Stain zawiyah cot kala 2010 geometri bidang ke 6 7 segi tiga dan teoremanya
Analisis regresi-korelasi
1. ANALISIS REGRESI KORELASI
Analisis regresi mempelajari bentuk hubungan antara satu atau lebih peubah bebas
(X) dengan satu peubah tak bebas (Y). dalam penelitian peubah bebas ( X) biasanya
peubah yang ditentukan oelh peneliti secara bebas misalnya dosis obat, lama
penyimpanan, kadar zat pengawet, umur ternak dan sebagainya. Disamping itu peubah
bebas bisa juga berupa peubah tak bebasnya, misalnya dalam pengukuran panjang badan
dan berat badan sapi, karena panjang badan lebih mudah diukur maka panjang badan
dimasukkan kedalam peubah bebas (X), sedangkan berat badan dimasukkan peubah tak
bebas (Y). sedangkan peubah tak bebas (Y) dalam penelitian berupa respon yang diukur
akibat perlakuan/peubah bebas (X). misalnya jumlah sel darah merah akibat pengobatan
dengan dosis tertentu, jumlah mikroba daging setelah disimpan beberapa hari, berat ayam
pada umu tertent dan sebagainya.
Bentuk hubungan antara peubah bebas (X) dengan peubah tak bebas (Y) bisa dalam
bentuk polinom derajat satu (linear) polinom derajat dua (kuadratik). Polinim derajat tiga
(Kubik) dan seterusnya. Disamping itu bisa juga dalam bentuk lain misalnya
eksponensial,logaritma,sigmoid dan sebagainya. Bentuk-bentuk ini dalam analisis
regresi-korelasi biasanya ditransformasi supaya menjadi bentuk polinom.
Dalam bentuk yang paling sederhana yaitu satu eubah bebas (X) dengan satu peubah
tak bebas (Y) mempunyai persamaan :
Y =a +bx
Disini a disebut intersep dan b koefisien arah
Dlam pengertian fungsi persamaan garis Y + a +bx hanya ada satu yang dapat
dibentuk dari dua buah titik denagn koordinat yang berbeda yaitu ( X 1, Y1) dan X2,Y2).
Hal ini berarti kita bisa membuat banyak sekali persamaan garis dalam bentuk lain
melalui dua buat titik yang berbeda koordinatnya/tidak berimpit.
Persamaan garis melalui dua buah titik dirumuskan sebagai berikut :
(Y − Y) 1 (X − X 1 )
=
(Y2 − Y1 ) (X 2 − X 1
2. Y
Y=a+bx
X
-----------------
y
b=
x
-------------------------
a - x
……………………..
Sebagai contoh misalnya titik A (1,3) dan titik B ($,9) maka persamaan gais linear yang
dapat dibuat adalah :
(Y − 3) ( X −1)
=
(9 − 3) (4 −1)
(Y-3)(4-1) =(X-1) (9-3)
3Y-9 = 6X-6
3Y = 3 +6X Y=1+2X
Dalam bentukmatrik bisa kita buat persaman sebagai berikut :
Y1 = a + b X 1
Y2 = a + b X 2
5. a 4/9 −13 4−3 1
= = =
b −1/3 9 −1+3 2
Jadi a=1 dan b=2 sehingga persamaannya Y=1 +2X
Jika jumlah data sebanyak n maka persamaannya sebagai berikut ;
Yi = βo + β1 X 1 + ε i
i= 1,2,3,…..n
disini βo adalah penduga a, β1 adlah penduga b dan εi merupakan besarnya simpangan
persamaan garis penduga. Semakin kecil nilai ε i persamaan regresi yang diperoleh akan
semakin baik.
Jadi kita dapat menuliskan pengamatan kita menjadi
y1 = β o + β1 X 1 + ε1
6. y 2 = β o + β1 X 2 + ε 2
y 3 = β o + β1 X 3 + ε 3
…………………..
y n = β o + β1 X n + ε n
Dengan notasi matrik dapt ditulis sebagi berikut :
Y1 1 X1 ε 1
Y 1 X2 ε
2 2
Y3 1 X 3 β o ε 3
= +
. . . β1 .
