Dokumen tersebut membahas tentang persamaan trigonometri yang terdiri dari dua jenis yaitu persamaan trigonometri yang berhubungan dengan identitas dan persamaan bersyarat. Jenis persamaan trigonometri khusus dibedakan menjadi dua yaitu yang memuat fungsi sinus dan kosinus serta memberikan contoh soal dan penyelesaiannya.

1. PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Sepertihalnya dalam Aljabar, konsep Trigonometri juga mengenal istilah
persamaan triginomeri. Persamaan trigonometri bedakan menjadi dua jenis, yaitu
persamaan trigonometri yang berhubungan dengan identitas dan persamaan
bersyarat. Persamaan trigonometri yang berhubungan dengan identitas adalah
persamaan yang memenuhi suatu nilai yang belum diketahui, sedangkan persamaan
bersyarat adalah persamaan yang variabelnya dibatasi.
Persamaan trigonometri memuatu suatu variabel yang belum diketahui, dan
variabel tersebut merupakan besaran suatu sudut yang satuannya dapat dinyatakan
dalam bentuk derajat atau radian. Variabel-variabel yang dapat ditentukan nilainya
tersebut akan merupakan suatu selesai jika disubstitusikan ke dalam persamaan
maka memenuhi persamaan tersebut. Pada umumnya selesaian tersebut dapat
dihubungkan dengan periode grafik dari fungsi trigonometri, yaitu 23600

radian untuk fungsi sinus dan cosinus, dan 0
180 radian untuk tangen, cotengen,
secan, dan cosecan.
6.1 Persamaan Trigonometri Sederhana
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat fungsi trigonometri
dari suatu sudut yang belum diketahui. Dengan demikian 1tan2sin  xx adalah
persamaan trigonometri, karena x suatu sudut yang belum diketahui ukurannya dan
sebagaimana telah diketahui bahwa ukuran sudut adalah derajat atau radian yang
keduanya mempunyai hubungan 23600
 radian.
Sebaliknya, dalam trigonometri dikenal istilah persamaan triginometri invers.
Jika kx cos adalah suatu persamaan trigonometri maka persamaan tersebut
mempunyai selesaian kkx 1
cosarccos 
 . Bentuk-bentuk persamaan
kxkxkxkxkxkx  csc.sec,cot,tan,cos,sin disebut persamaan
trigonometrimetri sederhana.
Selesaian persamaan trigonometri sebagaimana tersebut di atas dapat
diselesaikan dengan beberapa langkah sederhana. Pertama, ubahlah persamaan
menjadi persamaan sederhana yang terdiri atas satu lebih persamaan, Kedua,

2. gunakan metode dalam Aljabar untuk menentukan varibel besarnya sudut yang
belum diketahuidapat, misalnya dengan pemfaktoran atau cara lainya. Ketiga,
setelah diperoleh variable yang belum diketahui tersebut, substitusikan ke
persamaan semula sebagai pengecekan nilai dalam persamaan.
Contoh soal:
Jika x adalah sebarang bilangan real yang memenuhi persamaan, maka
persamaan trignometri tersebut dapat ditentukan selesaiannya.
Perhatikan beberpa contoh persamaan trigonometri sederhana berikut ini.
Tentukan selesaian persamaan trigonometri berikut.
1)
4
1
sin2
x
Jawab
Dengan cara memberikan tanda akar pada kedua bagian diperoleh
,...
6
11
,
6
7
,
6
5
,
6
2
1
arcsin
2
1
sin
4
1
sin2











x
x
x
Semua nilai sudut tersebut memenuhi persamaan 4
1
sin2
x
sehingga
selesaiannya dapat dinyatakan dengan
Persamaan Trigonometri Tipe-tipe Khusus
Persamaan trigonometri tipe khusus dibedakan menjadi dibedakan menjadi dua
tipe.
1) 222
,sincos baccxbxa 
Kedua bagian dibagi dengan
22
ba  diperoleh

 Znnx ,
6



3. 222222
sincos
ba
c
x
ba
b
x
ba
a





Selanjutnya kita definisikan  20 
Dengan 22
sin
ba
a

 dan 22
cos
ba
b


Sehingga
222222
sincos
ba
c
x
ba
b
x
ba
a





22
sincoscossin
ba
c
xx

 
22
)sin(
ba
c
x

 










22
arcsin
ba
c
x










22
arcsin
ba
c
x
Contoh
1) Tentukan selesian persamaan
2
1
sin7cos3  xx
Jawab
Dengan membagi kedua bagian dari persamaan
2sin7cos3  xx
Diperoleh
2sin7cos3  xx
2
1
sin
4
7
cos
4
3
 xx
Karena
'25131,
4
7
cos,
4
3
sin 0


  dan
2
1
)sin(  x

4. Sehingga
,...390,150,30
2
1
arcsin)( 000






 x
2
1
)(  x
Karena
'251310

Maka
,....'35258,'3518 00
x
Secara umum selesesaian dari persamaan
2sin7cos3  xx
Adalah
)360('35258)360('3518 000 o
nxdannx 
Persamaan Trigonometri Tipe-tipe Khusus
Persamaan trigonometri tipe khusus dibedakan menjadi dibedakan menjadi dua
tipe.
2) 222
,sincos baccxbxa 
Kedua bagian dibagi dengan
22
ba  diperoleh
222222
sincos
ba
c
x
ba
b
x
ba
a





