©n tÝch ®−îc d−íi d¹ng
tÝch cña luü thõa cña çc sè nguyªn tè.
k
2
1 e
k
e
2
e
1 p
p
p
n K
=
Trong ®ã pi lμ çc sè nguyªn tè kh¸c nhau vμ ei lμ çc sè
nguyªn d−¬ng. H¬n n÷a ph©n tÝch trªn lμ duy nhÊt.
1.1.11. §Þnh nghÜa 1.8
Víi ,
2
n ≥ hμm ( )
n
Φ ®−îc x¸c ®Þnh lμ sè çc sè nguyªn trong
kho¶ng [ ]
n
,
1 nguyªn tè cïng nhau víi n.
1.1.12. Çc tÝnh chÊt cña hμm Φ(n)
(i) NÕu p lμ çc sè nguyªn tè th× Φ(p) = p – 1.
(ii) NÕu (m, n) = 1 th× Φ(m.n) = Φ(m). Φ(n).

12
(iii) NÕu k
2
1 e
k
e
2
e
1 p
p
p
n K
= lμ ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè
cña n th×:
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
Φ
k
2
1 p
1
1
p
1
1
p
1
1
n
n K .
1.1.13. §Þnh lý 1.1
Víi 5
n ≥
∀ th×
( )
)
n
(ln
ln
6
n
n >
Φ
1.2. çc thuËt to¸n trong z
Cho a vμ b lμ çc sè nguyªn kh«ng ©m vμ nhá h¬n hoÆc b»ng
n. CÇn chó ý r»ng sè çc bit trong biÓu diÔn nhÞ ph©n cña n lμ
[lgn] + 1 vμ sè nμy xÊp xØ b»ng lgn. Sè çc phÐp to¸n bit ®èi víi
bèn phÐp to¸n c¬ b¶n trªn çc sè lμ céng, trõ, nh©n vμ chia sö
dông çc thuËt to¸n kinh ®iÓn ®−îc tãm l−îc trªn b¶ng 1.1. Çc kü
thuËt tinh tÕ h¬n ®èi víi çc phÐp to¸n nh©n vμ chia sÏ cã ®é phøc
t¹p nhá h¬n.
B¶ng 1.1: §é phøc t¹p bit cña çc phÐp to¸n c¬ b¶n trong Z
PhÐp to¸n §é phøc t¹p bit
Céng a + b 0(lga + lgb) = 0(lgn)
Trõ a – b 0(lga + lgb) = 0(lgn)
Nh©n a.b 0((lga).(lgb)) = 0((lgn)2
)
Chia a = qb + r 0((lga).(lgb)) = 0((lgn)2
)
¦CLN cña 2 sè nguyªn a vμ b cã thÓ ®−îc tÝnh theo ®Þnh lý sau:
1.2.1. §Þnh lý 1.2
NÕu k
2
1
k
2
1 f
k
f
2
f
1
e
k
e
2
e
1 p
...
p
p
b
,
p
p
p
a =
= K trong ®ã 0
f
,
0
e i
i ≥
≥
th× ( ) ( ) ( ) ( )
k
k
2
2
1
1 f
,
e
min
k
f
,
e
min
2
f
,
e
min
1 p
p
p
b
,
a
CLN K
=
−

vμ ( ) ( ) ( ) ( )
k
k
2
2
1
1 f
,
e
max
k
f
,
e
max
2
f
,
e
max
1 p
p
p
b
,
a
BCNN K
= .
VÝ dô: Cho a = 4864 = 28.19; b = 3458 = 2.7.13.19. Khi ®ã:
( ) ( )
( ) ( ) .
442624
19
.
13
.
7
.
2
3458
,
4864
b
,
a
BCNN
38
19
.
2
3458
,
4864
b
,
a
CLN
8
=
=
=
=
=
=
−
1.2.2. §Þnh lý 1.3
NÕu a vμ b lμ çc sè nguyªn d−¬ng víi b
a > th× ¦CLN(a,b) =
¦CLN (b,a mod b). ThuËt to¸n Euclide sau sÏ cho ta çch tÝnh
¦CLN rÊt hiÖu qu¶ mμ kh«ng cÇn ph¶i ph©n tÝch ra thõa sè
nguyªn tè.
1.2.3. ThuËt to¸n Euclide
TÝnh ¦CLN cña 2 sè nguyªn
Vμo : Hai sè nguyªn kh«ng ©m a vμ b víi a > b
Ra : ¦CLN cña a vμ b.
(1) While 0
b ≠ do
r
b
,
b
a
,
b
mod
a
r ←
←
←
(2) Return (a).
1.2.4. §Þnh lý 1.4
ThuËt to¸n trªn cã thêi gian ch¹y chõng ( ) )
n
lg
(
0
2
çc phÐp
to¸n bit.
VÝ dô: Sau ®©y lμ çc b−íc chia cña thuËt to¸n trªn khi tÝnh:
( )
0
38
.
2
76
38
114
.
5
646
76
646
.
2
1406
646
1406
.
2
3458
1406
3458
.
1
4864
38
3458
,
4864
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
=

14
ThuËt to¸n trªn cã thÓ ®−îc më réng ®Ó kh«ng nh÷ng chØ
tÝnh ®−îc ¦CLN cña 2 sè nguyªn a vμ b mμ cßn tÝnh ®−îc çc sè
nguyªn x vμ y tho¶ m·n d
by
ax =
+ .
1.2.5. ThuËt to¸n Euclide më réng
Vμo : Hai sè nguyªn kh«ng ©m a vμ b víi b
a ≥
Ra : d = ¦CLN(a,b) vμ çc sè nguyªn x vμ y tháa m·n
d
by
ax =
+ .
(1) NÕu b= 0 th× ®Æt 0
y
,
1
x
,
a
d ←
←
← vμ return (d, x, y)
(2) §Æt 1
y
,
0
y
,
0
x
,
1
x 1
2
1
2 ←
←
←
←
(3) While b > 0 do
(3.1) ⎣ ⎦ 1
2
1
2 qy
y
y
,
qx
x
x
,
qb
a
r
,
b
/
a
q −
←
−
←
−
←
←
(3.2) y
y
,
y
y
,
x
x
,
x
x
,
r
b
,
b
a 1
1
2
1
1
2 ←
←
←
←
←
←
(4) §Æt 2
2 y
y
,
x
x
,
a
d ←
←
← vμ vμ return (d, x, y).
1.2.6. §Þnh lý 1.5
ThuËt to¸n trªn cã thêi gian ch¹y cì 0((lgn)2
) çc phÐp to¸n bit.
VÝ dô: B¶ng 1.2 sau chØ ra çc b−íc cña thuËt to¸n trªn víi
çc gi¸ trÞ vμo a = 4864 vμ b = 3458
B¶ng 1.2: ThuËt to¸n Euclide më réng
Q r x y a b x2 x1 y2 y1
− − − − 4864 3458 1 0 0 1
1 1406 1 −1 3458 1406 0 1 1 −1
2 646 −2 3 1406 646 1 −2 −1 3
2 114 5 −7 646 114 −2 5 3 7
5 76 −27 38 114 76 5 −27 −7 38
1 38 32 −45 76 38 −27 32 38 −45
2 0 −91 128 38 0 32 −91 −45 128

Víi çc ®Çu vμo a = 4864 vμ b = 3458
Bëi vËy ta cã:
¦CLN(4864,3458) = 38 vμ (4864)(32) + (3458)(-45) = 38.
1.3. Çc sè nguyªn modulo n
1.3.1. §Þnh nghÜa 1.9
NÕu a vμ b lμ çc sè nguyªn th× a ®−îc gäi lμ ®ång d− víi b
theo modulo (ký hiÖu lμ a = b mod n) nÕu ( )
b
a
n − .
Sè nguyªn n ®−îc gäi lμ modulo ®ång d−.
VÝ dô: 5
mod
9
24 ≡ v× 24 – 9 = 3.5
7
mod
17
11 ≡
− v× 7
.
4
17
11 −
=
−
− .
1.3.2. Çc tÝnh chÊt
§èi víi Ζ
∈
c
,
b
,
b
,
a
,
a 1
1 ta cã:
(1) ( )
n
mod
b
a ≡ nÕu vμ chØ nÕu a vμ b còng cã phÇn d− khi
chia cho n.
(2) TÝnh ph¶n x¹: ( )
n
mod
a
a ≡ .
(3) TÝnh ®èi xøng: NÕu ( )
n
mod
b
a ≡ th× ( )
n
mod
a
b ≡
(4) TÝnh b¾c cÇu: NÕu ( )
n
mod
b
a ≡ vμ ( )
n
mod
c
b ≡
th× ( )
n
mod
c
a ≡
(5) NÕu ( )
n
mod
a
a 1
≡ vμ ( )
n
mod
b
b 1
≡ th×
( )
n
mod
b
a
b
a 1
1 +
≡
+ vμ ( )
n
mod
b
.
a
b
.
a 1
1
≡
Líp t−¬ng ®−¬ng cña mét sè nguyªn a lμ tËp çc sè nguyªn
®ång d− víi a modulo n. Tõ çc tÝnh chÊt (2), (3) vμ (5) ë trªn ta cã
thÓ thÊy r»ng ®èi víi n cè ®Þnh, quan hÖ ®ång d− theo modulo n sÏ
ph©n ho¹ch Z thμnh çc líp t−¬ng ®−¬ng.

16
NÕu a = qn + r víi n
r
0 ≤
≤ th× ( )
n
mod
r
a ≡ .
Bëi vËy mçi sè nguyªn a lμ ®ång d− theo modulo n víi mét sè
nguyªn duy nhÊt n»m trong kho¶ng tõ 0 tíi n - 1, sè nμy ®−îc gäi
lμ thÆng d− tèi thiÓu cña a mod n. Nh− vËy a vμ r cã thÓ ®−îc
dïng ®Ó biÓu thÞ cho líp t−¬ng ®−¬ng nμy.
1.3.3. §Þnh nghÜa 1.10
Çc sè nguyªn modulo n (ký hiÖu Zn) lμ tËp (çc líp t−¬ng
®−¬ng) cña çc sè nguyªn{ }
1
n
,
,
2
,
1
,
0 −
K . Çc phÐp céng, trõ, nh©n
trong Zn ®−îc thùc hiÖn theo modulo n.
VÝ dô: { }
24
,
,
1
,
0
Z25 K
= . Trong 25
Z ta cã:
13 + 16 = 4 v× ( )
25
mod
4
29
16
13 ≡
=
+
T−¬ng tù 13.16 = 8 trong Z25.
1.3.4. §Þnh nghÜa 1.11 (PhÇn tö nghÞch ®¶o)
Cho n
Z
a ∈ , PhÇn tö nghÞch ®¶o (ng−îc theo phÐp nh©n) cña
a mod n lμ mét sè nguyªn n
Z
x ∈ sao cho: ( )
n
mod
1
ax ≡
NÕu x tån t¹i th× nã lμ duy nhÊt, a ®−îc gäi lμ kh¶ nghÞch.
PhÇn tö nghÞch ®¶o cña a ®−îc ký hiÖu lμ a−1
.
1.3.5. §Þnh nghÜa 1.12
PhÐp chia cña a cho n
mod
b lμ tÝch cña a vμ b−1
mod n tÝch
nμy ®−îc x¸c ®Þnh nÕu b lμ phÇn tö kh¶ nghÞch
1.3.6. §Þnh lý 1.6
Cho n
Z
a ∈ , khi ®ã a lμ kh¶ nghÞch nÕu vμ chØ nÕu: ( ) 1
n
,
a =
VÝ dô: Çc phÇn tö kh¶ nghÞch trong Z9 lμ 1, 2, 3, 4, 5, 7 vμ 8.
Ch¼ng h¹n 7
4 1
=
−
v× ( )
9
mod
1
7
.
4 ≡ .

1.3.7. §Þnh lý 1.7
Cho d = (a,n). Ph−¬ng tr×nh ®ång d− ( )
n
mod
b
ax ≡ cã nghiÖm
x nÕu vμ chØ nÕu b
d , trong tr−êng hîp nμy cã ®óng d nghiÖm n»m
gi÷a 0 vμ n - 1, nh÷ng nghiÖm nμy lμ tÊt c¶ çc ®ång d− theo
modulo d
n .
1.3.8. §Þnh lý 1.8 (PhÇn d− China)
NÕu çc sè nguyªn k
2
1 n
,
,
n
,
n K lμ nguyªn tè cïng nhau tõng
®«i mét th× hÖ çc ph−¬ng tr×nh ®ång d−:
( )
( )
( )
k
k
2
2
1
1
n
mod
a
x
....
..........
..........
n
mod
a
x
n
mod
a
x
≡
≡
≡
sÏ cã nghiÖm duy nhÊt theo modulo n ( )
k
2
1 n
n
.
n
n K
= .
1.3.9. ThuËt to¸n Gausse
NghiÖm x cña hÖ ph−¬ng tr×nh ®ång d− trong ®Þnh lý phÇn
d− China cã thÓ ®−îc tÝnh b»ng:
∑
=
=
k
1
i
i
i
i n
mod
M
N
a
x
Trong ®ã: i
i n
/
n
N = vμ i
1
i
i n
mod
N
M −
=
Çc tÝnh to¸n nμy cã thÓ ®−îc thùc hiÖn trong ( ) )
n
lg
(
0
2
çc
phÐp to¸n trªn bit.
VÝ dô: CÆp ph−¬ng tr×nh ®ång d− ( ) ( )
13
mod
7
x
,
7
mod
3
x ≡
≡
cã nghiÖm duy nhÊt ( )
91
mod
59
x ≡ .

18
1.3.10. §Þnh lý 1.9
NÕu ( ) 1
n
,
n 2
1 = th× cÆp ph−¬ng tr×nh ®ång d−.
( ) ( )
2
1 n
mod
a
x
,
n
mod
a
x ≡
≡
cã mét nghiÖm duy nhÊt ( )
2
1 n
,
n
mod
a
x ≡ .
1.3.11. §Þnh nghÜa 1.13
Nhãm nh©n cña n
Z lμ ( )
{ }
1
n
,
a
Z
a
Z n
*
n =
∈
=
§Æc biÖt, nÕu n lμ sè nguyªn tè th× { }
1
n
a
1
a
Z*
n −
≤
≤
= .
1.3.12. §Þnh nghÜa 1.14
CÊp cña *
n
Z lμ sè çc phÇn tö trong *
n
Z (ký hiÖu *
n
Z )
Theo ®Þnh nghÜa cña hμm Phi-Euler ta thÊy:
( )
n
Z*
n Φ
=
CÇn ®Ó ý r»ng nÕu *
n
Z
a ∈ vμ *
n
Z
b∈ th× *
n
Z
b
,
a ∈ vμ bëi vËy
*
n
Z lμ ®ãng ®èi víi phÐp nh©n.
1.3.13. §Þnh lý 1.10
Cho p lμ mét sè nguyªn tè:
(1) §Þnh lý Euler: NÕu *
n
Z
a ∈ th× ( ) ( )
n
mod
1
a n
≡
Φ
.
(2) NÕu n lμ tÝch cña çc sè nguyªn kh¸c nhau vμ nÕu
( )
( )
n
mod
s
r Φ
≡ th× ( )
n
mod
a
a s
r
≡ ®èi víi mäi sè nguyªn a. Nãi
mét çch kh¸c khi lμm viÖc víi modulo n th× çc sè mò cã thÓ ®−îc
rót gän theo modulo ).
n
(
Φ

1.3.14. §Þnh lý 1.11
Cho p lμ mét sè nguyªn tè:
(1) §Þnh lý Ferma: NÕu ( ) 1
p
,
a = th× ( )
p
mod
1
a 1
p
≡
−
.
(2) NÕu ( )
1
p
mod
s
r −
≡ th× ( )
p
mod
a
a s
r
≡ ®èi víi mäi sè
nguyªn a. Nãi mét çch kh¸c khi lμm viÖc víi modulo cña mét sè
nguyªn tè p th× çc luü thõa cã thÓ ®−îc rót gän theo modulo p - 1.
(3) §Æc biÖt ( )
p
mod
a
ap
≡ víi mäi sè nguyªn a.
1.3.15. §Þnh nghÜa 1.15
Cho *
n
Z
a ∈ . CÊp cña a (ký hiÖu lμ ( )
a
ord ) lμ sè nguyªn d−¬ng
nhá nhÊt t sao cho ( )
n
mod
1
at
≡ .
1.3.16. §Þnh nghÜa 1.16
Cho *
n
Z
a ∈ , ( ) t
a
ord = vμ ( )
n
mod
1
as
≡ khi ®ã t lμ −íc cña
s. §Æc biÖt ( )
n
t Φ .
VÝ dô: Cho n = 21, khi ®ã
{ }
20
,
19
,
17
,
16
,
13
,
11
,
10
,
8
,
5
,
4
,
2
,
1
Z*
21 =
Chó ý r»ng ( ) ( ) ( ) *
21
Z
12
3
7
21 =
=
Φ
Φ
=
Φ . CÊp cña çc
phÇn tö trong *
21
Z ®−îc nªu trong b¶ng sau:
B¶ng 13: CÊp cña çc phÇn tö trong *
21
Z
*
21
Z
a∈ 1 2 4 5 8 10 11 13 16 17 19 20
Ord(a) 1 6 3 6 2 6 6 2 3 6 6 2

20
1.3.17. §Þnh nghÜa 1.17
Cho *
n
Z
∈
α . NÕu cÊp cña α lμ ( )
n
Φ th× α ®−îc gäi lμ phÇn
tö sinh hay phÇn tö nguyªn thñy cña *
n
Z . NÕu *
n
Z cã mét phÇn tö
sinh th× *
n
Z ®−îc gäi lμ cyclic.
1.3.18. Çc tÝnh chÊt cña çc phÇn tö sinh cña
*
n
Z
(1)
*
n
Z cã phÇn tö sinh nÕu vμ chØ nÕu k
p
,
4
,
2
n = hoÆc lμ
k
p
2 , trong ®ã p lμ mét sè nguyªn tè lÎ vμ 1
k ≥ . §Æc biÖt, nÕu p lμ
mét sè nguyªn tè th×
*
n
Z cã phÇn tö sinh.
(2) NÕu α lμ mét phÇn tö sinh cña
*
n
Z th×:
( ) }
1
n
i
0
n
mod
{
Z i
*
n −
Φ
≤
≤
α
=
(3) Gi¶ sö r»ng α lμ mét phÇn tö sinh cña
*
n
Z , khi ®ã
n
mod
b i
α
= còng lμ mét phÇn tö sinh cña
*
n
Z nÕu vμ chØ nÕu
( )
( ) 1
n
,
i =
Φ . Tõ ®ã ta rót ra r»ng nÕu
*
n
Z lμ cyclic th× sè çc phÇn
tö sinh lμ ( )
( )
n
Φ
Φ .
(4)
*
n
Z
∈
α lμ mét phÇn tö sinh cña
*
n
Z nÕu vμ chØ nÕu
( ) ( )
n
mod
1
p
/
n
≠
αΦ
®èi víi mçi nguyªn tè p cña ( )
n
Φ .
VÝ dô:
*
21
Z kh«ng lμ cyclic v× nã kh«ng chøa mét phÇn tö cã
cÊp ( ) 12
21 =
Φ (Chó ý r»ng 21 kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn (1) ë trªn).
*
25
Z lμ cyclic vμ cã mét phÇn tö sinh 2
=
α .

