The document is a mathematical resource for sixth-grade students focusing on complex numbers, including their definitions, properties, and operations such as addition and multiplication. It provides thorough explanations and examples to help students understand and solve related problems. Additionally, it aims to enhance students' mathematical skills and comprehension through clear illustrations and step-by-step solutions.

1. ‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫للصف‬
–
‫التطبيقي‬
‫الفصل‬
‫الاول‬
‫الاعداد‬
‫المركبة‬
‫داد‬‫ع‬‫ا‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
2021 - 2022

3. ‫تقديم‬
‫سلسلة‬ ‫من‬ ‫واحدة‬ ‫هي‬ ‫والتطبيقي‬ ‫االحيائي‬ ‫بفرعيه‬ ‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫للصف‬ ‫الرياضيات‬ ‫ملزمة‬
‫مواضيع‬ ‫كل‬ ‫مسائل‬ ‫لحل‬ ‫توضيحية‬ ‫خطوات‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫وهي‬ , ‫الرياضيات‬ ‫لمادة‬ ‫الحديثة‬ ‫المالزم‬
‫والتمارين‬ ‫لالمثلة‬ ‫الحل‬ ‫خطوات‬ ‫شرح‬ ‫مع‬ ‫الرياضيات‬ ‫كتاب‬
‫كما‬ ‫الوزارية‬ ‫االسألة‬ ‫الى‬ ‫واالشارة‬
‫الرياضات‬ ‫مادة‬ ‫تقديم‬ ‫هو‬ ‫الملزمة‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫الغرض‬ ‫ان‬ . ‫االضافية‬ ‫التمارين‬ ‫بعض‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬
‫من‬ ‫وذلك‬ ‫الرياضيات‬ ‫في‬ ‫الضعيف‬ ‫المستوى‬ ‫ذوي‬ ‫للطلبة‬ ‫حتى‬ ‫ومفهوم‬ ‫واضح‬ ‫باسلوب‬ ‫للطلبة‬
‫واضا‬ ‫للحل‬ ‫الطرق‬ ‫ابسط‬ ‫واختيار‬ ‫الدقيق‬ ‫بالتفصل‬ ‫الحل‬ ‫خطوات‬ ‫شرح‬ ‫خالل‬
‫رسوم‬ ‫فة‬
‫ذلك‬ ‫من‬ ‫والهدف‬ ‫مباشرة‬ ‫لها‬ ‫المشابهة‬ ‫التمارين‬ ‫ثم‬ ‫االمثلة‬ ‫حل‬ ‫وتم‬ ‫كما‬ . ‫توضيحية‬ ‫ومخططات‬
‫االسألة‬ ‫بكل‬ ً‫ا‬‫ملم‬ ‫الطالب‬ ‫يكون‬ ‫وان‬ ‫األسألة‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫منصب‬ ‫الطالب‬ ‫تركيز‬ ‫ابقاء‬ ‫هو‬
. ‫النقطة‬ ‫هذه‬ ‫حول‬ ‫ترد‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫التي‬
‫س‬ ‫طموح‬ ‫و‬ ‫مجد‬ ‫طالب‬ ‫كل‬ ‫الى‬ ‫هذه‬ ‫جهدي‬ ‫ثمرة‬ ‫اهدي‬
‫كل‬ ‫رغم‬ ‫اهدافه‬ ‫تحقيق‬ ‫الى‬ ‫دوما‬ ً‫ا‬‫اعي‬
‫له‬ ‫وأقول‬ , ‫حياته‬ ‫في‬ ‫والنجاح‬ ‫التوفيق‬ ‫دوام‬ ‫له‬ ‫وجل‬ ‫عز‬ ‫هللا‬ ‫فأسأل‬ ‫والتحديات‬ ‫الصعوبات‬
"
‫ة‬‫م‬‫ق‬‫ل‬‫ا‬‫ب‬‫لا‬‫ا‬‫ي‬‫ض‬‫ر‬‫ت‬‫لا‬‫و‬‫ة‬‫م‬‫ه‬‫ال‬‫ي‬‫ل‬‫ا‬‫ع‬ً‫ا‬‫م‬‫دو‬‫ن‬‫ك‬
."
‫الدكتور‬
‫خلف‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬
07818192576
anasdhyiab@gmail.com
‫محفوظة‬ ‫الحقوق‬ ‫جميع‬
©
2021
.‫المؤلف‬ ‫بموافقة‬ ‫اال‬ ‫العمل‬ ‫هذا‬ ‫طباعة‬ ‫اعادة‬ ‫او‬ ‫قص‬ ‫او‬ ‫تعديل‬ ‫يجوز‬ ‫ال‬

4. ‫مقدمة‬
‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫اردنا‬ ‫اذا‬
𝒙𝟐
+ 𝟏 = 𝟎
:‫كاالتي‬ ‫سيكون‬ ‫الحل‬ ‫فان‬
𝒙𝟐
+ 𝟏 = 𝟎 ⇒ 𝒙𝟐
= −𝟏,
⇒ 𝒙 = ∓√−𝟏,
‫الواضح‬ ‫من‬ ‫انه‬
‫يساوي‬ ‫مربعه‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫ايجاد‬ ‫النستطيع‬ ‫اننا‬
-1
‫جديد‬ ‫نوع‬ ‫تعريف‬ ‫الضروري‬ ‫من‬ ‫لذلك‬ ,
. ) ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ( ‫هي‬ ‫االعداد‬ ‫وهذه‬ ‫االعداد‬ ‫من‬
( ‫الرمز‬ ‫سنعرف‬ ‫البداية‬ ‫في‬
𝒊 = √−𝟏
. ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التخيلي‬ ‫الجزء‬ ‫اسم‬ ‫عليه‬ ‫سنطلق‬ ‫والذي‬ )
:‫ان‬ ‫حيث‬
𝑖2
= 𝑖. 𝑖 = √−1. √−1 = −1,
𝑖3
= 𝑖2
. 𝑖 = −1. 𝑖 = −𝑖,
𝑖4
= 𝑖2
. 𝑖2
= −1. −1 = 1,
𝑖5
= 𝑖3
. 𝑖2
= −𝑖. −1 = 𝑖,
: ‫مثال‬
: ‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫يلي‬ ‫ما‬ ‫اكتب‬
1) 𝑖6
= 𝑖2
. 𝑖2
. 𝑖2
= −1. −1. −1 = −1, 𝒐𝒓 𝒊𝟔
= 𝒊𝟐
. 𝒊𝟒
= −𝟏(𝟏) = −𝟏
2) 𝑖8
= 𝑖2
. 𝑖2
. 𝑖2
. 𝑖2
= −1. −1. −1. −1 = 1, 𝒐𝒓 𝒊𝟖
= 𝒊𝟒
. 𝒊𝟒
= 𝟏. 𝟏 = 𝟏
3) 𝑖16
= (𝑖4
)4
= (1)4
= 1
4) 𝑖17
= (𝑖4
)4
. 𝑖 = (1)4
. 𝑖 = 𝑖
5) 𝑖58
= (𝑖4
)14
. 𝑖2
= (1)14
. (−1) = −1
6) 𝑖12𝑛+93
= (𝑖4
)3𝑛
. 𝑖93
= (1)3𝑛
. (𝑖4)32
. 𝑖 = 𝑖
7) 𝑖−13
= 𝑖−13
. 1 = 𝑖−13
. (𝑖4)4
= 𝑖16−13
= 𝑖3
= −𝑖
8) 𝑖−26
= 𝑖−26
. 1 = 𝑖−26
. (𝑖4)7
= 𝑖28−26
= 𝑖2
= −1
‫مالحظة‬
‫استخدام‬ ‫يمكن‬ :
(i)
. ‫سالب‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫ألي‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫لكتابة‬
√−𝑏2 = √𝑏2. √−1 = 𝑏𝑖, ∀𝑏 ≥ 0 .
6=4+2
58=56+2
= 4(14)+2

5. 2
:‫مثال‬
‫استخدم‬
(i)
: ‫التالية‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫لكتابة‬
1) √−16 = √16. √−1 = 4𝑖
2) √−25 = √25. √−1 = 5𝑖
3) √−12 = √12. √−1 = 2√3 𝑖
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫الصيغة‬
: ‫ان‬ ‫بحيث‬ , ‫تخيلي‬ ‫والثاني‬ ‫حقيقي‬ ‫االول‬ , ‫جزئين‬ ‫من‬ ‫العادية‬ ‫بصيغته‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫يتكون‬
𝑪 = 𝒂 + 𝒃𝒊,
‫تمثل‬
a
‫اما‬ , ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬
b
‫ايضا‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫كتابة‬ ‫ويمكن‬ . ‫له‬ ‫التخيلي‬ ‫الجزء‬ ‫فتمثل‬
‫كاالتي‬ ‫مرتب‬ ‫زوج‬ ‫بصورة‬
(𝒂, 𝒃)
:‫مثال‬
( ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫الصيغة‬ ‫استخدم‬
𝒂 + 𝒃𝒊
: ‫التالية‬ ‫االعداد‬ ‫لكتابة‬ )
a) −5 = −5 + 0𝑖
b) √−100 = √100. √−1 = 10𝑖 = 0 + 10𝑖
c) – 1 − √−3 = −1 − √3𝑖
d)
1+√−25
4
=
1
4
+
5
4
𝑖
e) 𝑖999
= (𝑖4
)249
. 𝑖2
. 𝑖 = 1. −1. 𝑖 = 0 − 𝑖
f) 𝑖4𝑛+1
= (𝑖4
)𝑛
. 𝑖 = 1. 𝑖 = 0 + 𝑖
:‫ان‬ ‫أي‬ . ‫والتخيلية‬ ‫الحقيقية‬ ‫اجزائهما‬ ‫تساوت‬ ‫اذا‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫تتساوى‬ :‫مالحظة‬
𝒄𝟏 = 𝒄𝟐 ⇔ 𝒂𝟏 = 𝒂𝟐, 𝒃𝟏 = 𝒃𝟐

6. 3
‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ :‫مثال‬
x , y
:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫المعادلة‬ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ ‫الحقيقيتين‬
a) 2𝑥 − 1 + 2𝑖 = 1 + (𝑦 + 1)𝑖
Sol/
2𝑥 − 1 = 1 ⟹ 2𝑥 = 1 + 1 ⟹ 2𝑥 = 2
∴ 𝑥 = 1
2 = 𝑦 + 1 ⟹ 𝑦 = 2 − 1
∴ 𝑦 = 1
b) (2𝑦 + 1) − (2𝑥 − 1)𝑖 = −8 + 3𝑖
Sol/
2𝑦 + 1 = −8 ⟹ 2𝑦 = −8 − 1 ⟹ 2𝑦 = −9
∴ 𝑦 =
−9
2
−2𝑥 + 1 = 3 ⟹ −2𝑥 = 3 − 1 ⟹ 2𝑥 = −2
∴ 𝑥 = −1
‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫العمليات‬

‫والطرح‬ ‫الجمع‬ ‫عمليتي‬ :ً‫ال‬‫او‬

‫ليكن‬ :‫مالحظة‬
𝒄𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊
‫و‬
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊
: ‫فان‬ , ‫مركبان‬ ‫عددان‬
𝒄𝟏 + 𝒄𝟐 = (𝒂𝟏 + 𝒂𝟐)+(𝒃𝟏 + 𝒃𝟐)𝒊.
R R
I I
R
I
R I R I
R
I

‫بالحقيقي‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬ ‫نساوي‬
. ‫بالتخيلي‬ ‫والتخيلي‬

‫لـ‬ ‫معادلة‬ : ‫معادلتين‬ ‫نكون‬
x
‫ومعادلة‬
‫لـ‬
y
‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫نجد‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬
x,y
.

