1. Contoh :
a. Misalkan D adalah himpunan bulat.
Buktikan bahwa kalimat ( ∃m∊ D) m2 = m bernilai benar.
b. Misalkan E adalah himpunan bilangan bulat antara 5 dan 10.
Buktikan bahwa kalimat ( ∃ m∊ E) m2 = m bernilai salah.
Penyelesaian :
Kalimat (∃x) p(x) bernilai benar bila kita dapat menunjukkan bahwa ada satu x (atau lebih)
yang memenuhi sifat p.
a. Untuk m = 1 ∊ D, m2 = 12 = 1 = m
Jadi, kalimat (∃m∊D) m2 = m benar untuk m = 1
Terbukti bahwa kalimat (∃m ∊D) m2 = m benar.
b. Untuk 5 ≤ m ≤ 10, 52 = 25≠ 5 ; 62 = 36 ≠ 6 ; ... ; 102 = 100 ≠ 10.
Berarti tidak ada satupun ∃m ∊ E yang memenuhi relasi m2 = m. Jadi kalimat (m∊ E) m2 =
m salah.
Contoh 2.
Nyatakan kalimat berkuantor di bawah ini dalam bahasa sehari-hari!
a. (∀ bilangan riil x) x2 ≥ 0
b. (∀ bilangan riil x) x2 ≠ – 1
c. ( ∃ bilangan bulat m) m2 = m
2. Penyelesaian :
Berikut diberikan beberapa cara untuk menyatakannya:
a. Semua bilangan riil memiliki kuadrat tak negatif.
Setiap bilangan riil memiliki kuadrat tak negatif.
Sembarangan bilangan riil memiliki kuadrat tak negatif.
x memiliki kuadrat tak negatif untuk setiap bilangan riil x.
Kuadrat dari sembarang bilangan riil tidaklah negatif.
b. Semua bilangan riil memiliki kuadrat yang tidak sama dengan – 1 .
Tidak ada bilangan riil yang kuadratnya = - 1.
c. Ada bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan bilangan itu sendiri.
Kita dapat menemukan paling sedikit satu bilangan bulat yang sama dengan kuadratnya
sendiri.
m2 = m untuk bilangan bulat m.
Beberapa bilangan bulat sama dengan kuadratnya sendiri.
Terdapat bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan bilangan itu sendiri.
Contoh :
Tulislah ingkaran kalimat-kalimat berikut :
a. Terdapatlah bilangan bulat x sedemikian hingga x2 = 9
b. Semua dinosaurus telah musnah.
c. Tidak ada ahli matematika yang malas.
d. Beberapa bilangan riil adalah rasional.
e. Semua program Cobol memiliki panjang lebih dari 20 baris.
Penyelesaian :
3. Untuk lebih memudahkan penyelesaian, terlebih dahulu kalimat ditulis ulang menggunakan
kuantor, kemudian barulah dituliskan ingkarannya.
a. Kalimat mula-mula : (∃ x ∊ bulat) x2 = 9
Ingkaran : (∀x ∊ bulat) x2≠ 9
Atau : Kuadrat semua bilangan bulat tidak sama dengan 9.
b. Kalimat mula-mula : (∀x ∊ Dinosaurus) (x telah musnah)
Ingkaran :(∃x ∊ Dinosaaurus) (x belum musnah)
Atau : Ada Dinosaurus yang belum musnah.
c. Kalimat mula-mula dapat ditulis “Semua ahli matematika tidak malas” atau (∀x ∊ ahli
matematika) (x tidak malas)
Ingkaran : (∃x ∊ ahli matematika) (x malas)
Atau : Ada ahli matematika yang malas.
d. Kalimat mula-mula : (∃x ∊ riil)(x = rasional)
Ingkaran : (∀x ∊ riil) (x ≠ rasional)
Atau : Semua bilangan riil tidak rasional
e. Kalimat mula-mula: (∀x ∊ program Cobol) (panjang x > 20 baris)
Ingkaran : (∃ x ∊ program Cobol) (panjang x ≤ 20 baris)
Atau : Ada program Cobol yang panjangnya kurang atau sama dengan 20
baris.
