1. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) 1
วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57)
วันเสาร์ที 4 มกราคม 2557 เวลา 11.00 - 12.30 น.
ตอนที 1 แบบระบายตัวเลขทีเป็นคําตอบ จํานวน 10 ข้อ ข้อละ 2 คะแนน รวม 20 คะแนน
1. กําหนดให้ ‫ݖ‬ เป็นจํานวนเชิงซ้อนซึง ‫ݖ‬ = ݅ି଻
+ ݅ିହ
+ ݅ିଷ
+ ݅ ค่าของ |‫ݖ‬ଶ| เท่ากับเท่าใด
2. กําหนดให้ ݊ เป็นจํานวนนับทีมากทีสุดทีหาร 166 และ 1101 แล้วได้เศษเหลือ 1 แล้ว ݊ มีค่าเท่ากับเท่าใด
3. ผลบวกของคําตอบของสมการ 2 arcsinሺ‫ݔ‬ଶ
− 3‫ݔ‬ + 1ሻ + ߨ = 0 มีค่าเท่ากับเท่าใด
4. กําหนดให้ ݉ เป็นจํานวนจริงบวกซึงทําให้ ݉ܽത + ܾത ตังฉากกับ ݉ܽത − ܾത โดยที |ܽത| = 2 และ หܾതห = 5
แล้ว ݉ มีค่าเท่ากับเท่าใด

2. 2 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57)
5. กําหนดให้ ܽ, ܾ, ܿ เป็นจํานวนจริงซึง
൥
1 2 ܽ
3 1 ܾ
−1 0 ܿ
൩ ~ ൥
1 2 −1
0 −5 7
−1 0 2
൩ โดยการดําเนินการตามแถว ܴଶ − 3ܴଵ
แล้วค่าของ ܽ + ܾ + ܿ มีค่าเท่ากับเท่าใด
6. ค่าของ logଶ൫3୪୭୥య ଵ଺
൯ เท่ากับเท่าใด
7. ชันอนุบาลของโรงเรียนแห่งหนึงประกอบไปด้วยนักเรียน 4 ห้องซึงมีจํานวนนักเรียนและค่าเฉลียของนําหนักของ
นักเรียนในแต่ละห้องดังตาราง
แล้วค่าเฉลียนําหนักของนักเรียนอนุบาลทังระดับชันมีค่าเท่ากับเท่าใด
8.
6
0=
∑
r
ሺ−1ሻ௥
൫଺
௥
൯7଺ି௥
5௥
เท่ากับเท่าใด
จํานวนนักเรียนแต่ละห้อง นําหนักเฉลียของนักเรียนแต่ละห้อง
22 17
23 16
25 14
30 15

3. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) 3
9.
0
lim
→x
ሺଵା௫ሻሺଵା଺௫ሻିଵ
௫
มีค่าเท่ากับเท่าใด
10. ถ้า ‫ݔ‬ =
ଵ
√ଷ
య แล้วค่าของ
∞
=
∑
0n
ሺ−1ሻ௡
‫ݔ‬ଷ௡
เท่ากับเท่าใด
ตอนที 2 แบบปรนัย 5 ตัวเลือก จํานวน 20 ข้อ ข้อละ 4 คะแนน รวม 80 คะแนน
11. กําหนดให้ ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ เป็นรากของสมการ 8‫ݔ‬ଷ
+ 6‫ݔ‬ଶ
− 5‫ݔ‬ − 3 = 0 โดยที ‫ݔ‬ଵ < ‫ݔ‬ଶ < ‫ݔ‬ଷ
แล้วค่าของ ‫ݔ‬ଵ + ‫ݔ‬ଷ มีค่าเท่ากับเท่าใด
12. กําหนดให้ ‫ܣ‬ = [ܽ௜௝] เป็นเป็นเมทริกซ์มิติ 3 × 3 โดยที detሺ‫ܣ‬ሻ > 0
กําหนดให้ ‫ܯ‬௜௝ሺ‫ܣ‬ሻ แทนไมเนอร์ของสมาชิกในตาแหน่ง ܽ௜௝ โดยที ൣ‫ܯ‬௜௝ሺ‫ܣ‬ሻ൧ = ൥
1 −1 2
3 2 −4
5 1 3
൩
ถ้า ‫ܣ‬ିଵ
= [ܾ௜௝] แล้ว ܾଵଵ + ܾଵଶ + ܾଵଷ มีค่าเท่ากับเท่าใด

4. 4 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57)
13. กําหนดให้ F เป็นโฟกัสในควอดรันต์ที 1 ของไฮเพอร์โบลาทีมีสมการเป็น ௫మ
ଽ
−
ሺ௬ିଶሻమ
ଵ଺
= 1 แล้ววงกลมทีมี
ศูนย์กลางอยู่ทีจุด F และสัมผัสกับเส้นกํากับทังสองของโฮเพอร์โบลา มีรัศมียาวเท่ากับเท่าใด
14. คําตอบของสมการ 2௫
∙ 2௫ାଵ
∙ 2௫ାଶ
= 4௫
+ 4௫ାଵ
+ 4௫ାଶ
มีค่าเท่ากับเท่าใด
15. ผลบวกของคําตอบของสมการ logଶ ‫ݔ‬ + 6 log௫ 2 − 5 = 0 มีค่าเท่ากับเท่าใด
16. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลียมทีมีมุม C෠ เป็นมุมฉาก และ A෡ < B෡
ถ้า ሺcos2A + cos Bሻଶ
+ ሺsin2A + sin Bሻଶ
= 3 แล้ว tan 3A มีค่าเท่ากับเท่าใด

5. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) 5
17. กําหนดให้ ‫ݑ‬ത และ ‫̅ݒ‬ เป็นเวกเตอร์ใดๆใน 3 มิติทีไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์และไม่ขนานกัน พิจารณาข้อความต่อไปนี
(1) |‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬| ≤ |‫ݑ‬ത||‫̅ݒ‬| (2) ‫ݑ‬ത × ሺ‫ݑ‬ത + ‫̅ݒ‬ሻ = ‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬
(3) |‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬|ଶ
+ |‫ݑ‬ത ∙ ‫̅ݒ‬|ଶ
= |‫ݑ‬ത|ଶ|‫̅ݒ‬|ଶ
(4) ሺ5‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬ሻ ∙ 5‫̅ݒ‬ = 25
มีข้อความทีถูกต้องกีข้อความ
18. ให้ ‫ݖ‬ଵ, ‫ݖ‬ଶ, ‫ݖ‬ଷ เป็นรากที 3 ของจํานวนเชิงซ้อนจํานวนหนึง
ถ้า ‫ݖ‬ଵ = √2ሺcos15° + ݅ sin15°ሻ แล้ว ‫ݖ‬ଶ‫ݖ‬ଷ มีค่าเท่ากับเท่าใด
19. กําหนดให้ ‫ܣ‬ = {−13, −11, −7, −5, −3, −2, 2, 3, 5, 7, 11, 13} และ ܵ = { ܽ|ܾ| + |ܽ|ܾ | ܽ, ܾ ∈ ‫ܣ‬ }
แล้วจํานวนสมาชิกของเซต ܵ เท่ากับเท่าใด

