The document discusses several topics related to calculus including: 1. How to graph functions using GeoGebra by inputting the function and seeing the outputted graph and table of values. 2. How to find the derivative of composite functions using formulas for derivatives of sums, differences, products, and quotients of functions. 3. The definitions of even and odd functions and how to determine if a given function is even or odd based on its behavior when the input is negated. 4. How to evaluate limit problems by directly substituting the limit value or using trigonometric limits such as lim x->0 sin(x)/x = 1.

1. CALCULO
DIFERENCIAL
P R O Y E C TO F I N A L
Irma Alejandra Martínez Tapia

2. ACTIVIDAD 1

3. PARA COMENZAR CON ESTE PROYECTO VAMOS HACER
DOS TABLAS EN LA APLICACIÓN DE GEOGEBRA
• Primero iremos al buscador a buscar la aplicación y seleccionaras la
primera.

4. Una vez seleccionado te aparecerá esta pantalla, la cual seria la pagina
principal. Seleccionaras estos
cuadrito
Te aparecerá este recuerdo
Y tendrás que seleccionar el
apartado de calculadora
grafica.

5. Se abrirá una ventana el la cual aparecerá esta recuadro

6. En el apartado superior izquierdo, esta lo
que aparece en la imagen, en este podrás
colocar las funciones de tu ejercicio.
Del otro lado estará
se expresara una vez
ya colocada la
función, la grafica
En la siguiente diapositiva, vamos a ver dos ejercicio para que se pueda entender mejor

7. Grafica la función desde n=1 hasta n=10
Como se muestra en la pantalla, en el apartado de arriba se pone la función y la “n” la
sustituimos de uno al diez como nos pide la instrucción, para poner la siguiente función solo lo
puedes hacer con enter o seleccionándolo, en la siguiente diapositiva ya estará con todas las
sunciones.

8. Y al final ya quedaría así con todas las funciones

9. Grafica la función desde n=1 hasta n=8

10. ¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN?
• Es el conjunto de pares ordenados de números reales (x, y) en los que el
primer elemento es diferente a todos y cada uno de las funciones.
X: variable independiente.
Y: variable dependiente.
F(x): regla de correspondencia.
• Valor de una función: Se obtiene al sustituir un cierto valor de x en una
función f(x).
• Dominio: Es el conjunto de todos los valores de “x” admisibles para una
función.
• Contra dominio: Es el conjunto de todos los valores de “y” admisibles para
una función.
• Rango o imagen: Es el conjunto de todos los valores resultantes “y” al
sustituir cada uno de los elementos del dominio de la función.

11. Esta es la función que nos pide así que lo primero que tenemos que hacer es poner un
valor a “x” para poder encontrar el valor de “y”
X: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
Y: 1.31, 1.25, 1.15 ……
Lo siguiente que se haría, seria la sustitución de los números elegidos
Y= 5(-5)/3(-5)-4 = -25/-15-4 = 25/19 = 1.31
Y= 5(-4)/3(-4)-4 = -20/-12-4 = 20/16 = 1.25
Y= 5(-3)/3(-3)-4 = -15/-9-4 = 15/13 = 1.15
Deberíamos hacerlo con todos los números que seleccionamos pero como contamos con la
aplicación de GeoGebra vamos hacer el calculo en esta aplicación para que sea mas rápido.
A continuación les demostrare la grafica y la tabla.

12. Así quedaría ya representada la función en GeoGebra

13. Después seleccionaras los tres
puntos para que te salga un
menú, en la cual seleccionaras el
apartado que dice “Tabla de
valores”.
Después de seleccionarla te
saldrá esta tabla de valores
donde puedes el rango de
números que haya escogido.
En la siguiente diapositiva se
mostrara ya el producto final y
otro ejemplo.
Nota: Cuando en la tabla sale
signo de interrogación, significa
que esos números no son el
dominio.

15. Esto seria nuestro segundo ejercicio

18. ACTIVIDAD 2

19. FUNCIONES COMPUESTAS
1. J(k(x))
Se hace la sustitución
−7 2𝑥5 − 12𝑥3 3
2 2𝑥5 − 12𝑥3 2 − 8
Pero como podemos observar en la ecuación hay binomio tanto al cubo como al
cuadrado, entonces tendremos que desarrollar esa parte.
Comenzaremos primero con el binomio al cubo, la formula de esta es:
(𝑎 + 𝑏)3
= 𝑎3
+ 3𝑎2
𝑏 + 3𝑎𝑏2
+ 𝑏3
(𝑎 − 𝑏)3= 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3
Una Vez que ya definimos la formula se hará la sustitución
(2𝑥5−12𝑥3)3 = (2𝑥5)3 − 3(2𝑥5)2 12𝑥3 + 3 2𝑥5 (12𝑥3)2 − (12𝑥3)3
Se hace la resolución de los exponentes y multiplicaciones, y este seria el resultado final:
8𝑥15 − 144𝑥13 + 864𝑥11 − 1728𝑥9