1.3.19. §Þnh nghÜa 1.18
Cho *
n
Z
a ∈ , a ®−îc gäi lμ thÆng d− bËc hai modulo n (hay
b×nh ph−¬ng cña modulo n) nÕu tån t¹i *
n
Z
x ∈ sao cho
( )
n
mod
a
x2
≡ . NÕu kh«ng tån t¹i x nh− vËy th× a ®−îc gäi lμ thÆng
d− kh«ng bËc hai mod n. TËp tÊt c¶ çc thÆng d− bËc hai modulo
n ®−îc ký hiÖu lμ Qn, cßn tËp tÊt c¶ çc thÆng d− kh«ng bËc hai
®−îc ký hiÖu lμ n
Q . CÇn chó ý r»ng theo ®Þnh nghÜa *
n
Z
0∉ . Bëi
vËy n
Q
0 ∉ vμ n
Q
0∉ .
1.3.20. §Þnh lý 1.12
Cho p lμ mét sè nguyªn tè lÎ vμ α lμ mét phÇn tö sinh cña
*
p
Z . Khi ®ã *
p
Z
a ∈ lμ mét thÆng d− bËc hai modulo p nÕu vμ chØ
nÕu p
mod
a i
α
= , trong ®ã i lμ mét sè nguyªn ch½n. Tõ ®ã rót ra
r»ng
( )
2
1
p
Qp
−
= vμ
( )
2
1
p
Qp
−
= , tøc lμ mét nöa sè phÇn tö trong
*
p
Z lμ çc thÆng d− bËc hai vμ nöa cßn l¹i thÆng d− kh«ng bËc hai.
VÝ dô: 6
=
α lμ mét phÇn tö sinh cña
*
13
Z . Çc lòy thõa cña
α ®−îc liÖt kª ë b¶ng sau:
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
αi
mod 13 1 6 10 8 9 2 12 7 3 5 4 11
Bëi vËy }
11
,
8
,
7
,
6
,
5
,
2
{
Q
},
12
,
10
,
9
,
4
,
3
,
1
{
Q 13
13 =
= .
1.3.21. §Þnh lý 1.13
Cho n lμ tÝch cña hai sè nguyªn tè lÎ kh¸c nhau q vμ p,
n = p.q, khi ®ã *
n
Z
a ∈ lμ mét thÆng d− bËc hai modulo n nÕu vμ chØ
nÕu p
Q
a ∈ vμ p
Q
a ∈ . §iÒu ®ã dÉn tíi
( )( )
4
1
q
1
p
Q
.
Q
Q p
q
n
−
−
=
=

22
vµ
( )( )
4
1
q
1
p
3
Qn
−
−
=
VÝ dô: Cho n = 21. Khi ®ã
}
16
,
4
,
1
{
Q21 = }
20
,
19
,
17
,
13
,
11
,
10
,
8
,
5
,
2
{
Q21 =
1.3.22. §Þnh nghÜa 1.19
Cho n
Q
a ∈ . NÕu *
n
Z
x ∈ tháa m·n ( )
n
mod
a
x2
≡ th× x ®−îc gäi
lμ c¨n bËc hai cña a mod n.
1.3.23. §Þnh lý 1.14 (Sè çc c¨n bËc hai)
(1) NÕu p lμ mét sè nguyªn tè lÎ vμ n
Q
a ∈ th× a ®−îc gäi lμ
c¨n bËc hai theo modulo p.
(2) Tæng qu¸t h¬n, cho k
2
1 e
k
e
2
e
1 p
p
p
n K
= , trong ®ã pi lμ çc sè
nguyªn tè lÎ ph©n biÖt vμ 1
ei ≥ . NÕu n
Q
a ∈ th× cã ®óng 2k
c¨n bËc
hai kh¸c nhau theo modulo n.
VÝ dô: Çc c¨n bËc 2 cña 12 mod 37 lμ 7 vμ 30. Çc c¨n bËc 2
cña 121 mod 315 lμ 11, 74, 101, 151, 164, 214, 241 vμ 304.
1.4. Çc thuËt to¸n trong Zn
Cho n lμ mét sè nguyªn d−¬ng. Çc phÇn tö cña Zn sÏ ®−îc
biÓu thÞ bëi çc sè nguyªn { }
1
n
...,
,
2
,
1
,
0
Q21 −
= .
Ta thÊy r»ng, nÕu n
Z
b
,
a ∈ th×
( )
⎩
⎨
⎧
≥
+
−
+
<
+
+
=
+
n
b
a
r
b
a
n
b
a
b
a
n
mod
b
a
Bëi vËy phÐp céng (vμ trõ) theo modulo cã thÓ thùc hiÖn ®−îc
mμ kh«ng cÇn phÐp chia dμi. PhÐp nh©n modulo cña a vμ b cã thÓ
®−îc thùc hiÖn b»ng çch nh©n çc sè nguyªn th«ng th−êng råi lÊy

phÇn d− cña kÕt qu¶ sau khi chia cho n. Çc phÇn tö nghÞch ®¶o
trong Zn cã thÓ ®−îc tÝnh b»ng çch dïng thuËt to¸n Euclide më
réng ®−îc m« t¶ d−íi ®©y:
1.4.1. ThuËt to¸n (TÝnh çc nghÞch ®¶o trong Zn)
Vμo : n
Z
a ∈ .
Ra : n
mod
a 1
−
(nÕu tån t¹i).
(1) Dïng thuËt to¸n Euclide më réng ®Ó t×m çc sè nguyªn x
vμ y sao cho ax + ny = d trong ®ã d = (a,n).
(2) NÕu d > 1 th× a−1
mod n kh«ng tån t¹i. Ng−îc l¹i return (x).
PhÐp lòy thõa theo modulo cã thÓ ®−îc thùc hiÖn cã hiÖu qu¶
b»ng thuËt to¸n nh©n vμ b×nh ph−¬ng cã lÆp. §©y lμ mét thuËt
to¸n rÊt quan träng trong nhiÒu thñ tôc mËt m·. Cho biÓu diÔn
nhÞ ph©n cña k lμ:
∑
=
t
0
i
i
i 2
k trong ®ã mçi { }
1
,
0
ki ∈ khi ®ã
( ) ( ) ( ) t
t
1
1
0
0
i
k
2
k
2
k
2
t
0
i
i
k
k
a
a
a
2
a
a K
=
= ∏
=
1.4.2. ThuËt to¸n nh©n vμ b×nh ph−¬ng cã lÆp ®Ó lÊy luü
thõa trong Zn
Vμo: n
Z
a ∈ vμ sè nguyªn ( )
n
k
0
,
k <
≤ cã biÓu diÔn nhÞ ph©n:
∑
=
=
t
0
i
i
i 2
k
k
Ra: ak
mod n.
(1) §Æt 1
b ← . NÕu k = 0 th× return (b).
(2) §Æt a
A ← .

24
(3) NÕu k0 = 1 th× ®Æt a
b ← .
(4) For i from 1 to t do
(4.1) §Æt n
mod
A
A 2
←
(4.2) NÕu 1
ki = th× ®Æt n
mod
b
.
A
b ←
(5) Return (b).
VÝ dô: B¶ng 1.4 sau chØ ra çc b−íc tÝnh to¸n
1013
1234
mod
5596
=
B¶ng 1.4: TÝnh 5596
mod 1234
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
ki 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1
A 5 25 625 681 1011 369 421 779 947 925
b 1 1 625 625 67 67 1059 1059 1059 1013
Sè çc phÐp to¸n bit ®èi víi phÐp to¸n c¬ b¶n trong Zn ®−îc
tãm l−îc trong b¶ng 1.5.
B¶ng 1.5: §é phøc t¹p bit cña çc phÐp to¸n c¬ b¶n trong Zn
PhÐp to¸n §é phøc t¹p bit
Céng modulo a + b 0(lgn)
Trõ modulo a - b 0(lgn)
Nh©n modulo a.b 0((lgn)2
)
NghÞch ®¶o modulo a-1
mod n 0((lgn)2
)
Lòy thõa modulo ak
mod n, k < n 0((lgn)3
)
1.5. çc ký hiÖu legendre vμ jacobi
Ký hiÖu Legendre lμ mét c«ng cô h÷u Ých ®Ó xem xÐt liÖu mét
sè nguyªn a cã lμ mét thÆng d− bËc hai theo modulo cña mét sè
nguyªn tè p hay kh«ng?

1.5.1. §Þnh nghÜa 1.20
Cho p lμ mét sè nguyªn tè lÎ vμ a lμ mét sè nguyªn. Ký hiÖu
legendre ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
p
a
®−îc x¸c ®Þnh nh− sau:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∈
−
∈
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
p
p
Q
a
1
Q
a
1
a
p
0
p
a
1.5.2. C¸c tÝnh chÊt cña ký hiÖu Legendre
Cho p lμ mét sè nguyªn tè lÎ vμ Z
b
,
a ∈ . Khi ®ã ký hiÖu
Legendre cã c¸c tÝnh chÊt sau:
(1) ( ) ( )
p
mod
a
p
a 2
/
1
p−
≡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
. §Æc biÖt 1
p
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
vμ ( )( ) 2
/
1
p
1
p
1 −
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
Bëi vËy p
Q
1∈
− nÕu ( )
4
mod
1
p ≡ vμ p
Q
1∈
− nÕu ( )
4
mod
3
p ≡
(2) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
p
b
.
p
a
p
b
.
a
. Bëi vËy nÕu *
p
Z
a ∈ th× 1
p
a2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
.
(3) NÕu ( )
p
mod
b
a ≡ th× ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
p
b
p
a
.
(4) ( )( ) 8
/
1
p2
1
p
2 −
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
. Bëi vËy 1
p
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
nÕu 1
p ≡ hoÆc 7(mod 8)
vμ 1
p
2
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
nÕu 3
p ≡ hoÆc 5(mod 8).
(5) LuËt thuËn nghÞch bËc 2:
Gi¶ sö p lμ mét sè nguyªn tè lÎ kh¸c víi q, khi ®ã:
( )( )( ) 4
/
1
q
1
p
1
p
q
q
p −
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

26
Nãi mét çch kh¸c ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
p
q
q
p
trõ phi c¶ p vμ q lμ ®ång d− víi
3(mod 4), trong tr−êng hîp nμy ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
p
q
q
p
.
DÊu hiÖu Jacobi lμ tæng qu¸t ho¸ cña ký hiÖu Legendre ®èi
víi çc sè nguyªn lÎ n kh«ng nhÊt thiÕt lμ mét sè nguyªn tè.
1.5.3. §Þnh nghÜa 1.21
Cho 3
n ≥ lμ çc sè nguyªn tè lÎ cã ph©n tÝch:
.
p
p
.
p
n k
2
1 e
k
e
2
e
1 K
= Khi ®ã ký hiÖu Jacobi ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
n
a
®−îc ®Þnh nghÜa
lμ:
k
2
1 e
k
e
2
e
1 p
a
p
a
p
a
n
a
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
K
Ta thÊy r»ng nÕu n lμ mét sè nguyªn tè th× ký hiÖu Jacobi
chÝnh lμ ký hiÖu Legendre.
1.5.4. Çc tÝnh chÊt cña ký hiÖu Jacobi
Cho 3
n ≥ lμ çc sè nguyªn tè lÎ Z
b
,
a ∈ . Khi ®ã ký hiÖu
Jacobi cã çc tÝnh chÊt sau:
(1) 1
,
0
n
a
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
hoÆc -1. H¬n n÷a 0
n
a
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
nÕu vμ chØ nÕu
¦CLN(a,n) ≠ 1.
(2) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
n
b
.
n
a
n
b
.
a
. Bëi vËy *
n
Z
a ∈ th× 1
n
a2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
.
(3) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
n
a
.
m
a
n
.
m
a
.

(4) NÕu a ≡ b(mod n) th× ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
n
b
n
a
.
(5) 1
n
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
.
(6) ( )( ) 2
/
1
n
1
n
1 −
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− . Bëi vËy 1
n
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− nÕu ( )
4
mod
1
n ≡
1
n
1
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− nÕu ( )
4
mod
3
n ≡
(7) ( )( ) 8
/
1
n2
1
n
2 −
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
. Bëi vËy 1
n
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
nÕu 1
n ≡ hoÆc ( )
8
mod
7
1
n
2
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
nÕu 3
n ≡ hoÆc ( )
8
mod
5
(8) ( )( )( ) 4
/
1
n
1
m
1
m
n
n
m −
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Nãi mét çch kh¸c ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
m
n
n
m
trõ phi c¶ hai sè m vμ n ®Òu
®ång d− víi ( )
4
mod
3 , trong tr−êng hîp nμy ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
m
n
n
m
.
Tõ çc tÝnh chÊt cña ký hiÖu Jacobi ta thÊy r»ng n lÎ vμ a =
2e
a1 trong ®ã a1 lμ mét sè lÎ th×:
( )( )( ) 4
/
1
n
1
a
1
1
e
1
e
1
1
a
a
mod
n
n
2
n
a
n
2
n
a −
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Tõ c«ng thøc nμy ta cã thÓ x©y dùng thuËt to¸n ®Ö quy sau
®Ó tÝnh ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
n
a
mμ kh«ng cÇn ph¶i ph©n tÝch n ra çc thõa sè nguyªn tè.

28
1.5.5. ThuËt to¸n tÝnh to¸n ký hiÖu Jacobi (vμ ký hiÖu
Legendre)
Jacobi (a, n)
Vμo : Sè nguyªn lÎ 3
n ≥ , sè nguyªn ( )
n
a
0
,
a ≤
≤
Ra : Ký hiÖu Jacobi ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
n
a
(SÏ lμ ký hiÖu Legendre khi n lμ sè
nguyªn tè)
(1) NÕu a = 0 th× return (0)
(2) NÕu a = 1 th× return (1)
(3) ViÕt a = 2e
a1, trong ®ã a1 lμ mét sè lÎ
(4) NÕu e ch½n th× ®Æt 1
s ← . Ng−îc l¹i h·y ®Æt 1
s ← nÕu
n = 1 hoÆc 7(mod 8)
(5) NÕu ( )
4
mod
3
n ≡ vμ ( )
4
mod
3
a1 ≡ th× ®Æt s
s −
←
(6) §Æt 1
1 a
mod
n
r ←
(7) Return ( )
( )
1
1 a
,
n
JACOBI
.
s
ThuËt to¸n trªn cã thêi gian ch¹y chõng ( ) )
n
lg
(
0
2
çc phÐp
to¸n bit.
1.5.6. NhËn xÐt (t×m çc thÆng d− bËc hai theo modulo cña
sè nguyªn tè p)
Cho p lμ mét sè nguyªn tè lÎ. MÆc dï ®· biÕt r»ng mét nöa
çc phÇn tö trong
*
p
Z lμ çc thÆng d− kh«ng bËc hai theo modulo
p nh−ng kh«ng cã mét thuËt to¸n x¸c ®Þnh theo thêi gian ®a thøc
nμo ®−îc biÕt ®Ó t×m.
Mét thuËt to¸n ngÉu nhiªn t×m mét thÆng d− kh«ng bËc hai
lμ chän ngÉu nhiªn çc sè nguyªn *
p
Z
a ∈ cho tíi khi sè ®ã tháa

m·n 1
p
a
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
. PhÐp lÆp ®èi víi sè ®−îc chän tr−íc khi t×m ®−îc
mét thÆng d− bËc hai lμ 2 vμ bëi vËy thuËt to¸n ®−îc thùc hiÖn
theo thêi gian ®a thøc.
1.5.7. VÝ dô tÝnh to¸n ký hiÖu Jacobi
Cho a = 158 vμ n = 235. ThuËt to¸n trªn tÝnh ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
235
158
nh− sau:
( ) ( )
( ) 1
77
2
1
79
77
79
77
1
79
235
1
235
79
235
2
235
158
4
/
78
.
76
4
/
234
.
78
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Kh¸c víi ký hiÖu Legendre, ký hiÖu Jacobi ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
n
a
kh«ng cho
biÕt liÖu a cã ph¶i lμ mét thÆng d− bËc 2 theo modulo n hay kh«ng.
Sù thùc lμ nÕu n
Q
a ∈ th× 1
n
a
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
. Tuy nhiªn 1
n
a
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
th× kh«ng cã
nghÜa lμ .
Q
a n
∈
1.5.8. VÝ dô (Çc thÆng d− bËc 2 vμ kh«ng bËc 2)
B¶ng 1.6: Çc ký hiÖu Jacobi cña çc phÇn tö trong
*
21
Z
*
21
Z
a∈ 1 2 4 5 8 10 11 13 16 17 19 20
a2
mod n 1 4 16 4 1 16 16 1 4 16 4 1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3
a 1 −1 1 −1 −1 1 −1 1 1 −1 1 −1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
7
a 1 1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 −1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
21
a 1 −1 1 1 −1 −1 −1 −1 1 1 −1 −1

30
B¶ng 1.6 liÖt kª çc phÇn tö trong
*
21
Z vμ çc ký hiÖu Jacobi
cña chóng. Tõ vÝ dô trong phÇn c ta cã }
16
,
4
,
1
{
Q21 = . Ta thÊy
r»ng 1
21
5
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
nh−ng 21
Q
5∉ .
1.5.9. §Þnh nghÜa 1.22
Cho 3
n ≥ lμ çc sè nguyªn tè lÎ vμ cho
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∈
= 1
n
a
Z
a
J *
n
n
tËp çc thÆng d− gi¶ bËc 3 theo modulo n (Ký hiÖu n
Q̂ ) ®−îc ®Þnh
nghÜa lμ tËp n
n Q
J − .
1.5.10. §Þnh lý 1.15
Cho q
.
p
n = lμ tÝch cña hai sè nguyªn tè lÎ kh¸c nhau. Khi ®ã
( )( ) 4
/
1
q
1
p
Q
~
Q n
n −
−
=
= tøc lμ mét nöa çc phÇn tö trong n
J lμ
çc thÆng d− gi¶ bËc hai.
1.6. Çc sè nguyªn blum
1.6.1. §Þnh nghÜa 1.23
Sè nguyªn Blum lμ mét hîp sè cã d¹ng q
.
p
n = , trong ®ã p
vμ q lμ çc sè nguyªn tè kh¸c nhau vμ tháa m·n:
4
mod
3
q
4
mod
3
p
≡
≡
1.6.2. §Þnh lý 1.16
Cho n = p.q lμ mét sè nguyªn Blum vμ cho n
Q
a ∈ . Khi ®ã a
cã ®óng 4 c¨n bËc hai modulo n vμ chØ cã mét sè n»m trong Qn.

