Least squares adjustment of nonlinear systems

1. วิชา การคํานวณปรับแก แผนการสอนวชา การคานวณปรบแก - แผนการสอน
• มโนทัศนของการคํานวณปรับแก • การคํานวณปรับแกร บบสมการที่ไมเปนเชิงเสน• มโนทศนของการคานวณปรบแก
– measurements, errors, redundancy
– แบบจําลองทางคณิตศาสตรในงานสํารวจ
และทําแผนที่
• การคานวณปรบแกระบบสมการทไมเปนเชงเสน
– ระบบสมการที่ไมเปนเชิงเสนและการหาคําตอบ
– การคํานวณปรับแกระบบสมการที่ไมเปนเชิงเสน
• การแพรของความคลาดเคลื่อน
• สมการคารังวัด และ คําตอบของระบบ
สมการเชิงเสน
• การคํานวณปรับแก
• การแพรของความคลาดเคลอน
– ความนาจะเปน
– วงรีความคลาดเคลื่อน
• การวิเคราะหผลการคํานวณปรับแก
– ตัวอยางงายๆ
• การปรับแกแบบลีสทสแควร
– วิธีการคํานวณปรับแกดวยสมการเงื่อนไข
การวเคราะหผลการคานวณปรบแก
• การคํานวณปรับแกในงานสํารวจและทําแผนที่
– การสํารวจทางราบ
– งานระดับ
– วิธีการคํานวณปรับแกดวยสมการคารังวัด
• น้ําหนักของคารังวัด และ การคํานวณ
ปรับแกคารังวัดแบบมีน้ําหนัก
ป ใ ป
งานระดบ
– GPS
– การแปลงพิกัด
– การสํารวจจากภาพถาย
• การคํานวณปรับแกในการแปลงพิกัด
1วิชาการคํานวณปรับแก

2. การคํานวณปรับแก
ปเอกสารประกอบการบรรยาย

3. หัวขอการบรรยายหวขอการบรรยาย
- ระบบสมการที่ไมเปนเชิงเสนและการหาคําตอบ
- การคํานวณปรับแกระบบสมการที่ไมเปนเชิงเสนการคานวณปรบแกระบบสมการทไมเปนเชงเสน

4. ระบบสมการที่ไมเปนเชิงเสนและการหาคําตอบ

5. Equation of Circles :
http://www.regentsprep.org/regents/math/algtrig/atc1/circlelesson.htm

6. ตองการหาจดตัดของต กา หาจุดตดข
วงกลม 2 วง
มีจุดตัด 2 จุด

7. 95y2x
16yx
22
22
=++−
=+
)()( 95y2x =++− )()(
ระบบสมการนี้ไมใชระบบสมการเชิงเสน ไมสามารถเขียนใหอยูในรูป
Ax = b ไดโดยตรงAx = b ไดโดยตรง
การหาคําตอบของระบบสมการสามารถทําไดโดยทําใหสมการอยในการหาคาตอบของระบบสมการสามารถทาไดโดยทาใหสมการอยูใน
รูปของสมการเชิงเสนเสียกอน แลวจึงเขียนใหอยูในรูป Ax = b

8. การทําสมการใหเปนเชิงเสนการทาสมการใหเปนเชงเสน
Li i tiLinearization
วิชาการคํานวณปรับแก 8

9. ตัวอยาง
= 24 y
.. = 12414 xy =
___. =14 y
x
x

10. y
y
xy =
y
Δy
yo
yo
x
x
x
Δx
xxo xo x
yyy 0 Δ+=
dy
axax0 Δ+= slopelinetheis,
dx
dy
a =

11. ตัวอยาง
ใ___.14 = กําหนดให x0 = 4
d
xy = 14y .=
0
1
x
dx
dy
x Δ+= 414
42
1
4 ).( −+=
)( 0
0
0 xx
x2
1
x −+= 10
4
1
2 .+=
0252.=

12. ใ  ใการทําสมการ 2 ตัวแปร ใหเปนเชิงเสน ใชการ
ประมาณคาดวยอนกรมเทเลอร (Ta lor’s Series)ประมาณคาดวยอนุกรมเทเลอร (Taylor’s Series)
dfdf
y
dy
df
x
dx
df
yxfyxf
0 xxxx
00 Δ+Δ+=
=
),(),(
dydx
0
0
0
0
yy
xx
yy
xx
=
=
=
=
xo,yo เปนคาประมาณของ x,y ตามลําดับ
12

