BAHAN BELAJAR DIKLAT PASCA UKG BERBASIS MGMP DENGAN POLA IN ON IN KALKULUS DAN TRIGONOMETRI JENJANG SMP

BAHAN BELAJAR:
KALKULUS DAN TRIGONOMETRI
JENJANG SMP
DIKLAT PASCA UKG BERBASIS MGMP DENGAN POLA IN ON IN
Penulis:
Sigit Tri Guntoro
Agus Dwi Wibawa
Reviewer:
Markaban
Layouter:
Nur Amini Mustajab
KEMENTERIANPENDIDIKANDANKEBUDAYAAN
PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN
(PPPPTK) MATEMATIKA
YOGYAKARTA
2015
POLA IN ON IN

BAHAN BELAJAR DIKLAT PASCA UKG BERBASIS MGMP DENGAN POLA IN ON IN
JENJANG SMP
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ...................................................................................................................................................i
KATA PENGANTAR................................................................................................................................................ii
DAFTAR ISI .............................................................................................................................................................iii
PETUNJUK PENGGUNAAN.................................................................................................................................1
BAGIAN 1 PENDAHULUAN...............................................................................................................................2
A. Pengantar Isi ...............................................................................................................................................2
B. Target Kompetensi...................................................................................................................................2
C. Strategi dan Penilaian .............................................................................................................................3
BAGIAN 2 AKTIFITAS .........................................................................................................................................4
Pengantar ............................................................................................................................................................4
A. Aktifitas ......................................................................................................................................................... 4
BAGIAN 3 BAHAN BACAAN KALKULUS DAN TRIGONOMETRI..............................................29
BAB 1 LIMIT FUNGSI DAN STRATEGI PENYELESAIANNYA............................................................30
A. Pengertian limit...................................................................................................................................... 30
B. Limit tak hingga (infinite limits).......................................................................................................37
C. Limit di tak hingga (limits at infinity)............................................................................................41
D. Strategi Sederhana dalam Menyelesaikan Limit.......................................................................43
BAB 2 ANALISIS GRAFIK GRADIEN GARIS SINGGUNG......................................................................50
A. Pengantar.................................................................................................................................................. 50
B. Strategi Sederhana untuk Menggambar Grafik Fungsi Gradien Garis Singgung ......... 52
BAB 3 MENENTUKAN LUAS DAERAH YANG DIBATASI DUA GRAFIK ........................................ 55
A. Pengantar ..................................................................................................................................................55
B. Strategi sederhana dalam menentukan hasil integral tak tentu ........................................56
C. Menentukan Luas Daerah yang Dibatasioleh Dua Grafik ..................................................... 60
BAB V TRIGONOMETRI................................................................................................................................... 64
A. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku.............................................................64
B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut Istimewa..................................................... 65
3

JENJANG SMP
C. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-sudut Berelasi.....................................67
D. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut...................................69
E. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap............................................................................................72
F. Mengubah Rumus Perkalian ke rumus Penjumlahan/Pengurangan...............................73
G. Persamaan Trigonometri................................................................................................................... 74
BAGIAN 4 UMPAN BALIK DAN TINDAK LANJUT.................................................................................. 81
A. Evaluasi Diri.............................................................................................................................................81
B. Soal Evaluasi............................................................................................................................................. 81
C. Tindak lanjut............................................................................................................................................ 82
D. Jawaban Soal Evaluasi.......................................................................................................................... 83
DAFTAR PUSTAKA............................................................................................................................................. 85
4

JENJANG SMP
PETUNJUK PENGGUNAAN
1. Bahan Belajar ini berisi materi kalkulus dan trigonometri. Walaupun bahan ini
diperuntukkan pada saat peserta melakukan kegiatan diklat, namun peserta diharapkan
tetap dapat memanfaatkan diluar kediklatan. Pada tahap awal peserta membaca petunjuk
kegiatan selanjutnya mengerjakan dan membahas LK/LT yaitu:
a. dikerjakan pada saat Kegiatan In-1 yaitu LK 1 sampai dengan LK 11
b. dikerjakan pada saat On the Job Learning (untuk Pola In-On-In) yaitu LK 12 sampai
dengan LK 25.
2. Untuk dapat mengerjakan tugas peserta dapat membaca sumber bacaan yang berada di
bahan belajar ini atau sumber lain yang mendukung.
3. Setelah selesai mengerjakan semua tugas dan membaca bahan bacaan, peserta melakukan
refleksi sesuai dengan panduan pada bagian umpan balik dan tindak lanjut.
1

JENJANG SMP
BAGIAN 1
PENDAHULUAN
A. Pengantar Isi
Merujuk pada Peraturan Menteri Pendayagunaan Aparatur Negara dan Reformasi Birokrasi
(Permenpan dan RB) Nomor 16 tahun 2009 tentang Jabatan Fungsional Guru dan Angka
Kreditnya memuculkan paradigma baru profesi guru.Konsekuensinya adalah guru dituntut
melakukan pengembangan keprofesian berkelanjutan (PKB) sehingga guru dapat menjalankan
tugas dan fungsinya secara profesional. Masih merujuk pada Permenpan dan RB tersebut,
pengembangan keprofesian berkelanjutan meliputi kegiatan pengembangan diri yaitu diklat
fungsional dan kegiatan kolektif guru serta publikasi ilmiah dan karya inovasi. Dengan demikian
sebenarnya guru pasti akan mencari kegiatan seperti yang tertuang dalam peraturan tersebut.
Berkaitan dengan hal ini pemerintah harus menyediakan atau paling tidak memfasilitasi
kegiatan dimana guru dapat mengembangkan kompetensinya, disamping guru juga harus
secara aktif berupaya mencari kegiatan untuk pengembangan dirinya.
Khusus untuk bahan belajar ini, meskipun dapat dimanfaatkan secara mandiri, sebenarnya
bahan belajar ini akan digunakan dalam kegiatan diklat paska UKG (Uji Kompetensi Guru).
Karena dimanfaatkan untuk kegiatan diklat maka didalamnya memuat kegiatan-kegiatan yang
akan dilakukan pada saat In-1 maupun pada waktu on the job learning (OJL) atau dapat
dimanfaatkan setelah pelaksanaan diklat selesai (pasca diklat). Kegiatan-kegiatan tersebut (baik
diklat maupun mandiri) dilakukan agar kompetensi guru meningkat yang akan terlihat pada
peningkatan nilai UKG.
2
B. Target Kompetensi
1. Peserta diklat atau pembaca dapat menyelesaikan limit dengan strategi sederhana.
2. Peserta diklat atau pembaca memahami pengertian dan karakteristik turunan fungsi.
3. Peserta diklat atau pembaca dapat memahami pengertian integral dan menggunakannya
untuk menyelesaikan masalah.
4. Peserta diklat atau pembaca dapat menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu
sudut.
5. Peserta diklat atau pembaca dapat menerapkan aturan Sinus dan Cosinus.
6. Peserta diklat atau pembaca dapat menerapkan rumus trigonometri jumlah dan selisih
dua sudut.

JENJANG SMP
7. Peserta diklat atau pembaca dapat menyelesaikan persamaan trigonometri.
8. Peserta diklat atau pembaca dapat menggunakan nilai maksimum fungsi trigonometri
dalam menyelesaikan masalah.
3
C. Strategi dan Penilaian
Untuk memanfaatkan bahan belajar ini, peserta diklat atau pembaca perlu membaca
petunjuk belajar ini beserta dengan evaluasinya.
1. Untuk keperluan diklat
Jika bahan belajar ini digunakan dalam kegiatan diklat maka sebaiknya fasilitator
menyusun poin-poin bahan belajar ini untuk dijadikan sebagai bahan tayang.
Selanjutnya peserta melakukan kegiatan atau pengerjaan tugas sesuai dengan langkah-
langkah yang sudah dirancang dalam bahan belajar ini. Langkah-langkah yang dimaksud
sebagai berikut:
- Fasilitator menyampaikan poin-poin kegiatan akan dilakukan
- Peserta diklat mengerjakan tugas atau latihan yang didampingi fasilitator pada
bagian Kegiatan In-1. Upayakan permasalahan tuntas dibahas dalam kegiatan ini.
Untuk membantu penyelesaian tugas, peserta dapat merujuk bahan bacaan yang ada
di bagian akhir bahan belajar ini. Sangat dimungkinkan juga peserta/pembaca
mencari referensi dari bahan bacaan lain atau sumber lain.
- Untuk bagian On The Job Learning (OJL) dikerjakan pada saat OJL
- Setelah itu peserta mengerjakan postes yang disiapkan oleh penyelenggara diklat.
Selain itu berkaitan dengan evaluasi perhatikan bahwa peserta mengerjakan bagian
evaluasi setelah kegiatan OJL dan mengerjakan postes lagi pada akhir In-2
- Selanjutnya, cocokan hasil pengerjaan evaluasi dengan kunci jawaban. Untuk melihat
ketercapaian kompetensi dan langkah apa yang mesti dilakukan silahkan lihat bagian
tindak lanjut.
2. Untuk keperluan referensi sendiri
Jika bahan belajar ini digunakan untuk keperluan referensi secara mandiri maka
pembaca perlu memulainya secara urut dari bagian pertama sampai bagian evaluasi.
Sangat disarankan untuk tidak membuka kunci jawaban terlebih dahulu sebelum
pembaca mencermati keseluruhan isi bahan belajar.

JENJANG SMP
BAGIAN 2
AKTIFITAS
Pengantar
Dalam kegiatan ini peserta akan melakukan serangkaian kegiatan untuk meraih
kompetensi berkaitan kalkulus dan trigonometri. Pada bagian awal akan dibahas berkaitan
dengan kalkulus, sedangkan bagian berikutnya berkaitan dengan trigonometri. Pada bagian
kalkulus akan dibahas 3 bab yaitu limit dengan fokus pada pengertian dan strategi sederhana
penyelesaiaannya, turunan yang difokuskan pada grafik turunan suatu fungsi dan integral
dengan fokus menentukan luas daerah dengan integral. Sementara itu untuk bagian
trigonometri terdiri dari perbandingan-perbandingan trigonometri, aturan sinus dan cosinus,
rumus trigonometri jumlah dan selisih sudut, persamaan trigonometri, dan nilai maksimum dan
minimum fungsi trigonometri.
A. Aktifitas
LK 1:
Penjelasan:
Kegiatan1
Bacalah tulisan di bawah ini kemudian kerjakan tugas pada pada LK 1. Untuk membantu
penyelesaian lihat pada bahan bacaan
Kita sudah sangat kenal dengan istilah suhu mutlak dengan satuan 𝐾 (Kelvin), dimana
0 𝐾 = −273,15℃. Artinya di dunia ini suhu paling rendah yang dapat dicapai adalah 0𝐾. Pada
uji laboratorium orang hanya bisa mampu mengkondisikan suhu sampai mendekati 0𝐾.
Kenyataan di alam pun suhu tidak pernah sama dengan 0𝐾. Berarti 0𝐾 (= −273,15℃)
merupakan batas bawah suhu di alam. Dalam bahasa limit, suhu di alam hanya bisa mendekati 0
𝐾 dan tidak akan sama dengan 0𝐾. Mengapa demikian? Jelaskan.
4
IN-1

lim
𝑥→2 𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
𝑥2 − 4 (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
= lim
𝑥→2
𝑥 − 2
1.(𝑥 + 2)
1
= lim(𝑥 + 2)
𝑥→2
= 4
Mengapa proses pencoretan (𝑥 − 2) boleh dilakukan? Jelaskan pada LK 2..
LK 2:
Penjelasan:
JENJANG SMP
Kegiatan2
Dalam menyelesaikan permasalahan limit seringkali guru maupun siswa menggunakan proses
berikut
5

LK 3 :
Penjelasan:
JENJANG SMP
Kegiatan3
Seringkali kita memberikan pengertian limf(𝑥) = 𝐿langsung dengan definisi formal. Coba
𝑥→c
sekarang jelaskan pengertian limf(𝑥) = 𝐿 menggunakan bahasa sederhana (bukan definisi
𝑥→c
formal). Tuliskan di LK 3
6

(i)
1 1 1 1
+ + + + ⋯ = 1
(ii)
𝑘→∞
2 4 8 16
1
lim ∑𝑘
i=1 2i
LK 4 :
Pengerjaan:
JENJANG SMP
Kegiatan4
Apakah ada perbedaan atau kesaman dua penyajian (i) dan (ii) berikut ini?
7

LK 5 :
Pengerjaan:
JENJANG SMP
Kegiatan5
Perhatikan fungsi f berikut. Lakukan sketsa grafik fungsi turunannya pada LK.5
8

LK 6 :
Pengerjaan:
JENJANG SMP
Kegiatan6
Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva f(𝑥) = 4 − 𝑥2 dan f(𝑥) = 𝑥 − 2.
9

Pada gambar segitiga PQR di atas diketahui bahwa panjang sisi PR = 10 cm, panjang sisi QR = 8
cm, dan besar sudut QPR = 40°. Dengan menggunakan bantuan garis tinggi, hitunglah berapa
panjang sisi PQ!
Kerjakan pada LK 7 di bawah ini:
LK 7:
Pengerjaan:
JENJANG SMP
Kegiatan7
Pada kegiatan ini Anda diharapkan mengingat kembali konsep perbandingan-perbandingan
trigonometri pada segitiga siku-siku, serta dapat menerapkannya dalam menyelesaikan
masalah berikut.
Perhatikanlah gambar segitiga di bawah ini!
10

Pada gambar segitiga DEF di atas diketahui panjang sisi EF=12 cm, panjang sisi DF=10 cm, dan
besar sudut EDF=40°. Tanpa menggunakan bantuan garis tinggi, hitunglah berapa besar sudut
DEF!
LK 8:
Pengerjaan:
JENJANG SMP
Kegiatan8
Perhatikanlah gambar segitiga di bawah ini!
11

