Application of least squares adjustment for coordinate transformation

1. วิชา การคํา วณปรั แก แ การสวชา การคานวณปรบแก - แผนการสอน
• มโนทัศนของการคํานวณปรับแก
– measurements, errors, redundancy
แบบจําลองทางคณิตศาสตรในงานสํารวจ
• การคํานวณปรับแกปญหาที่ไมเปนระบบ
สมการเชิงเสน
– Linearization of non linear– แบบจาลองทางคณตศาสตรในงานสารวจ
และทําแผนที่
• สมการคารังวัด และ คําตอบของระบบ
สมการเชิงเสน
– Linearization of non-linear
equations
– Numerical differentiation
• การแพรของความคลาดเคลื่อนสมการเชงเสน
• การคํานวณปรับแก
– ตัวอยางงายๆ
ป ั  ี  
การแพรของความคลาดเคลอน
– ความนาจะเปน
– วงรีความคลาดเคลื่อน
• การวิเครา หผลการคํา วณปรับแก• การปรับแกแบบลีสทสแควร
– วิธีการคํานวณปรับแกดวยสมการเงื่อนไข
– วิธีการคํานวณปรับแกดวยสมการคารังวัด
้
• การวเคราะหผลการคานวณปรบแก
• การคํานวณปรับแกในงานสํารวจและทํา
แผนที่
• น้ําหนักของคารังวัด และ การคํานวณ
ปรับแกคารังวัดแบบมีน้ําหนัก
• การคํานวณปรับแกในการแปลงพิกัด
– การสํารวจทางราบ
– งานระดับ
– GPSการคานวณปรบแกในการแปล พกด
– การแปลงพิกัด
– การสํารวจจากภาพถาย
1วิชาการคํานวณปรับแก

2. การคํานวณปรับแกการคานวณปรบแก
สารปร าร รร าเอกสารประกอบการบรรยาย

3. ั หัวขอการบรรยาย
• ระบบพิกัดและการแปลงพิกัด
• การคํานวณปรับแก

4. Coordinate Systems
วิชาการคํานวณปรับแก 4

5. xx
ดอยสามเหลี่ยมดอยสามเหลยม
19 15.6'N, 98 48.7'E
480 200mE 2 129 500mN480,200mE , 2,129,500mN

6. พิกัดในงานสํารวจและทําแผนที่พกดในงานสารวจและทาแผนท
พิกัดภูมิศาสตร
พิกัดแผนที่ (พิกัดกริด)กด นท ( กดก ด)
พิกัดภาพถาย
พิกัดดาราศาสตร
...

7. พิกัดภูมิศาสตร
้
ู
บนพื้นผิวทรงกลม
φ , λ

8. พิกัดภูมิศาสตร
้
ู
บนพื้นผิวทรงรีหมุน
φ , λ
b
a
b
a > ba > b
(a-b)/a ∼ 1/300

9. พิกัดยีออเดติกพกดยออเดตก
φ , λ , h
b
a
b
a > ba > b
(a-b)/a ∼ 1/300

10. พิกัดแผนที่ N
พกดแผนท
E
Central meridian

11. พิกัดแผนที่
N
พกดแผนท
่แผนที่
E
Central meridian

12. องคประกอบของระบบพิกัด
• วิธีการกําหนดตําแหนง
• จุดกําเนิด / จุดศูนยกลาง
• แกน / ระนาบอางอิง• แกน / ระนาบอางอง
• หนวย

13. พิกัดบนแผนที่ภมิประเทศ 1:50,000
องคประกอบ พิกัดภมิศาสตร พิกัดกริด
พกดบนแผนทภูมปร เทศ 1 50,000
ก ก ภู ศ ต ก ก
วิธีการกําหนดตําแหนง
พิกัดขั้ว
Polar coordinate
พิกัดฉาก
Rectangularวธการกาหนดตาแหนง Polar coordinate Rectangular
coordinate
จดศนยกลางมวลของโลก จดตัดของเสนศนยสตร
จุดกําเนิด / จุดศูนยกลาง
จุดศูนยกลางมวลของโลก
เปนจุดศูนยกลางของทรง
รีอางอิง
จุดตดของเสนศูนยสูตร
และเสนเมอริเดียน
กึ่งกลางรอางอง กงกลาง
λ อางอิงกับระนาบ
ริ ี ั
เสนศูนยสูตรเปนแกนนอน
ส ริ ี ึ่
แกน / ระนาบอางอิง
เมอรเดยนหลก
φ อางอิงกับระนาบศูนย
สตร
เสนเมอรเดยนกงกลาง
เปนแกนตั้ง
สูตร
หนวย มุม – องศา, เรเดียน ระยะ – เมตร