13. 22
16yx =+
)()(
xx
22
xx
22
2
o
2
o
22
y
y
yx
x
x
yx
yxyx
oo
Δ
∂
+∂
+Δ
∂
+∂
++=+
==
oo
2
o
2
o
yy
xx
yy
xx
16yy2xx2yx
yx
o
o
o
o
=Δ+Δ++=
∂∂
==
)( 2
o
2
ooo
oooo
yx16yy2xx2
yyy
+−=Δ+Δ
)()( 22
95y2x =++−
))()(()()( 2
o
2
ooo 5y2x9y5y2x2x2 ++−−=Δ++Δ−

14. 5295222
yx16yy2xx2
22
2
o
2
ooo +−=Δ+Δ )(
5y2x9y5y2x2x2 2
o
2
ooo ++−−=Δ++Δ− ))()(()()(
5y2x9
yx16
y
x
5y22x2
y2x2
2
o
2
o
2
o
2
o
oo
oo
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++−−
+−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Δ
Δ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+− ))()((
)(
)()(
bxA
yyy oo
=
⎦⎣⎦⎣⎦⎣ ))()((
bAx
bxA
1−
=
่ ่ ่คา Δx,Δy ที่คํานวณได เปนคาแกใหกับคาประมาณเริ่มตน เพื่อหาคําตอบ x,y
xxx o Δ+=
จากนั้นตองทําการวนซ้ํา โดยแทนคาให x = x y = y ที่ได คา Δx Δy ที่ไดในการวนซ้ํา
yyy o Δ+=
จากนนตองทาการวนซา โดยแทนคาให xo = x, yo = y ทได คา Δx,Δy ทไดในการวนซา
ควรมีขนาดเล็กลง จนกระทั่งเล็กกวาเกณฑที่กําหนดหรือไมมีนัยสําคัญ

15. ตองการหาจดตัดของต กา หาจุดตดข
วงกลม 2 วง
มีจุดตัด 2 จุด
1 ≈ 1 ≈ 41. x ≈ -1, y ≈ -4
2. x ≈ 3, y ≈ -22. x , y 2
2
1

17. การคํานวณปรับแกระบบสมการที่ไมเปนเชิงเสน

18. ตัวอยางต
ตองการหาขนาดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง
า า า า ั้ สา ี่ไ  า าร ั รจากความยาวของดานทงสามทไดจากการวดระยะ
คารังวัด (ม.)
l2
l3 l1
3.1
l 3 92 l2
3.9
l3
5.1
l1

19. n = 3
2
l
l3
no = 2
r = 1
l2
u = no = 2
X ( ) Y ( )
l1
: X (l1),Y (l2)
3
1
c = r + u = 3
1lX
ˆ
ˆ=
22
2
l
lY
ˆ
ˆ=
3
22
lYX =+

20. 1lX
ˆ
ˆ=
22
2
l
lY
ˆ
ˆ= => Ax = L + v
3
22
lYX =+
⎥
⎤
⎢
⎡
⎥
⎤
⎢
⎡
⎤⎡⎥
⎤
⎢
⎡ 11 v
l
l
X
01
⎥
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎢
⎣
+
⎥
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎢
⎣
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎢
⎣
22
v
v
l
l
Y
X
aa
10
⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ 3321 vlaa
สมการที่ 3 ไมสามารถเขียนใหอยูในรูป
a X + a Y = l +va1X + a2Y = l3+v3

21. จากตัว า ร สมการมีสมการที่มีตัว ปรไมทราจากตวอยาง ระบบสมการมสมการทมตวแปรไมทราบ
คาในรูปที่ไมเปนเชิงเสน ทําใหไมสามารถใชวิธีการู
ปรับแกสําหรับระบบสมการเชิงเสนได
ในการคํานวณปรับแกตองเขียนสมการทั้งหมดใหอยูใน
่ไ รูปสําหรับการปรับแกระบบสมการที่ไมเปนเชิงเสน

22. 3
22
lYX =+ ˆ
2222
3
YXdYXd
lYX
++
+
3
2222
2
0
2
0 lY
dY
YXd
X
dX
YXd
YX =Δ
+
+Δ
+
++ ˆ
3
2
0
2
03
2222
vYXlY
dY
YXd
X
dX
YXd
++−=Δ
+
+Δ
+
3003
Y21X21
dYdX
3
2
0
2
032
0
2
0
0
2
0
2
0
0
vYXlY
YX
Y2
2
1
X
YX
X2
2
1
++−=Δ
+
+Δ
+