LK 9:
Pengerjaan:
JENJANG SMP
Kegiatan9
Diketahui α dan β adalah sudut-sudut lancip, sin𝛼 = 4
, dan sin𝛽 = 12
. Berapakah nilai dari
5 13
tangen (α + β)?
12

LK 10 :
Pengerjaan:
JENJANG SMP
Kegiatan10
Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri: 2 sin 𝑥 − √2 = 0; dengan 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋
adalah ...
13

LK 11 :
Pengerjaan:
JENJANG SMP
Kegiatan11
Nilai maksimum yang dapat dicapai oleh 𝑦 = f(𝑥) = √3 sin𝑥 − cos𝑥 dalam daerah asal
0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 adalah ...
14

JENJANG SMP
LK 12 :
Pengerjaan:
Kegiatan12
Buktikan bahwa lim 2𝑥 = 4. Tuliskan hasilnya pada LK.12
𝑥→2
15
KEGIATAN OJL

𝑥→2 𝑥2−4
1
Apakah lim | | ada? Jelaskan pada jawaban Anda pada LK.13
LK 13 :
Pengerjaan:
JENJANG SMP
Kegiatan13
16

LK 14 :
Penjelasan:
JENJANG SMP
Kegiatan14
Berikan contoh fungsi f(𝑥) dimana limit kanan menuju tak hingga sedangkan limit kiri menuju
nilai tertentu untuk 𝑥 menuju 𝑐. Apakah benar bahwa dalam kondisi ini lim f(𝑥) = ∞? Kerjakan
𝑥→𝑐
pada LK.14
17

𝑥→∞ 𝑥
Jika lim (1 + 1
)𝑥 = e, tentukan hasil dari
𝑥→−∞ 𝑥
a. lim (1 + 1
)𝑥
𝑥
b. lim (1 − 1
)𝑥
𝑥→∞
Kerjakan pada LK.15
LK 15 :
Penjelasan:
JENJANG SMP
Kegiatan15
18

0
0
Apakah diperbolehkan teorema L’hopital hanya digunakan pada bentuk yang memuat ? Untuk
𝑥→2 𝑥−2 𝑥−2
mudahnya misalkan lim√𝑥2−4
+ 2𝑥 maka teorema L’hopital hanya pada bentuk 𝑥2−4
sedangkan
lainnya tetap. Apakah seperti ini diperbolehkan? Jelaskan alasannya dan tuangkan pada LK.16
LK 16 :
Penjelasan:
JENJANG SMP
Kegiatan16
19

Apakah dibolehkan dalam keperluan perhitungan lim
𝑥→∞
√9𝑥4−2𝑥2+𝑥−5
2𝑥2+1
, bentuk pada pembilang
yaitu √9𝑥4
− 2𝑥2 + 𝑥 − 5 dapat dianggap sebagai √9𝑥4 (menghilangkan suku −2𝑥2 + 𝑥 − 5)?
Jelaskan di LK.17
LK 17 :
Penjelasan:
JENJANG SMP
Kegiatan17
20

LK 18 :
Pengerjaan:
JENJANG SMP
Kegiatan18
Kerjakan pada LK 18 dibawah ini.
Dengan menggunakan bantuan gambar lingkaran satuan, tuliskankan bagaimana Anda
menunjukkan kepada siswa nilai perbandingan trigonometri (sin, cos, tan, cot, sec, dan cosec)
untuk sudut-sudut istimewa (0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°).
21

𝑎 𝑏
sin 𝐴 sin 𝐵
Buktikan bahwa pada segitiga ABC dengan sisi-sisi a, b, dan c berlaku aturan sinus; = =
𝑐
sin 𝐶
LK 19 :
Pengerjaan:
JENJANG SMP
Kegiatan19
22

LK 20 :
Pengerjaan:
JENJANG SMP
Kegiatan20
Buktikan bahwa pada segitiga ABC dengan sisi-sisi a, b, dan c berlaku aturan kosinus sebagai
berikut.
𝑎2 = 𝑏2
+ 𝑐2 − 2𝑏𝑐cos𝐴
𝑏2
= 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐cos𝐵
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
− 2𝑎𝑏cos𝐶
23

LK 21:
Pengerjaan:
JENJANG SMP
Kegiatan21
Tunjukkan bahwa:
cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos𝛽 − sin𝛼 sin𝛽
cos(𝛼 − 𝛽) = cos𝛼 cos𝛽 + sin𝛼 sin𝛽
24

LK 22 :
Pengerjaan:
JENJANG SMP
Kegiatan22
Tunjukkan bahwa:
sin(𝛼 + 𝛽) = sin𝛼 cos𝛽 + cos𝛼 sin𝛽
sin(𝛼 − 𝛽) = sin𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin𝛽
25

tan(𝛼 + 𝛽) =
tan𝛼 + tan𝛽
1 − tan𝛼 tan𝛽
tan(𝛼 − 𝛽) =
tan𝛼 − tan𝛽
1 + tan𝛼 tan𝛽
LK 23 :
Pengerjaan:
JENJANG SMP
Kegiatan23
Tunjukkan bahwa:
26

LK 24 :
Pengerjaan:
JENJANG SMP
Kegiatan24
Tentukan penyelesaian persamaan trigonometri: 𝑎 cos𝑥 + 𝑏 sin𝑥 = 𝑐, 𝑐2 ≤ 𝑎2 + 𝑏2
27

LK 25 :
Pengerjaan:
JENJANG SMP
Kegiatan25
Nilai maksimum fungsi 2 cot 𝑥 sin2 𝑥 adalah ...
28

JENJANG SMP
BAGIAN 3
BAHANBACAAN
29

JENJANG SMP
BAB 1
LIMIT FUNGSI DAN STRATEGI PENYELESAIANNYA
A. Pengertian limit
Umumnya orang akan langsung mengaitkan 𝗌-ð (baca: epsilon delta) apabila membicarakan
mengenai limit pada tahap awal. Perhatikan definisi limit fungsi berikut.
Cara seperti ini tidaklah salah, karena sejatinya secara formal limit harus disajikan dalam 𝗌-ð
seperti pengertian di atas. Namun apakah siswa atau mungkin kita (guru) bisa paham dengan
maksud kalimat tersebut? Oleh karena itu sejalan dengan trend pembelajaran terkini dimana
dalam pelaksanaannya mengamanatkan adanya proses mengamati, menanya, menalar,
mengumpulkan informasi, mengasosiasi dan mengomunikasikan maka betapa bagusnya jika
pembicaraan dimulai dari pengertian dasar sederhana yang ada pada limit itu sendiri.
Perhatikan kegiatan berikut
Setelah itu jawablah pert
a
n
 Apakah roda belakang
 Jika bisa segaris dima
 Jika bisa segaris, bagai
Pengertian lim f(𝑥) = 𝐿 adalah
𝑥→𝑎
untuk setiap 𝗌 > 0 terdapat ð > 0 sehingga berlaku |f(𝑥) − 𝐿| < 𝗌 untuk 0 < |𝑥 − 𝑎| < ð
anyaanberikut
bisa segaris dengan roda depan?
a letaknya atau kapan bertemunya?
mana bila dimundurkan lagi? Apakah kembal
Kegiatan:
 Siapkansepeda
 Buatlah garis lurus di lapangan atau jalan
 Posisikan roda depan sepeda pada garis sedangkan roda belakang posisi sedikit
serong
 Jalankan sepeda deng n roda depan tepat mengikuti garis (tidak belok).
 Amati lintasan roda belakang (---) terhadap lintasan roda depan (⋯) seperti
gambar di bawah
ke tempat
30

diamati
diamati
JENJANG SMP
Kegiatan di atas dimaksudkan untuk menghadirkan suatu pemahaman mengenai arti
“mendekati” dan dapat membedakan antara “mendekati” dan “sama dengan”.
Untuk memperjelas pemahaman, perhatikan grafik fungsi kuadrat berikut. Misalkan
f(𝑥) = 𝑥2 + 1.
31
Kemudian amati nilai f(𝑥) saat 𝑥 mendekati 2 pada sumbu-𝑥. Pada saat 𝑥 mendekati 2
perhatikan f(𝑥) mendekati suatu nilai berapa. Perlu ditekankan disini bahwa perhatian kita
adalah nilai pada ordinat, jadi bukan fokus pada bentuk kurva f(𝑥) = 𝑥2 + 1. Karena kurva
tersebut adalah aturan pemasangan (𝑥, f(𝑥)) sedangkan fokus kita pada nilai f(𝑥) yang ada
pada sumbu-𝑦. Demikian juga perlu diingat bahwa mendekati 2 adalah mendekati dari kiri dan
mendekati dari kanan. Untuk memperjelas perhatikan tabel berikut.
Tabel 1
𝑥 1,997 1,998 1,999 2 2,001 2,011 2,111
f(𝑥) 4,988009 4,992004 4,996001 ? 5,004001 5,044121 5,456321
Sebenarnya nilai 5 yang didekati oleh f(𝑥) bila 𝑥 mendekati 2 (seperti tertera pada tabel di
atas) tidak ada kaitan dengan nilai 5 = f(2). Bahkan andaikan f(2) tidak terdefinisipun tetap f(
𝑥) mendekati 5 bila 𝑥 mendekati 2.
Sampai disini akan terlihat bahwa jika 𝑥 mendekati 2 maka f(𝑥) mendekati 5, atau dengan
penyajian lain “jika 𝑥 → 2 maka f(𝑥) → 5”. Inilah sebenarnya yang kemudian ditulis menjadi lim(
𝑥2 + 1) = 5. Apabila kita dalami lebih lanjut maka pengungkapan “jika 𝑥 → 2 maka
𝑥→2
f(𝑥) → 5” belum operasional dalam matematika. Oleh karena itu perlu pendefinisian secara
formal. Seorang matematikawan Perancis bernama Augustin-Louis Cauchy menyusun definisi
tentang limit secara formal yang masih digunakan sampai sekarang sebagai berikut.

Definisi ini sebenarnya sama dengan mengatakan “jika 𝑥 → 𝑐 maka f(𝑥) → 𝐿”. Selain itu dari
definisi tersebut nyata terlihat bahwa kita tidak membicarakan nilai f(𝑥) di 𝑐 atau nilai f(𝑐)
tetapi nilai f(𝑥) untuk 𝑥 disekitar c. Bahkan andaikan f tidak terdefinisi di 𝑐 maka 𝐿 tetap limit
fungsi tersebut. Sebagai contoh amati grafik berikut.
Gambar 1
Jelas bahwa fungsi f tidak terdefinisi di 𝑥 = 0 karena f(0) tidak terdefinisi. Tetapi nilai limitnya
adalah 2 yaitu lim
𝑥
𝑥→0√𝑥+1−1
= 2Menurut kaidah dalam logika, kebenaran“ jika 𝑥 → 2 maka
f(𝑥) → 5” menjadi gagal apabila berlaku “jika 𝑥 → 2 maka f(𝑥) ↛ 5”. (tanda ↛ dibaca tidak
mendekati)
Sekarang, amati fungsi 𝑔 yang didefinisikan
𝑔(𝑥) = {
𝑥2 + 3, 𝑢𝑘𝑡 𝑢𝑘𝑥 ≥ 0
𝑢𝑘𝑡 𝑢𝑘𝑥 < 0
2
−𝑥 + 1,
Gambar2
JENJANG SMP
Definisi :
32
Pengertian lim f (x)  L secara formal adalah bahwa untuk setiap  > 0 ,
xc
terdapat  > 0 sedemikian hingga |𝑓(x) – 𝐿| <  untuk setiap 0 < | 𝑥 – 𝑐| < .

JENJANG SMP
Perhatikan pada Gambar 2 bahwa ada dua kasus yang terkait. Pertama, untuk 𝑥 mendekati 0
dari arah kiri (𝑥 → 0−
) maka f(𝑥)mendekati 1, tidak mendekati 3 dan juga tidak mendekati nilai
yang lain. Kedua, untuk 𝑥 mendekati 0 dari arah kanan (𝑥 → 0+
) maka f(𝑥) mendekati 3, tidak
mendekati 1 dan juga tidak mendekati nilai yang lain. Dengan keadaan seperti ini berapa
apakahlim𝑔(𝑥) =
𝑥→0
{ 𝑥2 + 3, untuk 𝑥 ≥ 0
2
−𝑥 + 1, untuk 𝑥 < 0
ada?
Selanjutnya, untuk memperjelas pengertian limit secara formal perhatikan contoh berikut
Contoh 1:
Buktikanbahwa
x  2
lim  4
x2
 4
x2
Bukti :
Ambil sebarang ε > 0, kita akan menentukan ada nilai ð > 0,sehingga untuk setiap |𝑥 – 2| < ð
dipenuhi |  4 | 
x2
 4
x  2
Perhatikanbahwa
| 
 4 |  |
x  2
x2
 4  4(x  2)
x  2
x2
 4
|
| 
x  2
|
2
x  4x  4
2
| ( x2)
| 
x2
| x  2 | 
Dengan mengambil ð = 𝗌 maka untuk setiap ε > 0 maka terdapat ð(= 𝗌) sehingga untuk
|𝑥 – 2| < ð dipenuhi
|𝑥 – 2| < ð (= 𝗌) ⇒ |
(𝑥 – 2)(𝑥 – 2)
𝑥 – 2
| < 𝗌
⟺ |
2
𝑥 −4𝑥+4
𝑥 – 2 | < 𝗌
⟺ |
2
𝑥 −4𝑥+8−4
𝑥 – 2
| < 𝗌
⟺
2
𝑥 −4
| 𝑥−2
|
33
– 4 < 𝗌