. . . .
Yn 1
Xn ε n
Jadi kita peroleh matrik Y,X,β dan ε dengan dimensi sebagi berikut :
Y X β
=
nx1 nx2 2x1 + nx1
ε
Jika diasumsikan E(ε) = 0 maka E(Y) = Xβ
Bila modelnya benar β merupakan enduga terbaik yaitu dengan jalan melakukan
penggadaaan awal dengan X’ sehingga diperoleh persamaan normal sebagai berikut :
X’Y=X’X β
2x1 2x2 2x1
Y1 1 X1
Y 1 X2
2
1 1 1 ......... 1 Y3 1 1 1 ........ 1 1 X 3 βo
X =
1 X2 X2 ........... X n . X 1
X2 X3 ...... X n .
. β1
. . .
Yn
1
Xn
n n
∑ Yi n ∑X β o
i
n i =1 = n i =1
2 β1
n
XY X
∑ i i
i =1 ∑ i
i =1
∑1 X i
i=
7. −1
n
n
β 0
n ∑ Xi ∑ Yi
β = n ni =1
i =1
n
1 X 2 XY
∑ i
i =1
∑ X1
i =1 ∑ i i
i =1
Jadi β=(X’X)-1X’Y
Disini(X’X)-1 adalah kebalikan (inverse)dari matrik X’X
n 2 n
1 ∑ Xi − ∑ Xi
(X’X)-1 = n n
i =1n i =1
n∑ X i − (∑ X i ) 2 − ∑ X i n
2
i =1 i =1
i =1
Y − β1 X
n
β o n n
Jadi β = = ∑ X i Yi − (∑ X i )(∑Yi ) / n
β1 i =1 i =1 i =1
n n
∑ X i 2 − (∑ X i ) 2 / n
i =1
i =1
Contoh
Seorang peneliti ingin mengetahui bentuk hubungan antara jumlah cacing jenis
tertentu denagn jumlah telurnya pada usus ayam buras. Untuk tujuan tersebut diperiksa
20 ekor ayam dan ditemukan sebagai berikut :
Tabel 1 jumlah cacing dan jumlah telurnya pada usus ayam buras am buras.
No Jumlah Cacing ( Xi) Jumlah telurnya (Yi)
1 12 45
2 14 50
3 13 51
4 12 43
5 15 61
6 16 62
7 13 50
8 11 43
9 10 40
10 11 44
11 12 48
12 13 52
8. 13 17 70
14 19 76
15 13 53
16 11 43
17 16 60
18 12 48
19 14 53
20 15 63
Total 269 1055
rataan 13,45 52,75
Dari data diatas kita bisa menghitung :
n
∑X
i =1
i =12+14+13+…………………………+15=269
n
∑Y
i=1
i =45+50+51+……………………….+63=1055
n
∑X
i =1
i
2
=122+142+132+……………………+152=3719
n
∑Y 2
i =452+502+512+……………………+622=57449
i =1
n
∑X Y
i =1
i i =12x45+14x50+13x51+…………………+15x63=14604
1 n 1
X = ∑ X i = 20 = 269 = 13,45
n i =1
1 n 1
X = ∑ Yi = 20 = 1055 = 52,75
n i =1
Bila kita duga bentuk hubungan antara jumlah cacing (X)dan jumlah telurnya (Y)
adalah :
Ŷi=β0 +β1Xi+εi
i=1,2,3,……………………..,20
disini Ŷi adalah dugaan Yi
jadi persamaan normalnya adalah :
X’Y =X’Xβ
9. 20 n
∑1 Yi 20 ∑X i β 0
20i = = 20 i =1
2 β1
20
XY X
∑ i i ∑ i
i =1 i =1
∑1 X 1
i=
1055 20 269 β o
14604 = 269 3719 β
1
20 2 20
n 2
β o 1 ∑ X1 − ∑ X i ∑ Yi
β = i =120 20=1
i =1 i
20 20
1 20 X 2 − (∑ X i ) 2 − ∑ X i X Y
∑ 1 ∑ i i
20
i =1 i =1
i =1
i =1
β o 1 3719 − 269 1055 − 2,442
β = − 269 =
20 14604 4,103
1 20(3719) − (269)
2
Jadi Ŷ=-2,442 + 4,103 Xi,
