modul penalaran dan logika matematika

1. KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan
rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan modul ini. Modul ini
berisikan tentang materi penalaran matematika dan logika matematika. Tujuan
diterbitkan modul adalah untuk mempemudah mahasiswa dalam memahami materi
penalaran matematika dan logika matematik. Dengan modul diharapkan siswa dapat
memahami konsep-konsep matematika khususnya pada materi penalaran matematika dan
logika matematika. Penulis menyadari bahwa modul ini masih terdapat kekurangan, oleh
karena itu kritik dan saran penulis harapkan untuk kesempurnaan modul ini.
Akhir kata, penulis sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah
berperan dalam penulisan modul ini. Semoga Allah senantiasa meridhoi kita semua.
Aamiin
Penulis
Aswarliansyah, M.Pd.

2. BAB I
PENALARAN MATEMATIKA
Materi penalaran matematika merupakan dasar untuk mempelajari materimateri
logika matematika lebih lanjut. Logika tidak dapat dilepaskan dengan penalaran, karena
logika adalah suatu prinsip yang membedakan antara penalaran benar dan penalaran tidak
benar. Sementara itu, penalaran dapat diartikan sebagai cara berpikir, merupakan
penjelasan dalam upaya menunjukkan hubungan antara beberapa hal yang berdasarkan
pada sifat-sifat atau hukum-hukum tertentu yang telah diakui kebenarannya. Langkah-
langkah tertentu itu akan berakhir pada suatu penarikan kesimpulan. Secara singkat,
penalaran dapat diartikan sebagai proses penarikan kesimpulan dalam sebuah argumen.
Kemampuan memahami materi matematika seseorang tidak dapat dilepaskan dari
kemampuan penalaran. Artinya materi matematika akan mudah dipahami dengan adanya
kemampuan nalar yang baik. Dengan menguasai materi ini akan memudahkan
mempelajari dan memahami materi-materi matematika lain, baik yang berhubungan
dengan logika matematika, matematika secara umum, maupun yang berhubungan dengan
kehidupan sehari-hari.
Bahkan dalam kegiatan sehari-hari sangat erat kaitannya dengan proses penalaran.
Misalnya ketika seseorang merasakan bahwa kopi yang akan diminum masih panas,
mungkin orang akan berpikir untuk membuka tutup gelasnya, atau merendam gelasnya di
air dingin, atau meniupnya supaya segera hangat dan dapat diminum, atau bisa juga
berpikir untuk menunggunya sampai cukup hangat atau cukup dingin untuk diminum.
Singkatnya, setiap kesan yang ditangkap oleh indera manusia akan menjadikannya
melakukan kegiatan berpikir.
Dari berbagai kegiatan berpikir dalam kehidupan manusia, suatu saat diperlukan
proses berpikir secara sistematis dan logis untuk mendapatkan sebuah kesimpulan atau
keputusan. Kegiatan berpikir yang semacam ini disebut dengan kegiatan bernalar. Untuk
dapat melakukan suatu kegiatan penalaran yang benar sehingga menghasilkan sebuah
kesimpulan atau keputusan yang tepat, dibutuhkan data-data dan fakta serta kaidah-
kaidah yang benar yang dirangkai dalam suatu alur yang sistematis dan logis.
Konsep-konsep yang muncul dalam setiap bidang ilmu pasti merupakan hasil dari
suatu proses penalaran, terlebih dalam bidang matematika. Matematika pada hakekatnya
berkenaan dengan struktur dan ide-ide abstrak yang disusun secara sistematis dan logis
melalui proses penalaran. Oleh karenanya untuk dapat memahami konsep-konsep

