z transform menggunakna matlab

1. Pengolahan Signal Digital
Author : Adam Sukma Putra
Modul Praktikum 4: Transformasi Z
I. Tujuan Praktikum
1. Memahami Z transform secara komprehensif
2. Mampu melakukan transformasi Z dari signal diskrit dan melakukan fungsi inverse Z
3. Mampu melakukan simulasi Z transform dengan software
4. Memahami konsep z-plane, pole, dan zero
II. Dasar Teori
Transformasi z banyak digunakan pada Digital Signal Processing (DSP) karena kegunannya
untuk menjelaskan karakteristik sinyal dan sistem berbasis waktu diskrit. Selain itu
transformasi z sering digunakan untuk mendesain filter digital dan melakukan analisa
frekuensi responnya. Transformasi z dapat dirumuskan sebagai berikut :
Secara singkat, formulasi transformasi Z adalah sebagai berikut:
𝑋(𝑧) = ∑ 𝑥[𝑛]𝑧−𝑛
∞
𝑛=−∞
Untuk signal dan sistem kausal/bilateral dimana x[n]=0, n<0, maka:
𝑋(𝑧) = 𝑥[0] + 𝑥[1]𝑧−1
+ 𝑥[2]𝑧−2
+ ⋯ + 𝑥[𝑛]𝑧−𝑛
Jika hasil X[z] atau sumasi dari x[n]z-n
< tak hingga, maka X(z) dinayatakn konvergen
𝑋(𝑧) = | ∑ 𝑥[𝑛]𝑧−𝑛
∞
𝑛=−∞
| < ∞
Perintah matlab: syms(), ztrans(), simplify(), dan pretty()
Region of Convergence (ROC)
Disebut juga sebagai daerah konvergensi dimana nilai |X[z]| < tak hingga. ROC biasa
digambarkan dalam bentuk grafik antara suku Real (R) dan Imaginer (Im), dimana, sumbu y
adalah Im, dan x adalah R, dengan jari-jari lingkaran r=1. ROC biasa digunakan untuk
merepresentasikan kestabilan sistem.
Persamaan kompleks:
Re{z} + j Im{z} = 𝑟𝑒𝑗𝜔
, maka
Re{z} = |z| cos 𝜔
Im{z} = |z| sin 𝜔
Sehingga didapatlan
|z| = √Re{z}2 + Im{z}2

2. Pengolahan Signal Digital
Author : Adam Sukma Putra
θ = 𝑡𝑎𝑛−1
(
Im{z}
Re{z}
) Gambar 1. Z-plane, dengan r=z=1 disebut unit
cycle
x adalah pole, o adalah zero.
Dengan melihat daerah yang ada didalam ROC, maka sebuah z transform dapat
diklasifikasikan sebagai berikut.
1. ROC Stabil (stable)
Daerah ROC ada di unit cycle (r=1)
2. ROC kausal (causal)
X[n]=0, untuk n<0, daerah ROC ada di kanan (termasuk tak hingga)
Contoh 1 : sebuah signal:
𝑦[𝑛] = 𝑎𝑛
𝑢[𝑛]
Menentukan Y[z]:
𝑌(𝑧) = ∑ 𝑦[𝑛]𝑧−𝑛
∞
𝑛=−∞
= ∑ 𝑎𝑛
𝑢[𝑛]𝑧−𝑛
∞
𝑛=−∞
= ∑ 𝑎𝑛
𝑧−𝑛
=
∞
𝑛=0
∑(𝑎𝑧−1
)𝑛
=
𝑧
𝑧 − 𝑎
∞
𝑛=0
Karena nilai x[n] untuk x<0=0, maka sistem bersifat kausal, dengan daerah ROC di kanan.
Contoh 2:
𝑦[𝑛] = −𝑎𝑛
𝑢[−𝑛 − 1]
Menentukan Y[z]:
𝑌(𝑧) = ∑ 𝑦[𝑛]𝑧−𝑛
∞
𝑛=−∞
= ∑ −𝑎𝑛
𝑢[−𝑛 − 1]𝑧−𝑛
∞
𝑛=−∞
= ∑ −𝑎𝑛
𝑧−𝑛
−1
𝑛=−∞
= 1 − ∑(𝑧𝑎−1
)𝑛
=
𝑧
𝑧 − 𝑎
∞
𝑛=0
Karena −∞ < 𝑥 < −1, maka ROC tidak kausal. Dengan daerah pana sisi kiri.
Note: Hasil trabsform dari kedua contoh, memberikan hasil yang sama, namun memiliki kriteria ROC
yang berbeda.
Dari gambar 1. Dapat disimpulkan 3 macam daerah ROC:
1. ROC |z|< r, sekuens sisi kiri bersifat non kausal tidka stabil,
2. ROC |z|> r, sekuens sisi kanan bersifat stabil, dan kausal

