ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الأول الأعداد المركبة 2017 الأستاذ علي حميد

‫أعداد‬‫األس‬‫ـتاذ‬
‫طبعة‬‫جديدة‬
‫ومنقحة‬
‫الدراسي‬ ‫للعام‬
2017
‫شرح‬‫مفصل‬‫األول‬ ‫الفصل‬ ‫وتمارين‬ ‫أمثلة‬ ‫لجميع‬.
‫الوزارية‬ ‫األسئلة‬ ‫وجميع‬ ‫العامة‬ ‫التمارين‬ ‫حلول‬‫األول‬ ‫للفصل‬.
‫محلولة‬ ‫أضافية‬ ‫أسئلة‬.

‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
1
‫األول‬ ‫الفصل‬/‫المركبة‬ ‫األعداد‬
‫تعرٌف‬:
‫مالحظة‬
‫الجذ‬ ‫كتابة‬ ‫ٌمكننا‬‫بداللة‬ ‫سالب‬ ً‫حمٌم‬ ‫عدد‬ ‫ألي‬ ‫ر‬𝒊‫ا‬‫ال‬‫فمث‬:
‫مثال‬1)/‫صورة‬ ‫أبسط‬ ً‫ف‬ ً‫ٌل‬ ‫ما‬ ‫أكتب‬:𝒂 𝒊 𝟏𝟔
𝒃 𝒊 𝟓𝟖
𝒄 𝒊 𝟏𝟐𝒏+𝟗𝟑
𝒅 𝒊−𝟏𝟑

2
3 − 5i
‫مالحظة‬
‫مثال‬2/‫أكتب‬‫الصورة‬ ‫على‬ ‫التالٌة‬ ‫األعداد‬𝒂 + 𝒃𝒊
𝒅
𝟏 + −𝟐𝟓
𝟒
𝒄 − 𝟏 − −𝟑𝒃 −𝟏𝟎𝟎𝒂 − 𝟓
𝒅
𝟏 + −𝟐𝟓
𝟒
=
𝟏
𝟒
+
𝟐𝟓𝒊
𝟒
=
𝟏
𝟒
+
𝟓
𝟒
𝒊
‫مثال‬/‫التا‬ ‫األعداد‬ ‫أكتب‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجبرٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫لٌة‬:
𝒂 𝒊 𝟏𝟔
= 𝒊 𝟒 𝟒
= 𝟏 𝟒
= 𝟏 = 𝟏 + 𝟎𝒊
𝒃 𝒊 𝟏𝟓
= 𝒊 𝟏𝟐
. 𝒊 𝟑
= 𝟏 . −𝐢 = −𝐢 = 𝟎 − 𝐢
𝒄 𝒊 −𝟐𝟑
=
𝟏
𝒊 𝟐𝟑
=
𝒊 𝟐𝟒
𝒊 𝟐𝟑
= 𝒊 = 𝟎 + 𝒊
𝒅 𝒊−𝟔
=
𝟏
𝒊 𝟔
=
𝒊 𝟖
𝒊 𝟔
= 𝒊 𝟐
= −𝟏 = −𝟏 + 𝟎𝐢
𝒆 𝒊−𝟒𝟒
=
𝟏
𝒊 𝟒𝟒
=
𝒊 𝟒𝟒
𝒊 𝟒𝟒
= 𝟏 = 𝟏 + 𝟎𝐢
𝒇 𝒊 −𝟏𝟑
=
𝟏
𝒊 𝟏𝟑
=
𝒊 𝟏𝟔
𝒊 𝟏𝟑
= 𝒊 𝟑
= −𝒊 = 𝟎 − 𝒊 𝒐𝒓 𝒊 −𝟏𝟑
= 𝒊 −𝟏𝟑
. 𝒊 𝟏𝟔
= 𝒊 𝟑
= −𝒊 = 𝟎 − 𝒊

3
/ ‫مثال‬ٌ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫أكتب‬‫أ‬ً‫ت‬‫بالصٌغة‬bi:
, , ,
‫مثال‬/‫ثم‬ ‫التالٌة‬ ‫المركبة‬ ‫لؤلعداد‬ ً‫التخٌل‬ ‫والجزء‬ ً‫الحمٌم‬ ‫الجزء‬ ‫عٌن‬‫الجبرٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫ضعها‬‫المركب‬ ‫للعدد‬.
‫ضع‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫ا‬‫ال‬‫ك‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجبرٌة‬ ‫أو‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬
‫التساوي‬ ‫خاصٌة‬
‫مثال‬(3)/‫من‬ ‫كل‬ ‫لٌمة‬ ‫جد‬x ,y‫تحمم‬ ً‫الت‬ ‫الحمٌمٌتٌن‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬:
𝒂 𝟐𝒙 − 𝟏 + 𝟐𝒊 = 𝟏 + 𝒚 + 𝟏 𝒊

4
𝒃 𝟑𝐱 + 𝟒𝒊 = 𝟐 + 𝟖𝒚𝒊
(c ) 𝟐𝒚 + 𝟏 – 𝟐𝒙 – 𝟏 𝒊 = −𝟖 + 𝟑𝒊
‫الجمع‬ ‫عملٌة‬‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬
‫مزع‬ ‫التخٌلٌزة‬ ‫واألجززاء‬ ‫بعضها‬ ‫مع‬ ‫الحمٌمٌة‬ ‫األجزاء‬ ‫نجمع‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫جمع‬ ‫عند‬‫عزدد‬ ‫أٌضزا‬ ‫زو‬ ‫والنزاته‬ ‫بعضزها‬
‫مركب‬ً‫ٌل‬ ‫وكما‬:
‫نفرض‬𝑪 𝟏 = 𝒂 𝟏 + 𝒃 𝟏 𝒊‫و‬𝑪 𝟐 = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒊: ‫فأن‬ ‫مركبان‬ ‫عددان‬
𝑪 𝟏 + 𝑪 𝟐 = 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟏 + 𝒃 𝟐 𝒊
‫الجمع‬ ‫خواص‬: ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬
‫مغلمة‬
‫أبدالٌة‬
‫تجمٌعٌة‬
ً‫الجمع‬ ‫النظٌر‬
‫المحاٌد‬ ‫العنصر‬
‫أبدالٌة‬ ‫زمرة‬
‫مثال‬(4)/ٌ‫العدد‬ ‫مجموع‬ ‫جد‬‫ن‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬
𝒂 𝟑 + 𝟒 𝟐 𝒊 , 𝟓 − 𝟐 𝟐 𝒊
𝟑 + 𝟒 𝟐 + 𝟓 − 𝟐 𝟐 = 𝟑 + 𝟓 + 𝟒 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟖 + 𝟐 𝟐
𝟑 , 𝟐 − 𝟓
𝟑 + 𝟎 + 𝟐 − 𝟓 = 𝟑 + 𝟐 + 𝟎 − 𝟓 = 𝟓 − 𝟓
𝟏 − , 𝟑
𝟏 − + 𝟎 + 𝟑 = 𝟏 + 𝟎 + −𝟏 + 𝟑 = 𝟏 + 𝟐

5
‫مثال‬/‫التالٌة‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫جمع‬ ‫ناته‬ ‫أوجد‬:
𝟏 = 𝟏 + 𝟓 , = 𝟑 + 𝟕 , = −𝟏 −
+ + = + 5 + 3 + 7 + − − = + 3 − + 5 + 7 − = 3 +
𝟐 𝟐 + −𝟐 , − 𝟓 + 𝟐
𝟐 + 𝟐 + −𝟓 + 𝟐 = 𝟐 − 𝟓 + 𝟐 + 𝟐 = −𝟑 + 𝟐 𝟐
‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫طرح‬
‫كان‬ ‫أذا‬= + ‫و‬ = +‫فأن‬− = + −
‫مثال‬(5)/: ‫ناته‬ ‫جد‬
𝟕 − 𝟏𝟑 − 𝟗 + 𝟒
𝟕 − 𝟏𝟑 + −𝟗 − 𝟒
𝟕 − 𝟗 + −𝟏𝟑 − 𝟒 = −𝟐 − 𝟏𝟕
‫مثال‬(6)/‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐 − 𝟒 + = −𝟓 +‫حٌث‬ℂ
= −𝟓 + − 𝟐 − 𝟒 = −𝟓 + + −𝟐 + 𝟒 = −𝟓 − 𝟐 + 𝟏 + 𝟒 = −𝟕 + 𝟓
‫مثال‬/‫كان‬ ‫أذا‬= 𝟏 + 𝟐 , = −𝟏 − 𝟕 , = −𝟏 − 𝟏𝟏
‫ما‬ ‫فأوجد‬ً‫ٌل‬−𝟐 − 𝟒 + 𝟑
−𝟐 − 𝟒 + 𝟑 = −𝟐 𝟏 + 𝟐 − 𝟒 −𝟏 − 𝟕 + 𝟑 −𝟏 − 𝟏𝟏
= −𝟐 − 𝟒 + 𝟒 + 𝟐𝟖 + −𝟑 − 𝟑𝟑
= −𝟐 + 𝟒 − 𝟑 + −𝟒 + 𝟐𝟖 − 𝟑𝟑 = −𝟏 − 𝟗
‫كان‬ ‫أذا‬= 𝟏 + 𝟐 , = −𝟏 − 𝟕 , = −𝟏 − 𝟏𝟏‫ف‬‫ما‬ ‫أوجد‬ً‫ٌل‬:
𝟐 + 𝟑 𝟑𝟑 + +− 𝟑 + 𝟐 − 𝟒 + 𝟐𝟐 + + 𝟑

6
‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬ ‫الضرب‬ ‫عملٌة‬
‫كان‬ ‫أذا‬= +،= +,k‫فأن‬
𝟏 . = + + = + + + 𝟐
= − + +
𝟐 . = + = +
‫الضرب‬ ‫عملٌة‬ ‫خواص‬‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬
(1)‫الضرب‬ ‫عملٌة‬‫مغلمة‬‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫دائما‬ ‫الناته‬ ‫أن‬ ‫أي‬
(2)‫الضرب‬ ‫عملٌة‬‫أبدالٌة‬‫أن‬ ‫أي‬𝟏 . 𝟐 = 𝟐 . 𝟏
(3)‫الضرب‬ ‫عملٌة‬‫تجمٌعٌة‬‫أن‬ ‫أي‬𝟏 . 𝟐 . 𝟑 = 𝟏 . 𝟐 . 𝟑
(4)ً‫الضرب‬ ‫المحاٌد‬( ‫و‬1‫وٌكتب‬ )𝟏 = 𝟏 + 𝟎
(5)ً‫الضرب‬ ‫النظٌر‬‫للعدد‬(c)‫و‬−𝟏
‫و‬‫أن‬ ‫ٌمكن‬‫ٌكتب‬‫بالصٌغة‬
𝟏
‫مثال‬(7)/ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ناته‬ ‫جد‬:
𝟐 − 𝟑 𝟑 − 𝟓
𝟐 − 𝟑 𝟑 − 𝟓 = 𝟔 − 𝟏𝟎 − 𝟗 + 𝟏𝟓 𝟐
= 𝟔 − 𝟏𝟓 + −𝟏𝟎 − 𝟗 = −𝟗 − 𝟏𝟗
𝟑 + 𝟒 𝟐
𝟑 + 𝟒 𝟐
= 𝟗 + 𝟐𝟒 + 𝟏𝟔 𝟐
= 𝟗 − 𝟏𝟔 + 𝟐𝟒 = −𝟕 + 𝟐𝟒
𝟏 +
𝟏 + = + 𝟐
= − 𝟏 = −𝟏 +
−𝟓
𝟐
𝟒 + 𝟑
−𝟓
𝟐
𝟒 + 𝟑 =
−𝟓
𝟐
𝟒 −
𝟓
𝟐
𝟑 = −𝟏𝟎 −
𝟏𝟓
𝟐
i
𝟏 + 𝟐
+ 𝟏 − 𝟐
𝟏 + 𝟐
+ 𝟏 − 𝟐
= 𝟏 + 𝟐 + 𝟐
+ 𝟏 − 𝟐 + 𝟐
= 𝟐 − 𝟐 = 𝟎
: ً‫ٌل‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫ناته‬ ‫جد‬
𝟐 𝟏 + − 𝟑
𝟏 + 𝟐𝟏 𝟐 + −𝟑 𝟏 + 𝟐 −𝟑
𝟒 𝟐 + −𝟐 𝟐
𝟑 𝟑 + −𝟖 𝟐 + 𝟐 −𝟐

7
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافك‬
‫كان‬ ‫أذا‬C‫له‬ ‫ٌرمز‬ ‫مرافمه‬ ‫فأن‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬̅‫كان‬ ‫أذا‬ ‫أي‬= +‫فأن‬̅ = −.
: ‫ا‬‫ال‬‫فمث‬𝟑 +‫العدد‬ ‫مرافك‬ ‫و‬𝟑 −‫العدد‬ ‫مرافك‬ ‫وكذلن‬ , ‫وبالعكس‬‫و‬−. ‫وبالعكس‬
𝟑 + 𝟐‫العدد‬ ‫مرافك‬ ‫و‬𝟑 − 𝟐‫العدد‬ ‫مرافك‬ ‫وكذلن‬ , ‫وبالعكس‬𝟑‫و‬𝟑.
‫مالحظة‬
‫كان‬ ‫أذا‬𝟏 = +‫هو‬ ‫مرافقه‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬𝟐 = −‫و‬‫فأن‬
𝟏 𝟏 + 𝟐 = 𝟐
𝟐 𝟏 + 𝟐 = 𝟐
𝟑 𝟏 𝟐 = 𝟐
+ 𝟐
ً‫والضرب‬ ً‫الجمع‬ ‫والنظٌر‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫المرافك‬ ‫ٌوضح‬ ‫أدناه‬ ‫الجدول‬:
‫المركب‬ ‫العدد‬ً‫الجمع‬ ‫النظٌر‬ً‫الضرب‬ ‫النظٌر‬‫المرافك‬
+− −
𝟏
+
−
𝟑 − 𝟐−𝟑 + 𝟐
𝟏
𝟑 − 𝟐
𝟑 + 𝟐
−𝟒𝟒
𝟏
−𝟒
−𝟒
−𝟔𝟔
𝟏
−𝟔
𝟔
𝟑− 𝟑
=
𝟏
𝟑
𝟐− 𝟐
= 𝟏
𝟏
𝟐
= 𝟐
= −𝟏𝟐
= −𝟏
𝟏 , −𝟒−𝟏 , 𝟒
𝟏
𝟏 , −𝟒
𝟏 , 𝟒
‫مثال‬(8)/‫كان‬ ‫أذا‬𝟐 = 𝟑 − 𝟐 , 𝟏 = 𝟏 +‫فتحمك‬: ‫من‬
𝟏 𝟏 + 𝟐
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏
̅̅̅ + 𝟐
̅̅̅
. 𝟏 + 𝟐
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 + + 𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟒 −̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟒 +
. 𝟏
̅̅̅ + 𝟐
̅̅̅ = 𝟏 +̅̅̅̅̅̅̅ + 𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 − + 𝟑 + 𝟐 = 𝟒 + . = .
𝟐 𝟏 − 𝟐
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏
̅̅̅ − 𝟐
̅̅̅
. 𝟏 − 𝟐
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 + − 𝟑 + 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = −𝟐 + 𝟑̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = −𝟐 − 𝟑
. 𝟏
̅̅̅ − 𝟐
̅̅̅ = 𝟏 +̅̅̅̅̅̅̅ − 𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 − − 𝟑 + 𝟐 = −𝟐 − 𝟑 . = .

8
𝟑 𝟏. 𝟐
̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏
̅̅̅ . 𝟐
̅̅̅
. 𝟏. 𝟐
̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 + . 𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟑 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟐 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟓 +̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟓 −
. 𝟏
̅̅̅ . 𝟐
̅̅̅ = 𝟏 +̅̅̅̅̅̅̅ . 𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 − . 𝟑 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟐 − 𝟑 − 𝟐 𝟐
= 𝟓 −
𝟒 𝟏
̿̿̿ = 𝟏
𝟏
̿̿̿ = 𝟏 +̿̿̿̿̿̿̿ = 𝟏 −̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 + = 𝟏
𝟓 (
𝟏
𝟐
)
̅̅̅̅̅̅
=
𝟏
̅̅̅
𝟐
̅̅̅ 𝟐 𝟎
. (
𝟏
𝟐
)
̅̅̅̅̅̅
= (
𝟏 +
𝟑 − 𝟐
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (
𝟏 +
𝟑 − 𝟐
𝟑 + 𝟐
𝟑 + 𝟐
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= .
𝟑 + 𝟐 + 𝟑 + 𝟐 𝟐
𝟗 + 𝟒
/
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (
𝟏 + 𝟓
𝟏𝟑
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
=
𝟏 − 𝟓
𝟏𝟑
.
𝟏
̅̅̅
𝟐
̅̅̅
=
𝟏 +̅̅̅̅̅̅̅
𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅
=
𝟏 −
𝟑 + 𝟐
=
𝟏 −
𝟑 + 𝟐
𝟑 − 𝟐
𝟑 − 𝟐
=
𝟑 − 𝟐 − 𝟑 + 𝟐 𝟐
𝟗 + 𝟒
=
𝟏 − 𝟓
𝟏𝟑
‫مالحظة‬
(1)‫ظهور‬ ‫عند‬‫وكسره‬ ‫البسط‬ ‫ممام‬ ‫نضرب‬ ‫الممام‬ ً‫ف‬‫الحل‬ ‫لتبسٌط‬ ‫الممام‬ ‫بمرافك‬.
(2)‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫وٌرمز‬ )ً‫الضرب‬ ‫(النظٌر‬ ‫بدل‬ )‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫(مملوب‬ ‫التعبٌر‬ ‫أستخدام‬ ‫ٌمكن‬−𝟏
‫ٌساوي‬ ‫و‬ ‫و‬
𝟏
( ‫مثال‬9)/‫للعدد‬ ً‫الضرب‬ ‫النظٌر‬ ‫جد‬‫ال‬‫مركب‬= 𝟐 − 𝟐‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫وضعه‬
𝟏
=
𝟏
𝟐 − 𝟐
=
𝟏
𝟐 − 𝟐
𝟐 + 𝟐
𝟐 + 𝟐
=
𝟐 + 𝟐
𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐
=
𝟐 + 𝟐
𝟒 + 𝟒
=
𝟐 + 𝟐
𝟖
=
𝟐
𝟖
+
𝟐
𝟖
=
𝟏
𝟒
+
𝟏
𝟒
( ‫مثال‬10)/‫كان‬ ‫أذا‬
𝟑−𝟐−
𝟏+𝟓
,‫من‬ ‫كل‬ ‫لٌمة‬ ‫فجد‬ ‫مترافمان‬,.
−
𝟏+𝟓
= (
𝟑−𝟐
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ −
𝟏+𝟓
=
𝟑+𝟐
−
− − = 𝟑 + 𝟐 𝟏 + 𝟓
− + 𝟐
= 𝟑 + 𝟏𝟓 + 𝟐 + 𝟏𝟎 𝟐
− − = −𝟕 + 𝟏𝟕
‫أن‬ ‫نجد‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
− = −𝟕 = 𝟕 ‫الحقيقي‬
− = 𝟏𝟕 = −𝟏𝟕 ‫التخيلي‬

9
( ‫مثال‬11)/‫كان‬ ‫أذا‬𝟏 = 𝟑 − 𝟐,𝟐 = 𝟏 +‫من‬ ‫فتحمك‬( 𝟏
𝟐
)
̅̅̅̅̅̅
= 𝟏̅̅̅̅
𝟐̅̅̅̅
. (
𝟏
𝟐
)
̅̅̅̅̅̅
= (
𝟑 − 𝟐
𝟏 +
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (
𝟑 − 𝟐
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= .
𝟑 − 𝟑 − 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
/
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (
𝟏 − 𝟓
𝟐
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
=
𝟏 + 𝟓
𝟐
=
𝟏
𝟐
+
𝟓
𝟐
.
𝟏
̅̅̅
𝟐
̅̅̅̅
=
𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝟏 +̅̅̅̅̅̅̅
=
𝟑 + 𝟐
𝟏 −
=
𝟑 + 𝟐
𝟏 −
𝟏 +
𝟏 +
=
𝟑 + 𝟑 + 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟏 + 𝟓
𝟐
=
𝟏
𝟐
+
𝟓
𝟐
‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫لسمة‬
ً‫ٌل‬ ‫وكما‬ ‫الممام‬ ‫بمرافك‬ ‫نضرب‬ ‫أخر‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫على‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫لسمة‬ ‫عند‬
𝟏
𝟐
= 𝟏
𝟐
𝟐̅̅̅̅
𝟐̅̅̅̅
( ‫مثال‬12)/‫بالصورة‬ ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ضع‬+:
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 +
𝟏 +
=
𝟏 + + + 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟐
𝟐
= = 𝟎 +
𝟐 −
𝟑 + 𝟒
𝟐 −
𝟑 + 𝟒
𝟑 − 𝟒
𝟑 − 𝟒
=
𝟔 − 𝟖 − 𝟑 + 𝟒 𝟐
𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐
=
𝟐 − 𝟏𝟏
𝟗 + 𝟏𝟔
=
𝟐 − 𝟏𝟏
𝟐𝟓
=
𝟐
𝟐𝟓
−
𝟏𝟏
𝟐𝟓
𝟏 + 𝟐
−𝟐 +
𝟏 + 𝟐
−𝟐 +
−𝟐 −
−𝟐 −
=
−𝟐 − − 𝟒 − 𝟐 𝟐
−𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟎 − 𝟓
𝟓
=
−𝟓
𝟓
= − = 𝟎 −
‫مالحظة‬
‫تحلٌل‬ ‫ٌمكن‬𝟐
+ 𝟐
‫الصورة‬ ‫من‬ ‫منهما‬ ‫كل‬ ‫مركبٌن‬ ‫عددٌن‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬+‫أي‬:
𝟐
+ 𝟐
= 𝟐
− 𝟐 𝟐
= − +
( ‫مثال‬13)/‫ح‬‫ا‬‫ال‬‫ك‬ ‫لل‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬‫الصورة‬ ‫من‬ ‫عاملٌن‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬+‫حٌث‬,‫نسبٌة‬ ‫أعداد‬.
𝟏𝟎 𝟓𝟑 𝟑𝟗
𝟏𝟎 = 𝟗 + 𝟏 = 𝟗 − 𝟐
= 𝟑 − 𝟑 +
𝟓𝟑 = 𝟒𝟗 + 𝟒 = 𝟒𝟗 − 𝟒 𝟐
= 𝟕 − 𝟐 𝟕 + 𝟐
𝟑𝟗 = 𝟑𝟔 + 𝟑 = 𝟑𝟔 − 𝟑 𝟐
= 𝟔 − 𝟑 𝟔 + 𝟑

10
− ‫تمارين‬
‫س‬1/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫ا‬‫ال‬‫ك‬ ‫ضع‬:
𝟓
, 𝟔
, 𝟏𝟐𝟒
, 𝟗𝟗𝟗
, 𝟒 +𝟏
, 𝟐 + 𝟑 𝟐
+ 𝟏𝟐 + 𝟐 , 𝟏𝟎 + 𝟑 𝟎 + 𝟔 ,
𝟏 + 𝟒
− 𝟏 − 𝟒
,
𝟏𝟐 +
,
𝟑 + 𝟒
𝟑 − 𝟒
,
𝟐 + 𝟑
, (
𝟑 +
𝟏 +
)
𝟑
,
𝟐 + 𝟑
𝟏 −
𝟏 + 𝟒
𝟒 +
,
𝟏 + 𝟑
+ 𝟏 − 𝟑
𝟓
= 𝟒
. = 𝟏 . = = 𝟎 +
𝟔
= 𝟒
. 𝟐
= 𝟏 −𝟏 = −𝟏 = −𝟏 + 𝟎
𝟏𝟐𝟒
= 𝟒 𝟑𝟏
= 𝟏 𝟑𝟏
= 𝟏 = 𝟏 + 𝟎
𝟗𝟗𝟗
= 𝟒 𝟐𝟒𝟗
. 𝟑
= 𝟏 𝟐𝟒𝟗
. 𝟐
. = 𝟏. −𝟏 . = − = 𝟎 −
𝟒 +𝟏
= 𝟒
. = 𝟒
. = 𝟏 = = 𝟎 +
𝟐 + 𝟑 𝟐
+ 𝟏𝟐 + 𝟐 = 𝟒 + 𝟏𝟐 + 𝟗 𝟐
+ 𝟏𝟐 + 𝟐 = 𝟕 + 𝟏𝟒
𝟏𝟎 + 𝟑 𝟎 + 𝟔 = 𝟎 + 𝟔𝟎 + 𝟎 + 𝟏𝟖 𝟐
= −𝟏𝟖 + 𝟔𝟎
𝟏 + 𝟒
− 𝟏 − 𝟒
= 𝟏 + 𝟐 𝟐
− 𝟏 − 𝟐 𝟐
= 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟐
− 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟐
= 𝟐 𝟐
− −𝟐 𝟐
= 𝟒 𝟐
− 𝟒 𝟐
= 𝟎 = 𝟎 + 𝟎
𝟏𝟐 +
=
𝟏𝟐 + −
−
=
−𝟏𝟐 − 𝟐
− 𝟐
=
𝟏 − 𝟏𝟐
𝟏
= 𝟏 − 𝟏𝟐
𝟑 + 𝟒
𝟑 − 𝟒
=
𝟑 + 𝟒
𝟑 − 𝟒
𝟑 + 𝟒
𝟑 + 𝟒
=
𝟗 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟔 𝟐
𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐
=
−𝟕 + 𝟐𝟒
𝟗 + 𝟏𝟔
=
−𝟕
𝟐𝟓
+
𝟐𝟒
𝟐𝟓
𝟐 + 𝟑
=
𝟐 + 𝟑
𝟐 − 𝟑
𝟐 − 𝟑
=
𝟐 − 𝟑 𝟐
𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟐
=
𝟑 + 𝟐
𝟒 + 𝟗
=
𝟑 + 𝟐
𝟏𝟑
=
𝟑
𝟏𝟑
+
𝟐
𝟏𝟑
(
𝟑 +
𝟏 +
)
𝟑
= (
𝟑 +
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
)
𝟑
= .
𝟑 − 𝟑 + − 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
/
𝟑
= (
𝟒 − 𝟐
𝟐
)
𝟑
= 𝟐 − 𝟑
= 𝟐 − 𝟐
𝟐 − = 𝟒 − 𝟒 + 𝟐
𝟐 − = 𝟑 − 𝟒 𝟐 − = 𝟔 − 𝟑 − 𝟖 + 𝟒 𝟐
= 𝟐 − 𝟏𝟏
𝟐 + 𝟑
𝟏 −
𝟏 + 𝟒
𝟒 +
=
𝟐 + 𝟖 + 𝟑 + 𝟏𝟐 𝟐
𝟒 + − 𝟒 − 𝟐
=
−𝟏𝟎 + 𝟏𝟏
𝟓 − 𝟑
=
−𝟏𝟎 + 𝟏𝟏
𝟓 − 𝟑
𝟓 + 𝟑
𝟓 + 𝟑
=
−𝟓𝟎 − 𝟑𝟎 + 𝟓𝟓 + 𝟑𝟑 𝟐
𝟓 𝟐 + 𝟑 𝟐
=
−𝟖𝟑 + 𝟐𝟓
𝟐𝟓 + 𝟗
=
−𝟖𝟑 + 𝟐𝟓
𝟑𝟒
=
−𝟖𝟑
𝟑𝟒
+
𝟐𝟓
𝟑𝟒
𝟏 + 𝟑
+ 𝟏 − 𝟑
= 𝟏 + 𝟐
𝟏 + + 𝟏 − 𝟐
𝟏 −
= 𝟏 + 𝟐 + 𝟐
𝟏 + + 𝟏 − 𝟐 + 𝟐
𝟏 −
= 𝟐 + 𝟐 𝟐
− 𝟐 + 𝟐 𝟐
= 𝟒 𝟐
= −𝟒 = −𝟒 + 𝟎