1.6.3. §Þnh nghÜa 1.24
Cho n lμ mét sè nguyªn Blum vμ cho n
Q
a ∈ . C¨n bËc hai duy
nhÊt cña a n»m trong Qn ®−îc gäi lμ c¨n bËc hai chÝnh a mod n.
1.6.4. VÝ dô (Sè nguyªn Blum)
§èi víi sè nguyªn Blum n = 21. Ta cã }
20
,
17
,
16
,
5
,
4
,
1
{
Jn = vμ
}
20
,
17
,
5
{
Q
~
n = . Bèn c¨n bËc 2 cña a = 4 lμ 2, 5, 16 vμ 19, trong ®ã
chØ cã 16 lμ còng n»m trong Qn. Bëi vËy 16 lμ c¨n bËc 2 chÝnh cña
4 mod 21.
1.6.5. §Þnh lý 1.17
NÕu n = p.q lμ mét sè nguyªn Blum th× ¸nh x¹.
n
n Q
Q
:
f → ®−îc x¸c ®Þnh bëi ( ) n
mod
x
x
f 2
= lμ mét phÐp
ho¸n vÞ.
¸nh x¹ ng−îc cña f lμ: ( ) ( )( )
( ) n
mod
x
x
f 8
/
4
1
q
1
p
1 +
−
−
−
= .
Bμi tËp
1. Sö dông thuËt to¸n Euclide më réng ®Ó t×m −íc chung lín
nhÊt cña hai sè a = 1573, b = 308.
2. H·y tÝnh 322
mod 23 b»ng çch dïng thuËt to¸n nh©n vμ
b×nh ph−¬ng cã lÆp.
3. H·y tÝnh çc c¨n bËc hai cña 12 mod 37.
4. T×m tÊt c¶ çc phÇn tö nguyªn thñy cña nhãm nh©n *
19
Z .
5. T×m phÇn tö nghÞch ®¶o cña 3 trong *
31
Z .
6. Víi m, n, s ∈ N vμ i
p lμ çc sè nguyªn tè. H·y chøng minh
çc tÝnh chÊt sau cña hμm ϕ-Euler

32
a. ( )
s s 1
p p 1
p
⎛ ⎞
ϕ = −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
b. ( ) ( ) ( )
m,n m n
ϕ = ϕ ϕ nÕu ¦CLN (m,n) = 1.
c. ( )
1 r
1 1
n m 1 ... 1
p p
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
ϕ = − −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
trong ®ã 1 1
e e
r
1
m p ...p
= lμ
ph©n tÝch cña m thμnh tÝch cña thõa sè nguyªn tè.
7. H·y tÝnh ϕ(490) vμ ϕ(768).
8. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ®ång d− sau:
5x ≡ 20 mod 6
5x ≡ 6 mod 5
4x ≡ 5 mod 77.
9. H·y dïng thuËt to¸n Euclide më réng ®Ó tÝnh çc phÇn tö
nghÞch ®¶o sau:
a. 17−1
mod 101
b. 357−1
mod 1234
c. 3125−1
mod 9987.
10. Ta nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt cña çc phÇn tö
nguyªn thñy:
a. 97 lμ mét sè nguyªn tè. H·y chøng minh r»ng x 0
≠ lμ mét
phÇn tö nguyªn thuû theo modulo 97 khi vμ chØ khi:
x32
≡ 1 mod 97 vμ x48
≡ 1 mod 97
b. H·y dïng ph−¬ng ph¸p nμy ®Ó t×m phÇn tö nguyªn thñy
nhá nhÊt theo modulo 97.
c. Gi¶ sö p lμ mét sè nguyªn tè vμ p − 1 cã ph©n tÝch ra lòy
thõa cña çc nguyªn tè sau:

i
n
e
i
i 1
p 1 p
=
− = ∏
ë ®©y pi lμ c¸c sè nguyªn tè kh¸c nhau. H·y chøng tá r»ng
x 0
≠ lμ mét phÇn tö nguyªn thñy theo modulo p khi vμ chØ khi
( ) i
p 1 p
x 1modp
−
≠ víi 1 i n
≤ ≤ .

®¹i sè trõu t−îng
2.1. Nhãm
2.1.1. PhÐp to¸n hai ng«i
§Þnh nghÜa 2.1: PhÐp to¸n hai ng«i * trªn tËp S lμ mét ¸nh
x¹ tõ S
x
S vμo S. Tøc lμ * lμ mét quy t¾c g¸n mçi cÆp ®−îc s¾p
c¸c phÇn tö trong S víi mét phÇn tö cña S.
2.1.2. §Þnh nghÜa nhãm
Nhãm ( )
*
,
G chøa tËp G lμ mét phÐp to¸n hai ng«i * trong G
tho¶ m·n ba tiªn ®Ò sau:
(1) PhÐp to¸n nhãm kÕt hîp. Tøc lμ:
( ) ( ) G
c
,
b
,
a
c
*
b
*
a
c
*
b
*
a ∈
∀
= .
(2) Cã mét phÇn tö G
1∈ ®−îc gäi lμ phÇn tö ®¬n vÞ tháa m·n.
G
a
a
*
1
1
*
a ∈
∀
=
(3) Víi mçi G
a ∈ , tån t¹i mét phÇn tö G
a 1
∈
−
®−îc gäi lμ
ng−îc cña a sao cho 1
a
*
a
a
*
a 1
1
=
= −
−
(4) Nhãm ®−îc gäi lμ giao ho¸n (hay nhãm Abel) nÕu
G
,
b
,
a
a
*
b
b
*
a ∈
∀
=
CÇn chó ý r»ng kh¸i niÖm nhãm nh©n ®· ®−îc sö dông cho
phÐp to¸n nhãm ë trªn. NÕu phÐp to¸n nhãm lμ phÐp céng th×
nhãm ®−îc gäi lμ nhãm céng, phÇn tö ®¬n vÞ cña nhãm nμy ®−îc
ký hiÖu lμ 0, cßn phÇn tö ng−îc cña a ®−îc ký hiÖu lμ −a.

36
2.1.3. Nhãm h÷u h¹n
§Þnh nghÜa 2.2: Nhãm G h÷u h¹n nÕu G lμ h÷u h¹n. Sè çc
phÇn tö cña nhãm G ®−îc gäi lμ cÊp cña nhãm.
VÝ dô vÒ nhãm:
- TËp çc sè nguyªn Z víi phÐp to¸n céng sÏ t¹o nªn mét
nhãm. PhÇn tö ®¬n vÞ cña nhãm nμy lμ 0, phÇn tö ng−îc cña mét
sè nguyªn a lμ sè nguyªn −a.
- TËp n
Z víi phÐp céng modulo n t¹o nªn mét nhãm cÊp n.
TËp n
Z víi phÐp to¸n nh©n theo modulo n kh«ng ph¶i lμ mét
nhãm v× kh«ng ph¶i mäi phÇn tö cña nhãm ®Òu cã nghÞch ®¶o
(phÇn tö ng−îc cña phÐp nh©n). Tuy nhiªn tËp
*
n
Z sÏ lμ mét
nhãm cÊp ( )
n
Φ víi phÐp to¸n nh©n theo modulo n vμ cã phÇn tö
®¬n vÞ lμ 1.
2.1.4. Nhãm con
§Þnh nghÜa 2.3: Mét tËp con kh«ng trèng H cña nhãm G ®−îc
gäi lμ mét nhãm con cña G nÕu H lμ mét nhãm víi phÐp to¸n
nhãm t−¬ng øng trong G. NÕu H lμ mét nhãm con cña G vμ G
H ≠
th× H ®−îc gäi lμ nhãm con thùc sù cña nhãm G.
2.1.5. Nhãm Xyclic
2.1.5.1. §Þnh nghÜa 2.4: Nhãm G ®−îc gäi lμ nhãm xyclic nÕu tån
t¹i mét phÇn tö G
∈
α sao cho víi mçi G
b∈ cã mét sè nguyªn i víi
i
b α
= . PhÇn tö α nh− vËy ®−îc gäi lμ phÇn tö sinh cña G.
2.1.5.2. §Þnh lý 2.1:
NÕu G lμ mét nhãm vμ G
a ∈ th× tËp tÊt c¶ çc lòy thõa cña a
sÏ t¹o nªn mét nhãm con xyclic cña G. Nhãm nμy ®−îc gäi lμ nhãm
con sinh bëi a vμ ®−îc ký hiÖu lμ a .

Ch−¬ng 2: §¹i sè trõu t−îng 37
2.1.6. CÊp cña mét phÇn tö
2.1.6.1. §Þnh nghÜa 2.5
Cho G lμ mét nhãm vμ G
a ∈ . CÊp cña a ®−îc x¸c ®Þnh b»ng
sè nguyªn d−¬ng t nhá nhÊt ®¶m b¶o at
= 1. NÕu kh«ng tån t¹i t
nh− vËy th× cÊp cña a ®−îc coi lμ ∞ .
2.1.6.2. §Þnh lý 2.2
Cho G lμ mét nhãm vμ G
a ∈ lμ mét phÇn tö cã cÊp t h÷u
h¹n. Khi ®ã a (lùc l−îng cña nhãm con sinh bëi a) b»ng t.
2.1.6.3. §Þnh lý 2 (Lagrange)
NÕu G lμ mét nhãm h÷u h¹n vμ H lμ mét nhãm con cña G,
khi ®ã H lμ −íc cña G . Bëi vËy, nÕu G
a ∈ th× cÊp cña a lμ −íc
cña G .
2.1.6.4. §Þnh lý 2.4
Mäi nhãm con cña mét nhãm xyclic ®Òu lμ nhãm xyclic. NÕu
G lμ mét nhãm xyclic cÊp n th× ®èi víi mçi −íc d−¬ng d cña n, G sÏ
chøa ®óng mét nhãm con cÊp d.
2.1.6.5. §Þnh lý
Cho G lμ mét nhãm.
(1) NÕu cÊp cña mét phÇn tö G
a ∈ lμ t th× cÊp cña k
a lμ
t/¦CLN(t,k).
(2) NÕu G lμ mét nhãm xyclic cÊp n vμ n
d th× G cã ®óng
( )
d
Φ phÇn tö cã cÊp d. §Æc biÖt G cã ( )
n
Φ phÇn tö sinh.
VÝ dô: XÐt nhãm nh©n { }
18
...,
,
2
,
1
Z*
19 = cã cÊp 18. Nhãm nμy
lμ nhãm xyclic vμ cã mét phÇn tö sinh lμ 2
=
α . C¸c nhãm con cña
*
19
Z vμ c¸c phÇn tö sinh cña chóng ®−îc liÖt kª ë b¶ng sau:

38
B¶ng 2.1: Çc nhãm con cña
*
19
Z
Nhãm con Çc phÇn tö sinh CÊp
{1} 1 1
{1,18} 18 2
{1,7,11} 7,11 3
{1,7,8,11,12,18} 8,12 6
{1,4,5,6,7,9,11,16,17} 4,5,6,9,16,17 9
{1,2,3,...,18} 2,3,10,13,14,15 18
2.2. Vμnh
2.2.1. §Þnh nghÜa 2.6
Vμnh ( )
×
+,
,
R chøa tËp R víi hai phÐp to¸n hai ng«i (®−îc ký
hiÖu lμ + (céng) vμ × (nh©n)) trong R tháa m·n çc tiªn ®Ò sau:
(1) ( )
+
,
R lμ mét nhãm Aben víi phÇn tö ®¬n vÞ 0.
(2) PhÐp to¸n × lμ kÕt hîp. Tøc lμ:
( ) ( ) R
c
,
b
,
a
c
b
a
c
b
a ∈
∀
×
×
=
×
×
(3) Tån t¹i phÇn tö ®¬n vÞ cña phÐp nh©n (phÇn tö 1), víi
0
1 ≠ sao cho:
R
a
a
1
a
a
1 ∈
∀
=
×
=
×
(4) PhÐp × lμ ph©n phèi ®èi víi phÐp +. Tøc lμ:
( ) ( ) ( )
c
a
b
a
c
b
a ×
+
×
=
+
×
vμ ( ) ( ) ( ) R
c
,
b
,
a
a
c
a
b
a
c
b ∈
∀
×
+
×
=
×
+
Vμnh ®−îc gäi lμ giao ho¸n nÕu R
b
,
a
a
b
b
a ∈
∀
×
=
× .
2.2.2. Çc vÝ dô
- TËp çc sè nguyªn Z víi çc phÐp to¸n céng vμ nh©n th«ng
th−êng lμ mét vμnh giao ho¸n.

- TËp Zn víi phÐp céng vμ phÐp nh©n ®−îc thùc hiÖn theo
modulo n lμ mét vμnh giao ho¸n.
2.2.3. §Þnh nghÜa 2.7
Mét phÇn tö R
a ∈ ®−îc gäi lμ mét phÇn tö kh¶ nghÞch nÕu cã
mét phÇn tö b thuéc R sao cho 1
b
a =
× .
2.2.4. §Þnh lý 2.6
TËp çc phÇn tö kh¶ nghÞch trong mét vμnh R sÏ t¹o nªn mét
nhãm víi phÐp nh©n ®−îc gäi lμ nhãm çc ®¬n vÞ cña R.
VÝ dô: Nhãm çc ®¬n vÞ cña vμnh n
Z lμ *
n
Z .
2.3. Tr−êng
2.3.1. §Þnh nghÜa 2.8
Tr−êng lμ mét vμnh giao ho¸n trong ®ã mäi phÇn tö kh¸c
kh«ng ®Òu cã phÇn tö nghÞch ®¶o (ng−îc cña phÐp nh©n).
2.3.2. §Æc sè cña tr−êng
§Þnh nghÜa 2.9: §Æc sè cña mét tr−êng lμ 0 nÕu 4
43
4
42
1 K
n
Ç
l
m
1
1
1 +
+
+
kh«ng b»ng 0 víi bÊt kú 1
m ≥ . Ng−îc l¹i, ®Æc sè cña tr−êng lμ sè
nguyªn d−¬ng nhá nhÊt m sao cho 0
1
m
1
i
=
∑
=
.
VÝ dô: TËp çc sè nguyªn víi çc phÐp to¸n céng vμ nh©n
th«ng th−êng kh«ng ph¶i lμ mét tr−êng v× chØ cã çc sè nguyªn
kh¸c kh«ng 1 vμ −1 lμ cã nghÞch ®¶o. Tuy nhiªn, çc sè h÷u tû Q,
çc sè thùc R vμ çc sè phøc C l¹i lμ çc tr−êng cã ®Æc sè 0 víi çc
phÐp to¸n th«ng th−êng.
2.3.3. §Þnh lý 2.7
n
Z lμ mét tr−êng (víi çc phÐp to¸n céng vμ nh©n theo
modulo n) nÕu vμ chØ nÕu n lμ sè nguyªn tè. NÕu n lμ mét sè
nguyªn tè th× n
Z cã ®Æc sè n.