6. 6 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57)
20. กําหนดให้ ܵ = {1, 2, 3, … , 10} และ ‫ܯ‬ = { ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ | ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ ∈ ܵ } สุ่มหยิบ ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ มา 1 ตัว จากเซต ‫ܯ‬
ความน่าจะเป็นทีจะได้คู่อันดับ ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ ซึง ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
< 25 มีค่าเท่ากับเท่าใด
21. กําหนดให้ ܵ = {1, 2, 3, … , 10} และ ‫ܯ‬ = ቄ ቂ
‫ݔ‬ ‫ݕ‬
‫ݖ‬ ‫ݔ‬
ቃ ቚ ‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫ݖ‬ ∈ ܵ ቅ
สุ่มเลือกเมทริกซ์ ቂ
‫ݔ‬ ‫ݕ‬
‫ݖ‬ ‫ݔ‬
ቃ มา 1 เมทริกซ์จากเซต ‫ܯ‬ ความน่าจะเป็นทีจะได้เมทริกซ์ซึงมีสมบัติว่า ‫ݔ‬ < ‫ݕ‬ และ
‫ݔ‬ < ‫ݖ‬ มีค่าเท่ากับเท่าใด
22. ในการสอบครังหนึง ครูผู้สอนกําหนดว่า นักเรียนทีจะได้เกรด A ใน
วิชาคณิตศาสตร์ จะต้องเป็นนักเรียนในกลุ่ม 10% ของคะแนน
สูงสุดของนักเรียนทังห้อง โดยนักเรียนห้องนีมีทังหมด 80 คน และ
มีผลคะแนนของนักเรียนดังตาราง
ถ้าเปอร์เซ็นไทล์ที 20 ของคะแนนสอบห้องนีเท่ากับ 50.5 คะแนน
แล้วนักเรียนทีได้คะแนนตําสุดของนักเรียนทีได้เกรด A วิชา
คณิตศาสตร์ ได้คะแนนสอบกีคะแนน
คะแนนสอบ จํานวนนักเรียน
31 – 40 6
41 – 50 ‫ݔ‬
51 – 60 18
61 – 70 25
71 – 80 10
81 – 90 ‫ݕ‬
91 – 100 3

7. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) 7
23. คะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึงมีการแจกแจงปกติ โดยทีมีนักเรียน 10% ของนักเรียนทังหมดมีคะแนนมากกว่า
80 คะแนน และมีนักเรียน 10% ของนักเรียนทังหมดทีมีคะแนนน้อยกว่า 40 คะแนน แล้วจํานวนนักเรียนทีได้
คะแนนมากกว่า 65 คะแนนคิดเป็นกีเปอร์เซ็นต์
(ให้ตารางมาเยอะ แต่ใช้จริงๆคือ ‫ݖ‬ = 1.28 จะได้ ‫ܣ‬ = 0.4 และ ‫ݖ‬ = 0.32 จะได้ ‫ܣ‬ = 0.1255)
24. กําหนดให้ ܽ เป็นจํานวนจริงซึง |ܽ| < 1
และกําหนดให้ ܵ௡ = ሺܽ + 1ሻଶ
+ ሺܽଶ
+ 1ሻଶ
+ ሺܽଷ
+ 1ሻଶ
+ … + ሺܽ௡
+ 1ሻଶ
แล้วค่าของ ∞→n
lim ሺܵ௡ − ݊ሻ มีค่าเท่ากับเท่าใด
25. กําหนดให้ ܽଵ, ܽଶ, ܽଷ, … , ܽଽ เรียงกันเป็นลําดับเลขคณิต ทีมีมัธยฐานเท่ากับ 15
แล้วผลบวกของ ܽଵ, ܽଶ, ܽଷ, … , ܽଽ มีค่าเท่ากับเท่าใด

8. 8 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57)
26. กําหนดให้ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ เป็นฟังก์ชันพหุนามทีทําให้ฟังก์ชัน ݂ ทีนิยามโดย ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ൜
݃ሺ‫ݔ‬ሻ ; ‫ݔ‬ ≤ 1
‫ݔ‬ଷ
+ 2‫ݔ‬ ; ‫ݔ‬ > 1
เป็น
ฟังก์ชันต่อเนืองที ‫ݔ‬ = 1 ถ้า ሺ݂ ∘ ݃ሻᇱሺ1ሻ = 58 แล้ว ݃ᇱሺ1ሻ มีค่าเท่ากับเท่าใด
27. กําหนดให้ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ቤ
‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ‫ݔ‬
0 ‫ݔ‬ − 3 ‫ݔ‬
0 0 ‫ݔ‬ + 3
ቤ
โดยที ݉ และ ‫ܯ‬ เป็นค่าตําสุดสัมพัทธ์และค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ ݂ ตามลําดับ
ถ้า ܵ = ቄ ܽ ቚ ܽ เป็นจํานวนเต็มทีทําให้ ݉ ≤ ݂ሺܽሻ ≤ ‫ܯ‬ ቅ แล้วจํานวนสมาชิกของเซต ܵ เท่ากับเท่าใด
28. กําหนดให้ ݂ เป็นฟังก์ชันซึงมีความชัน ณ จุดใดๆ เป็น 4‫ݔ‬ + 1 และกราฟของฟังก์ชัน ݂ ผ่านจุด ሺ1, 0ሻ
ถ้า ‫ܨ‬ሺ‫ݔ‬ሻ เป็นปฏิยานุพันธ์หนึงของฟังก์ชัน ݂ሺ‫ݔ‬ሻ แล้วค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน ‫ܨ‬ อยู่ทีตําแหน่งใด

9. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) 9
29. เศษเหลือจากการหาร 4ଽଽଽ
+ 9ହହହ
ด้วย 5 มีค่าเท่ากับเท่าใด
30. กําหนดให้ ݉ และ ݊ เป็นจํานวนเต็มบวกซึง ݉ = ݊ + 2 และ ค.ร.น. ของ ݉ และ ݊ เท่ากับ 180
แล้วผลคูณ ݉݊ มีค่าเท่ากับเท่าใด

