More Related Content
Similar to Cac phuong phap tim gtlngtnn
Similar to Cac phuong phap tim gtlngtnn (20)
More from Tam Vu Minh (20)
Cac phuong phap tim gtlngtnn
- 1. Ngêi viÕt : Cao Quèc Cêng - Trêng thcs VÜnh Têng- VÜnh Têng- VÜnh Phóc
A më ®Çu
C¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ ®¹i sè ë cÊp 2 cã ý nghÜa rÊt quan träng ®èi víi häc
sinh ë bËc häc nµy .§Ó gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè , t×m gi¸ trÞ lín nhÊt ,gi¸
trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ®¹i sè ngêi lµm to¸n ph¶i sö dông c¸c phÐp biÕn
®æi ®ång nhÊt c¸c biÓu thøc ®¹i sè , ph¶i biÕn ®æi vµ sö dông kh¸ nhiÒu
c¸c d¹ng h»ng ®¼ng thøc tõ c¸c d¹ng ®¬n gi¶n ®Õn c¸c d¹ng phøc t¹p .Bëi
thÕ , cã thÓ nãi c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè ë cÊp 2 t¹o ra kh¶ n¨ng gióp häc
sinh cã ®iÒu kiÖn rÌn luyÖn kü n¨ng biÕn ®æi ®ång nhÊt c¸c biÓu thøc ®¹i
sè.
C¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè ë ch¬ng tr×nh to¸n cÊp 2 cã sù liªn quan mËt thiÕt
®Õn c¸c kiÕn thøc chøng minh bÊt d¼ng thøc , c¸c bµi to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh
vµ hÖ ph¬ng tr×nh , c¸c kiªn thøc vÒ tËp hîp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ hµm sè.
VÒ mÆt t tëng bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè gióp häc sinh thªm gÇn gòi víi kiÕn thøc
thùc tÕ cña ®êi sèng x· héi , rÌn luyÖn nÕp nghÜ khoa häc , lu«n mong muèn
nh÷ng c«ng viÖc ®¹t hiÖu qu¶ cao nhÊt , tèt nhÊt .
Tãm l¹i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i ë chong tr×nh to¸n cÊp 2 lµ c¸c bµi to¸n
tæng hîp c¸c kiÕn thøcvµ kü n¨ng tÝnh to¸n rÌn kh¶ n¨ng t duy cho häc sinh ,
nã cã mét vai trß quan träng trong viÖc båi dìng häc sinh giái .Båi dâng HS thi
vµo c¸c trêng chuyªn , thi vµo cÊp 3.
B néi dung:
I. Ph¬ng ph¸p t×m gi¸ trÞ lín nhÊt , gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc b»ng
c¸ch ®a vÒ d¹ng Ax ≥0 hoÆc Ax ≤ 0
a, C¬ së lý luËn
- Trong tËp hîp c¸c sè (nguyªn , h÷u tû , sè thùc) kh«ng ©m th× sè 0 cã gi¸ trÞ
nhá nhÊt .
- Trong tËp hîp c¸c sè (nguyªn , h÷u tû , sè thùc) ©m th× sè 0 cã gi¸ trÞ lín
nhÊt .
- Tõ ®ã ta cã kÕt luËn : NÕu M = Ax / Ax ≥0 th× GTNN cña Ax = 0
NÕu M = Ax / Ax ≤0 th× GT LN cña Ax = 0
b, C¸c vÝ dô .
VÝ dô 1:
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc :
Ax = 2x2
- 8x +1 víi x lµ sè thùc bÊt kú.
Lêi gi¶i : Ta cã Ax = 2x2
- 8x +1 = 2( x- 2 )2
- 7 Ta cã víi mäi x th×
(x- 2)2
≥0 Nªn ta cã 2(x- 2)2
- 7 ≥-7 .
VËy Ax ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng -7 khi x=2
VÝ dô 2:
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
Mx = - 5x2
- 4x + 1 víi x lµ sè thùc bÊt kú.