15. ยีออเดซียออเดซ
φ,λ,h
X,Y,Z, ,
E N UE,N,U
Coordinate Systems, http://www.dirsig.org/docs/new/coordinates.html

16. วิธีการ แกน /
ระบบพิกัด
วธการ
กําหนด
ตําแห ง
จุดกําเนิด /
จุดศูนยกลาง
แกน /
ระนาบ
อางอิง
หนวย
ตาแหนง อางอง
d ti
Prime
idigeodetic
φ,λ,h
พิกัดขั้ว ศูนยกลางโลก
geocentric
meridian
plane,
equatorial
มุม (องศา /
เรเดียน)φ, , q
plane
ECEF
พิ ั ศนยกลางโลก
X Y Z ร
X,Y,Z
พกดฉาก ศูนยกลางโลก
geocentric
แกน X,Y,Z ระยะ
LSR ้ โLSR
E,N,U
พิกัดฉาก พื้นผิวโลก
topocentric
แกน E,N,U ระยะ
ECEF - Earth-Centered, Earth-Fixed
LSR - Local Space Rectangular

17. คารโตกราฟคารโตกราฟ
N
φ λφ,λ
E
E,N

18. ระบบพิกัด
วิธีการ
กําหนด
จุดกําเนิด /

แกน /
ระนาบ หนวยระบบพกด กาหนด
ตําแหนง
จุดศูนยกลาง
ระนาบ
อางอิง
หนวย
geographic
φ λ พิกัดขั้ว ศูนยกลางโลก
t i
Prime
meridian
plane,
มุม (องศา /
ี )φ,λ พกดขว geocentric
p ,
equatorial
plane
เรเดียน)
projected
X,Y / E,N พิกัดฉาก พื้นผิวโลก
topocentric
แกน X,Y /
E,N
ระยะ
การแปลงพิกัดภมิศาสตรบนพื้นผิวโลกซึ่งเปนผิวโคง ใหเปนการแปลงพกดภูมศาสตรบนพนผวโลกซงเปนผวโคง ใหเปน
พิกัดบนระนาบ เรียกวา การฉายแผนที่ (Map projection)

19. โฟโตแกรมเมตรีโฟโตแกรมเมตร
L1 L2
y
1
y
2
x yx x x,y
q
r p,q,r
Y
Z
p X,Y,ZY
p X,Y,Z
X

20. วิธีการ แกน /
ระบบพิกัด
วธการ
กําหนด
ตําแห ง
จุดกําเนิด /
จุดศูนยกลาง
แกน /
ระนาบ
อางอิง
หนวย
ตาแหนง อางอง
Image space
ิ ัx,y พิกัดฉาก Fiducial center แกน x,y ระยะ
Stereo model
p,q,r พิกัดฉาก Model origin แกน p,q,r ระยะ
Object space*
X Y Z พิกัดฉาก พื้นผิวโลก
t t i
แกน X,Y,Z ระยะX,Y,Z ก ก topocentric
ก X, ,
* LSR* LSR

21. การสํารวจการสารวจ
EE
F
Trilateration
n = 11C D
no = 9
A B

22. E
Y' กําหนดระบบพิกัดทองถิ่นE
F (local coordinate)
• ใชระบบพิกัดฉากสองมิติ
C D
ใชระบบพกดฉากสอ มต
• จุดกําเนิดอยูที่จุด A
X   ร AB• แกน X อยูบนเสนตรง AB
X’A = 0
Y’ = 0
A B
X'
Y A = 0
Y’B = 0A B B

23. ⎤⎡E
F
l11 ⎥
⎤
⎢
⎡ B
X
X
'
'
11
F
l
l8
l
11
⎥
⎥
⎥
⎢
⎢
⎢
C
Y
X
'
'
n = 11
n = 9D
l7
l9
l10
⎥
⎥
⎥
⎢
⎢
⎢
D
C
X
Y
'no = 9
u = no = 9,
C D
l6
⎥
⎥
⎥
⎢
⎢
⎢
= D
D
Yx 'o
l2
l3
l5l4
⎥
⎥
⎥
⎢
⎢
⎢
EX '
A B
l3
⎥
⎥
⎥
⎢
⎢
⎢
E
X
Y
'
'
A Bl1
⎥
⎥
⎦
⎢
⎢
⎣
F
Y
X
'
'
⎦⎣ FY