10. 10 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57)
เฉลย
1. 4 7. 15.42 13. 4 19. 43 25. 135
2. 55 8. 64 14. logଶ
ଶଵ
଼
20. ଵଷ
ଵ଴଴
26. 2
3. 3 9. 7 15. 12 21. ଶ଼ହ
ଵ଴଴଴
27. 7
4. 2.5 10. 0.75 16. ଵ
√ଷ
22. 84.25 28. ‫ݔ‬ = −
ଷ
ଶ
5. 5 11. −0.25 17. 3 23. 37.45% 29. 3
6. 4 12. 0.6 18. √3 + ݅ 24. ଷ௔మାଶ௔
ଵି௔మ 30. 360
แนวคิด
1. 4
݅௡
จะวนซําเดิมทุกๆ 4 ตัว คือ ݅ , −1 , −݅ , 1
ดังนัน เอา 4 หาร แล้วหาเศษมาดูว่าตกตัวไหน ก็จะหา ݅௡
ได้
݅ି଻
+ ݅ିହ
+ ݅ିଷ
+ ݅ =
ଵ
௜ళ +
ଵ
௜ఱ +
ଵ
௜య + ݅ → ทําส่วนให้เลขชีกําลัง ÷ 4 ลงตัว =
௜భ
௜ఴ +
௜య
௜ఴ +
௜భ
௜ర + ݅
=
௜
ଵ
+
ି௜
ଵ
+
௜
ଵ
+ ݅ = 2݅
ดังนัน |‫ݖ‬ଶ| = |‫|ݖ‬ଶ
= |2݅|ଶ
= 2ଶ
= 4
2. 55
ข้อนีต้องระวังเรืองวิธีอ่านการหาร : “݊ หาร 166” จะหมายถึง 166 ÷ ݊
ถ้าจะหมายถึง ݊ ÷ 166 ต้องอ่านว่า “݊ หารด้วย 166”
166 ÷ ݊ และ 1101 ÷ ݊ เหลือเศษ 1 แสดงว่า ถ้าหัก 1 ออก เหลือ 165 และ 1100 จะหาร ݊ ลงตัว นันเอง
จํานวนทีมากทีสุดทีหาร 165 และ 1100 ลงตัว คือ ห.ร.ม. นันเอง
ดังนัน ݊ = ห.ร.ม. = 5 × 11 = 55
3. 3
ย้ายข้าง จะได้ arcsinሺ‫ݔ‬ଶ
− 3‫ݔ‬ + 1ሻ = −
గ
ଶ
ใส่ sin ทังสองฝัง ฝังซ้ายจะตัดกับ arcsin ได้ เหลือ
ข้อนีไม่ต้องตรวจคําตอบก็ได้ เพราะเราแก้สมการ ‫ݔ‬ଶ
− 3‫ݔ‬ + 1 = −1 มา ซึง arcsin ሺ−1ሻ จะหาค่าได้แน่นอน
ดังนัน ผลบวกคําตอบ = 1 + 2 = 3
4. 2.5
ตังฉากกัน แสดงว่า ดอทกันได้ 0 และเนืองจากการดอท มีสมบัติสลับทีและกระจายในการบวกลบได้
ดังนัน ൫݉ܽത + ܾത൯ ∙ ൫݉ܽത − ܾത൯ = ݉ଶሺܽത ∙ ܽതሻ − ݉൫ܽത ∙ ܾത൯ + ݉൫ܾത ∙ ܽത൯ − ൫ܾത ∙ ܾത൯
= ݉ଶ |ܽത|ଶ
− หܾതห
ଶ
= 4݉ଶ
− 25
ดังนัน 4݉ଶ
− 25 = 0 แก้จะได้ ݉ = ±
ହ
ଶ
= ±2.5 แต่ ݉ เป็นบวก ดังนัน ตอบ 2.5
เศษ 1 เศษ 2 เศษ 3 ลงตัว
݅ −1 −݅ 1
5 165 1100
11 33 220
3 20
‫ݔ‬ଶ
− 3‫ݔ‬ + 1 = −1
‫ݔ‬ଶ
− 3‫ݔ‬ + 2 = 0
ሺ‫ݔ‬ − 1ሻሺ‫ݔ‬ − 2ሻ = 0
‫ݔ‬ = 1, 2

11. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) 11
5. 5
3ܴଵ คือ 3 คูณแถวหนึง 3[1 2 ܽ] ได้เป็น [3 6 3ܽ]
ܴଶ − 3ܴଵ คือเอาแถวสอง [3 1 ܾ] ตังลบ [3 6 3ܽ] ได้เป็น [0 −5 ܾ − 3ܽ]
ดังนัน ൥
1 2 ܽ
3 1 ܾ
−1 0 ܿ
൩ ܴଶ − 3ܴଵ
~
൥
1 2 ܽ
0 −5 ܾ − 3ܽ
−1 0 ܿ
൩ เทียบกับทีโจทย์ให้จะได้ ܽ = −1 , ܾ − 3ܽ = 7 , ܿ = 2
จะได้ ܾ = 7 + 3ܽ = 7 + 3ሺ−1ሻ = 4 ดังนัน ܽ + ܾ + ܿ = −1 + 4 + 2 = 5
6. 4
จากกฎ ܽ୪୭୥ೌ ௠
= ݉ จะได้ logଶ൫3୪୭୥య ଵ଺
൯ = logଶሺ16ሻ = logଶሺ2ସሻ = 4
7. 15.42
คิดตรงๆจาก ሺଶଶ×ଵ଻ሻାሺଶଷ×ଵ଺ሻାሺଶହ×ଵସሻାሺଷ଴×ଵହሻ
ଶଶାଶଷାଶହାଷ଴
=
ଵହସଶ
ଵ଴଴
= 15.42 ก็ได้ แต่ก็ต้องคิดเลขเยอะ
อีกวิธีคือ เราสามารถลดทอนข้อมูลได้ โดยเอาข้อมูล 17, 16, 14, 15 มาลบ 15 ก่อน ได้เป็น 2, 1, −1, 0
แล้วหาค่าเฉลียได้เป็น ሺଶଶ×ଶሻାሺଶଷ×ଵሻାሺଶହ×ିଵሻାሺଷ଴×଴ሻ
ଶଶାଶଷାଶହାଷ଴
=
ସସାଶଷିଶହା଴
ଵ଴଴
= 0.42
แล้วค่อย บวก 15 กลับไปเป็นเลขในระบบเดิม จะได้ ค่าเฉลีย = 15 + 0.42 = 15.42
หมายเหตุ : จะใช้เลขอืนทีไม่ใช่ 15 ก็ได้ แต่ถ้าใช้ 15 ซึงมาจากห้องทีนักเรียนเยอะสุด จะทําให้ห้องนักเรียนเยอะสุด มี
ผลรวมนําหนัก = 30×0 = 0 ทําให้คิดเลขน้อยกว่า
8. 64
กระจายออกมา จะได้เป็น ൫଺
଴
൯7଺
− ൫଺
ଵ
൯7ହ
5ଵ
+ ൫଺
ଶ
൯7ସ
5ଶ
− ൫଺
ଷ
൯7ଷ
5ସ
+ ⋯ + ൫଺
଺
൯5଺
ซึงจะเห็นว่า เข้าสูตรทวินามได้เป็น ሺ7 − 5ሻ଺
ได้พอดี
ดังนัน ตอบ ሺ7 − 5ሻ଺
= 2଺
= 64
9. 7
แทนแล้วเป็น ଴
଴
ต้องจัดรูปให้ ‫ݔ‬ ตัดกันก่อน
ሺଵା௫ሻሺଵା଺௫ሻିଵ
௫
=
ଵା଻௫ା଺௫మିଵ
௫
=
଻௫ା଺௫మ
௫
=
௫ሺ଻ା଺௫ሻ
௫
= 7 + 6‫ݔ‬
ดังนัน
0
lim
→x
ሺଵା௫ሻሺଵା଺௫ሻିଵ
௫
=
0
lim
→x
7 + 6‫ݔ‬ = 7 + 6ሺ0ሻ = 7
10. 0.75
กระจาย ∑ ได้เป็น 1 − ‫ݔ‬ଷ
+ ‫ݔ‬଺
− ‫ݔ‬ଽ
+ …
จะเห็นว่าเป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ ทีมี ‫ݎ‬ = −‫ݔ‬ଷ
= − ቀ
ଵ
√ଷ
య ቁ
ଷ
= −
ଵ
ଷ
เนืองจาก |‫|ݎ‬ =
ଵ
ଷ
< 1 ดังนัน อนุกรมอนันต์นีจะหาค่าได้ด้วยสูตร ܵஶ =
௔భ
ଵି௥
=
ଵ
ଵିቀି
భ
య
ቁ
= 1 ×
ଷ
ସ
= 0.75
11. −0.25
ต้องแยกตัวประกอบด้วยทฤษฎีเศษ โดยแทน ‫ݔ‬ = ±
ตัวประกอบของ ଷ
ตัวประกอบของ ଼
ซึงได้แก่ ±1 , ±3 , ±
ଵ
ଶ
, ±
ଷ
ଶ
, ±
ଵ
ସ
, ±
ଷ
ସ
, ±
ଵ
଼
, ±
ଷ
଼
แล้วดูว่าตัวไหนได้ 0 : ‫ݔ‬ = 1 : 8ሺ1ሻଷ
+ 6ሺ1ሻଶ
− 5ሺ1ሻ − 3 = 6 ใช้ไม่ได้
‫ݔ‬ = −1 : 8ሺ−1ሻଷ
+ 6ሺ−1ሻଶ
− 5ሺ−1ሻ − 3 = 0 ใช้ได้