3. Pengolahan Signal Digital
Author : Adam Sukma Putra
3. ROC a<|z|< b, sekuens dua sisi, dimana a dan b ada diantara r.
Perintah matlab: zplane(zeros,poles) atau zplane(num,denum)
Inverse Z transform
Inverse z transform digunakan untuk melakukan transformasi dari bentuk X[z] kembali menjadi
x[n].Invers transform z dapat dilakukan dengan 3 cara :
1. Integral
𝑥[𝑛] =
1
2𝜋𝑗
∫ 𝑥[𝑧]𝑧𝑛−1
𝑑𝑧
𝑐
2. Pemecahan parsial jika pangkat pembagi > pengali
3. Pembagian parsial jika pangkat pembagi <= pengali
Dalam matlab dapat dilakukan dengan perintah iztrans(), residuez()
Fungsi Z Transform:
1. Menjelaskan karakteristik signal dan sistem yang berbasis waktu diskret
2. Konsep pole dan zero dipakai unutk menganalisis kestabilan dan karakteristik frekuensi respon
fungsi.
Tugas Pendahuluan : Selesaikan Persamaan berikut untuk mendapatkan Y[n]
Praktikum
1. Mengubah x[n] menjadi X[z]:
Z transform untuk : 𝑥[𝑛] =
1
4𝑛 𝑢[𝑛]
Perintah MATLAB
syms z n
ztrans(1/4^n)

4. Pengolahan Signal Digital
Author : Adam Sukma Putra
2. Mengubah X[z] menjadi x[n]:
Inverse z-transform dari 𝑋[𝑧] =
2𝑧
2𝑧−1
syms z n
iztrans(2*z/2*z-1)
3. Dengan partial fraction
Inverse z 𝑋[𝑧] =
1+2𝑧1+𝑧2
1−2𝑧1+4𝑧2
Perintah matlab
[r,p,k]=residuez([1,2,1],[1,-2,4])
%atau
A=[1,2,1]
B=[1,-2,4]
[r,p,k]=residuez(A,B)
4. Menggambarkan Pole dan zero dalam z-plane
Diketahui 𝑋[𝑧] =
1−1.6𝑧1+𝑧2
1−1.5𝑧1+0.8𝑧2
Perintah matlab
n2=[1 -1.6 1]
d2=[1 -1.5 0.8]
roots(n2)
roots(d2)
zplane(n2,d2)
Tugas
1. Selesaikan persamaan berikut untuk mendapatakan bentuk X[n]
𝑋[𝑧] =
𝑧2
(𝑧 + 1)
(𝑧 − 1)(𝑧2 − 𝑧 + 0.5)
2. Gambar Pole dan Zero Diagram
𝑋[𝑧] =
2𝑧 (𝑧 − 5/12)
(𝑧 − 0.51)(𝑧 − 1/3)
, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 0.3 < |𝑧| < 0.5
𝑋[𝑧] =
𝑧
2𝑧2 − 3𝑧 + 1
, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 |𝑧| > 1
3. Carilah bentuk z dari:
𝑦[𝑛] = 0.25𝑛
+ 0.5𝑛
4. Selesaikan persamaan beda berikut
𝑦[𝑛] − 3𝑦[𝑛 − 1] = 𝑥[𝑛], 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑥[𝑛] = 4𝑢[𝑛], 𝑦[−1] = 1