Persamaan garis regresi Yi =-2,442 + 4,103 Xi bukanlah satu-satunya garis penduga
untuk menyatakan hubungan antara jumlah cacing dengan jumlah telurnya. Sudah barang
tentu masih banyak lagi bentuk persamaan penduga yang dapat dibuat misalnya dalam
bentuk persamaan Yi=βo+β1Xi+β2Xi2,Yi=βoXiβ1 ( dalam bnetuk linear LnYi=Ln
βo+βiLnXi)dan masih banyak lagi bentuk yang lainnya
Untuk menyatakan apakah garis yang diperoleh cukup baik untuk menggambarkan
hubungan antara peubah bebas (X) dengan peubah tak bebas(Y) dapat dilakukan
pengujian bentuk model yang digunakan dan keeratan hubungannya (korelasinya) untuk
menyatakan ketepatan dan ketelitian persamaan garis regresi yang diperoleh.
Garis regresi yang kita peroleh akan selalu melalui rata-rata peubah X dan Y (X,Y)maka
dapat dijelaskan seperti gambar dibawah ini
10. Y (Xi,Yi)
Ỹ = β0 + β1Xi
Yi
(Yi-Ў.)=(ỹ- Ў.)(Yi- ỹ)
Ỹ
ỹ
β0
0 _
X
X
Dengan metode kuadrat terkecil maka kita peroleh :
{( ) }
n n 2
∑(Y
i =1
i − Y .) = ∑ Υi − Y . + (Yi −Y i)
2
i =1
{ }
n n
∑ (Yi − Y .) 2 = ∑ ˆY − Y .) 2 + (Yˆi − Y .)(Yi − Yˆi ) + (Yi − Yˆi ) 2
i =1
(
i =1
Dari persamaan diatas maka diperoleh :
n n
1 n
JK total = ∑ (Yi − Y .) = ∑Yi − (∑Yi ) 2
2 2
i =1 i =1 n i =1
n n
1
JK Regresi = ∑(Yi − Y .) = ( X ' Y ) β − (∑Yi )
ˆ 2 2
i =1 n i =1
n n 2
JK Galat = ∑(Yi − Yi ) 2 = ∑Yi − ( X ' Y )' β
ˆ
i =1 i =1
n
Sedangkan= ∑(Yˆ
i =1
i
ˆ
− Y .)(Yi − Yi ) = 0
Untuk menetukan apakah garis regresi yang kita peroleh cukkup dapatdipercaya maka
kita dapat mengujinya dengan uji F seperi tabel sidik ragam dibawah ini
Sumber Derajat Jumlah Kuadrat tengah F F tabel
11. keragaman bebas kuadrat hitung 0,05 0,01
Regresi p JK R JKR KTR
=KTR
p KTG
JKG
Galat n-1-p JK G = KT
n −1 − p
G
Total n-1 JK T
KTR
Jika hasil hitungan yaitu F hitung ( )≥ dari F tabel (0,05; p,n-1-p) maka dapat
KTG
disimpulkan persamaan garis regresi nyata (P<0,05) bentuk persamaannya seperti yang
KTR
kita duga demikian pula jika F hitung ( )≥ dari F tabel (0,05; p,n-1-p) maka dapat
KTG
disimpulkan persamaan garis regresi sangat nyata (P>0,05) atau dengan kata lain
persamaaan garis regresi tersebut tidak bisa kita terima sebagai penduga hubungan antara
peubah (X) dengan Peubah (Y)
Bila bentuk hubungan antar peubah X dengan peubah Y sudah dapat kita terima maka
kita ingin pula mengetahui seberapa besar keeratan hubungannya(korelasinya). Walaupun