12. 12 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57)
เอา −1 ไปหารสังเคราะห์
ดังนัน
จะได้คําตอบคือ −1 ,
ଷ
ସ
, −
ଵ
ଶ
ดังนัน ‫ݔ‬ଵ + ‫ݔ‬ଷ = ตัวน้อยสุด + ตัวมากสุด = −1 +
ଷ
ସ
= −
ଵ
ସ
= −0.25
12. 0.6
เอาไมเนอร์มาเปลียนเครืองหมายตรงที ݅ + ݆ เป็นคี จะได้โคแฟกเตอร์ คือ ൥−
1 1 2
3 2 4
5 −1 3
൩
เอาโคแฟกเตอร์ มาทรานสโพส จะได้ adjሺ‫ܣ‬ሻ = ൥
1 −3 5
1 2 −1
2 4 3
൩
ซึงจาก adjሺ‫ܣ‬ሻ เราจะหา detሺ‫ܣ‬ሻ ได้จากสูตร det൫adjሺ‫ܣ‬ሻ൯ = ሺdetሺ‫ܣ‬ሻሻ௡ିଵ
det൫adjሺ‫ܣ‬ሻ൯ = ሺ6 + 6 + 20ሻ − ሺ20 − 4 − 9ሻ = 25 ดังนัน ሺdetሺ‫ܣ‬ሻሻଷିଵ
= 25 จะได้ detሺ‫ܣ‬ሻ = ±5
แต่โจทย์บอก detሺ‫ܣ‬ሻ > 0 ดังนัน detሺ‫ܣ‬ሻ = 5
จะได้ ‫ܣ‬ିଵ
=
ଵ
ୢୣ୲ሺ஺ሻ
∙ adjሺ‫ܣ‬ሻ =
ଵ
ହ
൥
1 −3 5
1 2 −1
2 4 3
൩ กระจาย ଵ
ହ
เข้าไป จะได้ ଵ
ହ
+
ିଷ
ହ
+
ହ
ହ
= 0.6
13. 4
จากรูปแบบสมการ จะเป็นไฮเพอร์โบลาแนวนอน จุดศูนย์กลาง ሺ0, 2ሻ
โดย ܽ = 3 , ܾ = 4 ดังนัน ܿ = √3ଶ + 4ଶ = 5
ดังนัน โฟกัสอยู่ที ሺ5, 2ሻ และ ሺ−5, 2ሻ แต่ F อยู่ Qଵ ดังนัน Fሺ5, 2ሻ
และจากสูตรเส้นกํากับ ௫ି௛
௔
= ±
௬ି௞
௕
จะได้เส้นกํากับ คือ ௫
ଷ
= ±
௬ିଶ
ସ
วงกลม สัมผัสเส้นกํากับ แสดงว่า ระยะจากศูนย์กลางวงกลม ไปยังเส้นกํากับ = รัศมี
ศูนย์กลางวงกลม คือ Fሺ5, 2ሻ และเลือกเส้นกํากับมาหนึงเส้น → เอา ௫
ଷ
=
௬ିଶ
ସ
ซึงจัดรูปได้เป็น 4‫ݔ‬ − 3‫ݕ‬ + 6 = 0
ดังนัน รัศมี = ระยะจาก ሺ5, 2ሻ ไป 4‫ݔ‬ − 3‫ݕ‬ + 6 = 0 =
|ସሺହሻିଷሺଶሻା଺|
√ସమାଷమ
=
ଶ଴
ହ
= 4
14. logଶ
ଶଵ
଼
แก้สมการ ดังนี
15. 12
จากสมบัติของ log จะได้ logଶ ‫ݔ‬ และ log௫ 2 เป็นส่วนกลับของกันและกัน
ดังนัน ถ้าให้ logଶ ‫ݔ‬ = ‫ܣ‬ จะได้ log௫ 2 =
ଵ
஺
ดังนัน สมการคือ ‫ܣ‬ +
଺
஺
− 5 = 0
−1 8 6 −5 −3
−8 2 3
8 −2 −3 0
8‫ݔ‬ଷ
+ 6‫ݔ‬ଶ
− 5‫ݔ‬ − 3 = ൫‫ݔ‬ − ሺ−1ሻ൯ሺ8‫ݔ‬ଶ
− 2‫ݔ‬ − 3ሻ
= ሺ‫ݔ‬ + 1ሻሺ4‫ݔ‬ − 3ሻሺ2‫ݔ‬ + 1ሻ
ሺ0,2ሻ ሺ5,2ሻ
2௫
∙ 2௫ାଵ
∙ 2௫ାଶ
= 4௫
+ 4௫ାଵ
+ 4௫ାଶ
2௫ ା ௫ାଵ ା ௫ାଶ
= 4௫ሺ1 + 4ଵ
+ 4ଶሻ
2ଷ௫ାଷ
= 2ଶ௫ሺ21ሻ
ଶయೣ∙ଶయ
ଶమೣ = 21
2௫
=
ଶଵ
଼
‫ݔ‬ = logଶ
ଶଵ
଼

13. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) 13
คูณ ‫ܣ‬ ตลอด ได้
แทนค่า ‫ܣ‬ กลับ จะได้ logଶ ‫ݔ‬ = 2, 3 ดังนัน ‫ݔ‬ = 2ଶ
, 2ଷ
และจะได้ผลบวกคําตอบ = 2ଶ
+ 2ଷ
= 12
16. ଵ
√ଷ
กระจาย ได้
เนืองจาก C෠ เป็นมุมฉาก ดังนัน A + B เหลือ 90° และเนืองจาก A < B ดังนัน 0 < A < 45° และ 45° < B < 90°
ดังนัน 2A – B มากสุด เมือ A มากสุด และ B น้อยสุด = 2ሺ45°ሻ – 45° = 45°
2A – B น้อยสุด เมือ A น้อยสุด และ B มากสุด = 2ሺ0ሻ – 90° = −90° ดังนัน −90° < 2A – B < 45°
แต่ cosሺ2A − Bሻ =
ଵ
ଶ
พิจารณาจากช่วงค่าทีเป็นไปได้ของ 2A − B จะได้ 2A − B = −60° …ሺ1ሻ
แต่ A + B = 90° …ሺ2ሻ บวกสองสมการ จะได้ 3A = 30° ดังนัน tan 3A = tan 30° =
ଵ
√ଷ
17. 3
(1) |‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬| = |‫ݑ‬ത||‫̅ݒ‬| sinߠ แต่ sin ߠ ≤ 1 ดังนัน |‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬| ≤ |‫ݑ‬ത||‫̅ݒ‬| → ถูก
(2) ‫ݑ‬ത × ሺ‫ݑ‬ത + ‫̅ݒ‬ሻ = ‫ݑ‬ത × ‫ݑ‬ത + ‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬ = 0ത + ‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬ = ‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬ → ถูก
(3) |‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬|ଶ
+ |‫ݑ‬ത ∙ ‫̅ݒ‬|ଶ
= ሺ|‫ݑ‬ത||‫̅ݒ‬| sinߠሻଶ
+ ሺ|‫ݑ‬ത||‫̅ݒ‬| cos ߠሻଶ
= |‫ݑ‬ത|ଶ|‫̅ݒ‬|ଶሺsinଶ
ߠ + cosଶ
ߠሻ = |‫ݑ‬ത|ଶ|‫̅ݒ‬|ଶሺ1ሻ = |‫ݑ‬ത|ଶ|‫̅ݒ‬|ଶ
→ ถูก
(4) 5‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬ จะได้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ในทิศตังฉากกับระนาบที ‫ݑ‬ത และ ‫̅ݒ‬ วางอยู่ ดังนัน 5‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬ จะตังฉากกับ ‫̅ݒ‬
ดังนัน 5‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬ จะตังฉากกับ 5‫̅ݒ‬ ด้วย จึง dot กันเป็น 0 เสมอ ดังนัน ሺ5‫ݑ‬ത × ‫̅ݒ‬ሻ ∙ 5‫̅ݒ‬ = 0 → ผิด
18. √3 + ݅
รากอีก 2 ค่าทีเหลือ จะได้จากการนํารากตัวแรกมาบวกมุมเพิมไปทีละ ଷ଺଴°
ଷ
= 120°
รากตัวแรก คือ √2 ∠ 15° ดังนัน รากอีกสองตัวทีเหลือคือ √2 ∠ 135° และ √2 ∠ 255°
ดังนัน ‫ݖ‬ଶ‫ݖ‬ଷ = ൫√2 ∠ 135°൯൫√2 ∠ 255°൯ = ൫√2 × √2൯ ∠ ሺ135° + 255°ሻ = 2 ∠ 390° = 2 ∠ 30°
= 2ሺcos30° + ݅ sin30°ሻ = 2 ቀ
√ଷ
ଶ
+
ଵ
ଶ
݅ቁ = √3 + ݅
19. 43
จะเห็นว่า ‫ܣ‬ มีจํานวนบวกอยู่ 6 จํานวน จํานวนลบอยู่ 6 จํานวน และตัวเลขของทุกตัวเป็นจํานวนเฉพาะ
กรณี ܽ, ܾ เป็นบวกทังคู่ : จะได้ ܽ|ܾ| + |ܽ|ܾ = ܾܽ + ܾܽ = 2ܾܽ
กรณี ܽ ≠ ܾ : เนืองจากลําดับก่อนหลังของ ܽ, ܾ ไม่มีผลกับค่า 2ܾܽ จึงต้องนับจํานวนแบบของ ܽ, ܾ แบบไม่สน
ลําดับ ซึงจะมีจํานวนแบบ = ൫଺
ଶ
൯ =
଺×ହ
ଶ
= 15 แบบ เนืองจาก จํานวนบวกทัง 6 จํานวนเป็นจํานวนเฉพาะ
ดังนัน ใน 15 แบบนี จะไม่มีแบบไหนที 2ܾܽ เท่ากันได้
กรณี ܽ = ܾ : มีจํานวนบวก 6 จํานวน จะเลือก ܽ ได้ 6 แบบ แต่ ܾ ต้องตาม ܽ ได้แบบเดียว
ดังนัน จํานวนแบบ = 6 แบบ
‫ܣ‬ଶ
+ 6 − 5‫ܣ‬ = 0
ሺ‫ܣ‬ − 2ሻሺ‫ܣ‬ − 3ሻ = 0
‫ܣ‬ = 2 , 3
cosଶ
2A + 2 cos 2A cos B + cosଶ
B + sinଶ
2A + 2 sin2A cosB + sinଶ
B = 3
ሺcosଶ
2A + sinଶ
2Aሻ + ሺcosଶ
B + sinଶ
Bሻ + 2 cos 2A cos B + 2 sin 2A cosB = 3
1 + 1 + 2ሺcos 2A cos B + sin2A cosBሻ = 3
cosሺ2A − Bሻ =
ଵ
ଶ

