funciones

2. En la vida diaria nos encontramos
(a veces sin darnos cuenta) con la
noción de correspondencia. Muchos
modelos matemáticos se describen
mediante el concepto de función.

3. 1. Un fabricante desea conocer la relación o
correspondencia entre las ganancias de su
compañía y su nivel de producción.
2. Un biólogo se interesa en el cambio de
tamaño de cierto cultivo de bacteria con el
paso del tiempo.
3. Un profesor desea saber la relación entre
la condición económica y rendimiento
académico

4. 4. Un psicólogo quisiera conocer la relación o
correspondencia entre el tiempo de
aprendizaje de un individuo y la longitud de
una lista de palabras.
5. Un químico le interesa la relación o
correspondencia entre la velocidad inicial
de una reacción química y la cantidad de
sustrato utilizado, etc.

5. Una función es una regla de
correspondencia entre dos conjuntos de
tal manera que a cada elemento del
primer conjunto le corresponde uno y
sólo un elemento del segundo conjunto.

6. DEFINICIÓN
Sean A y B dos conjuntos no vacíos y
f una regla que hace corresponder a
cada elemento x de A un único
elemento y de B.

7. Esta correspondencia se llama FUNCIÓN
de A en B y se denota por:
𝑓: 𝐴 𝐵
𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥),
lo cual se lee “f de x”

8. Una definición equivalente:
Sea f: A → B una relación, entonces se
dice que f es una función si y sólo si:
∀ 𝒙 ∈ 𝑨, ∃! 𝒚 ∈ 𝑩 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 (𝒙, 𝒚) ∈ 𝒇
Para todo x que pertenece a A, existe un único y que pertenece a B tal que (x, y) pertenece a f

9. EJEMPLO DE FUNCIÓN

10. OBSERVACIÓN
1. La variable y se denomina imagen de x
mediante f.
2. La variable x es la pre - imagen de y por f.
3. La variable x se denomina variable
independiente y a y variable dependiente.

11. FORMAS DE ESPECIFICAR
FUNCIONES
Generalmente las funciones se expresan
estableciendo el valor de la función por medio de
una expresión algebraica (Registros semióticos)
en términos de la variable independiente.
Ejemplo:
𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝟒 ( )

12. 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝟒 ( )
x y
-2 -12
-1 -8
0 -4
1 0
2 4
3 8
y
x

13. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Es el conjunto de valores para los cuales la función está
definida. Es el conjunto de las pre imágenes.
Matemáticamente el dominio viene dado por:
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝒙 ∈ 𝑨 ∃𝒚 ∈ 𝑩 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒇 𝒙 = 𝒚

14. RANGO O RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN
Es el conjunto de imágenes de f. Se le llama
también recorrido, rango, imágenes, codominio,
contradominio, etc.
Matemáticamente el rango viene dado por:

16. FUNCIÓN INYECTIVA
Sea f: A →B, tal que f(x) = y,
f es inyectiva si y solo si:
f(x1) = f(x2) ➔ x1 = x2

17. FUNCIÓN SOBREYECTIVA
Sea f: A →B, tal que f(x) = y, f es sobreyectiva si y solo si:
∀𝑦 ∈ 𝐵, ∃𝑥 ∈ 𝐴 / 𝑓(𝑥) = 𝑦
1. La función f es
sobreyectiva si y
solo si “Todo
elemento de B es
imagen de algún
elemento de A”
2. La función f es
sobreyectiva si y
solo si RANGO f = B

18. FUNCIÓN BIYECTIVA
Una función f es biyectiva si es inyectiva y
sobreyectiva.

19. FUNCIÓN INVERSA
▪ Toda función admite una inversa,
sin embargo no toda inversa es una
función.
▪ El siguiente teorema indica bajo
que condiciones una función tiene
inversa.