4. Contoh :
Nyatakan kalimat berikut menggunakan kuantor!
a. Ada bintang film yang disukai oleh semua orang.
b. Untuk setiap bilangan positif, terdapatlah bilangan positif lain yang lebih kecil darinya.
c. Terdapatlah bilangan positif x sedemikian hingga untuk semua bilangan positif y,
berlakulah y < x.
Penyelesaian :
a. Misalkan semestanya adalah himpunan semua manusia dan p(x,y) = y menyukai x, maka
kalimat dapat dituliskan sebagai (∃x)(∀y) p(x,y)
b. Kalimat mula-mula bisa dinyatakan “Untuk setiap bilangan positif x, terdapatlah bilangan
positif y sedemikian sehingga y < x.”
Dalam simbol logika (∀ bilangan x) ( ∃ bilangan positif y) y < x.
Jika semestanya bilangan riil, kalimat tersebut menyatakan bahwa tidak ada bilangan riil
positif yang terkecil.
c. Seperti pada soal (b), dalam simbol logika, kalimat mula-mula dapat dinyatakan sebagai:
(∃ bilangan positif x) ( ∀ bilangan positif y) y < x.
Ada 8 cara berbeda dalam menggunakan kuantor ∀dan ∃ dalam 2 variabel x dan y, masing-
masing adalah :
1. (∀x)( ∀y),
2. (∀y)( ∀x),
3. (∃x)( ∃y),
4. (∃y)( ∃x),
5. (∀x)( ∃y),
6. (∃y)( ∀x),
7. (∀y)( ∃x),
8. (∃x)( ∀y),
5. Contoh 2 :
Misalkan p(x,y) : “y adalah ibu dari x”.
Nyatakan arti simbol logika di bawah ini dalam bahasa sehari-hari dan tentukan nilai
kebenarannya!
a. (∀x)(∃y) p(x,y)
b. (∃y)(∀x) p(x,y)
Penyelesaian :
a. Untuk setiap orang x, terdapatlah seorang y sedemikian hingga y adalah ibu dari x. Dengan
kata lain, setiap seorang memiliki ibu.
b. Terdapatlah seorang y sehingga untuk semua orang x,y adalah ibu dari x. Dengan kata lain,
ada seseorang yang merupakan ibu dari semua orang di dunia ini.
Jelaslah bahwa kedua pernyataan tersebut memiliki arti yang berbeda. Nilai kebenaran
(a) adalah benar, sedangkan (b) adalah salah.
Contoh
”Semua tanaman hijau membutuhkan air untuk tumbuh ”.
Jika x adalah tanaman hijau, maka x membutuhkan air untuk tumbuh Tanaman hijau(x) ⇒
membutuhkan air untuk tumbuh(x)
(∀x) (Tanaman hijau(x) ⇒ membutuhkan air untuk tumbuh(x))
(∀x)(T(x) ⇒ A(x))
”Semua artis adalah cantik”.
Jika x adalah artis, maka x cantik, Artis(x) ⇒ cantik(x).
(∀x)( Artis(x) ⇒ cantik(x))
(∀x)(A(x) ⇒ C(x))
Jika diketahui persamaan x+3>10, dengan x adalah himpunan bilangan bulat positif A > 5 .
Tentukan nilai kebenaran (∀x∈A) x+3>10. Untuk menentukan nilai kebenarannya, maka
harus dicek satu persatu.
A={1,2,3,4}. Jika kuantor universal, maka untuk semua nilai A yang dimasukkan harus
memenuhi persamaan yaitu x+3>10
6. Untuk A=1, maka 1+3>10 ≡ 4>10 Memenuhi
A=2, maka 2+3>10 ≡ 5>10 Memenuhi
A=3, maka 3+3>10 ≡ 6>10 Memenuhi
A=4, maka 4+3>10 ≡ 7>10 Memenuhi
Karena semua himpunan A memenuhi, maka (∀x) x+3>10 bernilai benar. Tapi jika ada satu
saja nilai A yang tidak memenuhi, misalnya dimasukkan A=8, sehingga 8+3>10 ≡ 11>10,
dimana hasilnya salah maka (∀x) x+3>10 bernilai salah. Nilai x yang menyebabkan suatu
kuantor bernilai salah disebut dengan contoh penyangkal atau counter example.