1
- 2. Ngêi viÕt : Cao Quèc Cêng - Trêng thcs VÜnh Têng- VÜnh Têng- VÜnh Phóc
Lêi gi¶i: Ta cã Mx = - 5x2
- 4x + 1 = -5 ( x + 5
2
)2
+ 5
9
Víi mäi gi¸ trÞ cña x ta lu«n cã : -5 ( x + 5
2
)2
≤0 . VËy Mx ≤
5
9
(dÊu = x¶y ra
khi x = - 5
2
. Ta cã GTLN cña Mx = 5
9
víi x = - 5
2
.
II . Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc ®¹i sè b»ng
c¸ch ®a vÒ d¹ng 02
≥
k
Ax
hoÆc 02
≤
k
Ax
VÝ dô 3:
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
Ax =
x
xx
3
16152
++
Vãi x lµ c¸c sè thùc d¬ng .
Lêi gi¶i: Ta cã Ax =
x
xx
3
16152
++
=
3
23
3
)4( 2
+
−
x
x
víi mäi x >0 th×
3
23
3
)4( 2
+
−
x
x
≥
3
23
. VËy GTNN cña Ax = 3
23
víi x= 4.
VÝ dô 4:
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
Mx=
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
víi x thuéc tËp hîp sè thùc.
Lêi gi¶i: Ta cã Mx=
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
= 3 + 2)1(
1
2
++x
.
V× 2)1(
1
2
++x
≤
2
1
nªn ta cã
Mx = 3 + 2)1(
1
2
++x
≤ 3 + 0,5 = 3,5. VËy GTLN Mx = 3,5 víi (x+1)2
= 0 hay x=
-1
VÝ dô 5:
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
Fx,y = 22
1)(
2442
222
+++
+−+
xyyx
xyyxy
víi x, y lµ c¸c sè thùc.
Lêi gi¶i:Ta cã Fx,y = 22
1)(
2442
222
+++
+−+
xyyx
xyyxy
= )2)(1(
1
24
4
++
+
xy
y
v× y4
+1 ≠ 0 víi mäi gi¸
trÞ cña x nªn ta chia c¶ tö vµ mÉu cho y4
+1 ta ®îc : Fx,y =
2
1
2
+x
v× x2
≥0 víi
mäi x nªn x2
+ 2 ≥2 víi mäi x ,vµ do ®ã ta cã Fx,y =
2
1
2
+x
≤
2
1
VËy Fx,y dËt GTLN = 2
1
víi x=0, y lÊy gi¸ trÞ tuú ý.
2
- 3. Ngêi viÕt : Cao Quèc Cêng - Trêng thcs VÜnh Têng- VÜnh Têng- VÜnh Phóc
III. T×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc ®¹i sè b»ng c¸ch ¸p dông bÊt ®¼ng thøc
C«si.
1.BÊt ®¼ng thøc C«si : Víi c¸c sè d¬ng a,b, c ta cã:
a + b ab2≥ ®¹t ®îc dÊu = khi a=b .
a + b+ c abc3≥ ®¹t ®îc dÊu = khi a=b = c .
2. C¸c vÝ dô :
VÝ dô 6: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
Ax =
x
x 28 2
+
víi x > 0.
Lêi gi¶i:Ta cã Ax =
x
x 28 2
+
= 8x + x
2
. Ta thÊy 8x vµ x
2
lµ hai ®¹i lîng lÊy gi¸
trÞ d¬ng ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè d¬ng lµ 8x vµ x
2
ta cã:
8x + x
2
8162
2
.82 ==≥
x
x dÊu = xÈy ra khi 8x = x
2
= > x = 2
1
.
VËy GTNN Ax = 8 víi x = 2
1
.
VÝ dô 7 :
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
Bx = 16x3
- x6
víi x thuéc tËp hîp c¸c sè thùc d¬ng .