7. 4
:‫مثال‬
‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫المركبين‬ ‫العددين‬ ‫مجموع‬ ‫جد‬
: ‫يأتي‬
a) 3+4√2𝑖 , 5-2√2𝑖
(3+4√2𝑖 )+ (5-2√2𝑖 ) = (3+5)+(4√2 −2√2)𝑖
=8+2√2𝑖
b) 3 , 2-5𝑖
(3+2) + (0-5)𝑖 = 5-5𝑖
c) 1 − 𝑖, 3𝑖
1-𝑖 + 3𝑖 = (1 + 0) + (−1 + 3)𝑖 = 1 + 2𝑖.
:‫مثال‬
‫ناتج‬ ‫جد‬
(𝟕 − 𝟏𝟑𝒊) − (𝟗 + 𝟒𝒊)
(7 − 13𝑖) − (9 + 4𝑖) =7 − 13𝑖 − 9 − 4𝑖 = (7 − 9) − (13 − 4)𝑖
=−2 − 17𝑖
:‫مثال‬
‫المعادلة‬ ‫حل‬
(𝟐 − 𝟒𝒊) + 𝒙 = −𝟓 + 𝒊
Sol
𝑥 = −5 + 𝑖 − 2 + 4𝑖 ⟹ 𝑥 = (−5 − 2) + (1 + 4)𝑖
∴ 𝑥 = −7 + 5𝑖

‫الثاني‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫مع‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ ‫يساوي‬ ‫اخر‬ ‫عدد‬ ‫من‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫اي‬ ‫طرح‬ ‫ان‬

‫نظير‬
a+bi
‫هو‬
–a-bi

8. 5

‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫الضرب‬ ‫عملية‬
‫حدودية‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫باستخدام‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫اي‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫ايجاد‬ ‫يمكن‬
×
. ‫اخرى‬
‫كان‬ ‫اذا‬ ‫انه‬ ‫اي‬
‫لدينا‬
𝒄𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊
‫و‬
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊
: ‫فان‬
𝒄𝟏. 𝒄𝟐 = (𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊)(𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊)
= 𝒂𝟏𝒂𝟐 + 𝒂𝟏𝒃𝟐𝒊 + 𝒃𝟏𝒂𝟐𝒊 + 𝒃𝟏𝒃𝟐𝒊𝟐
= (𝒂𝟏𝒂𝟐 − 𝒃𝟏𝒃𝟐) + (𝒂𝟏𝒃𝟐 + 𝒃𝟏𝒂𝟐)𝒊.
:‫مثال‬
:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫الضرب‬ ‫حاصل‬ ‫جد‬
a) (𝟐 − 𝟑𝒊)(𝟑 − 𝟓𝒊)
(2 − 3𝑖)(3 − 5𝑖) = 6 − 10𝑖 − 9𝑖 + 15𝑖2
= 6 − 15 − 19𝑖
= −9 − 19𝑖
b) (𝟐 + 𝒊)(𝟑 + 𝟔𝒊)
(2 + 𝑖)(3 + 6𝑖) = 6 + 12𝑖 + 3𝑖 + 6𝑖2
= 6 − 6 + 15𝑖
= 0 + 15𝑖 = 15𝑖
c) (𝟑 + 𝟒𝒊)𝟐
(3 + 4𝑖)2
= 9 + 24𝑖 + 16𝑖2
= 9 − 16 + 24𝑖
= −7 + 24𝑖

9. 6
d) −
𝟓
𝟐
(𝟒 + 𝟑𝒊)
−
5
2
(4 + 3𝑖) = −
5
2
4 −
5
2
3𝑖 = −10 −
15
2
𝑖
e) (𝟏 + 𝒊)𝟒
− (𝟏 − 𝒊)𝟒
(1 + 𝑖)4
− (1 − 𝑖)4
= ((1 + 𝑖)2
)2
− ((1 − 𝑖)2
)2
= (1 + 2𝑖 + 𝑖2
)2
− (1 − 2𝑖 + 𝑖2
)2
= (1 − 1 + 2𝑖)2
− (1 − 1 − 2𝑖)2
= (2𝑖)2
− (2𝑖)2
= 4𝑖2
− 4𝑖2
= −4 + 4 = 0 + 0𝑖

‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫ان‬
𝒄 = 𝒂 + 𝒃𝒊
: ‫هو‬
𝑐̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ.

10. 7
‫خصائص‬
‫مرافق‬
‫المركب‬ ‫العدد‬
 
 
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
1 1
2
2 2
1)
2)
3)
4)
5)( ) , 0.
c c c c
c c c c
c c
if c a bi c c a b
c c
c
c c
  
  

      
 
:‫مثال‬
‫كان‬ ‫اذا‬
1 2
1 , 3 2
c i c i
   
: ‫ان‬ ‫فاثبت‬
 
 
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1
2 2
1)
2)
3)
c c c c
c c c c
c c
c c
  
  
 

 
 

11. 8
Sol/
1-
 
     
1 2
1 2
1 2
. . .:
1 3 2 4 4
. . .: (1 ) (3 2 ) 1 3 2
4
. . . .
L H S c c
c c i i i i
R H S c c i i i i
i
L H S R H S

        
        
 
 
2-
 
   
   
1 2
2
1 2
2
. . .:
(1 )(3 2 ) 3 2 3 2
3 2 5 5
. . .:
(1 ) (3 2 ) (1 )(3 2 )
3 2 3 2 3 2 5
. . . .
L H S c c
i i i i i
i i i
R H S c c
i i i i
i i i i i
L H S R H S

      
      

      
        
 

12. 9
3-
1
2
2 2
1
2
2 2
. . .:
3 2 3 2 1 3 3 2 2
1 1 1 1 1
1 5 1 5 1 5
2 2 2 2 2
. . .:
3 2 3 2 3 2 1 3 3 2 2
1 1 1 1 1
1
1 5 1 5
2 2 2
. . . .
c
L H S
c
i i i i i
i i i
i
i i
c
R H S
c
i i i i i i
i i i
i
i
i
L H S R H S
 
 
 
     
     
   
     
   
     

   
    
   
   
      
    
   


  
 
:‫مثال‬
‫للعدد‬ ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫جد‬
2 2
c i
 
. ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫وضعه‬
Sol/
2 2
1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 1 1
8 8 8 4 4
i i
c i i i
i i
i
 
   
   

    

‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫ان‬
c
‫هو‬
𝟏
𝒄


‫نضرب‬
×
‫بسط‬ ‫نضرب‬ ‫ثم‬ ‫المقام‬ ‫مرافق‬
×
‫ومقام‬ ‫بسط‬
×
‫مقام‬


13. 10
:‫تمرين‬
: ‫المركب‬ ‫لعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ضع‬
1)
𝟐−𝒊
𝟑+𝟒𝒊
=
2 − 𝑖
3 + 4𝑖
.
3 − 4𝑖
3 − 4𝑖
=
6 − 8𝑖 − 3𝑖 − 4
9 + 16
=
2 − 11𝑖
25
=
2
25
−
11
25
𝑖
2)
𝟏𝟐+𝒊
𝒊
=
12 + 𝑖
𝑖
.
−𝑖
−𝑖
=
−12𝑖 − 𝑖2
1
=
1 − 12𝑖
1
= 1 − 12𝑖
3)
𝒊
𝟐+𝟑𝒊
=
𝑖
2 + 3𝑖
×
2 − 3𝑖
2 − 3𝑖
=
2𝑖 + 3
4 + 9
=
3 + 2𝑖
13
=
3
13
+
2
13
𝑖
4) (
𝟑+𝒊
𝟏+𝒊
)
𝟑
= (
3 + 𝑖
1 + 𝑖
×
1 − 𝑖
1 − 𝑖
)
3
= (
3 − 3𝑖 + 𝑖 − 𝑖2
1 + 1
)
3
= (
4 − 2𝑖
2
)
3
= (
4
2
−
2𝑖
2
)
3
= (2 − 𝑖)3
= (2 − 𝑖)2
. (2 − 𝑖) = (4 − 4𝑖 − 1)(2 − 𝑖)
= (3 − 4𝑖)(2 − 𝑖) = 6 − 3𝑖 − 8𝑖 − 4 = 2 − 11𝑖
5)
𝟐+𝟑𝒊
𝟏−𝒊
×
𝟏+𝟒𝒊
𝟒+𝒊
=
2 + 8𝑖 + 3𝑖 − 12
4 + 𝑖 − 4𝑖 + 1
=
−10 + 11𝑖
5 − 3𝑖
=
−10 + 11𝑖
5 − 3𝑖
×
5 + 3𝑖
5 + 3𝑖
=
−50 − 30𝑖 + 55𝑖 − 33
52 + 32
==
−83 + 25𝑖
34
=
−83
34
+
25
34
𝑖