JENJANG SMP
Jadi terbukti bahwa sebarang ε > 0selalu ada ð > 0(dalam hal ini ð = 𝗌) sehingga untuk setiap
|𝑥 – 2| < ð dipenuhi|
x2
 4
x  2
 4 |  . Terbukti lim  4
x  2
x2
 4
x2
Menurut NASA, tempat terdingin di alam semesta yang
sudah tereksplorasi adalah Nebula Boomerang yang
bersuhu−272℃, hanya1° diatasnol Kelvin
Bagaimana para ilmuwan dapat menentukan bahwa 0 𝐾 (= −273,15℃) merupakan batas
bawah suhu di alam? Ternyata para ilmuwan menemukannya dengan bantuan penerapan limit
yang amat sederhana. Untuk memperjelas perhatikan hukum Charles berikut.
Hukum Charles dan Suhu Mutlak. Jacques Charles (1746–1823) seorang fisikawan
menemukan hubungan bahwa pada tekanan tetap volume gas akan berbanding lurus dengan
temperaturnya. Percobaan yang ia lakukan adalah satu mol gas hidrogen di tempatkan pada
suatu alat yang dapat menjaga tekanannya selalu tetap yaitu satu atmosfer. Tabel 2 berikut
menunjukkan hubungan volum 𝑉 (dalam liter) dan temperatur 𝑇 (dalam Celcius) hasil
percobaan Charles.
Investigasi
Kita sudah sangat kenal dengan istilah suhu mutlak dengan satuan 𝐾 (Kelvin), dimana
0 𝐾 = −273,15℃. Artinya di dunia ini suhu paling rendah yang dapat dicapai adalah 0𝐾. Pada
uji laboratorium orang hanya bisa mampu mengkondisikan suhu sampai mendekati 0𝐾.
Kenyataan di alam pun suhu tidak pernah sama dengan 0𝐾. Berarti 0𝐾 (= −273,15℃)
merupakan batas bawah suhu di alam. Dalam bahasa limit, suhu di alam hanya bisa mendekati 0
𝐾 dan tidak akan sama dengan 0𝐾.
34

JENJANG SMP
Tabel 2
Dari sini dapat ditentukan hubungan linear 𝑉 dan 𝑇 sebagai
𝑉 = 0,08213𝑇 + 22,4334 atau 𝑇 = 𝑉−22,4334
0,08213
𝑉→0
l im𝑇 = l im
Oleh karena volum gas dapat mendekati 0 (tetapi tidak pernah sama dengan 0) dan mengingat
hubungan 𝑉 dan 𝑇 maka untuk menghasilkan temperatur minimal volum juga harus minimal.
Berarti volum akan mendekati 0 (𝑉 → 0). Sementara itu untuk 𝑉 → 0 berlaku
𝑉 − 22,4334
𝑉→0+ 0,08213
=
−22,4334
0,08213
S→𝑎 S→𝑎
≈ −273,15
Dari hasil penemuan ini disimpulkan bahwa temperatur terdingin di alam ini adalah −273,15℃
Perlu menjadi perhatian bahwa ketika ingin menentukan nilai limit kita tidak harus kembali
pada definisi limit, tetapi memanfaatkan teorema atau sifat-sifat limit. Berkaitan dengan
teorema atau sifat yang dimaksud akan lebih baik jika teorema atau sifat yang digunakan sudah
dibuktikan terlebih dahulu. Berikut ini beberapa sifat dan teorema terkait limit yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan permasalahan limit
Sifat-sifat dan teorema limit
Misalkan c suatu konstanta dan l imf(𝑥) serta l im𝑔(𝑥) dua-duanya ada maka berlaku
1) l im[f(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = l imf(𝑥) + l im𝑔(𝑥)
S→𝑎 S→𝑎 S→𝑎
2) l im[f(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = l imf(𝑥) − l im𝑔(𝑥)
3) l im
[f (𝑥).𝑔(𝑥)] = l imf (𝑥). l im𝑔(𝑥)
ƒ (S) l i mƒ(S)
𝑥 →
𝑎
S→𝑎 g(S) l i mg(S) S→𝑎
4) l im = 𝑥→𝑎
bil al im𝑔(𝑥) ≠ 0
5) l im𝑐f(𝑥) = 𝑐 l imf (𝑥)
S→𝑎 S→𝑎
S→𝑎 √S→𝑎
6) l im𝑛
√f(𝑥) = 𝑛
l imf(𝑥)
S→𝑎
𝑝
7) l im[f(𝑥)]𝑝=[l imf(𝑥)] bil a𝑝 posit ipdan ruas kir i l imitnya ada
S→𝑎
8) l im𝑐 = 𝑐
S→𝑎
ƒ (S) 𝘍
ƒ (S) ƒ (S)
S→𝑎 g(S) S→𝑎 g (S) g(S)
0
0
9) l im = l im , j ika dal am bent uk, f ′( )
𝘍
35
𝑥 dan𝑔′( )
𝑥 ada.(Teor em
a L’ Hopit a

JENJANG SMP
S→0 S→0
Contoh 2:
a. Tentukan hasil l im
[(2𝑥2 + 1) + sin𝑥]
S→0
Jawab:
l im
[(2𝑥2 + 1) + sin𝑥] = l im(2𝑥2 + 1) + l im
(sin𝑥)
S→0
= 1 + 0
= 1
b. Tentukan hasil l im[2𝑥2 − 𝑥3]
S→1
Jawab:
S→1 S→1
l im[2𝑥2 − 𝑥3] = l im2𝑥2 − l im𝑥3
S→1
= 2 − 1
= 1
S→2
1
S2+1
c. Tentukan nilai l im[5𝑥2. ]
Jawab:
l im[5𝑥2.
S→2
1
𝑥2 + 1 S→2
] = l im5𝑥2. l im
S→2 𝑥2 + 1
1
= 20 .
1
5
= 4
Namun perhatikan untuk kasus berikut:
S→0 S→0
si nS S→0 si nS
l im[2𝑥. 1
] = l im2𝑥. l im 1
(memanfaatkan sifat 3)
Seperti kita ketahui ruas kiri hasilnya 2 sedangkan ruas kanan tidak terdefinisi.
Mengapa demikian? (lihat soal latihan)
S→0 si nS
d. Jika diketahui l im S
= 1 dan l im1 = 1, tentukan l im
S→0 S→0 S
si nS
.
Jawab:
Dengan memanfaatkan sifat 4diperoleh
S→0 𝑥 S→0
sin𝑥 1
l im = l im 𝑥
sin𝑥
=
l im1
S→0
𝑥
l imsin𝑥
S→0
1
1
=
= 1
36

JENJANG SMP
S→2
e. Tentukan nilai l im√S2−4
S−2
Jawab:
Mengingat sifat no. 6 maka diperoleh
S→2
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
l im√ = √l im
𝑥2 − 4
S→2 𝑥 − 2
= √4
= 2
B. Limit tak hingga (infinite limits)
Pada bagian sebelumnya telah disinggung mengenai ketidakadaan limit suatu fungsi.
3
S−2
Selanjutnya amati grafik fungsi fungsi f(𝑥) = seperti gambar berikut
S→2 S−2
mendekati 2. Jadi l im 3
tidak ada. Selanjutnya bandingkan dengan fungsi 𝑔 berikut.
untuk
untuk
Gambar 3
Apabila kita cermati Gambar 3 di atas terlihat bahwa untuk 𝑥 mendekati 2 dari arah kiri maka f
menuju tak hingga negatif. Tetapi untuk 𝑥 mendekati 2 dari arah kanan maka f menuju tak
hingga positip. Kondisi seperti ini menunjukkan bahwa f(𝑥) tidak punya limit untuk 𝑥
37

JENJANG SMP
S→0 S2
Gambar 4
Perhatikan pada Gambar 4 di atas, tampak bahwa 𝑔(𝑥) akan menuju tak hingga positip bila 𝑥
menuju 0. Kasus seperti ini pun menunjukkan bahwa 𝑔(𝑥) tidak mempunyai limit untuk 𝑥
mendekati 0. Jadi l im1
tidak ada. Dari sini muncul permasalahan apa yang membedakan
3 1
2
S→2 S−2 S→0 S S→0
ketidak-adaan nilai l im , l im dan l imℎ(𝑥) dengan ℎ(𝑥) = { 2
𝑥2 + 3, unt uk𝑥 ≥ 0
−𝑥 + 1, unt uk𝑥 < 0
. Apakah
ketiganya sama? Atau ada perbedaan dari ketiganya. Secara pengamatan dari ketiganya tampak
adanya perbedaan. Perhatikan tabel 3 berikut
Tabel 3
Limit Fungsi Nilai limit fungsi Keterangan
3
l im
S→2 𝑥 − 2
Tidak ada
Limit kiri menuju negatif tak
hingga sedangkan limit kanan
menuju (positip) tak hingga
1
l im 2
S→0 𝑥
Tidak ada
Baik limit kiri maupun limit
kanan menuju (positip) tak
hingga
l imℎ(𝑥)
S→0
dimana
𝑥2 + 3, 𝑢𝑘𝑡 𝑢𝑘𝑥 ≥ 0
ℎ(𝑥) = { 2
−𝑥 + 1, 𝑢𝑘𝑡 𝑢𝑘𝑥 < 0
Tidak ada
Limit kiri menuju1 sedangkan
limit kanan menuju 3
Perbedaan tersebut tampak pada kondisi yang menyebabkan limit tidak ada. Dari sini kemudian
dikembangkan konsep limit tak hingga sebagai berikut
1
𝑔(𝑥) =
𝑥2
38

JENJANG SMP
Suatu limit fungsi f dikatakan sebagai limit tak hingga jika f menuju tak hingga positip atau f
menuju tak hingga negatif. Secara formal definisi yang dimaksud adalah sebagai berikut
Dengan pendefinisian ini maka ketidakadaaan limit seperti yang sudah di bahas sebelumnya
menjadi berbeda sedikit. Sebagai contoh l im 2. Semula
1 1
S→0 S S→0 S
l im 2 tidak ada, tetapi dengan
S→0 S2
pendefinisian baru maka kita tulis l im1
= ∞. Sebagai gambaran lihat grafik di bawah
Gambar 5
Untuk mempermudah pemahaman perhatikan tabel berikut.
Tabel 4
1
l im
S→0 𝑥2
∞
kanan menuju (positip) tak
hingga
1
l im
S→0 𝑥
Tidak ada
Limit kiri menuju negatiftak
hingga sedangkan limit kanan
menuju (positip) tak hingga
l imf(𝑥) = ∞
S→𝑐
39
Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada interval terbuka yang memuat 𝑐 (boleh juga
tidak terdefinisi di 𝑐) maka yang dimaksud dengan
lim f(𝑥) = ∞
𝑥→𝑐
adalah untuk setiap 𝑀 > 0 terdapat ð > 0 sehingga f(𝑥) > 𝑀 untuk 0 < |𝑥 − 𝑐| < ð.
Demikian pula untuk
lim f(𝑥) = −∞
𝑥→𝑐
artinya untuk setiap 𝑁 < 0 terdapat ð > 0 sehingga f(𝑥) < 𝑁 untuk 0 < |𝑥 − 𝑐| < ð

JENJANG SMP
−1
l im 2
S→2 (𝑥 − 2)
−∞
kanan menuju negatif tak
hingga
l imf(𝑥)
𝑥→𝑐
Tidak ada
Limit kiri tidak sama dengan
limit kanan
Perlu menjadi perhatian bahwa tanda sama dengan pada contoh l im1
= ∞, bukan berarti
S→𝑐 S→𝑐
S→0 S2
limitnya ada di tak hingga, namun untuk menjelaskan bagaimana limit fungsi tersebut tidak ada.
Ringkasnya untuk contoh tersebut, nilai fungsi akan menuju tak hingga jika 𝑥 menuju 0. Secara
umum, l imf(𝑥) = ∞ atau l imf(𝑥) = −∞ bukan berarti limitnya ada di tak hingga atau di
negatif tak hingga, namun untuk menggambarkan bagaimana limit fungsi tersebut tidak ada
dengan menunjukkan bahwa nilai fungsi menuju tak hingga atau negatif tak hingga jika 𝑥
menuju 𝑐.
Contoh 3
Tentukan limit l im 1
S→1 √S−1
Jawab:
Perhatikan bahwa f(𝑥) =
1
√S−1 ƒ
terdefinisi untuk 𝑥 > 1 atau dengankatalain𝐷 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 > 1 }.
S→1 √S−1
Sehingga limit yang dapat kita selidiki adalah limit kanan. Sedangkan limit kiri tidak
dibicarakan. Jadi pemaknaan 𝑥 → 1 adalah 𝑥 → 1+. Jika kita perhatikan dan kita cermati maka
nilai f(𝑥) semakin membesar apabila 𝑥 mendekati 1. Jadi l im 1
= ∞
40

JENJANG SMP
C. Limit di tak hingga (limits at infinity)
Untuk mempermudah dalam pemahaman kita mulai dari contoh suatu fungsi yang didefinisikan
S2+1
2
sebagai f(𝑥) = 3S
. Selanjutnya kita lihat grafik fungsinya.
Gambar 6
Secara grafik kita dapat lihat bahwa f(𝑥) akan munuju 3 bila 𝑥 menuju tak hingga, atau kita tulis
“f(𝑥) → 3 unt uk 𝑥 → ∞”. Dapat juga kita tulis “𝐽 i𝑘𝑎𝑥 → ∞ 𝑚𝑎𝑘𝑎 f(𝑥) → 3 ”. Sementara itu
secara numerik dapat kita lihat pada tabel berikut.
Tabel 5
𝑥 −∞ ← 𝑥 -1000 -100 -10 1 0 1 10 100 1000 → ∞
f(𝑥) 3 ←
2,9999
97
2,999
7
2,97
1,
5
0 1,5 2,97
2,999
7
2,9999
97
→ 3
Dengan memperhatikan tabel 5 maka dapat ditarik kesimpulan yang didasarkan pengamatan
dan penalaran bahwa f(𝑥) → 3 untuk 𝑥 → ∞. Apabila dimaknai lebih lanjut, pernyataan 𝑥
mendekati tak hingga (𝑥 → ∞) mengandung arti bahwa untuk setiap bilangan positip 𝑀 selalu
ada nilai 𝑥 sehingga 𝑥 > 𝑀. Berdasarkan pemaknaan ini maka disusun definisi formal untuk
limit di tak hingga sebagai berikut.
Misalkan 𝐿 suatu bilangan real maka yang dimaksud dengan
lim f(𝑥) = 𝐿
𝑥→∞
adalah untuk setiap 𝗌 > 0 terdapat 𝑀 > 0 sehingga jika 𝑥 > 𝑀 berlaku |f(𝑥) − 𝐿| < 𝗌.
Demikian pula untuk
lim f(𝑥) = 𝐿
𝑥→−∞
Artinya setiap 𝗌 > 0 terdapat 𝑁 < 0 sehingga jika 𝑥 < 𝑁 berlaku |f(𝑥) − 𝐿| < 𝗌
41

