Гомотетія

2. Означення
Перетворенням подібності (подібністю) називається таке
перетворення фігури F у фігуру F′, внаслідок якого відстань
між точками змінюється в тому самому відношенні k (k>0).
Число k>0 називається коефіцієнтом подібності.
Якщо k=1, то маємо переміщення.
Переміщення – окремий випадок подібності.
BB
AA
FF
BB’’
AA’’
FF’’
A’B’= k AB

3. Властивості перетворення подібності
1) Перетворення подібності переводить прямі в прямі,
промені – в промені, відрізки – у відрізки.
2) Кожна фігура подібна сама собі з коефіцієнтом
подібності k=1.
3) Перетворення подібності зберігає кути між променями.
АА’’
ВВ’’
СС’’
СС
ВВ
АА
Трикутник АВС
подібний
трикутнику А’В’С’.
∠АВС=∠А’В’С’

4. Означення
Гомотетією з центром О називається таке перетворення
фігури F у фігуру F′, внаслідок якого кожна точка Х фігури F
переходить у точку Х′ фігури F′ так, що точка Х′ лежить на
промені ОХ і ОХ′= k ОХ (k – фіксоване додатне число).
FF’’
FF
OO XX’’
XX
Число k –
коефіцієнт
гомотетії, фігури F
і F′ називають
гомотетичними.

5. Основна властивість гомотетії
Теорема. Гомотетія є перетворенням подібності.
Доведення.
• Нехай точки О, Х, Y не лежать на одній прямій.
• Гомотетія з центром О і коефіцієнтом k.
• Точка Х – переходить в точку Х′, точка Y переходить у точку
Y .′
YY’’
YY
OO XX’’
XX
За означенням
гомотетії: ОХ′= k
ОХ, ОY′= k ОY.
Отже, трикутники
ОХY і ОХ′Y′ подібні
за двома
пропорційними
сторонами й кутом
між ними.

6. Властивості гомотетії
Гомотетія з коефіцієнтом k є перетворенням
подібності з коефіцієнтом k.
• При гомотетії пряма переходить у паралельну їй
пряму або сама в себе; відрізок – у паралельний
йому відрізок; кут – у рівний йому кут.
• На координатній площині гомотетія точок А(х;у) і
В(х1; у1) задається формулами: х1= k х; у1= k у.

7. При гомотетії
зберігаються тільки
кути!!!

8. Розглянемо випадки:
• 1 ВИПАДОК: k > 0
а) k > 1
б) k < 1
• 2 ВИПАДОК: k < 0

9. 1 випадок
а) k = 2
А
В
С
А′
В′С′
О
ОА′ = 2∙ОА = 2∙___ = ___
ОВ′ = 2∙ОВ = 2∙___ = ___
ОС′ = 2∙ОС = 2∙___ = ___

10. 1 випадок:
б) k = 1
/3
А
ВС
О
А′
В′
С′
ОА′ = 1
/3∙ОА = 1
/3 ___ = ___
ОВ′ = 1
/3 ∙ОВ =1
/3 ∙___ = ___
ОС′ = 1
/3 ∙ОС = 1
/3 ∙___ = ___

11. 2 випадок: k = -2
О
А
В
С
А′
В′
С
′
ОА′ = |-2|∙ОА = 2∙___ = ___
ОВ′ = |-2|∙ОВ = 2∙___ = ___
ОС′ = |-2|∙ОС = 2∙___ = ___

12. Перевір себе
• Що таке перетворення подібності?
• Що таке гомотетія? Центр гомотетії?
Коефіцієнт гомотетії?
• Середня лінія MN трикутника АВС відтинає
від нього гомотетичний трикутник MBN.
Чому дорівнює коефіцієнт гомотетії?