20. TEOREMA
Sea f: A→B una función, f
tiene inversa, denotada por 𝑓−1
si y sólo si f es biyectiva.

21. ALGEBRA DE FUNCIONES
Sean f y g dos funciones, entonces, se obtienen las
siguientes funciones:
o Función suma o diferencia:
𝐷𝑓±𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
𝑓 ± 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ,
o Función producto:
𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 , 𝐷𝑓∙𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
o Función cociente:
𝑓
𝑔
𝑥
𝑔(𝑥
)
= 𝑓(𝑥)
, 𝑔 𝑥 ≠ 0, 𝐷𝑓/𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔

22. FUNCION COMPUESTA
Definición
Dadas dos funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥), se llama función
compuesta (𝑓𝑜𝑔)(𝑥)a la función (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥)

23. OBSERVACIÓN
Observando el esquema
observamos que para que
anterior
exista la
función compuesta es necesario que el
recorrido de la función g quede
totalmente incluido en el dominio de la
función f.

24. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
El conjunto de los pares (x, y)
determinados por la función
recibe el nombre de gráfico
de la función.

25. Registro gráfico de una función

26. Criterio De La Línea Vertical
Permite comprobar si una gráfica representa
una función matemática.
Consiste en trazar una línea vertical en
cualquier valor del dominio y si esta
intersecta a la curva en más de un punto la
gráfica no representa a una función.

27. Criterio De La Línea Vertical

28. Corresponde a los puntos donde la gráfica corta
a los ejes.
1. Intersección con el eje x: Corresponde al
punto (x,0).
2. Intersección con el eje y: Corresponde al
punto (0, y)

29. FUNCIÓN PAR
Sea f una función, f es par si y solo si:
f(-x) = f(x)
Para todo x; -x pertenecientes al
Dominio de f.

30. FUNCIÓN IMPAR
Sea f una función, f es impar si y solo si:
f(-x) = - f(x)
Para todo x; -x pertenecientes al
Dominio de f.

32. FUNCION CONSTANTE
Definición: La función f: R→R es
función constante y viene expresada
por:
𝑓 𝑥 = 𝑐, ∀𝑐 ∈ ℝ
Características:
1. Dom f(x): R.
2. Rec f(x): {c}.
3. La gráfica es una recta paralela al
eje x que intersecta al eje y en el
punto (0,c), esto es:
y = 2

33. FUNCIÓN IDENTIDAD
Definición: La función f:
R→R es función idéntica y
viene expresada por:
𝒇 𝒙 = 𝒙
Características:
1. Dom f(x): R
2. Rec f(x): R
3. La gráfica es una recta que
pasa por el origen, esto es:

34. FUNCION LINEAL
Definición: La función f: R→R es f. lineal y viene expresada
por:
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑜 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑛
Características:
1. Donde: 𝑚 = 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
2. 𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑅
3. 𝑅𝑒𝑐 𝑓 𝑥 = 𝑅

35. Grafica
La gráfica de esta función depende del valor que toma “m”.
1. Si m > 0

36. 2. Si m < 0

37. 3. Si m = 0

38. 4. Si m es indefinido:

39. ANALISIS DE LA
FUNCION LINEAL

40. PENDIENTE DE UNA RECTA
La pendiente de una recta también se denomina
coeficiente angular de la recta. Este nombre se debe
a que el valor de la pendiente permite calcular la
medida del ángulo de inclinación de la recta respecto
al eje horizontal (eje x).
La pendiente de una recta que pasa por los puntos
P = (x1,y1) y Q = (x2,y2) viene dada por:

41. COEFICIENTE DE POSICIÓN
Corresponde al punto de
intersección de la recta con el
eje y. Viene dado por el punto
(0, y). Se denota por n.

43. ECUACIÓN PUNTO - PENDIENTE
Si se conoce la pendiente m de una
recta y uno de sus puntos P ( x1 , y1 ),
entonces la ecuación viene dada por:
𝑦 − 𝑦1 = m(x − 𝑥1)

44. ECUACIÓN GENERAL DE LARECTA
La Ecuación General De Una Recta en dos
variables x e y viene dada por:

45. FUNCIÓN CUADRATICA
Definición: La función f: R→R es f.
cuadrática si y solo si:

46. Características
1. Dom f(x): R
2. El recorrido viene dado por:

47. Grafica
1. Si a > 0, la gráfica es cóncava hacia arriba.

48. Grafica
2. Si a < 0, la gráfica es cóncava hacia abajo.

49. ANÁLISIS DE LA
FUNCIÓN
CUADRÁTICA

50. CONCAVIDAD
La gráfica de la función cuadrática
f(x) = ax2 + bx + c es una parábola
cóncava hacia arriba si a > 0 y
cóncava hacia abajo si a <0.