11
‫س‬2/‫لٌمة‬ ‫جد‬‫من‬ ‫كل‬,: ‫األتٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫تحممان‬ ‫اللتٌن‬ ‫الحمٌمٌتٌن‬
+ 𝟓 = 𝟐 + + 𝟐
+ 𝟓 = 𝟐 𝟐
+ 𝟒 + + 𝟐 𝟐
+ 𝟓 = 𝟐 𝟐
− 𝟐 + 𝟒 +
+ 𝟓 = 𝟐 𝟐
− 𝟐 + 𝟓 = 𝟐 𝟐
− 𝟐 ‫معادلة‬①
𝟓 = 𝟓 = 𝟏 ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
= 𝟐 𝟏 𝟐
− 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 = 𝟎
𝟖 = + 𝟐 + 𝟐 + 𝟏
𝟖 = + 𝟐 + 𝟐 + 𝟒 𝟐
+ 𝟏 𝟖 = + 𝟐 + 𝟐 − 𝟑
𝟖 = − 𝟑 + 𝟐 + 𝟐
− 𝟑 = 𝟎 = 𝟑 =
𝟑
‫معادلة‬①
𝟐 + 𝟐 = 𝟖
𝟐
⇒ + = 𝟒 = 𝟒 − ② ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
𝟒 − = 𝟑 𝟒 − 𝟐
= 𝟑 𝟐
− 𝟒 + 𝟑 = 𝟎 − 𝟑 − 𝟏 = 𝟎
− 𝟑 = 𝟎 = 𝟑 ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬ = 𝟏
− 𝟏 = 𝟎 = 𝟏 ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬ = 𝟑
(
𝟏 −
𝟏 +
) + + = 𝟏 + 𝟐 𝟐
+ = 𝟏 + 𝟐 𝟐
− (
𝟏 −
𝟏 +
) = 𝟏 + 𝟒 + 𝟒 𝟐
− (
𝟏 −
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
) = −𝟑 + 𝟒 − .
𝟏 − − + 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
/
+ = −𝟑 + 𝟒 − (
−𝟐
𝟐
) = −𝟑 + 𝟒 + + = −𝟑 + 𝟓 = −𝟑 = 𝟓
𝟐 −
𝟏 +
+
𝟑 −
𝟐 +
=
𝟏
[
𝟐 −
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
] + [
𝟑 −
𝟐 +
𝟐 −
𝟐 −
] =
𝟒
0
𝟐 − 𝟐 − + 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
1 + 0
𝟔 − 𝟑 − 𝟐 + 𝟐
𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐
1 = 𝟑
[
𝟏 − 𝟑
𝟐
] + [
𝟓 − 𝟓
𝟓
] = −
( 𝟏𝟎 ‫بالعدد‬ ‫نضرب‬ )
⇒ 𝟓 𝟏 − 𝟑 + 𝟐 𝟓 − 𝟓 = −𝟏𝟎
𝟓 − 𝟏𝟓 + 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 = 𝟎 − 𝟏𝟎
𝟓 + 𝟏𝟎 = 𝟎 ‫معادلة‬①
−𝟏𝟓 − 𝟏𝟎 = −𝟏𝟎 ‫معادلة‬ ‫بالجمع‬ ‫أنيآ‬ ‫تحل‬
−𝟏𝟎 = −𝟏𝟎 = 𝟏 ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
𝟓 𝟏 + 𝟏𝟎 = 𝟎 𝟏𝟎 = −𝟓 =
−𝟓
𝟏𝟎
=
−𝟏
𝟐

12
‫س‬3/‫أن‬ ‫أثبت‬:
𝟏
𝟐 − 𝟐
−
𝟏
𝟐 + 𝟐
=
𝟖
𝟐𝟓
‫األولى‬ ‫الطريقة‬
𝟏
𝟐 − 𝟐
−
𝟏
𝟐 + 𝟐
= (
𝟏
𝟐 −
)
𝟐
− (
𝟏
𝟐 +
)
𝟐
(
𝟏
𝟐 −
𝟐 +
𝟐 +
)
𝟐
− (
𝟏
𝟐 +
𝟐 −
𝟐 −
)
𝟐
(
𝟐 +
𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐
)
𝟐
− (
𝟐 −
𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐
)
𝟐
(
𝟐 +
𝟓
)
𝟐
− (
𝟐 −
𝟓
)
𝟐
= .
𝟒 + 𝟒 + 𝟐
𝟐𝟓
/ − .
𝟒 − 𝟒 + 𝟐
𝟐𝟓
/ = (
𝟑 + 𝟒
𝟐𝟓
) − (
𝟑 − 𝟒
𝟐𝟓
)
𝟑 + 𝟒 − 𝟑 + 𝟒
𝟐𝟓
=
𝟖
𝟐𝟓
‫الثانية‬ ‫الطريقة‬
𝟏
𝟐 − 𝟐
−
𝟏
𝟐 + 𝟐
=
𝟐 + 𝟐
− 𝟐 − 𝟐
𝟐 − 𝟐 𝟐 + 𝟐
=
𝟒 + 𝟒 + 𝟐
− 𝟒 − 𝟒 + 𝟐
𝟒 − 𝟒 + 𝟐 𝟒 + 𝟒 + 𝟐
𝟑 + 𝟒 − 𝟑 − 𝟒
𝟑 − 𝟒 𝟑 + 𝟒
=
𝟑 + 𝟒 − 𝟑 + 𝟒
𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐
=
𝟖
𝟗 + 𝟏𝟔
=
𝟖
𝟐𝟓
‫الثالثة‬ ‫الطريقة‬
𝟏
𝟐 − 𝟐
−
𝟏
𝟐 + 𝟐
=
𝟏
𝟒 − 𝟒 + 𝟐
−
𝟏
𝟒 + 𝟒 + 𝟐
=
𝟏
𝟑 − 𝟒
−
𝟏
𝟑 + 𝟒
(
𝟏
𝟑 − 𝟒
𝟑 + 𝟒
𝟑 + 𝟒
) − (
𝟏
𝟑 + 𝟒
𝟑 − 𝟒
𝟑 − 𝟒
) = (
𝟑 + 𝟒
𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐
) − (
𝟑 − 𝟒
𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐
)
(
𝟑 + 𝟒
𝟗 + 𝟏𝟔
) − (
𝟑 − 𝟒
𝟗 + 𝟏𝟔
) = (
𝟑 + 𝟒
𝟐𝟓
) − (
𝟑 − 𝟒
𝟐𝟓
) =
𝟑 + 𝟒 − 𝟑 + 𝟒
𝟐𝟓
=
𝟖
𝟐𝟓
‫وزاري‬2012/‫د‬3
𝟏 − 𝟐
𝟏 +
+
𝟏 + 𝟐
𝟏 −
= −𝟐
‫األولى‬ ‫الطريقة‬
𝟏 − 𝟑
+ 𝟏 + 𝟑
𝟏 + 𝟏 −
=
𝟏 − 𝟐
𝟏 − + 𝟏 + 𝟐
𝟏 +
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
𝟏 − 𝟐 + 𝟐
𝟏 − + 𝟏 + 𝟐 + 𝟐
𝟏 +
𝟏 + 𝟏
=
−𝟐 𝟏 − + 𝟐 𝟏 +
𝟐
−𝟐 + 𝟐 𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟐
=
𝟐 𝟐
+ 𝟐 𝟐
𝟐
=
−𝟐 − 𝟐
𝟐
=
−𝟒
𝟐
= −𝟐

13
‫الثانية‬ ‫الطريقة‬
𝟏 − 𝟐
𝟏 +
+
𝟏 + 𝟐
𝟏 −
=
𝟏 − 𝟏 −
𝟏 +
+
𝟏 + 𝟏 +
𝟏 −
(
𝟏 −
𝟏 +
) 𝟏 − + (
𝟏 +
𝟏 −
) 𝟏 + = (
𝟏 −
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
) 𝟏 − + (
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 +
𝟏 +
) 𝟏 +
.
𝟏 − − + 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
/ 𝟏 − + .
𝟏 + + + 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
/ 𝟏 + = (
−𝟐
𝟐
) 𝟏 − + (
𝟐
𝟐
) 𝟏 +
− 𝟏 − + 𝟏 + = − + 𝟐
+ + 𝟐
= 𝟐
+ 𝟐
= −𝟏 − 𝟏 = −𝟐
‫الثالثة‬ ‫الطريقة‬
𝟏 − 𝟐
𝟏 +
+
𝟏 + 𝟐
𝟏 −
=
𝟏 − 𝟐 + 𝟐
𝟏 +
+
𝟏 + 𝟐 + 𝟐
𝟏 −
=
−𝟐
𝟏 +
+
𝟐
𝟏 −
‫أن‬ ‫تستطٌع‬ ‫نا‬ ‫الطالب‬ ‫عزٌزي‬ ‫الحظ‬)‫الممامات‬ ‫(توحٌد‬ ‫المضاعف‬ ‫توجد‬ ‫أو‬ ‫بالمرافك‬ ‫جزء‬ ‫كل‬ ‫تضرب‬
−𝟐 𝟏 − + 𝟐 𝟏 +
𝟏 + 𝟏 −
=
−𝟐 + 𝟐 𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟐 𝟐
+ 𝟐 𝟐
𝟏 + 𝟏
=
−𝟐 − 𝟐
𝟐
=
−𝟒
𝟐
= −𝟐
‫الرابعة‬ ‫الطريقة‬
𝟏 − 𝟐
𝟏 +
+
𝟏 + 𝟐
𝟏 −
= 0
𝟏 − 𝟐
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
1 + 0
𝟏 + 𝟐
𝟏 −
𝟏 +
𝟏 +
1
= 0
𝟏 − 𝟑
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
1 + 0
𝟏 + 𝟑
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
1 = 0
𝟏 − 𝟐
𝟏 −
𝟏 + 𝟏
1 + 0
𝟏 + 𝟐
𝟏 +
𝟏 + 𝟏
1
= 0
𝟏 − 𝟐 + 𝟐
𝟏 −
𝟐
1 + 0
𝟏 + 𝟐 + 𝟐
𝟏 +
𝟐
1 = 0
−𝟐 𝟏 −
𝟐
1 + 0
𝟐 𝟏 +
𝟐
1
= 0
−𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟐
1 + 0
𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟐
1 = [
−𝟐 − 𝟐
𝟐
] + [
−𝟐 + 𝟐
𝟐
] = −𝟏 − − 𝟏 + = −𝟐
𝟏 − 𝟏 − 𝟐
𝟏 − 𝟑
= 𝟒
𝟏 − 𝟏 − 𝟐
𝟏 − 𝟑
= 𝟏 − 𝟏 + 𝟏 [𝟏 − − ]
𝟏 − 𝟐 [𝟏 + ] = 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 𝟐
= 𝟐 − 𝟐 𝟐
= 𝟐 + 𝟐 = 𝟒
‫س‬4/‫ا‬‫ال‬‫ز‬‫ز‬‫ك‬ ‫زل‬‫ز‬‫حل‬‫زداد‬‫ز‬‫األع‬ ‫زن‬‫ز‬‫م‬𝟐𝟗 , 𝟏𝟐𝟓 , 𝟒𝟏 , 𝟖𝟓‫زن‬‫ز‬‫م‬ ‫زاملٌن‬‫ز‬‫ع‬ ‫زرب‬‫ز‬‫ض‬ ‫زل‬‫ز‬‫حاص‬ ‫زى‬‫ز‬‫ال‬
‫الصورة‬+‫حٌث‬,‫نسبٌان‬ ‫عددان‬:
𝟐𝟗 = 𝟐𝟓 + 𝟒 = 𝟐𝟓 − 𝟒 𝟐
= 𝟓 − 𝟐 𝟓 + 𝟐
𝟏𝟐𝟓 = 𝟏𝟐𝟏 + 𝟒 = 𝟏𝟐𝟏 − 𝟒 𝟐
= 𝟏𝟏 − 𝟐 𝟏𝟏 + 𝟐
𝟒𝟏 = 𝟐𝟓 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟓 − 𝟏𝟔 𝟐
= 𝟓 − 𝟒 𝟓 + 𝟒
𝟖𝟓 = 𝟖𝟏 + 𝟒 = 𝟖𝟏 − 𝟒 𝟐
= 𝟗 − 𝟐 𝟗 + 𝟐

14
‫س‬5/‫لٌمة‬ ‫جد‬,‫أن‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬
𝟔
+
,
𝟑+
𝟐−
‫مترافمان‬.
‫نغٌر‬‫إشارة‬ً‫التخٌل‬ ‫للعدد‬ ‫والممام‬ ‫البسط‬
𝟑+
𝟐−
‫المعالة‬ ‫ونحل‬ ‫متساوٌان‬ ‫العددان‬ ‫ٌصبح‬ ً‫لك‬.
𝟔
+
=
𝟑 −
𝟐 +
𝟔 𝟐 + = + 𝟑 − + =
𝟔 𝟐 +
𝟑 −
+ =
𝟔 𝟐 +
𝟑 −
𝟑 +
𝟑 +
=
𝟔 𝟔 + 𝟐 + 𝟑 + 𝟐
𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟔 𝟓 + 𝟓
𝟗 + 𝟏
=
𝟑𝟎 + 𝟑𝟎
𝟏𝟎
+ = 𝟑 + 𝟑 = 𝟑 , = 𝟑
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافية‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/‫الجبرٌة‬ ‫أو‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫أكتب‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬
𝟏 𝟓 + 𝟑 𝟏 + + 𝟐 − 𝟐
𝟓 + 𝟓 + 𝟑 + 𝟑 𝟐
+ 𝟒 − 𝟒 + 𝟐
= 𝟐 + 𝟖 + 𝟑 − 𝟒 = 𝟓 + 𝟒
𝟐 .
𝟑 −
𝟏 + 𝟑
/
𝟗
.
𝟑 −
𝟏 + 𝟑
/
𝟗
= .
𝟑 −
𝟏 + 𝟑
𝟏 − 𝟑
𝟏 − 𝟑
/
𝟗
= (
𝟑 − 𝟑 − + 𝟑 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟑
𝟐
)
𝟗
= (
−𝟒
𝟒
)
𝟗
= − 𝟗
= − 𝟖
= − = 𝟎 −
𝟑 𝟏 − −𝟑
𝟐
+ 𝟐 − −𝟑
𝟐
𝟏 − 𝟑
𝟐
+ 𝟐 − 𝟑
𝟐
= 𝟏 − 𝟐 𝟑 + 𝟑 𝟐
+ 𝟒 − 𝟒 𝟑 + 𝟑 𝟐
−𝟐 − 𝟐 𝟑 + 𝟏 − 𝟒 𝟑 = −𝟏 − 𝟔 𝟑
‫مثال‬/‫مركبٌن‬ ‫عددٌن‬ ‫جد‬‫مترافمٌن‬‫مجموعهما‬𝟔 =‫ضربهما‬ ‫وحاصل‬𝟏𝟎 =
‫أن‬ ‫نفرض‬‫هو‬ ‫العدد‬𝟏 = +‫هو‬ ‫مرافقه‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬𝟐 = −
𝟏 + 𝟐 = 𝟐 𝟔 = 𝟐 = 𝟑
𝟏. 𝟐 = 𝟐
+ 𝟐
𝟏𝟎 = 𝟑 𝟐
+ 𝟐 𝟐
= 𝟏 = 𝟏
∴‫هما‬ ‫العددان‬𝟑 −‫و‬𝟑 +

15
‫مثال‬/‫أكتب‬‫العدد‬𝟑 + 𝟐 −𝟐 +‫الدٌكارتٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫له‬ ً‫الضرب‬ ‫النظٌر‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬.
𝟑 + 𝟐 −𝟐 + = −𝟔 + 𝟑 − 𝟒 + 𝟐 𝟐
= −𝟖 − ‫االجبرية‬ ‫الصيغة‬
𝟏
−𝟖 −
=
𝟏
−𝟖 −
−𝟖 +
−𝟖 +
=
−𝟖 +
−𝟖 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
−𝟖
𝟔𝟓
+
𝟏
𝟔𝟓
= (
−𝟖
𝟔𝟓
,
𝟏
𝟔𝟓
) ‫الديكارتية‬ ‫الصيغة‬
‫مثال‬/‫كان‬ ‫أذا‬= −𝟏 + 𝟐‫المعادلة‬ ‫لٌمة‬ ‫فأوجد‬𝟐
+ 𝟐 + 𝟓
𝟐
+ 𝟐 + 𝟓 = −𝟏 + 𝟐 𝟐
+ 𝟐 −𝟏 + 𝟐 + 𝟓
= 𝟏 − 𝟒 + 𝟒 𝟐
+ −𝟐 + 𝟒 + 𝟓 = −𝟑 − 𝟒 − 𝟐 + 𝟒 + 𝟓 = 𝟎 = 𝟎 + 𝟎
‫مثال‬/‫كان‬ ‫أذا‬ℂ‫و‬̅‫ٌحمك‬ ‫الذي‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫جد‬ ‫له‬ ‫مرافك‬𝟐 + 𝟑=𝟑 + ̅
= + ̅ = −
𝟑 + + − = 𝟐 + 𝟑 𝟑 + 𝟑 + − = 𝟐 + 𝟑
𝟑 + = 𝟑 𝟒 = 𝟑 =
𝟑
𝟒
𝟑 − = 𝟐 𝟐 = 𝟐 = 𝟏
= + =
𝟑
𝟒
+
‫مثال‬/‫كان‬ ‫أذا‬=
𝟏𝟑−
𝟒+
,=
𝟕−
𝟐−
‫أن‬ ‫أثبت‬,‫مترافمان‬‫ثم‬‫ر‬ ‫الممدا‬ ‫أحسب‬𝟐
+ 𝟐 𝟐
.
‫الحقيقية‬ ‫األعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫الى‬ ‫ينتمي‬ ‫والضرب‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫ناتج‬ ‫أن‬ ‫نثبت‬
=
𝟏𝟑 −
𝟒 +
=
𝟏𝟑 −
𝟒 +
𝟒 −
𝟒 −
=
𝟓𝟐 − 𝟏𝟑 − 𝟒 + 𝟐
𝟒 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟓𝟏 − 𝟏𝟕
𝟏𝟕
=
𝟓𝟏
𝟏𝟕
−
𝟏𝟕
𝟏𝟕
= 𝟑 −
=
𝟕 −
𝟐 −
=
𝟕 −
𝟐 −
𝟐 +
𝟐 +
=
𝟏𝟒 + 𝟕 − 𝟐 − 𝟐
𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟏𝟓 + 𝟓
𝟓
= 𝟑 +
𝟑 + + 𝟑 − = 𝟔
𝟑 + 𝟑 − = 𝟑 𝟐
+ 𝟏 𝟐
= 𝟗 + 𝟏 = 𝟏𝟎
, ‫مترافقان‬
𝟐
+ 𝟐
= + = 𝟏𝟎 𝟔 = 𝟔𝟎

16
‫مثال‬/)‫(المرافك‬ ‫المنسب‬ ‫بالعامل‬ ‫الضرب‬ ‫بدون‬ ‫الجبرٌة‬ ‫أو‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫أكتب‬
𝟓
𝟏 − 𝟐
𝟓
𝟏 − 𝟐
=
𝟏 + 𝟒
𝟏 − 𝟐
=
𝟏 − 𝟒 𝟐
𝟏 − 𝟐
=
𝟏 − 𝟐 𝟏 + 𝟐
𝟏 − 𝟐
= 𝟏 + 𝟐
𝟓
𝟐 −
𝟓
𝟐 −
=
𝟒 + 𝟏
𝟐 −
=
𝟒 − 𝟐
𝟐 −
=
𝟐 − 𝟐 +
𝟐 −
= 𝟐 +
𝟏𝟑
𝟐 + 𝟑
𝟏𝟑
𝟐 + 𝟑
=
𝟒 + 𝟗
𝟐 + 𝟑
=
𝟒 − 𝟗 𝟐
𝟐 + 𝟑
=
𝟐 − 𝟑 𝟐 + 𝟑
𝟐 + 𝟑
= 𝟐 − 𝟑
𝟏𝟑
𝟑 + 𝟐
𝟏𝟑
𝟑 + 𝟐
=
𝟗 + 𝟒
𝟑 + 𝟐
=
𝟗 − 𝟒 𝟐
𝟑 + 𝟐
=
𝟑 − 𝟐 𝟑 + 𝟐
𝟑 + 𝟐
= 𝟑 − 𝟐
𝟏𝟎
𝟏 + 𝟐
𝟏𝟎
𝟏 + 𝟐
=
𝟐 𝟓
𝟏 + 𝟐
=
𝟐 𝟏 + 𝟒
𝟏 + 𝟐
=
𝟐 𝟏 − 𝟒 𝟐
𝟏 + 𝟐
=
𝟐 𝟏 − 𝟐 𝟏 + 𝟐
𝟏 + 𝟐
= 𝟐 𝟏 − 𝟐
𝟏𝟎
𝟏 + 𝟐
= 𝟐 − 𝟒
𝟏𝟎
𝟐 +
𝟏𝟎
𝟐 +
=
𝟐 𝟓
𝟐 +
=
𝟐 𝟒 + 𝟏
𝟐 +
=
𝟐 𝟒 − 𝟐
𝟐 +
=
𝟐 𝟐 − 𝟐 +
𝟐 +
= 𝟐 𝟐 − = 𝟒 − 𝟐
‫مثال‬/‫مركبٌن‬ ‫لعددٌن‬ ‫عاملٌن‬ ‫الى‬ ‫حلل‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬
𝟏 𝟐
+ 𝟒 𝟐
+ 𝟒 = 𝟐
− 𝟒 𝟐
= − 𝟐 + 𝟐
𝟐 𝟐
+ 𝟐𝟓 𝟐 𝟐
+ 𝟐𝟓 𝟐
= 𝟐
− 𝟐𝟓 𝟐 𝟐
= − 𝟓 + 𝟓
𝟑 𝟑
− 𝟔𝟒 𝟑
− 𝟔𝟒 = 𝟑
+ 𝟔𝟒 𝟑
= + 𝟒 𝟐
− 𝟒 − 𝟏𝟔
𝟒 𝟑
+
𝟏
𝟐𝟕
𝟑
+
𝟏
𝟐𝟕
= 𝟑
−
𝟏
𝟐𝟕
𝟑
= ( −
𝟏
𝟑
) ( 𝟐
+
𝟏
𝟑
+
𝟏
𝟗
𝟐
)
𝟑
+
𝟏
𝟐𝟕
= ( −
𝟏
𝟑
) ( 𝟐
+
𝟏
𝟑
−
𝟏
𝟗
)
𝟓 𝟐
− + 𝟏𝟐 𝟐
− + 𝟏𝟐 = 𝟐
− − 𝟏𝟐 𝟐
= − 𝟒 + 𝟑
𝟔 𝟐
+ 𝟕 − 𝟏𝟎 𝟐
+ 𝟕 + 𝟏𝟎 𝟐
= + 𝟓 + 𝟐
𝟕 − 𝟐 𝟐
+ 𝟒 − 𝟐 𝟐
+ 𝟒 = − 𝟐 𝟐
− 𝟒 𝟐
= − 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 + 𝟐