JENJANG SMP
Definisi di atas dapat diilustrasikan seperti gambar berikut.
S→∞ S
Jawab:
Fungsif 𝑥
1
S
( ) = dapat digambarkan sebagai berikut.
Bila dicermati maka tampak bahwa f(𝑥) menuju 0 untuk 𝑥 menuju tak hingga. Jadi dapat
1
S→∞ S
disimpulkan bahwa l im = 0
b. Dengan menggunakan sifat limit, tentukan l im2S−1
S→∞ S+1
Jawab:
S→∞ 𝑥 + 1
2𝑥 − 1
l im = l im
2𝑥 − 1
𝑥
S→∞ 𝑥 + 1
𝑥
f(𝑥) =
1
𝑥
Gambar 7
Terlihat bahwa untuk setiap 𝗌 > 0 terdapat 𝑀 > 0 sehingga untuk 𝑥 > 𝑀 maka grafik berada
diantara garis horisontal 𝑦 = 𝐿 + 𝗌 dan𝑦 = 𝐿 − 𝗌.
Contoh 4
a. Tentukan hasil dari l im1
42

JENJANG SMP
2 − 1
= l im 𝑥
S→∞
1 − 1
𝑥
l im2 − l im1
= S→∞ S→∞ 𝑥
l im1 + l im1
S→∞ S→∞ 𝑥
2 − l im1
= S→∞ 𝑥
1 + l im1
S→∞ 𝑥
2 − 0
=
1 + 0
= 2
S→∞
2+S2−S3
c. Tentukan l im S2−1
Jawab:
l im
S→∞
2 + 𝑥2 − 𝑥3
2
𝑥 − 1
2 + 𝑥2 − 𝑥3
𝑥2
2
= l im
S→∞ 𝑥 − 1
𝑥2
= l im
2 𝑥2 𝑥3
𝑥2 + 𝑥2 − 𝑥2
2
S→∞ 𝑥 − 1
S→∞
= l im𝑥2
𝑥2 𝑥2
2 + 1 − 𝑥
1 − 1
𝑥2
= S→∞ 𝑥2 S→∞ S→∞
l im 2 + l im1− l im𝑥
l im1 − l im 1
=
S→∞ S→∞ 𝑥2
0 + 1 − ∞
1 − 0
= −∞
D. Strategi Sederhana dalam Menyelesaikan Limit
Strategi sederhana yang dimaksud disini adalah cara menyelesaikan persoalan limit dengan
memanfaatkan teorema dan penjelasan pada bagian sebelumnya
I. Limit fungsi 𝑓(x)untuk x menuju nilai tertentu (x → 𝑎, 𝑎 ∈ 𝑅)
1. Substitusi langsung pada fungsinya.
Misalkan ingin ditentukan hasil l imf(𝑥). Jika f(𝑐) tidak menemui hasil “janggal” dalam arti
S→𝑐
tidak terdefinisi/tidak tentu/tak hingga, maka umumnya nilai limitnya adalah f(𝑐). Cara ini
sejatinya sekedar memanfaatkan kekontinuan di titik 𝑐
43

JENJANG SMP
a. l im =
Contoh:
𝑥2 − 4 32 − 4
=
S→3 𝑥 − 2 3 − 2
9 − 4
3 − 2
= 5
b. l im(√
𝑥2 − 2𝑥
3
S→2 𝑥 + 1
+ 𝑥 − 1)
S2−1
S−1
= ( √
22 − 2(2)
3
2 + 1
+ 2 − 1)
22−1
2−1
0
9
= ( √ + 2 − 1)
3
= 1
Bedakan dengan contoh berikut
S2−1
S→2
𝑥2 − 2𝑥
𝑥 − 2
c. l im(√ + 𝑥 − 1)
S−1
22 − 2(2)
2 − 2
= ( √ + 2 − 1)
22−1
2−1
0
3
0
= (√ + 2 − 1) ?
0
0
Tidak boleh dilanjutkan dengan cara tersebut karena memuat bentuk tak tentu .
2. Bentuk rasional umumnya dapat disederhanakan
Cara ini sesungguhnya sekedar menduga bahwa biasanya si pembuat soal sudah
mengetahui hasilnya. Oleh karena itu bentuk rasional yang dibuat (umumnya) dapat
disederhanakan.
Contoh:
a. l im 2
S→3 𝑥 − 9
= l im
S→3
𝑥3 − 27 (𝑥 − 3)(𝑥2 + 3𝑥 + 9)
(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
𝑥2 + 3𝑥 + 9
𝑥 + 3
=
= l im
S→3
9
2
b.
𝐼 𝑘𝑔𝑎𝑡: 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)
𝑥 − 2 𝑥 − 2 √𝑥 + √2
S→2 √𝑥 − √2 S→2 √𝑥 − √2 √𝑥 + √2
l im = l im ∙ (m
eras i onal kanpenyebut)
= l im
S→2
(𝑥 − 2)(√𝑥 + √2)
𝑥 − 2
S→2
= l im(√𝑥 + √2)
= 2√2
44

JENJANG SMP
c. l im = l im
S→2
𝑥 − 2 (√𝑥 − √2)(√𝑥 + √2)
S→2 √𝑥 − √2 √𝑥 − √2
(m
em
f akt or kan pem
bi l ang)
S→2
= l im(√𝑥 + √2)
= √2 + √2
= 2√2
0
3. Jika dengan substitusi memuat bentuk k
𝑑e𝑘𝑔𝑎𝑘 𝑘 ≠ 0 umumnya fungsi tidak mempunyai
limit. Namun demikian ada, beberapa kasus walaupun memuat bentuk k
dengan𝑘 ≠ 0
0
tetapi limitnya ada. Cara seperti ini sebenarnya hanya memanfaatkan suatu sifat bahwa
hasil bagi dua bilangan akan menuju tak hingga atau menuju negatif tak hingga jika
pembilang tetap dan penyebutnya menuju 0.
Contoh:
S→3 S−3 3−3 0
S2−8 32−8 1 k
0
a. l im( − 3) = − 3 = − 3 ? karena memuat bentuk dengan 𝑘 ≠ 0
Grafik dari fungsi tersebut adalah
.
Jadi l im(S2−8
− 3) tidak ada
S→2
b. l im(
S→3
2
S−3
𝑥 − 1
2𝑥 − 4 𝑥 − 2
− )
Perhatikan bahwa limit tersebut memuat k
𝑑e𝑘𝑔𝑎𝑘 𝑘 ≠ 0 yaitu
2
− = −
0
2 − 1 2 1
2(2) − 4 2 − 2 0 0
2 1
Meskipun memuat bentuk dan , namun limitnya ada yaitu
l im(
S→2
−
2 𝑥 − 1
2𝑥 − 4 𝑥 − 2 S→2
) = l im(
0 0
2 2𝑥 − 2
2𝑥 − 4 2𝑥 − 4
− )
2 − (2𝑥 − 2)
= l im
S→2 2𝑥 − 4
= l im
4 − 2𝑥
S→2 2𝑥 − 4
= l im(−
S→2
2𝑥 − 4
2𝑥 − 4
) = −1
f(𝑥) =
𝑥2 − 8
𝑥 − 3
− 3
45

JENJANG SMP
Mengapa meskipun fungsi di atas memuat bentuk k
dengan𝑘 ≠ 0 tetapi limitnya ada?
0
Jawabannya adalah karena bentuk tersebut pada hakekatnya adalah bentuk ∞ − ∞
(lihat strategi berikutnya).
4. Jika dengan substitusi memuat bentuk 0
maka nilai limit dapat ditentukan dengan
0
menyederhanakan atau menggunakan teorema L’hopital (lihat sifat dan teorema limit)
Contoh 8:
a. l im 2 memuat bentuk karena 2
S3−64 0 43−64 0
4 −16 0
= . Jadi penyelesaiannya adalah
S→4 S −16
𝑥3 − 64
l im 2 = l im
0
(𝑥3 − 64)′
2
= l im
S→4 𝑥 − 16 S→4 (𝑥 − 16)′
3𝑥2
S→4 2𝑥
3
S→4 2
= l im 𝑥 = 6
b. l im(
S→2
√S2−2S
S−2
+ 𝑥 − 1)
𝑥2−1
𝑥−1
0
0
memuat bentuk hanya pada bagian
S2−2S
S−2
. Secara jelasnya
0
0
𝑥2−1
𝑥−1
bentuk tersebut adalah ( √ + 𝑥 − 1) .
Perhatikan bagian dari l im(
S→2
√S2−2S
S−2
+ 𝑥 − 1)
𝑥2−1
𝑥−1
memuat bentuk
0
0
yaitu
0
0
(√ + 𝑥 − 1)
𝑥2−1
𝑥−1
sehingga hanya bentuk
0
0
ini yang perlu teorema L’hopital.
Jadi l im(
S→2
√S2−2S
S−2
+ 𝑥 − 1)
𝑥2−1
𝑥−1
= l im(√
S→2
(S2−2S)′
(S−2)′
+ 𝑥 − 1)
𝑥2−1
𝑥−1
= l im(√
S→2
2𝑥 − 2
1
+ 𝑥 − 1)
S2−1
S−1
S→2
2(2) − 2
1
= l im(√ + 2 − 1)
22−1
2−1
3
= (√3)
= 3√3
46

JENJANG SMP
c. l im
S→9
√√𝑥 − 3
𝑥 − 9
(√𝑥 − 3)′
= l im√
S→9 (𝑥 − 9)′
= l im
1
(2√𝑥
S→9 1
1
= √6
6
II. Limit fungsi 𝑓(x) untuk x menuju tak hingga (limits at infinity)
1. Limit fungsi yang memuat bentuk ∞ − ∞, umumnya diselesaikan melalui cara mengalikan
dengan sekawannya
Contoh 9:
S→∞ S→∞
a. l im(2𝑥 − √4𝑥2 − 𝑥) = l im(2𝑥 − √4𝑥2 − 𝑥) ∙
(2𝑥 + √4𝑥2 − 𝑥)
(2𝑥 + √4𝑥2 − 𝑥)
= l im
4𝑥2 − (4𝑥2 − 𝑥)
S→∞ 2𝑥 + √4𝑥2 − 𝑥
= l im
S→∞ 2𝑥 + √4𝑥2 − 𝑥
𝑥
1
∙ 𝑥
1
𝑥
𝑥
𝑥
= l im 𝑥
S→∞ 2𝑥 + √4𝑥2
− 𝑥
𝑥2 𝑥2
= l im
1
S→∞
2 + √4 − 1
𝑥
1
4
=
1
2 + √4 − 0
=
b. l im(√𝑥2 + 7𝑥 − √𝑥2 − 𝑥) = l im(√𝑥2 + 7𝑥 − √𝑥2 − 𝑥) ∙ (√S2+7S+√S2−S)
S→∞ S→∞ √S2+7S+√S2−S
S→∞
𝑥2 + 7𝑥 − (𝑥2 − 𝑥)
√𝑥2 + 7𝑥 + √𝑥2 − 𝑥
= l im( )
S→∞
6𝑥
√𝑥2 + 7𝑥 + √𝑥2 − 𝑥
= l im( )
= l im(
S→∞
6
√1+ + 1−
7
√ 1
𝑥 𝑥
)[pembilang dan penyebut dibagi x]
6
√1 + 0 + √1 − 0
= = 3
47

JENJANG SMP
∞
2. Limit fungsi yang memuat bentuk ∞
dengan pembilang dan penyebut suatu polinomial,
perlu memperhatikan
 Pangkat tertinggi variabel pembilang lebih besar dari penyebut maka tidak punya limit
Contoh 10:
l im
S→∞
𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 5
2
𝑥 + 1
= l im
S→∞
𝑥3 𝑥2
𝑥 5
𝑥2 − 2 𝑥2 + 𝑥2 − 𝑥2
2
𝑥 + 1
𝑥2 𝑥2
= l im
S→∞
1 5
𝑥 − 2 + 𝑥 − 𝑥2
1 +
1
𝑥2
l im𝑥 − l im2+ l im1 − l im 5
= S→∞ S→∞ S→∞ 𝑥 S→∞ 𝑥2
l im1 + l im 1
= S→∞
S→∞ S→∞ 𝑥2
l im𝑥 − 2 + 0 − 0
1 + 0
= ∞
 Pangkat tertinggi variabel penyebut lebih besar dari pangkat tertinggi variabel
pembilang maka nilai limitnya nol
Contoh 11:
2𝑥2 + 𝑥 − 5
3
l im
S→∞ 𝑥 + 1
2𝑥2 1 5
𝑥2 + 𝑥 − 𝑥2
3
= l im
S→∞ 𝑥 + 1
𝑥2 𝑥2
= l im
S→∞
2 + 1 − 5
𝑥2
𝑥
𝑥 + 1
𝑥2
= l im
S→∞
2 + 0 − 0
𝑥 + 0
= 0
 Pangkat tertinggi variabel pembilang sama dengan pangkat tertinggi variabel penyebut
maka nilai limitnya adalah perbandingan koefisien variabel tertinggi dari pembilang dan
penyebut
Contoh 12:
l im
S→∞
5𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 5
3
2𝑥 + 1
= l im
S→∞
5𝑥3 𝑥2
𝑥 5
𝑥3 − 2 𝑥3 + 𝑥3 − 𝑥3
3
2𝑥 + 1
𝑥3 𝑥3
= l im
S→∞
𝑥
5 − 2 + 1 − 5
𝑥2 𝑥3
2 + 1
𝑥3
48