23. lX ˆ
2
1
lY
lX
ˆ=
=
3
22
lYX ˆ=+
lY
dX
X
dX
X ˆΔΔ 10
lY
dY
X
dY
Y
lY
dY
dX
X
dX
dX
X
ˆΔ+Δ+
=Δ+Δ+
2222
22
10
lY
YXd
X
YXd
YX
lY
dY
X
dX
Y
ˆΔ
+
Δ
+
=Δ+Δ+
3
2
0
2
0 lY
dY
X
X
dX
X
YX =Δ+Δ++

24. +−=Δ+Δ 101
YlY1X0
vXlY0X1 )()(
++Δ⎟
⎞
⎜
⎛
+Δ⎟
⎞
⎜
⎛
+−=Δ+Δ
2200
202
vYXlY
Y
X
X
vYlY1X0 )()(
++−=Δ
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝ +
+Δ
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝ +
30032
0
2
0
0
2
0
2
0
0
vYXlY
YX
X
YX
⎤⎡
⎥
⎤
⎢
⎡ −
⎤⎡⎥
⎥
⎤
⎢
⎢
⎡
101 vXl
X
01
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Δ
Δ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎢
⎢
⎢
⎢
3
2
1
2
0
2
03
02
01
00
v
v
YXl
Yl
X
Y
X
YX
10
⎥⎦⎢⎣⎦⎣ +
⎥
⎦
⎢
⎣ ++
3003
2
0
2
0
2
0
2
0
vYXl
YXYX
J x = L + v

25. การคํานวณปรับแกระบบสมการที่ไมเปนเชิงเสน
1. เขียนสมการคารังวัด f1,f2,…,fc และ กําหนดคาประมาณเริ่มตนของตัวแปรไมทราบคา (xo)
f(x x x ) = l + vf(x1, x2, … , xu) = l + v
2. ทําใหอยูในรูปสมการเชิงเสน
ii
i
2
i
1
i
vxflX
df
X
df
X
df
+−=Δ++Δ+Δ )(
3. แทนคาประมาณ และ เขียนในรูปเมตริกซ
ioiu
u
2
2
1
1
vxflX
dX
X
dX
X
dX
+Δ++Δ+Δ )(K
J x = L + v
4. คํานวณหาตัวไมทราบคา (คาแก)
– คารังวัดมีน้ําหนักเทากัน– คารงวดมนาหนกเทากน
x = (JTJ)-1JTL
– คารังวัดมีน้ําหนักตางกัน
x = (JTWJ)-1JTWL
5. นําคาแกไปรวมกับคาประมาณเริ่มตน และ ใชคาที่ไดเปนคาประมาณเริ่มตนในการวนซ้ําขั้นตอนที่
3 4 จนกระทั่งคาแกไมมีนัยสําคัญ (converge)
วิชาการคํานวณปรับแก 25
3-4 จนกระทงคาแกไมมนยสาคญ (converge)

26. J x = L + v 3.
⎥
⎤
⎢
⎡Δ −
LJJJ
X
x T1T
)(
J x = L + v 3.
4=⎥
⎦
⎢
⎣Δ
= LJJJ
Y
x T1T
)( 4.
⎤⎡Δ⎤⎡⎤⎡ XXX 0
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Δ
Δ
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Y
X
Y
X
Y
X
0
0
5.
Δ > δ
yes no
⎤⎡⎤⎡ XX0
yes no
post process
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Y
X
Y
X
new0
0 post process
- analysis
make uses

27. ตัวอยางต
ตองการหาขนาดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง
า า า า ั้ สา ี่ไ  า าร ั รจากความยาวของดานทงสามทไดจากการวดระยะ
คารังวัด (ม.)
l2
l3 l1
3.1
l 3 92 l2
3.9
l3
5.1
l1

28. n = 3
2
l
l3
no = 2
r = 1
l2
u = no = 2
X ( ) Y ( )
l1
: X (l1),Y (l2)
3
1
c = r + u = 3
1lX
ˆ
ˆ=
22
2
l
lY
ˆ
ˆ=
3
22
lYX =+

29. Xo = 3
Y = 4 ++ 543YX 2222
Yo = 4
⎥
⎤
⎢
⎡⎥
⎤
⎢
⎡
=+=+
0101
543YX 00
⎥
⎥
⎥
⎥
⎢
⎢
⎢
⎢
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎢
⎢
⎢
⎢
=
43
10
01
YX
10
01
J
00
⎤⎡⎤⎡
⎥
⎦
⎢
⎣⎥
⎥
⎦
⎢
⎢
⎣ ++
10Xl
55YXYX 2
0
2
0
0
2
0
2
0
0
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
=
10
10
10
YXl
Yl
Xl
L
22
02
01
.
.
=
⎥⎦⎢⎣⎥
⎦
⎢
⎣ +−
−
LJJJx
10YXl
T1T
2
0
2
03
)(
.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
0520
1360
.
.