17
‫مثال‬/‫لٌمة‬ ‫أوجد‬,‫المعادلة‬ ‫تحمك‬ ً‫والت‬ ‫الحمٌمٌتٌن‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬
𝟑 + 𝟐 𝟐
= + 𝟑 𝟐
𝟗 + 𝟏𝟐 + 𝟒 𝟐
= 𝟐
+ 𝟔 + 𝟗 𝟐
𝟗 + 𝟏𝟐 − 𝟒 = 𝟐
+ 𝟔 − 𝟗
𝟗 − 𝟒 = 𝟐
− 𝟗 𝟓 = 𝟐
− 𝟗 =
𝟐
− 𝟗
𝟓
‫معادلة‬
𝟏𝟐 = 𝟔 𝟐 = ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
=
𝟐
− 𝟗
𝟓
=
𝟐 𝟐
− 𝟗
𝟓
=
𝟒 𝟐
− 𝟗
𝟓
𝟓 = 𝟒 𝟐
− 𝟗 𝟒 𝟐
− 𝟓 − 𝟗 = 𝟎
𝟒 𝟐
− 𝟓 − 𝟗 = 𝟎 𝟒 − 𝟗 + 𝟏 = 𝟎
𝟒 − 𝟗 = 𝟎 𝟒 = 𝟗 =
𝟗
𝟒
= 𝟐 = 𝟐 (
𝟗
𝟒
) =
𝟗
𝟐
+ 𝟏 = 𝟎 = −𝟏 = 𝟐 = 𝟐 −𝟏 = −𝟐
+ 𝟓 = 𝟐 + +
+ 𝟓 = 𝟐 + + + 𝟓 = 𝟐 𝟐
+ 𝟐 + + 𝟐
+ 𝟓 = 𝟐 𝟐
+ 𝟑 − 𝟏
= 𝟐 𝟐
− 𝟏 ‫معادلة‬
𝟓 = 𝟑 =
𝟓
𝟑
‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
= 𝟐 (
𝟓
𝟑
)
𝟐
− 𝟏 = 𝟐 (
𝟐𝟓
𝟗
) − 𝟏 =
𝟓𝟎
𝟗
− 𝟏 =
𝟓𝟎 − 𝟗
𝟗
=
𝟒𝟏
𝟗
+ 𝟐 − = 𝟖 +
+ =
𝟖 +
𝟐 −
=
𝟖 +
𝟐 −
𝟐 +
𝟐 +
=
𝟏𝟔 + 𝟖 + 𝟐 + 𝟐
𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟏𝟓 + 𝟏𝟎
𝟓
= 𝟑 + 𝟐
+ = 𝟑 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟐
+ + = 𝟏
+ =
𝟏
+
=
𝟏
+
−
−
=
−
𝟐 + 𝟐
+ =
−
𝟐 + 𝟐
= 𝟐 + 𝟐
=
−
𝟐 + 𝟐

18
+ + − = 𝟏𝟑 −
𝟐
+ + 𝟐
− = 𝟏𝟑 − 𝟐
+ 𝟐
+ − = 𝟏𝟑 −
𝟐
+ 𝟐
= 𝟏𝟑 ‫معادلة‬
− = −𝟏 = + 𝟏 ‫معادلة‬ ① ‫معادلة‬②‫في‬ ‫نعوض‬
𝟐
+ + 𝟏 𝟐
= 𝟏𝟑 𝟐
+ 𝟐
+ 𝟐 + 𝟏 = 𝟏𝟑
𝟐 𝟐
+ 𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝟎
(𝟐 ‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫نقسم‬ )
⇒ 𝟐
+ − 𝟔 = + 𝟑 − 𝟐 = 𝟎
+ 𝟑 = 𝟎 = −𝟑 = + 𝟏 = −𝟑 + 𝟏 = −𝟐
− 𝟐 = 𝟎 = 𝟐 = + 𝟏 = 𝟐 + 𝟏 = 𝟑
𝟐 + − + =
𝟗 𝟐
+ 𝟒𝟗
𝟑 + 𝟕
−𝟐 + 𝟐 − 𝟐
+ 𝟐
=
𝟗 𝟐
− 𝟒𝟗 𝟐
𝟑 + 𝟕
−𝟑 + 𝟐 − 𝟐
=
𝟑 − 𝟕 𝟑 + 𝟕
𝟑 + 𝟕
−𝟑 + 𝟐 − 𝟐
= 𝟑 − 𝟕
−𝟑 = 𝟑 − = ‫معادلة‬
𝟐 − 𝟐
= −𝟕 𝟐 + 𝟕 = 𝟐 𝟐
= 𝟗 = 𝟑 ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
= − = − 𝟑 = 𝟑
‫س‬1/‫حلل‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬‫مركبٌن‬ ‫لعددٌن‬ ‫عاملٌن‬ ‫الى‬:
𝟒 𝟑
+
𝟏
𝟏𝟐𝟓
𝟏 𝟐
+ 𝟗
𝟓 𝟐
− + 𝟔𝟐 𝟐
+ 𝟏𝟔 𝟐
𝟔 𝟐
+ 𝟕 − 𝟏𝟐𝟑 𝟑
− 𝟖
𝟖 𝟑
− 𝟐 𝟐
+ 𝟗𝟕 − 𝟏 𝟐
+ 𝟒

19
‫س‬2/‫لٌمة‬ ‫أوجد‬,‫المعادلة‬ ‫تحمك‬ ً‫والت‬ ‫الحمٌمٌتٌن‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬
+ 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟒
+ 𝟐
𝟏 + 𝟑
= 𝟏
+ −𝟏
=
𝟏 + 𝟑
𝟏 − 𝟑
𝟏
𝟏 +
=
+ 𝟐
𝟏 + 𝟑
+ = 𝟓 + 𝟐 −𝟐
‫س‬3/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ً‫ٌل‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ضع‬:
𝟓 + 𝟐 −𝟐
𝟑 + 𝟒 −𝟏
𝟏 + 𝟐 −𝟐
𝟑 + 𝟒 𝟐
******************************************************************
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬
‫كان‬ ‫أذا‬𝟐
=‫فأن‬=‫د‬ ‫للعد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ً ‫و‬‫كانت‬ ‫أذا‬ ‫أما‬𝟐
= 𝟒‫فأن‬= 𝟐‫زو‬
‫التالٌة‬ ‫األمثلة‬ ‫الحظ‬ ‫طرٌمتان‬ ‫توجد‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫وألٌجاد‬ ‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫احد‬.
( ‫مثال‬14)/‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬= 𝟖 + 𝟔
‫الطرٌمة‬①/‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬(c)‫و‬+
+ 𝟐
= 𝟖 + 𝟔 𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
= 𝟖 + 𝟔 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = 𝟖 + 𝟔
𝟐
− 𝟐
= 𝟖 ‫معادلة‬①
𝟐 = 𝟔 = 𝟑 =
𝟑
‫معادلة‬② ① ‫معادلة‬②‫في‬ ‫نعوض‬
𝟐
−
𝟗
𝟐
= 𝟖
( 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟒
− 𝟗 = 𝟖 𝟐 𝟒
− 𝟖 𝟐
− 𝟗 = 𝟎 𝟐
− 𝟗 𝟐
+ 𝟏 = 𝟎
𝟐
= 𝟗 = 𝟑 ‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوض‬
=
𝟑
=
𝟑
𝟑
= 𝟏
𝟐
+ 𝟏 = 𝟎 𝟐
= −𝟏 ‫يهمل‬
𝟑 + , − 𝟑 − ‫هما‬ ‫الجذران‬
‫الطرٌمة‬②/‫نجزئ‬‫عدد‬ ‫الى‬ ً‫الحمٌم‬ ‫الجزء‬‫ٌن‬
𝟖 + 𝟔 = 𝟗 + 𝟔 − 𝟏 = 𝟗 + 𝟔 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟐
‫بالجذر‬
⇒ = 𝟑 +
𝟑 + , − 𝟑 − ‫هما‬ ‫الجذران‬

20
‫مالحظة‬
‫لعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫أٌجاد‬ ‫عند‬‫مركب‬‫على‬ ‫ٌحتوي‬‫زو‬ ‫الجزذر‬ ‫نفرض‬+‫كمزا‬ ‫الحزل‬ ‫ونكمزل‬ ‫نربعزه‬ ‫ثزم‬
ً‫التال‬ ‫المثال‬ ً‫ف‬.
( ‫مثال‬51)/‫لؤلعداد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬:𝟖 , − , −𝟏𝟕, −𝟐𝟓
𝟖
‫الطرٌمة‬①/‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬𝟖‫و‬+
𝟖 = + 𝟐
𝟖 = 𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟖 = 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐
𝟐
− 𝟐
= 𝟎 ‫معادلة‬①
𝟐 = 𝟖 = 𝟒 =
𝟒
𝟐
−
𝟏𝟔
𝟐
= 𝟎
( 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟒
− 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐
− 𝟒 𝟐
+ 𝟒 = 𝟎
𝟐
− 𝟒 = 𝟎 𝟐
= 𝟒 = 𝟐 ② ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضها‬
=
𝟒
=
𝟒
𝟐
= 𝟐
𝟐
+ 𝟒 = 𝟎 𝟐
= −𝟒 ‫تهمل‬
𝟐 + 𝟐 , −𝟐 − 𝟐 ‫هما‬ ‫الجذران‬
‫الطريقة‬②/
𝟖 = 𝟒 + 𝟖 − 𝟒 = 𝟒 + 𝟖 + 𝟒 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟐
‫بالجذر‬
⇒ 𝟐 + 𝟐
𝟐 + 𝟐 , −𝟐 − 𝟐 ‫هما‬ ‫الجذران‬
−
‫الطرٌمة‬①/‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬−‫و‬+
− = + 𝟐
− = 𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
− = 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐
𝟐
− 𝟐
𝟐 = −𝟏 =
−𝟏
𝟐
=
−𝟏
𝟐
𝟐
−
𝟏
𝟒 𝟐
= 𝟎
(𝟒 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟒 𝟒
− 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐
− 𝟏 𝟐 𝟐
+ 𝟏 = 𝟎
𝟐 𝟐
− 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐
= 𝟏 𝟐
=
𝟏
𝟐
=
𝟏
𝟐
② ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضها‬
=
−𝟏
𝟐
=
−𝟏
𝟐 (
𝟏
𝟐
)
=
−𝟏
𝟐 𝟐 (
𝟏
𝟐
)
=
𝟏
𝟐

21
𝟐 𝟐
+ 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐
= −𝟏 𝟐
=
−𝟏
𝟐
‫تهمل‬
−𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
,
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
‫هما‬ ‫الجذران‬
‫الطريقة‬②/
− = √
𝟏
𝟐
− −
𝟏
𝟐
= √
𝟏
𝟐
− +
𝟏
𝟐
𝟐
= √(
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
)
𝟐
= (
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
)
−𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
,
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
− 𝟏𝟕
𝟐
= −𝟏𝟕 = −𝟏𝟕 = 𝟏𝟕 −𝟏 = 𝟏𝟕 𝟐 = 𝟏𝟕
− 𝟐𝟓
𝟐
= −𝟐𝟓 = −𝟐𝟓 = 𝟐𝟓 −𝟏 = 𝟐𝟓 𝟐 = 𝟓
ً‫ف‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ℂ
‫ال‬ ‫تربٌعٌة‬ ‫معادلة‬ ‫كل‬ٌ‫م‬‫الدستور‬ ‫بطرٌمة‬ ‫تحل‬ ً‫فه‬ ‫التجربة‬ ‫بطرٌمة‬ ‫حلها‬ ‫كن‬‫ا‬‫ال‬‫مث‬𝟐
+ + = 𝟎
‫حٌث‬𝟎‫و‬, ,‫فزأن‬=
− 𝟐−𝟒
𝟐
‫ونالح‬‫ـزـ‬‫أن‬ ‫ظ‬‫ــــزـ‬‫مم‬ ‫كزان‬ ‫أذا‬ ‫ه‬‫ــزـ‬ٌ‫المم‬ ‫دار‬‫ـزـ‬‫ز‬
𝟐
− 𝟒‫ا‬‫ا‬‫سالب‬‫المركبزة‬ ‫األعزداد‬ ‫مجموعزة‬ ‫الزى‬ ً‫تنتمز‬ ‫بالمعادلزة‬ ‫الخاصة‬ ‫الحلول‬ ‫مجموعة‬ ‫فأن‬‫نوعزان‬ ‫وٌوجزد‬
‫التربٌعٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬ ‫من‬.
‫الممٌز‬ / ‫األول‬ ‫النوع‬‫ٌحتو‬ ‫ال‬‫ي‬‫على‬
( ‫مثال‬16)/‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐
+ 𝟒 + 𝟓 = 𝟎‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫مجموعة‬ ً‫ف‬.
‫فأن‬ ‫الدستور‬ ‫قانون‬ ‫حسب‬= , = 4 , = 5
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
−𝟒 𝟏𝟔 − 𝟒 𝟏 𝟓
𝟐 𝟏
=
−𝟒 𝟏𝟔 − 𝟐𝟎
𝟐
=
−𝟒 −𝟒
𝟐
=
−𝟒 𝟒 −𝟏
𝟐
=
−𝟒 𝟒 𝟐
𝟐
=
−𝟒 𝟐
𝟐
= −𝟐
{−𝟐 + , −𝟐 − } ‫هي‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬

22
‫مالحظة‬
‫أن‬ ‫نعلم‬ ‫الدستور‬ ‫لانون‬ ‫من‬‫جذري‬‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬𝟐
+ + = 𝟎ً‫الت‬ً ‫الحمٌمٌة‬ ‫معامالتها‬
𝟏 =
− + 𝟐 − 𝟒
𝟐
, 𝟐 =
− − 𝟐 − 𝟒
𝟐
𝟏 + 𝟐 =
− + 𝟐 − 𝟒
𝟐
+
− − 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
− + 𝟐 − 𝟒 − − 𝟐 − 𝟒
𝟐
𝟏 + 𝟐 =
−𝟐
𝟐 𝟏 + 𝟐 =
−
(‫الجذرين‬ ‫)مجموع‬
𝟏. 𝟐 =
− + 𝟐 − 𝟒
𝟐
− − 𝟐 − 𝟒
𝟐
𝟏. 𝟐 =
𝟐
+ 𝟐 − 𝟒 − 𝟐 − 𝟒 − 𝟐 − 𝟒
𝟐
𝟒 𝟐
=
𝟐
− 𝟐
+ 𝟒
𝟒 𝟐
=
𝟒
𝟒 𝟐
=
𝟏. 𝟐 = (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ )
‫وٌمكن‬‫االستفادة‬ً‫ٌل‬ ‫وكما‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫أٌجاد‬ ً‫ف‬ ‫أعاله‬ ‫الخاصٌة‬ ‫من‬:
𝟐
− (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎 𝟐
− + = 𝟎
( ‫مثال‬71)/‫ال‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫جد‬ً‫ت‬‫ا‬ ‫جذرا‬𝟐 + 𝟐
−𝟐 − 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 = −𝟐 + 𝟐 + −𝟐 + 𝟐 = 𝟎 + 𝟎 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
−𝟐 − 𝟐 . 𝟐 + 𝟐 = −𝟒 − 𝟒 − 𝟒 − 𝟒 𝟐
= −𝟒 − 𝟖 + 𝟒 = −𝟖 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
− (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎
𝟐
− 𝟎 + −𝟖 = 𝟎 𝟐
− 𝟖 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
‫مالحظة‬
ً‫ز‬‫ز‬‫الت‬ ‫زة‬‫ز‬ٌ‫التربٌع‬ ‫زة‬‫ز‬‫المعادل‬ً‫ز‬‫ز‬‫والت‬ ‫زة‬‫ز‬ٌ‫حمٌم‬ ‫زا‬‫ز‬‫معامالته‬‫زذرا‬‫ز‬‫ج‬ ‫زد‬‫ز‬‫أح‬‫ا‬+‫زث‬‫ز‬ٌ‫ح‬𝟎‫زو‬‫ز‬ ‫زر‬‫ز‬‫األخ‬ ‫زذر‬‫ز‬‫الج‬ ‫زأن‬‫ز‬‫ف‬
−. ‫صحٌح‬ ‫والعكس‬
( ‫مثال‬81)/ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬‫وأحد‬ ‫حمٌمٌة‬ ‫معامالتها‬‫جذر‬ٌ‫ها‬𝟑 − 𝟒
∵‫و‬ ‫حقيقية‬ ‫المعادلة‬ ‫معامالت‬‫هو‬ ‫الجذرين‬ ‫أحد‬𝟑 − 𝟒
∴‫ويساوي‬ ‫المرافق‬ ‫هو‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬𝟑 + 𝟒
𝟑 − 𝟒 + 𝟑 + 𝟒 = 𝟑 + 𝟑 + −𝟒 + 𝟒 = 𝟔 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
𝟑 − 𝟒 . 𝟑 + 𝟒 = 𝟗 + 𝟏𝟐 − 𝟏𝟐 − 𝟏𝟔 𝟐
= 𝟗 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟓 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
𝟐
− 𝟔 + 𝟐𝟓 = 𝟎 𝟐
− 𝟔 + 𝟐𝟓 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬

23
− 2 ‫تمارين‬
‫س‬1/‫؟‬ ‫مترافمان‬ ‫ا‬ ‫جذرا‬ ‫ٌكون‬ ‫منها‬ ‫أي‬ ‫وبٌن‬ ‫األتٌة‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
𝟐
= −𝟏𝟐
𝟐
= 𝟏𝟐 𝟐
= 𝟏𝟐 𝟐 = 𝟐 𝟑 (‫مترافقان‬ ‫جذراها‬ )
𝟐
− 𝟑 + 𝟑 + = 𝟎
= 𝟏 = −𝟑 = 𝟑 + ‫بالدستور‬ ‫تحل‬
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
− −𝟑 𝟗 − 𝟒 𝟏 𝟑 +
𝟐 𝟏
=
𝟑 𝟗 − 𝟏𝟐 − 𝟒
𝟐
=
𝟑 −𝟑 − 𝟒
𝟐
‫الجذر‬ ‫ممدار‬ ‫نحسب‬ ‫األن‬−𝟑 − 𝟒‫نعوضه‬ ‫ثم‬‫المعادلة‬ ً‫ف‬①
+ = −𝟑 − 𝟒
‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
⇒ + 𝟐
= −𝟑 − 𝟒 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = −𝟑 − 𝟒
𝟐
− 𝟐
= −𝟑 ‫معادلة‬②
𝟐 = −𝟒 =
−𝟒
𝟐
=
−𝟐
‫معادلة‬③ ‫في‬ ‫معادلة‬③ ‫نعوض‬
𝟐
− (
−𝟐
)
𝟐
= −𝟑 𝟐
−
𝟒
𝟐
= −𝟑 ( 𝟐
‫)نضرب‬
𝟒
− 𝟒 = −𝟑 𝟐 𝟒
+ 𝟑 𝟐
− 𝟒 = 𝟎 𝟐
+ 𝟒 𝟐
− 𝟏 = 𝟎
𝟐
+ 𝟒 = 𝟎 𝟐
= −𝟒 (‫)يهمل‬
𝟐
− 𝟏 = 𝟎 𝟐
= 𝟏 = 𝟏 ‫معادلة‬③ ‫في‬ ‫نعوض‬
=
−𝟐
=
−𝟐
𝟏
= 𝟐
𝟏 − 𝟐 , −𝟏 + 𝟐 ‫هما‬ ‫الجذران‬‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬①
=
𝟑 − 𝟏 + 𝟐
𝟐
=
𝟐 + 𝟐
𝟐
= 𝟏 +
=
𝟑 + 𝟏 − 𝟐
𝟐
=
𝟒 − 𝟐
𝟐
= 𝟐 −
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{𝟏 + , 𝟐 − }‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫والجذران‬

24
𝟐 𝟐
− 𝟓 + 𝟏𝟑 = 𝟎
= 𝟐 = −𝟓 = 𝟏𝟑 ‫بالدستور‬ ‫تحل‬
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
− −𝟓 𝟐𝟓 − 𝟒 𝟐 𝟏𝟑
𝟐 𝟐
=
𝟓 𝟐𝟓 − 𝟏𝟎𝟒
𝟒
=
𝟓 −𝟕𝟗
𝟒
=
𝟓 𝟕𝟗 𝟐
𝟒
=
𝟓 𝟕𝟗
𝟒
=
𝟓
𝟒
𝟕𝟗
𝟒
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬,
𝟓
𝟒
+
𝟕𝟗
𝟒
,
𝟓
𝟒
−
𝟕𝟗
𝟒
-‫مترافقان‬ ‫والجذران‬
𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 − = 𝟎
= 𝟏 = 𝟐 = 𝟐 − = 𝟐 − 𝟐
= 𝟏 + 𝟐 ‫بالدستور‬ ‫تحل‬
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
−𝟐 𝟒 − 𝟒 𝟏 𝟏 + 𝟐
𝟐 𝟏
=
−𝟐 𝟒 − 𝟒 − 𝟖
𝟐
=
−𝟐 −𝟖
𝟐
‫الجذر‬ ‫مقدار‬ ‫نحسب‬ ‫األن‬−𝟖‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضه‬ ‫ثم‬①
+ = −𝟖
⇒ + 𝟐
= −𝟖 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = 𝟎 − 𝟖
𝟐
− 𝟐
= 𝟎 ‫معادلة‬②
𝟐 = −𝟖 =
−𝟖
𝟐
=
−𝟒
‫معادلة‬③ ‫في‬ ‫معادلة‬③ ‫نعوض‬
(
−𝟒
)
𝟐
− 𝟐
= 𝟎
𝟏𝟔
𝟐
− 𝟐
= 𝟎 (− 𝟐
‫)نضرب‬
𝟒
− 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐
− 𝟒 𝟐
+ 𝟒 = 𝟎
𝟐
− 𝟒 = 𝟎 𝟐
= 𝟒 = 𝟐 ‫معادلة‬③ ‫في‬ ‫نعوض‬
=
−𝟒
=
−𝟒
𝟐
= 𝟐
𝟐 − 𝟐 , −𝟐 + 𝟐 ‫هما‬ ‫الجذران‬‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬①
=
−𝟐 + 𝟐 − 𝟐
𝟐
=
−𝟐
𝟐
= −
=
−𝟐 − 𝟐 + 𝟐
𝟐
=
−𝟒 + 𝟐
𝟐
= −𝟐 +
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{− , − 𝟐 + }‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫والجذران‬

25
‫الفرع‬ ‫حل‬ ‫ٌمكن‬(d)‫بطرٌمة‬ ‫السابك‬‫لانون‬ ‫بواسطة‬ ‫أخرى‬‫الحل‬ ‫الحظ‬ ‫التجربة‬
𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 − = 𝟎
+ + 𝟐 − = 𝟎
= − = −𝟐 +
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{− , − 𝟐 + }‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫والجذران‬
𝟒 𝟐
+ 𝟐𝟓 = 𝟎
𝟒 𝟐
= −𝟐𝟓 𝟐
=
−𝟐𝟓
𝟒
𝟐
=
𝟐𝟓 𝟐
𝟒
= √
𝟐𝟓 𝟐
𝟒
=
𝟓
𝟐
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬,−
𝟓
𝟐
,
𝟓
𝟐
-‫مترافقان‬ ‫والجذران‬
𝟐
− 𝟐 + 𝟑 = 𝟎
𝟐
− 𝟐 − 𝟑 𝟐
= 𝟎 − 𝟑 + = 𝟎
− 𝟑 = 𝟎 = 𝟑 + = 𝟎 = −
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{− , 𝟑 }‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫والجذران‬
𝟐
− 𝟐 + 𝟑 = 𝟎 (‫أخر‬ ‫حل‬ )
= 𝟏 = −𝟐 = 𝟑 ‫بالدستور‬ ‫تحل‬
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
− −𝟐 −𝟒 − 𝟒 𝟏 𝟑
𝟐 𝟏
=
𝟐 −𝟏𝟔
𝟐
=
𝟐 𝟒
𝟐
= 𝟐
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{− , 𝟑 }‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫والجذران‬
‫س‬2/‫كون‬‫ا‬ ‫جذرا‬ ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬,: ‫حٌث‬
= 𝟏 + 𝟐 = 𝟏 −
𝟏 + 𝟐 + 𝟏 − = 𝟏 + 𝟏 + 𝟐 − 𝟏 = 𝟐 + ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
𝟏 + 𝟐 . 𝟏 − = 𝟏 − + 𝟐 − 𝟐 𝟐
= 𝟑 + ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
𝟐
− 𝟐 + + 𝟑 + = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬

26
=
𝟑 −
𝟏 +
= 𝟑 − 𝟐 𝟐
=
𝟑 −
𝟏 +
=
𝟑 −
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
=
𝟑 − 𝟑 − + 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟐 − 𝟒
𝟐
= 𝟏 − 𝟐
= 𝟑 − 𝟐 𝟐
= 𝟗 − 𝟏𝟐 + 𝟒 𝟐
= 𝟓 − 𝟏𝟐 = 𝟓 − 𝟏𝟐
𝟏 − 𝟐 + 𝟓 − 𝟏𝟐 = 𝟏 + 𝟓 + −𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝟔 − 𝟏𝟒 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
𝟏 − 𝟐 . 𝟓 − 𝟏𝟐 = 𝟓 − 𝟏𝟐 − 𝟏𝟎 + 𝟐𝟒 𝟐
= −𝟏𝟗 − 𝟐𝟐 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
𝟐
− 𝟔 − 𝟏𝟒 + −𝟏𝟗 − 𝟐𝟐 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
‫س‬3/‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬‫لؤلعداد‬‫األتٌة‬ ‫المركبة‬:
− 𝟔
+ = 𝟔
⇒ + 𝟐
= −𝟔 𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
= −𝟔
𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = −𝟔
𝟐
− 𝟐
𝟐 = −𝟔 =
−𝟔
𝟐
=
−𝟑
‫معادلة‬② ① ‫في‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬
𝟐
− (
−𝟑
)
𝟐
= 𝟎 𝟐
−
𝟗
𝟐
= 𝟎
( 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟒
− 𝟗 = 𝟎
𝟒
− 𝟗 = 𝟎 𝟐
− 𝟑 𝟐
+ 𝟑 = 𝟎
𝟐
− 𝟑 = 𝟎 𝟐
= 𝟑 = 𝟑 ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬
=
−𝟑
=
−𝟑
𝟑
= 𝟑
𝟐
+ 𝟑 = 𝟎 𝟐
= −𝟑 (‫تهمل‬ )
− 𝟑 + 𝟑 , 𝟑 − 𝟑 ‫هما‬ ‫الجذران‬

27
𝟕 + 𝟐𝟒
+ = 𝟕 + 𝟐𝟒
⇒ + 𝟐
= 𝟕 + 𝟐𝟒
𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
= 𝟕 + 𝟐𝟒 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = 𝟕 + 𝟐𝟒
𝟐
− 𝟐
= 𝟕 ‫معادلة‬①
𝟐 = 𝟐𝟒 =
𝟐𝟒
𝟐
=
𝟏𝟐
‫معادلة‬② ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
𝟐
− (
𝟏𝟐
)
𝟐
= 𝟕 𝟐
−
𝟏𝟒𝟒
𝟐
= 𝟕
( 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟒
− 𝟏𝟒𝟒 = 𝟕 𝟐
𝟒
− 𝟕 𝟐
− 𝟏𝟒𝟒 = 𝟎 𝟐
− 𝟏𝟔 𝟐
+ 𝟗 = 𝟎
𝟐
− 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐
= 𝟏𝟔 = 𝟒 ‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوض‬
=
𝟏𝟐
=
𝟏𝟐
𝟒
= 𝟑
𝟐
+ 𝟗 = 𝟎 𝟐
= −𝟗 (‫تهمل‬ )
𝟒 + 𝟑 , −𝟒 − 𝟑 ‫هما‬ ‫الجذران‬
𝟒
𝟏 − 𝟑
‫الصٌغة‬ ‫الى‬ ‫تحوٌلة‬ ‫ٌجب‬+‫الممام‬ ‫بمرافك‬ ‫الضرب‬ ‫طرٌك‬ ‫عن‬
𝟒
𝟏 − 𝟑
=
𝟒
𝟏 − 𝟑
𝟏 + 𝟑
𝟏 + 𝟑
=
𝟒 𝟏 + 𝟑
𝟏 𝟐 + 𝟑
𝟐
=
𝟒 𝟏 + 𝟑
𝟏 + 𝟑
=
𝟒 𝟏 + 𝟑
𝟒
= 𝟏 + 𝟑
‫الطرٌمة‬①/
+ = √ 𝟏 + 𝟑
⇒ + 𝟐
= 𝟏 + 𝟑
𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
= 𝟏 + 𝟑 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = 𝟏 + 𝟑
𝟐
− 𝟐
= 𝟏 ‫معادلة‬①
𝟐 = 𝟑 =
𝟑
𝟐
.
𝟑
𝟐
/
𝟐
− 𝟐
= 𝟏
𝟑
𝟒 𝟐
− 𝟐
= 𝟏
( 𝟒 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟑 − 𝟒 𝟒
= 𝟒 𝟐
𝟒 𝟒
+ 𝟒 𝟐
− 𝟑 = 𝟎 𝟐 𝟐
+ 𝟑 𝟐 𝟐
− 𝟏 = 𝟎
𝟐 𝟐
− 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐
= 𝟏 𝟐
=
𝟏
𝟐
=
𝟏
𝟐
‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوض‬
=
𝟑
𝟐
=
𝟑
𝟐 (
𝟏
𝟐
)
=
𝟑
𝟐 𝟐 (
𝟏
𝟐
)
=
𝟑
𝟐
𝟐 𝟐
+ 𝟑 = 𝟎 𝟐 𝟐
= −𝟑 (‫تهمل‬ )
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
, −
𝟑
𝟐
−
𝟏
𝟐

28
‫الطرٌمة‬②/
√ 𝟏 + 𝟑 = √
𝟑
𝟐
+ 𝟑 −
𝟏
𝟐
= √
𝟑
𝟐
+ 𝟑 +
𝟏
𝟐
𝟐
= √.
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
/
𝟐
= .
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
/
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
, −
𝟑
𝟐
−
𝟏
𝟐
‫س‬4/‫ذات‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬‫و‬ ‫جذرٌها‬ ‫وأحد‬ ‫الحمٌمٌة‬ ‫المعامالت‬:
‫و‬ ‫و‬ ‫المرافك‬ ‫و‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬ ‫فان‬ ‫لذا‬ ‫حمٌمٌة‬ ‫أعداد‬ ‫المعامالت‬−
+ − = 𝟎 + 𝟎 + 𝟏 − 𝟏 = 𝟎 + 𝟎 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
. − = − 𝟐
= − −𝟏 = 𝟏 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
𝟐
− 𝟎 + 𝟏 = 𝟎 𝟐
+ 𝟏 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
𝟓 −
‫و‬ ‫و‬ ‫المرافك‬ ‫و‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬ ‫فان‬ ‫لذا‬ ‫حمٌمٌة‬ ‫أعداد‬ ‫المعامالت‬𝟓 +
𝟓 − + 𝟓 + = 𝟓 + 𝟓 + −𝟏 + 𝟏 = 𝟏𝟎 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
𝟓 − . 𝟓 + = 𝟐𝟓 − 𝟓 + 𝟓 − 𝟐
= 𝟐𝟓 + 𝟏 = 𝟐𝟔 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
𝟐
− 𝟏𝟎 + 𝟐𝟔 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
𝟐 + 𝟑
𝟒
‫و‬ ‫و‬ ‫المرافك‬ ‫و‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬ ‫فان‬ ‫لذا‬ ‫حمٌمٌة‬ ‫أعداد‬ ‫المعامالت‬(
𝟐
𝟒
−
𝟑
𝟒
)
.
𝟐
𝟒
+
𝟑
𝟒
/ + .
𝟐
𝟒
−
𝟑
𝟒
/ = .
𝟐
𝟒
+
𝟐
𝟒
/ + (
𝟑
𝟒
−
𝟑
𝟒
) =
𝟐 𝟐
𝟒
=
𝟐
𝟐
‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
.
𝟐
𝟒
+
𝟑
𝟒
/ . .
𝟐
𝟒
−
𝟑
𝟒
/ = .
𝟐
𝟒
/
𝟐
+ (
𝟑
𝟒
)
𝟐
=
𝟐
𝟏𝟔
+
𝟗
𝟏𝟔
=
𝟏𝟏
𝟏𝟔
‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
𝟐
− .
𝟐
𝟐
/ + (
𝟏𝟏
𝟏𝟔
) = 𝟎 𝟐
−
𝟏
𝟐
+
𝟏𝟏
𝟏𝟔
= 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬

29
‫س‬5/‫كان‬ ‫أذا‬𝟑 +‫ج‬ ‫أحزد‬ ‫و‬‫ــــزـ‬‫المعادلزة‬ ‫ذري‬𝟐
− + 𝟓 + 𝟓 = 𝟎‫لٌمزة‬ ‫فمزا‬‫ومزا‬ ‫؟‬
‫األخر؟‬ ‫الجذر‬ ‫لٌمة‬‫وزاري‬2011/‫د‬1
‫و‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬
𝟑 + + = ‫معادلة‬① (‫الجذرين‬ ‫)مجموع‬
𝟑 + . = 𝟓 + 𝟓 (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ )
=
𝟓 + 𝟓
𝟑 +
=
𝟓 + 𝟓
𝟑 +
𝟑 −
𝟑 −
=
𝟏𝟓 − 𝟓 + 𝟏𝟓 − 𝟓 𝟐
𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟐𝟎 + 𝟏𝟎
𝟏𝟎
= 𝟐 + (‫األخر‬ ‫)الجذر‬
= 𝟐 + ( ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫)نعوض‬
𝟑 + + = 𝟑 + + 𝟐 + = = 𝟓 + 𝟐
******************************************************************
‫مثال‬/‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫أوجد‬‫المركب‬−𝟓𝟓 − 𝟒𝟖‫أس‬ ‫ثم‬‫ــــ‬‫التربٌعٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫الحل‬ ‫أٌجاد‬ ً‫ف‬ ‫الناته‬ ‫تخدم‬
‫التالٌة‬𝟐
+ 𝟏 + 𝟐 + 𝟏𝟑 𝟏 + = 𝟎
‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬−𝟓𝟓 − 𝟒𝟖‫و‬+
+ = −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖
⇒ + 𝟐
= −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖
𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
= −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖
𝟐
− 𝟐
= −𝟓𝟓 ‫معادلة‬①
𝟐 = −𝟒𝟖 =
−𝟒𝟖
𝟐
=
−𝟐𝟒
𝟓𝟕𝟔
𝟐
− 𝟐
= −𝟓𝟓
( 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟓𝟕𝟔 − 𝟒
= −𝟓𝟓 𝟐 𝟒
− 𝟓𝟓 𝟐
− 𝟓𝟕𝟔 = 𝟎
𝟐
− 𝟔𝟒 𝟐
+ 𝟗 = 𝟎
𝟐
= 𝟔𝟒 = 𝟖 ‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوض‬
=
−𝟐𝟒
=
−𝟐𝟒
𝟖
= 𝟑
𝟐
+ 𝟗 = 𝟎 𝟐
= −𝟗 ‫يهمل‬
𝟑 − 𝟖 , − 𝟑 + 𝟖 ‫هما‬ ‫الجذران‬
‫المعادلة‬ ‫نحل‬ ‫األن‬𝟐
+ 𝟏 + 𝟐 + 𝟏𝟑 𝟏 + = 𝟎‫حٌث‬ ‫الدستور‬ ‫لانون‬ ‫بأستخدام‬
= 𝟏 , = 𝟏 + 𝟐 , = 𝟏𝟑 𝟏 +
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟏 𝟏𝟑 + 𝟏𝟑
𝟐 𝟏
=
− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟒 + 𝟒 𝟐 − 𝟓𝟐 + 𝟓𝟐
𝟐 𝟏
=
− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟒 − 𝟒 − 𝟓𝟐 + 𝟓𝟐
𝟐

30
=
− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟒 − 𝟒 − 𝟓𝟐 − 𝟓𝟐
𝟐
=
− 𝟏 + 𝟐 −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖
𝟐
‫ا‬ ‫الجذور‬ ‫نعوض‬ ‫األن‬‫للعدد‬ ‫سابما‬ ‫بحسابها‬ ‫لمنا‬ ً‫لت‬−𝟓𝟓 − 𝟒𝟖
=
− 𝟏 + 𝟐 𝟑 − 𝟖
𝟐
𝟏 =
−𝟏 − 𝟐 − 𝟑 − 𝟖
𝟐
=
−𝟏 − 𝟐 − 𝟑 + 𝟖
𝟐
=
−𝟒 + 𝟔
𝟐 𝟏 = −𝟐 + 𝟑
𝟐 =
−𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟖
𝟐
=
−𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟖
𝟐
=
𝟐 − 𝟏𝟎
𝟐 𝟐 = 𝟏 − 𝟓
ً ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{−𝟐 + 𝟑 , 𝟏 − 𝟓 }
‫مثال‬‫ا‬ ‫جذر‬ ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬ /𝟑 −,
𝟏𝟎
𝟑−
𝟏 = 𝟑 − , 𝟐 =
𝟏𝟎
𝟑 −
=
𝟏𝟎
𝟑 −
𝟑 +
𝟑 +
=
𝟏𝟎 𝟑 +
𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟏𝟎 𝟑 +
𝟏𝟎 𝟐 = 𝟑 +
𝟑 − + 𝟑 + = 𝟑 + 𝟑 + −𝟏 + 𝟏 = 𝟔 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
𝟑 − . 𝟑 + = 𝟗 + 𝟑 − 𝟑 − 𝟐
= 𝟗 + 𝟏 = 𝟏𝟎 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
𝟐
− 𝟔 + 𝟏𝟎 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
‫مثال‬/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التكعٌبٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬−𝟖
𝟑
= −𝟖 𝟑
+ 𝟖 = 𝟎 𝟑
− 𝟖 𝟐
= 𝟎 𝟑
− 𝟖 𝟑
= 𝟎
𝟑
− 𝟖 𝟑
= − 𝟐 𝟐
+ 𝟐 + 𝟒 𝟐
= − 𝟐 𝟐
+ 𝟐 − 𝟒 = 𝟎
− 𝟐 = 𝟎 𝟏 = 𝟐
𝟐
+ 𝟐 − 𝟒 = 𝟎
(‫بالدستور‬ )
⇒ = 𝟏 = 𝟐 = −𝟒
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
−𝟐 𝟒 𝟐 − 𝟒 𝟏 −𝟒
𝟐 𝟏
=
−𝟐 −𝟒 + 𝟏𝟔
𝟐
=
−𝟐 𝟏𝟐
𝟐
=
−𝟐 𝟐 𝟑
𝟐
= − 𝟑
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{𝟐 , − + 𝟑 , − − 𝟑}

31
‫مثال‬/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التكعٌبٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬𝟖
𝟑
= 𝟖 𝟑
− 𝟖 = 𝟎 𝟑
− 𝟖 = − 𝟐 𝟐
+ 𝟐 + 𝟒 = 𝟎
− 𝟐 = 𝟎 = 𝟐
𝟐
+ 𝟐 + 𝟒 = 𝟎
(‫بالدستور‬ )
⇒ = 𝟏 = 𝟐 = 𝟒
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
−𝟐 𝟒 − 𝟒 𝟏 𝟒
𝟐 𝟏
=
−𝟐 𝟒 − 𝟏𝟔
𝟐
=
−𝟐 −𝟏𝟐
𝟐
=
−𝟐 𝟏𝟐 𝟐
𝟐
=
−𝟐 𝟐 𝟑
𝟐
= −𝟏 𝟑
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{𝟐 , −𝟏 + 𝟑 , −𝟏 − 𝟑 }
‫مثال‬/‫التالٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ‫أوجد‬𝟐
− 𝟐 − 𝟐 = 𝟎
𝟐
− 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 ( ‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
−
𝟐
−
𝟐
= 𝟎 𝟐
−
𝟐 𝟒
− 𝟐 = 𝟎 𝟐
− 𝟐 𝟑
− 𝟐 = 𝟎
𝟐
+ 𝟐 − 𝟐 = 𝟎
(‫بالدستور‬ ‫تحل‬ )
⇒ = 𝟏 = 𝟐 = −𝟐
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
−𝟐 𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟏 −𝟐
𝟐 𝟏
=
−𝟐 −𝟒 + 𝟖
𝟐
=
−𝟐 𝟒
𝟐
=
−𝟐 𝟐
𝟐
= − 𝟏
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{− + 𝟏 , − − 𝟏}
‫مثال‬/‫التالٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ‫أوجد‬𝟐
− 𝟒 + 𝟒 = 𝟎
𝟐
− 𝟒 + 𝟒 = 𝟎
(‫بالدستور‬ ‫تحل‬ )
⇒ = 𝟏 = −𝟒 = 𝟒
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
− −𝟒 −𝟒 𝟐 − 𝟒 𝟏 𝟒
𝟐 𝟏
=
𝟒 𝟏𝟔 𝟐 − 𝟏𝟔
𝟐
=
𝟒 𝟏𝟔 𝟐 − 𝟏
𝟐
=
𝟒 𝟏𝟔 − 𝟐
𝟐
=
𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝟐
𝟐
=
𝟒 𝟒
𝟐
= 𝟐 𝟐
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{𝟐 + 𝟐 , 𝟐 − 𝟐 }

32
‫مثال‬/‫من‬ ‫كل‬ ‫لٌمة‬ ‫أوجد‬x , y‫التالٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫من‬+ 𝟐
−
𝟖−𝟖
𝟏+
+ 𝟏𝟓 = 𝟎
+ 𝟐
−
𝟖 − 𝟖
𝟏 +
+ 𝟏𝟓 = 𝟎 𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
=
𝟖 − 𝟖
𝟏 +
− 𝟏𝟓
𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = (
𝟖 − 𝟖
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
) − 𝟏𝟓
𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = .
𝟖 − 𝟖 − 𝟖 + 𝟖 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
/ − 𝟏𝟓
𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = (
−𝟏𝟔
𝟐
) − 𝟏𝟓 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = −𝟖 − 𝟏𝟓
𝟐
− 𝟐
= −𝟏𝟓 ‫معادلة‬①
𝟐 = −𝟖 =
−𝟖
𝟐
=
−𝟒
(
−𝟒
)
𝟐
− 𝟐
= −𝟏𝟓
𝟏𝟔
𝟐
− 𝟐
= −𝟏𝟓
( 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟏𝟔 − 𝟒
= −𝟏𝟓 𝟐
𝟒
− 𝟏𝟓 𝟐
− 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐
− 𝟏𝟔 𝟐
+ 𝟏 = 𝟎
𝟐
− 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐
= 𝟏𝟔 = 𝟒 ‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوضها‬
=
−𝟒
=
−𝟒
𝟒
= 𝟏
𝟐
+ 𝟏 = 𝟎 𝟐
= −𝟏 ‫تهمل‬
‫مثال‬/‫من‬ ‫كل‬ ‫لٌمة‬ ‫أوجد‬x , y‫التالٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫من‬+ 𝟐
=
𝟑𝟔−𝟐
𝟑+𝟐
+ 𝟐
=
𝟑𝟔 − 𝟐
𝟑 + 𝟐
𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
= (
𝟑𝟔 − 𝟐
𝟑 + 𝟐
𝟑 − 𝟐
𝟑 − 𝟐
)
𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = .
𝟏𝟎𝟖 − 𝟕𝟐 − 𝟔 + 𝟒 𝟐
𝟑 𝟐 + 𝟐 𝟐
/ = (
𝟏𝟎𝟒 − 𝟕𝟖
𝟗 + 𝟒
) = (
𝟏𝟎𝟒 − 𝟕𝟖
𝟏𝟑
)
𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = 𝟖 − 𝟔 𝟐
− 𝟐
= 𝟖 ‫معادلة‬①
𝟐 = −𝟔 =
−𝟔
𝟐
=
−𝟑
(
−𝟑
)
𝟐
− 𝟐
= 𝟖
𝟗
𝟐
− 𝟐
= 𝟖
( 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟗 − 𝟒
= 𝟖 𝟐
𝟒
+ 𝟖 𝟐
− 𝟗 = 𝟎 𝟐
+ 𝟗 𝟐
− 𝟏 = 𝟎
𝟐
− 𝟏 = 𝟎 𝟐
= 𝟏 = 𝟏 ‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوضها‬
=
−𝟑
=
−𝟑
𝟏
= 𝟑
𝟐
+ 𝟗 = 𝟎 𝟐
= −𝟗 ‫تهمل‬

33
‫مثال‬/ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬‫ا‬ ‫جذرا‬ ‫وأحد‬ ‫حمٌمٌة‬ ‫معامالتها‬𝟐 −
𝟐
𝟐 −
𝟐
= 𝟐
𝟐
− 𝟐 𝟐 + 𝟐
= 𝟐 − 𝟐 𝟐 − 𝟏 = 𝟏 − 𝟐 𝟐 ‫األول‬ ‫الجذر‬
‫المرافك‬ ‫و‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬ ‫حمٌمٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫معامالت‬𝟏 + 𝟐 𝟐
𝟏 − 𝟐 𝟐 + 𝟏 + 𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟏 + −𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟐 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
𝟏 − 𝟐 𝟐 . 𝟏 + 𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟐
𝟐
= 𝟏 + 𝟖 = 𝟗 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
𝟐
− 𝟐 + 𝟗 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
******************************************************************
‫التكعٌبٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬‫لؤلعداد‬‫التالٌة‬−𝟔𝟒 , 𝟔𝟒 , 𝟏𝟐𝟓 , −𝟐𝟕‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫جد‬ ‫ثم‬𝟔𝟒
‫الصحٌح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعٌبٌة‬ ‫الجذور‬
= − = − + + =
= (‫األول‬ ‫)الجذر‬
+ + = (‫)بالدستور‬ = = =
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
−𝟏 𝟏 − 𝟒 𝟏 𝟏
𝟐 𝟏
=
−𝟏 𝟏 − 𝟒
𝟐
=
−𝟏 −𝟑
𝟐
=
−𝟏 𝟑
𝟐
=
−𝟏
𝟐
3
2
=
−𝟏
𝟐
+
3
2
= (‫الثاني‬ ‫)الجذر‬
=
−𝟏
𝟐
−
3
2
= (‫الثالث‬ ‫)الجذر‬
ً ‫و‬ ‫الصحٌح‬ ‫للواحد‬ ‫جذور‬ ‫ثالثة‬ ‫نان‬𝟏 , , 𝟐
‫الرمز‬ ‫أن‬ ‫حٌث‬‫أومٌكا‬ ‫ٌمرأ‬
‫الصحٌح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعٌبٌة‬ ‫الجذور‬ ‫خواص‬
‫الجذران‬, 𝟐
‫مترافمان‬ ‫تخٌلٌان‬ ‫جذران‬
‫أي‬ ‫صفر‬ ‫ٌساوي‬ ‫الثالثة‬ ‫الجذور‬ ‫مجموع‬+ 𝟐
+ 𝟏 = 𝟎
‫أي‬ ‫واحد‬ ‫ٌساوي‬ ‫الثالثة‬ ‫الجذور‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬𝟐
= 𝟏

34
‫الجذور‬ ‫لخواص‬ ‫أستنتاجات‬
1-‫مثال‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬ ‫سالب‬ = ‫جذرين‬ ‫أي‬ ‫مجموع‬+ = − , + = − , + = −
2-‫=سالب‬ ‫جذر‬ ‫أي‬‫األخرين‬ ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬‫مثال‬= − − , = − − , = − −
3-= = =
4-‫كل‬w‫مرافق‬ ‫هي‬‫التاليين‬ ‫المثالين‬ ‫في‬ ‫كما‬ ‫باألخر‬ ‫أحدهما‬ ‫أستبدال‬ ‫يمكن‬ ‫أي‬ ‫وبالعكس‬
3 + 5 = 3 + 5
4 + 2 = 4 + 2
5-− = − = 3‫الحظ‬
.
−𝟏
𝟐
+
3
2
/ − .
−𝟏
𝟐
−
3
2
/ =
2 3
2
= + 3
.
−𝟏
𝟐
−
3
2
/ − .
−𝟏
𝟐
+
3
2
/ =
−2 3
2
= − 3
6-. = =‫الحظ‬
.
−𝟏
𝟐
+
3
2
/ . .
−𝟏
𝟐
−
3
2
/ = (
−𝟏
𝟐
)
2
+ .
3
2
/
2
=
4
+
3
4
=
4
4
=
7-‫عددصحيح‬ ‫حيث‬ , = , ,2,3,4,5, . . , +
=
8-‫نستخدم‬‫التبسيط‬ ‫عمليات‬ ‫في‬
‫ومن‬‫ذه‬‫االستنتاجات‬‫أن‬ ‫الى‬ ‫نتوصل‬‫ناته‬w‫الواحد‬ ‫جذور‬ ‫أحد‬ ‫و‬ ‫معٌنة‬ ‫لوة‬ ‫الى‬ ‫مرفوعة‬{𝟏 , , 𝟐}‫الحظ‬
: ‫التالٌة‬ ‫األمثلة‬
= 3
. = . =
= 3
. 2
= . 2
= 2
= 3 2
= 3
. 3
= =
= 3 27
= 27
=
−
= = 3
.
= =
3
= 2

35
−
=
5
=
2 3
=
2
=
3
2
=
−
= =
3 7
.
=
7
.
= =
3
= 2
+
= 6
. 5
= 3 2
. 5
= 2
. 5
= 5
= 3
. 2
= 2
− −
= − +
= −
. +
=
+
=
.
=
. .
= =
( ‫مثال‬91)/‫ما‬ ‫ناته‬ ‫جد‬ً‫ٌل‬𝟑𝟑
, 𝟐𝟓
, −𝟓𝟖
,
𝟑𝟑
= 𝟑 𝟏𝟏
= 𝟏 𝟏𝟏
= 𝟏
𝟐𝟓
= 𝟐𝟒
. = 𝟑 𝟖
. = 𝟏 𝟖
. =
−𝟓𝟖
= −𝟓𝟖
. 𝟔𝟎
= 𝟔𝟎−𝟓𝟖
= 𝟐
( ‫مثال‬20): ‫أن‬ ‫أثبت‬ /
𝟕
+ 𝟓
+ 𝟏 = 𝟎
= + + = . + + = + + = =
𝟓 + 𝟑 + 𝟑 𝟐 𝟐
= −𝟒 𝟐 + + 𝟐 𝟐 𝟑
= 𝟒
𝟓 + 𝟑 + 𝟑 𝟐 𝟐
= 5 + 3 + = 5 + 3 − = 5 − 3 = 2 = 4
−𝟒 𝟐 + + 𝟐 𝟐 𝟑
= −4 2 + 2 + = −4[2 + + ] = −4[2 − + ]
= −4[− ] = −4 − = −4 − = 4
( ‫مثال‬21)/‫ا‬ ‫جذرا‬ ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬:‫وزاري‬2012/‫د‬3
𝟏 − 𝟐
, 𝟏 −
− + − = 𝟏 + 𝟏 + − − = 𝟐 + 𝟏 = 𝟐 + ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
− . − = 𝟏 − − 𝟐
+ 𝟐 𝟑
= − − 𝟐
= 𝟏 = ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
𝟐
− 𝟐 + + = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬

36
𝟐
𝟏 − 𝟐
,
𝟐
𝟏 −
(
2
−
) + (
2
−
) =
𝟐 − + 𝟐 −
− 𝟏 −
=
𝟐 − 𝟐 + 𝟐 − 𝟐 𝟐
𝟏 − − 𝟐 + 𝟑
=
𝟐 + 𝟐 − 𝟐 +
𝟏 + 𝟏 − +
=
𝟒 − 𝟐 −𝟏
𝟐 − −𝟏
=
𝟒 + 𝟐
𝟐 + 𝟏
=
𝟔
𝟑
= 𝟐 (‫الجذرين‬ ‫)مجموع‬
(
2
−
) . (
2
−
) =
𝟒
− 𝟏 −
=
𝟒
𝟏 − − +
=
4
+ − +
=
4
2 − −
=
4
2 +
=
4
3
( ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫)حاصل‬
𝟐
𝟐
− 𝟐 +
4
3
‫مثال‬/‫صورة‬ ‫أبسط‬ ً‫ف‬ ‫الناته‬ ‫أوجد‬
𝟏 (𝟏 + 𝟐
−
𝟐
𝟐
) (𝟏 −
𝟓
+ )
. + −
2
/ . + −
5
/ = − − 2 − − 5 = −3 −6 = 8 = 8
𝟐 (
𝟏
𝟏+
−
𝟏
𝟏+ 𝟐)
𝟐
(
−
−
−
) = .
−
−
−
/ = − + = − 2 + = − 2 +
= + − 2 = − − 2 = −3
‫مثال‬/‫كان‬ ‫أذا‬= (
−𝟏
𝟐
+
−𝟑
𝟐
)‫أن‬ ‫فأثبت‬𝟏𝟐
+ 𝟐𝟐
+ 𝟐𝟑
= 𝟎‫وكذلن‬𝟗
. 𝟏𝟔
. 𝟑𝟐
= 𝟏
= .
−
2
+
−3
2
/ =
−
2
+
3
2
=
𝟏𝟐
+ 𝟐𝟐
+ 𝟐𝟑
= + + = + + = + + =
𝟗
. 𝟏𝟔
. 𝟑𝟐
= . . = . . = =

37
‫مثال‬‫أن‬ ‫ن‬ ‫بر‬ /√
𝟏
𝟏+ 𝟐
+
𝟐+ 𝟐
𝟒
=
√
+
+
2 +
= √
−
+
2 +
= √
− 2 +
−
= √
− −
−
= √
−
= − =
∴‫األيسر‬ ‫الطرف‬ = ‫األيمن‬ ‫الطرف‬
‫مثال‬‫أن‬ ‫ن‬ ‫بر‬ /− 𝟐 𝟖
= 𝟖𝟏
: ‫األولى‬ ‫الطرٌمة‬
− 𝟐 𝟖
= 3 = 3 = ( 3 ) = 3 = 3 = −9 = 8
‫الطرٌمة‬‫ال‬‫ثانٌة‬:
− 𝟐 𝟖
= − = − 2 . + = + − 2 = − − 2 = −3
= −3 = 9 = 8
‫مثال‬‫أن‬ ‫ن‬ ‫بر‬ /𝟏 + 𝟒 𝟑
+ 𝟏 − 𝟕
− 𝟖 𝟑
= 𝟕
+ + − − = + + − − = − + − +
= − + − − = − + 2 = − + 8 = 7
‫مثال‬/‫الناته‬ ‫أوجد‬(
𝟏
𝟒
−
𝟏
𝟐) (𝟐 𝟔
+
𝟐
) (
− 𝟔
𝟏+ 𝟓)
( − ) (2 +
2
) .
−
+
/ = ( − ) (2 +
2
) (
−
+
) = . − / .2 +
2
/ (
−
−
)
= − 2 + 2 ( ) = − 2 + 2
= − 2 + 2 = − 2 + 2
= − 2 + = − 2 − = −2 3 = 2 3

38
‫مثال‬/‫ناته‬ ‫جد‬x , y‫التالٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫تحمك‬ ً‫والت‬+ =
−𝟖
𝟐
‫الحل‬ ‫الحظ‬ ‫بطريقتين‬ ‫حله‬ ‫يمكن‬
‫األولى‬ ‫الطريقة‬ + =
−8
= −8 = −8 .−
2
+
3
2
/ = 4 − 4 3
+ = 4 − 4 3 = 4 , = −4 3
‫الثانية‬ ‫الطريقة‬ + =
−8
=
−8
−
2
−
3
2
=
−8
−
2
−
3
2
−
2
+
3
2
−
2
+
3
2
=
4 − 4 3
(
2
) + .
3
2
/
=
4 − 4 3
(
4
) + (
3
4
)
+ =
4 − 4 3
= 4 − 4 3
+ = 4 − 4 3 = 4 , = −4 3
‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫التي‬ ‫المسائل‬ ‫حل‬ ‫طرق‬𝓦
ً ‫و‬ ‫المسائل‬ ‫حل‬ ‫تبسٌط‬ ً‫ف‬ ‫تستخدم‬ ً‫الت‬ ‫األساسٌة‬ ‫الطرق‬ ‫بعض‬ ‫نان‬:
‫مشترن‬ ‫عامل‬ ‫أٌجاد‬ / ‫األولى‬ ‫الطرٌمة‬
‫مثال‬/‫لٌمة‬ ‫جد‬:
√
𝟐+𝟏𝟏 +𝟏𝟏 𝟐
𝟐−𝟓 −𝟓 𝟐
√
2 + +
2 − 5 − 5
= √
2 + +
2 − 5 +
= √
2 −
2 + 5
= √
−9
7
=
3
7
√
𝟏 + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎 𝟐
𝟏 − 𝟑 − 𝟑 𝟐
√
+ +
− 3 − 3
= √
+ +
− 3 +
= √
−
+ 3
= √
−9
4
=
3
2

39
‫مثال‬/‫أن‬ ‫أثبت‬
𝟐+𝟓 +𝟐 𝟐 𝟐
+
𝟐
𝟐+𝟐 +𝟐 𝟐 𝟐
= −
𝟏
𝟗
2 + 5 + 2
+
2 + 2 + 5
=
[ 2 + 2 + 5 ]
+
[ 2 + 2 + 5 ]
[2 + + 5 ]
+
[2 + + 5 ]
=
2 − + 5
+
2 − + 5
−2 + 5
+
−2 + 5
=
3
+
3
=
9
+
9
=
+
9
=
+
9
=
−
9
=
−
9
‫مثال‬/‫لٌم‬ ‫جد‬x , y‫المعادلة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬:
+ = ( + + + ) −
3 +
+
+ = ( + + + ) −
3 +
+
= ( + + + ) −
3 +
+
−
−
+ = ( − + − ) −
3 − 3 + −
+
= ( − + ) −
4 − 2
+
+ = ( − + ) −
4 − 2
2
= + −
4 − 2
2
= [ + ] −
4 − 2
2
+ = [− ] −
4 − 2
2
= − − 2 − = −3 +
= −3 , =
‫مثال‬/‫لٌم‬ ‫جد‬x , y‫المعادلة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬
+ = .
𝟐
+
𝟐
/
𝟏
𝟐
+ = .
+
/ + = .
+
/ + = .
−
/ = (
−
)
+ = .
−
/ = − = − + = −
+ = − (‫بطريقتين‬ ‫الجذر‬ ‫حساب‬ ‫يمكن‬ )

40
‫الطرٌمة‬①/‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬−‫و‬+
− = + 𝟐
− = 𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
− = 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐
𝟐
− 𝟐
= 𝟎 ①‫معادلة‬
𝟐 = −𝟏 =
−𝟏
𝟐
=
−𝟏
𝟐
②‫معادلة‬ ①‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضها‬
𝟐
−
𝟏
𝟒 𝟐
= 𝟎
( 𝟒 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟒 𝟒
− 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐
− 𝟏 𝟐 𝟐
+ 𝟏 = 𝟎
𝟐 𝟐
− 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐
= 𝟏 𝟐
=
𝟏
𝟐
=
𝟏
𝟐
②‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضها‬
=
−𝟏
𝟐
=
−𝟏
𝟐 (
𝟏
𝟐
)
=
−𝟏
𝟐 𝟐 (
𝟏
𝟐
)
=
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐
+ 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐
= −𝟏 𝟐
=
−𝟏
𝟐
‫تهمل‬
−𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
,
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
‫الطرٌمة‬②/
− = √
𝟏
𝟐
− −
𝟏
𝟐
= √
𝟏
𝟐
− +
𝟏
𝟐
𝟐
= √(
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
)
𝟐
= (
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
)
−𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
,
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
+ = − + =
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
=
𝟏
𝟐
, =
𝟏
𝟐
‫مثال‬/‫لٌمة‬ ‫جد‬:
𝟏 − 𝟒
− 𝟓 + 𝟑 + 𝟓 𝟐 𝟑
𝟏 − 𝟒
− 𝟓 + 𝟑 + 𝟓 𝟐 𝟑
= 𝟏 − 𝟐 𝟐
− 𝟓 + 𝟑 + 𝟓 −𝟏 −
𝟐
𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟐
− 𝟓 + 𝟑 − 𝟓 − 𝟓 𝟐
= −𝟐 𝟐
− −𝟐 𝟐
= 𝟒 𝟐
− 𝟒 𝟐
= −𝟒 − 𝟒 𝟐
= −𝟒 𝟏 + 𝟐
= −𝟒 − = 𝟒

41
‫مثال‬/‫ا‬ ‫جذرا‬ ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬𝟐 + 𝟐 𝟐
− 𝟏 𝟐
, 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 + 𝟐 𝟐
− 𝟏 𝟐
= 𝟐 + 𝟐 −𝟏 − − 𝟏 𝟐
= 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 − 𝟏 𝟐
= −𝟑 𝟐
= 𝟗 (‫األول‬ ‫)الجذر‬
𝟐 − 𝟐 − 𝟐 𝟐 𝟐
= 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 −𝟏 − 𝟐
= 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐
= 𝟒 𝟐
= 𝟏𝟔 (‫الثاني‬ ‫)الجذر‬
9 + 6 = 𝟐𝟓 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
9 . 6 = 𝟏𝟒𝟒 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
𝟐
− 𝟐𝟓 + 𝟏𝟒𝟒 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
‫مثال‬/‫ا‬ ‫جذرا‬ ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬𝟏 − 𝟐 , 𝟏 −
− = −
3
= − i ‫األول‬ ‫الجذر‬
− = −
3
= − ‫الثاني‬ ‫الجذر‬
− i + − 2 = + + − − 2 i = 2 + i = 2 + i ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
− i . − 2 = − i − i + = + i − − − = i ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
𝟐
− 𝟐 + + = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
‫مثال‬/‫ا‬ ‫جذرا‬ ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬𝟐 − 𝟑
𝟐
, 𝟑 − 𝟐
𝟐
‫وزاري‬1999/‫د‬1
2 − 3 = 2 − 3 = 2 − 3 3
= 2 − 3 − = 2 + 3
3 − 2 = 3 − 2 = 3 − 2 3
= 3 − 2 − = 3 + 2
2 + 3 2 + 3 + 2 2 = 5 i + 5 i = 5i + = −5i ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
2 + 3 2 . 3 + 2 2 = 6 + 4 + 9 + 6 = −6 − 4 − 9 − 6
2 + 3 . 3 + 2 = − 3 + 6 − − = − 3 + 6 = −7 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
𝟐
− −𝟓 + −𝟕 = 𝟎 𝟐
+ 𝟓 − 𝟕 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬

42
‫طرٌمة‬ / ‫الثانٌة‬ ‫الطرٌمة‬‫االستبدال‬
‫مثال‬/‫الناته‬ ‫جد‬𝟐 + 𝟑 + 𝟑 𝟐 𝟐
2 + 3 + 3 = 2 + 3 + 3 − − = 2 + 3 − 3 − 3 = − = 𝟏
‫مثال‬/‫أن‬ ‫ن‬ ‫بر‬(
𝟏
𝟑+𝟒 +𝟓 𝟐 −
𝟏
𝟑+𝟓 +𝟒 𝟐)
𝟐
=
−𝟏
𝟑
(
𝟏
𝟑 + 𝟒 + 𝟓 𝟐
−
𝟏
𝟑 + 𝟓 + 𝟒 𝟐
)
𝟐
= (
𝟏
𝟑 + 𝟒 + 𝟓 −𝟏 −
−
𝟏
𝟑 + 𝟓 + 𝟒 −𝟏 −
)
𝟐
(
𝟏
𝟑 + 𝟒 − 𝟓 − 𝟓
−
𝟏
𝟑 + 𝟓 − 𝟒 − 𝟒
)
𝟐
= (
𝟏
−𝟐 −
−
𝟏
−𝟏 +
)
𝟐
= .
−𝟏 + − −𝟐 −
−𝟐 − −𝟏 +
/
𝟐
(
−𝟏 + + 𝟐 +
𝟐 − 𝟐 + − 𝟐
)
𝟐
= (
𝟏 + 𝟐
𝟐 − − 𝟐
)
𝟐
= (
𝟏 + 𝟐
𝟐 + 𝟏
)
𝟐
=
𝟏 + 𝟒 + 𝟒 𝟐
𝟑 𝟐
=
𝟏 + 𝟒 + 𝟐
𝟗
=
𝟏 + 𝟒 −𝟏
𝟗
(
𝟏
𝟑 + 𝟒 + 𝟓 𝟐
−
𝟏
𝟑 + 𝟓 + 𝟒 𝟐
)
𝟐
=
−𝟑
𝟗
=
−𝟏
𝟑
‫مثال‬/‫ا‬ ‫جذرا‬ ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬𝟏 − 𝟔 − 𝟐 𝟐
, 𝟐 − − 𝟓 𝟐
− 6 − 2 = − 6 − 2 − − = − 6 + 2 + 2 = 3 − 4 ‫األول‬ ‫الجذر‬
2 − − 5 = 2 − − 5 − − = 2 − + 5 + 5 = 7 + 4 ‫الثاني‬ ‫الجذر‬
3 − 4 + 7 + 4 = 3 − 4 + 7 + 4 = ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
= 2 + 2 − 28 − 6 = 2 − 6 − 6 − −
= 2 − 6 + 6 + 6 = 37 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
𝟐
− 𝟏𝟎 + 𝟑𝟕 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
‫الطرٌمة‬‫متساوٌة‬ ‫والممام‬ ‫البسط‬ ‫معامالت‬ / ‫الثالثة‬
‫مثال‬/‫الناته‬ ‫جد‬
𝟏𝟎 +𝟑
𝟑 𝟐+𝟏𝟎
+ 3
3 +
=
+ 3
3 +
=
+ 3
3 +
=

43
‫مثال‬/‫أن‬ ‫أثبت‬(
− 𝟐
−
−
−
𝟐−
)
𝟒
= 𝟗
.
− 𝟐
−
−
−
𝟐 −
/
𝟒
= .
− 𝟐
− 𝟑
−
𝟑
−
𝟐 −
/
𝟒
= .
− 𝟐
− 𝟐
−
𝟐
−
𝟐 −
/
𝟒
(
𝟏
− )
𝟒
= 𝟐
− 𝟒
= 𝟑
𝟒
= ( 𝟑
𝟐
)
𝟐
= 𝟑 𝟐 𝟐
= −𝟑 𝟐
= 𝟗
‫المشترك‬ ‫المضاعف‬ ‫أيجاد‬ / ‫الرابعة‬ ‫الطريقة‬
‫مثال‬/‫الناته‬ ‫أوجد‬*
𝟏
𝟐+
−
𝟏
𝟐+ 𝟐
+
𝟐
[
2 +
−
2 +
] = 0
2 + − 2 +
2 + 2 +
1 = 0
2 + − 2 −
4 + 2 + 2 +
1 = 0
−
4 + 2 + 2 +
1
= 0
−
5 + 2 +
1 = 0
−
5 + 2 −
1 = 0
−
3
1 =
− 2 +
9
=
+ − 𝟐
𝟗
=
+ − 𝟐
𝟗
=
− − 𝟐
𝟗
=
−𝟑
𝟗
=
−𝟏
𝟑
‫مثال‬/‫أن‬ ‫أثبت‬(
𝟓
𝟑−
−
𝟓
𝟑− 𝟐)
𝟐
=
−𝟕𝟓
𝟏𝟔𝟗
(
𝟓
𝟑 −
−
𝟓
𝟑 − 𝟐
)
𝟐
= 𝟐𝟓 (
𝟏
𝟑 −
−
𝟏
𝟑 − 𝟐
)
𝟐
= 𝟐𝟓 .
𝟑 − 𝟐
− 𝟑 −
𝟑 − 𝟑 − 𝟐 /
𝟐
=
𝟐𝟓 .
𝟑 − 𝟐
− 𝟑 +
𝟗 − 𝟑 𝟐 − 𝟑 + 𝟑/
𝟐
= 𝟐𝟓 .
− 𝟐
+
𝟏𝟎 − 𝟑 𝟐 − 𝟑
/
𝟐
= 𝟐𝟓 .
− 𝟐
+
𝟏𝟎 + 𝟑 − 𝟐 −
/
𝟐
= 𝟐𝟓 .
− 𝟐
+
𝟏𝟎 + 𝟑 𝟏
/
𝟐
= 𝟐𝟓 .
− 𝟐
+
𝟏𝟑
/
𝟐
= 𝟐𝟓 .
𝟒
− 𝟐 𝟑
+ 𝟐
𝟏𝟔𝟗
/ = 𝟐𝟓 .
𝟒
+ 𝟐
− 𝟐
𝟏𝟔𝟗
/
= 𝟐𝟓 .
𝟒
+ 𝟐
− 𝟐
𝟏𝟔𝟗
/ = 𝟐𝟓 .
+ 𝟐
− 𝟐
𝟏𝟔𝟗
/ = 𝟐𝟓 .
−𝟏 − 𝟐
𝟏𝟔𝟗
/ = 𝟐𝟓 (
−𝟑
𝟏𝟔𝟗
) =
−𝟕𝟓
𝟏𝟔𝟗

44
‫س‬1/‫صورة‬ ‫أبسط‬ ً‫ف‬ ‫التالٌة‬ ‫الممادٌر‬ ‫أكتب‬:
𝟔𝟒 −𝟑𝟐
𝟏
𝟏 + −𝟑𝟐 𝟏𝟐
𝟏 + 𝟐 −𝟒 𝟗 +𝟓
,
𝟔𝟒
𝟔𝟒
= 𝟑 𝟐𝟏
. = 𝟏. =
−𝟑𝟐𝟓
−𝟑𝟐𝟓
= −𝟑𝟐𝟒
. −𝟏
= 𝟑 −𝟏𝟎𝟖
.
𝟏
= 𝟏 −𝟏𝟎𝟖
.
𝟑
= 𝟐
𝟏
𝟏 + −𝟑𝟐 𝟏𝟐
𝟏
𝟏 + −𝟑𝟐 𝟏𝟐
=
𝟏
𝟏 + −𝟑𝟐. 𝟑𝟑 𝟏𝟐
=
𝟏
𝟏 + 𝟏𝟐
=
𝟏
− 𝟐 𝟏𝟐
=
𝟏
𝟐𝟒
=
𝟏
𝟑 𝟖
=
𝟏
𝟏 𝟖
= 𝟏
𝟏 + 𝟐 −𝟒
𝟏 + 𝟐 −𝟒
= − −𝟒
=
𝟏
− 𝟒
=
𝟏
𝟒
=
𝟏
𝟑.
=
𝟏
= 𝟐
𝟗 +𝟓
𝟗 +𝟓
= 𝟗
. 𝟓
= 𝟑 𝟑
. 𝟐
= 𝟏. 𝟐
= 𝟐
‫س‬2/‫ا‬ ‫جذرا‬ ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬:
𝟏 + 𝟐
, 𝟏 +
+ + + = 𝟏 + 𝟏 + + = 𝟐 + + = 𝟐 − 𝟏 = 𝟏 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
+ . + = − − = = ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
𝟐
− + 𝟏 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬

45
𝟐 − 𝟐
,
𝟐
𝟐 −
𝟐 − 𝟐
+
𝟐
𝟐 −
=
𝟐 − + 𝟐
𝟐 − 𝟐
𝟐 − 𝟐 𝟐 −
=
𝟐 − 𝟐
+ 𝟐 𝟐
− 𝟒
𝟒 − 𝟐 − 𝟐 𝟐 + 𝟑
=
𝟐 + 𝟐
−
𝟓 − 𝟐 + 𝟐
=
+ 𝟐
𝟓 − 𝟐 −𝟏
=
−𝟏
𝟕
‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
𝟐 − 𝟐
𝟐
𝟐 −
=
𝟑
𝟐 − 𝟐 𝟐 −
=
𝟏
𝟕
‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
𝟐
− (
−𝟏
𝟕
) + (
𝟏
𝟕
) = 𝟎 𝟐
+
𝟏
𝟕
+
𝟏
𝟕
‫وزاري‬5201/‫د‬3‫وزاري‬4201/‫د‬3‫وزاري‬2011/‫د‬2
𝟑
𝟐
,
−𝟑 𝟐
𝟑
𝟐
+
−𝟑 𝟐
=
𝟑
𝟐
𝟑
+
−𝟑 𝟐
.
−
−
/ = 𝟑 + 𝟑 𝟐 = 𝟑 + 𝟐 = 𝟑 −𝟏 = −𝟑 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
𝟑
𝟐
−𝟑 𝟐
=
𝟑
𝟐
𝟑
−𝟑 𝟐
.
−
−
/ = 𝟑 𝟑 𝟐 = 𝟗 𝟑 𝟐
= −𝟗 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
𝟐
− −𝟑 + −𝟗 = 𝟎 𝟐
+ 𝟑 − 𝟗 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
‫س‬3/: ‫كان‬ ‫اذا‬
𝟏+𝟑 𝟏𝟎+𝟑 𝟏𝟏
𝟏−𝟑 𝟕−𝟑 𝟖 ‫قيمة‬ ‫فجد‬ 𝟐
+ + 𝟏 = 𝟎
+ + = (‫)بالدستور‬ = = =
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
−𝟏 𝟏 − 𝟒 𝟏 𝟏
𝟐 𝟏
=
−𝟏 𝟏 − 𝟒
𝟐
=
−𝟏 −𝟑
𝟐
=
−𝟏 𝟑
𝟐
=
−𝟏
𝟐
3
2
=
−𝟏
𝟐
+
3
2
= (‫األول‬ ‫)الجذر‬
=
−𝟏
𝟐
−
3
2
= (‫الثاني‬ ‫)الجذر‬
=
+ 3 + 3
− 3 − 3
=
+ 3 . + 3 .
− 3 . − 3 .
=
+ 3 + 3
− 3 − 3
=
+ 3 +
− 3 +
=
𝟏 − 𝟑
𝟏 + 𝟑
=
−𝟐
𝟒
=
−𝟏
𝟐
= 𝟐
‫المقدار‬ ‫قيمة‬ ‫أليجاد‬ ‫الطريقة‬ ‫بنفس‬ ‫أخرى‬ ‫مرة‬ ‫الحل‬ ‫نعيد‬

