2. Definisi
Misalkan F adalah suatu ring. Ring F disebut lapangan (field) jika syarat-syarat
berikut ini dipenuhi:
1. F adalah ring komutatif.
2. F memiliki elemen satuan e dan e ≠ 0.
3. Setiap elemen tak nol di F memiliki invers perkalian.
3. Contoh 1
Misal (R, +, .) adalah ring himpunan bilangan riil. Buktikan bahwa Ring (R,+, .) adalah suatu
lapangan. Untuk membuktikan ini berturut-turut ditunjukkan:
a. R adalah ring komutatif.
Berdasarkan sifat perkalian pada R, maka a . b = b . a, untuk setiap a, b ∈ R. Ini berarti R adalah
ring komutatif.
b. R memiliki elemen satuan e dan e ≠ 0.
Elemen satuan R adalah 1 ≠ 0, karena 1 = 1 . a = a, untuk setiap a ∈ R.
4. Contoh 1 (lanjutan)
c. Setiap elemen tak nol di R memiliki invers perkalian.
Diambil sebarang a ∈ R, dengan a ≠ 0, maka terdapat R sedemikian sehingga
a .
1
𝑎
=
1
𝑎
. a = 1. Ini berarti setiap a ≠ 0 R memiliki invers perkalian yaitu
1
𝑎
.
Dari (a), (b), (c) terbukti bahwa R adalah suatu lapangan
5. Contoh 2
Telah dibuktikan bahwa (Z, +, .) adalah suatu ring, tetapi ring (Z, +, .) bukanlah
suatu lapangan karena syarat (3) pada Definisi Field tidak dipenuhi, karena
terdapat 2 ∈ Z dan 2 ≠ 0, tetapi jika diambil sebarang b ∈ Z tidak ada yang
memenuhi persamaan 2 . b = b . 2 = 1 atau 2 tidak memiliki invers perkalian.
6. Latihan
Misalkan 𝑍5 = {0, 1, 2, 3, 4}. Pada 𝑍5 didefinisikan operasi penjumlahan modulo 5 (+5) dan perkalian
modulo 5 (×5) sebagai berikut:
7. Latihan
Telah dibuktikan bahwa (Z5, +5, x5) merupakan ring.
a. Apakah Z5 merupakan daerah integral? Berikan alasannya!
b. Sebutkan anggota Z5 yang merupakan unit dan berikan alasannya!
c. Apakah Z5 merupakan lapangan? Berikan alasannya!