40
2.3.4. §Þnh lý 2.8
NÕu ®Æc sè m cña tr−êng kh«ng b»ng kh«ng th× m ph¶i lμ sè
nguyªn tè.
2.3.5. §Þnh nghÜa 2.10
Mét tËp con F cña tr−êng E lμ mét tr−êng con cña E nÕu F lμ
mét tr−êng cïng víi çc phÐp to¸n trong E. Khi ®ã E ®−îc gäi lμ
tr−êng më réng cña F.
2.3.6. Tr−êng h÷u h¹n
2.3.6.1. §Þnh nghÜa 2.11
Tr−êng h÷u h¹n lμ mét tr−êng F cã chøa mét sè h÷u h¹n çc
phÇn tö. CÊp cña tr−êng F lμ sè çc phÇn tö trong F.
2.3.6.2. Çc tÝnh chÊt c¬ b¶n
a. §Þnh lý 2.9: Sù tån t¹i vμ tÝnh duy nhÊt cña çc tr−êng h÷u h¹n.
- NÕu F lμ mét tr−êng h÷u h¹n th× F chøa
m
p phÇn tö víi p
lμ mét sè nguyªn tè nμo ®ã vμ m lμ mét sè nguyªn d−¬ng ( )
1
m ≥ .
- Víi mçi gi¸ trÞ
m
p tån t¹i duy nhÊt mét tr−êng h÷u h¹n
cÊp
m
p . Tr−êng nμy ®−îc ký hiÖu lμ ( )
m
p
GF .
Hai tr−êng ®−îc gäi lμ ®¼ng cÊu nÕu chóng gièng nhau vÒ mÆt
cÊu tróc mÆc dï çch biÓu diÔn çc phÇn tö cã thÓ lμ kh¸c nhau.
CÇn chó ý r»ng nÕu p lμ mét sè nguyªn tè th× Zp lμ mét
tr−êng vμ bëi vËy mäi tr−êng cÊp p ®Òu ®¼ng cÊu víi Zp.
b. §Þnh lý 2.10:
NÕu q
F lμ mét tr−êng h÷u h¹n cÊp m
p
q = , p - sè nguyªn tè,
th× ®Æc sè cña q
F lμ p. H¬n n÷a q
F chøa Zp lμ mét tr−êng con. Bëi
vËy q
F cã thÓ ®−îc xem lμ më réng tr−êng bËc m cña Zp.

c. §Þnh lý 2.11: C¸c tr−êng con cña mét tr−êng h÷u h¹n
Cho Fq lμ mét tr−êng h÷u h¹n cÊp m
p
q = . Khi ®ã mçi tr−êng
con cña Fq cã cÊp
n
p víi n lμ −íc d−¬ng cña m. Ng−îc l¹i, nÕu n lμ
mét −íc d−¬ng cña m th× cã ®óng mét tr−êng con cña q
F cã cÊp
n
p , phÇn tö q
F
a ∈ lμ n»m trong tr−êng con ( )
n
p
F nÕu vμ chØ nÕu
a
a
n
p
= .
d. §Þnh nghÜa 2.12:
C¸c phÇn tö kh¸c kh«ng cña q
F t¹o nªn mét nhãm víi phÐp
nh©n ®−îc gäi lμ nhãm nh©n cña q
F vμ ®−îc ký hiÖu lμ *
q
F .
e. §Þnh lý 2.12:
*
q
F lμ nhãm nh©n cyclic cÊp 1
q − . Bëi vËy a
aq
= víi q
F
a ∈
∀ .
f. §Þnh nghÜa 2.13:
PhÇn tö sinh cña nhãm cyclic *
q
F ®−îc gäi lμ phÇn tö nguyªn
thñy hay phÇn tö sinh cña q
F .
g. §Þnh lý 2.13:
NÕu q
F
b
,
a ∈ lμ mét tr−êng h÷u h¹n ®Æc sè p, khi ®ã:
( ) 0
t
b
a
b
a
t
t
t
p
p
p
≥
∀
+
=
+ .
2.4. Vμnh ®a thøc
2.4.1. §Þnh nghÜa ®a thøc
NÕu R lμ mét vμnh giao ho¸n th× mét ®a thøc cña biÕn x trªn
vμnh R lμ mét biÓu thøc cã d¹ng:
( ) 0
1
2
2
n
n a
x
a
x
a
x
a
x
f +
+
+
+
= K

42
Trong ®ã R
ai ∈ vμ 0
n ≥ . PhÇn tö i
a ®−îc gäi lμ hÖ sè cña i
x
trong f(x).
Sè nguyªn lín nhÊt m sao cho 0
am ≠ ®−îc gäi lμ bËc cña f(x)
vμ ®−îc ký hiÖu lμ degf(x), m
a ®−îc gäi lμ hÖ sè cao nhÊt cña f(x).
NÕu f(x) = a0 (®a thøc h»ng sè) vμ 0
a0 ≠ th× f(x) cã bËc 0. NÕu tÊt
c¶ çc hÖ sè cña f(x) lμ 0 th× f(x) ®−îc gäi lμ ®a thøc kh«ng vμ bËc
cña nã (®Ó thuËn tiÖn vÒ mÆt to¸n häc) ®−îc x¸c ®Þnh b»ng ∞
− .
§a thøc f(x) ®−îc gäi lμ ®Þnh chuÈn nÕu hÖ sè cao nhÊt cña nã
b»ng 1.
2.4.2. Vμnh ®a thøc
- §Þnh nghÜa 2.14: NÕu R lμ mét vμnh giao ho¸n th× vμnh
®a thøc [ ]
x
R lμ mét vμnh ®−îc t¹o bëi tÊt c¶ çc ®a thøc cña biÕn
x cã çc hÖ sè trong R. Hai phÐp to¸n lμ phÐp céng ®a thøc vμ
nh©n ®a thøc th«ng th−êng víi sè häc çc hÖ sè ®−îc thùc hiÖn
trong vμnh R.
- VÝ dô vμnh ®a thøc:
Cho ( ) 1
x
x
x
f 3
+
+
= vμ ( ) x
x
x
g 2
+
= lμ çc phÇn tö cña vμnh
®a thøc [ ]
x
Z2 . Çc phÐp to¸n trong [ ]
x
Z2 :
( ) ( )
( ) ( ) x
x
x
x
x
g
.
x
f
1
x
x
x
g
x
f
3
4
5
2
3
+
+
+
=
+
+
=
+
2.4.3. §a thøc bÊt kh¶ quy
§Þnh nghÜa 2.15: Cho ( ) [ ]
x
F
x
f ∈ víi ( ) 1
x
f
deg ≥ . f(x) ®−îc
gäi lμ bÊt kh¶ quy trªn F nÕu nã kh«ng thÓ viÕt ®−îc b»ng tÝch cña
hai ®a thøc trong [ ]
x
F ®Òu cã bËc d−¬ng.
2.4.4. ThuËt to¸n chia ®èi víi çc ®a thøc
NÕu ( ) ( ) [ ]
x
F
x
h
,
x
g ∈ víi ( ) 0
x
h ≠ th× phÐp chia ®a thøc th«ng
th−êng cña g(x) cho h(x) sÏ dÇn tíi çc ®a thøc q(x) vμ ( ) [ ]
x
F
x
r ∈

tháa m·n: ( ) ( ) ( ) ( )
x
r
x
h
.
x
q
x
g +
= , trong ®ã ( ) ( )
x
h
deg
x
r
deg < , q(x)
vμ r(x) lμ duy nhÊt q(x) ®−îc gäi lμ th−¬ng, r(x) ®−îc gäi lμ phÇn d−.
§«i khi r(x) ®−îc ký hiÖu ( ) ( )
x
h
mod
x
g
g(x) ®−îc ký hiÖu ( ) ( )
x
h
div
x
g
VÝ dô: ( ) 1
x
x
x
x
x
x
g 2
3
5
6
+
+
+
+
+
=
( ) 1
x
x
x
h 3
4
+
+
= lμ çc ®a thøc trong [ ]
x
Z2 .
Ta cã ( ) ( ) ( )
1
x
x
x
h
x
x
g 3
2
+
+
+
=
Bëi vËy ( ) ( ) 1
x
x
x
h
mod
x
g 3
+
+
= vμ ( ) ( ) 2
x
x
h
div
x
g = .
2.4.5. ¦íc cña mét ®a thøc
2.4.5.1. §Þnh nghÜa 2.16
NÕu ( ) ( ) [ ]
x
F
x
h
,
x
g ∈ , khi ®ã h(x) lμ −íc cña g(x) (ký hiÖu
( ) ( )
x
h
x
g ) nÕu ( ) ( ) 0
x
h
mod
x
g = .
Cho f(x) lμ mét ®a thøc x¸c ®Þnh trong [ ]
x
F . T−¬ng tù nh−
tr−êng hîp çc sè nguyªn ta cã thÓ ®Þnh nghÜa çc líp ®ång d− cña
çc ®a thøc trong [ ]
x
F dùa trªn phÐp chia cho f(x).
2.4.5.2. §Þnh nghÜa 2.17
NÕu ( ) ( ) [ ]
x
F
x
h
,
x
g ∈ , khi ®ã g(x) ®−îc gäi lμ ®ång d− víi
( ) ( )
x
ulof
mod
x
h nÕu ( ) ( ) ( )
[ ]
x
h
x
g
x
f − . Ta ký hiÖu ( ) ( ) ( )
x
f
mod
x
h
x
g ≡ .
2.4.6. Çc tÝnh chÊt cña ®ång d−
§èi víi çc ®a thøc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
x
F
x
s
,
x
h
,
x
g
,
x
h
,
x
g 1
1 ∈ ta cã:
(1) ( ) ( ) ( )
( )
x
f
mod
x
h
x
g ≡ nÕu vμ chØ nÕu g(x) vμ h(x) cã cïng
phÇn d− khi chia cho f(x).
(2) TÝnh chÊt ph¶n x¹: ( ) ( ) ( )
( )
x
f
mod
x
g
x
g ≡
(3) TÝnh chÊt ®èi xøng: NÕu ( ) ( ) ( )
( )
x
f
mod
x
h
x
g ≡ th×
( ) ( ) ( )
( )
x
f
mod
x
g
x
h ≡

44
(4) TÝnh chÊt b¾c cÇu: NÕu ( ) ( ) ( )
( )
x
f
mod
x
h
x
g ≡ vμ
( ) ( ) ( )
( )
x
f
mod
x
s
x
h ≡ th× ( ) ( ) ( )
( )
x
f
mod
x
s
x
g ≡
(5) NÕu ( ) ( ) ( )
( )
x
f
mod
x
g
x
g 1
≡ vμ ( ) ( ) ( )
( )
x
f
mod
x
h
x
h 1
≡ th×:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
x
f
mod
x
h
.
x
g
x
h
.
x
g
x
f
mod
x
h
x
g
x
h
x
g
1
1
1
1
≡
+
≡
+
Cho f(x) lμ mét ®a thøc cè ®Þnh trong [ ]
x
F , líp t−¬ng ®−¬ng
cña mét ®a thøc ( ) [ ]
x
F
x
g ∈ lμ tËp tÊt c¶ çc ®a thøc trong [ ]
x
F
®ång d− víi f(x).
ulo
mod
)
x
(
g
Tõ çc tÝnh chÊt b, c vμ d ë trªn ta thÊy r»ng quan hÖ ®ång
d− ( )
x
f
mod sÏ ph©n ho¹ch [ ]
x
F thμnh çc líp t−¬ng ®−¬ng.
NÕu ( ) [ ]
x
F
x
g ∈ th× phÐp chia cho f(x) sÏ dÇn tíi mét cÆp ®a
thøc ( ) ( ) [ ]
x
F
x
r
,
x
g ∈ tháa m·n ( ) ( ) ( ) ( )
x
r
x
f
x
q
x
g +
= , trong ®ã
( ) ( )
x
f
deg
x
r
deg < . Bëi vËy mçi ®a thøc g(x) ®Òu ®ång d− theo
modulo f(x) víi mét ®a thøc duy nhÊt cã bËc nhá h¬n bËc cña f(x).
§a thøc r(x) sÏ ®−îc dïng lμm ®¹i biÓu cho líp t−¬ng ®−¬ng cña
çc ®a thøc (cã chøa g(x)).
2.4.7. Vμnh çc líp ®ång d−
2.4.7.1. §Þnh nghÜa 2.18
[ ] ( )
( )
x
f
/
x
F ®−îc ký hiÖu cho tËp çc líp t−¬ng ®−¬ng cña çc
®a thøc trong [ ]
x
F cã bËc nhá h¬n ( )
x
f
deg
n = . PhÐp céng vμ phÐp
nh©n ®−îc thùc hiÖn theo ( )
x
f
mod .
2.4.7.2. §Þnh lý 2.14
[ ] ( )
( )
x
f
/
x
F lμ mét vμnh giao ho¸n.
2.4.7.3. §Þnh lý 2.15
NÕu f(x) lμ bÊt kh¶ quy trªn F th× [ ] ( )
( )
x
f
/
x
F lμ mét tr−êng.

2.4.8. ThuËt to¸n Euclide ®èi víi çc ®a thøc
2.4.8.1. §a thøc ®Þnh chuÈn
§a thøc ®Þnh chuÈn lμ ®a thøc cã hÖ sè bËc cao nhÊt b»ng 1.
2.4.8.2. ¦íc chung lín nhÊt (¦CLN)
Cho ( ) ( ) [ ]
x
Z
x
h
,
x
g p
∈ , çc ®a thøc nμy kh«ng ®ång thêi b»ng
kh«ng. Khi ®ã ¦CLN cña g(x) vμ h(x) (ký hiÖu ¦CLN (g(x), h(x)))
lμ mét ®a thøc ®Þnh chuÈn cã bËc lín nhÊt lμ −íc cña c¶ g(x) vμ h(x).
Theo ®Þnh nghÜa: ¦CLN (0, 0) = 0.
2.4.8.3. §Þnh lý 2.16
Mét ®a thøc kh¸c kh«ng ( ) [ ]
x
Z
x
f p
∈ cã thÓ ph©n tÝch d−íi d¹ng
( ) ( ) ( ) ( ) k
2
1 e
k
e
2
e
1 x
f
x
f
x
f
a
x
f K
=
Trong ®ã ( )
x
fi lμ çc ®a thøc bÊt kh¶ quy ®Þnh chuÈn kh¸c
nhau trong [ ]
x
Zp , i
e lμ çc sè nguyªn d−¬ng, p
Z
a∈ . Ph©n tÝch
nμy lμ duy nhÊt nÕu kh«ng kÓ tíi sù s¾p xÕp l¹i cña çc nh©n tö.
2.4.8.4. ThuËt to¸n Euclide trong [ ]
x
Zp
Vμo : Hai ®a thøc ( ) ( ) [ ]
x
Z
x
h
,
x
g p
∈
Ra : ¦CLN
(1) While ( ) 0
x
h ≠ do
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
r
x
h
,
x
h
x
g
;
x
h
mod
x
g
x
r ←
←
←
(2) Return ( )
( )
x
g .

46
2.4.9. Sè häc cña çc ®a thøc
BiÓu diÔn ®a thøc lμ çch biÓu diÔn th«ng dông nhÊt cho çc
phÇn tö cña tr−êng h÷u h¹n p
F víi m
p
q = vμ p lμ sè nguyªn tè.
2.4.9.1. §Þnh lý 2.17
Víi mçi gi¸ trÞ 1
m ≥ , tån t¹i mét ®a thøc bÊt kh¶ quy ®Þnh
chuÈn bËc m trªn p
Z . Bëi vËy, mäi tr−êng h÷u h¹n ®Òu cã biÓu
diÔn ®a thøc.
Çc phÇn tö cña h÷u h¹n ( )
m
p
F sÏ ®−îc biÓu diÔn bëi çc ®a
thøc trong [ ]
x
Zp cã bËc nhá h¬n m. NÕu ( ) ( ) ( )
m
p
F
x
h
,
x
g ∈ th× phÐp
céng lμ phÐp céng th«ng th−êng cña çc ®a thøc trong [ ]
x
Zp . TÝch
g(x).h(x) ®−îc thùc hiÖn b»ng çch tr−íc tiªn nh©n çc ®a thøc g(x)
vμ h(x) theo çch th«ng th−êng, sau ®ã lÊy phÇn d− sau khi chia
cho f(x).
Çc phÇn tö nghÞch ®¶o cã thÓ ®−îc tÝnh b»ng çch dïng
thuËt to¸n Euclide më réng cho vμnh ®a thøc [ ]
x
Zp .
2.4.9.2. ThuËt to¸n Eulicde më réng trªn [ ]
x
Zp
Vμo : Hai ®a thøc ( ) ( ) [ ]
x
Z
x
h
,
x
g p
∈
Ra : ¦CLN (g(x), h(x)) vμ çc ®a thøc ( ) ( ) [ ]
x
Z
x
t
,
x
s p
∈
tháa m·n ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
d
x
h
.
x
t
x
g
.
x
s =
+ .
2.4.9.3. ThuËt to¸n tÝnh nghÞch ®¶o trong ( )
m
p
F
Vμo :§a thøc kh¸c kh«ng ( ) ( )
m
p
F
x
g ∈ (Çc phÇn tö tr−êng
( )
m
p
F ®−îc biÓu diÔn b»ng çc ®a thøc trong [ ] ( )
( )
x
f
/
x
Zp , trong ®ã
( ) [ ]
x
Z
x
f p
∈ lμ mét ®a thøc bÊt kh¶ quy bËc m trªn p
Z ).

Ra : ( ) ( )
m
1
p
F
x
g ∈
−
(1) Dïng thuËt to¸n Euclide më réng ®èi víi çc ®a thøc ®Ó
t×m hai ®a thøc ( ) ( ) [ ]
x
Z
x
t
,
x
s p
∈ sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) 1
x
f
.
x
t
x
g
.
x
s =
+
(2) Return ( )
( )
x
s .
2.4.9.4. §Þnh nghÜa 2.19
§a thøc bÊt kh¶ quy ( ) [ ]
x
Z
x
f p
∈ cã bËc m ®−îc gäi lμ ®a thøc
nguyªn thuû nÕu x lμ phÇn tö sinh cña ( )
m
*
p
F lμ nhãm nh©n gåm
tÊt c¶ çc phÇn tö kh¸c kh«ng trong ( ) [ ] ( )
( )
x
f
/
x
Z
p
F p
n
= .
2.4.9.5. §Þnh lý 2.18
§a thøc bÊt kh¶ quy ( ) [ ]
x
Z
x
f p
∈ cã bËc m ®−îc gäi lμ ®a thøc
nguyªn thuû nÕu vμ chØ nÕu f(x) lμ −íc cña ( )
1
xk
− víi 1
p
k m
−
=
vμ kh«ng lμ −íc cña nhÞ thøc nμy víi sè nguyªn d−¬ng k nhá h¬n.
2.4.9.6. §Þnh lý 2.19
Víi mçi gi¸ trÞ 1
m ≥ , tån t¹i mét ®a thøc nguyªn thuû ®Þnh
chuÈn bËc m trªn p
Z . Thùc sù cã ®óng ( ) m
/
1
pm
−
Φ çc ®a thøc
nh− vËy.
2.4.9.7. VÝ dô
Tr−êng h÷u h¹n F(24
) cÊp 16
Cã thÓ thÊy r»ng ( ) 1
x
x
x
f 4
+
+
= lμ mét ®a thøc bÊt kh¶ quy
trªn 2
Z . Bëi vËy tr−êng h÷u h¹n F(24
) cã thÓ ®−îc biÓu diÔn b»ng
tËp tÊt c¶ çc ®a thøc trªn 2
F cã bËc nhá h¬n 4. Tøc lμ:
{ }}
1
,
0
a
a
x
a
x
a
x
a
{
)
2
(
F i
0
1
2
2
3
3
4
∈
+
+
+
=