Selanjutnya kita definisikan  20 
Dengan 22
sin
ba
a

 dan 22
cos
ba
b


Sehingga
222222
sincos
ba
c
x
ba
b
x
ba
a





22
sincoscossin
ba
c
xx

 

5. 22
)sin(
ba
c
x

 










22
arcsin
ba
c
x










22
arcsin
ba
c
x
Contoh
2) Tentukan selesian persamaan
2
1
sin7cos3  xx
Jawab
Dengan membagi kedua bagian dari persamaan
2sin7cos3  xx
Diperoleh
2sin7cos3  xx
2
1
sin
4
7
cos
4
3
 xx
Karena
'25131,
4
7
cos,
4
3
sin 0


  dan
2
1
)sin(  x
Sehingga
,...390,150,30
2
1
arcsin)( 000






 x
2
1
)(  x
Karena
'251310

Maka
,....'35258,'3518 00
x
Secara umum selesesaian dari persamaan

6. 2sin7cos3  xx
Adalah
)360('35258)360('3518 000 o
nxdannx 
Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur)
adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan
fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki
hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa
hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.
Hubungan fungsi trigonometri
Fungsi dasar:
Identitas trigonometri

7. Penjumlahan
Rumus sudut rangkap dua
Rumus sudut rangkap tiga
Rumus setengah sudut

8. IDENTITAS TRIGONOMETRI
1. Rumus – rumus yang perlu dipahami:
a. Rumus Dasar yang merupakan Kebalikan
b. Rumus Dasar yang merupakan hubungan perbandingan
c. Rumus Dasar yang diturunkan dari teorema phytagoras
Contoh 1
Buktikan identitas berikut:
a. Sin α . Cos α . Tan α = (1 – Cos α) (1 + Cos α)
Jawab:
Ruas kiri = Sin α . Cos α . Tan α
= Sin α . Cos α .


Cos
Sin
= Sin2 α
= 1 – Cos2 α
= (1 – Cos α) (1 + Cos α) = Ruas Kanan Terbukti!
b. Sin β . Tan β + Cos β = Sec β
Jawab:
Ruas Kiri = Sin β . Tan β + Cos β






tan
1
cot
cos
1
sec
sin
1
cos


 ec






sin
cos
cot
cos
sin
tan





22
22
22
sec1
sectan1
1
CoCot
SinCos




9. = Sin β .


Cos
Sin
+ Cos β
=




Cos
Cos
Cos
Sin 22

= 
Cos
1
Sec β = Ruas Kanan Terbukti
2. Persamaan Trigonometri
a. Persamaan Trigonometri Sederhana
Contoh 2
Tentukan himpunan Penyelesaian dari Persamaan Sin x =
2
1
, 0o ≤ x ≤ 360o
Jawab:
Sin x =
2
1
Sin x = Sin 30o
x = 30o + k . 360o
untuk k= 1 ↔ x = 30o
untuk k = 2 ↔ x = (180o – 30o) + k . 360o
= 150o
HP:{30o, 150o}
b. Persamaan Trigonometri dalam bentuk a cos x + b sin x =
c
Cara penyelesaian persamaan tersebut di atas sebagai
berikut:
Contoh 3
 Jika Sin x = Sin α
X1 = α + k . 360o
X2 = (180o – α) + k . 360o
 Jika Cos x = Cos α
X1 = α + k . 360o
X2 = - α + k . 360o
 Jika Tan x = Tan α
X = α + k . 180o
K Є bilangan bulat
k Cos x (x - α) = c
dengan k = 22
ba 
α = arc tan
a
b
dan syarat supaya penylesaian ada yaitu c2 ≤ a2 + b2

10. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:
Cos y – Sin y = 1, jika 0o ≤ y ≤ 360o
Jawab:
Cos y – Sin y = 1 ↔ a = 1; b = - 1; c = 1
Sehingga diperoleh k =   211
2222
 ba
Tan α =
1
1


b
a
= - 1 ↔ α dikuadran IV
α = 315o
jadi Cos y – Sin y = 1
↔ 2 Cos (x – 315o) = 1
↔ Cos (x – 315o) = 2
2
1
↔ Cos (x – 315o) = Cos 45o
↔ (x – 315o) = 45o + k . 360o
↔ x = 360o + k . 360o
↔ x = 360o
Atau (x – 315o) = - 45o + 360o
x = 270o + k . 360o
x = 270o
HP:{270o, 360o}
Tabel