bentuk hubungan antara peubah X dengan peubah Y ada dalam bentuk yang benar belum
tentu korelasinya bsar karena banyakpeubah lain yang turut mempengaruhi perubahan
peubah Y
Besarnya perubahan peubah Y yang dapat diterangkan oleh peubah X dengan
menggunakan persamaan garis regresi yang diperoleh disebut koefisien determinan
Koefisien determinat diberi lambing r2 untukbentuk persamaan garis regresi
sederhana dan R2 untuk bentuk persamaan lainnya, besarnya 0<r 2 =R2<1 dan dihitung
dengan rumus :
JK Re gresi
r2 = R2 =
JKTotal
Jadi koefisien korelasinya : r =R= ± R 2
Dari tabel 1 kita dapat menghitung
n
1 n (1055) 2
JK Total = ∑ Yi − (∑ Yi ) 2 = 57449 −
2
i =1 n i =1 20
= 57449-55651,25=1797,75
12. 1 n
JK Regresi = (X’Y)’β − (∑Yi ) = (1055)(2,442)+ (14606)(4,103) – 55651,25
2
n i =1
=1692,625
.JK Galat = JK total- JK Regresi =
= 1797,75-1692,625=105,098
Jadi tabel sidik ragamnya adalah :
Sumber Derajat Jumlah Kuadrat tengah F F tabel
keragaman bebas kuadrat hitung 0,05 0,01
Regresi 1 1692,652 1692,652 289,89 4,41 8,29
Galat 18 105,098 5,839
Total 19 1797,750
Jadi dapat disimpulkan bahwa persamaan garis regresi yang diperoleh sangat nyata
(P<0,01) karena F hitung> F tabel pada taraf signifikansi 0,01 (289,89>8,29)
JKregresi 1692,652
Jadi r = JKTotal = 1797,750 = 0,9415
2
Jadi dengan menggunakan persamaan garis regresi penduga Yi =-2,442 + 4,103 Xi
banyaknya jumlah telur cacing pada usus ayam buras sekitar 94,15 % ditentukan oleh
banyaknya cacing dalam usus tersebut sedangkan 5,85 % ditentukan atau dipengaruhi
oleh factor lain.
Jadi kereratan hubungan (r=±√0,9415=0,9703) dalam persamaan ini diambil hanya r
positip karena dengan bertambah besarnya nilai Xi nilai Yi juga meningkay. Untuk
menyatakan apakah hubungan cukup berarti maka besarnya r ini dapat kita bandingkan
dengan r tabel.
Jika r hitung ≥ r tabel (0,05:p,db=n-p-1) maka disimpulkan keeratan hubungannya
nyata (P>0,05) dan jika r hitung≥r tabel (0,01;p,db=n-p-1)maka disimpulkan keeratan
hungannya sangat nyata (P<0,01) sedangkan jika r hitung< r tabel (0,05;p,db=n-p-1)
maka disimpulkan keeratan hubungannya tidak nyata (P<0,01)
13. Bila persamaan garis regresi derajat polinomnya atau peubah bebasnya (X) lebih
besar dari satu maka perlu dilakukan pengujian terhadap koefisien garis regresinya (βj
yaitu β1,β2,…………,βp), untuk mengetahui βj yang mana yang menentukan ketepatan dan
ketelitian garis regresinya yang diperoleh.