48
Sau ®©y lμ çc vÝ dô vÒ sè häc cña tr−êng:
- PhÐp céng : ( ) ( ) ( )
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1 =
+
- PhÐp nh©n : §Ó nhãm hai phÇn tö ( )
1
0
1
1 vμ ( )
1
0
0
1 ta
nh©n chóng nh− çc ®a thøc rêi lÊy phÇn d− khi chia tÝch nhËn
®−îc cho f(x).
( ) ( ) ( )
( )
x
mod
1
x
x
x
1
x
x
x
1
x
.
1
x
x 2
3
2
5
6
2
2
3
ƒ
+
+
+
≡
+
+
+
=
+
+
+
Bëi vËy ( ) ( ) ( )
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1 =
+
- PhÇn tö ®¬n vÞ cña phÐp nh©n trong ( )
4
2
F lμ ( )
1
0
0
0
NghÞch ®¶o cña ( )
1
1
0
1 lμ ( )
1
0
1
0 . §Ó kiÓm tra ®iÒu nμy ta ®Ó
ý r»ng:
( ) ( ) ( )
( )
x
mod
1
1
x
x
x
1
x
.
1
x
x 2
5
2
2
3
ƒ
≡
+
+
+
=
+
+
+
Tõ ®ã ( ) ( ) ( )
1
0
0
0
1
0
1
0
.
1
1
0
1 =
f(x)lμ mét ®a thøc nguyªn thñy hay phÇn tö ( )
0
1
0
0
x = lμ
phÇn tö sinh cña ( )
4
2
F . Ta cã thÓ thÊy r»ng tÊt c¶ çc phÇn tö
kh¸c kh«ng trong ( )
4
2
F cã thÓ nhËn ®−îc b»ng çc lòy thõa cña x.
Ta cã b¶ng sau:
B¶ng 2.2: Çc lòy thõa cña x theo modulo ( ) 1
x
x
x
f 4
+
+
=
i xi
mod (x4
+ x + 1) BiÓu diÔn vÐc t¬
0 1 (0001)
1 x (0010)
2 x2
(0100)
3 x3
(1000)
4 x + 1 (0011)
5 x2
+ x (0110)
6 x3
+ x2
(1100)
7 x3
+ x + 1 (1011)

i xi
mod (x4
+ x + 1) BiÓu diÔn vÐc t¬
8 x2
+ 1 (0101)
9 x3
+ x (1010)
10 x2
+ x +1 (0111)
11 x3
+ x2
+ x (1110)
12 x3
+ x2
+ x + 1 (1111)
13 x3
+ x2
+ 1 (1101)
14 x3
+ 1 (1001)
2.4.10. Nhãm nh©n xyclic trªn vμnh ®a thøc
2.4.10.1. CÊp cña mét ®a thøc
Ta xÐt vμnh ®a thøc [ ] 1
x
/
x
Z n
2 + .
- §Þnh nghÜa 2.20: §a thøc e(x) ®−îc gäi lμ ®a thøc lòy ®¼ng
nÕu ( ) ( )
x
e
x
e i
2
i = .
Cho ( ) [ ] 1
x
/
x
Z
x
a n
2 +
∈ cÊp cña a(x) (ký hiÖu lμ ( )
( )
x
a
ord ) lμ sè
nguyªn d−¬ng nhá nhÊt t sao cho: ( )
[ ] ( ) 1
x
mod
x
a
x
a n
1
t
+
≡
+
hay
( )
[ ] ( ) 1
x
mod
x
e
x
a n
i
t
+
≡ . Trong ®ã ( )
x
ei lμ mét ®a thøc lòy ®¼ng
nμo ®ã trong vμnh.
- §Þnh lý 2.20: CÊp lín nhÊt cña mét ®a thøc trong vμnh
[ ] 1
x
/
x
Z n
2 + ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau:
+ ( )
( ) k
2
x
a
ord
max = víi k
2
n =
+ ( )
( ) 1
2
x
a
ord
max m
−
= víi n lμ lÎ vμ ph©n tÝch cña 1
xn
+
thμnh tÝch cña c¸c ®a thøc bÊt kh¶ quy cã d¹ng ( )
∏
=
+
i
i
n
x
g
1
x
víi ( )
x
g
ord
max
m i
i
= .
+ ( )
( ) ( )
1
2
2
x
a
ord
max m
l
−
= víi u
2
n l
= . Trong ®ã u lÎ vμ ph©n
tÝch cña 1
xu
+ cã d¹ng ( )
∏
=
+
i
i
u
x
g
1
x vμ ( )
x
g
ord
max
m i
i
= .

50
- VÝ dô: XÐt vμnh [ ] 1
x
/
x
Z 5
2 +
Ta cã ( )( )
4
3
2
5
x
x
x
x
1
x
1
1
x +
+
+
+
+
=
+
VËy ( )
( ) 15
1
2
x
a
ord
max 4
=
−
=
CÊp cña mäi ®a thøc trong vμnh sÏ lμ 15 hoÆc −íc cña 15.
2.4.10.2. Çc nhãm nh©n
Gäi I lμ sè çc ®a thøc bÊt kh¶ quy trong ph©n tÝch cña 1
xn
+
víi n lμ lÎ. Khi ®ã sè çc nhãm nh©n trong vμnh M ®−îc x¸c ®Þnh
theo bæ ®Ò sau:
- Bæ ®Ò 2.21:
Sè çc nhãm nh©n trong vμnh b»ng sè çc ®a thøc lòy ®¼ng
vμ b»ng: 1
2
M I
−
=
x
/
x
Z 7
2 +
Ta cã ( )( )( )
3
2
3
7
x
x
1
x
x
1
x
1
1
x +
+
+
+
+
=
+
7
1
2
M 3
=
−
=
Cã 7 nhãm nh©n víi çc lòy ®¼ng sau:
( ) ( ) 6
5
3
4
4
2
3
6
1
i
i
2
1 x
x
x
1
e
,
x
x
x
e
,
x
x
e
,
1
x
e +
+
+
=
+
+
=
=
= ∑
=
( ) ∑
=
=
+
+
=
+
+
+
=
6
0
i
i
7
6
5
3
6
4
2
5 x
x
e
,
x
x
x
e
,
x
x
x
1
e
- Bæ ®Ò: Nhãm nh©n víi lòy ®¼ng ( )
x
e0 chØ cã mét phÇn tö lμ
( )
x
e0 . Mäi ®a thøc kh¸c 0 ®Òu n»m trong mét nhãm nh©n nμo ®ã.
Çc nhãm nh©n xyclic trong çc nhãm nh©n cã cÊp lμ −íc cña
( )
( )
x
a
ord
max .

x
/
x
Z 7
2 + .
Mäi ®a thøc kh«ng n»m trong vμnh nμy (kh«ng kÓ çc lòy
®¼ng) ®Òu cã cÊp lμ 7.
2.4.11. Çc thÆng d− bËc 2 vμ çc phÇn tö liªn hîp
2.4.11.1. §Þnh nghÜa 2.21
§a thøc ( ) [ ] 1
x
/
x
Z
x
f n
2 +
∈ ®−îc gäi lμ mét thÆng d− bËc 2
trong vμnh nÕu ( ) 0
x
f ≠ vμ tån t¹i g(x) sao cho:
( ) ( ) 1
x
mod
x
f
x
g n
2
+
≡
Gäi Q lμ tËp hîp chøa çc thÆng d− bËc 2.
2.4.11.2. Bæ ®Ò 2.22
Víi n lÎ mäi ( ) 0
x
f ≠ ®Òu lμ thÆng d− bËc 2. Mçi f(x) ®Òu cã
mét c¨n bËc 2 duy nhÊt. Ta cã: 1
2
Q n
−
=
2.4.11.3. Bæ ®Ò 2.23
Víi n ch½n, ( ) Q
x
f ∈ khi vμ chØ khi f(x) lμ tæng cña çc ®¬n
thøc cã mò ch½n. Ta cã: 1
2
Q 2
n
−
= .
2.4.11.4. Bæ ®Ò 2.24
Víi n ch½n, çc c¨n bËc 2 cña mét thÆng d− bËc hai ®−îc x¸c
®Þnh theo c«ng thøc sau:
( ) ( )
x
x
x
1
x
g
U
t
t
2
n
ƒ
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
= ∑
∈

52
Trong ®ã U lμ mét tËp con tuú ý trong tËp
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
= 1
2
n
,
,
1
,
0
S K .
Ta cã 2
n
2
U = . NÕu ( ) ∑
= i
2
ix
f
x
f th× ( ) ∑
= i
ix
f
x
f ( ( )
x
f ®−îc gäi
lμ c¨n bËc 2 chÝnh cña f(x)).
Çc g(x) ®−îc gäi lμ çc phÇn tö liªn hîp.
- VÝ dô: n = 8
Çc c¨n bËc hai cña çc i
2
x ®−îc cho trong b¶ng 2.3:
B¶ng 2.3
x2i
TT
x2
x4
x6
x8
= 1
1 (1) (2) (3) (4)
2 (014) (024) (034) (015)
3 (126) (125) (135) (016)
4 (137) (237) (236) (037)
5 (5) (6) (7) (4)
6 (045) (046) (047) (145)
7 (256) (156) (157) (246)
8 (257) (367) (267) (347)
9 (01246) (01245) (01345) (01256)
10 (01347) (02347) (02346) (01357)
11 (12367) (12357) (12356) (02367)
12 (02456) (01456) (01457) (12456)
13 (03457) (03467) (02467) (13457)
14 (23567) (13567) (12567) (23467)
15 (0123467) (0123457) (0123456) (0123567)
16 (0234567) (0134567) (0124567) (1234567)
Chó ý: Trong b¶ng trªn ta ký hiÖu çc ®a thøc nh− sau:
VÝ dô: ( ) 6
4
2
x
x
x
x
1
01246 +
+
+
+
↔ .

Bμi tËp
1. TÝnh tÊt c¶ çc c¨n bËc hai cña ®a thøc 2 4
1 x x
+ + trong
vμnh ®a thøc [ ] 8
2
Z x x 1
+ .
2. X¸c ®Þnh nhãm nh©n xyclic sinh bëi phÇn tö ( ) 2
a x 1 x x
= + +
trong vμnh ®a thøc [ ] 5
2
Z x x 1
+ .
3. XÐt tËp { }
S 0,1,2,3
= víi çc phÐp to¸n céng (+) vμ nh©n (.)
®−îc x¸c ®Þnh nh− sau:
+ 0 1 2 3 . 0 1 2 3
0 0 1 2 3 0 0 0 0 0
1 1 2 3 0 1 0 1 2 3
2 2 3 0 1 2 0 2 3 1
3 3 0 1 2 3 0 3 1 2
H·y chøng minh S lμ mét tr−êng?
4. Trong tr−êng 6F(4) ë bμi tËp 3, h·y gi¶i ph−¬ng tr×nh:
2x + y = 3
x + 2y = 3.
5. H·y x¸c ®Þnh cÊp cña phÇn tö 2 trong *
13
Z .
6. T×m tÊt c¶ çc c¨n bËc 2 cña çc ®¬n thøc 2 4
1, x , x trong
vμnh ®a thøc [ ] 6
2
Z x x 1
+
7. Trong tr−êng )
2
(
F
6 5
cã thÓ x©y dùng ®−îc theo
[ ] )
1
x
x
/(
x
z 2
5
2 +
+ .

54
H·y thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau trªn tr−êng nμy:
a. TÝnh ( ) ( )
4 2 3
x x . x x 1
+ + + .
b. Sö dông thuËt to¸n Euclide më réng ®Ó tÝnh ( )
1
3 2
x x
−
+
c. Sö dông thuËt to¸n nh©n vμ b×nh ph−¬ng ®Ó tÝnh 25
x .
8. Víi vμnh giao ho¸n R ®Æc sè pn nguyªn tè, h·y chøng tá r»ng:
( ) n n n n
p p p p
1 2 s s
1 2
a a a a a a
+ + = + + +
K K .

PhÇn II
C¸c thuËt to¸n mËt m·

mËt m· cæ ®iÓn
Cã ba ph−¬ng ph¸p chÝnh trong mËt m· cæ ®iÓn (mËt m·
khãa riªng hay mËt m· khãa bÝ mËt):
- Ho¸n vÞ;
- Thay thÕ;
- Xö lý bit (chñ yÕu n»m trong c¸c ng«n ng÷ lËp tr×nh).
Ngoμi ra cßn cã ph−¬ng ph¸p hçn hîp thùc hiÖn kÕt hîp c¸c
ph−¬ng ph¸p trªn mμ ®iÓn h×nh lμ chuÈn m· d÷ liÖu (DES – Data
Encryption Standard) cña Mü.
3.1. S¬ ®å khèi mét hÖ truyÒn tin mËt
B¶n râ
Nguån tin Bé m· hãa
Kªnh më
(kh«ng an toµn)
Th¸m m·
B¶n m·
Kªnh an toµn
Bé gi¶i m· NhËn tin
(Oscar)
(Alice)
Nguån khãa
(Bob)
KE KD
B¶n m· B¶n râ
H×nh 3.1

58
§Þnh nghÜa 3.1
Mét hÖ mËt lμ mét bé 5 ( )
D
,
E
,
K
,
C
,
P tháa m·n çc ®iÒu
kiÖn sau:
a) P lμ mét tËp h÷u h¹n çc b¶n râ cã thÓ
b) C lμ mét tËp h÷u h¹n çc b¶n m· cã thÓ
c) K lμ mét tËp h÷u h¹n çc khãa cã thÓ (kh«ng gian khãa)
d) §èi víi mçi K
k ∈ cã mét quy t¾c m· E
ek ∈
C
P
:
ek →
vμ mét quy t¾c gi¶i m· t−¬ng øng D
dk ∈
P
C
:
dk →
sao cho: ( )
( ) x
x
e
d k
k = víi P
x ∈
∀ .
3.2. MËt m· thay thÕ
3.2.1. MËt m· dÞch vßng (MDV)
Gi¶ sö 26
Z
K
C
P =
=
= víi 25
k
0 ≤
≤ , ta ®Þnh nghÜa:
( )
( )
( )
26
k
k
Z
y
,
x
26
mod
k
y
y
d
26
mod
k
x
x
e
∈
−
=
+
=
Ta sö dông MDV (víi modulo 26) ®Ó m· hãa mét v¨n b¶n
tiÕng Anh th«ng th−êng b»ng çch thiÕt lËp sù t−¬ng øng gi÷a çc
ký tù vμ çc thÆng d− theo mod 26 nh− sau:
Ký tù A B C D E F G H I J K L M
M· t−¬ng øng 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Ký tù N O P Q R S T U V W X Y Z
M· t−¬ng øng 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Ch−¬ng 3: MËt m· cæ ®iÓn 59
VÝ dô 3.1:
Gi¶ sö khãa cho MDV lμ k = 5 vμ b¶n râ lμ meetmeatsunset.
Tr−íc tiªn, ta biÕn ®æi b¶n râ thμnh d·y çc sè nguyªn theo
b¶ng trªn:
12.4.4.19.12.4.0.19.18.20.13.18.4.19
Sau ®ã ta céng 5 vμo mçi gi¸ trÞ ë trªn vμ rót gän tæng theo
mod 26, ta ®−îc d·y sè sau:
17.9.9.24.17.9.5.24.23.25.18.23.9.24
Cuèi cïng, ta l¹i biÕn ®æi d·y sè nguyªn trªn thμnh çc ký tù
t−¬ng øng, ta cã b¶n m· sau:
RJJYRJFYXZSXJY
§Ó gi¶i m· cho b¶n m· nμy, tr−íc tiªn ta biÕn b¶n m· thμnh
d·y sè nguyªn råi trõ mçi gi¸ trÞ cho 5 (rót gän theo modulo 26), vμ
cuèi cïng lμ l¹i biÕn ®æi l¹i d·y sè nhËn ®−îc nμy thμnh çc ký tù.
NhËn xÐt:
- Khi k = 3, hÖ mËt nμy th−êng ®−îc gäi lμ m· Caesar ®·
tõng ®−îc Hoμng ®Õ Caesar sö dông.
- MDV (theo mod 26) lμ kh«ng an toμn v× nã cã thÓ bÞ th¸m
theo ph−¬ng ph¸p t×m khãa vÐt c¹n (th¸m m· cã thÓ dÔ dμng thö
mäi khãa k
d cã thÓ cho tíi khi t×m ®−îc b¶n râ cã nghÜa). Trung
b×nh cã thÓ t×m ®−îc b¶n râ ®óng sau khi thö kho¶ng ( ) 13
2
26 =
quy t¾c gi¶i m·.
- Tõ vÝ dô trªn ta thÊy r»ng, ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó mét hÖ mËt an
toμn lμ phÐp t×m khãa vÐt c¹n ph¶i kh«ng thÓ thùc hiÖn ®−îc. Tuy
nhiªn, mét kh«ng gian khãa lín vÉn ch−a ®ñ ®Ó ®¶m b¶o ®é mËt.