30. Xo = 3.1360
Y = 3 9480Yo = 3.9480
=+=+ 0419543YX 222
0
2
0 .
⎥
⎥
⎤
⎢
⎢
⎡
= 10
01
J
⎤⎡−
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎣
03600
7830062200
.
..
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
05810
04800
03600
L .
.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎦⎢⎣
00180
00070
x
05810
.
.
⎥
⎦
⎢
⎣− 00180.

31. Xo = 3.1367
Y = 3 9462Yo = 3.9462
0410543YX 2222
=+=+ 0410543YX 222
0
2
0 .
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
000010
000020
x
.
.
X = 3.1367 ม.
Y = 3.9462 ม.
03670 ⎤⎡
m
05900
04620
03670
LJxv
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=−=
.
.
.
⎦⎣

32. ตัวอยาง
Ghil i C D W lf P R 2006 dj C i i l D l i 4th di i 201Ghilani, C.D., Wolf, P.R., 2006, Adjustment Computation : Spatial Data Analysis 4th edition, page 201.
n = 3
no = 2
r = 1r = 1
u = no = 2 : x,yu no x,y
c = r + u = 3

33. +=−+ v016yyx3x 1
22
.
++
+=−
++
v23y3yx6x2
v771y3x7
v016yyx3x
2
2
23
1
.
.
+=+−
502
v23y3yx6x2 3.
⎤⎡⎤⎡
== 50y2x oo .,
⎥
⎥
⎥
⎤
⎢
⎢
⎢
⎡
−=
⎥
⎥
⎥
⎤
⎢
⎢
⎢
⎡
−
−+
= 384
555
y6x21
y2x3y3x2
J o
2
o
oooo .
⎥
⎤
⎢
⎡
⎥
⎤
⎢
⎡ −+−
⎥⎦⎢⎣ −−⎥⎦⎢⎣ +−−
259yyx3x016
91y6x6y62
2
ooo
2
o
ooo
.)(.
⎥
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎢
⎣
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎢
⎢
⎢
⎣ +−−
−−=
454
4516
y3yx6x223
y3x7771
yy
L
2
oooo
2
o
3
o
oooo
.
.
)(.
)(.
)(
⎦⎣⎦⎣ yy oooo )(

37. Nonlinear TransformationNonlinear Transformation

38. P j ti T f tiProjective Transformation
Projective Transformation เปนสมการ
แปลงพิกัดบนระนาบสองระนาบที่ไมขนานกันแปลงพกดบนระนาบสองระนาบทไมขนานกน
สามารถนํามาใชประโยชนในงานแผนที่ได งานที่ใช
โ โ ้ประโยชนโดยตรงจากสมการนี้ คือ การดัดแก
ภาพถายเพื่อใหไดภาพในมมมองที่ตองการภาพถายเพอใหไดภาพในมุมมองทตองการ

39. ภาพถายตนฉบับภาพถายตนฉบับ ภาพถายดัดแกภาพถายดัดแก
39

40. ภาพถายตนฉบับภาพถายตนฉบับ ภาพถายดัดแกภาพถายดัดแกx
YY
y
X
YaXaa ++
y
YbXbb
YcXc1
YaXaa
x
21
210
++
++
++
=
40
YcXc1
YbXbb
y
21
210
++
++
=

41. จุดควบคุมภาพถาย
41

42. จุดควบคุมภาพถาย เปนจุดบนภาพถายที่ทราบคาุ ุ ุ
พิกัดพื้นดิน ใชในการหาความสัมพันธทาง
คณิตศาสตรระหวางพิกัดภาพถาย x y และพิกัดคณตศาสตรระหวางพกดภาพถาย x,y และพกด
พื้นดิน X,Y,Z โดยการรังวัดพิกัดภาพถาย
สําหรับภาพถายของพื้นดินที่เปนที่ราบ ความสัมพันธสาหรบภาพถายของพนดนทเปนทราบ ความสมพนธ
ระหวางพื้นดินและภาพถาย สามารถจําลองไดโดยใช
สมการ projective transformation
YaXaa ++
YbXbb
YcXc1
YaXaa
x
21
210
++
++
++
=
YcXc1
YbXbb
y
21
210
++
++
=