JENJANG SMP
=
5 − 0 + 0 − 0
2 + 0
=
5
2
b. l im√9S4−2S2+S−5
S→∞ 2S2+1
.
Perhatikan bahwa suku dengan variabel pangkat tertinggi pembilang adalah 9𝑥4.
Karena di dalam akar maka untuk keperluan menghitung limit, suku tersebut
“dipandang” sebagai √9𝑥4 (menghilangkan suku −2𝑥2 + 𝑥 − 5). Tetapi sebenarnya
tidak demikian (lihat latihan). Sehingga pengerjaan dapat disederhanakan sebagai
l im
S→∞
= l im
√9𝑥4 − 2𝑥2 + 𝑥 − 5 √9𝑥4
2𝑥 + 1 S→∞ 2𝑥
2 2
= l im
√9𝑥2
S→∞ 2𝑥2
=
√9
2
3
2
=
c. l im√2S4−S−5
S→∞ 2S2−S
l im
S→∞
√2𝑥4 − 𝑥 − 5
2
2𝑥 − 𝑥
= l im
√2𝑥2
2
=
S→∞ 2𝑥
√2
2
49

JENJANG SMP
BAB 2
ANALISIS GRAFIK GRADIEN GARIS SINGGUNG
A. Pengantar
Jika kita berbicara mengenai kecepatan, percepatan, nilai maksimum dan minimum suatu
fungsi maka sebenarnya kita sedang membahas mengenai turunan. Sementara itu turunan
(secara definisi) adalah pengembangan dari konsep limit. Secara sederhana turunan dapat
dipahami sebagai gradien garis singgung
Perhatikan gradien garis (bukan garis singgung) yang memotong kurva 𝑦 = f(𝑥) berikut
Gardien garis 𝑚 = ∆𝑦
= ƒ(𝑐+∆S)−ƒ(𝑐)
.
∆S ∆S
Untuk ∆𝑥 → 0 dapat diilustrasikan seperti gambar berikut
Dengan demikian gradien garis singgung kurva di titik (𝑐, f(𝑐)) namakan 𝑚 dapat dipahami
sebagai
𝑚 = l im
∆S→0
f(𝑐 + ∆𝑥) − f(𝑐)
∆𝑥
50

JENJANG SMP
Mengingat pengertian turunan maka secara sederhana turunan pertama suatu fungsi adalah
fungsi gradien garis singgung.
Contoh:
Diberikan fungsi f(𝑥) seperti dengan grafik
y
Dengan memperhatikan gambar dapat dibuat sketsa garis singgung kurva sebagai berikut
y
Terlihat bahwa
 Untuk 𝑥 < 0 gradien garis singgung negatif
 Untuk 𝑥 = 0 gradien garis singgung nol
 Untk 𝑥 > 0 gradien garis singgungpositif
x
2 3 4
-1
-2
-3
-4 1
0
– – – + + +
– 0 +
x
1 2 3 4
-1
-4 -3 -2
1
3
2
O
-1
-2
5
4
𝑦 = (f(𝑥)
x
1 2 3 4
-1
-4 -3 -2
1
3
2
O
-1
-2
5
4
51
𝑦 = f(𝑥)

Karena kebetulan fungsi f(𝑥) dapat ditentukan dengan mudah dari gambarnya yaitu
f(𝑥) = 𝑥2 − 1 maka fungsi gradien garis singgungnya adalah f′(𝑥) = 2𝑥 yang grakfiknya
y
B. Strategi Sederhana untuk Menggambar Grafik Fungsi Gradien Garis Singgung
Untuk menggambar fungsi gradien garis singgung yang hanya diketahui grafiknya paling tidak
perlu 3 hal yang perlu diperhatikan yaitu
1) titik balik dan titik belok
2) titikperubahan kecekungan kurva
3) perubahannilai gradien garis singgung
x
1 2 3 4
-1
-4 -3 -2 O
-1
-2
5
4
3
2
1
1 2 3 4
-1
-3 -2
4 O
-1
-2
JENJANG SMP
Jadi perkiraan grafik garis singgung kurva adalah
y
5
4
3
2
1
x
x
2 3 4
-1
-2
-3
-4 1
0
52
– – – + + + +
– 0

JENJANG SMP
Contoh:
Misalkan kurva fungsi f(𝑥) disajikan seperti pada
gambar disamping
Dari sini diperoleh
1) titik balik (0, −1) dan (2,1)
2) titik perubahankecekungan (1,0)
3) nilai perubahan gradien garis singgung
dapat diilustrasikan sebagai berikut:
Jadi sketsa fungsi gradien garis singgung adalah
y
x
1 2 3 4
-1
-4 -3 -2
1
3
2
4
O
-1
-2
5
𝑦 = f(𝑥)
x
y
1 2 3 4
-1
-4 -3 -2 O
-1
-2
5
4
3
2
1
x
y
1 2 3 4
-1
-4 -3 -2
1
3
2
4
O
-1
-2
5
𝑦 = f(𝑥)
53

3. Buatlah sketsa grafik salah satu fungsi yang mempunyai fungsi turunan
y
x
1 2 3 4
-1
-4 -3 -2 O
-1
-2
5
4
3
2
1
x
1 2 3 4
-1
-4 -3 -2
1
3
2
O
-1
-2
5
4
𝑦 = f(𝑥)
JENJANG SMP
Latihan
1. Tentukan titik-titik pada fungsi f(𝑥) = (𝑥2 − 1)3 sehingga gradien garis singgungnya
sejajar dengan sumbu−𝑥
2. Buatlah sketsa fungsi gradien garis singgung dari fungsi yang digambarkan berikut
y
54

JENJANG SMP
BAB 3
MENENTUKAN LUAS DAERAH YANG DIBATASI DUA GRAFIK
A. Pengantar
Sebelum menentukan luas daerah yang dibatasi 2 grafik, maka perlu dimengerti dulu konsep
penting yang terkait dengan luas daerah yaitu teorema dasar kalkulus
Perhatikan gambar di bawah.
Luas daerah parabola dapat didekati dari jumlahan luas persegi panjang. Cara seperti ini
memanfaatkankonsep integral.
Misalkan kita ingin mencari fungsi 𝐹yang mempunyai turunan f(𝑥) = 3𝑥2. Mungkin saja kita
langsung menentukan 𝐹(𝑥) = 𝑥3 karena 𝐹′(𝑥) = 3𝑥2. Tetapi jika diperhatikan lagi
𝐹1(𝑥) = 𝑥3 + 1, 𝐹2(𝑥) = 𝑥3 + 25juga mempunyai hasil 𝐹1
′(𝑥) = 3𝑥2 dan 𝐹2
′(𝑥) = 3𝑥2. Kita
masih dapat menentukan banyak fungsi lain yang turunannya f(𝑥) = 3𝑥2. Berkaitan dengan ini
perhatikan proses berikut.
𝑑S
Diberikan persamaan diferensial 𝑑𝑦
= f(𝑥) .
Bentuk persamaan ini dapat disajikan juga sebagai
𝑑𝑦 = f(𝑥)𝑑𝑥
Operasi untuk menentukan semua penyelesaian dari persamaan diferensial di atas disebut
proses antiturunan atau pengintegralan tak tentu dan ditulis dengan simbol integral ” ʃ “.
Jadi penyelesaian umumnya ditulis dengan
∫ 𝑑𝑦 = ∫ f (𝑥)𝑑𝑥.
Dengan melihat hubungan antara proses pengintegralan dengan proses turunan maka dapat
dikatakan bahwa integral adalah invers dari turunan. Selanjutnya secara sederhana, teorema
55

JENJANG SMP
dasar kalkulus menggambarkan bahwa integral tertentu merupakan luas daerah yang dibatasi
sumbu-x , kurva dan dua nilai tertentu
Sebelum membahas mengenai luas daerah yang dibatasi grafik, perlu dibahas terlebih dahulu
cara menentukan hasil integral tak tentu
B. Strategi sederhana dalam menentukan hasil integral tak tentu
1. Sedapat mungkin disederhanakan (jika bisa dilakukan)
Contoh:
a. ∫ S−1
∫ S−1
S2−1
𝑑𝑥 =
(S−1)(S+1)
𝑑𝑥
= ∫(𝑥 + 1)𝑑𝑥
1
2
2
= 𝑥 + 𝑥 + 𝑐
S−1+2 S+2
b. ∫(𝑥 + 1) 1
+ 2
) 𝑑𝑥 = ∫(𝑥 + 1) (
(
2 1
S−1+2 S 2S+1
∙S
+ ) 𝑑𝑥
= ∫ (𝑥 + 1) ( +
2𝑥 1
1 + 2𝑥 2𝑥 + 1
) 𝑑𝑥
= ∫(𝑥 + 1) ∙ 1 𝑑𝑥
1
2
2
= 𝑥 + 𝑥 + 𝑐
56

JENJANG SMP
2. Jika ada faktor yang bentuk aljabarnya relatif mudah, hindari untuk pemisalan
Contoh:
Tentukan ∫ 𝑥2√𝑥3 + 7 𝑑𝑥
Perhatikan bahwa bentuk aljabar𝑥2 lebih mudah dari bentuk aljabar 𝑥3 + 7. Oleh karena
itu hindari pemisalan 𝑢 = 𝑥2. Gunakan pemisalan 𝑢 = 𝑥3 + 7.
3S2
𝑑𝑢 = 3𝑥2𝑑𝑥 ↔ 𝑑𝑥 = 1
𝑑𝑢 . Jadi
∫ 𝑥2√𝑥3 + 7 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2
√𝑢
1
3𝑥2
𝑑𝑢
1 2 3
= ∫ √𝑢𝑑𝑢 = 𝑢2 + 𝑐
3 9
2
9
= √(𝑥3 + 7)3 + 𝑐
3. Untuk fungsi rasional, jadikan sebagai penjumlahan dengan penyebut faktor-faktornya
Contoh:
Tentukan ∫
2
S2−S−2
𝑑𝑥
Perhatikan bahwa
2 2
𝑥2 − 𝑥 − 2
=
(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
= +
𝐴 𝐵
=
𝑥 − 2 𝑥 + 1
𝐴(𝑥 + 1) + 𝐵(𝑥 − 2)
=
𝑥2 − 𝑥 − 2
(𝐴 + 𝐵)𝑥 + (𝐴 − 2𝐵)
𝑥2 − 𝑥 − 2
2 2
3
Dari sini diperoleh 𝐴 = , 𝐵 = − . Sehingga
2
)
−
3
2 1 2 1
∫ 𝑑𝑥 = ∫ (
𝑥2 − 𝑥 − 2 3 (𝑥 − 2 3 (𝑥 + 1)
) 𝑑𝑥
3
2 2
3
= l n(𝑥 − 2) − l n(𝑥 + 1)
57

JENJANG SMP
4. Untuk fungsi trigonometri diperlukan sedikit trik
Contoh:
∫ sin5 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sin4 3𝑥 sin3𝑥 𝑑𝑥
= ∫ (1 − cos2 3𝑥)2 sin3𝑥 𝑑𝑥
= ∫ (1 − 2 cos2 3𝑥 + cos4 3𝑥) sin3𝑥 𝑑𝑥
= ∫ (sin3𝑥 − 2 cos2 3𝑥 sin3𝑥 + cos4 3𝑥 sin3𝑥)𝑑𝑥
bentuk semula
1 2 1
3 9 15
3 4
= − cos3𝑥 + sin 3𝑥 − cos 3𝑥 + 𝑐
[cara yang digunakan untuk soal di atas adalah memanfaatkan si n53x = si n43x ∙
si n3x]
Catatan:
Khusus untuk fungsi trigonometri diperlukan banyak latihan untuk mempermudah
menemukan solusi cepat dan tepat
5. Fungsi transenden (eksponen, log, trigonometri) dengan integral parsial biasanya akan
kembali ke bentuk semula. Ini justru menguntungkan
Contoh:
∫ eS sin𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ eS 𝑑 cos𝑥
= −eS cos𝑥 + ∫ cos𝑥 𝑑eS
= −eS cos𝑥 + ∫ eS cos𝑥 𝑑𝑥
= −eS cos𝑥 + ∫ eS 𝑑 sin𝑥
= −eS cos𝑥 + eS sin𝑥 − ∫ sin𝑥 𝑑eS
= −eS cos𝑥 + eS sin𝑥 − ∫ eS sin𝑥 𝑑𝑥
Jadi diperoleh,
2 ∫ eS sin𝑥 𝑑𝑥 = −eS cos𝑥 + eS sin𝑥
2
↔ ∫ eS sin𝑥 𝑑𝑥 =
1
(−eS cos𝑥 + eS sin𝑥 + 𝑐)
58

JENJANG SMP
6. Untuk kasus campuran antara fungsi transenden dan aljabar, gunakan integral parsial
dengan sedikit trik.
Jika bagian aljabar dapat diturunkan terus sampai menghasilkan 0 dan dan bagian lain
selalu dapat ditentukan integralnya maka pengerjaannya dapat dilihat seperti pada contoh.
Contoh:
Misalnya akan ditentukan hasil dari ∫ 𝑥3 cos2𝑥 𝑑𝑥.
Pengerjaan sebagai berikut:
Bagian Aljabar
(diturunkan)
Bagian
Transenden
(diintegralkan)
𝑥3
cos2𝑥
3𝑥2 +
1
sin2𝑥
2
6𝑥 -
1
− cos2𝑥
4
6 +
1
− sin2𝑥
8
0 -
1
cos2𝑥
16
Jadi diperoleh,
1
3 3 2
1 1 1
2 4 8 16
∫ 𝑥 cos2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ sin2𝑥 + 3𝑥 ∙ cos2𝑥 − 6𝑥 ∙ sin2𝑥 − 6 ∙ cos2𝑥 + 𝑐
1 3
3 2
3 3
2 4 4 8
= 𝑥 sin2𝑥 + 𝑥 cos2𝑥 − 𝑥 sin2𝑥 − cos2𝑥 + 𝑐
Selain strategi sederhana dalam menentukan integral, perlu diingat juga beberapa sifat-sifat
integral sebagai berikut:
𝑏 𝑎
𝑎
𝑏 𝑎
1. ∫
𝑎 f (𝑥)𝑑𝑥 = −∫
𝑏 f (𝑥)𝑑𝑥
2. ∫𝑎 f(𝑥)𝑑𝑥 = 0
3. ∫
𝑎 𝑐f(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐 ∫
𝑏 f (𝑥)𝑑𝑥
𝑏 𝑏 𝑎
4. ∫𝑎 f(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑏
[f(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏 𝑏 𝑎
5. ∫𝑎 f(𝑥)𝑑𝑥 − ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑏
[f(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
59

JENJANG SMP
C. Menentukan Luas Daerah yang Dibatasi oleh Dua Grafik
Untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh dua grafik dilakukan dengan menghitung
integral tertentu masing-masing kurva. Proses ini dapat dilakukan jika integral tak tentu sudah
diperoleh.Untuk itu, gunakan tip-tip yang sudah dibahas sebelumnya. Jika dua grafik
membentuk kurva tertutup sederhana (misalkan fungsi f dan 𝑔) maka untuk menentukan luas
daerah yang dimaksud adalah dengan menentukan integral tertentu f − 𝑔 dengan batas
integral titik-titik potongnya.
Mengapa demikian? Coba cermati uraian berikut.
Diberikan fungsi f dan 𝑔 seperti gambar di bawah ini.
kurva tertutup sederhana
Dengan memperhatikan grafik di atas jelas bahwa 𝐿 dapat ditentukan dengan
S2 S2
𝐿 = ∫ f(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
S1 S1
S2
= ∫ f (𝑥) − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
S1
Selanjutnya, untuk daerah berikut, apakah untuk menghitung luas juga dilakukan pengurangan
seperti cara sebelumnya?
kurva tertutup tidak sederhana
60

JENJANG SMP
Apakah 𝐿 = S2
f (𝑥) − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥?
∫S1
Sekarang coba perhatikan bila kedua fungsi di atas masing-masing ditambah 𝑘 sehingga
luasannya di atas sumbu-𝑥.
Perhatikan bahwa menambahkan 𝑘 pada masing-masing fungsi tidak mengubah luas maupun
absis titik potong kedua fungsi tersebut. Dengan demikian luasnya adalah luas daerah dibawah
kurva f(𝑥) + 𝑘 dikurangi luas daerah dibawah kurva 𝑔(𝑥) + 𝑘 dengan batas 𝑥1 dan 𝑥2. Atau
dalam bentuk integral dinyatakan dengan
S2 S2
𝐿 = ∫ (f(𝑥) + 𝑘)𝑑𝑥 − ∫ (𝑔(𝑥) + 𝑘)𝑑𝑥
S1 S1
Akibatnya,
S2 S2
𝐿 = ∫ (f(𝑥) + 𝑘)𝑑𝑥 − ∫ (𝑔(𝑥) + 𝑘)𝑑𝑥
S1 S1
S2
= ∫ ((f (𝑥) + 𝑘) − (𝑔(𝑥) + 𝑘)) 𝑑𝑥
S1
S2
= ∫ (f (𝑥) − 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥
S1
61

JENJANG SMP
Berarti luas daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup sederhana dimanapun letaknya dapat
ditentukan dengan cara menghitung integral hasil pengurangan kurva pertama oleh kurva
kedua (atau sebaliknya) dengan batas-batas titik potongnya.
Sedangkan untuk kurva tertutup tidak sederhana, menentukan luas harus memperhatikan
bagian-bagian luasannya
Contoh:
1. Luas daerah yang dibatasi oleh 𝑦 = 3𝑥 dan 𝑦 = −𝑥2 + 4 dansumbu-x dapat dihitung
sebagai berikut.
1
2
Untuk daerah I sangat mudah ditentukan luasnya yaitu 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐼 = 1 . Sedangkan
daerah II dihitung dengan menggunakan integral
2
Luas II= ∫ −𝑥2 + 4
1
1
3
= − 𝑥3 + 4𝑥|
1
2
3
1 1
= − 23 + 4(2) − (− 13 + 4(1))
= 1
3
2
3
Sehingga,
Luas I
+ Luas II= 1 + 1
1 2
= 3
2 3
1
6
62

JENJANG SMP
2. Luas daerah yang dibatasi oleh f(𝑥) =
ditentukan sebagai berikut.
Untuk menentukan luas daerah yang diarsir, sama saja dengan menentukan hasil dari
4 2
∫3S2−S−2
𝑑𝑥.
3. Luas daerah yang dibatasi kurva f(𝑥) = 4 − 𝑥2 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2 dapat ditentukan
dengan cara:
Ditentukan terlebih dahulu titik potongnya (dalam hal ini adalah batas integralnya).
4 − 𝑥2 = 𝑥 + 2
𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0
(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = 0 titik potongnya (−2,0) dan (1,3).
1
S2−S−2
, 𝑥 = 3, dan 𝑥 = 4 serta sumbu-xdapat
4
3
2 2 2
∫ 𝑑𝑥 = l n(𝑥 − 2) − l n(𝑥 + 1)|
𝑥2 − 𝑥 − 2 3 3 3
4
= l n
8
5
1 1
2
= − 𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥|
−2
1
= 4
3
1
2
Luas daerah yang dimaksud adalah
1 1
∫ (f(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = ∫ ((4 − 𝑥2) − (𝑥 + 2))𝑑𝑥
−2 −2
63

JENJANG SMP
BAB V
TRIGONOMETRI
A. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku
Gambar di samping adalah segitiga siku-siku ABC dengan
titik sudut siku-sikunya di C. Panjang sisi (dalam satuan
panjang) di hadapan sudut A adalah a, panjang sisi di
hadapan sudut B adalah b dan panjang sisi di hadapan sudut
C adalah c. Besar sudut A adalah α°, besar sudut B adalah β°,
dan besar sudut C adalah 90°.
Terhadap sudut A; sisi a disebut sisi siku-siku di depan
sudutA, sisi b disebut sisi siku-siku di dekat/samping.
Berdasarkan uraian di atas, didefinisikan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-
siku(terhadap sudut A yang besarnya α°) sebagai berikut:
1. sin 𝛼 =
panjanghipotenusa
=
panjang sisi siku-siku di depan sudut A 𝑎
𝑐
2. cos𝛼 = =
panj ang sisi si-ksiuku di dekat sudut A
𝑏
panj ang hipot enusa 𝑐
3. t an𝛼 = =
panj ang sisi si-ksiuku di depan sudut A𝑎
panj ang sisi si-ksiuku di dekat sudut A𝑏
4. cosec𝛼 = =
5. sec𝛼 =
panj ang sisi si-ksiuku di dekat
=
sudut 𝑏A
6. cot𝛼 =
panj ang
=
sisi si-ksiuku di dekat sudut A𝑏
Berdasarkan definisi di atas dapat diturunkan rumus kebalikan dan rumus perbandingan
sebagai berikut.
Rumus kebalikan:
1. sin𝛼° =
1
cosec 𝛼°
2. cos𝛼° =
1
sec 𝛼°
64

JENJANG SMP
3. t an𝛼° =
1
cot 𝛼°
4. cot𝛼° =
1
tan 𝛼°
5. sec𝛼° =
1
cos 𝛼°
6. cosec𝛼° =
1
sin 𝛼°
Rumus Perbandingan:
1. t an𝛼° = sin 𝛼°
cos 𝛼°
2. cot𝛼° = cos 𝛼°
sin 𝛼°
1. Sudut 450
Perhatikan segitiga OAB dengan AOB= 450 ,maka :
𝑂𝐴 = 𝐴𝐵
𝑂𝐴2 + 𝐴𝐵2 = 𝑂𝐵2
𝑂𝐴2 + 𝑂𝐴2 = 𝑟2
2𝑂𝐴2 = 1
𝑂𝐴2 =
1
↔ 𝑂𝐴 =
1
√2 ↔ 𝑂𝐴 = 𝐴𝐵
2 2
1 1
2 2
Sehingga koordinat 𝐵(𝑥, 𝑦) adalah ( √2, √2)
1
√2
sin450 = = 2 =
𝐴𝐵 1
𝑂𝐵 1 2
√2
1
2
0𝐵 1 2
cos450 = 0Æ
= 2√
= 1
√2
O
65
B
B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut Istimewa
Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya dapat dicari tanpa memakai
tabel matematika atau kalkulator, yaitu: 0, 30, 45,60, dan 90. Sudut-sudut istimewa yang
akan ditunjukkan adalah sudut-sudut 30, 45,dan 60. Sedangkan untuk sudut-sudut 0 dan
90 silahkan Anda coba cari sendiri atau dengan berdiskusi dengan kolega Anda.
Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa digunakan lingkaran satuan
𝑥2 + 𝑦2 = 1 seperti gambar berikut ini.
Y
A X
45O

JENJANG SMP
𝐴𝐵
𝐴𝑂
1
√2
2
1
√2
t an450 = = 2 = 1
2. Sudut 300
Perhatikan segitiga sama sisi yang terbentuk, yakni segitiga OAB, dan C terletakpada ABdengan
2
sudut 𝐶𝑂𝐵 = 30° . Segitiga OAB adalah segitiga sama sisi dengan 𝑟 = 1, 𝐶𝐵 = 𝐶𝐴 = 1
dan
𝑂𝐶 = 3
2
1
.
1
2 2
Sehingga 𝐵(𝑥, 𝑦) adalah B(
1
3, )
1
sin 30 
CB
 2 
1
OB 1 2
3
3
1

1
OB 1 2
cos 30 
OC
 2
3

1
3
3
1
2
1
2
tan 30 
CB

OB
3. Sudut 600
Perhatikan segitiga sama sisi yang terbentuk, yakni segitiga OAB, dan C terletakpada OBdengan
o
1
2
sudut AOB = 60 . Segitiga OAB adalah segitiga sama sisi dengan 𝑂𝐵 = 𝑟 = 1, 𝑂𝐶 = 𝐶𝐴 = dan
𝐶𝐵 = 3
2
1
.
2 2
1 1
Sehingga 𝐵(𝑥,𝑦) adalah B( , 3)
3
3
1

1
OB 1 2
sin 60 
CB
 2
1
cos 60 
OC
 2 
1
OB 1 2
O
B
C
Y
X
30O
O
A
66

JENJANG SMP
1
2
3
1
OC
tan 60 
CB
 2  3
4. Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.
 0 30 45 60 0
sin  0
1
2
1
2
2
1
2
3 1
cos  1
1
2
3
1
2
2
1
2
0
tan  0
1
3
3 1 3
tak
terdefinisi
cot 
tak
terdefinisi
3 1
1
3
3 0
5. Nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut di semua kuadran
67
Perbandingan
trigonometri
Sudut-sudut di kuadran
I II III IV
Sin + + - -
Cos + - - +
Tan + - + -
Cot + - + -
Sec + - - +
Coses + + - -
C. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-sudut Berelasi
1. Rumus Perbandingan Trgonometri untuk Sudut (90° - α°)
a. sin (90° - α°) = cos α°
b. cos (90° - α°) = sin α°

JENJANG SMP
c. tan (90° - α°) = cot α°
d. cot (90° - α°) = tan α°
e. sec (90° - α°) = cosec α°
f. cosec (90° - α°) = sec α°
2. Rumus Perbandingan Trgonometri untuk Sudut (90° + α°)
a. sin (90° + α°) = cos α°
b. cos (90° + α°) = -sin α°
c. tan (90° + α°) = -cot α°
d. cot (90° + α°) = -tan α°
e. sec (90° + α°) = -cosec α°
f. cosec (90° + α°) = sec α°
a. sin (180° - α°) = sin α°
b. cos (180° - α°) = -cos α°
c. tan (180° - α°) = -tan α°
d. cot (180° - α°) = -cot α°
e. sec (180° - α°) = -sec α°
f. cosec (180° - α°) = cosec α°
a. sin (180° + α°) = -sin α°
b. cos (180° + α°) = -cos α°
c. tan (180° + α°) = tan α°
d. cot (180° + α°) = cot α°
e. sec (180° + α°) = -sec α°
f. cosec (180° + α°) = -cosec α°
a. sin (270° - α°) = -cos α°
b. cos (270° - α°) = -sin α°
c. tan (270° - α°) = cot α°
d. cot (270° - α°) = tan α°
e. sec (270° - α°) = -cosec α°
f. cosec (270° - α°) = -sec α°
a. sin (270° + α°) = -cos α°
b. cos (270° + α°) = sin α°
68