46
‫س‬4/‫أن‬ ‫أثبت‬:‫وزاري‬2011/‫د‬1‫وزاري‬5201/‫د‬1
(
𝟏
𝟐 +
−
𝟏
𝟐 + 𝟐
)
𝟐
=
−𝟏
𝟑
. . = (
𝟏
𝟐 +
−
𝟏
𝟐 + 𝟐
)
𝟐
= .
𝟐 + 𝟐
− 𝟐 +
𝟐 + 𝟐 + 𝟐
/
𝟐
= .
𝟐 + 𝟐
− 𝟐 −
𝟒 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟑
/
𝟐
= .
𝟐
−
𝟓 + 𝟐 𝟐 +
/
𝟐
=
𝟐
− 𝟐
𝟓 − 𝟐 𝟐
=
𝟒
− 𝟐 𝟑
+ 𝟐
𝟑 𝟐
=
+ 𝟐
− 𝟐
𝟗
=
−𝟏 − 𝟐
𝟗
=
−𝟑
𝟗
=
−𝟏
𝟑
= . .
𝟏𝟒
+ 𝟕
− 𝟏
𝟏𝟎 + 𝟓 − 𝟐
=
𝟐
𝟑
‫األيسر‬ ‫الطرف‬ =
𝟏𝟒
+ 𝟕
− 𝟏
𝟏𝟎 + 𝟓 − 𝟐
=
𝟑 𝟒
. 𝟐
+ 𝟑 𝟐
. − 𝟏
𝟑 𝟑. + 𝟑 . 𝟐 − 𝟐
=
𝟐
+ − 𝟏
+ 𝟐 − 𝟐
=
−𝟏 − 𝟏
−𝟏 − 𝟐
=
−𝟐
−𝟑
=
𝟐
𝟑
= ‫األيمن‬ ‫الطرف‬
‫وزاري‬2014/‫د‬1
(𝟏 −
𝟐
𝟐
+ 𝟐
) (𝟏 + −
𝟓
) = 𝟏𝟖
‫األيسر‬ ‫الطرف‬ = (𝟏 −
𝟐
𝟐
+ 𝟐
)(𝟏 + −
𝟓
) = 𝟏 − 𝟐 + 𝟐
𝟏 + − 𝟓 𝟐
= 𝟏 − 𝟐 + −𝟏 − − 𝟐
− 𝟓 𝟐
= −𝟑 −𝟔 𝟐
= 𝟏𝟖 𝟑
= 𝟏𝟖 = ‫األيمن‬ ‫الطرف‬
𝟏 + 𝟐 𝟑
+ 𝟏 + 𝟑
= −𝟐
‫األيسر‬ ‫الطرف‬ = 𝟏 + 𝟐 𝟑
+ 𝟏 + 𝟑
= − 𝟑
+ − 𝟐 𝟑
= − 𝟑
− 𝟔
= −𝟏 − 𝟏 = −𝟐 = ‫األيمن‬ ‫الطرف‬
******************************************************************
‫ال‬ ‫التمثٌل‬‫هندس‬‫لؤل‬ ً‫عد‬‫ا‬‫المركب‬ ‫د‬‫ة‬
‫المركب‬ ‫العدد‬+‫بالنمطة‬ ‫ا‬‫ا‬ٌ‫ندس‬ ‫تمثٌله‬ ‫ٌمكن‬,‫المحور‬ ‫ٌسمى‬ ‫حٌث‬−‫بالمحور‬
‫المحور‬ ‫أما‬ , ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ً‫الحمٌم‬ ‫الجزء‬ ‫ٌمثل‬ ‫و‬ ‫و‬ ً‫الحمٌم‬−‫ٌمثل‬ ‫و‬ ‫و‬ ً‫التخٌل‬ ‫المحور‬ ‫فٌسمى‬
‫وتسمى‬ ‫ا‬‫ا‬ٌ‫ندس‬ ‫ا‬‫ال‬ٌ‫تمث‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬ ‫تجري‬ ً‫الت‬ ‫العملٌات‬ ‫بعض‬ ‫تمثٌل‬ ‫وٌمكن‬ , ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ً‫التخٌل‬ ‫الجزء‬
. ‫المركب‬ ‫بالمستوي‬ ‫ٌحتوٌها‬ ‫الذي‬ ‫المستوي‬ ‫وٌسمى‬ ‫أرجاند‬ ‫بأشكال‬ ‫الناتجة‬ ‫األشكال‬

47
‫كان‬ ‫أذا‬𝟏 = 𝟏 + 𝟏,𝟐 = 𝟐 + 𝟐‫بالنمطتٌن‬ ‫ممثالن‬ ‫مركبان‬ ‫عددان‬𝟏 𝟏 , 𝟏
𝟐 𝟐 , 𝟐: ‫فأن‬
𝟏 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟏 + 𝟐
‫تمثٌل‬ ‫وٌمكن‬𝟏 + 𝟐‫بالنمطة‬𝟑 𝟏 + 𝟐 , 𝟏 + 𝟐‫بالمتجهات‬ ‫المتعلمة‬ ‫المعلومات‬ ‫بأستخدام‬ ‫وذلن‬
: ‫بالشكل‬ ‫موضح‬ ‫وكما‬
: ‫أن‬ ‫أي‬𝟏
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + 𝟐
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝟑
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
( ‫مثال‬22): ‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ً‫ف‬ ‫ا‬‫ا‬ٌ‫ندس‬ ‫األتٌة‬ ‫العملٌات‬ ‫مثل‬ /
𝟑 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟐
𝟏 = 𝟑 + 𝟒 𝟏 𝟑, 𝟒
𝟐 = 𝟓 + 𝟐 𝟐 𝟓, 𝟐
𝟏 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟐
𝟏 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟖 + 𝟔 𝟑 𝟖, 𝟔
𝟔 − 𝟐 − 𝟐 − 𝟓
𝟏 = 𝟔 − 𝟐 𝟏 𝟔, −𝟐
𝟐 = 𝟐 − 𝟓 𝟐 −𝟐, 𝟓
𝟏 + − 𝟐 = 𝟔 − 𝟐 + −𝟐 + 𝟓
𝟏 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟒 + 𝟑
𝟑 = 𝟒 + 𝟑 𝟑 𝟒, 𝟑

48
‫س‬1/. ‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫الجمعٌة‬ ‫ا‬ ‫ونظائر‬ ‫االعداد‬ ‫ذه‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫األتٌة‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ً‫الجمع‬ ‫النظٌر‬ ‫أكتب‬
𝟏 = 𝟐 + 𝟑 , 𝟐 = −𝟏 + 𝟑 , 𝟑 = 𝟏 − , 𝟒 =
‫تمثٌله‬ً‫البٌان‬ً‫الجمع‬ ‫نظٌره‬‫العدد‬
− 𝟏 = −𝟐 − 𝟑
− 𝟏 = −𝟐 , − 𝟑
𝟏 = 𝟐 + 𝟑
𝟏 = 𝟐 , 𝟑
− 𝟐 = 𝟏 − 𝟑
− 𝟐 = 𝟏 , − 𝟑
𝟐 = −𝟏 + 𝟑
𝟐 = −𝟏 , 𝟑
− 𝟑 = −𝟏 +
− 𝟑 = −𝟏 , 𝟏
𝟑 = 𝟏 −
𝟑 = 𝟏 , −𝟏
− 𝟒 = −
− 𝟒 = 𝟎 , −𝟏
𝟒 =
𝟒 = 𝟎 , 𝟏

49
‫س‬2/‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫ومرافماتها‬ ‫األعداد‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫التالٌة‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المرافك‬ ‫العدد‬ ‫أكتب‬
𝟏 = 𝟓 + 𝟑 , 𝟐 = −𝟑 + 𝟐 , 𝟑 = 𝟏 − , 𝟒 = −𝟐
ً‫البٌان‬ ‫تمثٌله‬‫العدد‬ ‫مرافك‬‫العدد‬
̅ 𝟏 = 𝟓 − 𝟑
𝟏
̅ 𝟏 = 𝟓 , − 𝟑
𝟏 = 𝟓 + 𝟑
𝟏 𝟏 = 𝟓 , 𝟑
̅ 𝟐 = −𝟑 − 𝟐
𝟐
̅ 𝟐 = −𝟑 , − 𝟐
𝟐 = −𝟑 + 𝟐
𝟐 𝟐 = −𝟑 , 𝟐
̅ 𝟑 = 𝟏 +
𝟑
̅ 𝟑 = 𝟏 , 𝟏
𝟑 = 𝟏 −
𝟑 𝟑 = 𝟏 , −𝟏
̅ 𝟒 = 𝟐
𝟒
̅ 𝟒 = 𝟎 , 𝟐
𝟒 = −𝟐
𝟒 = 𝟎 , −𝟐

50
‫س‬3/‫كان‬ ‫أذا‬= 𝟒 + 𝟐‫من‬ ‫كآل‬ ‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬, , −
= 4 + 2 = 4 , 2
= 4 − 2 = 4 , −2
− = −4 − 2 − = −4 , −2
‫س‬4/‫كان‬ ‫أذا‬𝟐 = 𝟏 + 𝟐 , 𝟏 = 𝟒 − 𝟐‫من‬ ‫كآل‬ ‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬:
−𝟑 𝟐 , 𝟐 𝟏 , 𝟏 − 𝟐 , 𝟏 + 𝟐
−3 = −3 + 2 = −3 − 6 −3 = −3 , −6
2 = 2 4 − 2 = 8 − 4 2 = 8 , −4
− = 4 − 2 − + 2 = 4 − + −2 − 2 = 3 − 4
− = = 3 − 4 = 3, −4
+ = 4 − 2 + + 2 = 4 + + −2 + 2 = 5 + i
+ = = 5 + i = 5,

51
‫المطبٌة‬ ‫الصورة‬𝑷𝒐𝒍𝒂𝒓 𝑭𝒐𝒓𝒎‫المركب‬ ‫للعدد‬
‫ارا‬‫كان‬= + = ,‫فان‬= =‫و‬= =‫حٍث‬‫أن‬
‫انجضء‬ً‫انحقٍق‬‫نهعذد‬‫انمشكب‬‫انجضء‬ً‫انتخٍه‬‫نهعذد‬‫انمشكب‬( )‫مقٍاط‬‫انعذد‬‫انمشكب‬‫وهو‬‫ع‬‫ذد‬
ً‫حقٍق‬‫غٍش‬‫سانب‬‫وٌسمى‬‫وٌشمض‬‫نه‬‫بانشمض‬‖ ‖‫و‬‫تسمى‬(𝜃)‫سعة‬‫انعذد‬‫انمشكب‬‫وتكتب‬
=‫حٍث‬[ 𝟎 , 𝟐‫أن‬ ‫انقول‬ ‫وٌمكه‬= ‖ ‖ +
‫ٌكتب‬ ‫أو‬= +
= ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐
= = ‖ ‖
= = ‖ ‖
( ‫مثال‬32)/‫كان‬ ‫اذا‬= 𝟏 + 𝟑‫لسعة‬ ‫األساسٌة‬ ‫والمٌمة‬ ‫الممٌاس‬ ‫فجد‬.
= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟑 = 𝟐
= =
‖ ‖
=
𝟏
𝟐
= =
‖ ‖
=
𝟑
𝟐
=
𝟑
‫األول‬ ‫الربع‬
=
𝟑
( ‫مثال‬42)/‫كان‬ ‫اذا‬= −𝟏 −‫للعدد‬ ‫األساسٌة‬ ‫والمٌمة‬ ‫الممٌاس‬ ‫فجد‬.
= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟏 = 𝟐
= =
‖ ‖
=
−𝟏
𝟐
= =
‖ ‖
=
−𝟏
𝟐
=
𝟒
‫الثالث‬ ‫الربع‬
= +
𝟒
=
𝟓
𝟒

52
( ‫مثال‬52)/: ‫المطبٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫التالٌة‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عن‬ ‫عبر‬
‫وزاري‬2012/‫د‬2
𝟐 𝟑 − 𝟐
= 𝟐 𝟑 − 𝟐
= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏𝟐 + 𝟒
= 𝟏𝟔 = 𝟒
= =
‖ ‖
=
𝟐 𝟑
𝟒
=
𝟑
𝟐
= =
‖ ‖
=
−𝟐
𝟒
=
−𝟏
𝟐
= = 𝟐 −
𝟔
=
𝟏𝟏
𝟔
= 𝟒 (
𝟏𝟏
𝟔
+
𝟏𝟏
𝟔
)
‫وزاري‬2013/‫د‬1
− 𝟐 + 𝟐
= −𝟐 + 𝟐
= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟒 + 𝟒
= 𝟖 = 𝟐 𝟐
= =
‖ ‖
=
−𝟐
𝟐 𝟐
=
−𝟏
𝟐
= =
‖ ‖
=
𝟐
𝟐 𝟐
=
𝟏
𝟐
= = −
𝟒
=
𝟑
𝟒
= 𝟐 𝟐 (
𝟑
𝟒
+
𝟑
𝟒
)
( ‫مثال‬62)/‫االعداد‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عن‬ ‫عبر‬: ‫المطبٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫التالٌة‬
𝟏 − 𝟏 −
𝟏 = 𝟏 + 𝟎 = 𝟏 𝟎 + 𝟎
− 𝟏 = −𝟏 + 𝟎 = 𝟏 +
= 𝟎 + = 𝟏 (
𝟐
+
𝟐
)
− = 𝟎 − = 𝟏 (
𝟑
𝟐
+
𝟑
𝟐
)
‫مالحظة‬
( ‫المثال‬ ‫خالل‬ ‫من‬26‫تطبٌمها‬ ‫ٌمكن‬ ‫طرٌمة‬ ‫نستنته‬ ‫السابك‬ ): ً‫ٌل‬ ‫وكما‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬
𝟑 = 𝟑 𝟏 = 𝟑 𝟏 + 𝟎 = 𝟑 𝟎 + 𝟎
𝟓 = 𝟓 𝟎 + = 𝟓 (
𝟐
+
𝟐
)
−𝟐 = 𝟐 −𝟏 = 𝟐 −𝟏 + 𝟎 = 𝟐 +
−𝟕 = 𝟕 − = 𝟕 𝟎 − = 𝟕 (
𝟑
𝟐
+
𝟑
𝟐
)

53
‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬𝑫𝒆 𝑴𝒐𝒊𝒗𝒓𝒆′
𝒔 𝑻𝒉𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎
= + = + ‫فأن‬ , ‫لكل‬
= − = − ‫فأن‬ , − ‫لكل‬
=
(
𝟏
)
( (
+ 𝟐
) + (
+ 𝟐
)) = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, , − 𝟏
( ‫مثال‬72)/‫أحسب‬(
𝟑
𝟖
+
𝟑
𝟖
)
𝟒
(
𝟑
𝟖
+
𝟑
𝟖
)
𝟒
= (
𝟏𝟐
𝟖
+
𝟏𝟐
𝟖
) = (
𝟑
𝟐
+
𝟑
𝟐
) = 𝟎 −
( ‫مثال‬82)/− = − ‫فأن‬ , ‫لكل‬ ‫بين‬
‫األيسر‬ ‫الطرف‬ = − = + − = [ + − ]
= [ − + − ] = − ‫وبجعل‬
= [ + ] = +
= − + − = − =
‫مالحظة‬
ً‫ف‬ ‫مهمة‬ ‫التالٌة‬ ‫الموانٌن‬‫عملٌات‬: ‫التبسٌط‬
+ = +
− = −
+ = −
− = +

54
( ‫مثال‬92)‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬ ‫أحسب‬ /𝟏 + 𝟏𝟏
.‫وزاري‬3201/‫د‬2‫وزاري‬2015/‫د‬1
= + = = ‖ ‖ = + = + = 2
𝜃 = =
‖ ‖
=
2
𝜃 = =
2
=
4
= + = 𝜃 + i i 𝜃 = 2 ( (
4
) + i i (
4
))
= 2 ( (
4
) + i i (
4
)) = 2 2 ( (
8 + 3
4
) + i i (
8 + 3
4
))
= 2 2 ( (2 +
3
4
) + i i (2 +
3
4
))
= 32 2 *( 2 ( ) − 2 ( )) + ( 2 ( ) + 2 ( ))+
= 32 2 0( (
3
4
)) + . (
3
4
)/1 = 32 2 [
−
2
+
2
] = 32 − + = −32 + 32
‫مالحظة‬
−
= + −
= − + − = −
−
= −
( ‫مثال‬30)‫المعادلة‬ ‫حل‬ /𝟑
+ 𝟏 = 𝟎‫حٌث‬ℂ
𝟑
+ 𝟏 = 𝟎 𝟑
= −𝟏 𝟑
= + ‫التكعيبي‬ ‫بالجذر‬
= +
𝟏
𝟑 = (
+ 𝟐
𝟑
) + (
+ 𝟐
𝟑
) = 𝟎, 𝟏, 𝟐
= 𝟎 = (
𝟑
) + (
𝟑
) =
𝟏
𝟐
+
𝟑
𝟐
= 𝟏 = + = −𝟏 + 𝟎 = −𝟏
= 𝟐 = (
𝟓
𝟑
) + (
𝟓
𝟑
) =
𝟏
𝟐
−
𝟑
𝟐
2
𝟏
𝟐
+
𝟑
𝟐
, −𝟏 ,
𝟏
𝟐
+
𝟑
𝟐
3 ‫هي‬ ‫للمعادلة‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬

55
( ‫مثال‬31)/: ‫للممدار‬ ‫المطبٌة‬ ‫الصٌغة‬ ‫أوجد‬𝟑 +
𝟐
. ‫له‬ ‫الخمسة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫ثم‬
= 𝟑 + = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟏 = 𝟐
= =
‖ ‖
=
𝟑
𝟐
= =
𝟏
𝟐
=
𝟔
= 𝟐 (
𝟔
+
𝟔
) 𝟐
= 𝟐 𝟐
(
𝟔
+
𝟔
)
𝟐
𝟐
= 𝟒 (
𝟑
+
𝟑
)
𝟐
𝟏
𝟓 = 𝟒
(
𝟏
𝟓
)
(
𝟑
+
𝟑
)
𝟏
𝟓
= 4 4 6
(
𝟑
) + 𝟐
𝟓
7 + i i 6
(
𝟑
) + 𝟐
𝟓
75
= 4 6 4
+ 𝟔
𝟑
𝟓
5 + 4
+ 𝟔
𝟑
𝟓
57
𝟐𝟓
= 𝟒
𝟓
[ (
+ 𝟔
𝟏𝟓
) + (
+ 𝟔
𝟑
)] = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒
= 𝟎 𝟏 = 𝟒
𝟓
𝟏𝟓
+
𝟏𝟓
= 𝟏 𝟐 = 𝟒
𝟓 𝟕
𝟏𝟓
+
𝟕
𝟏𝟓
= 𝟐 𝟑 = 𝟒
𝟓 𝟏𝟑
𝟏𝟓
+
𝟏𝟑
𝟏𝟓
= 𝟑 𝟒 = 𝟒
𝟓 𝟏𝟗
𝟏𝟓
+
𝟏𝟗
𝟏𝟓
= 𝟒 𝟓 = 𝟒
𝟓 𝟐𝟓
𝟏𝟓
+
𝟐𝟓
𝟏𝟓
= 𝟒
𝟓 𝟓
𝟑
+
𝟓
𝟑

56
‫س‬1/: ً‫ٌل‬ ‫ما‬ ‫أحسب‬
[
𝟓
𝟐𝟒
+
𝟓
𝟐𝟒
]
𝟒
[
𝟓
𝟐𝟒
+
𝟓
𝟐𝟒
]
𝟒
= [
𝟐𝟎
𝟐𝟒
+
𝟐𝟎
𝟐𝟒
] = [
𝟓
𝟔
+
𝟓
𝟔
] = * ( −
𝟔
) + ( −
𝟔
)+
= * ( 𝟔
) + ( 𝟔
)+ + * ( 𝟔
) − ( 𝟔
)+
= −
𝟔
+
𝟔
=
− 𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
[
𝟕
𝟏𝟐
+
𝟕
𝟏𝟐
]
−𝟑
[
𝟕
𝟏𝟐
+
𝟕
𝟏𝟐
]
−𝟑
= [
−𝟐𝟏
𝟏𝟐
+
−𝟐𝟏
𝟏𝟐
] = [
−𝟕
𝟒
+
−𝟕
𝟒
] = [
𝟕
𝟒
−
𝟕
𝟒
]
= * (𝟐 −
𝟒
) − (𝟐 −
𝟒
)+
= * 𝟐 ( 𝟒
) + 𝟐 ( 𝟒
)+ − * 𝟐 ( 𝟒
) − 𝟐 ( 𝟒
)+
= 𝟐 (
𝟒
) + 𝟐 (
𝟒
) =
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
‫س‬2/‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬ ‫أحسب‬) ‫التعمٌم‬ ‫(أو‬ً‫ٌأت‬ ‫ما‬:
‫وزاري‬2012/‫د‬1
𝟏 − 𝟕
= − = = ‖ ‖ = + = + = 2
𝜃 = =
‖ ‖
=
2
, 𝜃 = =
−
2
, = 2 −
4
=
7
4
‫الرابع‬ ‫الربع‬
= 𝟏 − 𝟕
= 𝜃 + i i 𝜃 = 2 (
7
4
+ i i
7
4
)
= 2 (
49
4
+ i i
49
4
) = 2 2 * (
4
+ 2 ) + i i (
4
+ 2 )+
= 2 2 *( (
4
) 2 − (
4
) 2 ) + ( i (
4
) 2 + (
4
) 2 )+
= 8 2 *( (
4
) 2 ) + ( i (
4
) 2 )+ = 8 2 * (
4
) + i (
4
)+
= 8 2 [
2
+
2
] = 8 + = 8 + 8

57
‫وزاري‬2014/‫د‬2
𝟑 +
−𝟗
= 𝟑 + = = ‖ ‖ = + = 3 + = 2
𝜃 = =
‖ ‖
=
𝟑
2
𝜃 = =
2
=
6
‫األول‬ ‫الربع‬
−
= 𝟑 +
−𝟗
= −
𝜃 + i i 𝜃 −
= 2 −
(
6
+ i i
6
)
−
−
=
2
( (
−9
6
) + i i (
−9
6
)) =
5 2
( (
−3
2
) + i i (
−3
2
)) =
5 2
(
3
2
− i i
3
2
)
−
=
5 2
[ − − ] =
5 2
‫س‬3/ً‫ٌأت‬ ‫ما‬ ‫بسط‬:‫وزاري‬2013/‫د‬2
𝟐 + 𝟐 𝟓
𝟑 + 𝟑 𝟑
𝟐 + 𝟐 𝟓
𝟑 + 𝟑 𝟑
=
[ + 𝟐] 𝟓
[ + 𝟑] 𝟑
=
+ 𝟏𝟎
+ 𝟗
= +
+ 𝟖
− 𝟒
= 𝜃 + i 𝜃 𝜃 + i 𝜃 𝜃 − i 𝜃
= 𝜃 + i 𝜃 [ 𝜃 + i 𝜃 𝜃 − i 𝜃 ] = 𝜃 + i 𝜃 [ 𝜃 − i 𝜃 ]
= 𝜃 + i 𝜃 [ 𝜃 + i 𝜃 ] = 𝜃 + i 𝜃 = 4 𝜃 + i 4𝜃
‫س‬4/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫باستخدام‬−𝟏 + 𝟑
= − + 3 = = ‖ ‖ = + = + 3 = 4 = 2
𝜃 = =
‖ ‖
=
−𝟏
2
, 𝜃 = =
3
2
= −
3
=
2
3
‫الثاني‬ ‫الربع‬
= √− + 3 = − + 3
( )
=
( )
𝜃 + i i 𝜃
( )
= 2
( )
( (
2
3
) + i i (
2
3
))
( )
= 2 6 4
2
3
+ 2
2
5 + i i 4
2
3
+ 2
2
57 = 2 6 4
2 + 6
3
2
5 + i i 4
2 + 6
3
2
57
= 2 [ (
2 + 6
6
) + i i (
2 + 6
6
)] = 𝟎, 𝟏
= 𝟎 = 2[ (
2
6
) + (
2
6
)] = 2 (
𝟑
+
𝟑
) = 2 .
𝟏
𝟐
+
𝟑
𝟐
/ =
𝟏
2
+
𝟑
2
= 𝟏 = 2[ (
8
6
) + (
8
6
)] = 2 (
𝟒
𝟑
+
𝟒
𝟑
) = 𝟐 * ( +
𝟑
) + ( +
𝟑
)+
= 2[ (
𝟑
) − (
𝟑
)] + * (
𝟑
) + (
𝟑
)+
= 2[− (
𝟑
) − (
𝟑
)] = 2 .
−𝟏
𝟐
−
𝟑
𝟐
/ =
−𝟏
2
−
𝟑
2

58
‫س‬5/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التكعٌبٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫باستخدام‬𝟐𝟕
= 𝟐𝟕 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟐𝟕 𝟐 = 𝟐𝟕
= =
‖ ‖
=
𝟎
𝟐𝟕
= 𝟎 , = =
𝟐𝟕
𝟐𝟕
= 𝟏 =
𝟐
‫االول‬ ‫الربع‬
𝟑
= 𝟐𝟕
𝟑
= 𝟐𝟕
(
𝟏
𝟑
)
=
(
𝟏
𝟑
)
+
(
𝟏
𝟑
)
= 𝟐𝟕
(
𝟏
𝟑
)
(
𝟐
+
𝟐
)
(
𝟏
𝟑
)
𝟑
= 𝟐𝟕
𝟑
4 4 𝟐
+ 𝟐
𝟑
5 + 4 𝟐
+ 𝟐
𝟑
55 = 𝟎, 𝟏, 𝟐
= 𝟎 = 3[ (
6
) + (
6
)] = 𝟑 0
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
1 =
𝟑 𝟑
𝟐
+
𝟑
𝟐
= 𝟏 = 3[ (
5
6
) + (
5
6
)] = 𝟑 * ( −
6
) + ( −
6
)+
= 𝟑 *− (
6
) + (
6
)+ = 𝟑 0
− 𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
1 =
−𝟑 𝟑
𝟐
+
𝟑
𝟐
= 𝟐 = 3[ (
9
6
) + (
9
6
)] = 𝟑 [ (
3
2
) + (
3
2
)] = 𝟎 + 𝟑 − = −𝟑
‫س‬6/‫الجذ‬ ‫جد‬‫األربعة‬ ‫ور‬‫للعدد‬−𝟏𝟔‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫باستخدام‬.
= −𝟏𝟔 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟏𝟔
= =
‖ ‖
=
−𝟏𝟔
𝟏𝟔
= −𝟏 , = =
𝟎
𝟏𝟔
= 𝟎 =
𝟒
= −𝟏𝟔
𝟒
= −𝟏𝟔
(
𝟏
𝟒
)
=
(
𝟏
𝟒
)
+
(
𝟏
𝟒
)
= 𝟏𝟔
(
𝟏
𝟒
)
+
(
𝟏
𝟒
)
= 6 ( (
+ 2
) + i i (
+ 2
)) = 4
= 𝟎 = 2[ (
4
) + (
4
)] = 𝟐 [
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
] = 𝟐 + 𝟐
= 𝟏 𝟐 = 𝟐[ (
𝟑
𝟒
) + (
𝟑
𝟒
)] = 𝟐[ ( −
𝟒
) + ( −
𝟒
)] = 𝟐[− (
𝟒
) + (
𝟒
)]
= 𝟐 [
−𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
] = − 𝟐 + 𝟐
= 𝟐 𝟑 = 𝟐[ (
𝟓
𝟒
) + (
𝟓
𝟒
)] = 𝟐[ ( +
𝟒
) + ( +
𝟒
)] = 𝟐[− (
𝟒
) − (
𝟒
)]
= 𝟐 [
−𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
] = − 𝟐 − 𝟐
= 𝟑 𝟒 = 𝟐[ (
𝟕
𝟒
) + (
𝟕
𝟒
)] = 𝟐[ (𝟐 −
𝟒
) + (𝟐 −
𝟒
)]
= 𝟐[ (
𝟒
) − (
𝟒
)] = 𝟐 [
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
] = 𝟐 − 𝟐