60
3.2.2. M· thay thÕ (MTT)
Cho 26
Z
C
P =
= . K chøa mäi ho¸n vÞ cã thÓ cã cña 26 ký tù
tõ 0 ®Õn 25. Víi mçi phÐp ho¸n vÞ K
∈
π , ta ®Þnh nghÜa:
( ) ( )
x
x
e π
=
π
vμ ( ) ( )
y
y
d 1
−
π π
=
trong ®ã 1
−
π lμ ho¸n vÞ ng−îc cña π .
Sau ®©y lμ mét vÝ dô vÒ phÐp ho¸n vÞ ngÉu nhiªn π t¹o nªn
mét hμm m· ho¸ (t−¬ng tù nh− trªn, çc ký tù cña b¶n râ ®−îc
viÕt b»ng ch÷ th−êng, cßn çc ký tù cña b¶n m· ®−îc viÕt b»ng
ch÷ in hoa).
Ký tù b¶n râ a b c d e f g h i j k l m
Ký tù b¶n m· X N Y A H P O G Z Q W B T
Ký tù b¶n râ n o p q r s t u v w x y z
Ký tù b¶n m· S F L R C V M U E K J D I
Nh− vËy, ( ) ( ) ...
,
N
b
e
,
X
a
e =
= π
π
Hμm gi¶i m· lμ phÐp ho¸n vÞ ng−îc. §iÒu nμy ®−îc thùc hiÖn
b»ng çch viÕt hμng thø hai lªn tr−íc råi s¾p xÕp theo thø tù ch÷
çi. Ta cã:
Ký tù b¶n m· a b c d e f g h i j k l m
Ký tù b¶n râ d l r y v o h e z x w p t
Ký tù b¶n m· n o p q r s t u v w x y z
Ký tù b¶n râ b g f j q n m u s k a c i
VÝ dô 3.2:
Víi phÐp thay thÕ trªn, tõ b¶n râ:
meetmeatsunset

ta thu ®−îc b¶n râ sau:
THHMTHXMVUSHM
Sö dông phÐp ho¸n vÞ ng−îc, ta dÔ dμng t×m l¹i ®−îc b¶n râ
ban ®Çu.
Mçi khãa cña m· thay thÕ lμ mét phÐp ho¸n vÞ cña 26 ký tù.
Sè çc ho¸n vÞ nμy lμ 26
10
.
4
!
26 > . §©y lμ mét sè rÊt lín nªn khã cã
thÓ t×m ®−îc khãa b»ng phÐp t×m khãa vÐt c¹n. Tuy nhiªn, b»ng
ph−¬ng ph¸p thèng kª, ta cã thÓ dÔ dμng th¸m ®−îc çc b¶n m·
lo¹i nμy.
3.2.3. MËt m· VigenÌre
Trong hai hÖ MDV vμ MTT ë trªn, mét khi khãa ®· ®−îc
chän th× mçi ký tù sÏ ®−îc ¸nh x¹ vμo mét ký tù duy nhÊt. V× vËy,
çc hÖ trªn cßn ®−îc gäi lμ çc hÖ thay thÕ ®¬n biÓu. Sau ®©y ta sÏ
tr×nh bμy mét hÖ thay thÕ ®a biÓu ®−îc gäi lμ hÖ mËt Vigenere.
Sö dông phÐp t−¬ng øng 25
Z
,
,
1
B
,
0
A ↔
↔
↔ K m« t¶ ë
trªn, ta cã thÓ g¾n cho mçi khãa k mét chuçi ký tù cã ®é dμi m,
®−îc gäi lμ tõ khãa. MËt m· VigenÌre sÏ m· ho¸ ®ång thêi m ký
tù: mçi phÇn tö cña b¶n râ t−¬ng ®−¬ng víi m ký tù.
VÝ dô 3.3:
Gi¶ sö m = 6 vμ tõ khãa lμ CIPHER. Tõ khãa nμy t−¬ng øng
víi d·y sè k = (2, 8, 15, 7, 4, 17). Gi¶ sö b¶n râ lμ:
meetmeatsunset
Ta sÏ biÕn ®æi çc phÇn tö cña b¶n râ thμnh çc thÆng d−
theo mod 26, viÕt chóng thμnh çc nhãm 6 råi céng víi tõ khãa
theo modulo 26 nh− sau:
12 4 4 19 12 4 0 19 18 20 13 18 4 19 B¶n râ
2 8 15 7 4 17 2 8 15 7 4 17 2 8 Khãa
14 12 19 0 16 21 2 1 7 1 17 9 6 1 B¶n m·

62
Nh− vËy, d·y ký tù t−¬ng øng víi x©u b¶n m· sÏ lμ:
OMTAQVCBHBRJGB
Ta cã thÓ m« t¶ mËt m· VigenÌre nh− sau:
Cho m lμ mét sè nguyªn d−¬ng cè ®Þnh nμo ®ã.
Ta ®Þnh nghÜa ( )n
26
Z
K
C
P =
=
=
Víi khãa ( )
m
2
1 k
,
,
k
,
k
k K
= , ta x¸c ®Þnh:
( ) ( )
m
m
2
2
1
1
m
2
1
k k
x
,
,
k
x
,
k
x
x
,
,
x
,
x
e +
+
+
= K
K
vμ ( ) ( )
m
m
2
2
1
1
m
2
1
k k
y
,
,
k
y
,
k
y
y
,
,
y
,
y
d −
−
−
= K
K
trong ®ã tÊt c¶ çc phÐp to¸n ®−îc thùc hiÖn trong 26
Z .
Chó ý: §Ó gi¶i m·, ta cã thÓ dïng cïng tõ khãa nh−ng thay
cho céng, ta trõ nã theo modulo 26.
Ta thÊy r»ng, sè çc tõ khãa cã thÓ víi ®é dμi m trong mËt
m· Vigenere lμ m
26 . Bëi vËy, thËm chÝ víi m kh¸ nhá, ph−¬ng
ph¸p t×m kiÕm vÐt c¹n còng yªu cÇu thêi gian kh¸ lín. VÝ dô, víi
m = 6 th× kh«ng gian khãa còng cã kÝch th−íc lín h¬n 8
10
.
3 khãa.
3.3. MËt m· ho¸n vÞ (MHV)
Kh¸c víi MTT, ý t−ëng cña MHV lμ gi÷ çc ký tù cña b¶n râ
kh«ng thay ®æi nh−ng sÏ thay ®æi vÞ trÝ cña chóng b»ng çch s¾p
xÕp l¹i çc ký tù nμy. ë ®©y kh«ng cã mét phÐp to¸n ®¹i sè nμo
cÇn thùc hiÖn khi m· ho¸ vμ gi¶i m·.
VÝ dô 3.4:
Gi¶ sö m = 6 vμ khãa lμ phÐp ho¸n vÞ sau:
1 2 3 4 5 6
3 5 1 6 4 2

Khi ®ã, phÐp ho¸n vÞ ng−îc sÏ lμ:
1 2 3 4 5 6
3 6 1 5 2 4
Gi¶ sö ta cã b¶n râ: asecondclasscarriageonthetrain
Tr−íc tiªn, ta nhãm b¶n râ thμnh çc nhãm 6 ký tù:
etrain
geonth
carria
dclass
on
sec
a
Sau ®ã, mçi nhãm 6 ch÷ çi l¹i ®−îc s¾p xÕp l¹i theo phÐp
ho¸n vÞ π , ta cã:
RIENAT
OTGHNE
RICARA
LSDSAC
EOANCS
Cuèi cïng, ta cã b¶n m· sau:
EOANCSLSDSACRICARAOTGHNERIENAT
Khi sö dông phÐp ho¸n vÞ ng−îc 1
π−
trªn d·y b¶n m· (sau
khi ®· nhãm l¹i theo çc nhãm 6 ký tù), ta sÏ nhËn l¹i ®−îc b¶n râ
ban ®Çu.
Tõ vÝ dô trªn, ta cã thÓ ®Þnh nghÜa MHV nh− sau:
Cho m lμ mét sè nguyªn d−¬ng x¸c ®Þnh nμo ®ã.
Cho ( )m
26
Z
C
P =
= vμ cho K lμ tÊt c¶ çc ho¸n vÞ cã thÓ cã cña
{ }
m
,
,
2
,
1 K .
§èi víi mét khãa π (tøc lμ mét phÐp ho¸n vÞ nμo ®ã), ta x¸c ®Þnh:
( ) ( ) ( )
( )
m
1
m
1 x
,
,
x
x
,
,
x
e π
π
π =
= K
K
vμ ( ) ( ) ( )
( )
m
1
m
1 1
1 y
,
,
y
x
,
,
x
d −
−
π
π
π =
= K
K
trong ®ã 1
−
π lμ phÐp ho¸n vÞ ng−îc cña π

64
3.4. MËt m· Hill
Trong phÇn nμy sÏ m« t¶ mét hÖ mËt thay thÕ ®a biÓu kh¸c
®−îc gäi lμ mËt m· Hill. MËt m· nμy do Lester S.Hill ®−a ra n¨m
1929. Gi¶ sö m lμ mét sè nguyªn d−¬ng, ®Æt ( )m
26
Z
C
P =
= . ý
t−ëng ë ®©y lμ lÊy m tæ hîp tuyÕn tÝnh cña m ký tù trong mét
phÇn tö cña b¶n râ ®Ó t¹o ra m ký tù ë mét phÇn tö cña b¶n m·.
VÝ dô nÕu 2
m = ta cã thÓ viÕt mét phÇn tö cña b¶n râ lμ
( )
2
1 x
,
x
x = vμ mét phÇn tö cña b¶n m· lμ ( )
2
1 y
,
y
y = . ë ®©y, 1
y
còng nh− 2
y ®Òu lμ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña 1
x vμ 2
x . Ch¼ng
h¹n, cã thÓ lÊy:
2
1
2
2
1
1
x
7
x
8
y
x
3
x
11
y
+
=
+
=
TÊt nhiªn cã thÓ viÕt gän h¬n theo ký hiÖu ma trËn nh− sau:
( ) ( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
7
3
8
11
x
x
y
y 2
1
2
1
Nãi chung, cã thÓ lÊy mét ma trËn k kÝch th−íc m
m × lμm
khãa. NÕu mét phÇn tö ë hμng i vμ cét j cña k lμ j
,
i
k th× cã thÓ
viÕt ( )
j
,
i
k
k = , víi ( ) P
x
,
,
x
,
x
x m
2
1 ∈
= K vμ K
k ∈ , ta tÝnh
( ) ( )
m
2
1
k y
,
,
y
,
y
x
e
y K
=
= nh− sau :
( )( )
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
m
,
m
2
,
m
1
,
m
m
,
2
2
,
2
1
,
2
m
,
1
2
,
1
1
,
1
m
1
m
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
,
,
x
y
,
,
y
L
M
M
M
K
K
K
K
Nãi c¸ch kh¸c, xk
y = .

Chóng ta nãi r»ng b¶n m· nhËn ®−îc tõ b¶n râ nhê phÐp
biÕn ®æi tuyÕn tÝnh. Ta sÏ xÐt xem ph¶i thùc hiÖn gi¶i m· nh− thÕ
nμo, tøc lμ lμm thÕ nμo ®Ó tÝnh x tõ y. B¹n ®äc ®· lμm quen víi ®¹i
sè tuyÕn tÝnh sÏ thÊy r»ng ph¶i dïng ma trËn nghÞch ®¶o 1
k−
®Ó
gi¶i m·. B¶n m· ®−îc gi¶i m· b»ng c«ng thøc 1
yk
x −
= .
Sau ®©y lμ mét sè ®Þnh nghÜa vÒ nh÷ng kh¸i niÖm cÇn thiÕt
lÊy tõ ®¹i sè tuyÕn tÝnh. NÕu ( )
j
,
i
x
A = lμ mét ma trËn cÊp m
l × vμ
( )
k
,
l
b
B = lμ mét ma trËn cÊp n
m× th× tÝch ma trËn ( )
k
,
l
c
AB =
®−îc ®Þnh nghÜa theo c«ng thøc :
∑
=
=
m
1
j
k
,
j
j
,
i
k
,
l b
a
c
víi l
i
1 ≤
≤ vμ l
k
1 ≤
≤ . Tøc lμ çc phÇn tö ë hμng i vμ cét thø
k cña AB ®−îc t¹o ra b»ng çch lÊy hμng thø i cña A vμ cét thø k
cña B, sau ®ã nh©n t−¬ng øng çc phÇn tö víi nhau vμ céng l¹i.
CÇn ®Ó ý r»ng AB lμ mét ma trËn cÊp n
l × .
Theo ®Þnh nghÜa nμy, phÐp nh©n ma trËn lμ kÕt hîp (tøc
( ) ( )
BC
A
C
AB = ) nh−ng nãi chung lμ kh«ng giao ho¸n (kh«ng ph¶i
lóc nμo BA
AB = , thËm chÝ ®èi víi ma trËn vu«ng A vμ B).
Ma trËn ®¬n vÞ m
m× (ký hiÖu lμ m
I ) lμ ma trËn cÊp m
m×
cã çc sè 1 n»m ë ®−êng chÐo chÝnh vμ çc sè 0 ë vÞ trÝ cßn l¹i. Nh−
vËy, ma trËn ®¬n vÞ 2
2 × lμ:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
1
0
0
1
I2

66
m
I ®−îc gäi lμ ma trËn ®¬n vÞ v× A
AIm = víi mäi ma trËn
cÊp m
l × vμ B
B
Im = víi mäi ma trËn cÊp n
m× . Ma trËn nghÞch
®¶o cña ma trËn A cÊp m
m × (nÕu tån t¹i) lμ ma trËn 1
A−
sao cho
m
1
1
I
A
A
AA =
= −
−
. Kh«ng ph¶i mäi ma trËn ®Òu cã nghÞch ®¶o,
nh−ng nÕu tån t¹i th× nã duy nhÊt.
Víi c¸c ®Þnh nghÜa trªn, cã thÓ dÔ dμng x©y dùng c«ng thøc
gi¶i m· ®· nªu: V× xk
y = , ta cã thÓ nh©n c¶ hai vÕ cña ®¼ng thøc
víi 1
k−
vμ nhËn ®−îc:
( ) ( ) x
xI
kk
x
k
xk
yk m
1
1
1
=
=
=
= −
−
−
(Chó ý: sö dông tÝnh chÊt kÕt hîp)
Cã thÓ thÊy r»ng, ma trËn m· ho¸ ë trªn cã nghÞch ®¶o trong
26
Z :
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
11
23
18
7
7
3
8
11
1
v×
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×
+
×
×
+
×
×
+
×
×
+
×
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
11
7
18
3
23
7
7
3
11
8
18
11
23
8
7
11
11
23
18
8
7
3
8
12
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
1
0
0
1
131
182
286
261
(H·y nhí r»ng mäi phÐp to¸n sè häc ®Òu ®−îc thùc hiÖn theo
modulo 26).
Sau ®©y lμ mét vÝ dô minh ho¹ cho viÖc m· ho¸ vμ gi¶i m·
trong hÖ mËt m· Hill.

VÝ dô 3.5:
Gi¶ sö khãa ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
7
3
8
11
k
Tõ c¸c tÝnh to¸n trªn, ta cã:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
11
23
18
7
k 1
Gi¶ sö cÇn m· ho¸ b¶n râ "July". Ta cã hai phÇn tö cña b¶n
râ ®Ó m· ho¸: ( )
20
,
9 (øng víi Ju) vμ ( )
24
,
11 (øng víi ly). Ta tÝnh
nh− sau:
( ) ( ) ( )
4
3
140
72
60
99
7
3
8
11
20
9 =
+
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
( ) ( ) ( )
22
11
168
88
72
121
7
3
8
11
24
11 =
+
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Bëi vËy, b¶n m· cña July lμ DELW. §Ó gi¶i m·, Bob sÏ tÝnh:
( ) ( )
20
9
k
.
4
3 1
=
−
vμ ( ) ( )
24
11
k
.
22
11 1
=
−
Nh− vËy, Bob ®· nhËn ®−îc b¶n ®óng.
Cho tíi lóc nμy, ta ®· chØ ra r»ng cã thÓ thùc hiÖn phÐp gi¶i
m· nÕu k cã mét nghÞch ®¶o. Trªn thùc tÕ, ®Ó phÐp gi¶i m· lμ cã
thÓ thùc hiÖn ®−îc, ®iÒu kiÖn cÇn lμ k ph¶i cã nghÞch ®¶o. (§iÒu
nμy dÔ dμng rót ra tõ ®¹i sè tuyÕn tÝnh s¬ cÊp, tuy nhiªn sÏ kh«ng
chøng minh ë ®©y). Bëi vËy, ta chØ quan t©m tíi c¸c ma trËn k
kh¶ nghÞch.
TÝnh kh¶ nghÞch cña mét ma trËn vu«ng phô thuéc vμo gi¸
trÞ ®Þnh thøc cña nã. §Ó tr¸nh sù tæng qu¸t ho¸ kh«ng cÇn thiÕt,
ta chØ giíi h¹n trong tr−êng hîp 2
2 × .

68
§Þnh nghÜa 3.2:
§Þnh thøc cña ma trËn ( )
j
i,
a
A = cÊp 2
2 × lμ gi¸ trÞ
1
,
2
2
,
1
2
,
2
1
,
1 a
a
a
a
A
det −
=
NhËn xÐt: §Þnh thøc cña mét ma trËn vu«ng cÊp mm cã thÓ
®−îc tÝnh theo c¸c phÐp to¸n hμng s¬ cÊp (h·y xem mét gi¸o tr×nh
bÊt kú vÒ ®¹i sè tuyÕn tÝnh).
Hai tÝnh chÊt quan träng cña ®Þnh thøc lμ 1
I
det m = vμ quy
t¾c nh©n ( ) B
det
A
det
AB
det ×
= .
Mét ma trËn thùc k lμ cã nghÞch ®¶o khi vμ chØ khi ®Þnh thøc
cña nã kh¸c 0. Tuy nhiªn, ®iÒu quan träng cÇn nhí lμ ta ®ang lμm
viÖc trªn 26
Z . KÕt qu¶ t−¬ng øng lμ ma trËn k cã nghÞch ®¶o theo
modulo 26 khi vμ chØ khi ¦CLN(det k, 26) = 1.
Sau ®©y sÏ chøng minh ng¾n gän kÕt qu¶ nμy.
Tr−íc tiªn, gi¶ sö r»ng ¦CLN(det k, 26) = 1. Khi ®ã k
det cã
nghÞch ®¶o trong 26
Z . Víi m
i
1 ≤
≤ , m
j
1 ≤
≤ , ®Þnh nghÜa j
i
k lμ
ma trËn thu ®−îc tõ k b»ng c¸ch lo¹i bá hμng thø i vμ cét thø j. Vμ
®Þnh nghÜa ma trËn *
k cã phÇn tö ( )
j
,
i cña nã nhËn gi¸ trÞ
( ) i
j
j
i
k
det
1
+
− ( *
k ®−îc gäi lμ ma trËn bï ®¹i sè cña k). Khi ®ã, cã
thÓ chøng tá r»ng:
( ) *
1
1
k
k
det
k
−
−
=
Bëi vËy k lμ kh¶ nghÞch.
Ng−îc l¹i, k cã nghÞch ®¶o 1
k−
. Theo quy t¾c nh©n cña
®Þnh thøc:

( ) 1
1
k
det
k
det
k
k
det
I
det
1 −
−
=
=
=
Bëi vËy k
det cã nghÞch ®¶o trong 26
Z .
NhËn xÐt: C«ng thøc ®èi víi 1
k−
ë trªn kh«ng ph¶i lμ mét
c«ng thøc tÝnh to¸n cã hiÖu qu¶ trõ çc tr−êng hîp m nhá (ch¼ng
h¹n m = 2, 3). Víi m lín, ph−¬ng ph¸p thÝch hîp ®Ó tÝnh çc ma
trËn nghÞch ®¶o ph¶i dùa vμo çc phÐp to¸n hμng s¬ cÊp.
Trong tr−êng hîp 2
2 × , ta cã c«ng thøc sau:
§Þnh lý 3.1:
Gi¶ sö ( )
j
i
a
A = lμ mét ma trËn cÊp 2
2 × trªn 26
Z sao cho
1
2,
2
1,
2
2,
1
1, a
a
a
a
A
det −
= cã nghÞch ®¶o. Khi ®ã:
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
−
−
1
,
1
1
,
2
2
,
1
2
,
2
1
1
a
a
a
a
A
det
A
Trë l¹i vÝ dô ®· xÐt ë trªn. Tr−íc hÕt ta cã:
1
26
mod
53
26
mod
24
77
2
mod
3
8
7
11
7
3
8
11
det
=
=
−
=
×
−
×
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
V× 1
26
mod
1 1
=
−
nªn ma trËn nghÞch ®¶o lμ:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
11
23
18
7
7
3
8
11
1
§©y chÝnh lμ ma trËn ®· cã ë trªn.
B©y giê ta sÏ m« t¶ chÝnh x¸c mËt m· Hill trªn Z26 (h×nh 3.2).