3. matematika secara benar maka terlebih dahulu harus memahami bagaimanakah pola
penalaran dan kaidah-kaidah logika yang digunakan sebagai alat berpikir kritis dalam
matematika. Penalaran matematika dibedakan menjadi dua, yaitu penalaran induktif dan
penalaran deduktif.
A. Penalaran Induktif
Penalaran induktif adalah kemampuan berpikir seseorang dari hal-hal yang bersifat
khusus untuk menarik kesimpulan yang bersifat umum. Penalaran yang menggunakan
pendekatan induktif pada prinsipnya menyelesaikan persoalan (masalah) matematika
tanpa memakai rumus (dalil), melainkan dimulai dengan memperhatikan data/ soal. Dari
data/ soal tersebut diproses sehingga berbentuk kerangka/ pola dasar tertentu yang kita
cari sendiri, sedemikian rupa sehingga kita dapat menarik kesimpulan. Oleh karena itu
proses berpikir induktif meliputi pengenalan pola, dugaan dan pembentukan generalisasi.
Ketepatan sebuah dugaan atau pembentukan generalisasi dalam pola penalaran ini
sangatlah tergantung dari data dan pola yang tersedia. Semakin banyak data yang
diberikan atau semakin spesifik pola yang diberikan, maka akan menghasilkan sebuah
dugaan atau generalisasi yang semakin mendekati kebenaran. Sebaliknya, semakin sedikit
data yang diberikan atau semakin kurang spesifiknya pola yang disediakan, maka dugaan
atau generalisasi bisa semakin jauh dari sasaran, dan bahkan bisa memunculkan dugaan
atau generalisasi ganda.
Contoh:
1.Barisan bilangan:
1, 5, 9, 13, 17, ..., ....
Untuk melengkapi dua suku terakhir diperlukan pengenalan pola dimaksudkan sebagai
suatu identifikasi tentang tata aturan penulisan barisan tersebut. Dari contoh ini dapat
dilihat bahwa untuk mendapatkan bilangan berikutnya, maka sebuah bilangan dalam
barisan tersebut harus ditambah dengan 4.
1, 5, 9, 13, 17, ..., ...
+ 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4
Maka dapat disimpulkan dua suku terakhir adalah 21 dan 25. Setelah mengetahui
polanya, selanjutnya dapat dilakukan dugaan-dugaan tentang bilangan-bilangan yang
akan muncul pada urutan yang lebih tinggi.

4. Selanjutnya hasil dari proses pengenalan pola dan pendugaan tersebut dapat digunakan
untuk membentuk sebuah generalisasi, yakni dengan menyusun formula untuk
menentukan bilangan yang akan muncul pada urutan ke n.
2.Barisan huruf:
C, A, G, D, K, G, O, J, ..., ... .
Dengan mengetahui urutan huruf abjad, maka terlihat bahwa masing-masing suku
ganjil dan suku genap memiliki pola.
C, A, G, D, K, G, O, J, ..., ...
D,E,F B,C
Maka dapat disimpulkan bahwa dua suku terakhir adalah huruf S dan M.
Latihan 3.1
Isilah titik-titik pada soal berikut dengan membubuhkan bilangan yang tepat?
a. 2, 4, 6, 8, ..., ..., ... .
b. 0, -3, -6, -9, ..., ..., ... .
c. 2, 5, 4, 5, 8, 5, ..., ..., ... .
3.Pola gambar
Pada deretan gambar tersebut dapat diketahui adanya kombinasi bentuk dan warna.
Kombinasi bentuk berubah untuk bidang kiri atas dan kanan bawah. Sedangkan bentuk
bidang kanan atas dan kiri bawah tidak berubah. Untuk warna, semua posisi
mengalami perubahan yakni antara hitam dan putih. Bidang lingkaran putih kiri atas
menjadi lingkaran hitam kanan bawah, segitiga hitam kiri atas menjadi segitiga putih
kanan bawah, maka untuk gambar terakhir disimpulkan lingkaran putih di kanan

5. bawah. Dari pilihan yang ada maka hanya C yang sesuai. Maka dapat dipastikan
jawaban untuk gambar selanjutnya adalah C.
4.Menyelesaikan permasalahan
a. Berapakah hasil dari: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … + 19
Penyelesaian :
Mencari pola hasil penjumlahan bilangan ganjil.
1 = 1 = 1 x 1
1 + 3 = 4 = 2 x 2
1 + 3 + 5 = 9 = 3 x 3
1 + 3 + 5 + 7 = 16= 4 x 4, dst
Karena bilangan ganjil dari 1 sampai 19 ada 10 bilangan maka dengan
menggunakan pola di atas maka tanpa menghitung penjumlahan semua angka,
dapat diperoleh hasilnya denga lebih cepat, yaitu 10 x 10 = 100. Misalnya
ditanyakan jumlah 50 suku ganjil yang pertama, maka dengan pola tersebut dapat
diketahui jawabannya adalah 50 x 50 = 2500.
b. Soal cerita
Dalam suatu pesta terdapat 100 orang yang hadir. Semua orang yang hadir pada
acara tersebut saling bersalaman satu dengan yang lainnya tepat satu kali. Berapa
banyak kejadian bersalaman yang terjadi pada acara tersebut?
Penyelesaian:
Kemungkinan terjadinya bersalaman :
A
1 orang : 0
(tidak terjadi salaman)
A B
2 orang : 1
kali
A B
C
C D
3 orang : 3 kali
A B

