การคำนวณปรับแก้ด้วยวิธีกำลังสองน้อยที่สุด

1. วิชา การคํานวณปรับแก แผนการสอนวชา การคานวณปรบแก - แผนการสอน
• มโนทัศนของการคํานวณปรับแก • น้ําหนักของคารังวัด แล การคํานวณปรับแกคา• มโนทศนของการคานวณปรบแก
– measurements, errors, redundancy
– แบบจําลองทางคณิตศาสตรในงานสํารวจและทํา
แผนที่
 ั ั ํ
• นาหนกของคารงวด และ การคานวณปรบแกคา
รังวัดแบบมีน้ําหนัก
• การคํานวณปรับแกปญหาที่ไมเปนระบบสมการ
เชิงเสน
• สมการคารังวัด และ คําตอบของระบบสมการ
เชิงเสน
• การคํานวณปรับแก
– ตัวอยางงายๆ
– Linearization of non-linear equations
– Numerical differentiation
• การแพรของความคลาดเคลื่อน
ความนาจะเปนตวอยางงายๆ
• การปรับแกแบบลีสทสแควร
– วิธีการคํานวณปรับแกดวยสมการเงื่อนไข
– วิธีการคํานวณปรับแกดวยสมการคารังวัด
– ความนาจะเปน
– วงรีความคลาดเคลื่อน
• การวิเคราะหผลการคํานวณปรับแก
• การคํานวณปรับแกในงานสํารวจและทําแผนที่
• Derivation
– วิธีการคํานวณปรับแกดวยสมการเงื่อนไข
– วิธีการคํานวณปรับแกดวยสมการคารังวัด
– การสํารวจทางราบ
– งานระดับ
– GPS
– การแปลงพิกัดการแปลงพกด
– การสํารวจจากภาพถาย
1วิชาการคํานวณปรับแก

2. การคํานวณปรับแก
ปเอกสารประกอบการบรรยาย

3. หัวขอการบรรยายหวขอการบรรยาย
่วิธีกําลังสองนอยที่สุด (Least Squares)

4. “Overdetermined Systems”
ในงานสํารวจ เมื่อ n > noo
c > u

5. ั ตวอยาง 1
ในการหาระยะทางระหวางจุด 2 จุด โดยการรังวัดโดยตรง จํานวน 2 ครั้ง
ไดคารังวัด ดังนี้
1 12 มl1 = 15.12 ม.
l2 = 15.14 ม.
ถา x แทนตัวแปรไมทราบคา ใหเขียนสมการคารังวัดของปญหานี้
5วิชาการคํานวณปรับแก

6. x
2 l l2 l l
x
n = 2 : l1,l2
n = 1
n = 2 : l1,l2
n = 1no = 1
u = 1 : x
no = 1
u = 1 : xu = 1 : x
c = 2
u = 1 : x
c = 2
r = n- no = c-u =1r = n- no = c-u =1

7. xx
21
ˆ,ˆ llให เปนคารังวัดหลังการปรับแก
ˆ vllx +== 111
ˆ vllx
vllx
+==
+==
222 vllx +==
ˆˆ ll = 21 ll =

8. วิชาการคํานวณปรับแก 8
Mikhail, E.M., Gracie, G, 1981, Analysis and Adjustment of Survey Adjustments, Fig. 3-3, page 39

9. Scalar and Vector Projectionj
of x onto y
yxT
u y
yx
α =
y
y
up
1
αα ==
yu – unit vector

10. m1215l
x
m14.15
m12.15
2
1
=
=
l
l
l
x
11 vlx += 112.15 vx +=
แทนคา
22 vlx += 214.15 vx +=
ท
⎤⎡⎤⎡⎤⎡ 112.151 v
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
1
14.151 v
x

11. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
1415
12.15
x
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎦⎣
1
1
14.15
y
[ ] ⎥
⎤
⎢
⎡
=
⎥
⎦
⎢
⎣
1
14.1512.15
1
1
αu [ ]
=
⎥
⎦
⎢
⎣+ 22
2630
1
1
14.1512.15
11
α
=
1
26.30
2
yp α
⎥
⎤
⎢
⎡11
2630
1
y
y
p α
⎤⎡⎤⎡
⎥
⎦
⎢
⎣
=
ˆ1
12
26.30
2
l
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
2
1
ˆ1
1
13.15
l
l

12. u
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1415
12.15
13.15
1
1 1
v
v
⎦⎣⎦⎣⎦⎣ 14.151 2v
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
01.0
01.0
2
1
v
v
⎦⎣⎦⎣ 01.02v

13. Fundamental principle
of Least Squares
The sum of the squares of the residuals is minimized
i i++++Σ 22222
vvvvvφ minimum=++++=Σ= 321 ... nvvvvvφ
Residuals and the sum of squared residuals
I II IIII II III …
v1 0 0.01 0.015
v2 -0.02 -0.01 -0.005
φ=Σv 2 0 0004 0 0002 0 00025φ=Σvi
2 0.0004 0.0002 0.00025
x 15.12 15.13 15.135
13วิชาการคํานวณปรับแก
minimum2
2
2
1 →+ vv