Contoh
“Beberapa orang rajin beribadah”.
Jika ditulis dengan menggunakan logika predikat, maka:
”Ada x yang adalah orang, dan x rajin beribadah”.
(∃x)(Orang(x) ∧ rajin beribadah(x))
(∃x)(O(x) ∧ I(x))
“Ada binatang yang tidak mempunyai kaki”.
“Terdapat x yang adalah binatang, dan x tidak mempunyai kaki”.
(∃x)(binatang(x) ∧ tidak mempunyai kaki(x))
(∃x)(B(x) ∧ ￢K(x))
Misalkan B adalah himpunan bilangan bulat. Tentukan nilai kebenaran (∃x ∈ B)(x2=x).
(∃x ∈ B)(x2=x) dapat dibaca “Terdapat x yang adalah bilangan bulat dan x memenuhi
x^2=x”. (∃x ∈ B)(x^2=x) akan bernilai benar jika dapat ditunjukkan paling sedikit ada satu
bilangan bulat yang memenuhi x^2=x.
Misal x= -1, maka 〖-1〗^21 Tidak memenuhi
x= 1, maka 〖(1)〗^2=1 Memenuhi
Karena ada satu nilai yang memenuhi, yaitu x=1, maka pernyataan di atas bernilai benar.
Contoh
H(x)∶ x hidup
M(x)∶ x mati
(∀x)(H(x) ∨M(x)) dibaca“Untuksemuax,x hidupatau x mati” Akantetapi jikaditulisnya(∀x)(H(x)) ∨
M(x) maka dibaca“Untuk semuax hidup,ataux mati”. Pada“x mati”,x tidakterhubingdengan
7. kuantoruniversal,yangterhubunghanya”x hidup”.Sekali lagi,perhatikanpenulisansertapeletakan
tanda kurungnya.
Secara umum,hubunganantarapenempatankuantorgandaadalahsebagai berikut:
(∀x)(∀y) P(x,y) ≡(∀y)(∀x) P(x,y)
(∃x)(∃y)P(x,y) ≡(∃y)(∃x) P(x,y)
(∃x)(∀y) P(x,y)≡(∀y)(∃x) P(x,y)
Ingkarankalimatberkuantorgandadilakukandengancarayangsama seperti ingkaranpadakalimat
berkuantortunggal.
￢[(∃x)(∀y) P(x,y)] ≡(∀x)(∃y) ￢P(x,y)
￢[(∀x)(∃y) P(x,y)] ≡(∃x)(∀y) ￢P(x,y)
Contoh:
Tentukannegasi dari logikapredikatberikutini :
(∀x)(∃y) x=2ydengandomainnyaadalahbilanganbulat
(∀x)(∃y) x=2ydibaca“Untuksemuabilanganbulatx,terdapatbilangan bulatyyangmemenuhi x=2y.
Maka negasinya:￢[(∀x)(∃y)x=2y] ≡ (∃x)(∀y) x≠2y
Ada tokobuahyang menjual segalajenisbuah.Dapatditulis(∃x)(∀y) x menjualy.Maka negasinya
￢[(∃x)(∀y) x menjualy] ≡ (∀x)(∃y)x tidak menjual yDibaca“Semuatokobuahtidakmenjual paling
sedikitsatujenisbuah”.
Mengubahpernyataanke dalamlogikapredikatyangmemilikikuantorganda
Misal : “Adaseseorangyangmengenal setiap orang”
Langkah-langkahnya:
Jadikanpotonganpernyataan”x kenal y”,maka akanmenjadi K(x,y).K(x,y)∶ x kenal y
Jadikanpotonganpernyataan”x kenal semuay”,sehinggamenjadi(∀y) K(x,y)
Jadikanpernyataan“adax, yangx kenal semuay”,sehinggamenjadi(∃x)(∀y)K(x,y)
Contoh:
-Semua dinosaurus telah musnah
-tidak ada ahli matematika yang malas
Penyelesaian;
¬ (( ∀xЄD)p(x)) ≡ (ƎxЄD) ¬ p(x)
¬ ((ƎxЄD) q(x))≡ ( ∀xЄD)¬ q(x)