70
Cho m lµ mét sè nguyªn d−¬ng cè ®Þnh. Cho P = C = (Z26)m
vµ cho
K = { çc ma trËn kh¶ nghÞch cÊp m x n trªn Z26}
Víi mét khãa k ∈ K, ta x¸c ®Þnh:
ek(x) = xk
vµ dk(y) = yk-1
TÊt c¶ çc phÐp to¸n ®−îc thùc hiÖn trong Z26
H×nh 3.2: MËt m· Hill
3.5. HÖ mËt x©y dùng trªn çc cÊp sè nh©n xyclic
trªn vμnh ®a thøc
Trong phÇn nμy ta xÐt mét øng dông cña nhãm nh©n xyclic
trªn vμnh ®a thøc [ ] 1
x
x
Z n
2 + víi k
2
n = . §©y lμ mét tr−êng hîp
®Æc biÖt kh«ng ®−îc xem xÐt tíi khi x©y dùng çc m· khèng chÕ
sai. Tuy nhiªn, tr−êng hîp nμy l¹i cã nh÷ng øng dông kh¸ lý thó
trong mËt m· [4].
3.5.1. Nhãm nh©n cña vμnh
Bæ ®Ò 3.1:
Trong vμnh [ ] 1
x
x
Z n
2 + víi k
2
n = , tËp çc ®a thøc cã träng sè
lÎ sÏ t¹o nªn mét nhãm nh©n çc ®a thøc theo modulo 1
xn
+ .
Chøng minh:
V× k
2
n = nªn: ( ) ( )n
n
x
1
1
x +
=
+ .
Do ®ã, mäi ®a thøc a(x) cã träng sè lÎ ®Òu tháa m·n ®iÒu kiÖn:
( ) ( )
( ) 1
x
1
,
x
a
n
=
+ (3.1)
Çc ®a thøc nμy sÏ t¹o nªn mét nhãm nh©n G cã lòy ®¼ng
( ) 1
x
e = vμ cã cÊp b»ng: 1
n
2
G −
= .

Bæ ®Ò 3.2:
Mäi phÇn tö trong nhãm nh©n G cã cÊp lμ k
2 hoÆc cã cÊp lμ
−íc cña k
2 .
Chøng minh:
§©y lμ mét tr−êng hîp riªng cña ®Þnh lý ë phÇn 2.4.10. Ta cã
thÓ chøng minh b»ng qui n¹p:
k = 1: vμnh nμy chøa nhãm nh©n cÊp 2 lμ nhãm nh©n xyclic
®¬n vÞ I.
k = i : Gi¶ sö ( ) ( ) ( ) ( )}
x
a
,
,
x
a
,
x
a
,
x
a
{
A n
3
2
K
= lμ mét nhãm
nh©n xyclic cÊp n trong vμnh ( i
2
n = ).
k = i+1: B×nh ph−¬ng çc phÇn tö cña A ta cã nhãm nh©n
xyclic sau:
( ) ( ) ( ) ( )}
x
a
,
,
x
a
,
x
a
,
x
a
{
A n
2
6
4
2
2
K
=
Nhãm nh©n xyclic nμy hiÓn nhiªn lμ nhãm con cña nhãm
nh©n xyclic cÊp 1
i
i
2
2
.
2 +
= cã phÇn tö sinh lμ mét trong çc c¨n bËc
hai cña ( )
x
a .
Gäi Q lμ tËp çc thÆng d− bËc hai trong G. Ta cã bæ ®Ò sau:
Bæ ®Ò 3.3:
Sè çc thÆng d− bËc hai trong nhãm nh©n G cña vμnh ®−îc
x¸c ®Þnh theo biÓu thøc sau:
1
2 1
k
2
Q −
−
= (3.2)
Chøng minh: XÐt ( ) Q
x
f ∈ . Gi¶ sö c¨n bËc hai cña f(x) lμ ( )
x
g ,
tøc lμ:

72
( ) ( ) 1
x
mod
x
f
x
g n
2
+
=
NÕu ( ) ∑
= i
ix
g
x
g th× ( ) ∑
= i
2
ix
g
x
f .
Tøc lμ f(x) (cã träng sè lÎ) chØ gåm mét sè lÎ çc ®¬n thøc cã
mò ch½n.
Sè l−îng çc ®a thøc nμy b»ng:
( ) ( ) 1
2
n
1
2
n
2
n
3
2
n
1
2
n 2
C
C
C
Q −
−
=
+
+
+
= K .
3.5.2. Çc phÇn tö cÊp n vμ çc nhãm nh©n xyclic cÊp n
XÐt ( ) G
x
a ∈ . ( ) ∑
= i
ix
a
x
a . Ta cã bæ ®Ò sau:
Bæ ®Ò 3.4:
§a thøc a(x) lμ phÇn tö cÊp n khi nã cã chøa mét sè lÎ çc
®¬n thøc cã mò lÎ cã cÊp n vμ mét sè ch½n çc ®¬n thøc cã mò
ch½n cã cÊp lμ −íc cña n. Sè çc ®a thøc cÊp n b»ng 2
n
2 −
.
Chøng minh: V× ( ) G
x
a ∈ nªn nã cã träng sè lÎ. Sè l−îng çc
®¬n thøc cã cÊp n lμ (n/2) vμ sè l−îng çc ®¬n thøc cßn l¹i lμ (n/2).
Nh− vËy, sè çc ®a thøc a(x) cã cÊp n b»ng:
( ) ( ) 2
n
1
2
n
1
2
n
j
j
2
2
n
i
1
i
2
2
n 2
2
2
C
C −
−
−
−
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∑
∑
VÝ dô 3.6: n = 8
Cã tÊt c¶ 64
26
= çc phÇn tö cÊp n.
Ta cã thÓ sö dông çc phÇn tö nμy ®Ó x©y dùng çc nhãm
nh©n xyclic cÊp n.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) }
1
x
a
x
a
,
x
a
,
x
a
,
x
a
,
x
a
{
A 0
i
n
i
1
n
i
3
i
2
i
i
i =
=
= −
K
Cã tÊt c¶ 2
n
2 −
çc nhãm nh©n xyclic cÊp n vμ nhãm nh©n I
còng thuéc vμo líp çc nhãm nh©n nμy. Ta gäi nã lμ nhãm nh©n
xyclic ®¬n vÞ.
3.5.3. HÖ mËt x©y dùng trªn çc cÊp sè nh©n xyclic
3.5.3.1. Çc cÊp sè nh©n xyclic cÊp n
NÕu ta nh©n çc phÇn tö cña mét nhãm nh©n xyclic cÊp n víi
mét phÇn tö bÊt kú trong nhãm nhãm nh©n G cña vμnh ®a thøc ta
sÏ thu ®−îc mét cÊp sè nh©n xyclic cã c«ng béi lμ phÇn tö sinh cña
nhãm nh©n vμ cã sè h¹ng ban ®Çu lμ ®a thøc ®em nh©n.
Bæ ®Ò 3.5:
Sè çc cÊp sè nh©n xyclic cÊp n x©y dùng ®−îc trong G ®−îc
x¸c ®Þnh theo biÓu thøc sau:
2
2
2
2 k
k
2
.
2
N −
−
= (3.3)
VÝ dô 3.7:
n = 8 192
.
8
2
2
.
2
N 13
2
8
1
8
=
=
= −
−
n = 16 712
.
011
.
65
2
2
.
2
N 29
2
16
1
16
=
=
= −
−
n = 32 61
2
32
1
32
2
2
.
2
N =
= −
−
n = 64 125
2
64
1
64
2
2
.
2
N =
= −
−
n = 128 253
2
128
1
128
2
2
.
2
N =
= −
−
3.5.3.2. HÖ mËt x©y dùng trªn çc cÊp sè nh©n xyclic
Mçi cÊp sè nh©n xyclic cÊp n cã thÓ coi lμ mét phÐp biÕn ®æi
tuyÕn tÝnh cña vector m· ban ®Çu (®−îc coi lμ nhãm nh©n xyclic
®¬n vÞ I) .

74
Gäi α lμ phÇn tö sinh cña mét nhãm nh©n xyclic cÊp n. Ta cã
bæ ®Ò sau:
Bæ ®Ò 3.6:
Tæng c¸c sè h¹ng cña mét cÊp sè nh©n xyclic cÊp n cã c«ng
béi α vμ sè h¹ng ®Çu β ®−îc x¸c ®Þnh theo biÓu thøc sau:
( )⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
α
+
β
= ∏
−
=
1
k
0
i
2
n
i
1
S (3.4)
HiÓn nhiªn lμ 0
Sn ≠ .
HÖ mËt x©y dùng trªn c¸c cÊp sè nh©n nμy cã thÓ ®−îc m« t¶
theo s¬ ®å khèi sau:
HÖ mËt
M· hãa
A( , )
α β
I
Vµo
A( , )
α β
Ra
Khãa α β
Gi¶i m·
Vµo Ra
Khãa α β
A( , )
α β
A ( , )
α β
I
H×nh 3.3
Mçi phÐp biÕn ®æi (m· ho¸) A cã thÓ ®−îc ®Æc tr−ng bëi mét
ma trËn vu«ng cÊp n cã d¹ng sau:
0
2
.
.
.
A
α
β
α
β
α
β
=
M

A lμ mét ma trËn kh«ng suy biÕn vμ bëi vËy, lu«n tån t¹i 1
A−
tho¶ m·n:
I
A
.
A
A
.
A 1
1
=
= −
−
TËp c¸c phÐp biÕn ®æi nμy lμ mét tËp kÝn ®èi víi phÐp tÝnh
(nh©n ma trËn) vμ t¹o nªn mét nhãm nh©n cã phÇn tö ®¬n vÞ lμ
phÐp biÕn ®æi ®ång nhÊt (ma trËn ®¬n vÞ I).
Nhãm nh©n trong vμnh c¸c ma trËn vu«ng nμy lμ nhãm
tuyÕn tÝnh ®Çy ®ñ vμ ®−îc ký hiÖu lμ GL(n, GF(2)).
ThuËt to¸n m· ho¸ kh¸ ®¬n gi¶n, chØ dùa trªn phÐp to¸n
nh©n vμ b×nh ph−¬ng mét ®a thøc ( ) G
x
a ∈ theo modulo ( )
1
xn
+
(a(x) cã cÊp n) víi mét ®a thøc b(x) bÊt kú G
∈ .
3.5.3.3. VÊn ®Ò gi¶i m·
§Ó gi¶i m· ta ph¶i t×m phÐp biÕn ®æi ng−îc 1
A−
lμ ma trËn
nghÞch ®¶o cña ma trËn A. Tuy nhiªn ta cã thÓ dÔ dμng thùc hiÖn
gi¶i m· dùa trªn bæ ®Ò sau:
Bæ ®Ò 3.7:
Ma trËn A cã cÊp (order) hoÆc lμ n, hoÆc lμ −íc cña n. Tøc lμ
ta lu«n cã:
I
An
=
Hay ( )
4
4 3
4
4 2
1
K
lÇn
k
2
2
2
2
A ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ë ®©y, A ®−îc xem lμ phÇn tö sinh cña mét nhãm nh©n xyclic
cã cÊp b»ng n hoÆc b»ng −íc cña n.

76
VÝ dô 3.8: n = 8
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
0
,
12457
,
046
,
456
,
4
,
01356
,
024
,
012
{
,
A =
Ma trËn t−¬ng øng:
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
A =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
0
,
7
,
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
I
A
A
0
,
14567
,
046
,
046
,
4
,
01235
,
024
,
124
A
0
,
267
,
6
,
045
,
4
,
236
,
2
,
014
A
4
1
3
2
=
=
=
=
=
−
Chó ý: ë ®©y ta biÓu diÔn çc ®a thøc qua çc sè mò cña çc
thμnh phÇn kh¸c kh«ng. VÝ dô: ( ) 5
3
2
x
x
x
x
1
012345 +
+
+
+
= .
Vμo M· hãa Ra Vμo Gi¶i m· Ra
I → A → A A → (A2
)2
= I
VÝ dô 3.9:
XÐt cÊp sè nh©n cã c«ng béi (023) víi sè h¹ng ®Çu (023) (012) = (015).
B = {(015), (12457), (03467), (456), (145), (01356), (02347), (012)}
B2
= {(124), (136), (346), (035), (056), (257), (027), (147)}
B3
= {(02567), (047), (167), (23567), (12346), (034), (235), (12367)}
B4
={(02456), (13567), (02467), (01357), (01246), (12357), (02346),
(13457)}

B5
= {(347), (12345), (01245), (146), (037), (01567), (012346), (013457)}
B6
= {(245), (123), (467), (345), (016), (567), (023), (017) }
B7
= {(24567), (236), (127), (01347), (01236), (267), (356), (03457)} = B−1
B8
= I = {(1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (0)}
( )
2
2
2
B
I ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
ThuËt to¸n gi¶i m· chØ lμ mét thuËt to¸n lÆp cña thuËt to¸n
m· ho¸. Sè lÇn lÆp tèi ®a lμ k.
3.5.3.4. Çc ma trËn lu©n hoμn
Khi sö dông cÊp sè nh©n cã c«ng béi x vμ cã sè h¹ng ®Çu lμ
mét ®a thøc ( ) G
x
a ∈ ta sÏ cã mét líp çc biÕn ®æi ®Æc biÖt, ®−îc ®Æc
tr−ng bëi mét lo¹i ma trËn ®Æc biÖt, ®−îc gäi lμ ma trËn lu©n hoμn.
§Þnh nghÜa 3.3:
Ma trËn vu«ng A n×n trªn tr−êng F ®−îc gäi lμ ma trËn lu©n
hoμn nÕu nã cã d¹ng sau:
( )
( )
( )
F
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
x
a
x
x
xa
x
a
A
0
2
1
2
n
0
1
n
1
n
1
0
1
n
∈
=
= −
−
−
−
K
M
M
M
K
K
K
Bæ ®Ò 3.8:
§¹i sè çc ma trËn lu©n hoμn cÊp n trªn tr−êng F ®¼ng cÊu
víi ®¹i sè [ ] ( )
1
x
x
F n
− ®èi víi phÐp ¸nh x¹ çc ma trËn lu©n hoμn
thμnh çc ®a thøc d¹ng:
( ) ∑
−
=
=
1
n
0
i
i
ix
a
x
a

78
Bæ ®Ò 3.9:
Tæng vμ tÝch cña hai ma trËn lu©n hoμn lμ mét ma trËn
lu©n hoμn.
Ta cã: A.B = C
Trong ®ã: ( ) ( ) ( ) ( )
1
x
mod
x
b
.
x
a
x
c n
−
=
Bæ ®Ò 3.10:
Ma trËn lu©n hoμn A lμ kh¶ nghÞch khi vμ chØ khi ®a thøc
a(x) lμ nguyªn tè cïng nhau víi ( )
1
xn
− . Ma trËn nghÞch ®¶o B nÕu
tån t¹i sÏ t−¬ng øng víi b(x) tháa m·n ®iÒu kiÖn:
( ) ( ) ( )
1
x
mod
1
x
b
.
x
a
k
2
−
≡
Trong tr−êng hîp vμnh [ ] ( )
1
x
x
GF n
2 + vμ ( ) G
x
a ∈ , ta lu«n cã:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 1
1
x
,
x
a
1
x
,
x
a
k
k 2
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
+ .
Bæ ®Ò 3.11:
TËp çc ma trËn lu©n hoμn A øng víi ( ) G
x
a ∈ sÏ t¹o nªn mét
nhãm con nh©n Abel trong nhãm nh©n cña vμnh çc ma trËn
vu«ng. Trong nhãm nμy tån t¹i çc nhãm con lμ çc nhãm nh©n
xyclic cã cÊp b»ng n hoÆc −íc cña n.
Mèi quan hÖ gi÷a nhãm nh©n cña vμnh ®a thøc vμ nhãm nh©n
cña vμnh çc ma trËn vu«ng ®−îc m« t¶ trªn h×nh sau (h×nh 3.4).
Bæ ®Ò 3.12:
CÊp cña ma trËn lu©n hoμn A b»ng cÊp cña ®a thøc a(x)
t−¬ng øng cña nã.

Khi ord (a(x)) = 2 th× ma trËn lu©n hoμn A t−¬ng øng lμ mét
ma trËn tù nghÞch ®¶o.
Vµnh GF [x]/x + 1
2
2k
Nhãm nh©n G
Nhãm nh©n
lu©n hoµn
I
Vµnh çc ma trËn vu«ng cÊp 2k
Nhãm nh©n cña vµnh ma trËn
Nhãm nh©n çc ma trËn
lu©n hoµn cã a(x) G
Ma trËn ®¬n vÞ
H×nh 3.4: Quan hÖ gi÷a vµnh ®a thøc vµ vµnh ma trËn
Bæ ®Ò 3.13:
Sè çc ma trËn lu©n hoμn dïng ®Ó lËp m· b»ng sè çc phÇn
tö cña nhãm nh©n trong vμnh ®a thøc.
Trong tr−êng hîp ma trËn lu©n hoμn, thuËt to¸n m· ho¸ chØ
lμ mét phÐp céng víi n b−íc dÞch vßng.

80
ThuËt to¸n gi¶i m· bao gåm mét phÐp tÝnh nghÞch ®¶o cña
mét ®a thøc theo modulo ( )
1
xn
+ vμ n b−íc dÞch vßng t−¬ng øng
cña phÇn tö nghÞch ®¶o nμy.
VÝ dô 3.10: ( ) 2
x
x
1
x
a +
+
=
A= { (012), (123), (234), (345), (456), (567) (670), (701)}
A2
= { (124), (135), (246), (357), (460), (571), (602), (713)}
A3
={(01356), (12467), (23570), (34601), (45712), (56023), (67134),
(70245)}
A4
= {(4), (5), (6), (7), (0), (1), (2), (3)}
A5
= {(456), (567), (670), (701), (012), (123), (234), (345)}
A6
= {(460), (571), (602), (713), (024), (135), (246), (357)}
A7
= {(12457), (23560), (34671), (45702), (56031), (67124), (70235),
(01346)} = A−1
.
A8
= {(1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (0) } = I.
Vµo
(10110101)
(00001000)
Ra
A = {(0)', (1)',..., (7)'}
(7) (6) (5) (4) (3) (2) (1) (0)
H×nh 3.5: S¬ ®å thiÕt bÞ m· ho¸
Vµo
(00001000)
(10110101)
Ra
A = {(0), (1),..., (7)}
(7)' (6)' (5)' (4)' (3)' (2)' (1)' (0)'
H×nh 3.6: S¬ ®å thiÕt bÞ gi¶i m·

( ) 7
5
4
2
1
x
x
x
x
x
x
a +
+
+
+
=
−
Ta cã:
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
A
.
A 1
×
=
−
I
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
=
=
3.6. M· Affine
MDV lμ mét tr−êng hîp ®Æc biÖt cña MTT chØ gåm 26 trong
sè 26! çc ho¸n vÞ cã thÓ cña 26 phÇn tö. Mét tr−êng hîp ®Æc biÖt
kh¸c cña MTT lμ m· Affine ®−îc m« t¶ d−íi ®©y. Trong m· Affine,
ta giíi h¹n chØ xÐt çc hμm m· cã d¹ng:
( ) 26
mod
b
ax
x
e +
=
26
Z
b
,
a ∈ . Çc hμm nμy ®−îc gäi lμ çc hμm Affine (chó ý r»ng khi
a = 1, ta cã MDV).