Misalkan terdiri dari p peubah bebas maka modelnya menjadi Yi = β o + β1Xi1+
………..+βpXip dengan persamaan normalnya :
X 'Y X'X β
= disini d=p+1
dxi dxd dx1
n n n n
∑ Yi n ∑ Xi1 ∑ Xi 2 ............. ∑ Xip
n i =1
n i =1
n n
i =1
n
i =1
Xi1Yi ............. ∑ Xi1Xip
∑ ∑ ∑ X i2 1 ∑ Xi1Xi 2
Xi1
i =1 i =1 i =1 i =1 i =1
n = n n n n 2
∑ Xi 2Yi ∑ Xi 2 ∑ Xi 2 Xi1 ∑ X i2 .............. ∑ Xi 2 Xip
i =1 i =1 i =1 i =1 i =1
.......... ................ ................. ................. ............. ................
n n n n n
∑ XipYi ∑ Xip ∑ XipXi1 ∑ XipXi1 .............. ∑ X i2 p
i =1 i =1 i =1 i =1 i =1
Jadi :β= (X’X)-1X’Y
Jika elemen-elemen matrik X kita kurangi dengan rata-rata elemen-elemen tiap kolomnya
maka diperoleh matrik XA. sebagai contoh kita untuk p=2 maka matriknya adalah sebagai
berikut :
( X 11 − X .1 ) ( X 12 − X .2 )
( X 21 − X .1 ) ( X 22 − X .2 )
X A = ( X 31 − X .1 ) ( X 32 − X .2 )
.............. ..............
( X − X . ) ( X − X . )
n1 1 n2 2
14. n n
∑ ( Xi1 − X 1.) 2 ∑ ( Xi 1 − X i 2 − X .2 )
X 'A X A = n
i =1 i =1
n
( Xi − X . )( Xi − X . ) 2 2
∑ 1 2 2 2 ∑ ( Xi2 − X 2 . )
i =1 i =1
JKX 1 JHKX 1 X 2
Biasanya ditulis : X ' A X A =
JHKX 1 X 2 JKX 2
Untuk menguji βi kita cari kekalikan dari matriks XAXA-1kemudian kita gandakan dengan
n
S regresi yaitu (∑Yi − Yi) /( n − p − 1) maka pengujian βi dapat dilakukan dengan
ˆ
2 2
r
i =1
rumus :
βi
tH =
Sbi
Disini √Sbi adalah elemen-elemen diagonal matrik XAXA-1 yang telah digandakan dengan
S r2 regresi
Contoh
Seorang peneliti ingin mengetahui hubungan antara dosis oba tertentu (X) dengan kadar
Creatinin Ginjalnya (Y) dari hasil peneitiannya diperoleh hasil sebagai berikut :
Data hasil penelitiannya sebagai berikut:
No Dosis Obat mg (Xi) Kadar Creatinin % (Yi)
1 1 10
2 2 13
3 3 15
4 4 20
5 5 16
6 7 11
7 3 14
8 2 12
9 4 21
10 6 17
11 7 10
12 8 7
13 8 6
14 1 11
15 3 16
Jawab
15. Dari data yang diperoleh diduga bentuk persamaan garis regresinya Yi =β 0 +β1Xi
+β2X12+εi
Jadi persamaann normalnya adalah X’Y=X’X β
n n n
∑ Yi ∑ ∑X 2
n Xi 1
ni =1 n i =1
n
i =1
n β o
XiYi =
∑ i =1
Xi
∑ i =1
∑X
i =1
1
2
∑1 X 13 β 1
i=
n n n n β 2
∑ X 12Yi ∑ X 12 ∑X 3
1 ∑1 X 1
4
i =1
i =1
i =1 i=
199 15 64 356 β 0
803 = 64 356 2278 β
1
4055 356 2278 15703 β 2
−1
15 64 356 199
β1
β = 64 356 2278
803
2 356 2278 15703 4055
1,0520 − 0,5090 0,0500 199 3,36313
β1
β = − 0,5090 0,2855 − 0,0299
803 = 6,77799
2 0,0500 − 0,0299 0,0033 4055 − 0,80123
Jadi persamaan garis regresinya adalah:
2
Ŷi=3,36313 + 6,77799Xi -0,80123X 1