14. 14 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57)
รวมสองกรณี จะได้กรณีที ܽ, ܾ เป็นบวกทังคู่ มีค่า ܽ|ܾ| + |ܽ|ܾ ทังหมด 15 + 6 = 21 แบบ
กรณี ܽ, ܾ เป็นลบทังคู่ : จะได้ ܽ|ܾ| และ |ܽ|ܾ เป็นลบทังสองจํานวน ดังนัน ܽ|ܾ| + |ܽ|ܾ จะเหมือน กรณีแรก
เพียงแต่จะได้ค่า ܽ|ܾ| + |ܽ|ܾ ติดลบ ดังนัน จะได้จํานวนแบบเพิมอีก 21 แบบ
กรณี ܽ, ܾ เป็นบวกหนึงตัว ลบหนึงตัว : จะได้ ܽ|ܾ| และ |ܽ|ܾ เป็นบวกหนึงตัว ลบหนึงตัว ดังนัน ܽ|ܾ| + |ܽ|ܾ จะ
หักกันกลายเป็น 0 เสมอ ดังนัน กรณีนี จะได้ ܽ|ܾ| + |ܽ|ܾ แบบเดียว คือ ศูนย์
รวมทุกกรณี จะได้จํานวนแบบ = 21 + 21 + 1 = 43 แบบ
20. ଵଷ
ଵ଴଴
จํานวนแบบทังหมด : เลือก ‫ݔ‬ และ ‫ݕ‬ ได้อย่างละ 10 ตัว ดังนัน จํานวนแบบทังหมด = 10 × 10 = 100
จํานวนแบบที ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
< 25 ต้องใช้แรงลุยนับ
จะมีทังหมด 13 แบบ ดังนัน ความน่าจะเป็น =
ଵଷ
ଵ଴଴
21. ଶ଼ହ
ଵ଴଴଴
หาจํานวนแบบทังหมดก่อน เนืองจาก ‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫ݖ‬ เลือกเป็น 1, 2, 3, … , 10 ได้ตัวละ 10 แบบ
ดังนัน จํานวนแบบทังหมด = 10 × 10 × 10 = 1000
จํานวนแบบที ‫ݔ‬ < ‫ݕ‬ และ ‫ݔ‬ < ‫ݖ‬ จะแบ่งกรณีนับ ตามค่า ‫ݔ‬
กรณี ‫ݔ‬ = 1 : จะได้ ‫,ݕ‬ ‫ݖ‬ เป็นได้แค่ 2, 3, 4, … , 10 ได้ตัวละ 9 แบบ จะได้จํานวนแบบ = 9ଶ
แบบ
กรณี ‫ݔ‬ = 2 : จะได้ ‫,ݕ‬ ‫ݖ‬ เป็นได้แค่ 3, 4, 5, … , 10 ได้ตัวละ 8 แบบ จะได้จํานวนแบบ = 8ଶ
แบบ
⋮
กรณี ‫ݔ‬ = 9 : จะได้ ‫,ݕ‬ ‫ݖ‬ เป็นได้แค่ 10 เท่านัน ได้ตัวละ 1 แบบ จะได้จํานวนแบบ = 1ଶ
แบบ
กรณี ‫ݔ‬ = 10 : จะไม่มี ‫,ݕ‬ ‫ݖ‬ ทีสอดคล้องกับเงือนไข
ดังนัน จํานวนแบบตามเงือนไข = 9ଶ
+ 8ଶ
+ 7ଶ
+ … + 1ଶ
=
ଽሺଽାଵሻሺଶሺଽሻାଵሻ
଺
= 285 แบบ
ดังนัน ความน่าจะเป็น =
ଶ଼ହ
ଵ଴଴଴
22. 84.25
Pଶ଴ = 50.5 = ขอบบนของชันที 2 พอดี เนืองจากขอบบนของชัน จะเท่ากับตัวสุดท้ายของชัน
ดังนัน Pଶ଴ = ตัวสุดท้ายของชันที 2 = ตัวที 6 + ‫ݔ‬
แต่มีคน 80 คน ดังนัน Pଶ଴ = ตัวที ଶ଴
ଵ଴଴
× 80 = 16
ดังนัน 6 + ‫ݔ‬ = 16 จะได้ ‫ݔ‬ = 10
มี 80 คน ดังนัน 6 + ‫ݔ‬ + 18 + 25 + 10 + ‫ݕ‬ + 3 = 80
แทน ‫ݔ‬ = 10 จะแก้สมการได้ ‫ݕ‬ = 8 จะสร้างช่องความถีสะสมได้ดังรูป
เกรด A มี 10% ดังนัน ตําสุดของเกรด A คือ Pଽ଴
ซึง Pଽ଴ จะอยู่ตัวที ଽ଴
ଵ଴଴
× 80 = 72 ซึงจะอยู่ในชันรองสุดท้าย (เพราะความถีสะสมถึง 72 ในชันนี)
ดังนัน Pଽ଴ = ‫ܮ‬ + ቆ
వబሺఴబሻ
భబబ
– ிಽ
௙ು
ቇ × ‫ܫ‬ = 80.5 + ቀ
଻ଶ – ଺ଽ
଼
ቁ × 10 = 80.5 + 3.75 = 84.25
ሺ1,1ሻ , ሺ1,2ሻ , ሺ1,3ሻ , ሺ1,4ሻ
ሺ2,1ሻ , ሺ2,2ሻ , ሺ2,3ሻ , ሺ2,4ሻ
ሺ3,1ሻ , ሺ3,2ሻ , ሺ3,3ሻ
ሺ4,1ሻ , ሺ4,2ሻ
คะแนนสอบ ความถี ความถีสะสม
31 – 40 6 6
41 – 50 10 16
51 – 60 18 34
61 – 70 25 59
71 – 80 10 69
81 – 90 8 77
91 – 100 3 80

15. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) 15
23. 37.45%
10% ได้มากกว่า 80 จะวาดได้ดังรูป
พืนทีทีใช้เปิดตาราง จะเป็นพืนทีทีวัดจากแกนกลางไปทางขวา
เนืองจากพืนทีใต้โค้งแบ่งเป็นฝังซ้ายขวาฝังละ 0.5 ดังนัน ‫ܣ‬ = 0.5 − 0.1 = 0.4
เปิดตาราง จะได้ ‫ݖ‬ = 1.28 ดังนัน ଼଴ି௫̅
௦
= 1.28 → 80 – ‫̅ݔ‬ = 1.28‫ݏ‬ …ሺ1ሻ
ถัดมา 10% ได้น้อยกว่า 40 จะวาดได้ดังรูป
ทําแบบเดิม แต่ฝังซ้ายจะใช้ ‫ݖ‬ ติดลบ จะได้ ‫ݖ‬ = −1.28
ดังนัน ସ଴ି௫̅
௦
= −1.28 → 40 – ‫̅ݔ‬ = −1.28‫ݏ‬ …ሺ2ሻ
แก้ ሺ1ሻ และ ሺ2ሻ จะหา ‫̅ݔ‬ และ ‫ݏ‬ ได้ : ሺ1ሻ + ሺ2ሻ จะได้ 120 − 2‫̅ݔ‬ = 0 ดังนัน ‫̅ݔ‬ = 60
แทน ‫̅ݔ‬ = 60 ใน ሺ1ሻ จะได้ ‫ݏ‬ =
ଶ଴
ଵ.ଶ଼
ดังนัน 65 คะแนน คิดเป็น ‫ݖ‬ =
଺ହି଺଴
మబ
భ.మఴ
= 5 ×
ଵ.ଶ଼
ଶ଴
= 0.1255
ซึงจากตารางทีโจทย์ให้ จะได้ ‫ܣ‬ = 0.1255 และจะวาดได้ดังรูป
ดังนัน พืนทีทางขวาของ 65 จะเท่ากับ 0.5 − 0.1255 = 0.3745 = 37.45%
24. ଷ௔మାଶ௔
ଵି௔మ
กระจาย ܵ௡
ดังนัน ܵ௡ − ݊ จะตัด ݊ ได้ เหลือ ሺܽଶ
+ ܽସ
+ ܽ଺
+ … + ܽଶ௡ሻ + 2ሺܽ + ܽଶ
+ ܽଷ
+ … + ܽ௡ሻ
จะเห็นว่า ∞→n
lim ሺܵ௡ − ݊ሻ จะกลายเป็นอนุกรมอนันต์ 2 อัน ทีมีอัตราส่วนร่วมคือ ܽଶ
และ ܽ
ซึงโจทย์บอกว่า |ܽ| < 1 ดังนัน |ܽଶ| < 1 จะได้อนุกรมลู่เข้า และ ใช้สูตร ௔భ
ଵି௥
ได้
จะได้คําตอบ =
௔మ
ଵି௔మ + 2 ቀ
௔
ଵି௔
ቁ =
௔మ
ଵି௔మ +
ଶ௔ሺଵା௔ሻ
ሺଵି௔ሻሺଵା௔ሻ
=
ଷ௔మାଶ௔
ଵି௔మ
25. 135
มัธยฐาน จะอยู่ตัวตรงกลาง คือตัวที ଽାଵ
ଶ
= 5 ดังนัน ܽହ = 15
จากสูตรลําดับเลขคณิต จะได้ ܽହ = ܽଵ + 4݀ ดังนัน ܽଵ + 4݀ = 15
จากสูตรอนุกรมเลขคณิต จะได้ผลบวกทีโจทย์ถาม = ܵଽ =
ଽ
ଶ
ሺ2ܽଵ + 8݀ሻ
=
ଽ
ଶ
∙ 2ሺܽଵ + 4݀ሻ =
ଽ
ଶ
∙ 2ሺ15ሻ = 135
26. 2
ต่อเนืองที ‫ݔ‬ = 1 แสดงว่า ถ้าแทน ‫ݔ‬ = 1 ลงไปตรงรอยต่อของสูตร คือ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ กับ ‫ݔ‬ଷ
+ 2‫ݔ‬ ต้องได้ค่าเท่ากัน
ดังนัน จะได้ ݃ሺ1ሻ = 1ଷ
+ 2ሺ1ሻ = 3
เนืองจาก ሺ݂ ∘ ݃ሻሺ‫ݔ‬ሻ = ݂൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ดังนัน ሺ݂ ∘ ݃ሻᇱሺ‫ݔ‬ሻ =
ௗ
ௗ௫
݂൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯
=
ௗ
ௗ ௚ሺ௫ሻ
݂൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ∙
ௗ
ௗ௫
݃ሺ‫ݔ‬ሻ
=
ௗ
ௗ ௚ሺ௫ሻ
݂൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ∙ ݃ᇱሺ‫ݔ‬ሻ
แต่โจทย์ให้ ሺ݂ ∘ ݃ሻᇱሺ1ሻ = 58 ดังนัน ௗ
ௗ ௚ሺ௫ሻ
݂൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ∙ ݃ᇱሺ‫ݔ‬ሻ ขณะที ‫ݔ‬ = 1 จะต้องได้ 58 …ሺ∗ሻ
80
0.10
0.40
40
0.10
0.40
65
0.1255
= ܽଶ
+ 2ܽ + 1 + ܽସ
+ 2ܽଶ
+ 1 + ܽ଺
+ 2ܽଷ
+ 1 + … + ܽଶ௡
+ 2ܽ௡
+ 1
= ሺܽଶ
+ ܽସ
+ ܽ଺
+ … + ܽଶ௡ሻ + ሺ2ܽ + 2ܽଶ
+ 2ܽଷ
+ … + 2ܽ௡ሻ + ሺ1 + 1 + 1 + … + 1ሻ
= ሺܽଶ
+ ܽସ
+ ܽ଺
+ … + ܽଶ௡ሻ + 2ሺܽ + ܽଶ
+ ܽଷ
+ … + ܽ௡ሻ + ݊
กฏลูกโซ่