20. Ahora pasaremos al binomio al cuadrado, y su formula seria esta:
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
(𝑎 − 𝑏)2
= 𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Una vez teniendo la fórmula del binomio al cuadrado, lo sustituimos
(2𝑥5−12𝑥3)2 = (2𝑥5)2 − 2 2𝑥5 12𝑥3 + (12𝑥3)2
El cual esta ecuación nos daría el resultado de:
4𝑥10
− 48𝑥8
+ 144𝑥6
Ya que se hicieron la resolución de los binomios lo único que quedaría seria la sustitución de este:
−7(8𝑥15 − 144𝑥13 + 864𝑥11 − 1728𝑥9)
2 4𝑥10 − 48𝑥8 + 144𝑥6 − 8
Cuando este sustituido solo de hacen las ecuaciones así que el resultado final quedaría como:
−56𝑥15 + 1008𝑥13 − 6048𝑥11 + 12096𝑥9
8𝑥10 − 96𝑥8 + 288𝑥6 − 8
A continuación daremos otro ejercicio pero con una solución mas rápida para que no sea tan larga la
presentación.

21. g(h(x))
(6(√𝑥4
+2𝑥2
− 2)2
+ 12)3
Cuando en una ecuación hay una raíz cuadrada y esta elevada también al cuadrado se cancela ya
que seria el mismo resultado.
(6(√𝑥4
+2𝑥2
− 2)2
+ 12)3
(6(𝑥4+2𝑥2 − 2) + 12)3
(6𝑥4
+12𝑥2
− 12 + 12)3
(6𝑥4
+12𝑥2
− 12 + 12)3
(6𝑥4+12𝑥2)3
Se hace el binomio al cubo
(𝑎 + 𝑏)3= 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3
(𝑎 − 𝑏)3
= 𝑎3
− 3𝑎2
𝑏 + 3𝑎𝑏2
− 𝑏3
Sustitución
(6𝑥4+12𝑥2)3 = (6𝑥4)3 + 3 6𝑥4)2(12𝑥2 + 3(6𝑥4)(12𝑥2)2 + (12𝑥2)2
Y el resultado final seria
216𝑥12 + 1296𝑥7 + 2592𝑥6 + 1728𝑥3

22. PAR O IMPAR
• En este tema tenemos diferentes propiedades que nos ayudaran a determinar, si una
función es par o impar.
Si f (– x ) = f ( x ) es par
Si f (– x ) = – f ( x ) es impar
f(x)= 2𝑥4 − 3𝑥2 + 1
f(-x)= 2𝑥4
− 3𝑥2
+ 1
f(-x)= 2(−𝑥)4 − 3 −𝑥 2 + 1
f(-x)= 2𝑥4 − 3𝑥2 + 1
Por lo que tanto significa que
esta es una función par

23. Ahora vayamos con el siguiente ejemplo que seria
f(x)= 𝑥3
Lo que se haría en esta función es racionalizarla para que sea mas sencillos.
f(-x)=√(−𝑥)2
−𝑥
f(-x)=√𝑥2
−𝑥= √𝑥3
f(-x)= − 𝑥2 𝑥 = −√𝑥3
Esto quiere decir que es una función que no es ni par e impar.

25. ACTIVIDAD 3

26. LIMITES
• Limites Algebraicos
En estos limites lo que se tiene que hacer es la sustitución de x por lo que vale el limites
Ejemplo:
lim
𝑥→−1
5𝑥2
+ 7𝑥 + 2
𝑥 + 1
lim
𝑥→−1
5(−1)2
+7(−1) + 2
−1 + 1
lim
𝑥→−1
5 − 7 + 2
−1 + 1
(5-7+2)=(7-7)=0

27. Limite Trigonométrico
lim
𝑥→0
𝑆𝑖𝑛(3𝑥)
𝑇𝑎𝑛(9𝑥)
Para este limite se tiene que utilizas las propiedades y definiciones que son las siguientes:
𝑙𝑖𝑚𝑥−0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
= 1
𝑙𝑖𝑚𝑥−0
𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
= 1
cot∅ =
1
𝑡𝑎𝑛∅
cot∅ =
𝑐𝑜𝑠∅
𝑠𝑒𝑛∅
Una vez que ya tenemos nuestras propiedades y definiciones, empezamos con la sepación.
lim
𝑥→0
sin 3𝑥 .
1
tan(9𝑥)
Y utilizaremos la definición de cot∅ =
1
𝑡𝑎𝑛∅
la cual haría que quedara de la siguiente forma
lim
𝑥→0
sin 3𝑥 . cot(9𝑥)
Luego se utilizara la definición cot∅ =
𝑐𝑜𝑠∅
𝑠𝑒𝑛∅
lim
𝑥→0
sin 3𝑥 .
cos(9𝑥)
sin(9x)