6. 4 orang : 6 kali
Jumlah Orang
(n)
Salaman yang
Terjadi
1 0
2 1
3 3
4 6
... ...
100 ?
Dari tabel tersebut kita dapat mencoba untuk mengambil kesimpulan sementara
tentang pola yang terjadi antara kolom kedua (banyaknya salaman) dengan kolom
pertama (jumlah orang).
0 = 1 x 0 x ½
1 = 2 x 1 x ½
3 = 3 x 2 x ½
6 = 4 x 3 x ½
Jika operasi hitung tersebut dituliskan dalam tabel maka:
Jumlah Orang
(n)
Salaman yang
Terjadi
Pola operasi
Hitung
1 0 1 x 0 x ½
2 1 2 x 1 x ½
3 3 3 x 2 x ½
4 6 4 x 3 x ½
... ... ...
100 ? 100 x 99 x ½
N n x (n-1) x ½
Kesimpulan:
Jika ada 100 orang yang hadir dalam pesta tersebut maka banyaknya salaman yang
terjadi adalah 100 x 99 x ½ = 4.950 kali.
Jika ada n orang yang hadir dalam pesta tersebut maka banyaknya salaman yang
terjadi adalah n x (n-1) x ½.

7. Seperti yang telah disebutkan sebelumnya bahwa keakuratan hasil kesimpulan
penalaran induktif akan sangat tergantung pada lengkap tidaknya data yang ada.
Misalnya, barisan bilangan 3, 6, 10, 15, ..., ... . Kemudian untuk menentukan dua bilangan
selanjutnya ternyata menghasilkan pola penyimpulan yang tidak tunggal. Jika
menggunakan kunci selisih 3,4,5,6,7 maka diperoleh jawaban 21 dan 28. Namun bila
menggunakan kunci selisih 3,4,5,7,9 maka diperoleh jawaban 22 dan 31.
Dari contoh tersebut dapat diketahui bahwa hasil kesimpulan yang diperoleh akan
menjadi kurang valid atau bisa mengakibatkan kesalahan penafsiran apabila data yang
dipergunakan kurang lengkap atau pola yang diamati kurang spesifik karena hasil
observasi yang terbatas. Oleh karena itu, penalaran induktif lebih cocok untuk bidang
non-matematika yang hasil perumusan konsepnya sering harus diperbaiki agar teori-teori
yang muncul sesuai dengan hasil penelitian yang terbaru. Sementara itu konsep-konsep
dalam matematika hampir tidak pernah mengalami perubahan dan kalaupun ada, sifatnya
hanyalah penambahan karena adanya temuan baru dan tidak sampai merubah konsep yang
sudah ada sebelumnya. Hal ini karena sistem yang ada dalam matematika merupakan
sistemsistem deduktif, dimana kebenaran suatu konsep didasarkan pada konsep-konsep
sebelumnya. Oleh karenanya sistem penalaran yang paling banyak berperan dalam
matematika adalah penalaran deduktif.
C. Penalaran Deduktif
Proses penarikan kesimpulan pada penalaran deduktif merupakan kebalikan dari
penalaran induktif. Jika pada penalaran induktif terjadi proses penarikan kesimpulan dari
hal-hal khusus menuju hal-hal-hal umum, maka pada penalaran deduktif terjadi proses
penarikan kesimpulan dari hal-hal umum menuju ke halhal khusus. Di dalam
membuktikan dengan penalaran deduktif, kesimpulan didasarkan atas pernyataan
Latihan 3.2
Pilihlah gambar yang sesuai!