51. Vértice
Corresponde al punto más alto o punto máximo
si la parábola es cóncava hacia abajo (a<0), y al
punto mínimo si la parábola es cóncava hacia
arriba (a>0). Tiene las siguientes coordenadas:

52. FUNCIÓN RACIONAL
Definición: Sea p(x)
polinomios,
y q(x) dos
entonces se define la
función racional:

53. Características
Asíntota Vertical:
Se dice que la recta x = a es una
asíntota vertical para la gráfica de una
función f si:

54. Características
Asíntota Horizontal:
Se dice que la recta y = c es una asíntota horizontal para la gráfica
de una función f si:

55. Características
En particular las asíntotas corresponden a las
restricciones del dominio y recorrido de una
función

56. FUNCIÓN IRRACIONAL
Definición: La función f es irracional si y solo si:
Características
1.Dom f: R+ U {0}
2.Rec f: R+ U {0}

57. Grafica

58. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Definición: La función
f: R→R se llama f.
valor absoluto si y solo
si:

60. Operaciones Aritméticas
▶ Dado dos funciones f y g , podemos combinarlos mediante
operaciones comunes de aritmética como se ilustra:

61. Operaciones (cont.)
▶Notas:
▶El dominio de f + g , etc. es la intersección, I, de
▶En adición, el dominio de
los dominios de f y g …
▶eso es, los numeros que son comunes a ambos
dominios.
𝑓
𝑔
es un subconjunto
de I que consiste de todos los valores de x en I
tal que g(x) ≠ 0 .

62. Ejemplo
𝑥 3
Sea 𝑓 𝑥 = 𝑥−2
y g x = 𝑥
.
𝑥 , 𝑦
𝑓
𝑔
4 .
Hallar 𝑓 + 𝑔 𝑥 , 𝑓 − 𝑔 𝑥 , 𝑓𝑔
Describe el dominio de cada función.
El dominio de f es
El dominio de g es
−∞, 2 .𝖴 2, ∞
−∞, 0 𝖴 0,∞
La intersección de estos conjuntos es:
Dom de g
Dom de f
−∞, 0 𝖴 0,2 𝖴 2, ∞

63. Ejemplo
𝑥 3
Sea 𝑓 𝑥 = 𝑥−2
y g x = 𝑥
.
𝑓
𝑔
4 .
Hallar 𝑓 + 𝑔 𝑥 , 𝑓 − 𝑔 𝑥 , 𝑓𝑔 𝑥 , 𝑦
Describe el dominio de cada función.
𝑓 + 𝑔 𝑥 =
dominio es
𝑓 − 𝑔 𝑥 =
dominio es
+ =
𝑥 3 𝑥2+3𝑥−6
𝑥−2 𝑥 𝑥(𝑥−2)
𝑥
𝑥−2
− 3
=
𝑥2−3𝑥+6
𝑥 𝑥(𝑥−2)
−∞,0 𝖴 0,2 𝖴 2, ∞
,
−∞,0 𝖴 0,2 𝖴 2, ∞

64. Ejemplo (cont.)
Sea 𝑓 𝑥 𝑥 3
= y g x = .
𝑥−2 𝑥
𝑓
𝑔
4 .
Hallar 𝑓 + 𝑔 𝑥 , 𝑓 − 𝑔 𝑥 , 𝑓𝑔 𝑥 , 𝑦
Describe el dominio de cada función.
𝑓𝑔 𝑥 =
dominio es
𝑓
𝑔
4 =
4
4 − 2
÷
3
4
3
= 2 ÷
4
𝑓(4)
𝑔(4)
=
𝑥
𝑥 − 2
=
3 3
𝑥 𝑥 − 2
−∞,0 𝖴 0,2 𝖴 2, ∞
𝑓 4 ÷ 𝑔 4 =
8
=
3

65. Definición
Se pueden combinar funciones para formar lo que
se conoce como la composición de funciones.
▶ La función compuesta, f ◦ g , (f compuesta con g),
se define
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
e implica evaluar f en g.