n
1 n (199) 2
JK total = ∑Yi − (∑Yi) = 2903 −
2 2
i =1 n i =1 15
= 2903-2640,067=262,933
1 n
JK Regresi =(X”Y)’ β − (∑ ) 2
n i =1
3,36313
6,77799 2
= [ 199 803 4055] − (199)
− 0,80123 15
= 669,263 +5442,726 -3248,988-2640,067
= 222,934
16. n
JK Galat = ∑Yi − ( X ' Y )' β = JK total – JK Regresi
2
i =1
= 262,933-222,934 =39,999
Jadi tabel sidik ragamnya adalah :
Sumber Derajat Jumlah Kuadrat tengah F F tabel
keragaman bebas kuadrat hitung 0,05 0,01
Regresi 2 222,934 111,476 33,44 3,89 6,93
Galat 12 39,999 3,333
Total 14 262,933
Disini S r2 = KT Galat =3,333
Jadi dapat kita simpulkan bahwa persamaan garis regresi yang diperoleh sangat nyata
(P<0,01) karena F hitung > f tabel pada taraf signifikasi 0,01(33,44>8,93)
JK Re gresi 222,934
Jadi R = JKTotal = = 0,8479
2
262,933
Maka R =√0,8479=0,9208
Bila kita bandingkan dengan R0,01(db=2;12)=0,732 maka disimpulkan korelasinya sangat
nyata (P<0,01)
Untuk menguji β1dan β2 maka dicari matrik XAXA dan kebalikkanya (XAXA-1)
n
1 n (64) 2
JK X = ∑ Xi − (∑ Xi ) = 356 −
2 2
i =1 n i =1 15
= 356 – 273,0667 = 82,9333
n
1 n (356) 2
JK X2 = ∑ Xi − (∑ Xi ) = 15703 −
4 2 2
i =1 n i =1 15
= 15703 -8449,0667 =7253,9333
n
1 n n
JK XX = ∑
2 Xi 3 − (∑ Xi ) (∑ Xi 2 )
i =1 n i =1 i =1
(64)(356)
= 2278-
15
= 2278 – 1518,9333 =759,0667
17. 82,9333 759,0667 −1 0,28545 − 0,02987
X’AXA = , X ' A X A = − 0,02987 0,00326
759,0667 7253,9333
0,28545 − 0,02987 0,951405 − 0,099557
S r2 = 3,333 =
XAXA-1 − 0,02987 0,00326 − 0,099557
0,010866
βi
tH =
Sbi
6,77799
Untuk β maka t H = 0,951405 = 6,61
1
− 0,80123
Untuk β2 maka t H = 0,010866 = 7,69
Bila kita bandingkan t0,005(db=n-p-1=12)=3,055 tH untuk β1 dan β2 lebih besar dari t tabel 0,01
maka disimpulkan koefisien garis regresinya sangat nyata (P<0,01)
dar creatinin Darah (%)
20
Kadar Creatinin Darah
18
16
14
12
10
8
6
4 Y = 3.36313 + 6.77799X – 0.80123X2
2
0
0 2 4 6 8 10
Dosis Obat
18. 82,9333 759,0667 −1 0,28545 − 0,02987
X’AXA = , X ' A X A = − 0,02987 0,00326
759,0667 7253,9333
0,28545 − 0,02987 0,951405 − 0,099557
S r2 = 3,333 =
XAXA-1 − 0,02987 0,00326 − 0,099557
0,010866
βi
tH =
Sbi
6,77799
Untuk β maka t H = 0,951405 = 6,61
1
− 0,80123
Untuk β2 maka t H = 0,010866 = 7,69
Bila kita bandingkan t0,005(db=n-p-1=12)=3,055 tH untuk β1 dan β2 lebih besar dari t tabel 0,01
maka disimpulkan koefisien garis regresinya sangat nyata (P<0,01)
dar creatinin Darah (%)
20
Kadar Creatinin Darah
18
16
14
12
10
8
6
4 Y = 3.36313 + 6.77799X – 0.80123X2
2
0
0 2 4 6 8 10
Dosis Obat