Lêi gi¶i: Tríc hÕt ta ph¶i t×m c¸ch biÕn ®æi ®Ó ¸p dông ®îc bÊt ®¼ng thøc
C«si ta cã
Bx = 16x3
- x6
= x3
(16- x3
) . Ta cã x3
> 0 , cßn 16 – x3
> 0 khi 16 > x3
hay x <
3
16 (*)
ta thÊy x3
vµ 16 – x3
lµ hai ®¹i lîng d¬ng . ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho hai
sè d¬ng x3
vµ 16- x3
ta cã 2 1616)16( 3333
=−+≤− xxxx suy ra x3
( 16 – x3
) ≤ 64
dÊu = xÈy ra khi x3
= 16- x3
=> x = 2 (Tho¶ m·n *). GTLN cña Bx = 64 , víi
x=2.
IV. Gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè b»ng ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô :
VÝ dô 8 :
Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc
Px =
52
3568056164
2
234
++
++++
xx
xxxx
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Lêi gi¶i: Ta cã : Px =
52
3568056164
2
234
++
++++
xx
xxxx
= 4x2
+ 8x+ 20 +
52
256
2
++ xx
V× x2
+ 2x +5 = (x+1)2
+4 > 0 (*) nªn Px lu«n x¸c ®Þnh víi mäi x ta ®Æt
y = x2
+ 2x + + 5 , ta cã Px = 4y + y
256
víi y > 0 , ta thÊy 4y vµ y
256
lµ hai ®¹i
lîng lu«n d¬ng .¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè d¬ng 4y vµ y
256
ta
cã :
3
- 4. Ngêi viÕt : Cao Quèc Cêng - Trêng thcs VÜnh Têng- VÜnh Têng- VÜnh Phóc
4y + y
256
6416.2.2
256
.42 ==≥
y
y . DÊu = xÈy ra khi 4y = y
256
=> y = 8 hoÆc
y = -8
tõ ®ã tÝnh ®îc x= -3 hoÆc x=1. VËy víi x=-3 hoÆc x=1 th× GTNN cña Px =
64.
VÝ dô 9 :
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc :
Qx = (x2
- 2x + 2)(4x- 2x2
+ 2) víi x thuéc tËp hîp c¸c sè thùc.
Lêi gi¶i: §Æt x2
- 2x +2 = y ta cã 4x – 2x2
+ 2 = -y +6 . VËy Qx = y ( 6- 2y).
Ta cã 2Qx = 2y(6-2y) , ta thÊy x2
- 2x+2 = (x- 1)2
+1 >0 => y >0 => 6-2y > 0
khi y<3
VËy 2y vµ 6-2y lµ hai sè d¬ng .¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè d¬ng
2y vµ 6-2y ta cã : 2y + 6-2y )26(22 yy −≥ => 3 ≥ )26(2 yy − => 9 ≥ 2 Qx
dÊu = xÈy ra khi
2y = 6- 2y => y = 1,5 thay vµo ta cã x2
- 2x +2 = 1,5 => x = 1+
2
2
hoÆc x=
1 -
2
2
.VËy GTLN cña Qx = 4,5 víi x = 1+
2
2
hoÆc x= 1 -
2
2
.
VÝ dô 10 :
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc :
Hx = (8 + x2
+ x )(20 – x2
–x) víi x lµ c¸c sè thùc tuú ý .
Lêi gi¶i: Ta cã : * 8+ x2
+ x =( x+ 2
1
)2
+ 4
31
>0 víi mäi gi¸ trÞ cña x
*20 – x2
–x > 0 khi -5 < x < 4 .
Nh vËy Hx = (8 + x2
+ x )(20 – x2
–x) >0 khi -5 < x <4 . Tõ ®ã suy ra Hx cã gi¸
trÞ lín nhÊt th× GTLN ®ã chØ ®¹t ë trong kho¶ng x¸c ®Þnh (-5 ; 4).
Víi -5 <x <4 ta cã 8+ x2
+ x vµ 20 – x2
–x lu«n d¬ng . ¸p dông bÊt ®¼ng thøc
C«si cho hai ®¹i lîng d¬ng 8+ x2
+ x vµ 20 – x2
–x ta cã :
(8+ x2
+ x )+( 20 – x2
–x) )20)(8(2 22
xxxx −−++≥
14 )20)(8( 22
xxxx −−++≥ => 196 ≥ (8 + x2
+ x )(20 – x2
–x) .DÊu =
xÈy ra khi 8+ x2
+ x =20 – x2
–x => x= 2 hoÆc x= -3.
