Dokumen tersebut membahas fungsi Bessel, termasuk persamaan diferensial Bessel, solusi umum persamaan tersebut, dan rumus rekursif koefisien solusi tersebut. Dokumen ini menjelaskan bahwa solusi umum fungsi Bessel merupakan deret tak hingga yang koefisien-koefisienya terkait dengan fungsi Gamma.

1. FUNGSI BESSEL
Disusun oleh :
Aditya Nur Rohma (M0109002)
Fiqih Sofiana (M0109030)
Hilda Anggriyana (M0109035)
Suvya Nur Chamidah (M09109064)
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sebelas Maret
Surakarta
2011

2. Bentuk umum persamaan diferensial Bessel yaitu :
x 2 y' ' xy '( x 2  p 2 ) y  0 …(1).
Dari persamaan (1) kedua ruas dibagi dengan x 2 , sehingga diperoleh :
1 x2  p2
y' ' y ' y  0 … (2).
x x2
Dengan mengambil
1 x2  p2
A( x)  ; B( x)  …(3),
x x2
diperoleh titik singular, selanjutnya akan diselidiki apakah titik singular x0  0 .
1
( x  x0 ) A( x)  ( x  0) 1
x
2 x  p
2 2
( x  x0 ) B( x)  ( x  0) (
2
2
)  x2  p2
x
Pada x  0 , ( x  x0 ) A( x) dan ( x  x0 ) 2 B( x) keduanya analitik sehingga x  0
merupakan titik singular regular pada x  x0 .

( x  x0 ) A( x)    m ( x  x0 ) m  1   0  1
m 0

( x  x0 ) 2 B( x)    m ( x  x0 ) m  x 2  p 2   0   p 2
m 0
Diperoleh persamaan indicial, yaitu
r 2  ( 0  1)   0  0
r 2  (1  1)  p 2  0
r 2  p2  0
r 2  p2
r  p
 
sehingga diperoleh solusi y1    m ( x  x0 ) m r1   m x m r
m 0 m 0
Selanjutnya mencari turunan pertama dan kedua untuk menyelesaikan persamaan
diferensial (1), diperoleh :
  
y'   (m  r ) m x m r 1  xy '  x  (m  r ) m x m r 1   (m  r ) m x m r
m 0 m 0 m 0
 
y ' '   (m  r )(m  r  1) m x m r 2  x 2 y ' '  x 2  (m  r )(m  r  1) m x m r 2
m 0 m 0

  (m  r )(m  r  1) m x m r
m 0
 
( x 2  p 2 ) y  x 2 y  p 2 y  x 2  m x m r  p 2  m x m r
m 0 m 0

3.  
  x 2 m x m  r   p 2 m x m  r
m 0 m 0
 
   m x m  r  2   p 2 m x m  r
m 0 m 0
 
   m  2 x m  r   p 2 m x m  r
m2 m 0
sehingga
x 2 y' ' xy '( x 2  p 2 ) y  0
 
[(m  r )(m  r  1)  (m  r )  p 2 ] m x mr   m2 x mr  0
m 0 m2
…(4)
Pada persamaan (4) kedua ruas dibagi dengan x r , selanjutnya koefisien-koefisien
dari x m dikumpulkan sehingga diperoleh :
 
[(m  r )(m  r  1)  (m  r )  p 2 ] m x m   m2 x m  0
m 0 m2
 
 
 [(m  r )(m  r  1)  (m  r )  p 2 ] m    m2  x m  0
 m 0 m2 
  

 [(m  r )(m  r  1)  (m  r )  p 2 ] m   m2   0
 m 0 m2 
((0  r )(0  r  1)  (0  r )  p ) 0  ((1  r )(1  r  1)  (1  r )  p 2 )1 
2
 
[(m  r )(m  r  1)  (m  r )  p 2 ] m   m2  0
m2 m2
 

(r 2  r  r  p 2 ) 0  ((r  1) 2  p 2 )1   ((r  m) 2  p 2 ) m   m2  0
m2
karena  0  0 maka r 2  p 2  r   p
((r  1) 2  p 2 )1  0  1  0
sehingga diperoleh rumus rekursif yaitu ((m  r ) 2  p 2 ) m   m2
Penyelesaian terhadap akar r1  p , maka rumus rekursif menjadi
(m  r  p)(m  r  p) m   m2
(m  p  p)(m  p  p) m   m2
m(m  2 p) m   m2 untuk m  2,3,4,... …(5)
karena 1  0 sehingga diperoleh  3  0 ,  5  0 , … ,  2 k 1  0 untuk k  1,2,... dengan
syarat (2 p  m)  0 untuk m  2,3,4,...
Untuk mencari persamaan  m , dengan mengganti variabel m  2m pada persamaan
(5), sehingga diperoleh
2m(2m  2 p) 2 m   2 m2
2 2 m(m  p) 2 m   2 m2
1
 2m    2 m2 untuk m  1,2,3,... …(6)
2 m(m  p)
2