14. 11
6) (𝟏 + 𝒊)𝟑
+ (𝟏 − 𝒊)𝟑
= (1 + 𝑖)2(1 + 𝑖) + (1 − 𝑖)2(1 − 𝑖)
= (1 + 2𝑖 − 1)(1 + 𝑖) + (1 − 2𝑖 + 1)(1 − 𝑖)
= (1 + 2𝑖 − 1 + 𝑖 − 2 − 𝑖) + (1 − 2𝑖 + 1 − 𝑖 − 2 − 𝑖)
= 2𝑖 − 2 − 2𝑖 − 2 = −4 + 0𝑖
:‫تمرين‬
‫ان‬ ‫اثبت‬
1)
1
(2−𝑖)2 −
1
(2+𝑖)2 =
8
25
𝑖.
L.H.S:
1
(2−𝑖)2 −
1
(2+𝑖)2 =
1
4−4𝑖−1
−
1
4+4𝑖−1
=
1
3−4𝑖
×
3+4𝑖
3+4𝑖
−
1
3+4𝑖
×
3−4𝑖
3−4𝑖
=
3 + 4𝑖
9 + 16
−
3 − 4𝑖
9 + 16
=
3 + 4𝑖 − 3 + 4𝑖
25
=
8
25
𝑖
2) (1 − 𝑖)(1 − 𝑖2)(1 − 𝑖3) = 4
L.H.S: (1 − 𝑖)(1 − 𝑖2)(1 − 𝑖3) = (1 − 𝑖)(1 − (−1))(1 − 𝑖2
. 𝑖)
= 2(1 − 𝑖)(1 + 𝑖) = 2(1 + 𝑖 − 𝑖 − 𝑖2)
= 2(1 − (−1)) = 2.2 = 4 = R.H.S

‫نفك‬
‫المقام‬ ‫بمرافق‬ ‫حد‬ ‫كل‬ ‫نضرب‬ ‫ثم‬ ‫ونبسط‬ ‫التربيع‬


‫بدل‬ ‫نعوض‬
𝒊𝟐
= −𝟏
‫وبدل‬
𝒊𝟑
= −𝒊
‫نضرب‬ ‫ثم‬


15. 12

‫المقدار‬ ‫تحليل‬ ‫يمكن‬
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
: ‫يأتي‬ ‫وكما‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝒙𝟐
− 𝒚𝟐
𝒊𝟐
= (𝒙 − 𝒚𝒊)(𝒙 + 𝒚𝒊)
:‫مثال‬
‫بصورة‬ ‫عاملين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬ ‫التالية‬ ‫المقادير‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫حلل‬
a+bi
.
a) 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑥2
− 𝑦2
𝑖2
= (𝑥 − 𝑦𝑖)(𝑥 + 𝑦𝑖)
b) 9𝑥2
+ 49𝑦2
= 9𝑥2
− 49𝑦2
𝑖2
= (3𝑥 − 7𝑦𝑖)(3𝑥 + 7𝑦𝑖)
c) 85 = 81 + 4 = 81 − 4𝑖2
= (9 − 2𝑖)(9 + 2𝑖)
d) 125 = 100 + 25 = 100 − 25𝑖2
= (10 − 5𝑖)(10 + 5𝑖)
‫تمرين‬
:
‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬
x , y
:‫التالية‬ ‫المعادالت‬ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ ‫الحقيقيتين‬
1) 𝒚 + 𝟓𝒊 = (𝟐𝒙 + 𝒊)(𝒙 + 𝟐𝒊).
Sol/
𝑦 + 5𝑖 = 2𝑥2
+ 4𝑥𝑖 + 𝑥𝑖 − 2 ⇒ 𝑦 + 5𝑖 = 2𝑥2
− 2 + 5𝑥𝑖
𝑦 = 2𝑥2
− 2 … (1) and 5 = 5𝑥 …. (2),
( ‫معادلة‬ ‫من‬
2
)
( ‫في‬ ‫وبالتعويض‬
1
: )
𝑥 =
5
5
= 1,
𝑦 = 2(1)2
− 2 = 0.

‫الى‬ + ‫نحول‬
−𝒊𝟐
‫مربعين‬ ‫بين‬ ‫الفرق‬ ‫باستخدام‬ ‫نحلل‬ ‫ثم‬


16. 13
2) 𝟖𝒊 = (𝒙 + 𝟐𝒊)(𝒚 + 𝟐𝒊) + 𝟏
8𝑖 = 𝑥𝑦 + 2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑖 − 4 + 1 ⇒ 8𝑖 = 𝑥𝑦 − 3 + 2(𝑥 + 𝑦)𝑖
⇒ 𝑥𝑦 − 3 = 0 … (1), (𝑥 + 𝑦) = 4 … (2)
( ‫معادلة‬ ‫من‬
1
)
𝒙 =
𝟑
𝒚
( ‫في‬ ‫نعوضها‬
2
)
[(
3
𝑦
+ 𝑦) = 4] × 𝑦 ⇒ 3 + 𝑦2
= 4𝑦 ⇒ 𝑦2
− 4𝑦 + 3 = 0
(𝑦 − 3)(𝑦 − 1) = 0
Either 𝑦 = 3 ⇒ 𝑥 =
3
3
= 1, or 𝑦 = 1 ⇒ 𝑥 =
3
1
= 3.
3) (
𝟏−𝒊
𝟏+𝒊
) + (𝒙 + 𝒚𝒊) = (𝟏 + 𝟐𝒊)𝟐
.
⇒ (
1 − 𝑖
1 + 𝑖
×
1 − 𝑖
1 − 𝑖
) + (𝑥 + 𝑦𝑖) = 1 + 4𝑖 − 4
⇒ (
1 − 𝑖 − 𝑖 + 𝑖2
12 + 𝑖2
) + (𝑥 + 𝑦𝑖) = −3 + 4𝑖
⇒ (
−2𝑖
2
) + (𝑥 + 𝑦𝑖) = −3 + 4𝑖 ⇒ 𝑥 + 𝑦𝑖 − 𝑖 = −3 + 4𝑖
⇒ 𝑥 = −3, and 𝑦 − 1 = 4 ⇒ 𝑦 = 5.
4)
𝟐−𝒊
𝟏+𝒊
𝒙 +
𝟑−𝒊
𝟐+𝒊
𝒚 =
𝟏
𝒊
.
(
2 − 𝑖
1 + 𝑖
×
1 − 𝑖
1 − 𝑖
) 𝑥 + (
3 − 𝑖
2 + 𝑖
×
2 − 𝑖
2 − 𝑖
) 𝑦 =
1
𝑖
×
−𝑖
−𝑖
⇒ (
2 − 2𝑖 − 𝑖 − 1
1 + 1
) 𝑥 + (
6 − 3𝑖 − 2𝑖 − 1
4 + 1
) 𝑦 =
−𝑖
1

17. 14
⇒ (
1 − 3𝑖
2
) 𝑥 + (
5 − 5𝑖
5
) 𝑦 = −𝑖 ⇒ (
1 − 3𝑖
2
) 𝑥 + (1 − 𝑖)𝑦 = −𝑖
⇒
1
2
𝑥 −
3
2
𝑥𝑖 + 𝑦 − 𝑦𝑖 = −𝑖
1
2
𝑥 + 𝑦 = 0 … (1) and −
3
2
𝑥 − 𝑦 = −1 … (2),
1
2
𝑥 + 𝑦 = 0 … (1)
−
3
2
𝑥 − 𝑦 = −1 … (2)
−
2
2
𝑥 = −1 ⇒ −𝑥 = −1 ⇒ 𝑥 = 1, ( ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضها‬
1
)
1
2
(1) + 𝑦 = 0 ⇒ 𝑦 = −
1
2
.
:‫مثال‬
‫كان‬ ‫اذا‬
𝒙−𝒚𝒊
𝟏+𝟓𝒊
,
𝟑−𝟐𝒊
𝒊
‫قيمتي‬ ‫فجد‬ , ‫مترافقان‬
𝒙, 𝒚 ∈ ℝ
Sol/
: ‫فان‬ , ‫مترافقان‬ ‫العددان‬ ‫ان‬ ‫بما‬
(
𝑥 − 𝑦𝑖
1 + 5𝑖
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
=
3 − 2𝑖
𝑖
⇒
𝑥 + 𝑦𝑖
1 − 5𝑖
=
3 − 2𝑖
𝑖
‫ألن‬
(
𝒄𝟏
𝒄𝟐
̅) =
𝒄𝟏
𝒄𝟐
̅̅̅
̅

18. 15
⇒ (𝑥 + 𝑦𝑖)𝑖 = (1 − 5𝑖)(3 − 2𝑖) ⇒ 𝑥𝑖 − 𝑦 = 3 − 2𝑖 − 15𝑖 − 10
⇒ 𝑥𝑖 − 𝑦 = −7 − 17𝑖
⇒ 𝑥 = −17, 𝑦 = 7
:‫مثال‬
‫قيمتي‬ ‫جد‬
𝒙, 𝒚 ∈ ℝ
‫تحققان‬ ‫اللتين‬
𝒚
𝟏+𝒊
=
𝒙𝟐+𝟒
𝒙+𝟐𝒊
.
Sol/
𝑦
1 + 𝑖
=
𝑥2
+ 4
𝑥 + 2𝑖
⇒
𝑦
1 + 𝑖
=
𝑥2
− 4𝑖2
𝑥 + 2𝑖
⇒
𝑦
1 + 𝑖
=
(𝑥 − 2𝑖)(𝑥 + 2𝑖)
𝑥 + 2𝑖
⇒
𝑦
1 + 𝑖
= 𝑥 − 2𝑖 ⇒ 𝑦 = (𝑥 − 2𝑖)(1 + 𝑖)
⇒ 𝑦 = 𝑥 + 𝑥𝑖 − 2𝑖 + 2 ⇒ 𝑦 = 𝑥 + 2, and
𝑥 − 2 = 0 ⇒ 𝑥 = 2,
𝑦 = 2 + 2 = 4.
R R
I I
R
R I
I
R

19. 16
‫اضافية‬ ‫تمارين‬
1
)
: ‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ضع‬
a) 𝑖5
b) 𝑖124
c) 𝑖−7
d) 𝑖−15
e) √−25 f) 𝑖(1 + 𝑖)
g) (2 + 3𝑖)2
+ (12 + 2𝑖) h) (1 + 𝑖)2
+ (1 − 𝑖)2
i)
1+𝑖
1−𝑖
j)
1+2𝑖
−2+𝑖
k)
3+4𝑖
3−4𝑖
2
‫عاملين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬ ‫التالية‬ ‫المقادير‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫حلل‬ )
a) 41 b) 29
3
)
‫قيمتي‬ ‫جد‬
𝒙, 𝒚 ∈ ℝ
‫تحققان‬ ‫اللتين‬
(
𝟏−𝒊
𝟏+𝒊
) + (𝒙 + 𝒚𝒊) = (𝟏 + 𝟐𝒊)𝟐
.
4
‫كان‬ ‫اذا‬ )
𝟑+𝒊
𝟐−𝒊
6
𝑥+𝑦𝑖
‫و‬
‫قيمتي‬ ‫فجد‬ , ‫مترافقان‬
𝒙, 𝒚 ∈ ℝ

20. 17
 The square root of complex number
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬
: ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذو‬ ‫اليجاد‬

‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫نضع‬
𝑐 = 𝑎 + 𝑏𝑖
.