Hay Hx ≤ 196 .VËy GTLN cña Hx = 196 ,víi x=2 hoÆc x = -3.
V. T×m GTLN, GTNN cña c¸c biÓu thøc chøa nhiÒu ®¹i lîng .
VÝ dô 11 :
T×m gi¸ trÞ cña m, p sao cho A = m2
– 4mp + 5p2
+ 10m – 22p + 28 ®¹t gi¸
trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã .
Lêi gi¶i:
Ta cã A = m2
– 4mp + 5p2
+ 10m – 22p + 28 = ( m – 2p)2
+ ( p – 1)2
+27 +
10(m – 2p)
§Æt X = m-2p ta cã A = X2
+ 10 X +( p-1)2
+ 27 = (X+5) 2
+ (p-1)2
+ 2 .
Ta thÊy (X+5) 2
≥0 ; (p-1)2
≥0 víi mäi m, p do ®ã A ®¹t GTNN khi X+ 5=0 vµ
p-1=0.
4
- 5. Ngêi viÕt : Cao Quèc Cêng - Trêng thcs VÜnh Têng- VÜnh Têng- VÜnh Phóc
Gi¶i hÖ ®iÒu kiÖn trªn ta ®îc p= 1 , m= -3 .VËy GTNN cña A = 2 víi p= 1, m=-
3
VÝ dô 12 :
T×m gi¸ trÞ cña x, y sao cho F = x2
+ 26y2
– 10xy +14x – 76y + 59. ®¹t gi¸ trÞ
nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã.
Lêi gi¶i:
Ta cã F = x2
+ 26y2
– 10xy +14x – 76y + 59 = ( x-5y)2
+ (y-3)2
+14(x-5y)+50.
§Æt Èn phô : Z = x-5y ta cã F = (Z+7)2
+ (y- 3)2
+1 ≥1.
DÊu = xÈy ra khi Z+7=0 vµ y-3 = 0 gi¶ hÖ ®iÒu kiÖn trªn ta ®îc x=8 y= 3
.VËy GTNN cña F = 1 víi x=8, y=3 .
VÝ dô 13 :
T×m gi¸ trÞ cña x, y,z sao cho P = 19x2
+54y2
+16z2
-16xz – 24yz +36xy +5.
§¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã.
Lêi gi¶i:
Ta cã P = 19x2
+54y2
+16z2
-16xz – 24yz +36xy +5 = ( 9x2
+ 36xy + 36y2
) +
(18y2
- 24yz +8z2
) + (8x2
– 16xz + 8z2
) + 2x2
+ 5 hay
P = 9(x+2y)2
+ 2(3y – 2z)2
+ 8(x- z )2
+ 2x2
+ 5 .Ta thÊy (x+2y)2
≥ 0 ;
(3y – 2z)2
≥ 0; (x- z )2
≥ 0; 2x2
≥ 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x, y, z .
VËy GTNN cña P = 5 ®¹t ®îc khi x+2y = 0 vµ 3y- 2z =0 vµ x- z =0 vµ x=0 .
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn ta ®îc x= y =z = 0 .
VI. T×m GTLN,GTNN b»ng ph¬ng ph¸p sö dông bÊt ®¼ng thøc Buanhiac«pski.
*BÊt ®¼ng thøc Buanhiac«pski.
( a1b1 + a2b2 + .........anbn)2
≤ (a1
2
+ a2
2
+......+an
2
)(b1
2
+ b2
2
.......bn
2
)
DÊu b»ng xÈy ra khi
n
n
b
a
b
a
b
a
=== ......
2
2
1
1
*C¸c vÝ dô :
VÝ dô 14 : T×m c¸c gi¸ trÞ cña x,y,z ®Ó biÓu thøc sau ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt .
P = x2
+ y2
+z2
. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã biÕt : x+y+z = 1995.