43. สมการของ projective transformation มี
ิ  ั้ ั ึ่ ไ พารามิเตอรทังหมด 8 ตัว ซึงสามารถหาไดจาก
การรังวัดพิกัดภาพถายของจดควบคมกา ดพกดภาพถายข จุดค คุม
ในการคํานวณพารามิเตอรของการแปลงนั้น จุด i
ซึ่ ี ิ ั ื้ ิ X Y รั ั ซงมพกดพนดน Xi,Yi จะถูกรงวดบนภาพถาย
เพื่อใหไดพิกัดภาพถาย xi,yi แลวจึงนํามาเขียนใหi,yi
อยูในรูปสมการแปลงพิกัดแบบ projective
t sf ti โดยมีพารามิเตอรเปนตัวไมtransformation โดยมพารามเตอรเปนตวไม
ทราบคาไดดังนี้ YaXaa ++
i2i10
i2i1
i2i10
i
YbXbb
YcXc1
YaXaa
x
++
++
++
=
i2i1
i2i10
i
YcXc1
YbXbb
y
++
++
=

44. พิกัดพื้นดินและพิกัดภาพถายของจุดควบคุม 1 จุดุ ุ ุ
สามารถนํามาเขียนไดเปนสมการได 2 สมการ ถา
ตองการคํานวณหาคาพารามิเตอรซึ่งมี 8 ตัว จะตองมีตองการคานวณหาคาพารามเตอรซงม 8 ตว จะตองม
จุดควบคุมอยางนอย 4 จุด ในทางปฏิบัติใชจุดมากกวา 4
จุด แลวทําการคํานวณปรับแกดวยวิธีลีสทสแควร
สมการ projective transformation เปนสมการที่ไม
ป  ใ ป ั  ึ  ใ  ใ ปเปนเชิงเสน ในการปรับแกจึงตองทําใหอยูในรูปสมการเชิง
เสนเสียกอนเสนเสยกอน

45. คาประมาณเริ่มตนสามารถหาไดโดยการจัดรปสมการณ ต ถ ก ู ก
ใหม เพื่อขจัดรูปของเศษสวนออก ดังนี้
YXYX
YcXc1
YaXaa
x
21
210
++
++
=
YxcXxcYaXaax
YaXaaYxcXxcx
21210
21021
−−++=
++=++
YcXc1
YbXbb
y 210
++
++
=
YycXycYbXbby
YbXbbYycXycy
YcXc1
21021
21
−−++=
++=++
++
YycXycYbXbby 21210 ++=
เมื่อไดคาประมาณเริ่มตนแลว จึงทําการคํานวณปรับแก
ดวยสมการเดิมแบบวนซ้ํา เพื่อหาคาแกใหกับคาประมาณ

47. 1. (จาก Ghilani, C.D., Wolf, P.R., 2006, page 189.)

48. 2 (จาก Mikh il d G i E l 4 9 4)2. (จาก Mikhail and Gracie, Example 4-9, page 84)
จุด A และ B อยูหางกัน 100.000 ม. ตองการหาระยะระหวางจุด B
C ส ั้ ั ส AB  รั ั รป  ไป ี้และ C ตามแนวเสนตงฉากกบเสน AB จากคารงวดและรูปตอไปน
คารังวัด S.D.คารงวด S.D.
l1
131.200 m 0.005 m
l 40° 20' 00" 21"l2
40 20 00 21
วิชาการคํานวณปรับแก้ 48

49. 3 (จาก Mikh il d G i P bl 4 9 04)3. (จาก Mikhail and Gracie, Problem 4-9, page 104)
ตองการหาคาพิกัด x,y จากคารังวัดซึ่งไมมีสหสัมพันธ ตามตารางและ
รป  ไป ี้รูปตอไปน
คารังวัด
s 352.140 ms
b 236.765 m
θ 42° 15' 20"θ 42 15 20
วิชาการคํานวณปรับแก้ 49

50. หนังสืออางอิงและอานประกอบหนงสออางองและอานประกอบ
Ghil i C D W lf P R 2006 Adj t t C t tiGhilani, C.D., Wolf, P.R., 2006, Adjustment Computation :
Spatial Data Analysis 4th edition – section 11.10 Least
Squares Solution Of Nonlinear Systems John Wiley &Squares Solution Of Nonlinear Systems, John Wiley &
Sons, Inc.
Mikhail, E.M., Gracie, G, 1981, Analysis and Adjustment of
Survey Adjustments – Chapter 4 Least Squares
Adj t t V N t d R i h ld CAdjustment, Van Nostrand Reinhold Co.