8. generalisasi yang berlaku umum dan pernyataan khusus serta tidak menerima generalisasi
dari hasil observasi seperti yang diperoleh dari penalaran induktif. Dasar penalaran
deduktif yang berperan dalam matematika adalah kebenaran suatu pernyataan haruslah
didasarkan pada kebenaran pernyataan-pernyataan lain. Penarikan kesimpulan yang
demikian ini sangat berbeda dengan penarikan kesimpulan pada penalaran induktif yang
didasarkan pada hasil pengamatan atau eksperimen yang terbatas. Kebenaran yang
diperoleh dari hasil pengamatan atau eksperimen tidak bisa dijamin bebas dari kesalahan
atau salah menafsirkan.
Apabila dalam penalaran deduktif, kebenaran setiap pernyataan harus berdasarkan
pada pernyataan sebelumnya yang benar, maka muncul pertanyaan “Bagaimana
menyatakan kebenaran dari pernyataan pertama?”
Untuk mendapatkan pernyataan yang berlaku secara umum tersebut dengan adanya
proses untuk membangun sebuah sistem deduktif dalam matematika yang diawali dengan
membuat suatu konsep pangkal. Konsep pangkal ini diperlukan sebagai sarana
komunikasi untuk menyusun pernyataan-pernyataan selanjutnya, baik berupa
“kesepakatan”, definisi, aksioma maupun teorema. Selanjutnya kebenaran suatu konsep
didasarkan pada kebenaran konsep-konsep sebelumnya dan mendasari proses penyusunan
konsep-konsep selanjutnya. Misalkan Tn benar berdasarkan Tn-1 yang sudah dibuktikan
kebenarannya dan kebenaran Tn-1 telah dibuktikan atas kebenaran Tn-2, demikian juga
kebenaran Tn-2 sudah dibuktikan berdasarkan atas kebenaran Tn-3 dan seterusnya sampai
dengan T0 yang kebenarannya tidak perlu dibuktikan lagi karena adanya kesepakatan
konsep pangkal bahwa T0 benar. Dapat digambarkan seperti ilustrasi berikut.
T0 T1 T2 ... Tn-1 Tn
Dalam hal ini T0 merupakan pernyataan pangkal yang kebenarannya tidak perlu
dibuktikan. Sedangkan untuk menyatakan T0 diperlukan adanya suatu konsep pangkal.
Contoh:
• Buktikan bahwa jumlah dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap!
Penyelesaian:
Dapat dibuat permisalan secara umum bahwa m dan n adalah sembarang dua bilangan
bulat, maka 2m+1 dan 2n+1 tentunya masing-masing merupakan bilangan ganjil. Jika
dijumlahkan:
(2m+1)+(2n+1) = 2(m+n+1)

9. Karena m dan n bilangan bulat, maka (m+n+1) bilangan bulat, sehingga
2(m+n+1) adalah bilangan genap. Jadi jumlah dua bilangan ganjil selalu genap.
• Buktikan persamaan berikut: −b + (a + b) = a !
Penyelesaian:
Dalam pembuktian persamaan tersebut digunakan pengetahuan aljabar yang berkait
dengan bilangan real a, b, dan c terhadap operasi penjumlahan (+) dan
perkalian (.) yang didasarkan pada enam aksioma atau
postulat berikut:
1. tertutup, a+b R dan a.b R
2. asosiatif, a+(b+c) = (a+b)+c dan a.(b.c) = (a.b).c
3. komutatif, a+b = b+a dan a.b = b.a
4. distributif, a.(b+c) = a.b + a.c dan (b+c).a = b.a + c.a
5. identitas, a+0 = 0+a = a dan a.1 = 1. a = a
6. invers, a+(−a) = (−a)+a = 0 dan a.1/a = a/1.a = 1 untuk a ≠ 0
Berdasar enam aksioma itu, teorema seperti −b + (a + b) = a dapat dibuktikan
sebagai berikut:
−b + (a+b) = − b + (b+a) Aksioma 3 → Komutatif
= (−b+b) + a Aksioma 2 → Asosiatif
= 0 + a Aksioma 6 → Invers
= a Aksioma 5 → Identitas
Jadi terbukti bahwa −b + (a + b) = a adalah benar.
• Buktikan besar sudut setiap segitiga adalah 180o
!
Penyelesaian:
Untuk membuktikannya, pada segitiga sembarang ABC dibuat garis perpanjangan AC
dan BC serta garis yang sejajar AB.