Lêi gi¶i:
¸p dông bÊt ®¼ng thøc Buanhiacèpki cho bé ba sè : 1, 1, 1 vµ x, y, z ta cã :
(x.1 + y.1 + z.1)2
≤ (1 + 1+ 1)(x2
+ y2
+ z2
)
Hay : ( x + y +z )2
≤ 3.(x2
+ y2
+ z2
) . Tõ ®ã ta cã :
P = x2
+ y2
+ z2
≥
3
1995
3
)( 22
=
++ zyx
( V× theo gi¶ thiÕt x+ y +z =1995).
VËy GTNN cña P =
3
19952
dÊu = xÈy ra khi x =y =z kÕt hîp víi gi¶ thiÕt x + y
+z = 1995 .Ta cã x= y =z =665.
VÝ dô 14 :
Cho biÓu thøc Q = zyx .542 ++ . Trong ®ã x,y,z lµ c¸c ®¹i lîng tho¶ m·n ®iÒu
kiÖn
x2
+ y2
+ z2
= 169.T×m GTLN cña Q.
5
- 6. Ngêi viÕt : Cao Quèc Cêng - Trêng thcs VÜnh Têng- VÜnh Têng- VÜnh Phóc
Lêi gi¶i:
¸p dông bÊt ®¼ng thøc Buanhiacèpki cho bé ba sè : 2, 4, 5 vµ x, y, z ta cã :
(2x + 4y + 5 z)2
≤{ 22
+ 42
+ ( 5 )2
}( x2
+ y2
+ z2
) .
Hay Q2
≤{ 22
+ 42
+ ( 5 )2
}( x2
+ y2
+ z2
) v× x2
+ y2
+ z2
= 169 nªn Q2
≤
25.169.
VËy GTLN cña Q= 65 , dÊu = xÈy ra khi 542
zyx
== vµ x2
+ y2
+ z2
= 169 tõ ®ã
t×m ®îc x = 5
26
;
5
26
− . y= .
5
52
;
5
52
− z =
5
513
;
5
513
−
VII. C¸c bµi tËp ¸p dông :
Bµi 1: Cho biÓu thøc : Q =
544
3
2
+− xx
. T×m GTLN cña Q.
Bµi 2: BiÓu thøc : P =
2
12
2
+
+
x
x
cã gi¸ trÞ lín nhÊt kh«ng ?
H·y chøng tá kh¼ng ®Þnh cña m×nh.
Bµi 3: Cho biÓu thøc : A =
12
1
2
2
++
++
xx
xx
. Víi x ≠ -1 , x >0 .H·y t×m GTNN cña A.
Bµi 4: Cho biÓu thøc : B=
126
146
2
2
+−
+−
xx
xx
. T×m GTLN cña B.
Bµi 5: Cho biÓu thøc: F =
x
xx
3
16152
++
. Víi x >0. H·y t×m GTNN cña F.
Bµi 6: Cho biÓu thøc: A = 4
2
1 x
x
+
. H·y t×m GTLN cña A.
Bµi 7: Cho biÓu thøc: Y =
x
xx )8)(2( ++
. Víi x > 0 . H·y t×m GTNN cña Y.
Bµi 8: Cho biÓu thøc: Y =
1
122 23
−
−−+
x
xxx
. T×m GTNN cua Y.
VIII. Híng dÉn gi¶i vµ ®¸p sè :
Bµi 1:Ta cã : Q = 4
3
4)12(
3
2
≤
+−x
. VËy GTLN cña Q = 4
3
, víi x= 0,5.
Bµi 2: Ta cã P = 1 -
2
)1(
2
2
+
−
x
x
. V×
2
)1(
2
2
+
−
x
x
≥0 víi mäi x nªn P ≤1. VËy GTLN
cña P= 1
khi x=1.
Bµi 3:Ta cã : A= 1 - 2
1
1
++
x
x . §Ó A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi 2
1
1
++
x
x ®¹t GTLN
muèn vËy x+ x
1
+ 2 ph¶i ®¹t GTNN. Mµ x> 0 nªn x
1
> 0 ¸p dông bÊt ®¼ng
thøc C«si cho hai sè d¬ng x vµ x
1
ta cã : x + x
1
x
x
1
.2≥ = 2 .DÊu = xÈy
ra khi
x = x
1
=> x= 1; x = -1 (Lo¹i ).