JENJANG SMP
c. tan (270° + α°) =- cot α°
d. cot (270° + α°) = -tan α°
e. sec (270° + α°) = cosec α°
f. cosec (270° + α°) = -sec α°
7. Rumus Perbandingan Trgonometri untuk Sudut Negatif (- α°)
a. sin (-α°) = -sin α°
b. cos (-α°) = cos α°
c. tan (-α°) = -tan α°
d. cot (-α°) = -cot α°
e. sec (-α°) = sec α°
f. cosec (-α°) = -cosec α°
8. Rumus Perbandingan Trgonometri untuk Sudut (n × 360° - α°)
a. sin (n × 360° - α°) = -sin α°
b. cos (n × 360° - α°) = cos α°
c. tan (n × 360° - α°) = -tan α°
d. cot (n × 360° - α°) = -cot α°
e. sec (n × 360° - α°) = sec α°
f. cosec (n × 360° - α°) = -cosec α°
9. Rumus Perbandingan Trgonometri untuk Sudut (n × 360° + α°)
a. sin (n × 360° + α°) = sin α°
b. cos (n × 360° + α°) = cos α°
c. tan (n × 360° + α°) = tan α°
d. cot (n × 360° + α°) = cot α°
e. sec (n × 360° + α°) = sec α°
f. cosec (n × 360° + α°) = cosec α°
D. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut
1. Rumus cos ( + ) dan cos ()
Pada gambar di samping diketahui garis CD dan AF
keduanya adalah garis tinggi dari segitiga ABC. Akan
dicari rumus 𝑐o𝑠( + ).
𝐴𝐷
𝐴𝐶
cos(𝛼 + 𝛽) = ↔ 𝐴𝐷 = 𝐴𝐶 cos
(𝛼 + 𝛽)
69

JENJANG SMP
Pada segitiga sikusiku CGF
CF
sin  
GF
GF  CF sin  …………..(1)
Pada segitiga sikusiku AFC,
AC
sin  
CF
CF  AC sin  …………..(2)
AC
cos β 
AF
 AF  AC cos  …………..(3)
Pada segitiga sikusiku AEF,
AF
cos  
AE
 AE  AF cos  …………..(4)
Dari (1) dan (2) diperoleh
𝐺𝐹  𝐴𝐶 sin  sin 
Karena DE  GF maka DE  AC sin  sin 
Dari (3) dan (4) diperoleh
AE  AC cos  cos 
Sehingga AD  AE  DE
AC cos ( + )  AC cos  cos  AC sin  sin 
Untuk menentukan cos () gantilah  dengan  lalu disubstitusikan ke rumus
cos ( + ).
cos ()  cos ( + ())
 cos  cos ()  sin  sin ()
 cos  cos  sin  (sin )
 cos  cos  + sin  sin 
cos ( + )  cos  cos  sin  sin 
70
cos ()  cos  cos  + sin  sin 

JENJANG SMP
2. Rumus sin ( + ) dan sin ()
Untuk menentukan rumus sin ( + ) dan sin () perlu diingat rumus sebelumnya, yaitu: sin
(90)  cos  dan cos (90)  sin 
sin ( + )  cos (90 ( + ))
 cos ((90) )
 cos (90) cos  + sin (90) sin 
 sin  cos  + cos  sin 
Untuk menentukan sin (), seperti rumus kosinus selisih dua sudut
lalu disubstitusikan ke sin ( + ).
sin ()  sin ( + ())
gantilah  dengan 
 sin  cos () + cos  sin ()
 sin  cos  + cos  (sin )
 sin  cos  cos  sin 
3. Rumus tan ( + ) dan tan ()
cos 
Dengan mengingat tan  
sin 
, maka
tan (  ) 
sin(  )

sin  cos   cos  sin 
cos (  ) cos  cos   sin  sin 
sin  cos   cos sin  sin 

sin 
cos  cos 
cos  cos   sin  sin 
1
sin

sin
tan (  ) 
cos  cos 

cos  cos  cos cos

tan   tan 
1 tan  tan 
sin ( + )  sin  cos  + cos  sin 
sin ()  sin  cos  cos  sin 
71

JENJANG SMP
Jadi
1 tan  (tan )
tan   tan ()


tan   tan 
1 tan  tan 
Jadi
E. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
Dari rumusrumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat dikembangkan menjadi rumus
trigonometri untuk sudut rangkap.
 sin 2 sin ( + )  sin  cos  + cos  sin  2 sin cos
 cos 2 cos ( + )  cos  cos  sin  sin  cos2 sin2
Rumusrumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2 dapat diturunkan dengan mengingat
rumus dasar cos2 + sin2 1.
cos 2 cos2 sin2
 cos2 (1  cos2)
 2cos2 1
cos 2 cos2 sin2
 (1  sin2)  sin2
 1  2 sin2
1 tan  tan 
Untuk menentukan tan (), gantilah  dengan  lalu disubstitusikan ke tan ( + ).
tan ()  tan ( + ())

tan   tan (-)
1 tan  tan (-)
tan (  )  tan   tan 
sin 2 2 sin cos
cos 2 cos2
 sin2

1 tan  tan 
72
tan ( ) 
tan   tan 

JENJANG SMP
Sehingga

1 tan2
tan   tan 

2 tan 
1 tan  tan 
tan 2  tan (  ) 
1) cos 2 cos2
 sin2

2) cos 2 2cos2
 1
3) cos 2 1  2 sin2

tan 2 
2 tan 
1 tan2
F. Mengubah Rumus Perkalian ke rumus Penjumlahan/Pengurangan
Dari rumus cosinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh:
+-
cos ( + ) + cos ()  2 cos  cos 
cos ( + ) + cos ()  2 cos  cos 

cos ( + )  cos () 2 sin  sin 
cos ( + )  cos () 2 sin  sin 
Dari rumus sinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh:
+
sin ( + ) + sin ()  2 sin  cos 
73
sin ( + ) + sin ()  2 sin  cos 

G. Persamaan Trigonometri
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan trigonometri suatu
sudut dalam derajat atau radian. Dari bentuk-bentuk rumus periodisasi fungsi trigonometri
untuk fungsi sinus,cosinus dan tangen klita dapat menentukan penyelesaian persamaan
trigonometri.
1. Persamaan trigonometri berbentuk si nx° = si n𝑎°
Persamaan sin 𝑥° = sin 𝛼°, dapat ditentukan himpunan penyelesaianya dengan menggunakan
Rumus persamaan:
si nx° = si n𝑎°, yaitu: 𝑥1 = 𝛼° + 𝑘. 360° atau 𝑥2 = 𝛼° + 𝑘. 360°, k ∈ bilangan bulat.
Contohsoal:
Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari persamaan cos𝑥 − cos120° = 0, interval
0° ≤ 𝑥 ≤ 360°
Jawab:
cos𝑥 − cos120° = 0 ↔ cos𝑥 = cos120°
𝑥1 =∝ +𝑘 ∙ 360°, at au𝑥2 = (−𝛼) + 𝑘 ∙ 360°
𝑥1 = 120° + 𝑘 ∙ 360°, at au𝑥2 = (−120°) + 𝑘 ∙ 360°
unt uk𝑘 = 0, 𝑥1 = 120° at au
𝑥2 = −120°
𝑘 = 1, 𝑥1 = 480° at au
𝑥2 = 240°
Karena interval 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°, maka untuk 𝑥 = 480° dan 𝑥 = −120° ,tidak termasuk.
Jadi, HP = {120°,240°}
2. Persamaan trigonometri berbentuk Cos x° = Cos 𝑎°.
Persamaan cos𝑥° = cos𝛼°, dapat ditentukan himpunan penyelesaiannya dengan menggunakan
Rumus persamaan:
cos𝑥° = cos𝛼° ,yaitu: 𝑥1 = 𝛼° + 𝑘. 360° atau 2 = −𝛼° + 𝑘. 360°, k ∈ bilangan bulat.
JENJANG SMP

sin ( + ) + sin ()  2 sin  cos 
74
sin ( + )  sin ()  2 cos  sin 

JENJANG SMP
Contohsoal:
Tentukan Hp dari persamaan cos𝑥 −cos120°, interval 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°
Jawab:
cos𝑥 = cos120°
𝑥1 =∝ +𝑘 ∙ 360°, at au𝑥2 = (−𝛼) + 𝑘 ∙ 360°
𝑥1 = 120° + 𝑘 ∙ 360°, at au𝑥2 = (−120°) + 𝑘 ∙ 360°
unt uk𝑘 = 0, 𝑥1 = 120° at au
𝑥2 = −120°
𝑘 = 1, 𝑥1 = 480° at au
𝑥2 = 240°
Karena interval 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°, maka untuk 𝑥 = 480° dan 𝑥 = −120° ,tidak termasuk.
Jadi, HP = {120°,240°}
3. Persamaan trigonometri berbentuk t anx° = t an𝑎°.
Persamaan t a n𝑥°= t a n𝛼°,dapat ditentukan himpunan penyelesaiannya dengan menggunakan
Rumus persamaan:
t an𝑥° = t an𝛼°, yaitu: 𝑥1 = 𝛼° + 𝑘. 180°, k ∈ bilangan bulat.
Contohsoal:.
Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari persamaan t an2𝑥 =t an𝜋 interval 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋
Jawab:
t an2x = t an𝜋
𝑥 =∝ +𝑘 ∙ 𝜋
2𝑥 = 𝜋 + 𝑘 ∙ 𝜋
2
1 1
2
𝑥 = 𝜋 + 𝑘 ∙ 𝜋
1
unt uk𝑘 = 0, 𝑥 = 𝜋
2
𝑘 = 1, 𝑥 = 𝜋
1
𝑘 = 2, 𝑥 = 1 𝜋
2
𝑘 = 3, 𝑥 = 2𝜋
1
2
𝑘 = 4, 𝑥 = 2 𝜋
1
2
Karena interval 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋, maka untuk 𝑥 = 2 𝜋 tidak termasuk.
1 1
Jadi, HP = { 𝜋, 𝜋,1 𝜋,2𝜋}
2 2
75

JENJANG SMP
4. Persamaan trigonometri si n𝑝x° = 𝑎, Cos 𝑝x° = 𝑎, dan t an𝑝x° = 𝑎.
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sin𝑝𝑥° = 𝑎, cos𝑝𝑥° = 𝑎, dan t an𝑝𝑥° = 𝑎,
terlebih dahulu kita mengubah konstanta 𝑎 menjadi perbandingan trigonometri yang sama
dengan perbandingan trigonometri pada ruas kiri.
Contohsoal:
Himpunan penyelesaian dari 2 sin(2𝑥 + 120°) + 1 = 0 dengan 0° ≤ 𝑥 ≤ 360° adalah…
Jawab:
2 sin(2𝑥 + 120°) + 1 = 0sin(2𝑥 + 120°) = − 1
2
sin(2𝑥 + 120°) = sin(210° + 𝑘. 360°) atau
sin(2𝑥 + 120)° = sin[(180 − 210)° + 𝑘. 360°]
(2𝑥 + 120°) = 210° + 𝑘. 360° atau (2𝑥 + 120°) = [(180 − 210)° + 𝑘. 360°]
𝑥 = 45° + 𝑘. 180° atau 𝑥 = −75° + 𝑘. 180°
Untuk nilai; 𝑘 = 0, maka 𝑥 = 225° atau 𝑥 = −75°
𝑘 = 1, maka 𝑥 = 225° atau 𝑥 = 105°
𝑘 = 2, maka 𝑥 = 405° atau 𝑥 = 285°
Nilai 𝑥 = −75° dan 𝑥 = 405° tidak termasuk penyelesaian karena diluar interval 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°.
Jadi HP = {45°,105°,225°,dan285°}
5. Persamaan trigonometri yang memuat jumlah , selisih sinus atau kosinus.
Rumus-rumus:
2 si n∝ Cos 𝖰 = si n
(𝑎 + 𝖰) + si n
(𝑎 − 𝖰)
2 Cos 𝑎 s i n𝖰 = si n
(𝑎 + 𝖰) − si n
(𝑎 − 𝖰)
2 Cos ∝ Cos 𝖰 = Cos(𝑎 + 𝖰) + Cos(𝑎 − 𝖰
)
2 s i n𝑎 s i n𝖰 = − Cos(𝑎 + 𝖰) + Cos(𝑎 − 𝖰)
1
2
1
2
s i nA+ s i nB = 2 s i n (A+ B)Cos (A− B)
1
2
1
2
s i nA− s i nB = 2 Cos (A+ B)s i n (A− B)
1 1
2 2
Cos A+ Cos B = 2 Cos (A+ B)Cos (A− B)
1 1
2 2
Cos A− Cos B = −2 s i n (A+B) s i n (A− B)
76
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri yang memuat jumlah , selisih sinus atau kosinus,
kita dapat menggunakan rumus jumlah dan selish dalam trigonometri.