66. Funciones Compuestas
▶ El dominio de f ◦ g es el conjunto de todas las x en el
dominio de g tal que g(x) está en el dominio de f .
▶Se puede nombrar una composición
(g ◦ f)(x) ó g(f(x))
(se lee composicion “g con f”)

67. Funciones Compuestas (cont.)
▶Se ilustra f ◦ g con el diagrama:

68. Ejemplo
para cada número real x ≥ 0 , mientras que
▶ Si f(x) = x2 – 16 y 𝑔 𝑥
𝑓 𝑜 𝑔 𝑥
= 𝑥 entonces
= 𝑥 2 − 16 = 𝑥 − 16
para cada va
𝑔
lor
𝑜
re
𝑓
al, x
𝑥
∈ [4
=
, ∞)
x2 – 16

69. Ejemplo
▶ Si f(x) = 3x2 + 6 y 𝒈 𝒙 = 𝒙 − 𝟖 determinar
▶ g(f(x))
▶ f(g(x)) = 3(x – 8)2 + 6
= 3(x2 -16x + 64) + 6
= 3x2 – 48x + 192 + 6
= 3x2 – 48x + 198
= (3x2 + 6 ) − 𝟖
= 3x2– 2

70. Ejemplo – continuación
▶ Si f(x) = 3x2 + 6 y 𝒈 𝒙 = 𝒙 − 𝟖 determinar
▶ f(f(x)) = 3(3x2 + 6 )2 + 6
= 3(9x4 + 36x2 + 36) + 6
= 27x4 – 108x2 + 108 + 6
= 27x4 – 108x2 + 114
▶ g(g(-3))
= - 11
g(-3) = (-3 −𝟖)
g(-11) = (-11 −𝟖)
= - 19
g(g(x)) = (x − 𝟖) − 𝟖
= x – 16
g(g(-3)) = -3 – 16 = -19
ó

71. Ejemplo
▶ Si f(x) = x2 – 5x + 3 y 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐 determinar
▶ f(g(x))
= x4 - 10x3 + 31x2 - 30x + 9
= (x2 )2 – 5(x2) + 3
f(f(-1)) =
f(-1)= (-1)2 – 5(-1) + 3
= 10
f(f(-1)) = f(10)= (10)2 – 5(10) + 3 = 53
= x4– 5x2 +3
▶ g(f(x)) = (x2 – 5x + 3)2

72. Ejemplo
Se muestran valores de dos funciones f y g en
la siguientes tablas.
Hallar y

73. Ejemplo
Se muestran las gráficas de dos funciones f y g.
Determinar, si es posible, cada uno de los siguientes
valores.
a) 𝑔𝑜𝑓(-2) = g(f(-2))
Vemos que f(-2) = 2.
Ahora, buscamos g(2) = 1
b) 𝑔𝑜𝑓(0) = g(f(0))
Vemos que f(0) = 0.
Ahora, buscamos g(0) = 3
c) 𝑓𝑜𝑔(2) = f(g(2))
Vemos que g(2) = 1.
Ahora, buscamos f(1) = ½
d) 𝑓𝑜𝑔(-5) = f(g(-5))
Vemos que g(-5) = 8.
Ahora, buscamos f(8) = no está definido en la gráfica

74. Descomponer funciones
▶Algunas veces se quiere “descomponer”
una función compuesta.
▶Esto es, dada una función compuesta
y = h(x) , queremos encontrar dos
funciones, f y g tal que h(x) = f(g(x))
▶La descomposición de funciones no es
única.

75. Descomponer funciones
1) 𝒉 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟓𝒙 + 𝟏 𝟒
f(x) = x4
2) 𝒉 𝒙
𝒙𝟐
=
𝒙𝟐+𝟏
g(x) = 𝑥3 − 5𝑥 + 1 h(x) = f(g(x))
h(x) = f(g(x))
f(x)= 𝑥
f(x)= 3𝑥
3) 𝒉 𝒙
g(x) = 𝑥 +
= 𝟑𝒙 + 𝟐
g(x) = 3𝑥 + 2
2
3
𝑥
𝑥+1
g(x) = 𝑥2 h(x) = f(g(x))
f(x) =
f(x) = 1
𝑥
g(x) =
2
𝑥 +1
𝑥2

76. Ejemplos adicionales
OPERACIONES CON FUNCIONES

77. Ejemplo
Sea 𝑓 𝑥 =
Hallar 𝑓 + 𝑔
4 − 𝑥2 y g x = 3x + 1.
𝑥 , 𝑓 − 𝑔 𝑥 , 𝑓𝑔 𝑥 , 𝑦
𝑓
𝑔
𝑥 .
Describe el dominio de cada función.
El dominio de g es
El dominio de f es:
El conjunto de valores de x, tal que la expresión en el
ra
4 − 𝑥2 ≥ 0
𝑥 ∈ −2,2
ℝ .

78. Ejemplo
Sea 𝑓 𝑥 =
Hallar 𝑓 + 𝑔
4 − 𝑥2 y g x = 3x + 1.
𝑥 , 𝑓 − 𝑔 𝑥 , 𝑓𝑔 𝑥 , 𝑦
𝑓
𝑔
𝑥 .
Describe el dominio de cada función.
𝑓 + 𝑔 x =
dominio de
𝑓 − 𝑔 𝑥 =
dominio de 𝑓 − 𝑔 𝑥 es
= −2,2
4 − 𝑥2 - (3x + 1) = 4 − 𝑥2 - 3x − 1
4 − x2 + 3x + 1,
𝑓 + 𝑔 x es −∞, ∞ ∩ [−2,2]
−∞, ∞ ∩ [−2,2] = −2,2

79. Ejemplo
Sea 𝑓 𝑥 =
Hallar 𝑓 + 𝑔
4 − 𝑥2 y g x = 3x + 1.
𝑥 , 𝑓 − 𝑔 𝑥 , 𝑓𝑔 𝑥 , 𝑦
𝑓
𝑔
𝑥 .
dominio de 𝑓𝑔 𝑥 es
𝑓
𝑔
𝑥 =
dominio de 𝑓
𝑔
𝑥 excluye de [-2,2] los valores que hacen
𝑔
dominio de 𝑥 :
Describe el dominio de cada función.
𝑓𝑔 𝑥 = ( 4 − 𝑥2)(3x + 1),
−2,2
el denominador igual a cero. 3x + 1 = 0, cuando
𝑓
1
𝑥 = −
3
3
1 1
3
[-2, ) 𝖴 (− , 2]
4−𝑥2
3𝑥+1
,

80. Ejemplo
Complete la tabla.

81. Ejemplo
Complete la tabla.

82. Características
1. Dom f: R
2. Rec f: R+ U {0}
3. La gráfica viene dada por:

83. Grafica
1. Si b > 1

84. Grafica
2. Si 0 < b <1

85. NUMERO NATURAL e
La base b más importante es el número irracional e = 2,7182……
La grafica de la función f(x) = ex:

86. FUNCIÓN LOGARITMO
Definición: La función f: R→R se llama
f. logaritmo con base b si y solo si:
Características
1.Dom f: R+
2.Rec f: R

87. Grafica
1. Si b >1

88. Grafica
2. Si 0 < b < 1

89. LOGARITMO COMUN Y
NATURAL
1. Si la base b = e, entonces se llama
logaritmo natural y viene dado por:
y = Ln x
2. Si la base b = 10 entonces se llama
logaritmo decimal y viene dado por:
y = log x

90. FUNCIONES