‫ان‬ ‫نفرض‬
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= 𝑎 + 𝑏𝑖
.

. ‫التخيلي‬ ‫مع‬ ‫والتخيلي‬ ‫الحقيقي‬ ‫مع‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬ ‫باخذ‬ ‫المعادلة‬ ‫ونحل‬ ‫التربيع‬ ‫نفك‬
===========================================
:‫مثال‬
: ‫التالية‬ ‫لالعداد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬
1) 𝒄 = 𝟖 + 𝟔𝒊
Sol/
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= 8 + 6𝑖 ⇒ 𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2
= 8 + 6𝑖
⇒ 𝑥2
− 𝑦2
= 8 … (1), and
2𝑥𝑦 = 6 ⇒ 𝑦 =
6
2𝑥
=
3
𝑥
… (2)
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
)
𝑥2
− (
3
𝑥
)
2
= 8 ⇒ [𝑥2
−
9
𝑥2
= 8] × 𝑥2

21. 18
𝑥4
− 9 = 8𝑥2
⇒ 𝑥4
− 8𝑥2
− 9 = 0 ⇒ (𝑥2
− 9)(𝑥2
+ 1) = 0,
Either (𝑥2
− 9) = 0 ⇒ 𝑥2
= 9 ⇒ 𝑥 = ∓3
Or (𝑥2
+ 1) = 0 ⇒ 𝑥2
= −1
‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬
x
( ‫معادلة‬ ‫في‬
2
)
𝑦 =
3
3
= 1 or 𝑦 =
3
−3
= −1
∴ 𝑐1 = 3 + 𝑖, 𝑐2 = −3 − 𝑖
‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫اذا‬
c
: ‫هي‬
𝟑 + 𝒊 , −𝟑 − 𝒊 .
2) 𝒄 = −𝟔𝒊
Sol/
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= 0 − 6𝑖 ⇒ 𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2
= 0 − 6𝑖
⇒ 𝑥2
− 𝑦2
= 0 … (1), and
2𝑥𝑦 = −6 ⇒ 𝑦 =
−6
2𝑥
=
−3
𝑥
… (2)
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
:‫نحصل‬ )
𝑥2
− (
−3
𝑥
)
2
= 0 ⇒ [𝑥2
−
9
𝑥2
= 0] × 𝑥2
‫ألن‬ ‫القيمة‬ ‫هذه‬ ‫نهمل‬
x
‫حقيقي‬ ‫عدد‬

22. 19
𝑥4
− 9 = 0 ⇒ (𝑥2
− 3)(𝑥2
+ 3) = 0, either (𝑥2
− 3) = 0 ⇒ 𝑥2
= 3 ⇒
𝑥 = ∓√3 or (𝑥2
+ 3) = 0 ⇒ 𝑥2
= −3
‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬
x
( ‫معادلة‬ ‫في‬
2
)
𝑦 =
3
√3
= √3 or 𝑦 =
3
−√3
= −√3
∴ 𝑐1 = √3 + √3𝑖, 𝑐2 = −√3 − √3𝑖
‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫اذا‬
c
: ‫هي‬
√𝟑 + √𝟑𝒊 , −√𝟑 − √𝟑𝒊.
3)
𝟒
𝟏−√𝟑𝒊
Sol/
4
1 − √3𝑖
×
1 + √3𝑖
1 + √3𝑖
=
4 + 4√3𝑖
12 + (√3)
2 =
4 + 4√3𝑖
4
= 1 + √3𝑖
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= 1 + √3𝑖 ⇒ 𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2
= 1 + √3𝑖
⇒ 𝑥2
− 𝑦2
= 1 … (1), and
2𝑥𝑦 = √3 ⇒ 𝑦 =
√3
2𝑥
… (2)
‫ألن‬ ‫القيمة‬ ‫هذه‬ ‫نهمل‬
x
‫حقيقي‬ ‫عدد‬

23. 20
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
:‫نحصل‬ )
𝑥2
− (
√3
2𝑥
)
2
= 1 ⇒ [𝑥2
−
3
4𝑥2
= 1] × 4𝑥2
4𝑥4
− 3 = 4𝑥2
⇒ 4𝑥4
− 4𝑥2
− 3 = 0 ⇒ (2𝑥2
− 3)(2𝑥2
+ 1) = 0,
Either (2𝑥2
− 3) = 0 ⇒ 2𝑥2
= 3 ⇒ 𝑥 = ∓√
3
2
Or (𝑥2
+ 1) = 0 ⇒ 𝑥2
= −1 .
‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬
x
( ‫معادلة‬ ‫في‬
2
)
𝑦 =
√3
√2 . √2(−
√3
√2
)
=
1
√2
or 𝑦 =
√3
√2 . √2(
−√3
√2
)
=
−1
√2
‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫اذا‬
c
: ‫هي‬
±(√
3
2
+
1
√2
𝑖).
‫ألن‬ ‫القيمة‬ ‫هذه‬ ‫نهمل‬
x
‫حقيقي‬ ‫عدد‬

24. 21
 Solving the equation in ℂ
‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
ℂ
‫التربيعية‬ ‫المعادالت‬ ‫لحل‬ ) ‫الدستور‬ ( ‫العام‬ ‫القانون‬ ‫نستخدم‬
𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
:‫ان‬ ‫اي‬
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
:‫مثال‬
‫في‬ ‫التالية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
ℂ
:
1) 𝒙𝟐
+ 𝟒𝒙 + 𝟓 = 𝟎
Sol/ 𝑎 = 1, 𝑏 = 4, 𝑐 = 5
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−4 ± √42 − 4(1)(5)
2
⇒ 𝑥 =
−4±√16−20
2
=
−4±√−4
2
=
−4±2𝑖
2
= −2 ± 𝑖
∴ 𝑆 = {−2 − 𝑖, −2 + 𝑖}
2) 𝑧2
= −12
Sol/
𝑧 = ±√−12 = ±√3 × 4𝑖 = ±2√3𝑖
∴ 𝑆 = {−2√3𝑖, 2√3𝑖}, ‫مترافقان‬ ‫جذران‬.

25. 22
3) 𝒛𝟐
− 𝟑𝒛 + 𝟑 + 𝒊 = 𝟎
𝒂 = 𝟏, 𝒃 = −𝟑, 𝒄 = 𝟑 + 𝒊
𝑧 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
3 ± √(−3)2 − 4(1)(3 + 𝑖)
2
=
3 ± √9 − 12 − 4𝑖
2
=
3 ± √−3 − 4𝑖
2
‫لـ‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫ايجاد‬ ‫اوال‬ ‫يجب‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫لحل‬
−𝟑 − 𝟒𝒊
. ‫السابقة‬ ‫بالطريقة‬
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= −3 − 4𝑖 ⇒ 𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2
= −3 − 4𝑖
⇒ 𝑥2
− 𝑦2
= −3 … (1)
⇒ 𝑦 =
−4
2𝑥
=
−2
𝑥
… . . (2)
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
: )
𝑥2
− (
−2
𝑥
)
2
= −3 ⇒ [𝑥2
−
4
𝑥2
= −3] × 𝑥2
⇒ 𝑥4
− 4 = −3𝑥2
⇒ 𝑥4
+ 3𝑥2
− 4 = 0
⇒ (𝑥2
+ 4)(𝑥2
− 1) = 0
𝑥2
= 1 ⇒ 𝑥 = ±1, ( ‫في‬ ‫وبالتعويض‬
2
)
𝑦 =
−2
±1
= ±2

26. 23
‫االن‬
‫قيمة‬ ‫نعوض‬
‫جذر‬
−𝟑 − 𝟒𝒊
√−3 − 4𝑖 = ±(1 − 2𝑖)
: ‫ان‬ ‫اي‬
𝑧 =
3 ± (1 − 2𝑖)
2
Neither 𝑧 =
3
2
−
1+2𝑖
2
= 1 + 𝑖 or 𝑧 =
3
2
+
1−2𝑖
2
= 2 − 𝑖.
. ‫مترافقين‬ ‫ليسا‬ ‫الجذران‬
4 ) 𝒛𝟐
+ 𝟐𝒛 + 𝒊(𝟐 − 𝒊) = 𝟎
Sol
𝑧2
+ 2𝑧 + 𝑖(2 − 𝑖) = 0 ⇒ 𝑧2
+ 2𝑧 + 2𝑖 + 1 = 0
𝑧 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−2 ± √22 − 4(1)(2𝑖 + 1)
2
=
−2 ± √4 − 8𝑖 − 4
2
=
−2 ± √−8𝑖
2
‫لـ‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫ايجاد‬ ‫اوال‬ ‫يجب‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫لحل‬
−𝟖𝒊
. ‫السابقة‬ ‫بالطريقة‬
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= −8𝑖 ⇒ 𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2
= −8𝑖
⇒ 𝑥2
− 𝑦2
= 0 … (1)

27. 24
⇒ 𝑦 =
−8
2𝑥
=
−4
𝑥
… . . (2)
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
: )
𝑥2
− (
−4
𝑥
)
2
= 0 ⇒ [𝑥2
−
16
𝑥2
= 0] × 𝑥2
⇒ 𝑥4
− 16 = 0
⇒ (𝑥2
− 4)(𝑥2
+ 4) = 0
∴ 𝑥2
− 4 = 0 ⇒ 𝑥 = ±2, ( ‫في‬ ‫وبالتعويض‬
2
)
𝑦 =
−4
±2
= ±2
‫االن‬
‫قيمة‬ ‫نعوض‬
‫جذر‬
−8𝑖
√−8𝑖 = ±(2 − 2𝑖)
𝑧 =
−2 ± (2 − 2𝑖)
2
Neither 𝑧 =
−2
2
−
2+2𝑖
2
= −2 + 𝑖 or 𝑧 =
−2
2
+
2−2𝑖
2
= 0 − 𝑖.
. ‫مترافقين‬ ‫ليسا‬ ‫الجذران‬

28. 25
: ‫وكاالتي‬ ‫جذورها‬ ‫باستخدام‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫كتابة‬ ‫يمكن‬ :‫مالحظة‬

. ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫الجذر‬ ‫نكتب‬

‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ‫نجد‬
(𝒄𝟏 + 𝒄𝟐)
.

‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫نجد‬
(𝒄𝟏 × 𝒄𝟐)
.

‫العامة‬ ‫الصيغة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬
𝒙𝟐
− (𝒄𝟏 + 𝒄𝟐)𝒙 + (𝒄𝟏 × 𝒄𝟐) = 𝟎

. ‫مرافقه‬ ‫هو‬ ‫االخر‬ ‫فان‬ ‫معلوم‬ ‫واحدهما‬ ‫حقيقية‬ ‫المعادلة‬ ‫جذور‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬
==========================================================
:‫مثال‬
: ‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬
 ±(2 + 2𝑖)
𝑐1 + 𝑐2 = (2 + 2𝑖) + (−2 − 2𝑖) = 2 − 2 + (2 − 2)𝑖 = 0
𝑐1 × 𝑐2 = (2 + 2𝑖) × (−2 − 2𝑖) = −4 − 4𝑖 − 4𝑖 + 4 = −8𝑖
: ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬
𝑥2
− −8𝑖 = 0
 𝑀 =
3−𝑖
1+𝑖
, 𝐿 = (3 − 2𝑖)2
𝑀 =
3 − 𝑖
1 + 𝑖
=
3 − 𝑖
1 + 𝑖
×
1 − 𝑖
1 − 𝑖
=
3 − 3𝑖 − 𝑖 − 1
1 + 1
=
2 − 4𝑖
2
= 1 − 2𝑖
𝐿 = (3 − 2𝑖)2
= 9 − 12𝑖 − 4 = 5 − 12𝑖
𝑀 + 𝐿 = (1 − 2𝑖) + (5 − 12𝑖) = (1 + 5) + (−2 − 12)𝑖 = 6 − 14𝑖

29. 26
𝑀 × 𝐿 = (1 − 2𝑖)(5 − 12𝑖) = 5 − 12𝑖 − 10𝑖 − 24 = −19 − 22𝑖
: ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬
𝑥2
− (6 − 14𝑖)𝑥 + (−19 − 22𝑖) = 0
:‫مثال‬
: ‫هو‬ ‫جذراها‬ ‫واحد‬ ‫الحقيقية‬ ‫المعمالت‬ ‫ذات‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬
1) 𝑨 = 𝟑 − 𝟒𝒊.
Sol/
‫هو‬ ‫االخر‬ ‫جذرها‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬ ‫حقيقية‬ ‫معامالت‬ ‫لها‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
B=(3+4i)
𝐴 + 𝐵 = (3 − 4𝑖) + (3 + 4𝑖) = 6 + 0𝑖 = 6
𝐴 × 𝐵 = (3 − 4𝑖)(3 + 4𝑖) = 9 + 12𝑖 − 12𝑖 + 16 = 25
: ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬
𝑥2
− 6𝑥 + 25 = 0
2 ) 𝑨 =
√𝟐+𝟑𝒊
𝟒
Sol/
‫هو‬ ‫االخر‬ ‫جذرها‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬ ‫حقيقية‬ ‫معامالت‬ ‫لها‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
√𝟐−𝟑𝒊
𝟒
= 𝐵

30. 27
𝐴 + 𝐵 = (
√2
4
+
3
4
𝑖) + (
√2
4
−
3
4
𝑖) = (
√2
4
+
√2
4
) + (
3
4
𝑖 −
3
4
𝑖)
=
√2
2
+ 0𝑖 =
1
√2
𝐴 × 𝐵 = (
√2
4
+
3
4
𝑖) (
√2
4
−
3
4
𝑖) =
2
16
−
3√2
16
𝑖 +
3√2
16
𝑖 +
9
16
=
11
16
: ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬
𝑥2
−
1
√2
𝑥 +
11
16
= 0
:‫تمرين‬
‫ا‬
‫كان‬ ‫ذا‬
𝟑 + 𝒊
‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫احد‬ ‫هو‬
𝒙𝟐
− 𝒂𝒙 + (𝟓 + 𝟓𝒊) = 𝟎
‫قيمة‬ ‫فما‬
a
‫هو‬ ‫وما‬ ‫؟‬
‫؟‬ ‫االخر‬ ‫الجذر‬
Sol/
= ‫الخر‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬
L
: ‫هو‬ ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫فان‬
𝐿 × (3 + 𝑖) = 5 + 5𝑖 ⇒ 𝐿 =
5 + 5𝑖
3 + 𝑖
⇒ 𝐿 =
5 + 5𝑖
3 + 𝑖
×
3 − 𝑖
3 − 𝑖
⇒ 𝐿 =
15 − 5𝑖 + 15𝑖 + 5
9 + 1
=
20 + 10𝑖
10
= 2 + 𝑖
: ‫الجذرين‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ ‫وان‬
⇒ 𝑎 = 𝐿 + 𝑀
⇒ 𝒂 = (2 + 𝑖) + (3 + 𝑖) = 5 + 2𝑖

31. 28
⇒ 𝑎 = 5 + 2𝑖
 The cube roots number of integer one
‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬
‫ليكن‬
z
:‫فان‬ ‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬ ‫احد‬
𝑧3
= 1 ⇒ 𝑧3
− 1 = 0 ⇒ (𝑧 − 1)(𝑧2
+ 𝑧 + 1) = 0
Neither 𝑧 = 1 or 𝑧2
+ 𝑧 + 1 = 0,
‫بالدستور‬ ‫حلها‬ ‫يمكن‬ ‫المعادلة‬ ‫وهذه‬
𝒛 =
−𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
:
𝑧 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−1 ± √12 − 4(1)(1)
2(1)
=
−1 ± √3𝑖
2
=
−1
2
±
√3
2
𝑖
: ‫هي‬ ‫الصحيح‬ ‫الواحد‬ ‫جذور‬ ‫فان‬ ‫لذا‬
1, 𝜔 ≔
−1
2
+
√3
2
𝑖, 𝜔2
≔
−1
2
−
√3
2
𝑖.
= ‫الجذور‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬
0
1 + (
−1
2
+
√3
2
𝑖) + (
−1
2
−
√3
2
𝑖) = 0

32. 29
: ‫ان‬ ‫أي‬
𝟏 + 𝝎 + 𝝎𝟐
= 𝟎
: ‫ومنها‬
 𝟏 + 𝝎 = − 𝝎𝟐
 𝟏 + 𝝎𝟐
= −𝝎
 𝝎 + 𝝎𝟐
= −𝟏
 𝟏 = − 𝝎 − 𝝎𝟐
 𝝎𝟐
= −𝟏 − 𝝎
 𝝎 = −𝟏 − 𝝎𝟐
= ‫الجذور‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
1
: ‫أن‬ ‫أي‬ ,
𝝎 . 𝝎𝟐
= 𝟏 ⇒ 𝝎𝟑
= 𝟏
: ‫ومنها‬
𝝎 =
𝟏
𝝎𝟐
, 𝝎𝟐
=
𝟏
𝝎
,
𝝎𝟒
= 𝝎𝟑
. 𝝎 = 𝟏. 𝝎 = 𝝎,
𝝎𝟔
= 𝝎𝟑
. 𝝎𝟑
= 𝟏. 𝟏 = 𝟏,
𝝎−𝟓
=
𝟏
𝝎𝟓
=
𝟏
𝝎𝟑. 𝝎𝟐
=
𝟏
𝝎𝟐
= 𝝎,
𝝎−𝟓
=
𝟏
𝝎𝟓
=
𝟏
𝝎𝟑. 𝝎𝟐
=
𝟏
𝝎𝟐
= 𝝎,
𝝎−𝟖
=
𝟏
𝝎𝟖
=
𝟏
𝝎𝟔. 𝝎𝟐
=
𝟏
𝝎𝟐
= 𝝎.

33. 30
:‫مثال‬
‫ناتج‬ ‫جد‬
𝜔33
, 𝜔25
, 𝜔−58
, 𝜔−325
.
Sol/
𝜔33
= (𝜔3
)10
. 𝜔3
= (1)10
. 1 = 1
𝜔25
= (𝜔3
)8
. 𝜔 = 𝜔
𝜔−58
=
1
𝜔58
=
1
(𝜔3)19. 𝜔
=
1
𝜔
= 𝜔2
𝜔−325
=
1
𝜔325
=
1
(𝜔3)108.𝜔
=
1
𝜔
= 𝜔2
.
=========================================================
:‫مثال‬
: ‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫التالية‬ ‫المقادير‬ ‫ضع‬
1)
𝟏
(𝟏+ 𝝎−𝟑𝟐)𝟏𝟐
1
(1 + 𝜔−32)12
=
1
(1 + ( 𝜔3)−11. 𝜔)12
=
1
(−𝜔2)12
=
1
(−𝜔2)12
= −
1
(𝜔3)8
= −1
2) (𝟏 + 𝝎𝟐
)−𝟒
(1 + 𝜔2
)−4
= (−𝜔)−4
=
1
(−𝜔)4
=
1
𝜔3.𝜔
= 𝜔2
.

‫فمثال‬ ‫االس‬ ‫بتجزئة‬ ‫نقوم‬
33=3(10)+3
.

‫نرفع‬
𝝎
‫لالس‬
3
‫يوزع‬ ‫والباقي‬
.