16. 16 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57)
เนืองจาก ݃ሺ1ሻ = 3 ดังนัน ถ้าจะหา ݂൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ เมือ ‫ݔ‬ เข้าใกล้ 1 จะต้องใช้สูตรทีสองของ ݂
จะได้ ݂൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ = ൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯
ଷ
+ 2݃ሺ‫ݔ‬ሻ ดังนัน ௗ
ௗ ௚ሺ௫ሻ
݂൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ = 3൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯
ଶ
+ 2
แทนใน ሺ∗ሻ และคิดขณะที ‫ݔ‬ = 1 จะได้ ቀ3൫݃ሺ1ሻ൯
ଶ
+ 2ቁ ∙ ݃ᇱሺ1ሻ = 58
ሺ3ሺ 3 ሻଶ
+ 2ሻ ∙ ݃ᇱሺ1ሻ = 58 แก้สมการ จะได้ ݃ᇱሺ1ሻ = 2
27. 7
จะเห็นว่าสมาชิกใต้แนวเส้นแทยงมุมหลักเป็น 0 หมด → จะได้ det เท่ากับผลคูณตัวเลขทีอยู่ในแนวเส้นแทยงมุมหลัก
ดังนัน ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬ሺ‫ݔ‬ − 3ሻሺ‫ݔ‬ + 3ሻ = ‫ݔ‬ଷ
− 9‫ݔ‬
หาค่าสูงสุดตําสุดสัมพัทธ์ ต้องดิฟ แล้วจับ = 0 จะได้
แทน ‫ݔ‬ = ±√3 เพือหาค่าสูงสุดตําสุดสัมพัทธ์ จะได้ ݂൫√3൯ = ൫√3൯
ଷ
− 9൫√3൯ = −6√3 → ݉
และ ݂൫−√3൯ = ൫−√3൯
ଷ
− 9൫−√3൯= 6√3 → ‫ܯ‬
ดังนัน ต้องหาจํานวนเต็ม ܽ ทีทําให้
เนืองจาก ค่าสูงสุดตําสุดสัมพัทธ์ เกิดที ±√3 ดังนัน จํานวนเต็ม ܽ ทีอยู่ในช่วง [−√3 , √3] ซึงได้แก่ −1, 0, 1 จะ
สอดคล้องกับ ݉ ≤ ݂ሺܽሻ ≤ ‫ܯ‬ อย่างแน่นอน
ทีเหลือต้องแทนค่าดู
ถ้าเลยจาก −4 กับ 4 ไป จะไม่มีจุดสัมพัทธ์ให้ ݂ሺܽሻ วกกลับแล้ว
ดังนัน จะมีแค่ −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 ทังหมด 7 จํานวนเท่านัน ทีสอดคล้องกับเงือนไขของ ܵ
28. ‫ݔ‬ = −
ଷ
ଶ
จาก ความชัน = ݂ᇱሺ‫ݔ‬ሻ แต่โจทย์บอกว่าความชันคือ 4‫ݔ‬ + 1 ดังนัน ݂ᇱሺ‫ݔ‬ሻ = 4‫ݔ‬ + 1
อินทิเกรต จะได้ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = 2‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݔ‬ + ‫ܥ‬ …ሺ∗ሻ
แต่ ݂ ผ่านจุด ሺ1, 0ሻ แสดงว่าถ้าแทน ‫ݔ‬ = 1 ใน ሺ∗ሻ จะได้ 2ሺ1ሻଶ
+ 1 + ‫ܥ‬ = 0 แก้สมการได้ ‫ܥ‬ = −3
ดังนัน ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = 2‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݔ‬ − 3
ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน ‫ܨ‬ จะหาได้จากการดิฟ ‫ܨ‬ แล้วจับเท่ากับ 0
เนืองจาก ‫ܨ‬ เป็นปฏิยานุพันธ์ของ ݂ ดังนัน ดิฟ ‫ܨ‬ จะย้อนกลับไปเป็น ݂ จับ ݂ เท่ากับ 0 ได้
ถัดมา ต้องตัดสินว่า −
ଷ
ଶ
กับ 1 อันไหนเป็นสูงสุดสัมพัทธ์ อันไหนเป็นตําสุดสัมพัทธ์
วิธีการคือ ดิฟต่อไปอีกเทียว แล้วแทน −
ଷ
ଶ
กับ 1 ลงไป ถ้าได้ค่าบวกเป็นตําสุดสัมพัทธ์ ถ้าได้ค่าลบเป็นสูงสุดสัมพัทธ์
ดิฟ 2‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݔ‬ − 3 ได้เป็น 4‫ݔ‬ + 1 จะเห็นว่า 4 ቀ−
ଷ
ଶ
ቁ + 1 = −5 เป็นลบ → สูงสุดสัมพัทธ์
4ሺ 1 ሻ + 1 = 5 เป็นบวก → ตําสุดสัมพัทธ์
ดังนัน ‫ݔ‬ = −
ଷ
ଶ
จะเป็นตําแหน่งทีทําให้ ‫ܨ‬ มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์
݂ᇱሺ‫ݔ‬ሻ = 3‫ݔ‬ଶ
− 9 = 0
‫ݔ‬ଶ
= 3
‫ݔ‬ = ±√3
−6√3 ≤ ݂ሺܽሻ ≤ 6√3
−6ሺ1.73ሻ ≤ ݂ሺܽሻ ≤ 6ሺ1.73ሻ
−10.38 ≤ ݂ሺܽሻ ≤ 10.38
݂ሺ−2ሻ = ሺ−2ሻଷ
− 9ሺ−2ሻ = 10
݂ሺ−3ሻ = ሺ−3ሻଷ
− 9ሺ−3ሻ = 0
݂ሺ−4ሻ = ሺ−4ሻଷ
− 9ሺ−4ሻ = −28
݂ሺ2ሻ = ሺ2ሻଷ
− 9ሺ2ሻ = −10
݂ሺ3ሻ = ሺ3ሻଷ
− 9ሺ3ሻ = 0
݂ሺ4ሻ = ሺ4ሻଷ
− 9ሺ4ሻ = 28
2‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݔ‬ − 3 = 0
ሺ2‫ݔ‬ + 3ሻሺ‫ݔ‬ − 1ሻ= 0
‫ݔ‬ = −
ଷ
ଶ
, 1

17. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 57) 17
29. 3
วิธีที 1 : เนืองจากเลขยกกําลัง จะมีหลักหน่วยทีวนรอบซําเป็นจังหวะสันๆ เราจะหาหลักหน่วยของ 4ଽଽଽ
+ 9ହହହ
ก่อน
คิดเฉพาะหลักหน่วย
จะเห็นว่า 4௠
และ 9௡
มีจังหวะการวนของหลักหน่วยทุก 2 ตัว : 999 เป็นเลขคี ดังนัน 4ଽଽଽ
ลงท้ายด้วย 4
555 เป็นเลขคี ดังนัน 9ହହହ
ลงท้ายด้วย 9
ดังนัน 4ଽଽଽ
+ 9ହହହ
ลงท้ายด้วย 4 + 9 = 13 ลงท้ายด้วย 3
ซึงจํานวนทีลงท้ายด้วย 3 จะหารด้วย 5 เหลือเศษ 3 เสมอ
วิธีที 2 : 4ଽଽଽ
+ 9ହହହ
= ሺ5 − 1ሻଽଽଽ
+ ሺ10 − 1ሻହହହ
จากทฤษฏีบททวินาม : ሺ5 − 1ሻଽଽଽ
= 5ଽଽଽ
+ ൫ଽଽଽ
ଵ
൯5ଽଽ଼ሺ−1ሻଵ
+ … + ൫ଽଽଽ
ଽଽ଼
൯5ଵሺ−1ሻଽଽ଼
+ ሺ−1ሻଽଽଽ
ሺ10 − 1ሻହହହ
= 10ହହହ
+ ൫ହହହ
ଵ
൯10ହହସሺ−1ሻଵ
+ … + ൫ହହହ
ହହସ
൯10ଵሺ−1ሻହହସ
+ ሺ−1ሻହହହ
จะเห็นว่าทุกตัวทีกระจายออกมา หารด้วย 5 ลงตัวหมด ยกเว้นตัวสุดท้าย ሺ−1ሻଽଽଽ
กับ ሺ−1ሻହହହ
ซึงรวมกันได้ −2
ดังนัน 4ଽଽଽ
+ 9ହହହ
= จํานวนทีหารด้วย 5 ลงตัว − 2
นันคือ ถ้าบวก 4ଽଽଽ
+ 9ହହହ
เพิมไปอีก 2 มันจะหารด้วย 5 ลงตัว ดังนัน 4ଽଽଽ
+ 9ହହହ
หารด้วย 5 เหลือเสษ 3
30. 360
จาก ݉ = ݊ + 2 ดังนัน ห.ร.ม. ชอง ݉ และ ݊ = ห.ร.ม. ชอง ݊ + 2 และ ݊
ถ้าเอา ݊ + 2 กับ ݊ ไปหา ห.ร.ม. ด้วยวิธีตังสองแถว จะเห็นว่ารอบแรกก็เหลือ 2 แล้ว
ดังนัน ห.ร.ม. ของ ݉ และ ݊ จะไม่มีทางเกิน 2 ไปได้ …ሺ1ሻ
และเนืองจาก ค.ร.น. = 180 เป็นเลขคู่ ดังนัน ݉ และ ݊ ต้องมีเลขคู่อยู่อย่างน้อย 1 ตัว
จาก ݉ = ݊ + 2 จะเห็นว่า ถ้า ݊ เป็นคี จะได้ ݉ เป็นคี ซึงเป็นไปไม่ได้ (เพราะเลขคีสองตัว จะมี ค.ร.น. เป็นคู่ไม่ได้)
ดังนัน ݊ ต้องเป็นคู่ และจะได้ ݉ เป็นคู่ด้วย ทําให้ ห.ร.ม. จะมี 2 เป็นอย่างน้อย …ሺ2ሻ
จาก ሺ1ሻ และ ሺ2ሻ สรุปได้ว่า ห.ร.ม. = 2 ได้สถานเดียว
จากสมบัติของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. จะได้ ݉݊ = ห.ร.ม. × ค.ร.น. = 2 × 180 = 360
เครดิต
ขอบคุณ ข้อสอบ และเฉลย จาก อาจารย์ศิลา สุขรัศมี (Facebook : Sila Sookrasameeሻ จากกลุ่มคณิตมัธยมปลาย
http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ ทีจําข้อสอบออกมาได้เป๊ ะทุกข้อนะครับ 555
ขอบคุณ เฉลยของคุณ ติวเตอร์อุ๋ย http://www.tutoroui.com/ และ http://www.tutoroui-plus.com/ ด้วย
ครับ ผมใช้เป็นแนวทางในการทําเฉลยและช่วยผมได้เยอะเลย
ขอบคุณ คุณ Tarm Chaidirek ทีช่วยบอกจุดผิดในข้อ 9 ให้ด้วยครับ
4ଵ
= 4 ลงท้ายด้วย 4
4ଶ
= 4 × 4 ลงท้ายด้วย 6
4ଷ
= 6 × 4 ลงท้ายด้วย 4 ซําแล้ว
9ଵ
= 9 ลงท้ายด้วย 9
9ଶ
= 9 × 9 ลงท้ายด้วย 1
9ଷ
= 1 × 9 ลงท้ายด้วย 9 ซําแล้ว
1 ݊ + 2 ݊
݊
2