4. selanjutnya diperoleh
0 0
2   
2(2  2 p) 4(1  p)
2 2 0
4    
4(4  2 p) 8(2  p) 32(1  p)(2  p)
4 4 0
6    
6(6  2 p) 12(3  p) 384(1  p)(2  p)(3  p)
 2 m2  2 m2
dapat ditulis secara umum untuk n genap, yaitu  2 m   
2m(2m  2 p) 2 m(m  2 p)
2
Dengan mengingat kembali hubungan rekursif fungsi gamma
( p  2)
( p  2)  ( p  1)( p  1)  ( p  1) 
( p  1)
( p  3)
( p  3)  ( p  2)( p  2)  ( p  2)( p  1)( p  1)  ( p  2)( p  1) 
( p  1)
( p  4)  ( p  3)( p  3)  ( p  3)( p  2)( p  1)( p  1)
( p  4)
( p  3)( p  2)( p  1) 
( p  1
selanjutnya diperoleh
0   ( p  1)
2    2 0   20
4(1  p) 2 (1  p) 2 ( p  2)
0 0  ( p  1)
4    04
32(1  p)(2  p) 2!2 ( p  2)( p  1) 2!2 ( p  3)
4
0  ( p  1)
6     06
384(1  p)(2  p)(3  p) 3!2 ( p  4)
Dengan demikian bentuk solusi dari y untuk r  p adalah

y    m x m r
m 0
 0 ( p  1)  0 ( p  1)  0 ( p  1)
 0 x p  x 2 p  x 4 p  x 6 p  ...
1!2 ( p  2)
2
2!2 ( p  3)
4
3!2 6 ( p  4)
 x
p
 1 1  x
2
1  x 
4
  0 2   ( p  1) 
p
      
2  (1)( p  1) (2)( p  2)  2 
 (3)( p  3)  2  
1
Dengan mengambil  0  , selanjutnya diperoleh fungsi Bessel jenis
2 ( p  1) p
pertama orde p, dapat ditulis secara umum yaitu :
2 m p

(1) m  x
J p ( x)    
m 0 ( m  1)( m  p  1)  2 
Sedangkan fungsi Bessel jenis kedua orde –p yang diperoleh dengan cara yang sama
yaitu :

5. 2m p
(1) m

 x
J  p ( x)    
m 0 ( m  1)( m  p  1)  2 
namun jenis kedua lebih umum dinyatakan dalam ungkapan fungsi yang lain yaitu :
( ) ( ) ( ) ( )
dimana A dan B konstanta, sedangkan ( )dan ( ) adalah fungsi Neuman dan fungsi
Weber yaitu :
( ) J p (x) J  p (x)
( ) ( )
( )
Jadi, penyelesaian umum persamaan fungsi Bessel adalah
1. Jika p merupakan bilangan bulat, maka penyelesaian umum persamaan fungsi Bessel
untuk setiap x  0 yaitu y( x)  c1 J p ( x)  c2 J  p ( x) .
2. Jika p merupakan bukan bilangan bulat, maka bukan penyelesaian umum.
Misal bilangan bulat p  n , J n (x) dan J n (x) adalah bergantung linear karena
J n ( x)  (1) n J n ( x) untuk n  1,2,3,... .
Contoh Soal :
1. Buktikan bahwa ( ) ( ) , untuk n= 1,2,3,…
Jawab: ( ) ∑ ( )
( ) ( )
=∑ ( ) ( )
( ) + ∑ ( ) ( )
( )
Karena ( ) invinit untuk m= 0,1,2,…,n-1, maka
∑ ( )
( ) ( )
Jadi,
( ) ∑ ( ) ,misalkan m= k+p
( ) ( )
( ) ∑ ( )
( ) (( )
( )
)
( ) ( )
∑ ( )
( ) (( ) )
( ) ( )
( ) ∑ ( ) ( )
( ) ( )
(Terbukti)

6. 2. Selesaikan PD
( )
( )
integer.
Penyelesaiannya : ( ) ( )
( ) ( )
( ) ∑
( ) ( )
( ) ( )
∑
( ) ( )
( ) ( )
∑
( )
( ⁄ ) ( ⁄ ) ( ⁄ )
( ⁄ ) ( ⁄ ) ( ⁄ )
( ⁄ ) ( ⁄ ) ( ⁄ )
( ⁄ ) ( ⁄ ) ( ⁄ )
( ⁄ ) ( ⁄ ) ( ⁄ )
√ √ √
( ⁄ )
( )
√
( ⁄ )
√
√
( ) ( )
( ) ∑
( ) ( )

7. ( ) ( )
∑
( )
( ⁄ ) ( ⁄ ) ( ⁄ )
( ) ( ) ( )
( ⁄ ) ( ⁄ ) ( ⁄ )
( )
√
( ⁄ )
( )
√
( ⁄ )
√
√
√
Jadi penyelesaiannya adalah
√ √