6
- 7. Ngêi viÕt : Cao Quèc Cêng - Trêng thcs VÜnh Têng- VÜnh Têng- VÜnh Phóc
VËy GTNN cña A = 1 - 4
3
4
1
= , víi x= 1.
Bµi 4: Ta cã : B=
126
146
2
2
+−
+−
xx
xx
= 1+ 3)3(
2
2
+−x
. Ta thÊy B cã GTLN th×
3)3(
2
2
+−x
ph¶i ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt , vµ do ®ã (x-3)2
+ 3 ph¶i ®¹t gi¸ trÞ nhá
nhÊt .
Ta cã (x- 3)2
+ 3 ≥ 3 víi mäi x . VËy GTLN cña B = 3
5
, víi x = 3.
Bµi 5: Ta cã F =
x
xx
3
16152
++
. Víi x >0 chia tö cho mÉu ta cã F = 5
3
16
3
++
x
x
v× x
> 0
Nªn 3
x
> 0; x3
16
> 0 . ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã : 3
x
+ x3
16
x
x
3
16
3
2≥ =
3
8
; DÊu = xÈy ra khi x = 4. VËy GTNN cña F = 5 + 3
8
= 3
23
; víi x = 4.
Bµi 6: Ta cã : A = 4
2
1 x
x
+
víi x ≠ 0 th× A = 2
2
1
1
x
x
+
. A ®¹t GTLN khi 2
1
x
+ x2
nhá nhÊt , ta thÊy x2
vµ 2
1
x
lµ hai sè d¬ng nªn theo bÊt ®¼ng thøc C«si ta
cã:
x2
+ 2
1
x 2
2 1
.2
x
x≥ = 2 . DÊu = xÈy ra khi x4
= 1 => x= 1; x = -1.
VËy GTLN cña A = 2
1
, víi x= 1; x = -1.
Bµi 7: Ta cã : Y =
x
xx )8)(2( ++
. Víi x > 0 Y = x + x
16
+ 10
x
x
16
.2≥ + 10 = 18
( Theo bÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè d¬ng x vµ x
16
). DÊu = xÈy ra khi x =
4.
VËy GTNN cña Y = 18; víi x = 4 .
Bµi 8: Ta cã : Y =
1
122 23
−
−−+
x
xxx
( víi x ≠ 1) Y = ( x + 2
3
)2
- 4
5
4
5
−≥ .
DÊu = xÈy ra khi x = - 2
3
.
VËy GTNN cña Y = - 4
5
; víi x = - 2
3
.
c. kÕt luËn :
C¸c bµi to¸n vÒ t×m GTLN; GTNN lµ mét d¹ng to¸n kh«ng thÓ thiÕu trong ch-
¬ng tr×nh to¸n cÊp 2 . C¸c bµi to¸n nµy lµ mét trong nh÷ng chñ ®Ò quan träng
®Ó båi dìng häc sinh giái vµ luyÖn thi vµo cÊp 3; luyÖn thi vµo trêng chuyªn.
Víi kinh nghiÖm cña b¶n th©n trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y t«i ®· suy tÇm c¸c
bµi to¸n vÒ t×m GTLN; GTNN vµ c¸c ph¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n
7
- 8. Ngêi viÕt : Cao Quèc Cêng - Trêng thcs VÜnh Têng- VÜnh Têng- VÜnh Phóc
nµy . §ã chÝnh lµ néi dung t«i thÓ hiÖn trong chuyªn ®Ò . Do kinh nghiÖm
cña b¶n th©n cßn h¹n chÕ nªn kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt rÊt mong sù
®ãng gãp cña c¸c thÇy c« gi¸o ; cña c¸c em häc sinh ®Ó chuyªn ®Ò ®îc hoµn
thiÖn h¬n. Mäi gãp ý xin liªn hÖ sè ®iÖn tho¹i 0982 172 094 T«i xin ch©n
thµnh c¶m ¬n .
VÜnh Têng th¸ng 2 n¨m 2008
Cao Quèc Cêng
8