34. 31
3) 𝜔9𝑛+5
= (𝜔3)3𝑛
. 𝜔5
= (1)3𝑛
. 𝜔3
. 𝜔2
= 𝜔2
4) (𝟑𝝎𝟗𝒏
+
𝟓
𝝎𝟓
+
𝟒
𝝎𝟒)
𝟔
(3𝜔9𝑛
+
5
𝜔3
+
4
𝜔4
)
6
= (3𝜔9𝑛
+
5𝜔4
+ 4𝜔5
𝜔5𝜔4
)
6
= (3(𝜔3
)3𝑛
+
5𝜔4
+ 4𝜔5
(𝜔3)3
)
6
= (3 + 5𝜔3
. 𝜔 + 4𝜔3
. 𝜔2)6
= (3(−𝜔 − 𝜔2) + 5𝜔 + 4 𝜔2)6
= (−3𝜔 − 3𝜔2
+ 5𝜔 + 4 𝜔2)6
= (2𝜔 − 3𝜔2
+ 5𝜔 + 4 𝜔2)6
=================================================
:‫مثال‬
‫أن‬ ‫أثبت‬
a) (𝟓 + 𝟑𝝎 + 𝟑𝝎𝟐)𝟐
= −𝟒(𝟐 + 𝝎 + 𝟐𝝎𝟐)𝟑
= 𝟒
Sol/
L.H.S: (5 + 3𝜔 + 3𝜔2)2
= (5 + 3(𝜔 + 𝜔2
))2
= (5 + 3(−1))2
= 22
= 4
R.H.S: −4(2 + 𝜔 + 2𝜔2)3
= −4(2(1 + 𝜔2) + 𝜔)3
= −4(2(−𝜔) + 𝜔)3
= −4(−2𝜔 + 𝜔)3
= −4(−𝜔)3
= −4 . −1(𝜔)3
= 4
b) (
𝟏
𝟐+𝝎
−
𝟏
𝟐+𝝎𝟐)
𝟐
= −
𝟏
𝟑
L.H.S: (
1
2+𝜔
−
1
2+𝜔2)
2
= (
(2+𝜔2)−(2+𝜔)
(2+𝜔2)(2+𝜔)
)
2
= (
2−2+𝜔2−𝜔
4+2𝜔+2𝜔2+𝜔3)
2

35. 32
= (
𝜔2−𝜔
4+2(𝜔+𝜔2)+1
)
2
= (
−
1
2
−
√3
2
𝑖+
1
2
−
√3
2
𝑖
4−2+1
)
2
= (
−2√3
2
𝑖
3
)
2
= (
−√3𝑖
3
)
2
=
−3
9
= −
1
3
c)
𝜔14+𝜔7−1
𝜔10+𝜔5−2
=
2
3
L.H.S:
𝜔14+𝜔7−1
𝜔10+𝜔5−2
=
(𝜔3)4. 𝜔2+(𝜔3)2. 𝜔−1
(𝜔3)3. 𝜔+ 𝜔3. 𝜔2−2
=
𝜔2+ 𝜔−1
𝜔+ 𝜔2−2
=
−1−1
−1−2
=
−2
−3
=
2
3
= L.H.S
d) (𝟏 + 𝝎𝟐
)𝟑
+ (𝟏 + 𝝎)𝟑
= −𝟐
L.H.S: (−𝜔)3
+ (−𝜔2
)3
= −𝜔3
−𝜔6
= −1 − (𝜔3
)2
= −1 − 1 = −2 = R.H.S
========================================================
: ‫مثال‬
: ‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬
.‫التربيعية‬ ‫للمعادلة‬ ‫القياسية‬ ‫الصيغة‬ ‫نطبق‬ ‫ثم‬ ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫وحاصل‬ ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ‫نجد‬ **
1) 𝑨 = 𝟏 − 𝒊𝝎𝟐
, 𝑩 = 𝟏 − 𝒊𝝎
𝐴 + 𝐵 = (1 − 𝑖𝜔2) + (1 − 𝑖𝜔) = 2 − (𝜔 + 𝜔2)𝑖 = 2 + 𝑖
𝐴 . 𝐵 = (1 − 𝑖𝜔2)(1 − 𝑖𝜔) = 1 − 𝑖𝜔 −𝑖𝜔2
+ 𝜔3
𝑖2
= 1 − 𝑖𝜔 −𝑖𝜔2
− 1
= −(𝜔 + 𝜔2)𝑖 = 𝑖
: ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬
𝑥2
− (2 + 𝑖)𝑥 + 𝑖 = 0

36. 33
2) 𝑨 =
𝟐
𝟏−𝝎
, 𝑩 =
𝟐
𝟏−𝝎𝟐
𝐴 + 𝐵 =
2
1 − 𝜔
+
2
1 − 𝜔2
=
2(1 − 𝜔2) + 2(1 − 𝜔)
1 − 𝜔2 − 𝜔 + 𝜔3
=
2−2𝜔2
+ 2 − 2𝜔
1 − 𝜔2 − 𝜔 + 1
=
4−2(𝜔2
+ 𝜔)
2 − (𝜔2 + 𝜔)
=
6
2 − (−1)
=
6
3
= 2
𝐴 . 𝐵 = (
2
1 − 𝜔
) (
2
1 − 𝜔2
) =
4
1 − 𝜔2 − 𝜔 + 𝜔3
=
4
3
: ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬
𝑥2
− 2𝑥 +
4
3
= 0
3) 𝑨 =
𝝎
𝟐−𝝎𝟐
, 𝑩 =
𝝎𝟐
𝟐−𝝎
𝐴 + 𝐵 =
𝜔
2 − 𝜔2
+
𝜔2
2 − 𝜔
=
𝜔(2 − 𝜔) + 𝜔2
(2 − 𝜔)
(2 − 𝜔2)(2 − 𝜔)
=
2𝜔 − 𝜔2
+ 2𝜔2
− 𝜔4
4 − 2𝜔 − 2𝜔2 + 𝜔3
=
𝜔2
+ 2𝜔 − 𝜔3
. 𝜔
5 − 2(𝜔2 + 𝜔)
=
𝜔2
+ 2𝜔 − 𝜔
5 − 2(−1)
=
𝜔2
+ 𝜔
7
= −
1
7
𝐴 . 𝐵 = (
𝜔
2 − 𝜔2
) (
𝜔2
2 − 𝜔
) =
𝜔3
5 − 2(𝜔2 + 𝜔)
=
1
7
: ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬
𝑥2
+
1
7
𝑥 +
1
7
= 0

37. 34
‫تمرين‬
‫ليكن‬ :
𝒛𝟐
+ 𝒛 + 𝟏 = 𝟎
‫قيمة‬ ‫فجد‬
𝟏+𝟑𝒛𝟏𝟎+𝟑𝒛𝟏𝟏
𝟏−𝟑𝒛𝟕−𝟑𝒛𝟖
.
Sol/
‫قيمة‬ ‫نجد‬ ‫اوال‬
z
‫بالدستور‬
.
𝑎 = 1, b = 1 , c = 1,
𝑧 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−1 ± √12 − 4(1)(1)
2(1)
=
−1 ± √−3
2
=
−1 ± √3𝑖
2
∴ 𝑧 =
−1+√3𝑖
2
= 𝜔 or 𝑧 =
−1−√3𝑖
2
= 𝜔2
.
‫لتكن‬
𝒛 = 𝝎
‫فان‬
1+3𝑧10+3𝑧11
1−3𝑧7−3𝑧8 =
1+3𝜔10+3𝜔11
1−3𝜔7−3𝜔8
=
1+3(𝜔3)3 . 𝜔 +3(𝜔3)3 . 𝜔2
1−3(𝜔3)2 . 𝜔−3(𝜔3)2 . 𝜔2 =
1+3 𝜔 +3 𝜔2
1−3𝜔−3𝜔2
=
1+3 (𝜔 +𝜔2)
1−3(𝜔+𝜔2)
=
−2
4
= −
1
2
‫لتكن‬
𝒛 = 𝝎𝟐
‫فان‬
1 + 3z10
+ 3z11
1 − 3z7 − 3z8
=
1 + 3(ω2
)10
+ 3(ω2
)11
1 − 3(ω2)7 − 3(ω2)8
=
1+3(ω3
)
6
. ω2
+3(ω3
)
7
. ω
1−3(ω3
)
4
. ω2−3(ω3
)
5
. ω
=
1+3 (ω2+ω )
1−3(ω2+ω)
=
−2
4
= −
1
2
.

38. 35
 Geometric Representation of Complex Numbers
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الهندسي‬ ‫التمثيل‬
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫يمثل‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬
z
‫مرتب‬ ‫زوج‬ ‫بصورة‬
(𝒙, 𝒚)
‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫ويرمز‬
𝒛(𝒙, 𝒚)
.
:‫مثال‬
: ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫هندسي‬ ‫التالية‬ ‫العمليات‬ ‫مثل‬
1)(3 + 4 𝑖) + (5 + 2𝑖)
(3 + 4 𝑖) + (5 + 2𝑖)
= (3 + 5) + (4 + 2)𝑖 = 8 + 6𝑖
2)(6 − 2 𝑖) − (2 − 5𝑖)
(6 − 2 𝑖) − (2 − 5𝑖)
= (6 − 2 𝑖) + (−2 + 5𝑖)
= 4 + 3𝑖
Figure 1: Geometric Representation (𝟑 + 𝟒 𝒊) + (𝟓 + 𝟐𝒊)
Figure 2: Geometric Representation (𝟔 − 𝟐𝒊) − (𝟐 − 𝟓𝒊)

39. 36
‫تمرين‬
‫شكل‬ ‫على‬ ‫الجمعية‬ ‫ونظائرها‬ ‫االعداد‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫التالية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫اكتب‬ :
. ‫ارجاند‬
.
a) 𝑧1 = 2 + 3𝑖
𝑧1 = 2 + 3𝑖 ⇒ 𝑝1(2, 3)
−𝑧1 = −2 − 3𝑖 ⇒ 𝑝2(−2, − 3)
b) 𝑧1 = −1 + 3𝑖
𝑧1 = −1 + 3𝑖 ⇒ 𝑝1(−1, 3)
−𝑧1 = 1 − 3𝑖 ⇒ 𝑝2(1, − 3)
‫تمرين‬
‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المرافق‬ ‫العدد‬ ‫أكتب‬ :
. ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫ومرافقاتها‬ ‫االعداد‬
a) 𝑧1 = 5 + 3𝑖
𝑧1 = 5 + 3𝑖 ⇒ 𝑝1(5, 3)
𝑧̅1 = 5 − 3𝑖 ⇒ 𝑝2(5, −3)
Figure 3: the geometric Representation for example a
Figure 4: the geometric Representation for example b
Figure 5: the geometric Representation for example a