JENJANG SMP
Untuk lebih jelas perhatikan contoh dibawah ini!
Contohsoal:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan sin5𝑥 + sin3𝑥 = 0, dalam interval
0° ≤ 𝑥 ≤ 360°.
Jawab:
sin5𝑥 + sin3𝑥 = 0
1 1
↔ 2 sin (5𝑥 + 3𝑥) cos (5𝑥 − 3𝑥)
77
2 2
↔ sin4𝑥 cos𝑥 = 0
↔ sin4𝑥 = 0 at aucos𝑥 = 0
Dari persamaan sin4𝑥 = 0 diperoleh :
sin4𝑥 = 0 ↔ sin4𝑥 = sin0°
↔ 4𝑥 = 𝑘 ∙ 360° at au
4𝑥 = 180° + 𝑘 ∙ 360°
↔ 𝑥 = 𝑘 ∙ 90° at au
𝑥 = 45° + 𝑘 ∙ 90°
unt uk𝑘 = 0, 𝑥 = 0° at au 𝑥 = 45°
𝑘 = 1, 𝑥 = 90° at au 𝑥 = 135°
𝑘 = 2, 𝑥 = 180° at au 𝑥 = 215°
𝑘 = 3, 𝑥 = 270° at au 𝑥 = 315°
𝑘 = 4, 𝑥 = 360° at au 𝑥 = 405°
Dari persamaan cos𝑥 = 0 diperoleh :
cos𝑥 = 0 ↔ cos𝑥 = cos90°
↔ 𝑥 = ±90° + 𝑘 ∙ 360°
↔ 𝑥 = 90° + 𝑘 ∙ 360° at au 𝑥 = −90 + 𝑘 ∙ 360°
unt uk𝑘 = 0, 𝑥 = 90° at au 𝑥 = −90°
𝑘 = 1, 𝑥 = 470° at au 𝑥 = 270°
Jadi HP = {0°,45°,90°,180°,135°,215°,270°,315°,360°}

JENJANG SMP
6. Persamaan kuadrat dalam sinus dan kosinus, dan tangen.
Persamaan kuadrat dalam sinus, cosinus dan tangen akar-akarnya dapat ditentukan dengan
cara
1. Dengan memfaktorkan
2. Dengan melengkapi kuadrat sempurna
3. Dengan menggunakan rumus ABC
Persamaan trigonometri dalam bentuk persamaan kuadrat dapat diselesaikan menggunakan
langkah-langkah sebagai berikut.
1. Nyatakan persamaan trigonometri dalam bentuk persamaan kuadrat umum.
2. Tentukan akar-akarnya menggunakan salah cara yang telah ditentukan
3. Akar-akar yang telah ditentukan harus memenuhi syarat-syarat sebagai berikut.
a. Nilai sin𝑥 , cos𝑥 ,dan t an𝑥, haruslah bilangan real, sehingga 𝐷 ≥ 0(𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎c)
b. Nilai sin𝑥 = {−1 ≤ sin𝑥 ≤ 1},cos𝑥 = {−1 ≤ cos𝑥 ≤ −1}.
Jika salah satu syarat diantara kedua itu tidak dipenuhi maka persamaan tersebut tidak
memiliki penyelesaian atau himpunan penyelesaianya adalah ∅ (Himpunan kosong).
Agar lebih jelas lihatlah contoh berikut.
Contoh soal:
Tentukan Hp dari persamaan 2 sin2𝑥 = 3 sin𝑥 − 1, dengan 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°.
Jawab:
2 sin2𝑥 = 3 sin𝑥 − 1
↔ 2sin2𝑥 − 3 sin𝑥 + 1 = 0, dengan memisal kan nilsiani𝑥 = 𝑦 didapat
↔ 2𝑦2 − 3𝑦 + 1 = 0
↔ 2𝑦2 − 3𝑦 + 1 = 0
↔ (2𝑦 − 1)(𝑦 − 1) = 0
1
2
↔ 𝑦 = at au 𝑦 = 1
1
2
Sehingga sin𝑥 = atau sin𝑥 = 1
78

JENJANG SMP
a. Untuk nilai sin𝑥 = 1
2
↔ sin𝑥 = sin30°
↔ 𝑥 = 30° + 𝑘 ∙ 360° at au 𝑥 = (180° − 30°) + 𝑘 ∙ 360°
↔ 𝑘 = 0, 𝑥 = 30° at au 𝑥 = 150°
𝑘 = 1, 𝑥 = 390° at au 𝑥 = 510°
b. untuk nilai sin𝑥 = 1
↔ sin𝑥 = sin90°
↔ 𝑥 = 90 + 𝑘 ∙ 360° at au 𝑥 = (180 − 90)° + 𝑘 ∙ 360°
↔ 𝑘 = 0, 𝑥 = 90°
𝑘 = 1, 𝑥 = 450°
Maka HP = {30°,90°, 150°}
Contohsoal:
Jika 𝑥 memenuhi 2sin2𝑥 − 7 sin𝑥 + 3 = 0 dan 0 ≤ 𝑥 ≤ 90°, maka cos𝑥 adalah…
Jawab:
Misalkan sin𝑥 = 𝑦
2sin2𝑥 − 7 sin𝑥 + 3 = 0
↔ 2𝑦2 − 7𝑦 + 3 = 0
↔ (2𝑦 − 1)(𝑦 − 3) = 0
1
2
↔ 𝑦 = at au 𝑦 = 3
2
Maka sin𝑥 = 1
atau sin𝑥 = 3
sin𝑥 =
Karena tidak ada nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan sin𝑥 = 3, maka sin𝑥 = 3 bukan
penyelesaian
1
2
↔ sin𝑥 = sin30° + 𝑘. 360° atau sin𝑥 = sin[(180° − 30°) + 𝑘. 360°]
𝑥 = 30° + 𝑘 ∙ 360° at au 𝑥 = 150° + 𝑘 ∙ 360°
Untuk 𝑘 = 0, maka 𝑥 = 30° atau 𝑥 = 150°
dalam interval 0 ≤ 𝑥 ≤ 90°, dipenuhi oleh 𝑥 = 30°
2
Jadi, cos𝑥 = cos30° = 1
√3
79

JENJANG SMP
7. Persamaan trigonometri yang dapat diubah menjadi persamaan kuadrat
dalam sinus, cosinus dan tangen.
Untuk mengubah suatu persamaan trigonometri menjadi persamaan kuadrat dalam sinus,
cosinus dan tangen kita dapat menggunakan rumus-rumus sudut rangkap, dan rumus
trigonometrisudut pertengahan.
Perhatikan contoh dibawah ini.
Contohsoal:
Tentukan penyelesaian dari persamaan cos2𝑥 − 10 sin𝑥 = −11 dalam interval 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°.
Jawab:
cos2𝑥 − 10sin𝑥 = −11
↔ 1 − 2sin2𝑥 − 10sin𝑥 = −11
↔ 2 sin2 𝑥 + 5 sin𝑥 − 6 = 0
↔ (sin𝑥 + 6)(sin𝑥 − 1) = 0
↔ sin𝑥 = −6 (dit ol a)
k
at ausin𝑥 = 1 (dit er im
a
)
↔ sin𝑥 = 90°
𝑥 = 90° + 𝑘 ∙ 360°
Untuk 𝑘 = 0 maka 𝑥 = 90°
Jadi penyelesaianya adalah 90°
80

JENJANG SMP
BAGIAN 4
UMPAN BALIK DAN TINDAK LANJUT
A. Evaluasi Diri
S2−4
S→2 S−2
= l im
(𝑥 + 2)
S→2
= 4
Mengapa proses pencoretan (𝑥 − 2) boleh dilakukan?
Gambarlah sketsa fungsi turunannya
50
𝐶𝐾 = × 100%
Untuk mengukur ketercapaian peserta diklat dalam mempelajari bahan belajar ini lakukan
evaluasi diri sebagai berikut secara jujur
Petunjuk:
Evaluasi terdiri dari 10 soal. Pada masing-masing soal, pengerjaan yang benar mendapatkan
skor maksimal 5. Jadi skor total 50. Capaian kompetensi (𝐶𝐾) dirumuskan sebagai
𝑆𝑘o𝑟 𝑦𝑎𝑘𝑔 𝑑i𝑝e𝑟o𝑙eℎ
Setelah mengerjakan semua soal evaluasi cocokkan jawaban Anda dengan jawaban evaluasi
pada lampiran untuk mengukur capaian kompetensi (𝐶𝐾).
B. Soal Evaluasi
1. Dalam menentukan l im umumnya orang melakukan proses sebagai berikut
l im = l im
S→2
𝑥2 − 4 (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
S→2 𝑥 − 2 𝑥 − 2
= l im
1. (𝑥 + 2)
S→2 1
S→0
1
si nS
3. Jelaskan secara singkat limit tak hingga (infinite limits)
4. Jelaskan secara singkat limit di tak hingga (limits at infinity)
5. Diberikan fungsi 𝑔 sebagai berikut:
2. Apakah sifat perkalian limit dapat diterapkan pada soal l im(2𝑥. )? Jelaskan.
81

JENJANG SMP
6. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(𝑥) = 2 − 𝑥 − 𝑥2 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 4
7. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan sudut C = 102,3o , sudut B = 28,7o, dan b = 27,4.
Berapakah panjang a dan b?
8. Diketahui segitiga ABC dengan kedua sisinya adalah a = 12 cm dan b = 31 cm, serta sudut A
= 20,5o. Berapakah keliling segitigaABC tersebut?
9. Dalam segitiga ABC diketahui panjang sisi 𝑎 = 4,12; panjang sisi 𝑐 = 6,49; dan besar sudut
𝐵 = 113°. Berapakah panjang sisi 𝑏?
10. Dalam segitiga 𝐴𝐵𝐶diketahui panjang sisi 𝑎 = 7, panjang sisi b= 8, dan sisi 𝑎 = 9.
Hitunglah besar 𝐴,  𝐵, dan  𝐶.
11. Tanpa menggunakan tabel matematika atau kalkulator, hitunglah:
a. cos105°
b. sin255°
c. t an15°
8 4
5
12. Diketahui sin𝛼 = dan cos𝛽 = dengan 𝛼 sudut tumpul dan 𝛽 sudut lancip. Hitunglah:
17
a. sin(𝛼 + 𝛽)
b. cos
(𝛼 − 𝛽)
c. t an
(𝛼 + 𝛽)
13. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri:
2
sin(3𝑥° − 45°) = −1
√2 dalam interval 0 ≤ 𝑥 ≤ 360.
ℎ ℎ
6 6
cos(2𝑥 − ) + √3 = − cos(2𝑥 − ) dalam interval 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.
82
t an
(3𝑥 + 30°) = −1 dalam interval 0 ≤ 𝑥 ≤ 360.
16. Tentukan nilai maksimum fungsi y = 8 cos x° + 6 sin x° + 5
C. Tindak lanjut
Seperti telah dijelaskan pada bagian sebelumnya bahwa evaluasi yang dilakukan oleh diri
sendiri secara jujur adalah kunci keberhasilan mengukur capaian kompetensi (𝐶𝐾). Berkaitan
dengan itu, pertimbangkan hal berikut

JENJANG SMP
Perolehan 𝐶𝐾
(dalam %)
Deskripsi dan tindak lanjut
91 ≤ 𝐶𝐾 ≤ 100
Sangat Baik, berarti Anda benar-benar memahami
pengertian limit. Selanjutnya kembangkan pengetahuan dan
tuangkan dalam pembelajaran
76 ≤ 𝐶𝐾 < 91
Baik, berarti Anda cukup memahami pengertian limit
walaupun ada beberapa bagian yang perlu dipelajari lagi.
Selanjutnya pelajari lagi beberapa bagian yang dirasakan
belum begitu dipahami.
50 ≤ 𝐶𝐾 < 76
Cukup, berarti Anda belum cukup memahami pengertian
limit. Oleh karena itu Anda perlu mempelajari lagi bagian
yang belum dikuasai dan menambah referensi dari sumber
lain
𝐶𝐾 < 50
Kurang, berarti Anda belum dapat memahami pengertian
limit. Oleh karena itu Anda perlu mempelajari lagi dari awal
dan menambah referensi dari sumber lain
D. Jawaban Soal Evaluasi
1.
S2−4
S→2 S−2
Dalam l im memuat 𝑥 → 2 yang artinya 𝑥 tidak mungkin sama dengan 2, hanya
(𝑥 − 2) atau dengan bahasa umum dicoret
S→0 si nS
2. Tidak. Karena l im 1
tidakada
3.
4.
5.
Lihat Modul
Lihat Modul
Sketsasbb:
6. Luas daerah 343
24
S−2
2
mendekati 2. Oleh karena itu pembilang dan penyebut pada bentuk S −4
dapat dibagi
83

JENJANG SMP
7. Panjang a = 43,06 cm, dan b = 55,75
8.Keliling segitiga ABC adalah 77,15 cm atau 66,9 cm. 9.
𝑏 = 8,94
10. besar  𝐴 = 48,2°,  𝐵 = 58,4°, dan  𝐶 = 73,4.
11.
a. cos105° =
1
4
(√2 − √6)
b. sin255° = −
1
4
(√6 + √2)
c. t an15° = 2 − √3
12.
a. sin(𝛼 + 𝛽) = − 36
85
b. cos
(𝛼 − 𝛽) = − 13
85
c. t an
(𝛼 + 𝛽) = 36
77
13. HP = {0, 90, 120, 210, 240, 330,360}
14. HP = {ℎ
, 2ℎ
, 3ℎ
, 5ℎ
}
84
2 3 2 3
15. HP = {35, 95, 155, 215, 275, 335}
16. 𝑦maks = 15

JENJANG SMP
DAFTAR PUSTAKA
1 Husein Tampomas. 1999. Seribu PenaMatematika SMU Jilid 2 Kelas 2. Jakarta: Erlangga
2 Paul A. Foerester. 2005. Calculus: Concepts and Applications, California: Key Curriculum
Press
3 Permenpan dan RB No.16 tahun 2009 tentang Jabatan Fungsional Guru dan Angka
Kreditnya
4 Permendikbud No. 65 tahun 2013 tentang Standar Proses Pendidikan Dasar dan
Menengah
5 Ron Larson. 2006. Discovering Advanced Algebra: An Investigation Approach. California:
Key Curriculum Press
6 Sartono Wirodikromo. 2004. Matematika untuk SMA Kelas X Semester 2. Jakarta: Erlangga
85

BAHAN BELAJAR DIKLAT PASCA UKG BERBASIS MGMP DENGAN POLA IN ON IN KALKULUS DAN TRIGONOMETRI JENJANG SMP

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to BAHAN BELAJAR DIKLAT PASCA UKG BERBASIS MGMP DENGAN POLA IN ON IN KALKULUS DAN TRIGONOMETRI JENJANG SMP

Similar to BAHAN BELAJAR DIKLAT PASCA UKG BERBASIS MGMP DENGAN POLA IN ON IN KALKULUS DAN TRIGONOMETRI JENJANG SMP (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

BAHAN BELAJAR DIKLAT PASCA UKG BERBASIS MGMP DENGAN POLA IN ON IN KALKULUS DAN TRIGONOMETRI JENJANG SMP