28. Una vez llegado a este resultado, lo siguiente que se hace es volver a separar para que el seno y el
coseno queden apartados
lim
𝑥→0
sin 3𝑥 .
1
sin(9𝑥)
.cos(9x)
Cada uno lo dividiré el limite
lim
𝑥→0
sin 3x . lim
𝑥→0
1
sin(9𝑥)
. lim
𝑥→0
cos 9x
Ahora le agregare al denominador y a numerados la expresión que hace falta
lim
𝑥→0
3𝑥.𝑠𝑒𝑛3𝑥
3𝑥
. lim
𝑥→0
9𝑥
9𝑥.𝑠𝑒𝑛(9𝑥)
. lim
𝑥→0
cos(9x)
El coseno no le agregaré ninguno ya que se puede remplazar de forma directa, ahora nos sobra un
3x y un 9x lo que haremos será separarlos nuevamente para que sea una nueva fracción
lim
𝑥→0
3𝑥
9𝑥
. lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛3𝑥
3𝑥
. lim
𝑥→0
9𝑥
𝑠𝑒𝑛(9𝑥)
. lim
𝑥→0
cos(9x)
Una vez que este así podemos simplificar y con esta usaremos las dos propiedades 𝑙𝑖𝑚𝑥−0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
= 1
y 𝑙𝑖𝑚𝑥−0
𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
= 1, lo cual haría que quedara de la siguiente forma.
NOTA: Coseno de 0 es 1
(
1
3
)(1)(1)(𝐶𝑜𝑠 9 0 = (
1
3
)(1)(1)(1)= 1/3

29. • Limites laterales
lim
𝑥→7
(
𝑥−7
𝑥2−49
)
Derecha
Cuando x se aproxima por la derecha quiere decir que es mayor
lim
𝑥→7+
(
𝑥−7
𝑥2−49
)
x>7
Para el siguiente paso se tiene que modificar el 𝑥2 − 49 y lo hacemos con el tema de la
diferencia del cuadrado.
𝑎2 − 𝑏2 = 𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏
Así que hacemos la sustitución
lim
𝑥→7+
(
𝑥−7
𝑥−7 (𝑥+7)
)

30. Después se hace la cancelación
lim
𝑥→7+
(
𝑥−7
𝑥−7 (𝑥+7)
)
Lo cual nos quedaría de la siguiente forma
lim
𝑥→7+
(
1
𝑥−7
)
Ahora como sabemos x es mayor que 7, como en la escancian lo marca x>7 lo que haremos será
pasarlo
x-7>0, ahora cual es un numero entre otros que se aproxima a cero, x-7 se aproxima a cero por lo tanto
cualquier numero entre un numero aproximado a cero es infinito, con esto nos faltaría el signo; x-7 es
mayor que cero y uno igual entonces positivo por positivo será positivo.
lim
𝑥→7+
(
1
𝑥−7
)= +∝
Con lo de la izquierda seria el mismo procedimiento nadas que el resultado cambio porque es diferente
signo ya que al hice de otro lado significaría que es menor
lim
𝑥→7−
(
1
𝑥−7
)= −∝

31. ACTIVIDAD 4

32. Derivada de una constante: La derivada de una constante es una de las reglas de derivación
más importantes. Cuando una derivada es igual a cero, significa que NO varían en función de
variable. Dicha función cuando se comprueba en cualquiera de sus puntos, no varía, por lo que
siempre es igual a 0.
Por lo tanto tenemos que la derivada de una constante es igual a cero. Por ejemplo:
Ejemplos

33. Derivada de una potencia de base x: Para encontrar la derivada de una potencia de x, solo
debemos tomar el exponente, pasarlo a multiplicar y finalmente el nuevo exponente será el
exponente inicial menos uno, esto es,
Derivada de función afin: La derivada de la función afín es el número que queda delante de
la x. Todo lo demás desaparece:
Tiene sentido ya que la derivada de una función linea es el número que queda delante
de la x y la derivada de un una constante es cero, por tanto, la suma de las dos
derivadas es igual al número que queda delante de la x.
Derivada de una constante por una función: Cuando tenemos una constante que está
multiplicando a una función, su derivada será esa constante multiplicada por al derivada
de la función:

34. MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN
Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada
Ahora encontremos los puntos críticos x^* a través de la solución (o soluciones) de la ecuación
f¨(x)=0, es decir 3-3𝑥2=0. Las soluciones de esta ecuación son
Finalmente se evalúa f´´(x) en los puntos críticos x^* y determinar si f´´(x^*)>0 o f¨´(x^*)<0.
Tenemos entonces que
Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función f(x) tiene un máximo local en x=1 y
un mínimo local en x=-1. Los valores correspondientes de la función son: