1. Sifat-sifat Transformasi Laplace
a) Sifat linear
Jika c 1 dan c 2 adalah sebarang konstanta, sedangkan F1 ( t ) dan F 2 ( t ) adalah fungsi-fungsi
dengan transformasi-transformasi Laplace masing-masing f 1 ( s ) dan f 2 ( s ) , maka:
L{c1 F1 ( t ) c 2 F 2 ( t )} c1 f 1 ( s ) c2 f (s)
Bukti:
st
L{ c 1 F ( t ) c 2 F 2 ( t )} e { c 1 F1 ( t ) c 2 F 2 ( t )} dt
0
st st
e c 1 F1 ( t ) dt e c 1 F 2 ( t ) dt
0 0
p
st st
c1 e F1 ( t ) dt c2 e F 2 ( t ) dt
0 0
c1 f 1 ( s ) c2 f 2 (s)
1. L{5t 3} L{5t 3 a} L{5t } L{3}
5 L{t } 3 L{1}
1 1
5 2
3
s s
5 3
2
s s
2. L{6 sin 2 t 5 cos 2 t} L{6 sin 2 t } L{5 cos 2 t }
6 L{sin 2 t } 5 L{cos 2 t }
2 s
6 2
5 2
s 4 s 4

2. 12 5s
2
s 4
3. L{( t 2 1) }
2
L {t
4
2t
2
1}
4 2
L {t } L{ 2 t } L{1}
4 2
L {t } 2 L {t } L {1}
4! 2! 1
4 1
2 2 1
s s s
24 4 1
5 3
s s s
4. L{ 4 e 5 t 6t
2
3 sin 4 t 2 cos 2 t }
5t 2
L{ 4 e } L{ 6 t } L{3 sin 4 t } L{ 2 cos 2 t }
5t 2
4L e 6L t 3 L sin 4 t 2 L cos 2 t
1 2 4 s
4 6 3
3 2
2 2
s 5 s s 4 s 4
4 12 12 2s
3 2 2
s 5 s s 16 s 4
b) Sifat translasi atau pergeseran pertama
2t
Jika L{ F ( t )} f ( s ) maka L{ e F ( t )} f (s a)
Bukti
`
st
Karena L{ F ( t )} e F ( t ) dt f ( s ) , maka
0
`
at st at
L { e F ( t )} e e F ( t ) dt
0

3. ( s a )t
e F ( t ) dt
0
f (s a)
Contoh:
3t
1. Tentukan L{e F ( t )} jika L { F ( t )} f (s)
Jawab :
Menurut sifat 2 di atas, L{e at F ( t )} f (s a)
3t
Maka L{e F ( t )} f s ( 3)
f (s 3)
s
2. Tentukan L{e 2 t F ( t )}, jika L{ F ( t )} f
a
Jawab :
Menurut sifat 2 di atas, L{e at F ( t )} f (s a)
s 2t s 2
Karena L{ F ( t )} f , maka L{e F ( t )} f
a a
s 2
f
a a
s
3. Tentukan L{e t F ( t )} jika L{cos 2 t } 2
s 4
Jawab :
s
Karena L{cos 2 t } 2
maka menurut sifat translasi pertama
s 4
t
L{ e F ( t )} f (s 1)
t s 1
L{ e F ( t )} 2
(s 1) 4

4. s 1
2
s 2s 5
2t
4. Tentukan L{e ( 3 cos 6 t 5 sin 6 t )}
Jawab :
Menurut sifat linear,
2t 2t 2t
L{e ( 3 cos 6 t 5 sin 6 t )} L{e ( 3 cos 6 t )} L{e ( 5 sin 6 t )}
2t 2t
3 L{ cos 6 t } 5 L{e sin 6 t } }
s 6
Karena L{cos 6 t } 2
dan L{sin 6 t } 2
s 36 s 36
maka menurut sifat translasi
2t
3 L{ cos 6 t } 3 f (s 2)
(s 2)
3 2
,
(s 2) 36
dan
2t 6
5 L{ sin 6 t } 5
(s 2
sehingga
2t (s 2) 6
L{ e ( 3 cos 6 t 5 sin 6 t )} 3 2
5 2
(s 2) 36 (s 2) 36
3s 24
2
s 4s 40
c) Sifat translasi atau pergeseran kedua

5. F (t a ), untuk t a
Jika L{ F (t )} f ( s ) dan G ( t )
0 , untuk t a
maka
as
L {G ( t )} e f (s)
Bukti :
st
L{( G ( t )} e G ( t )dt
0
a
st st
e G ( t ) dt e G ( t ) dt
0 a
a
st st
e ( 0 ) dt e F (t a ) dt
0 a
st
e F (t a ) dt
a
Misal u = t-a maka t = u+a dan du = dt, sehingga
st s (u a )
e F (t a ) dt e F ( u ) du
a 0
as su
e e F ( u ) du
0
as
e f (s)
Contoh Soal :

6. 2 2
cos( t ), t
3 3
Carilah L{ F ( t )} jika F ( t )
2
0, t
3
Jawab :
Menurut definisi transformasi Laplace
st
L { F ( t )} e F ( t ) dt
0
2 /3
st st
e ( 0 ) dt e cos( t 2 / 3 ) dt
0 2 /3
s (u 2 / 3)
e cos udu
0
2 s/3 su
e e cos udu
0
2 s/3
se
2
s 1
d) Sifat pengubahan skala
1 s
Jika L{ F ( t )} f (s) maka L { F ( at )} f
a a
Bukti :
Karena
st
L{ F ( t )} e F ( t )dt
0
maka

7. st
L { F ( at )} e F ( at )dt
0
du
Misal u at maka du adt sehingga dt
a
st
Menurut definisi L{ F ( at ) e F ( at ) dt
0
s
u
a du
e F (u )
0
a
s
u
1 a
e F ( u ) du
a
1 s
f
a a
Contoh:
6
1. Jika L{ F ( t )} 3
f (s)
(s 2)
1 s
maka L{ F ( 3t )} f( )
3 3
6
3
s
3 2
3
6 .9
3
(s 6)
Contoh Soal :

8. 2
(t 1) , t 1
1. Hitunglah L{ F ( t )} jika F ( t )
0 ,0 t 1
2
s s 1
2. Jika L{ F ( t )} 2
, carilah L{ F ( 2 t )}
(2 s 1) ( s 1)
1/ s
e
3. Jika L { F ( t )} , carilah L{e t F ( 3t )}
s
Jawab :
1/ s
e
Karena L { F ( t )} f ( s ), maka menurut sifat 4 diperoleh
s
1 s
L{ F ( 3t )} f
3 3
3
s
1 e
Sehingga L { F ( 3 t )}
3 s
3
3
1 s
e
s
f (s )
Berdasarkan sifat Jika L{ F (t )} f (s)
maka L{e at F ( t )} f (s a) (sifat 2)
Maka L{e t F ( 3t )} f (s 1)
3
1 ( S 1)
e
(s 1)

9. e) Transformasi Laplace dari turunan-turunan
Jika L{ F (t )} f ( s ) maka L{ F ' ( t )} sf ( s ) F (0)
st
Karena Karena L{ F ( t )} e F ( t )dt f ( s ) , maka
0
st
L{ F ' ( t )} e F ' ( t )dt
0
st
e dF (t )
0
p
st st
e F (t ) F (t ) d ( e )
0 0
st
F (0) s e F ( t ) dt
0
sf ( s ) F (0)
2
Jika L{ F ' (t )} sf ( s ) F ( 0 ) maka L{ F ' ' ( t )} s f (s) sF ( 0 ) F '(s)
Bukti :
st
L { F ' ' ( t )} e F " ( t ) dt
0
st
e d ( F ' ( t ))
0
st st
e F ' (t ) F ' (t ) d (e )
0

10. st st
e F ' (t ) s F ' (t ) e dt
0
st
e F ' (t ) s ( sf ( s ) F ( 0 ))
2
s f (s) sF ( 0 ) F ' (0)
Dengan cara yang sama diperoleh
st
L { F ' ' ' ( t )} e F ' ' ' ( t ) dt
0
st
e d ( F ' ' ( t ))
0
st st
e F ' ' (t ) F ' ' (t ) d ( e )
0
st st
e F ' ' (t ) s e F ' ' ( t ) dt
0
st st st
e F ' ' (t ) s e F ' (t ) F ' (t ) d (e )
0
3 2
s f (s) s F (0) sF ' ( 0 ) F ' ' (0)
Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika
L{ F (t )} f (s)
maka

11. (n) n 1 n 2 (n 2) ( n 1)
L{ F ( t )} sf ( s ) s F (0) s F ' (0) ... sF (0) F (0)
Contoh soal :
Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turuan, tunjukkan bahwa
a
L{sin at } 2 2
f (s)
s a
Jawab :
2
Misal F (t ) sin at diperoleh F ' ( t ) a cos at , F ' ' ( t ) a sin at
1
sehingga L{sin at } 2
L{ F ' ' ( t )
a
Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turunan diperoleh
1
L{sin at } 2
sf ( s ) sF ( 0 ) F ' (0) f
a
1 2 a
2
s 2 2
s (0) a
a s a
2
1 as
2 2 2
a
a s a
2 2 3
1 as as a
2 2 2
a s a
a
2 2
s a
f) Tansformasi Laplace dari integral-integral

12. t
f (s)
Jika L{ F (t )} f ( s ) maka L F ( u ) du
0
s
Bukti :
t
Misal G ( t ) F ( u ) du maka G ' ( t ) F ( t ) dan G ( 0 ) 0
0
Dengan mentransformasikan Laplace pada kedua pihak, diperoleh:
L{G ' ( t )} L{ F ( t )}
sL {G ( t )} G {0} f (s)
sL {G ( t )} f (s)
f (s)
L{G ( t )}
s
t
f (s)
Jadi diperoleh L F ( u ) du
0
s
Contoh
t
sin u
1. Carilah L du
0
u
sin t
Misal F ( t )
t
1
Maka L{ F ( t )} arctan
s
Sehingga menurut sifat transformasi di atas
t
sin u f (s) 1 1
L du arctan
0
u s s s

13. t
sin u 1 1
2. Buktikan L du arctan
0
u s s
Bukti :
t
sin u
Misal F ( t ) du maka F ( 0 ) 0
0
u
sin t
F ' (t ) dan tF ' (t ) sin t
t
Dengan mengambil transformasi Laplace kedua bagian
1
L{tF ' ( t )} L{sin t } 2
s 1
d 1
sf ( s ) 2
ds s 1
1
sf ( s ) 2
ds
s 1
sf ( s ) arctan s C
Menurut teorema harga awal, Lim sf ( s ) lim F ( t ) F (0) 0
s t 0
Sehingga diperoleh c .
2
1 1
Jadi sf ( s ) arctan
s s
2
cos u ln s 1
3. Buktikan L du
t
u 2s
Bukti :

14. cos u cos t
Misal F ( t ) du maka F ' ( t ) atau t{ F ' (t )} cos t
t
u t
L{tF ' ( t )} L{ cos t }
d s d s
1 sf ( s ) F (0) 2
atau sf ( s ) 2
ds s 1 ds s 1
s
sf ( s ) 2
ds
s 1
1 2
ln s 1 c
2
Menurut teorema harga akhir, lim sf ( s ) lim F ( t ) 0 , sehingga c = 0.
s 0 t 0
2
1 2
ln( s 1)
Jadi sf ( s ) ln s 1 0 atau f ( s )
2 2s
g) Perkalian dengan t n
n
n n d (n)
Jika L{ F (t )} f ( s ) maka L {t F ( t ) ( 1) n
f (s) ( 1) f (s)
ds
Bukti :
st
Karena f ( s ) e F ( t )dt maka menurut aturan Leibnitz untuk menurunkan dibawah
0
tanda integral, diperoleh:
df d st
f '(s) e F ( t ) dt
ds ds 0
st
e F ( t ) dt
0
s

15. st
te F ( t ) dt
0
st
e {tF ( t )} dt
0
L{tF ( t )}
df
Jadi L{tF ( t )} f '(s)
ds
Contoh
1. Tentukan L{t sin at }
Jawab :
a
L{sin at } 2 2
, maka menurut sifat perkalian dari pangkat t n diperoleh
s a
n
n d f (s)
L { tF ( t )} 1 n
, sehingga
ds
d a
L{t sin at } ( 1) 2 2
ds s a
2 as
2 2 2
(s a )
2. Tentukan L{t 2 cos at }
Jawab :
2
d s
Menurut sifat di atas, L{t 2 cos at } ( 1)
2
2 2 2
ds s a

16. 2 2
d a s
2 2 2
ds (s a )
3 2
2s 6a s
2 2 3
(s a )
h) Sifat pembagian oleh t
F (t )
Jika L{ F (t )} f ( s ) maka L f ( u ) du
t 0
Bukti:
F (t )
Misal G ( t ) maka F ( t ) tG ( t )
t
Dengan menggunakan definisi transformasi Laplace untuk kedua bagian, maka diperoleh
d dg
bentuk L{ F ( t )} L{tG ( t )} atau f ( s ) L{G ( t )} atau f ( s )
ds ds
Selanjutnya dengan mengintegralkan diperoleh
dg
f (s) .
ds
s
g (s) f ( u ) du
f ( u ) du
s
F (t )
Jadi L f ( u ) du
t 0