59
‫س‬7/‫للعدد‬ ‫الستة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬−64‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬.
= −64 = = ‖ ‖ = + = 64 = 64
𝜃 = =
‖ ‖
=
𝟎
64
= , 𝜃 = =
−𝟔𝟒
64
= − =
3
2
= −64 = −64 ( )
=
( )
𝜃 + i i 𝜃
( )
= 64
( )
(
3
2
+ i i
3
2
)
( )
= 64 6 4
3
2
+ 2
6
5 + i i 4
3
2
+ 2
6
57 = 2 [ (
3 + 4
2
) + i i (
3 + 4
2
)]
= 𝟎 = 2[ (
3
2
) + (
3
2
)] = 𝟐 * (
𝟒
) + (
𝟒
)+ = 𝟐 [
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
]
= 𝟐 + 𝟐
= 𝟏 𝟐 = 𝟐[ (
𝟕
𝟏𝟐
) + (
𝟕
𝟏𝟐
)] = 𝟐[ (
𝟑
+
𝟒
) + (
𝟑
+
𝟒
)]
= 𝟐 *( (
𝟑
) (
𝟒
) − (
𝟑
) (
𝟒
)) + ( (
𝟑
) (
𝟒
) + (
𝟑
) (
𝟒
))+
= 𝟐 0.
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
−
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
/ + .
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
/1 = 𝟐 0.
𝟏
𝟐 𝟐
−
𝟑
𝟐 𝟐
/ + .
𝟑
𝟐 𝟐
+
𝟏
𝟐 𝟐
/1
= 𝟐 0.
𝟏 − 𝟑
𝟐 𝟐
/ + .
𝟑 + 𝟏
𝟐 𝟐
/1 =
𝟏 − 𝟑
𝟐
+
𝟑 + 𝟏
𝟐
= 𝟐 𝟑 = 𝟐[ (
𝟏𝟏
𝟏𝟐
) + (
𝟏𝟏
𝟏𝟐
)] = 𝟐[ ( −
𝟏𝟐
) + ( −
𝟏𝟐
)]
= 𝟐 *( (
𝟏𝟐
) + (
𝟏𝟐
)) + ( (
𝟏𝟐
) − (
𝟏𝟐
))+
= 𝟐 *− (
𝟏𝟐
) + (
𝟏𝟐
)+ = *− (
𝟒
−
𝟔
) + (
𝟒
−
𝟔
)+
= 𝟐 *− ( (
𝟒
) (
𝟔
) + (
𝟒
) (
𝟔
)) + ( (
𝟒
) (
𝟔
) − (
𝟒
) (
𝟔
))+
= 𝟐 0− .
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
/ + .
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
−
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
/1 = 𝟐 0
− 𝟑 − 𝟏
𝟐 𝟐
+
𝟑 − 𝟏
𝟐 𝟐
1
=
− 𝟑 − 𝟏
𝟐
+
𝟑 − 𝟏
𝟐
= 𝟑 = 2[ (
5
2
) + (
5
2
)] = 𝟐 [ (
𝟓
𝟒
) + (
𝟓
𝟒
)]
= 𝟐[ ( +
𝟒
) + ( +
𝟒
)]
= 𝟐 *( (
𝟒
) − (
𝟒
)) + ( (
𝟒
) + (
𝟒
))+
= 𝟐 *− (
𝟒
) − (
𝟒
)+ = 𝟐 [
−𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
] = − 𝟐 − 𝟐

60
= 𝟒 𝟓 = 𝟐[ (
𝟏𝟗
𝟏𝟐
) + (
𝟏𝟗
𝟏𝟐
)] = 𝟐[ (𝟐 −
𝟓
𝟏𝟐
) + (𝟐 −
𝟓
𝟏𝟐
)]
= 𝟐 [( 𝟐 (
𝟓
𝟏𝟐
) + 𝟐 (
𝟓
𝟏𝟐
)) + ( 𝟐 (
𝟓
𝟏𝟐
) − 𝟐 (
𝟓
𝟏𝟐
))]
= 𝟐 [ (
𝟓
𝟏𝟐
) − (
𝟓
𝟏𝟐
)] = * (
𝟒
+
𝟔
) − (
𝟒
+
𝟔
)+
= 𝟐 *( (
𝟒
) (
𝟔
) − (
𝟒
) (
𝟔
)) − ( (
𝟒
) (
𝟔
) + (
𝟒
) (
𝟔
))+
= 𝟐 0.
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
−
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
/ − .
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
/1 = 𝟐 0
𝟑 − 𝟏
𝟐 𝟐
−
𝟑 + 𝟏
𝟐 𝟐
1
=
𝟑 − 𝟏
𝟐
−
𝟑 + 𝟏
𝟐
= 𝟓 𝟔 = 𝟐[ (
𝟐𝟑
𝟏𝟐
) + (
𝟐𝟑
𝟏𝟐
)] = 𝟐[ (𝟐 −
𝟏𝟐
) + (𝟐 −
𝟏𝟐
)]
= 𝟐 *( 𝟐 (
𝟏𝟐
) + 𝟐 (
𝟏𝟐
)) + ( 𝟐 (
𝟏𝟐
) − 𝟐 (
𝟏𝟐
))+
= 𝟐 * (
𝟏𝟐
) − (
𝟏𝟐
)+ = * (
𝟒
−
𝟔
) − (
𝟒
−
𝟔
)+
= 𝟐 *( (
𝟒
) (
𝟔
) + (
𝟒
) (
𝟔
)) − ( (
𝟒
) (
𝟔
) − (
𝟒
) (
𝟔
))+
= 𝟐 0.
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
/ − .
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
−
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
/1 = 𝟐 0
𝟑 + 𝟏
𝟐 𝟐
−
𝟑 − 𝟏
𝟐 𝟐
1
=
𝟑 + 𝟏
𝟐
−
𝟑 − 𝟏
𝟐
******************************************************************
‫األول‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫العامة‬ ‫التمارين‬ ‫حلول‬
‫س‬1/‫لٌمة‬ ‫جد‬,: ‫تحمك‬ ً‫والت‬
𝟏+
=
𝟐+𝟒
+𝟐
‫وزاري‬2013/‫د‬3
𝟏 +
=
𝟐
+ 𝟒
+ 𝟐 𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
=
𝟐
− 𝟒 𝟐
+ 𝟐
−
𝟏 𝟐+𝟏 𝟐 =
−𝟐 +𝟐
+𝟐
−
𝟐
= − 2
− = 𝟐 − 4 = 𝟐
− = −4
−
⇒ = 𝟒 ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬
𝟒 = 𝟐 = 𝟐

61
‫س‬2/‫جد‬‫ناته‬:(𝟑 𝟗
+
𝟓
𝟓 +
𝟒
𝟒)
𝟔
(𝟑 𝟗
+
𝟓
𝟓
+
𝟒
𝟒
)
𝟔
= (𝟑 𝟑 𝟑
+
𝟓
𝟑. 𝟐
+
𝟒
𝟑.
)
𝟔
= (𝟑 𝟏 𝟑
+
𝟓
𝟐
+
𝟒
)
𝟔
= .𝟑 +
𝟓 𝟑
𝟐
+
𝟒 𝟑
/
𝟔
= 𝟑 + 𝟓 + 𝟒 𝟐 𝟔
= 𝟑 + 𝟓 + 𝟒[−𝟏 − ] 𝟔
= 𝟑 + 𝟓 − 𝟒 − 𝟒 𝟔
= −𝟏 + 𝟔
= [ −𝟏 + 𝟐] 𝟑
= [𝟏 − 𝟐 + 𝟐] 𝟑
= [ 𝟏 + 𝟐
− 𝟐 ] 𝟑
= [− − 𝟐 ] 𝟑
= [−𝟑 ] 𝟑
= −𝟐𝟕 𝟑
= −𝟐𝟕
‫س‬3/‫كان‬ ‫أذا‬=
𝟏− 𝟑
𝟏+ −𝟑
‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬ ‫جد‬ , ‫ا‬‫ا‬‫مركب‬ ‫ا‬‫ا‬‫عدد‬
𝟏
𝟐
=
𝟏 − 𝟑
𝟏 + −𝟑
=
𝟏 − 𝟑
𝟏 + 𝟑
𝟏 − 𝟑
𝟏 − 𝟑
=
𝟏 − 𝟑
𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟑
𝟐
=
𝟏 − 𝟐 𝟑 + 𝟑 𝟐
𝟏 + 𝟑
=
−𝟐 − 𝟐 𝟑
𝟒
=
−𝟏
𝟐
−
𝟑
𝟐
= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = √.
−𝟏
𝟐
/
𝟐
+ .
− 𝟑
𝟐
/
𝟐
= √
𝟏
𝟒
+
𝟑
𝟒
= 𝟏 = 𝟏
= =
‖ ‖
=
(
−𝟏
𝟐
)
𝟏
=
−𝟏
𝟐
, = =
.
− 𝟑
𝟐
/
𝟏
=
− 𝟑
𝟐
‫الثالث‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬
= +
𝟑
=
𝟒
𝟑
𝟏
𝟐 = .
−𝟏
𝟐
−
𝟑
𝟐
/
(
𝟏
𝟐
)
=
(
𝟏
𝟐
)
+
(
𝟏
𝟐
)
= 𝟏
(
𝟏
𝟐
)
(
𝟒
𝟑
+
𝟒
𝟑
)
(
𝟏
𝟐
)
𝟏
𝟐 = 6 4
𝟒
𝟑
+ 2
2
5 + i i 4
𝟒
𝟑
+ 2
2
57 = ,
= 𝟎
𝟏
𝟐 = (
4
6
) + (
4
6
) = (
2
3
) + (
2
3
) = ( −
3
) + ( −
3
)
𝟏
𝟐 = [ (
𝟑
) + (
𝟑
)] + * (
𝟑
) − (
𝟑
)+
𝟏
𝟐 = (
𝟑
) − (
𝟑
) = −
𝟏
𝟐
+
𝟑
𝟐
= 𝟏
𝟏
𝟐 = [ 4
𝟒
𝟑
+ 2
2
5 + 4
𝟒
𝟑
+ 2
2
5] = 4
𝟒 + 𝟔
𝟑
2
5 + 4
𝟒 + 𝟔
𝟑
2
5
𝟏
𝟐 = .
𝟏𝟎
6
/ + .
𝟏𝟎
6
/ = .
5
3
/ + .
5
3
/ = (2 −
3
) + (2 −
3
)
𝟏
𝟐 = [ 2 (
𝟑
) + 2 (
𝟑
)] + * 2 (
𝟑
) − 2 (
𝟑
)+
𝟏
𝟐 = 2 (
𝟑
) − 2 (
𝟑
) =
𝟏
𝟐
−
𝟑
𝟐

62
‫األول‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫الوزارية‬ ‫األسئلة‬ ‫حلول‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫د‬ /1‫ضع‬ :𝟏 + 𝟑 𝟐
+ 𝟑 − 𝟐 𝟐
.‫المركب‬ ‫للعد‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬
/‫الحل‬‫المقدار‬ = + 6 + 9 + 9 − 2 + 4
= + 6 − 9 + 9 − 2 − 4 = −3 − 6
‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬1:‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫جد‬ :
𝟕+ + 𝟐
𝟏− − 𝟐
/‫الحل‬
+ +
− −
=
+ +
− +
=
−
+
−
−
=
− − +
+
=
−
= 3 − 4
‫نفرض‬ 3 − 4 = +
‫بالتربيع‬
⇒ 3 − 4 = − + 2
− = 3 . . . . , 2 = −4 ⇒ = −2 =
−
. . . 2
− = 3
.
⇒ − 4 = 3 − 3 − 4 = − 4 + =
‫يهمل‬
− 4 = = 4 = 2
2 =
−
= −
− 2 =
3 − 4 = ,
2 −
−2 +
‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬2‫ا‬ ‫جذر‬ ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫أكتب‬ :𝟐 − 𝟐
, 𝟐 𝟐
−.
/‫الحل‬‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ = 2 − + 2 − = − + + 2 +
= − 2
‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ = 2 − 2 − = 4 − 2 − 2 +
= −4 − 2 − 2 . +
= −3 − 2 + = −3 + 2
‫التزبيعية‬ ‫المعادلة‬− − 2 + −3 + 2 =

63
‫وصاسي‬ ‫سؤال‬99‫/د‬1‫جزسها‬ ً‫انت‬ ‫انتشبٍعٍة‬ ‫انمعادنة‬ ‫كون‬ :𝟑 −
𝟐 𝟐
, 𝟐 −
𝟑 𝟐
/‫انحم‬3 i − = 3 −
−
−
= 3 + 2
2 i − = 2 −
−
−
= 2 + 3
‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ = 3 + 2 + 2 + 3 = 5 + 5 = 5 + = −5
‫الجذرين‬ ‫ضزب‬ ‫حاصل‬ = 3 + 2 2 + 3
= 6 + 9 + 4 + 6
= −6 − 9 − 4 − 6 .
= − 3 − 6 − 6
= − 3 − 6 + = − 3 + 6 = −7
‫التزبيعية‬ ‫المعادلة‬+ 5 − 7 =
‫وصاسي‬ ‫سؤال‬99‫/د‬1ً‫قٍمت‬ ‫جذ‬ :x‫و‬y:‫أن‬ ‫عهمت‬ ‫إرا‬ ‫انحقٍقٍتٍه‬𝟑 + 𝟐 𝟐
=
𝟐𝟎𝟎
𝟒+𝟑
/‫انحم‬9 + 2 + 4 =
+
−
−
9 − 4 + 2 =
−
+
9 − 4 + 2 = 32 − 24
9 − 4 = 32 . . , 2 = −24 ⇒ = −2 =
−
. 2
9 − 4 ( ) = 32 9 − = 32
.
⇒ 9 − 6 = 32
9 − 32 − 6 = 9 + 4 − 4 =
‫يهمـــل‬‫أما‬ 9 + 4 =
‫أو‬ − 4 = = 4 = 2
2 =
−
= −
−2 =

64
‫وصاسي‬ ‫سؤال‬2000‫/د‬1:‫كان‬ ‫إرا‬ := 𝟐 + 𝟑,= 𝟑 −‫قٍمة‬ ‫جذ‬ ,𝟐
+ 𝟐 𝟐
.
/‫انحم‬= 2 + 3 = 4 + 2 + 9 = −5 + 2
= 3 − = 9 − 6 + = 8 − 6
+ 2 = −5 + 2 + 2 8 − 6 = −5 + 2 + 6 − 2 =
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2000‫/د‬1:‫لٌمة‬ ‫جد‬ :(
𝟏
𝟏+
−
𝟏
𝟏+ 𝟐)
𝟐
.
/‫الحل‬(−
−
−
) = − + = − 2 + = − 2 + .
= + − 2 = −2 − = −3
‫وصاسي‬ ‫سؤال‬2000‫/د‬2‫مه‬ ‫كم‬ ‫قٍمة‬ ‫جذ‬ :x‫و‬y:‫عهمت‬ ‫إرا‬ ‫انحقٍقٍتٍه‬
+ + − + = 3
/‫انحم‬+ + − + = 3 + + − + = 3 +
+ = 3 . , − + = = + . . 2
+ + = 3 + + 2 + − 3 =
2 + 2 − 2 = ⇒ + − 6 = + 3 − 2 =
+ 3 = = −3 = −3 + = −2
− 2 = = 2 = 2 + = 3
‫وصاسي‬ ‫سؤال‬2001‫/د‬1‫انمقذاس‬ ‫قٍمة‬ ‫جذ‬ :𝟑 − 𝟐 𝟐
+ 𝟑 − 𝟐 𝟐 𝟐
.
/‫انحم‬‫المقدار‬ = 9 − 2 + 4 + 9 − 2 + 4
= 8 − 2 − 8 + 4 . = 8 − 2 − 8 + 4
= 8 − 8 − 8 = 8 − 8 + = 8 + 8 = 26

65
‫وصاسي‬ ‫سؤؤؤؤال‬2001‫/د‬1‫ؤؤؤذاس‬‫ؤ‬‫انمق‬ ‫ؤؤؤم‬‫ؤ‬‫ض‬ :
𝟕+ 𝟑
𝟏+𝟐 𝟑
‫ؤؤؤة‬‫ؤ‬‫وانقٍم‬ ‫ؤؤؤاط‬‫ؤ‬ٍ‫انمق‬ ‫ؤؤؤذ‬‫ؤ‬‫ج‬ ‫اؤؤؤم‬ ‫ؤؤؤب‬‫ؤ‬‫انمشك‬ ‫ؤؤؤذد‬‫ؤ‬‫نهع‬ ‫ؤؤؤة‬‫ؤ‬ٌ‫انعاد‬ ‫بانصؤؤؤٍاة‬
.‫نهسعة‬ ‫األساسٍة‬
/‫انحم‬
+
+
=
+
+
−
−
=
− + −
+
=
−
= − 3
‫المقياس‬ = + 3 = 4 = 2 , 𝜃 = , i 𝜃 =
−
‫للسعة‬ ‫األساسية‬ ‫القيمة‬ 𝜃 = 2 − = ‫الزابغ‬ ‫الزبغ‬ ‫في‬ ‫تقغ‬ 𝜃
‫وصاسي‬ ‫ؤؤؤال‬‫ؤ‬‫س‬2002‫/د‬1‫ؤؤم‬‫ؤ‬‫ض‬ :𝟑 + 𝟐 −𝟐 +ً‫ؤؤشب‬‫ؤ‬ ‫ان‬ ‫ؤؤش‬‫ؤ‬ٍ ‫و‬ ‫ؤؤذ‬‫ؤ‬‫ج‬ ‫ؤؤم‬‫ؤ‬‫ا‬ ‫ؤؤب‬‫ؤ‬‫انمشك‬ ‫ؤؤذد‬‫ؤ‬‫نهع‬ ‫ؤؤة‬‫ؤ‬ٌ‫انعاد‬ ‫ؤؤٍاة‬‫ؤ‬‫بانص‬
.ً‫ا‬ ٌ‫أ‬ ‫انعادٌة‬ ‫وبانصٍاة‬
/‫انحم‬3 + 2 −2 + = −6 + 3 − 4 + 2 = −8 −
‫الضزبي‬ ‫النظيز‬ =
− −
− +
− +
=
− +
+
=
−
+
‫وصاسي‬ ‫سؤال‬2001‫/د‬2‫جزسها‬ ً‫انت‬ ‫انتشبٍعٍة‬ ‫انمعادنة‬ ‫كون‬ :𝟑 − 𝟐 , 𝟑 𝟐
− 𝟐.
/‫انحم‬‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ = 3 − 2 + 3 − 2 = 3 + − 4 = −3 − 4
‫الجذرين‬ ‫ضزب‬ ‫حاصل‬ = 3 − 2 3 − 2 = 9 − 6 − 6 + 4
= 9 − 6 + − 4 = 5 + 6
‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬− −3 − 4 + 5 + 6 =
‫سؤال‬2002‫/د‬2‫كان‬ ‫اذا‬ := − 𝟑, 𝟏‫والمٌمة‬ ‫ممٌاسه‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫العدد‬ ‫لهذا‬ ‫الجبري‬ ‫الشكل‬ ‫أكتب‬ ,‫ا‬‫ا‬‫مركب‬ ‫ا‬‫ا‬‫عدد‬
.‫لسعته‬ ‫األساسٌة‬
/‫الحل‬= − 3 + ‫الجبري‬ ‫الشكل‬
║ = 3 + = 4 = 2 ‫المقياس‬ , 𝜃 =
−
, i 𝜃 =
‫للسعة‬ ‫األسياسية‬ ‫القيمة‬ 𝜃 = −
6
=
5
6
‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ 𝜃

66
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2002‫/د‬2‫لٌمة‬ ‫جد‬ :−𝟏 + 𝟑 − 𝟐
𝟐 + 𝟑 𝟐
+ 𝟐.
/‫الحل‬= [− + + 3 ][2 + + 3 ]
= + 3 −2 + 3 = 4 = 4 = 4
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2002‫/د‬1‫ا‬ ‫جذر‬ ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬ :𝟐 − 𝟑 , 𝟐 − 𝟑 𝟐
.
/‫الحل‬‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ = 2 − 3 + 2 − 3 = 4 − 3 + = 4 + 3
‫الضرب‬ ‫حاصل‬ = 2 − 3 2 − 3 = 4 − 6 − 6 + 9
= −5 − 6 + = −5 + 6
− 4 + 3 + −5 + 6 = ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2003‫/د‬1‫كان‬ ‫إذا‬ := 𝟏 − , = 𝟑 + 𝟐‫أن‬ ‫إثبت‬+ = +.
/‫الحل‬+ = 3 + 2 + − = 4 + = 4 −
+ = 3 + 2 + − = 3 − 2 + + = 4 −
+ = +
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2003‫/د‬1‫المركب‬ ‫للعدد‬ ً‫الضرب‬ ‫النظٌر‬ ‫جد‬ :𝟑 + 𝟓.‫العادٌة‬ ‫بالصورة‬ ‫ضعه‬ ‫ثم‬
/‫الحل‬‫الضربي‬ ‫النظير‬ =
+
=
+
−
−
=
−
+
=
−
= −
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2003‫/د‬1‫الممدار‬ ‫لٌمة‬ ‫جد‬ :
𝟏
𝟑+𝟒 +𝟓 𝟐
+
𝟏
𝟑+𝟓 +𝟒 𝟐
.
/‫الحل‬=
+ + − −
+
+ + − −
=
+ − −
+
+ − −
=
− −
+
− +
=
− + + − −
− − − +
=
− + − −
− + −
=
−
− −
=
−
− +
=
−
= −

67
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2003‫/د‬2‫كان‬ ‫إذا‬ :Z( ‫ممٌاسه‬ ‫ا‬‫ا‬‫مركب‬ ‫ا‬‫ا‬‫عدد‬2‫وسزعته‬ )( 𝟑
)‫والجبزري‬ ً‫الزدٌكارت‬ ‫الشزكل‬ ‫مزن‬ ‫كزال‬ ‫جزد‬
.‫العدد‬ ‫لهذا‬
/‫الحل‬𝜃 = = = =
i 𝜃 = i = = = 3
‫الجبري‬ ‫الشكل‬= + 3
‫الديكارتي‬ ‫الشكل‬= , 3
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2004‫/د‬1‫ا‬ ‫جذر‬ ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬ :( −
𝟓
𝟐) , ( −
𝟓
).
/‫الحل‬− = − = − 5 , − = − = − 5
‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ = − 5 + − 5 = −5 + + 2 = 5 + 2
‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ = − 5 − 5 = − 5 − 5 + 25
= − − 5 + + 25
= 24 + 5
− 5 + 2 + 24 + 5 = ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2004‫/د‬1‫المركب‬ ‫للعد‬ ‫العادٌة‬ ‫الصٌغة‬ ‫جد‬ :𝟏 − 𝟑
𝟐
+ 𝟐 − 𝟑
𝟐
.
/‫الحل‬− 𝟑 + 2 − 𝟑 = − 2 𝟑 + 3 + 4 − 4 𝟑 + 3
= 5 − 6 𝟑 − 3 − 3
= − − 6 𝟑
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2004‫/د‬2‫لٌمة‬ ‫جد‬ :𝟐 + 𝟐 𝟐
+ 𝟐 + 𝟐
.
/‫الحل‬‫المقدار‬ = 4 + 4 + + 4 + 4 + = 8 + 4 + + . +
= 8 − 4 + + = 4 − = 3