24. E
F
l11
F
l
l8
l
11
สมการคารังวัด, C = 11
D
l7
l9
l10
22
11
''
'
lYX
vlX B +=
C D
l6
( ) 222
22
22
'''
''
vlYXX
vlYX CC
+=+−
+=+
l2
l3
l5l4
( ) 33 vlYXX CBC +=+−
M
A B
l3
( ) ( ) 1111
2222
'''' vlYYXX EFEF +=−+−
A Bl1

25. E
1 ปตอมา ... มีการสํารวจพิกัดของจุด A,B
่
E
Y'
E F
Y
ตองการหาพิกัดของจุดที่เหลือ
E
F
C
D
C D
C
A
B
A B
X'
A
X
A B

26. E
วิธีที่ 1
E F คํานวณปรับแกใหม
⎥
⎤
⎢
⎡ CX
10
⎥
⎥
⎢
⎢
C
C
Y
C
D n = 10
n = 8 ⎥
⎥
⎥
⎢
⎢
⎢
DX
C no = 8
u = no = 8, ⎥
⎥
⎥
⎢
⎢
⎢
= D
X
Y
xo
⎥
⎥
⎥
⎢
⎢
⎢ E
Y
X
A
B
⎥
⎥
⎥
⎢
⎢
⎢
F
E
X
Y
A
X' ⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎣ F
F
Y

27. วิธีที่ 2
ใ  ป ิ ั ํ ิ  ป ิ ั โ ีใชสมการแปลงพิกัด คํานวณหาพารามิเตอรของสมการแปลงพิกัดโดยมี
จุดที่ทราบคาพิกัดในทั้งสองระบบเปนจุดอางอิงุ ุ
E F
Y X' Y' X YY X Y X Y
X'A Y'A XA YA
D X'B Y'B XB YB
X' Y' X YC X C Y C XC YC
X'D Y'D XD YDD D D D
X'E Y'E XE YE
X' Y' X Y
B
X F Y F XF YF
A
X

28. วิธีการกําหนดตําแหนง
: วิธีการเดียวกันหรือไม
จดกําเนิดจุดกาเนด
: ตําแหนงเดียวกันหรือไม
การแปลงพิกัด
แกน
: ขนานกันหรือไม
หนวย
: หนวยเดียวกันหรือไม

29. E F
Y วิธีการกําหนดตําแหนงวธการกาหนดตาแหนง
: วิธีเดียวกัน
C
D จุดกําเนิด
ค ตําแห งC : คนละตาแหนง
แกนกน
: ไมขนานกัน

A
B
หนวย
: หนวยเดียวกันA
X
: หนวยเดยวกน

30. E F
Y
C
D
Cแกนไมขนานกัน
: หมุนใหแกนขนานกัน
A Bจุดกําเนิดคนละตําแหนง
: เลื่อนใหอยตําแหนงเดียวกัน
=
X
ูต ก
O'
O
=
=

31. การหมุน - Rotation
Y2
XRY =
ุ
11
cossin
sincos
X
X
Y
Y
θθ
θθ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
22 cossin XY θθ ⎦⎣⎦⎣−⎦⎣
Y
212
211
cossin
sincos
XXY
XXY
θθ
θθ
+−=
+=
Y1
Y2
θ ( )
Y1
θ
θ (+)
θ (-)
O',O",

32. ตัวอยาง จากรูปตองการหา X"A, Y"A, X"B, Y"Bู A, A, B, B
Y"Y
X'B = 3
Y'B = 3
X' 5
B
Y B 3
X'A = 5
Y'A = 0
A
X"
θ
θ = 30°

33. 30cos5" °=BX
35
=
Y"B 3304
2
=
30°
Y B
30sin5"
330.4
°=
=
BY
X"B
5
30sin5BY
2
=
5.2=

34. θ = -30°
')30(sin)30(cos" XX ⎤⎡⎤⎡ °−°−⎤⎡
θ 30
')30(cos)30(sin
)30(sin)30(cos
" Y
X
Y
X
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
°−°−−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
'
13
X ⎤⎡⎥
⎤
⎢
⎡
−
'31
22
Y
X
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎢
⎢
⎢
=
22
⎦⎣
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎣
'
2
1
'
2
3
" YXX −=
'
3
'
1
"
22
YXY +=
22
YXY +

35. 3X'A = 5
Y' = 0
5
2
3
" ×=XY A = 0
8660
2
5866.0 ×=
330.4=
5
1
"Y 5
2
" ×=Y
5.2
2
= 5.2

36. ' 3 13X'B = 3
Y'B = 3
3
2
1
3
2
3
" −=X
Y B 3
33660
22
×=
0981
3366.0
=
×
31
098.1=
3
2
3
3
2
1
" +=Y
33661
22
×=
0984
3366.1
=
×=
098.4=