82
§Ó viÖc gi¶i m· cã thÓ thùc hiÖn ®−îc, yªu cÇu cÇn thiÕt lμ
hμm Affine ph¶i lμ ®¬n ¸nh. Nãi c¸ch kh¸c, víi bÊt kú 26
Z
y ∈ , ta
muèn cã ®ång nhÊt thøc sau:
( )
26
mod
y
b
ax ≡
+
ph¶i cã nghiÖm x duy nhÊt. §ång d− thøc nμy t−¬ng ®−¬ng víi:
( )
26
mod
b
y
ax −
≡
V× y thay ®æi trªn 26
Z nªn b
y − còng thay ®æi trªn 26
Z . Bëi
vËy, ta chØ cÇn nghiªn cøu ph−¬ng tr×nh ®ång d−:
( ) ( )
26
Z
y
26
mod
y
ax ∈
≡
Ta biÕt r»ng, ph−¬ng tr×nh nμy cã mét nghiÖm duy nhÊt ®èi
víi mçi y khi vμ chØ khi ¦CLN(a, 26) = 1 (ë ®©y hμm ¦CLN lμ −íc
chung lín nhÊt cña c¸c biÕn cña nã). Tr−íc tiªn ta gi¶ sö r»ng,
¦CLN(a, 26) = d > 1. Khi ®ã, ®ång d− thøc ( )
26
mod
0
ax ≡ sÏ cã Ýt
nhÊt hai nghiÖm ph©n biÖt trong 26
Z lμ 0
x = vμ x = 26/d. Trong
tr−êng hîp nμy, ( ) 26
mod
b
ax
x
e +
= kh«ng ph¶i lμ mét hμm ®¬n
¸nh vμ bëi vËy nã kh«ng thÓ lμ hμm m· ho¸ hîp lÖ.
VÝ dô 3.11: Do ¦CLN(4, 26) = 2 nªn 7
x
4 + kh«ng lμ hμm m·
ho¸ hîp lÖ: x vμ 13
x + sÏ m· ho¸ thμnh cïng mét gi¸ trÞ ®èi víi
bÊt k× 26
Z
x ∈ .
Ta gi¶ thiÕt ¦CLN(a, 26) = 1. Gi¶ sö víi 1
x vμ 2
x nμo ®ã
tháa m·n:
( )
26
mod
ax
ax 2
1 ≡
Khi ®ã:
( ) ( )
26
mod
0
x
x
a 2
1 ≡
−

bëi vËy
( )
2
1 x
x
a
26 −
B©y giê ta sÏ sö dông mét tÝnh chÊt cña phÐp chia sau: NÕu
¦CLN(a, b) = 1 vμ bc
a th× c
a . V× ( )
2
1 x
x
a
26 − vμ
( ) 1
26
,
a
CLN =
− nªn ta cã:
( )
2
1 x
x
26 −
tøc lμ
( )
26
mod
x
x 2
1 ≡
Tíi ®©y ta ®· chøng tá r»ng, nÕu ¦CLN(a, 26) = 1 th× mét
®ång d− thøc d¹ng ( )
26
mod
y
ax ≡ chØ cã (nhiÒu nhÊt) mét nghiÖm
trong 26
Z . Do ®ã, nÕu ta cho x thay ®æi trªn 26
Z th× 26
mod
ax sÏ
nhËn ®−îc 26 gi¸ trÞ kh¸c nhau theo modulo 26 vμ ®ång d− thøc
( )
26
mod
y
ax ≡ chØ cã mét nghiÖm y duy nhÊt.
Kh«ng cã g× ®Æc biÖt ®èi víi sè 26 trong kh¼ng ®Þnh nμy. Bëi
vËy, b»ng c¸ch t−¬ng tù, ta cã thÓ chøng minh ®−îc kÕt qu¶ sau:
§Þnh lý 3.2:
§ång d− thøc m
mod
b
ax ≡ chØ cã mét nghiÖm duy nhÊt
m
Z
x ∈ víi mäi m
Z
b∈ khi vμ chØ khi ¦CLN(a, m) = 1.
V× 13
2
26 ×
= nªn c¸c gi¸ trÞ 26
Z
a ∈ tháa m·n ¦CLN(a, 26) =
1 lμ a = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 vμ 25. Tham sè b cã
thÓ lμ mét phÇn tö bÊt kú trong Z26. Nh− vËy, m· Affine cã
312
26
12 =
× khãa cã thÓ (dÜ nhiªn, con sè nμy lμ qu¸ nhá ®Ó b¶o
®¶m an toμn).

84
B©y giê, ta sÏ xÐt bμi to¸n chung víi modulo m. Ta cÇn mét
®Þnh nghÜa kh¸c trong lý thuyÕt sè.
§Þnh nghÜa 3.4:
Gi¶ sö 1
a ≥ vμ 2
m ≥ lμ çc sè nguyªn. ¦CLN(a, m) = 1 th×
ta nãi r»ng a vμ m lμ nguyªn tè cïng nhau. Sè çc sè nguyªn
trong m
Z nguyªn tè cïng nhau víi m th−êng ®−îc ký hiÖu lμ ( )
m
φ
(hμm nμy ®−îc gäi lμ hμm phi-Euler).
Mét kÕt qu¶ quan träng trong lý thuyÕt sè cho ta gi¸ trÞ cña
( )
m
φ theo çc thõa sè trong phÐp ph©n tÝch theo lòy thõa çc sè
nguyªn tè cña m (Mét sè nguyªn 1
p > lμ sè nguyªn tè nÕu nã
kh«ng cã −íc d−¬ng nμo kh¸c ngoμi 1 vμ p). Mäi sè nguyªn 1
m >
cã thÓ ph©n tÝch ®−îc thμnh tÝch cña çc lòy thõa çc sè nguyªn tè
theo çch duy nhÊt. VÝ dô 5
3
2
60 3
×
×
= vμ 2
7
2
98 ×
= ).
Ta sÏ ghi l¹i c«ng thøc cho ( )
m
φ trong ®Þnh lý sau:
§Þnh lý 3.3:
Gi¶ sö ∏
=
=
n
1
i
e
i
i
p
m
Trong ®ã çc sè nguyªn tè i
p kh¸c nhau vμ n
i
1
,
0
ei ≤
≤
> .
Khi ®ã:
( ) ( )
∏
=
−
−
=
φ
1
i
1
e
i
e
i
i
i
p
p
m
§Þnh lý nμy cho thÊy r»ng, sè khãa trong m· Affine trªn Zm
b»ng ( )
m
mφ , trong ®ã ( )
m
φ ®−îc cho theo c«ng thøc trªn (Sè çc

phÐp chän cña b lμ m vμ sè çc phÐp chän cña a lμ ( )
m
φ víi hμm
m· ho¸ lμ ( ) b
ax
x
e +
= ).
VÝ dô, khi ( ) 16
4
2
2
60
,
60
m =
×
×
=
φ
= vμ sè çc khãa trong m·
Affine lμ 960.
B©y giê, ta sÏ xÐt xem çc phÐp to¸n gi¶i m· trong mËt m·
Affine víi modulo m = 26. Gi¶ sö ¦CLN(a, m) = 1. §Ó gi¶i m· cÇn
gi¶i ph−¬ng tr×nh ®ång d− ( )
26
mod
b
ax
y +
≡ theo x. Tõ th¶o luËn
trªn thÊy r»ng, ph−¬ng tr×nh nμy cã mét nghiÖm duy nhÊt trong
Z26. Tuy nhiªn, ta vÉn ch−a biÕt mét ph−¬ng ph¸p h÷u hiÖu ®Ó t×m
nghiÖm. §iÒu cÇn thiÕt ë ®©y lμ cã mét thuËt to¸n h÷u hiÖu ®Ó
lμm viÖc ®ã. RÊt may lμ mét sè kÕt qu¶ tiÕp sau vÒ sè häc modulo
sÏ cung cÊp mét thuËt to¸n gi¶i m· h÷u hiÖu cÇn t×m.
§Þnh nghÜa 3.5:
Gi¶ sö m
Z
a∈ . PhÇn tö nghÞch ®¶o (theo phÐp nh©n) cña a
lμ phÇn tö m
1
Z
a ∈
−
sao cho ( )
m
mod
1
a
.
a
a
.
a 1
1
=
= −
−
.
B»ng çc lý luËn t−¬ng tù nh− trªn, cã thÓ chøng tá r»ng a cã
nghÞch ®¶o theo modulo m khi vμ chØ khi ¦CLN(a, m) = 1 vμ nÕu
nghÞch ®¶o nμy tån t¹i th× nã ph¶i lμ duy nhÊt. Ta còng thÊy r»ng,
nÕu 1
a
b −
= th× 1
b
a −
= . NÕu p lμ sè nguyªn tè th× mäi phÇn tö
kh¸c kh«ng cña p
Z ®Òu cã nghÞch ®¶o. Mét vμnh trong ®ã mäi
phÇn tö kh¸c 0 ®Òu cã nghÞch ®¶o ®−îc gäi lμ mét tr−êng.
Trong [3] cã mét thuËt to¸n h÷u hiÖu ®Ó tÝnh çc nghÞch ®¶o
cña m
Z víi m tïy ý. Tuy nhiªn, trong 26
Z , chØ b»ng ph−¬ng ph¸p
thö vμ sai còng cã thÓ t×m ®−îc çc nghÞch ®¶o cña çc phÇn tö
nguyªn tè cïng nhau víi 26:

86
1
1 1
=
−
, .
25
25
,
23
17
,
19
11
,
15
7
,
21
5
,
9
3 1
1
1
1
1
1
=
=
=
=
=
= −
−
−
−
−
−
(Cã thÓ dÔ dμng kiÓm chøng l¹i ®iÒu nμy, vÝ dô:
26
mod
1
105
5
7 ≡
=
× , bëi vËy 15
7 1
=
−
).
XÐt ph−¬ng tr×nh ®ång d− ( )
26
mod
b
ax
y +
≡ . Ph−¬ng tr×nh
nμy t−¬ng ®−¬ng víi
( )
26
mod
b
y
ax −
≡
V× ¦CLN(a, 26) = 1 nªn a cã nghÞch ®¶o theo modulo 26.
Nh©n c¶ hai vÕ cña ®ång d− thøc víi 1
a−
, ta cã:
( ) ( ) ( )
26
mod
b
y
a
ax
a 1
1
−
≡ −
−
¸p dông tÝnh kÕt hîp cña phÐp nh©n modulo:
( ) ( ) x
x
.
1
x
a
.
a
ax
a 1
1
=
=
≡ −
−
KÕt qu¶ lμ ( ) ( )
26
mod
b
y
a
x 1
−
≡ −
. §©y lμ mét c«ng thøc
t−êng minh cho x. Nh− vËy hμm gi¶i m· lμ:
( ) ( ) 26
mod
b
y
a
y
d 1
−
= −
H×nh 3.7 cho m« t¶ ®Çy ®ñ vÒ m· Affine. Sau ®©y lμ mét vÝ
dô nhá.
VÝ dô 3.12:
Gi¶ sö ( )
3
,
7
k = . Nh− ®· nªu ë trªn, 15
26
mod
7 1
=
−
. Hμm
m· ho¸ lμ:

( ) 3
x
7
x
ek +
=
Vμ hμm gi¶i m· t−¬ng øng lμ:
( ) ( ) 19
y
15
3
y
15
x
dk −
=
−
=
ë ®©y, tÊt c¶ çc phÐp to¸n ®Òu thùc hiÖn trªn 26
Z . Ta sÏ
kiÓm tra liÖu ( )
( ) x
x
e
d k
k = víi mäi 26
Z
x ∈ kh«ng? Dïng çc tÝnh
to¸n trªn 26
Z , ta cã:
( )
( ) ( )
( )
x
19
45
x
19
3
x
7
15
3
x
7
d
x
e
d k
k
k
=
−
+
=
−
+
=
+
=
Cho P = C = Z26 vµ gi¶ sö:
K = {(a, b) ∈ Z26 × Z26: ¦CLN(a, 26 = 1}
Víi k = (a, b) ∈ K, ta ®Þnh nghÜa:
ek(x) = ax + b mod 26
vµ dk(y) = a-1
(y – b) mod 26
H×nh 3.7: M· Affine
§Ó minh häa, ta h·y m· ho¸ b¶n râ "hot". Tr−íc tiªn, biÕn
®æi çc ch÷ h, o, t thμnh çc thÆng d− theo modulo 26. Ta ®−îc çc
sè t−¬ng øng lμ 7, 14 vμ 19. B©y giê sÏ m· ho¸:
0
26
mod
52
26
mod
3
7
7 =
=
+
×
23
26
mod
101
26
mod
3
14
7 =
=
+
×
6
26
mod
136
26
mod
3
19
7 =
=
+
×
Bëi vËy, ba ký hiÖu cña b¶n m· lμ 0, 23 vμ 6, t−¬ng øng víi
x©u ký tù AXG. ViÖc gi¶i m· sÏ do b¹n ®äc thùc hiÖn nh− mét
bμi tËp.

88
3.7. ÇC HÖ MËT M· TÝCH
Mét ph¸t minh kh¸c do Shannon ®−a ra trong bμi b¸o cña
m×nh n¨m 1949 lμ ý t−ëng kÕt hîp çc hÖ mËt b»ng çch t¹o tÝch
cña chóng. ý t−ëng nμy cã tÇm quan träng to lín trong viÖc thiÕt
kÕ çc hÖ mËt hiÖn nay (ch¼ng h¹n, chuÈn m· d÷ liÖu - DES ).
§Ó ®¬n gi¶n, trong phÇn nμy chØ h¹n chÕ xÐt çc hÖ mËt
trong ®ã P
C = : çc hÖ mËt lo¹i nμy ®−îc gäi lμ tù ®ång cÊu. Gi¶ sö
( )
1
1
1
1 D
,
E
,
K
,
P
,
P
S = vμ ( )
2
2
2
2 D
,
E
,
K
,
P
,
P
S = lμ hai hÖ mËt tù
®ång cÊu cã cïng çc kh«ng gian b¶n m· vμ râ. Khi ®ã, tÝch cña 1
S
vμ 2
S (kÝ hiÖu lμ 2
1 S
S × ) ®−îc x¸c ®Þnh lμ hÖ mËt sau:
( )
D
,
E
,
K
K
,
P
,
P 2
1 ×
Khãa cña hÖ mËt tÝch cã d¹ng ( )
2
1 k
,
k
k = trong ®ã 1
1 K
k ∈
vμ 2
2 K
k ∈ . Çc quy t¾c m· vμ gi¶i m· cña hÖ mËt tÝch ®−îc x¸c
®Þnh nh− sau: Víi mçi ( )
2
1 k
,
k
k = , ta cã mét quy t¾c m· k
e x¸c
®Þnh theo c«ng thøc:
( )( ) ( )
( )
x
e
e
x
e 1
2
2
1 k
k
k
,
k =
vμ quy t¾c gi¶i m·:
( )( ) ( )
( )
y
d
d
y
d 2
1
2
1 k
k
k
,
k =
NghÜa lμ, tr−íc tiªn ta m· ho¸ x b»ng 1
k
e råi m· l¹i b¶n kÕt
qu¶ b»ng 2
k
e . Qu¸ tr×nh gi¶i m· t−¬ng tù nh−ng thùc hiÖn theo
thø tù ng−îc l¹i:

( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x
x
e
d
x
e
e
d
d
x
e
e
d
x
e
d
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
,
k
k
,
k
k
,
k
=
=
=
=
Ta biÕt r»ng, çc hÖ mËt ®Òu cã çc ph©n bè x¸c suÊt øng víi
çc kh«ng gian khãa cña chóng. Bëi vËy, cÇn ph¶i x¸c ®Þnh ph©n
bè x¸c suÊt cho kh«ng gian khãa K cña hÖ mËt tÝch. HiÓn nhiªn
ta cã thÓ viÕt:
( ) ( ) ( )
2
K
1
K
2
1
K k
p
k
p
k
,
k
p 2
1
×
=
Nãi mét çch kh¸c, ta chän 1
k cã ph©n bè 1
K
p råi chän mét
çch ®éc lËp 2
k cã ph©n bè ( )
2
K k
p 2
.
Sau ®©y lμ mét vÝ dô ®¬n gi¶n ®Ó minh häa kh¸i niÖm hÖ mËt
tÝch. Gi¶ sö ®Þnh nghÜa hÖ mËt m· nh©n nh− trong h×nh 3.8 sau.
Gi¶ sö P = C = Z26 vµ gi¶ sö:
k = {a, Z26: ¦CLN(a, 26) = 1}
Víi a ∈ K, ta x¸c ®Þnh: ea(x) = ax mod 26
vµ da(y) = a-1
y mod 26
(x, y) ∈ Z
H×nh 3.8: M· nh©n
Cho M lμ mét hÖ m· nh©n (víi çc khãa ®−îc chän ®ång x¸c
suÊt) vμ S lμ MDV (víi çc khãa chän ®ång x¸c suÊt). Khi ®ã dÔ
dμng thÊy r»ng S
M× chÝnh lμ hÖ m· Affine (cïng víi çc khãa
®−îc chän ®ång x¸c suÊt). Tuy nhiªn, viÖc chøng tá M
S× còng lμ
hÖ m· Affine khã h¬n mét chót (còng víi çc khãa ®ång x¸c suÊt).

Giáo trình Mật mã học.pdf

Giáo trình Mật mã học.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Giáo trình Mật mã học.pdf

Similar to Giáo trình Mật mã học.pdf (20)

More from Man_Ebook

More from Man_Ebook (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Giáo trình Mật mã học.pdf