68
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2005‫/د‬1‫ناته‬ ‫جد‬ :𝟑 + 𝟒 𝟐
+ 𝟓 − 𝟑 𝟏 +.‫الدٌكارتٌة‬ ‫بالصٌغة‬
/‫الحل‬‫المقدار‬ = 9 + 24 + 6 + 5 + 5 − 3 − 3
= 9 − 6 + 5 + 3 + 24 + 5 − 3 = + 26
,26 ‫الديكارتية‬ ‫الصيغة‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2005‫/د‬1‫ا‬ ‫جذرا‬ ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬ :( −
𝟑
) , ( −
𝟑
𝟐).
/‫الحل‬− = − = − 3 , − = − = − 3
‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ = − 3 + − 3 = −3 + + 2 = 3 + 2
‫الضرب‬ ‫حاصل‬ = − 3 − 3 = − 3 − 3 + 9
= − − 3 + + 9 = 8 + 3
‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬− 3 + 2 + 8 + 3 =
‫سؤال‬2005‫/د‬2‫كان‬ ‫إذا‬ := −𝟏 + 𝟐‫فجد‬𝟐
+ 𝟑 + 𝟓.‫الدٌكارتٌة‬ ‫بالصٌغة‬
+ 3 + 5 = − + 2 + 3 − + 2 + 5
= − 4 + 4 − 3 + 6 + 5 = − + 2
‫الصيغة‬‫الديكارتية‬− ,2
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2005‫/د‬2‫للممدار‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫جد‬ :
𝟏+ + 𝟐
𝟏− − 𝟐
.
/‫الحل‬
+ +
− −
=
+ +
− +
=
−
+
−
−
=
− − +
+
=
−
= −
‫نفرض‬ − = +
⇒ − = − + 2
− = . . , 2 = − =
−
. 2
− =
.
⇒ 4 − = 2 − 2 + =
‫أما‬ 2 + = ‫يهمل‬
‫أو‬ 2 − = 2 = = = 8
=
−
=
−
−
=
− = 8
−
−
+

69
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬1‫كان‬ ‫إذا‬ :z( ‫ممٌاسه‬ ‫ا‬‫ا‬‫مركب‬ ‫عددا‬4‫االساسٌة‬ ‫وسعته‬ )(
𝟓
𝟔
)ً‫الدٌكارت‬ ‫الشكل‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫فجد‬
‫للعد‬ ‫الجبري‬ ‫والشكل‬‫د‬z.
/‫الحل‬= − = 2 = −4 3 = −2 3
i = = 2 = 4 = 2
‫الجبري‬ ‫الشكل‬= −2 3 + 2
‫الديكارتي‬ ‫الشكل‬= −2 3, 2
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬1‫ا‬ ‫جذرا‬ ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬ :𝟓 + 𝟐 , 𝟓 + 𝟐 𝟐
.
/‫الحل‬‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ = 5 + 2 + 5 + 2 = + 2 + = − 2
‫الضرب‬ ‫حاصل‬ = 5 + 2 5 + 2 = 25 + + + 4
= 25 + + − 4 = 2 −
− − 2 + 2 − = ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬1ً‫لٌمت‬ ‫جد‬ :x‫و‬y:‫المعادلة‬ ‫من‬ ‫الحمٌمٌتٌن‬𝟐 + + 𝟐 = 𝟐 + 𝟗.
/‫الحل‬2 + 4 + + 2 = 2 + 9 2 − 2 + 4 + = 2 + 9
2 − 2 = 2 2 = 4 = 2 =
4 + = 9 . 2
4 + = 9
.
⇒ 4 + 2 = 9 4 − 9 + 2 =
4 − − 2 =
‫أما‬ 4 − = 4 = =
4
=
2
4
= 8
‫أو‬ − 2 = = 2 =
2
2
=

70
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬2‫ا‬ ‫جذرا‬ ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬ :𝟑 − 𝟐 , 𝟑 − 𝟐 𝟐
.
/‫الحل‬‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ = 3 − 2 + 3 − 2 = 6 − 2 + = 6 + 2
‫الضرب‬ ‫حاصل‬ = 3 − 2 3 − 2 = 9 − 6 − 6 + 4
= 9 − 6 + − 4 = 5 + 6
− 6 + 2 + 5 + 6 = ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬2ً‫لٌمت‬ ‫جد‬ :x‫و‬y:‫أن‬ ‫علمت‬ ‫إذا‬ ‫الحمٌمٌتٌن‬
3 − 2 + + = 7
/‫الحل‬6 + 3 − 2 − + = + 7
6 + 2 + 3 − 2 = + 7
6 + 2 = ⇒ = −2 =
−
. .
3 − 2 = 7 . 2
3 − 2 (
−
) = 7
.
⇒ 3 + 4 = 7 3 − 7 + 4 =
3 − 4 − =
3 − 4 = 3 = 4 = =
−
=
−
=
−
− = = =
−
= −2
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2007‫/د‬1‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫جد‬ :𝟑 + 𝟒.
/‫الحل‬‫نفرض‬ 3 + 4 = + ‫بالتربيع‬
3 + 4 = − + 2
− = 3 . . , 2 = 4 ⇒ = 2 =
2
. . 2
−
4
= 3
.
⇒ − 4 = 3 − 3 − 4 = − 4 + =
− 4 = = 4 = {
2 =
−2 = −
3 + 4 = ,
2 +
−2 −

71
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2007‫/د‬1‫لٌمة‬ ‫جد‬ :(𝟏 −
𝟏
+ ) (𝟏 −
𝟏
𝟐
+ 𝟐
).
‫المقدار‬ = ( − + ) ( − + ) = − + − +
= [ + − ][ + − ] = − − − −
= −2 −2 = 4 = 4
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2007‫/د‬2‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫األساسٌة‬ ‫والسعة‬ ‫الممٌاس‬ ‫جد‬ :(
𝟐
𝟏+
).
/‫الحل‬
+
=
+
−
−
=
−
=
+
= + = +
‫المقياس‬ = + = 2 , 𝜃 = , i 𝜃 = 𝜃 =
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2008‫/د‬1‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫للسعة‬ ‫األساسٌة‬ ‫والمٌمة‬ ‫الممٌاس‬ ‫جد‬ :𝟏 + 𝟑
𝟐
.
/‫الحل‬+ 3 = + 2 3 + 3 = −2 + 2 3
‫المقياس‬ = 4 + 2 = 6 = 4 , 𝜃 =
−
=
−
, i 𝜃 = =
= − = ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2008‫/د‬1‫ا‬ ‫جذرا‬ ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫أكتب‬ :𝟑 + , 𝟑 𝟐
+ 𝟐
.
/‫الحل‬3 + = 3 + = 3 +
3 + = 3 + = 3 +
‫المجموع‬ = 3 + + 3 + = 3 + + + = −3 −
‫الضرب‬ ‫حاصل‬ = 3 + 3 + = 9 + 3 + 3 +
= 9 + 3 + 3 . −
= 8 + 3 + = 8 − 3
− −3 − + 8 − 3 = ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬

72
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2008‫/د‬2ً‫لٌمت‬ ‫جد‬ :x‫و‬y‫المعادلة‬ ‫تحممان‬ ‫واللتان‬ ‫الحمٌمٌتٌن‬
+ 5 = 2 + +
/‫الحل‬+ 5 = 2 + 2 + + + 5 = 2 − + 3
= 2 − . , 5 = 3 =
= 2 ( ) − = − =
−
= = 4
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬1‫الممدار‬ ‫لٌمة‬ ‫جد‬ :𝟏 + 𝟒
− 𝟓 + 𝟑 + 𝟓 𝟐 𝟐
.
/‫الحل‬‫المقدار‬ = [ + ] − [5 + + 3 ]
= [ + 2 + ] − [−5 + 3 ] = 4 − 4
= −4 − 4 = −4 + = 4
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬1:‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫جد‬ :
𝟏𝟒+𝟐
𝟏+
.
/‫الحل‬
+
+
=
+
+
−
−
=
− + −
=
−
= 8 − 6
‫نفرض‬ 8 − 6 = +
⇒ 8 − 6 = − + 2
− = 8 . . , 2 = −6 ⇒ = −3 =
−
. 2
−
9
= 8
.
⇒ − 9 = 8 − 8 − 9 = − 9 + =
‫يهمل‬
− 9 = = 9 = {
3 = −
−3 =
8 − 6 = ,
3 −
−3 +

73
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬2‫المعادلة‬ ‫حل‬ :𝟒
+ 𝟏𝟑 𝟐
+ 𝟑𝟔 = 𝟎‫حٌث‬z.‫مركب‬ ‫عدد‬
/‫الحل‬+ 9 + 4 =
+ 9 = = −9 = 9 = 3
+ 4 = = −4 = 4 = 2
‫مج‬ = {−2 , 2 , −3 , 3 }
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬2‫الممدار‬ ‫لٌمة‬ ‫جد‬ :(𝟐 +
𝟑
+ 𝟐)
𝟐
(𝟓 +
𝟐
𝟐
+ 𝟓 𝟐
)
𝟐
.
‫المقدار‬ = (2 + + 2) (5 + + 5 )
= 2 + 3 + 2 5 + 2 + 5
= [2 + + 3 ] [5 + + 2 ]
= [−2 + 3 ] [−5 + 2 ]
= −3 = . 9 = 9 = 9 = 9 = 9
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬1ً‫لٌمت‬ ‫جد‬ :x‫و‬y:‫المعادلة‬ ‫تحممان‬ ‫واللتان‬ ‫الحمٌمٌتٌن‬
+ 𝟑 − 𝟐 = 𝟏𝟐 + 𝟓
/‫الحل‬− 2 + 3 − 6 = 2 + 5 + 6 + −2 + 3 = 2 + 5
+ 6 = 2 = 6 = .
−2 + 3 = 5 2
−2 + 3 ( ) = 5
.
⇒ −2 + 8 = 5 2 + 5 − 8 =
2 + 9 − 2 =
2 + 9 = 2 = −9 =
−
= =
−
= =
−
− 2 = = 2 = = = 3

74
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬1‫لٌمة‬ ‫جد‬ :(
𝟐
+ 𝟑 𝟐 + 𝟐)
𝟐
(
𝟏
+ 𝟒 + 𝟏).
/‫الحل‬= ( + 3 2 + 2) ( + 4 + )
= 2 + 3 2 + 2 + 4 +
= [ 2 + + 3 2 ] [ + + 4 ]
= − 2 + 3 2 − + 4
= 2 2 3 8 3 = 24 = 24
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬2‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربٌعٌٌن‬ ‫الجذرٌن‬ ‫جد‬ :z‫حٌث‬= −𝟏 + 𝟕 𝟏 +
/‫الحل‬= − − + 7 + 7 = −8 + 6
‫نفرض‬ −8 + 6 = +
⇒ −8 + 6 = − + 2
− = −8 . , 2 = 6 = 3 = . . 2
− ( ) = −8 − = −8
.
⇒ − 9 = −8 + 8 − 9 =
+ 9 − =
‫أما‬ + 9 = ‫يهمل‬
‫أو‬ − = = = {
= 3
− = −3
−8 + 6 = ,
+ 3
− − 3

75
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬2‫ا‬ ‫جذرا‬ ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫أكتب‬ :
𝟐
𝟏+𝟐 𝟐 ,
𝟏+𝟐
.
/‫الحل‬‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ =
+
+
+
=
+ + +
+ +
=
+ + +
+ + +
=
+ + +
+ + +
=
+ +
+ +
=
−
−
= =
‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ =
+ 2 + 2
=
+ 2 + 2 + 4
=
5 + 2 +
=
3
− + = ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2012‫/د‬1‫كان‬ ‫إذا‬ :
𝟐+
𝟑−
,
𝟓
+
ً‫لٌمت‬ ‫جد‬ ,‫مترافمٌن‬y,x.‫الحمٌمٌتٌن‬
/‫الحل‬
+
=
−
+
2 − + = 5 + 5 + =
+
−
+
+
+ =
+ + +
+
+ =
+
= 5 , = 5+ = 5 + 5
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2012‫/د‬2:: ‫الممدار‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫ضع‬𝟏 + 𝟓
+ 𝟏 − 𝟓
/‫الحل‬
𝟏 + 𝟓
− 𝟏 − 𝟓
= [ 𝟏 + 𝟐] 𝟐
𝟏 + − [ 𝟏 − 𝟐] 𝟐
𝟏 −
= 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟏 + − 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟏 −
= 𝟐 𝟐
𝟏 + − −𝟐 𝟐
𝟏 −
= −𝟒 𝟏 + − −𝟒 𝟏 −
= −𝟒 − 𝟒 + 𝟒 − 𝟒 = −𝟖 = 𝟎 − 𝟖
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2013‫/د‬1:: ‫لٌمة‬ ‫جد‬𝟏 − 𝟏 − 𝟐
𝟏 − 𝟑
‫الصفحة‬ ً‫ف‬ ‫محلول‬ ‫السؤال‬ ‫ذا‬ /‫الحل‬(13)‫أثبت‬ ‫بصٌغة‬𝟏 − 𝟏 − 𝟐
𝟏 − 𝟑
= 𝟒
𝟏 − 𝟏 − 𝟐
𝟏 − 𝟑
= 𝟏 − 𝟏 + 𝟏 [𝟏 − − ] = 𝟏 − 𝟐 [𝟏 + ]
= 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 𝟐
= 𝟐 − 𝟐 𝟐
= 𝟐 + 𝟐 = 𝟒

76
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2013‫/د‬3:
‫كان‬ ‫أذا‬𝟐 = 𝟓 + 𝟐 , 𝟏 = 𝟑 + 𝟒‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ً‫ف‬ ‫وضح‬𝟏 + 𝟐
/‫الحل‬
𝟏 = 𝟑 + 𝟒 𝟏 = 𝟑 , 𝟒
𝟐 = 𝟓 + 𝟐 𝟐 = 𝟓 , 𝟐
𝟏 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟑 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟐
𝟑 = 𝟖 + 𝟔 𝟑 = 𝟖 , 𝟔
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬1:‫المطبٌة‬ ‫الصٌغة‬ ‫جد‬‫الخمسة‬ ‫للجذور‬: ‫للممدار‬√ 𝟑 +
𝟐𝟓
= 𝟑 + = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟏 = 𝟐
= =
‖ ‖
=
𝟑
𝟐
= =
𝟏
𝟐
=
𝟔
= 𝟐 (
𝟔
+
𝟔
) 𝟐
= 𝟐 𝟐
(
𝟔
+
𝟔
)
𝟐
𝟐
= 𝟒 (
𝟑
+
𝟑
)
𝟐
𝟏
𝟓 = 𝟒
(
𝟏
𝟓
)
(
𝟑
+
𝟑
)
𝟏
𝟓
= 4 4 6
(
𝟑
) + 𝟐
𝟓
7 + i i 6
(
𝟑
) + 𝟐
𝟓
75
= 4 6 4
+ 𝟔
𝟑
𝟓
5 + 4
+ 𝟔
𝟑
𝟓
57
𝟐𝟓
= 𝟒
𝟓
[ (
+ 𝟔
𝟏𝟓
) + (
+ 𝟔
𝟏𝟓
)] = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒
= 𝟎 𝟏 = 𝟒
𝟓
𝟏𝟓
+
𝟏𝟓
= 𝟏 𝟐 = 𝟒
𝟓 𝟕
𝟏𝟓
+
𝟕
𝟏𝟓
= 𝟐 𝟑 = 𝟒
𝟓 𝟏𝟑
𝟏𝟓
+
𝟏𝟑
𝟏𝟓
= 𝟑 𝟒 = 𝟒
𝟓 𝟏𝟗
𝟏𝟓
+
𝟏𝟗
𝟏𝟓
= 𝟒 𝟓 = 𝟒
𝟓 𝟐𝟓
𝟏𝟓
+
𝟐𝟓
𝟏𝟓
= 𝟒
𝟓 𝟓
𝟑
+
𝟓
𝟑

77
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬2:‫ان‬ ‫اثبت‬(
𝟓 𝟐 −𝟏
𝟓+
)
𝟔
= −𝟏
/‫الحل‬
.
𝟓 𝟐
− 𝟏
𝟓 +
/
𝟔
= .
𝟓 𝟐
− 𝟏 − 𝟐 𝟑
𝟓 +
/
𝟔
= .
𝟓 𝟐
+ 𝟐 𝟑
𝟓 +
/
𝟔
= .
𝟐
𝟓 +
𝟓 +
/
𝟔
= 𝟐 𝟔
= 𝟏𝟐 𝟐
= −𝟏
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬3:‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫المطبٌة‬ ‫الصٌغة‬ ‫جد‬= 𝟓 − 𝟓
/‫الحل‬
= ‖ ‖ = = 𝟐 + 𝟐 = 𝟐𝟓 + 𝟐𝟓 = 𝟓𝟎 = 𝟓 𝟐
= ‖ ‖
=
𝟓
𝟓 𝟐
=
𝟏
𝟐
, = ‖ ‖
=
−𝟓
𝟓 𝟐
=
−𝟏
𝟐
= 𝟐 −
𝟒
=
𝟕
𝟒
‫الرابع‬ ‫الربع‬
= 𝟓 𝟐
𝟕
𝟒
+
𝟕
𝟒
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬2:‫المطبٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫العدد‬ ‫عن‬ ‫عبر‬
𝟏−𝟑 𝟐
𝟏− − 𝟐
/‫الحل‬
=
𝟏 − 𝟑 𝟐
𝟏 − − 𝟐
=
𝟏 + 𝟑
𝟏 − + 𝟐
=
𝟒
𝟏 +
=
𝟒
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
=
𝟒 − 𝟒
𝟐
= 𝟐 – 𝟐
= 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 𝟐 + −𝟐 𝟐 = 𝟒 + 𝟒 = 𝟖 = 𝟐 𝟐
= =
𝟐
𝟐 𝟐
=
𝟏
𝟐
, = =
−𝟐
𝟐 𝟐
=
−𝟏
𝟐
‫الرابع‬ ‫بالربع‬ ‫تمع‬ ‫والسعة‬ 𝟒
‫ى‬ ‫االسناد‬ ‫زاوٌة‬
= = 𝟐 −
𝟒
=
𝟕
𝟒
= + = 𝟐 𝟐 (
𝟕
𝟒
+
𝟕
𝟒
) ‫القطبية‬ ‫الصورة‬

78
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬2:‫كان‬ ‫اذا‬𝟐 − 𝟒‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫أحد‬ ‫و‬𝟐 𝟐
– – + – 𝟔 = 𝟎,
ً‫لٌمت‬ ‫جد‬ , ‫حمٌمٌة‬ ‫معامالتها‬,
/‫الحل‬‫مترافمان‬ ‫الجذران‬ ‫فان‬ ‫حمٌمٌة‬ ‫المعامالت‬ ‫ان‬ ‫بما‬
= 𝟐 − 𝟒 , = 𝟐 + 𝟒
+ = 𝟐 − 𝟒 + 𝟐 + 𝟒 = 𝟒
. = 𝟐 − 𝟒 𝟐 + 𝟒 = 𝟒 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟎
𝟐
– 𝟒 + 𝟐𝟎 = 𝟎
.𝟐
⇒ 𝟐 𝟐
– 𝟖 + 𝟒𝟎 = 𝟎
‫مع‬ ‫بالمقارنة‬ 𝟐 𝟐
– 𝟏 + + − 𝟔 = 𝟎
𝟏 + = 𝟖 = 𝟕
– 𝟔 = 𝟒𝟎 = 𝟒𝟔
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3:
: ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫مجموعة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬ ‫جد‬𝟑
− 𝟖 = 𝟎
/‫الحل‬
𝟑
− 𝟖 = 𝟎 𝟑
= 𝟖 𝟑
= 𝟖 * (
𝟐
) + (
𝟐
)+ ‫التكعيبي‬ ‫بالجذر‬
= 𝟐 . (
𝟐
) + (
𝟐
)/
𝟏
𝟑
= 𝟐 6 4 𝟐
+ 𝟐
𝟑
5 + 4 𝟐
+ 𝟐
𝟑
57
= 𝟐 6 4
+ 𝟒
𝟐
𝟑
5 + 4
+ 𝟒
𝟐
𝟑
57 = 𝟐 [ (
+ 𝟒
𝟔
) + (
+ 𝟒
𝟔
)]
= 𝟎, 𝟏, 𝟐
= 𝟎 = 𝟐 * (
𝟔
) + (
𝟔
)+ = 𝟐 0
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
1 = 𝟑 +
= 𝟏 = 𝟐 [ (
𝟓
𝟔
) + (
𝟓
𝟔
)] = 𝟐 0
− 𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
1 = − 𝟑 +
= 𝟏 = 𝟐 [ (
𝟗
𝟔
) + (
𝟗
𝟔
)] = 𝟐[𝟎 − ] = −𝟐
{ 𝟑 + , −𝟐 , − 𝟑 + } ‫هي‬ ‫للمعادلة‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬

79
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2016‫/د‬1::‫أن‬ ‫أثبت‬(𝟓 −
𝟓
𝟐+𝟏
+
𝟑
𝟐)
𝟔
= 𝟔𝟒.
/‫الحل‬
‫األيمن‬ ‫الطرف‬ = (𝟓 −
𝟓
𝟐+𝟏
+
𝟑
𝟐)
𝟔
= (𝟓 −
𝟓
−
+
𝟑
𝟐
)
𝟔
= .𝟓 +
𝟓 𝟑
+
𝟑 𝟑
𝟐
/
𝟔
= 𝟓 + 𝟓 𝟐
+ 𝟑 𝟔
= [𝟓 𝟏 + 𝟐
+ 𝟑 ] 𝟔
= [𝟓 − + 𝟑 ] 𝟔
= [−𝟐 ] 𝟔
= 64 = 64 𝟑
= 64 𝟏 = 64
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2016‫/د‬1:‫للعدد‬ ‫التكعٌبٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ , ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬𝟖.
/‫الحل‬
= 𝟖 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟖 𝟐 = 𝟖
= =
‖ ‖
=
𝟎
𝟖
= 𝟎 , = =
𝟖
𝟖
= 𝟏 =
𝟐
‫االول‬ ‫الربع‬
𝟑
= 𝟖
𝟑
= 𝟖
(
𝟏
𝟑
)
=
(
𝟏
𝟑
)
+
(
𝟏
𝟑
)
= 𝟖
(
𝟏
𝟑
)
(
𝟐
+
𝟐
)
(
𝟏
𝟑
)
𝟑
= 𝟖
𝟑
4 4 𝟐
+ 𝟐
𝟑
5 + 4 𝟐
+ 𝟐
𝟑
55 = 𝟎, 𝟏, 𝟐
= 𝟎 = 2[ (
6
) + (
6
)] = 𝟐 0
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
1 = 𝟑 +
= 𝟏 = 2[ (
5
6
) + (
5
6
)] = 𝟐 * ( −
6
) + ( −
6
)+
= 𝟐 *− (
6
) + (
6
)+ = 𝟐 0
− 𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
1 = − 𝟑 +
= 𝟐 = 2[ (
9
6
) + (
9
6
)] = 𝟐 [ (
3
2
) + (
3
2
)] = 𝟎 + 𝟐 − = −𝟐

80
‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫حول‬ ‫أسئلة‬
‫س‬1/( ‫كان‬ ‫إذا‬i–a( ‫للعدد‬ ‫التربٌعٌن‬ ‫الجذرٌن‬ ‫أحد‬ )bi+3‫حٌث‬ )a,b‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫السعة‬ ‫جد‬ ,‫حمٌمٌة‬ ‫أعداد‬
= 𝟐
− 𝟑 − 𝟐 − 𝟏𝟗
‫س‬2/:‫أن‬ ‫أثبت‬𝟐 + −
𝟒
−
𝟑
𝟐
= 𝟓
‫س‬3/‫ل‬‫العددٌن‬ ‫أن‬𝟏 − 𝟔 − 𝟐 𝟐
, 𝟐 − − 𝟓 𝟐
.‫مترافمتان‬
‫س‬4/: ً‫ٌل‬ ‫ما‬ ‫ناته‬ ‫جد‬
𝟏 + 𝟑
𝟓
− 𝟏 + 𝟑
𝟓𝟐
√ 𝟓 + 𝟕
𝟏
𝟏 − 𝟔𝟒𝟏 + 𝟖𝟑
‫س‬5/‫التربٌعٌة‬ ‫الجدور‬ ‫أوجد‬‫للعدد‬𝟓 + 𝟏𝟐
‫س‬6/‫كان‬ ‫أذا‬= + 𝟑‫ممٌاسه‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬𝟐‫لٌمة‬ ‫جد‬ ,.
‫س‬7/‫كان‬ ‫إذا‬+ =
𝟐+
𝟏−
‫أن‬ ‫فأثبت‬𝟐[ 𝟑
+ 𝟑] = 𝟕
‫س‬8/‫كان‬ ‫أذا‬𝟏 +‫الجذور‬ ‫أحد‬ ‫و‬‫المعادلة‬‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬+ 𝟒ً‫لٌمت‬ ‫فجد‬,
‫س‬9‫المركب‬ ‫العدد‬ /𝟏 − 𝟐‫المعادلة‬ ‫جذور‬ ‫أحذ‬ ‫و‬𝟐
− 𝟐 − + − 𝟕 = 𝟎‫لٌم‬ ‫فجد‬,
‫س‬10/‫المعادلة‬ ‫حل‬ , ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬𝟐
+ 𝟐𝟕 = 𝟎‫حٌث‬ℂ
‫س‬11/‫المعادالت‬ ‫حل‬‫التالٌة‬‫المجموعة‬ ً‫ف‬‫مختلفتٌن‬ ‫بطرٌمتٌن‬ ℂ
𝟑
− 𝟖 = 𝟎𝟐𝟑
− 𝟖 = 𝟎𝟏
𝟑
− 𝟔𝟒 = 𝟎𝟒𝟑
+ 𝟔𝟒 = 𝟎𝟑
‫س‬12/: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫ا‬‫ال‬‫ك‬ ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬ ‫أحسب‬
𝟑 −
𝟕
−𝟏 + 𝟕
𝟏 + 𝟓

ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الأول الأعداد المركبة 2017 الأستاذ علي حميد

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الأول الأعداد المركبة 2017 الأستاذ علي حميد

Recently uploaded

ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الأول الأعداد المركبة 2017 الأستاذ علي حميد