10. Kemudian dengan teorema sudut yang ada dapat dibuktikan:
A = C4 (sudut sehadap)
B = C2 (sudut sehadap)
C1 = C3 (sudut bertolak belakang)
A + B + C1 = C4 + C2 + C3
= 180o
(sudut garis lurus)
Jadi dapat disimpulkan besar sudut setiap segitiga 180o
adalah benar.
• Suatu bak mandi mempunyai panjang 3 m lebihnya dari lebar bak tersebut, sedangkan
lebar 2 m kurangnya dari tinggi bak. Bila luas alas bak tersebut sama dengan 4 m2
berapakah isi bak mandi tersebut?
Penyelesaian:
Diketahui : Luas = 4 m2
Misal tinggi bak mandi adalah t m
Lebar = t – 2
Panjang = (t – 2) + 3
L = p x l
4 = {(t – 2)+3} x (t – 2)
4 = (t + 1) (t – 2)
= t2
– t– 2 = 4
t2
– t – 6 = 0
A B
C
1
2
3
4

11. (t – 3) (t + 2) = 0 t1 = 3
atau t2 = -2
Bila diambil t = 3 m maka didapat p = 4 m dan l = 1 m
Volume balok = p x l x t
= 4 x 1 x 3
= 12 m3
Jadi isi bak mandi adalah 12 m3
.
Latihan 3.3
Perhatikan pernyataan-pernyataan aksioma berikut, kesimpulan apa yang dapat
dibentuk dari aksioma-aksioma berikut.
A1 : a + b = c
A2 : d + e = f
A3 : (a + b) . (d + e) = g
Sistem penalaran yang banyak berperan dalam matematika adalah penalaran secara
deduktif. Namun sering terdengar sebuah metode pembuktian yang bernama induksi
matematika. Meskipun namanya induksi matematika, proses penalarannya tetap
menggunakan penalaran deduktif. Untuk membedakan pembuktian secara induktif
dengan pembuktian secara induksi matematika, perhatikan contoh berikut.
Buktikan bahwa 1+2+3+ ... +n = , untuk n bilangan asli !
Pembuktian secara induktif:
1 = 1
1+2 = 3
1+2+3 = 6
1+2+3+4
1+2+3+4+5

12. Jadi 1+2+3+...+ n =
Untuk n=1,
1+2+3+...+k =
Untuk n = k+1
1+2+3+...+k + (k+1)
Dari contoh tersebut terlihat perbedaan antara pembuktian secara penalaran induktif
dan induksi matematika. Pada penalaran induktif dilakukan dengan menyelidiki
kebenaran rumus untuk n = 1,2,3,4 dan 5. Setelah terbukti kebenarannya untuk kelima
contoh empiris, kemudian digeneralisasikan untuk semua bilangan asli. Penarikan
kesimpulan secara demikian memiliki kelemahan, sebab penyelidikan baru dilakukan
pada 5 bilangan asli pertama dan belum terbukti untuk 6, 7, 8, 9, 10, … dan seterusnya.
Sedangkan dalam pembuktian secara induksi matematika, pada awalnya didapatkan
kebenaran rumus untuk n=1. Dan dengan asumsi bahwa rumus benar untuk n = k, maka
selanjutnya terbukti bahwa rumus juga benar untuk n = k+1.
Hal ini memberikan suatu implikasi:
Jika untuk n = 1 dan n = k benar maka untuk n = k + 1 juga benar. Dengan implikasi
ini maka sudah dapat disimpulkan bahwa rumus akan berlaku untuk semua bilangan asli,

13. sebab diawali bahwa rumus benar untuk n = 1 maka juga benar untuk n = 1+1 = 2; karena
benar untuk n = 2 maka juga benar untuk n = 2+1 = 3; karena benar untuk n = 3 maka
juga benar untuk n = 3+1 = 4; karena benar untuk n = 4 maka juga benar untuk n = 4+1
= 5; karena benar untuk n = 5 maka juga benar untuk n = 5 + 1 = 6; demikian seterusnya.
Dengan demikian jelaslah bahwa dengan pembuktian kebenaran satu implikasi di atas
maka hal tersebut sudah dapat diterapkan pada seluruh bilangan asli dan pengambilan
kesimpulan semacam ini adalah valid. Oleh karena itu, dapat diketahui bahwa pola
penalaran yang digunakan dalam induksi matematika adalah pola penalaran deduktif.
Soal
Untuk meningkatkan pemahaman pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut ini.
1. Tentukan pola suku ke n dari barisan berikut:
a. 1, 4, 9, 16, ...
b. 2, 5, 8, 11, 14, ...
2. Apabila ada 100 garis bertemu di satu titik. Berapa pasang sudut yang
terbentuk oleh garis-garis tersebut?
3. Dengan pendekatan deduktif, buktikan bahwa:
a. Kuadrat bilangan genap adalah genap
b. Kuadrat bilangan ganjil adalah ganjil

14. BAB II
LOGIKA MATEMATIKA
Logika matematika adalah acuan berpikir tentang bagaimana mengambil suatu
kesimpulan dari kondisi tertentu. Melalui logika semacam ini, kamu akan dilatih untuk
selalu logis dan teliti dalam mengambil setiap kesimpulan. Misalnya saja, kamu harus
bisa membedakan suatu kalimat termasuk pernyataan, bukan pernyataan, atau kalimat
terbuka. Logika matematika hanya akan berlaku pada pernyataan. Lantas, bagaimana
dengan kalimat terbuka? Tentu tidak berlaku, ya. Kalimat terbuka adalah kalimat yang
belum memiliki nilai kebenaran pasti, contoh “2x + 3 = 7”, “Hari ini akan berpotensi
hujan”, “Besok telur ayam akan menetas”, dan sebagainya.
A. Jenis-Jenis Logika Matematika
Secara umum, logika matematika dibagi menjadi dua, yaitu pernyataan dan penarikan
kesimpulan.
1. Pernyataan
Pernyataan adalah suatu kalimat yang bisa dibuktikan kebenarannya. Artinya, pernyataan
hanya memuat satu nilai kebenaran, benar saja atau salah saja. Kedua nilai kebenaran itu
tidak bisa melekat secara bersamaan pada suatu pernyataan. Adapun contoh pernyataan
adalah sebagai berikut.
 Ibukota Indonesia adalah Jakarta. (benar)
 Lamanya Bumi berotasi adalah 24 jam (benar)
 Teori gravitasi dikemukakan oleh Albert Einstein. (salah)
 Hasil penjumlahan 3 + 5 = 7. (salah)
Secara umum, pernyataan dibagi menjadi dua, yaitu pernyataan tunggal dan majemuk.
Apa perbedaan antara keduanya?
a. Pernyataan Tunggal

15. Pernyataan tunggal adalah pernyataan yang bisa berdiri sendiri, sehingga tidak
dibutuhkan tanda hubung. Secara matematis, pernyataan bisa dinyatakan
sebagai p atau q. Contoh pernyataan tunggal “Ayah pergi ke kantor (p)”, “Ibu masak
rendang (q)”, “Adik berangkat sekolah (r)”, dan sebagainya.
Selain pernyataan, ada juga ingkaran. Apakah itu? Ingkaran adalah pernyataan yang
memiliki nilai kebenaran berlawanan dengan pernyataan semula. Contoh ingkaran adalah
~p. Contohnya kalimat ingkaran adalah sebagai berikut.
 Pernyataan: Ayah pergi ke kantor (p)
 Ingkaran: Ayah tidak pergi ke kantor (~p)
 Pernyataan: Ibu masak rendang (q)
 Ingkaran: Ibu tidak masak rendang (~q)
 Pernyataan: tomat bukan sayur (r)
 Ingkaran: tomat adalah sayur (~r)
Berikut ini tabel kebenaran untuk ingkaran.
P ~p
B S
S B
Dengan: B = benar dan S = salah
b. Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal melalui
tanda hubung. Contoh pernyataan majemuk adalah “Jika ayah ke kantor, ibu masak
rendang”, “Adik bermain sepak bola dan kasti”, dan sebagainya. Pernyataan majemuk
dibagi menjadi empat jenis, yaitu konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Apa
perbedaan antara keempatnya?

16. 1) Konjungsi
Konjungsi adalah gabungan antara dua atau lebih pernyataan tunggal melalui tanda
hubung “dan”. Secara matematis, konjungsi dilambangkan sebagai (p ∧ q). Perhatikan
contoh konjungsi berikut.
 p = Feri makan nasi
 q = Feri makan bakso
 p ∧ q = Feri makan nasi dan bakso
Konjungsi hanya akan bernilai benar jika kedua pernyataan benar. Jika penasaran, berikut
ini adalah tabel kebenaran konjungsi.
P q p q
B B B
B S S
S B S
S S S
Lalu, bagaimana bentuk ingkaran konjungsi? Bentuk ingkaran konjungsi bisa dinyatakan
sebagai berikut.
Jika hasil konjungsi “Feri makan nasi dan bakso” dibuat ingkarannya, akan menjadi
seperti berikut.
 p ∧ q = Feri makan nasi dan bakso. (konjungsi)
 ~(p ∧ q) ≡ ~p ~q = Feri tidak makan nasi atau bakso. (ingkaran konjungsi)

17. 2) Disjungsi
Disjungsi adalah gabungan dari dua atau lebih pernyataan tunggal melalui tanda hubung
“atau”. Secara matematis, disjungsi dinyatakan sebagai (p v q). Perhatikan contoh
disjungsi berikut.
 p = Julia bekerja di Pasar Baru.
 q = Julia hobi bermain basket.
 p vq = Julia bekerja di Pasar Baru atau hobi bermain basket. 🡪 contoh kalimat
disjungsi
Disjungsi akan bernilai benar jika salah satu atau kedua pernyataan benar. Adapun tabel
kebenaran disjungsi adalah sebagai berikut.
P q p q
B B B
B S B
S B B
S S S
Lalu, bagaimana bentuk ingkaran disjungsi?
Dengan demikian, ingkaran disjungsi “Julia bekerja di Pasar Baru atau hobi bermain
basket” adalah sebagai berikut.
 p vq = Julia bekerja di Pasar Baru atau hobi bermain basket. (disjungsi)

18.  ~(p v q) ≡ ~p ∧ ~q = Julia tidak bekerja di pasar dan tidak hobi bermain basket.
(ingkaran disjungsi)
3) Implikasi
Implikasi adalah gabungan dari dua pernyataan sebagai hubungan sebab akibat. Implikasi
ditandai dengan “jika …, maka …” dan biasa dinyatakan sebagai p =>q. Perhatikan
contoh implikasi berikut.
 p = Ani makan bakso.
 q = Jeni akan datang ke rumah.
 p => q = Jika Ani makan bakso, maka Jeni akan datang ke rumah. 🡪 contoh
kalimat implikasi
P Q p => q
B B B
B S S
S B B
S S B
Adapun ingkaran dari implikasi adalah sebagai berikut.
Dengan demikian, ingkaran dari hasil implikasi “Jika Ani makan bakso, maka Ani tidak
makan di rumah” adalah sebagai berikut.
 p => q = Jika Ani makan bakso, maka Jeni akan datang ke rumah. (implikasi)
 ~(p => q) ≡ p ∧ ~q = Ani makan bakso dan Jeni tidak datang ke rumah. (ingkaran
implikasi)

19. 4) Biimplikasi
Biimplikasi adalah gabungan antara dua pernyataan yang dihubungkan dengan “… jika
dan hanya jika …”. Biimplikasi biasa dinyatakan sebagai (p ⬄ q). Untuk lebih jelasnya,
simak contoh biimplikasi berikut.
 p = Gilang akan mendapatkan hadiah.
 q = Gilang menjadi juara kelas
 p ⬄ q = Gilang akan mendapatkan hadiah jika dan hanya jika menjadi juara kelas.
🡪 contoh kalimat biimplikasi
Biimplikasi akan bernilai benar jika kedua pernyataan sama-sama benar atau sama-sama
salah. Perhatikan tabel kebenaran berikut.
P Q p <=> q
B B B
B S S
S B S
S S B
Adapun bentuk ingkaran dari biimplikasi adalah sebagai berikut.
Dengan demikian, ingkaran dari biimplikasi “Gilang akan mendapatkan hadiah jika dan
hanya jika menjadi juara kelas” adalah sebagai berikut.
 p ⬄ q = Gilang akan mendapatkan hadiah jika dan hanya jika menjadi juara kelas.
 ~(p <=> q) ≡ (p ∧ ~q) v (q ∧ ~p) = Gilang akan mendapatkan hadiah dan tidak
menjadi juara kelas atau Gilang menjadi juara kelas dan tidak akan mendapatkan
hadiah.
c. Pernyataan Berkuantor
Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang memuat kuantitas suatu objek, misalnya
semua, setiap, sebagian, dan sebagainya. Contoh pernyataan berkuantor adalah “semua

20. sapi makan rumput”, “semua anggota bilangan asli termasuk himpunan bilangan real”,
“sebagian semut berwarna merah”, dan seterusnya. Pernyataan berkuantor dibagi menjadi
dua, yaitu sebagai berikut.
1) Kuantor universal
Kuantor universal adalah pernyataan yang memuat kuantitas secara menyeluruh dan
ditandai dengan kata “semua atau setiap”. Kuantor universal biasa dilambangkan sebagai
∀x, px, misalnya “semua kerbau berwarna abu-abu”. Lantas, bagaimana bentuk
ingkarannya? Perhatikan rumus berikut.
Di mana, tanda ∃ menunjukkan kuantor eksistensial.
Dengan demikian, bentuk ingkaran dari “semua kerbau berwarna abu-abu” adalah
sebagai berikut.
 (∀x, px): Semua kerbau berwarna abu-abu
 ~(∀x,p(x)) ≡ ∃x,~p(x): Sebagian kerbau tidak berwarna abu-abu.
Ingat, jika pernyataan kuantornya diawali kata “semua”, maka ingkarannya diawali kata
“ada, sebagian, atau beberapa”.
2) Kuantor eksistensial
Kuantor eksistensial adalah pernyataan yang memuat kuantitas sebagian, sehingga biasa
ditandai dengan kata “ada, sebagian, atau beberapa”. Kuantor eksistensial biasa
dilambangkan dengan ∃x, px, misalnya “sebagian ikan memiliki gigi tajam”. Bentuk
ingkarannya adalah berupa kuantor universal dan ditandai dengan kata “semua atau
setiap”. Perhatikan rumus berikut.
Dengan demikian, bentuk ingkaran dari “sebagian ikan memiliki gigi tajam”. adalah
sebagai berikut.
 (∃x, px): Sebagian ikan memiliki gigi tajam
 ~(∃x,p(x)) ≡ ∀x,~p(x): Semua ikan tidak memiliki gigi tajam.
Ingat, jika pernyataan kuantornya diawali kata “sebagian, ada, atau beberapa”, maka
ingkarannya diawali kata “semua atau setiap”.

21. 2. Penarikan Kesimpulan
Penarikan kesimpulan logika matematika dilakukan secara deduktif atau di awal dan
melibatkan beberapa premis. Secara umum, penarikan kesimpulan dibagi menjadi tiga,
yaitu silogisme, modus Ponens, dan modus Tolens. Apa perbedaan ketiga penarikan
kesimpulan tersebut?
a. Silogisme
Silogisme merupakan penarikan kesimpulan dari dua bentuk implikasi. Bentuk umum
silogisme adalah sebagai berikut.
Contoh:
Premis 1: Jika 2x + 1 = 3, maka x = 1. (p => q)
Premis 2: Jika x = 1, maka x termasuk bilangan asli. (q => r)
Kesimpulan: Jika 2x + 1 = 3, maka x termasuk bilangan asli. (p => r)
b. Modus Ponens
Bentuk umum modus Ponens adalah sebagai berikut.
Contoh:
Premis 1: Jika hari ini mendung, aku akan membawa payung. (p => q)
Premis 2: Hari ini mendung. (p)
Kesimpulan: Aku membawa payung. (q)

22. c. Modus Tollens
Bentuk umum modus Tollens adalah sebagai berikut.
Contoh:
Premis 1: Jika gelaran KTT G20 usai, presiden akan melakukan evaluasi. (p => q)
Premis 2: Presiden tidak melakukan evaluasi. (~q)
Kesimpulan: Gelaran KTT G20 belum usai. (~p)
Soal Latihan
1. Pernyataan yang setara dengan “Jika UMR naik, maka semua harga sembako naik”
adalah …
2. Ingkaran dari pernyataan “Ada siswa SMK yang tidak harus mengikuti praktik kerja
industri” adalah …
3. Jika p bernilai benar dan q bernilai salah, maka pernyataan majemuk yang tidak
bernilai benar adalah …
4. Konvers dari “Jika n bilangan prima lebih dari 2, maka n ganjil” adalah …
5. Diketahui pernyataan :
 Premis 1 : Jika saya tidak makan, maka saya sakit
 Premis 2 : Jika saya sakit maka saya tidak dapat bekerja
Kesimpulan dari pernyataan di atas adalah …

23. DAFTAR PUSTAKA
Antonius Cahya P. 2005. Memahami Konsep Matematika Secara Benar dan
Menyajikannya dengan Menarik. Jakarta: Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi
Departemen Pendidikan Nasional
Booker, G., Bond, D., Sparrow, L., & Swan P. 2004. Teaching Primary Mathemathics(3th
Ed), Pearson Education Australia
Frans Susilo. 2012. Landasan Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu
Gatot Muhsetyo, dkk. 2007. Pembelajaran Matematika SD. Jakarta: Universitas Terbuka
John Bird. 2002. Matematika Dasar: Teori dan Aplikasi Praktis. Jakarta:Erlangga
Kasir Iskandar. 1999. Matematika Dasar. Jakarta: Erlangga
Sufyani P. 2012. Konsep Dasar Matematika. Jakarta: Direktorat Jenderal Pendidikan
Islam Kementrian Agama Republik Indonesia