37. Y = R X
X = R-1 Y
The rotation matrix, R, is an orthogonal matrix.
1 TR-1 = RT
X = RT YX = R Y

38. ⎤⎡⎤⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=
cossin
sincos
cossin
sincos
θθ
θθ
θθ
θθ
RRT
⎥
⎤
⎢
⎡ −+
⎦⎣⎦⎣
sincossincossincos
cossincossin
22
θθθθθθ
θθθθ
⎤⎡
⎥
⎦
⎢
⎣ +−
=
sincossincossincos 22
θθθθθθ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
10
01
⎦⎣ 10

39. การแปลงพิกัดสองมิติแบบคงรปการแปล พกดสอ มตแบบค รูป
2D Conformal/Similarity Coordinate Transformation

40. การแปลงพิกัดสองมิติแบบสัมพรรคการแปล พกดสอ มตแบบสมพรรค
2D Affine Coordinate Transformation

41. ตัวอยาง* พิกัดวัดสอบและพิกัดจากเครื่องวัดพิกัดของเครื่องหมายดัชนีทั้งสี่ของ
 ึ่ ร  ิ ั ี่ ั รื่ ั ํ ใ ไ ภาพถายภาพหนงพรอมดวยพกดทวดจากเครองวดของจุด 1, 2 และ 3 กาหนดใหไว
ในตารางขางลาง ตองการคํานวณหาพิกัดภาพถายที่ตรวจแกแลวของจุด 1, 2 และ
3 โดยใชการแปลงแบบสัมพรรค3 โดยใชการแปลงแบบสมพรรค
จด
พิกัดจากเครื่องวัดพิกัด พิกัดวัดสอบ
จุด
X (มม.) Y (มม.) x (มม.) y (มม.)
ดัชนี A -112.516 0.323 -113.005 0.000
ดัชนี B 0.016 -112.904 0.000 -113.000
ดัชนี C 113.245 -0.344 113.005 0.000
ดัชนี D 0.702 112.869 0.000 113.000
1 10.711 -70.7151
2 88.966 72.417
3 109.564 -70.953
* ิช ิ ั ั ื้  รสํ ร   ิ  รั้ ี่
3
* วชา จวาลย, 2531, หลกเบองตนของการสารวจดวยภาพถาย พมพครงท 2,
ภาคผนวก ข การแปลงคาพิกัด – ตัวอยาง ข.3, หนา 578

42. X
vYybxbb
vXyaxaa
+=++
+=++ 321
YvYybxbb +=++ 321
a1 a2 a3 b1 b2 b3
1.000 -113.005 0.000 0.000 0.000 0.000 -112.516
1 000 0 000 -113 000 0 000 0 000 0 000 0 0161.000 0.000 -113.000 0.000 0.000 0.000 0.016
1.000 113.005 0.000 0.000 0.000 0.000 113.245
1.000 0.000 113.000 0.000 0.000 0.000 0.702
0.000 0.000 0.000 1.000 -113.005 0.000 0.323
0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 -113.000 -112.904
A = L =
0.000 0.000 0.000 1.000 113.005 0.000 -0.344
0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 113.000 112.869
4.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1.447
0.000 25540.260 0.000 0.000 0.000 0.000 25512.122
0.000 0.000 25538.000 0.000 0.000 0.000 77.518
0.000 0.000 0.000 4.000 0.000 0.000 -0.056
0.000 0.000 0.000 0.000 25540.260 0.000 -75.374
0 000 0 000 0 000 0 000 0 000 25538 000 25512 349
A
T
A = A
T
L =
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 25538.000 25512.349
0.36175
0.998898279
0 0030353980.003035398
-0.014
-0.002951197
0.998995575
X =
-0.003
0.003
-0.003
0.003
0 003
V =
-0.003
0.004
-0.003
0.004
V

43. การแปลงพิกัดแบบคงรป การแปลงพิกัดแบบสัมพรรค
=++ Xcybxa=++ Xcybxa
การแปลงพกดแบบคงรูป การแปลงพกดแบบสมพรรค
=++ Yfyexd=++− Ydyaxb
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
f
c
y
x
ed
ba
Y
X
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
d
c
y
x
ab
ba
Y
X
⎤⎡⎤⎡⎤⎡
⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣
−
cXbax
y
1
⎤⎡⎤⎡⎤⎡
⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣
−
cXbax
y
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
fY
cX
ed
ba
y
x
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
dY
cX
ab
ba
y
x

44. Nonlinear Transformation

45. Projective Transformation
Projective Transformation เปนสมการ
่
j
แปลงพิกัดบนระนาบสองระนาบที่ไมขนานกัน
สา าร ํา าใชปร โ ช ใ า ี่ไ  า ี่ใชสามารถนามาใชประโยชนในงานแผนทได งานทใช
ประโยชนโดยตรงจากสมการนี้ คือ การดัดแกประโยชนโดยตร จากสมการน คอ การดดแก
ภาพถายเพื่อใหไดภาพในมุมมองที่ตองการ

46. ภาพถายตนฉบับภาพถายตนฉบับ ภาพถายดัดแกภาพถายดัดแก
46

47. ภาพถายตนฉบับภาพถายตนฉบับ ภาพถายดัดแกภาพถายดัดแกxx
Y
X
y
X
YaXaa
x 210 ++
YbXbb
YcXc1
x
210
21
210
++
++
=
47
YcXc1
y
21
210
++
=

48. จุดควบคุมภาพถายุ ุ
48

49. จดควบคมภาพถาย เปนจดบนภาพถายที่ทราบคาจุดควบคุมภาพถาย เปนจุดบนภาพถายททราบคา
พิกัดพื้นดิน ใชในการหาความสัมพันธทาง
  คณิตศาสตรระหวางพิกัดภาพถาย x,y และพิกัด
พื้นดิน X Y Z โดยการรังวัดพิกัดภาพถายพนดน X,Y,Z โดยการรงวดพกดภาพถาย
สําหรับภาพถายของพื้นดินที่เปนที่ราบ ความสัมพันธ
 ื้ ิ  ํ ไ โ ใ ระหวางพืนดินและภาพถาย สามารถจาลองไดโดยใช
สมการ projective transformationสมการ projective transformation
YaXaa
x 210 ++
YbXbb
YcXc1
x
210
21
210
++
++
=
YcXc1
y
21
210
++
=

50. สมการของ projective transformation มี
้ ่ ไ
p
พารามิเตอรทั้งหมด 8 ตัว ซึ่งสามารถหาไดจาก
การรังวัดพิกัดภาพถายของจดควบคมการรงวดพกดภาพถายของจุดควบคุม
ในการคํานวณพารามิเตอรของการแปลงนั้น จด iก ก ุ
ซึ่งมีพิกัดพื้นดิน Xi,Yi จะถูกรังวัดบนภาพถาย
ื่ ใ ไ  ิ ั   ึ ํ ี ใ เพือใหไดพิกัดภาพถาย xi,yi แลวจึงนํามาเขียนให
อยในรปสมการแปลงพิกัดแบบ projectiveอยูในรูปสมการแปลงพกดแบบ projective
transformation โดยมีพารามิเตอรเปนตัวไม
้ทราบคาไดดังนี้
i2i10 YaXaa
x
++
=
i2i10
i2i1
i
YbXbb
y
YcXc1
x
++
++
=
i2i1
i2i10
i
YcXc1
y
++
=

51. พิกัดพื้นดินและพิกัดภาพถายของจดควบคม 1 จดพกดพนดนแล พกดภาพถายขอ จุดควบคุม 1 จุด
สามารถนํามาเขียนไดเปนสมการได 2 สมการ ถา
   ึ่ ี  ีตองการคํานวณหาคาพารามิเตอรซึงมี 8 ตัว จะตองมี
จดควบคมอยางนอย 4 จด ในทางปฏิบัติใชจดมากกวา 4จุดควบคุมอยางนอย 4 จุด ในทางปฏบตใชจุดมากกวา 4
จุด แลวทําการคํานวณปรับแกดวยวิธีลีสทสแควรุ
j i f i ป ี่ไ สมการ projective transformation เปนสมการทีไม
เปนเชิงเสน ในการปรับแกจึงตองทําใหอยในรปสมการเชิงเปนเชงเสน ในการปรบแกจงตองทาใหอยูในรูปสมการเชง
เสนเสียกอน

52. คาประมาณเริ่มตนสามารถหาไดโดยการจัดรปสมการคาประมาณเรมตนสามารถหาไดโดยการจดรูปสมการ
ใหม เพื่อขจัดรูปของเศษสวนออก ดังนีู้
YcXc1
YaXaa
x
21
210
++
++
=
YxcXxcYaXaax
YaXaaYxcXxcx
YcXc1
21021
21
++
++=++
++
YbXbb
YxcXxcYaXaax 21210 −−++=
bbb
YcXc1
YbXbb
y
21
210
++
++
=
YycXycYbXbby
YbXbbYycXycy
21210
21021
−−++=
++=++
เมื่อไดคาประมาณเริ่มตนแลว จึงทําการคํานวณปรับแก
้ ่ ใดวยสมการเดิมแบบวนซ้ํา เพื่อหาคาแกใหกับคาประมาณ