14. สมการคารังวัด
จํานวนตัวแปรไมทราบคา มากกวา จํานวนสมการ
ป  ื่ ไ ่
1
1415
12.15
vx
vx
+
+=
สมการคารงวด จําเปนตองกําหนดเงือนไขเพิมเติม
ในงานสํารวจนิยมใชเงื่อนไขของวิธีกําลังสองนอยที่สุด
214.15 vx +=
ุ
(Least Squares)
คาเปนไปไดมากที่สุด
xll ,ˆ,ˆ
21
111
ˆ
ˆ
ll
vll +=
222 vll +=

15. ใ ป  เทคนิคในการปรับแกดวย
ิ ี ํ ั  ี่วิธีกําลังสองนอยทีสุด

16. minimum2
2
2
1 →+ vv
1
12.151 −= xv
14.152 −= xv
u
minimum)14.15()12.15( 222
2
2
1 →−+−=+= xxvvφ
0)14.15)(1(2)12.15)(1(2 =−+−= xx
d
dφ
))(())((
dx
052.604 =−x 12151315 −=v
4
52.60
052.604
=x
x
14151315
m01.0
12.1513.151
−=
=
−=
v
v
m13.15
4
= m001.0
14.1513.152
−=
−=v

17. minimum2
2
2
1 →+ vv
2
14.1512.15 21 +=+ vv
minimum)020(
02.0
22
12
21
→+
−=
vv
vv
φ
u
minimum)02.0( 11 =→−+= vvφ
0)02.0)(1(22 11
1
=−+= vv
dv
dφ
04.0
004.04
1
1
=
=−
v
v
020010
m01.0
4
1
=
v
v
x = l +v =l +v
m01.0
02.001.02
−=
−=v x = l1+v1=l2+v2
=15.13 m

18. ตัวอยาง 2ตวอยาง 2
-x1 + 4x2 = 6
X1 + 2x2 = 6
X 2 1X1 = 2.1
วิชาการคํานวณปรับแก 18

19. ⎥
⎤
⎢
⎡
⎥
⎤
⎢
⎡
⎥
⎤
⎢
⎡− 641
⎥
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎢
⎣
=
⎥
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎢
⎣
+
⎥
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎢
⎣ 12
6
0
2
1
1 21 xx
l
v
⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ 1.201
l
k 11cx
v22cx
v
1c
v2c
v
1
j
i

20. ใ   ป  ั ั ซึ่ ี ื่ใหคาทางขวาของสมการเปนคารังวัด ซึงมีความคลาดเคลือน
รูปของสมการคารังวัดสําหรับการคํานวณปรับแก :
-x1 + 4x2 = 6 + v11 2 1
x1 + 2x2 = 6 + v2
2 1x1 = 2.1 + v3
ซึ่ ี ั ป ไ   ั้ ั ป ซึงมีตัวแปรไมทราบคาทังหมด 5 ตัว ประกอบดวย
x1,x2 เรียกวา พารามิเตอรx1,x2 ก ต
v1,v2,v3 เรียกวา คาเศษเหลือ (residuals) ของคารังวัด

21. ั ป ป ั หากจัดเปนรูปคอลัมน :
⎥
⎤
⎢
⎡
⎥
⎤
⎢
⎡
⎥
⎤
⎢
⎡
⎥
⎤
⎢
⎡− 1641 v
⎥
⎥
⎢
⎢+⎥
⎥
⎢
⎢=⎥
⎥
⎢
⎢+⎥
⎥
⎢
⎢
221 621 vxx
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎣⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎣⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎣⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎣ 31.201 v

22. ˆvv
v
vlvlxcxc 2211
vvvvv
=+=+
l
v
lˆv
l
l
k 11cx
v22cx
v
1c
v2c
v
1
j
i

23. St i ht li fittiStraight line fitting
ตองการหา
พารามิเตอร a,b
ของ ส ตรง โดยใชของเสนตรง โดยใช
คาพิกัดของจุดบน
่
ุ
เสน ที่คา x ของจุด
เปนคาคงที่ และคา yเปนคาคงท และคา y
ของจุดไดจากการ
รังวัด

24. หาพารามิเตอร a,bของเสนตรง โดยใชคาพิกัดของจุดบนเสน, ุ
ที่คา x ของจุดเปนคาคงที่ และคา y ของจุดไดจากการรังวัด
X YX Y
1 1.9
2 3.0
3 3 83 3.8
24วิชาการคํานวณปรับแก

25. หนังสืออางอิงและอานประกอบหนงสออางองและอานประกอบ
L S J 1998 Li Al b ith A li ti 5thLeon, S.J., 1998, Linear Algebra with Applications 5th
edition – Chapter 5 Orthogonality, Prentice Hall, Inc.
Mikhail, E.M., Gracie, G, 1981, Analysis and Adjustment of
Survey Adjustments – Chapter 3 The Concept ofy j p p
Adjustment, Van Nostrand Reinhold Co.

27. ตองการทราบระยะ AD จากคารังวัดตามรปตองการทราบระยะ AD จากคารงวดตามรูป
โดยใชวิธีกําลังสองนอยที่สุด
ป ั   ั ั1. ปรับแกจากสมการคารังวัด
2. ปรับแกจากสมการเงื่อนไข
l 200 000
2. กจากสมกา น ข
l3 = 200.040 m
l4 = 200.000 m
l1 = 100.000 m l2 = 100.080 m
A B C D