40. 37
b ) 𝑧 = −2𝑖
𝑧 = 0 − 2𝑖 ⇒ 𝑝1(0, −2)
𝑧̅ = 0 + 2𝑖 ⇒ 𝑝2(0, 2)
:‫تمرين‬
‫كان‬ ‫اذا‬
𝒛𝟏 = 𝟒 − 𝟐𝒊
‫و‬
𝒛𝟐 = 𝟏 + 𝟐𝒊
:‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬
a) −3𝑧2 = −3(1 + 2𝑖) = −3 − 6𝑖 ⇒ 𝑝1(−3, −6)
b) 2𝑧1 = 2(4 − 2𝑖) = 8 − 4𝑖 ⇒ 𝑝2(8, −4)
c) 𝑧1 − 𝑧2 = (4 − 2𝑖) − (1 + 2𝑖) = 3 − 4𝑖 ⇒ 𝑝3(3, −4)
d) 𝑧1 + 𝑧2 = (4 − 2𝑖) + (1 + 2𝑖) = 5 + 0𝑖 ⇒ 𝑝4(5, 0)
Figure 6: the geometric Representation for example b
(a) (b) (c) (d)
Figure 6: the geometric Representation for example

41. 38
‫اضافية‬ ‫تمارين‬
1
)
: ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬
𝜔14
, 𝜔64
, 𝜔−6
, 𝜔−8
2
)
‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫التالي‬ ‫المقدار‬ ‫ضع‬
:
𝜔12𝑛+5
3
)
: ‫أن‬ ‫أثبت‬
a) 𝜔7
+ 𝜔5
+ 1 = 0
b) (1 −
2
𝜔2
+ 𝜔2
) (1 + 𝜔 −
5
𝜔
) = 18
4
)
: ‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬
a) 𝐴 = 1 + 𝜔2
, 𝐵 = 1 + 𝜔 𝒃)
3𝑖
𝜔2
,
−3𝜔2
𝑖
5
)
‫النظير‬ ‫اكتب‬
‫شكل‬ ‫على‬ ‫الجمعية‬ ‫ونظائرها‬ ‫االعداد‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫التالية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫الجمعي‬
. ‫ارجاند‬
a) 𝑧 = 𝑖 b) 𝑧 = 3 − 2𝑖
6
)
. ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫ومرافقاتها‬ ‫االعداد‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المرافق‬ ‫العدد‬ ‫أكتب‬
a) 𝑧1 = −3 + 2𝑖 b ) 𝑧2 = 1 − 𝑖
7
)
‫كان‬ ‫اذا‬
𝒛 = 𝟒 + 𝟐𝒊
:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬
a) 𝑧 b) 𝑧̅ c) – 𝑧

42. 39
 Polar form of complex number
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬

‫ليكن‬
z
‫بالنقطة‬ ‫هندسيا‬ ‫ممثل‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬
𝒑(𝒙, 𝒚)
‫فان‬
(𝒓, 𝜽)
‫للنقطة‬ ‫القطبي‬ ‫االحداثي‬ ‫يمثل‬
p
‫حيث‬
O
‫و‬ )‫االصل‬ ‫(نقطة‬ ‫القطب‬ ‫تمثل‬
𝑶𝑿
⃑⃑⃑⃑⃑⃑
. ‫االبتدائي‬ ‫الضلع‬ ‫يمثل‬

‫ليكن‬
r
‫فان‬ ‫سالب‬ ‫غير‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬
r
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مقياس‬ ‫يسمى‬
z
: ‫حيث‬
𝒓 = ‖𝒛‖ = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬
𝜽 = 𝐚𝐫𝐠(𝒛)
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝒙
𝒓
=
𝒙
‖𝒛‖
⇒ ℝ(𝒛) = 𝒙 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
𝒚
𝒓
=
𝒚
‖𝒛‖
⇒ 𝑰(𝒛) = 𝒚 = 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽

‫كانت‬ ‫اذا‬
𝜽
‫من‬ ‫كال‬ ‫فان‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫سعة‬ ‫هي‬
𝜽 + 𝟐𝒏𝝅, 𝒏 ∈ ℤ
‫سعة‬ ‫ايضا‬ ‫يكون‬
‫العدد‬ ‫لنفس‬
. ‫المركب‬

‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫اما‬
𝜽 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅)
‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫القيمة‬ ‫لها‬ ‫فيقال‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ ‫على‬ ‫الدالة‬
. ‫المركب‬
Figure 8: Polar form of complex number

43. 40
‫الخاصة‬ ‫الزوايا‬ ‫جدول‬
:‫مثال‬
‫ليكن‬
𝒛 = 𝟏 + √𝟑𝒊
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫فجد‬
𝒛
.
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √12 + (√3)2 = √12 + 3 = √4 = 2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
1
2
⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
√3
2
⇒ sin 𝜃 ‫االول‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ ‫ايضا‬.
∴ arg(𝑧) =
𝜋
3
.
:‫مثال‬
‫ليكن‬
𝒛 = −𝟏 − 𝒊
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫فجد‬
𝒛
.
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √−12 + (−1)2 = √1 + 1 = √2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
−1
√2
⇒ cos 𝜃 ‫سالبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
−1
√2
⇒ sin 𝜃 ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ ‫ايضا‬
‫سالبة‬
‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬
‫الثالث‬
∴ arg(𝑧) = 𝜋 +
𝜋
4
=
5𝜋
4
.

44. 41
:‫مثال‬
‫ليكن‬
𝒛 = −𝟏 − √𝟑𝒊
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫فجد‬
𝒛
.
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √−12 + (−√3)2 = √1 + 3 = 2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
−1
2
⇒ cos 𝜃 ‫سالبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
−√3
2
⇒ sin 𝜃 ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ ‫ايضا‬
‫سالبة‬
‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬
‫الثالث‬ .
∴ arg(𝑧) = 𝜋 +
𝜋
3
=
4𝜋
3
.
: ‫مالحظة‬
1
)
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬
𝒛 = 𝟎
. ‫قيمة‬ ‫له‬ ‫ليس‬ ‫الصفري‬ ‫المتجه‬ ‫الن‬ ‫معلومة‬ ‫غير‬
2
)
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬
z
: ‫هي‬
𝒛 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 = 𝒓(𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜽)
=========================================================
:‫مثال‬
: ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫جد‬
a) 𝑧 = −2 + 2𝑖
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √−22 + (2)2 = √8 = 2√2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
−1
√2
⇒ cos 𝜃 ‫سالبه‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
1
√2
⇒ sin 𝜃 ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ .
∴ arg(𝑧) = 𝜋 −
𝜋
4
=
3𝜋
4
.
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) = 2√2(cos
3𝜋
4
+ 𝑖 sin
3𝜋
4
)

45. 42
b) 7i
7𝑖 = 7(𝑖) = 7 (cos
𝜋
2
+ 𝑖sin
𝜋
2
)
 De Moivre’s Theorem
‫ديموفر‬ ‫مبرهنة‬
‫ليكن‬
𝒛𝟏
‫و‬
𝒛𝟐
‫أن‬ ‫حيث‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬
𝒛𝟏 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽 , 𝒛𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝝑 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝑
,
‫فان‬
𝒛𝟏. 𝒛𝟐 = (𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽) (𝐜𝐨𝐬 𝝑 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝑)
= 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝑 + 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑 + 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝝑 𝐬𝐢𝐧 𝜽 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑
= (𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝑 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑) + 𝒊(𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑 + 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝝑 𝐬𝐢𝐧 𝜽)
= 𝐜𝐨𝐬(𝜽 + 𝝑) + 𝒊(𝐬𝐢𝐧(𝜽 + 𝝑))
‫كانت‬ ‫واذا‬
𝜽 = 𝝑
‫فان‬
(𝐜𝐨𝐬𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝟐
= 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 + 𝒊(𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽)
‫فان‬ ‫عامة‬ ‫وبصورة‬
(𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝒏
= 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝜽, ∀𝒏 ∈ ℕ, 𝜽 ∈ ℝ
==========================================================
:‫مثال‬
‫ناتج‬ ‫جد‬
a) (cos
3𝜋
8
+ 𝑖sin
3𝜋
8
)4
‫ديموفر‬ ‫مبرهنة‬ ‫وباستخدام‬
(cos
3𝜋
8
+ 𝑖sin
3𝜋
8
)4
= cos 4
3𝜋
8
+ 𝑖sin 4
3𝜋
8
= cos
3𝜋
2
+ 𝑖sin
3𝜋
2
= 0 + 𝑖(−1) = −𝑖

46. 43
b) (𝐜𝐨𝐬
𝟓𝝅
𝟐𝟒
+ 𝒊𝐬𝐢𝐧
𝟓𝝅
𝟐𝟒
)𝟒
(cos
5𝜋
24
+ 𝑖sin
5𝜋
24
)4
= cos 4
5𝜋
24
+ 𝑖sin 4
5𝜋
24
= cos
5𝜋
6
+ 𝑖sin
5𝜋
6
cos
5𝜋
6
+ 𝑖sin
5𝜋
6
= −
√3
2
+ 𝑖 (
1
2
)
==========================================================
c) (𝐜𝐨𝐬 𝜃 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜃)𝟖
(𝐜𝐨𝐬 𝜃 − 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜃)𝟒
cos 𝑛𝜃 − 𝑖sin 𝑛𝜃 = (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)−𝑛
‫المتطابقة‬ ‫هذه‬ ‫باستخدام‬ ‫السؤال‬ ‫هذا‬ ‫حل‬ ‫يمكن‬
(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)8 (cos 𝜃 − 𝑖sin 𝜃)4
= (cos 8𝜃 + 𝑖sin 8𝜃) (cos 4𝜃 − 𝑖sin 4𝜃)
= (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)8 (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)−4
= (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)4
= cos 4𝜃 + 𝑖sin 4𝜃
==========================================================
d) (1 + 𝑖)11
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √12 + (1)2 = √2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
1
√2
⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
1
√2
⇒ sin 𝜃 ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫ايضا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
‫االول‬ .
∴ 𝜃 =
𝜋
4
.

‫هنا‬
θ = 5 (30) = 150
‫إذن‬ ،
θ
‫لذلك‬ ، ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬
cos θ
‫و‬ ‫سالبة‬
sin
‫موجبة‬
.

47. 44
𝑧11
= 𝑟11(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)11
= (√2)
11
(cos
𝜋
4
+ 𝑖 sin
𝜋
4
)11
= (√2
2
)
5
. √2 (cos
𝜋
4
+ 𝑖 sin
𝜋
4
)11
= 32√2 (cos 11
𝜋
4
+ 𝑖 sin 11
𝜋
4
)
= 32√2 (−
1
√2
+
1
√2
𝑖) = −32 − 32𝑖.
==========================================================
c) (1 − 𝑖)7
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √12 + (−1)2 = √2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
1
√2
⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
−1
√2
⇒ sin 𝜃 ‫قيمة‬ ‫لها‬
‫سالبة‬
‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ,
‫الرابع‬ ..
∴ arg(𝑧) = 2𝜋 −
𝜋
4
=
7𝜋
4
.
𝑧7
= 𝑟7(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)7
= (√2)
7
(cos
7𝜋
4
+ 𝑖 sin
7𝜋
4
)7
= (√2
2
)
3
. √2 (cos
7𝜋
4
+ 𝑖 sin
7𝜋
4
)7
= 8√2 (cos 7
7𝜋
4
+ 𝑖 sin 7
7𝜋
4
)
= 8√2 (
1
√2
+
1
√2
𝑖) = 8 + 8𝑖.

48. 45
‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬
‫لكل‬
𝒏 ∈ ℤ+
, 𝜽 ∈ ℝ
‫فان‬ ,
√𝒛
𝒏
= 𝒓
𝟏
𝒏 [𝐜𝐨𝐬
𝜽 + 𝟐𝝅𝒌
𝒏
+ 𝒊 𝐬𝐢𝐧
𝜽 + 𝟐𝝅𝒌
𝒏
],
𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 − 𝟏.

‫حالة‬ ‫في‬ ‫او‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫جذور‬ ‫اليجاد‬ ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫تستخدم‬
. ‫المركبة‬ ‫لالعداد‬ ‫النسبية‬ ‫االسس‬
‫تمرين‬
4
:
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬
(−𝟏 + √𝟑𝒊)
. ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬
Sol/
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √(−1)2 + (√3)2 = √4 = 2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
−1
2
⇒ cos 𝜃 ‫لها‬
‫سالبة‬ ‫قيمة‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
√3
2
⇒ sin 𝜃 ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬.
∴ arg(𝑧) = 𝜋 −
𝜋
3
=
2𝜋
3
.
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) = 2(cos
2𝜋
3
+ 𝑖 sin
2𝜋
3
)
𝑧
1
2 = 𝑟
1
2(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)
1
2
𝑧
1
2 = (2)
1
2 (cos
2𝜋
3
+ 2𝜋𝑘
2
+ 𝑖sin
2𝜋
3
+ 2𝜋𝑘
2
)
= √2 (cos
2𝜋 + 6𝜋𝑘
6
+ 𝑖sin
2𝜋 + 6𝜋𝑘
6
)

‫هنا‬
n=3
‫اذا‬
k
‫قيمتين‬ ‫لها‬
𝒌 = 𝟎, 𝟏
.

49. 46
For 𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = √2 (cos
2𝜋
6
+ 𝑖sin
2𝜋
6
) = √2 (cos
𝜋
3
+ 𝑖sin
𝜋
3
)
= √2 (
1
2
+
√3
2
𝑖) =
1
√2
+
√3
√2
𝑖
If 𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = √2 (cos
2𝜋+6𝜋
6
+ 𝑖sin
2𝜋+6𝜋
6
) = √2 (cos
4𝜋
3
+ 𝑖sin
4𝜋
3
)
= √2 (
−1
2
−
√3
2
𝑖) =
−1
√2
−
√3
√2
𝑖
=====================================================
‫تمرين‬
6
:
‫الجذور‬ ‫جد‬
‫التربيعية‬
‫االربعة‬
‫للعدد‬
(−𝟏𝟔)
. ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬
Sol/
𝑧 = −16 = 16(cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋)
𝑧
1
4 = (16)
1
4(cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋)
1
4 = 2 (cos
𝜋+2𝜋𝑘
4
+ 𝑖sin
𝜋+6𝜋𝑘
4
)
𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = 2 (cos
𝜋
4
+ 𝑖sin
𝜋
4
) = 2 (
1
√2
+
1
√2
𝑖) = √2 + √2𝑖
𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = 2 (cos
3𝜋
4
+ 𝑖sin
3𝜋
4
) = 2 (−
1
√2
+
1
√2
𝑖) = −√2 + √2𝑖
𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = 2 (cos
5𝜋
4
+ 𝑖sin
5𝜋
4
) = 2 (−
1
√2
−
1
√2
𝑖) = −√2 − √2𝑖
𝑘 = 3 ⇒ 𝑧2 = 2 (cos
7𝜋
4
+ 𝑖sin
7𝜋
4
) = 2 (
1
√2
−
1
√2
𝑖) = √2 − √2𝑖

50. 47
‫تمرين‬
7
:
‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬
‫الستة‬
‫للعدد‬
(−𝟔𝟒𝒊)
. ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬
Sol/
𝑧 = −64𝑖 = 64 (cos
3𝜋
2
+ 𝑖sin
3𝜋
2
)
𝑧
1
6 = (64)
1
6 (cos
3𝜋
2
+ 𝑖sin
3𝜋
2
)
1
6
= 2 (cos
3𝜋
2
+2𝜋𝑘
6
+ 𝑖sin
3𝜋
2
+6𝜋𝑘
6
)
= 2 (cos
3𝜋 + 4𝜋𝑘
12
+ 𝑖sin
3𝜋 + 4𝜋𝑘
12
)
𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = 2 (cos
3𝜋
12
+ 𝑖sin
3𝜋
12
) = 2 (
1
√2
+
1
√2
𝑖) = √2 + √2𝑖
𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = 2 (cos
7𝜋
12
+ 𝑖sin
7𝜋
12
) = 2 (−
1
√2
+
1
√2
𝑖) = −√2 + √2𝑖
𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = 2 (cos
11𝜋
12
+ 𝑖sin
11𝜋
12
)
𝑘 = 3 ⇒ 𝑧4 = 2 (cos
15𝜋
12
+ 𝑖sin
15𝜋
12
) = 2 (cos
5𝜋
4
+ 𝑖sin
5𝜋
4
)
= 2 (−
1
√2
−
1
√2
𝑖) = −√2 − √2𝑖
𝑘 = 4 ⇒ 𝑧5 = 2 (cos
19𝜋
12
+ 𝑖sin
19𝜋
12
)
𝑘 = 5 ⇒ 𝑧6 = 2 (cos
25𝜋
12
+ 𝑖sin
25𝜋
12
)

51. 48
:‫مثال‬
‫للمقدار‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫جد‬
(√𝟑 + 𝒊)𝟐
. ‫له‬ ‫الخمسة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫ثم‬
Sol/
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √(√3)2 + (1)2 = √4 = 2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
√3
2
⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫له‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
1
2
⇒ sin 𝜃 ‫االول‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫ايضا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫له‬.
∴ 𝜃 =
𝜋
6
.
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) = 2(cos
𝜋
6
+ 𝑖 sin
𝜋
6
)
𝑧2
= 𝑟2(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)2
= 22
(cos
2𝜋
6
+ 𝑖 sin
2𝜋
6
) = 4 (cos
𝜋
3
+ 𝑖 sin
𝜋
3
)
𝑧
2
5 = 𝑟
2
5(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)
2
5 = (2)
2
5 (cos 5.
𝜋
3
+2𝜋𝑘
2
+ 𝑖sin 5.
𝜋
3
+2𝜋𝑘
2
)
= √4
5
(cos
5𝜋 + 30𝜋𝑘
6
+ 𝑖sin
5𝜋 + 30𝜋𝑘
6
)
𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = √4
5
(cos
5𝜋
6
+ 𝑖sin
5𝜋
6
) = √4
5
(−
√3
2
+
1
2
)
𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = √4
5
(cos
35𝜋
6
+ 𝑖sin
35𝜋
6
)
𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = √4
5
(cos
65𝜋
6
+ 𝑖sin
65𝜋
6
)
𝑘 = 3 ⇒ 𝑧4 = √4
5
(cos
95𝜋
6
+ 𝑖sin
95𝜋
6
)

52. 49
𝑘 = 4 ⇒ 𝑧5 = √4
5
(cos
155𝜋
6
+ 𝑖sin
155𝜋
6
)
===========================================================
:‫مثال‬
‫المعادلة‬ ‫حل‬
𝑥3
+ 1 = 0
‫حيث‬
𝑥 ∈ ℂ
.
Sol/
𝑥3
+ 1 = 0 ⇒ 𝑥3
= −1 ⇒ 𝑥3
= −1(1) = cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋
⇒ 𝑥 = (cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋)
1
3 = cos
𝜋+2𝜋𝑘
3
+ 𝑖sin
𝜋+2𝜋𝑘
3
𝑘 = 0 ⇒ 𝑥1 = cos
𝜋
3
+ 𝑖sin
𝜋
3
=
1
2
+
√3
2
𝑖
𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = cos
3𝜋
3
+ 𝑖sin
3𝜋
3
= −1 + 0 𝑖 = −1
𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = cos
5𝜋
3
+ 𝑖sin
5𝜋
3
=
1
2
−
√3
2
𝑖
∴ 𝑆 = {
1
2
+
√3
2
𝑖 , −1 ,
1
2
−
√3
2
𝑖}.

53. 50
‫اضافية‬ ‫تمارين‬
1
)
: ‫من‬ ‫لكل‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫جد‬
a) 𝑧 = −1 + √3𝑖 b) 𝑧 = −1 + 𝑖 c) 𝑧 = 1 − 𝑖
2
)
: ‫من‬ ‫لكل‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫جد‬
a) –i b) -7i c) 3 d) 5i e) 2 f) -1
3
)
: ‫ناتج‬ ‫جد‬
a) (cos
7𝜋
12
+ 𝑖 sin
7𝜋
12
)
−3
b)
(cos 2𝜃+𝑖 sin 2𝜃)5
(cos 3𝜃+𝑖 sin 2𝜃)3
4
)
( ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬
27𝑖
. ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ )