Xac suat thong ke

1. XÁC SUẤT – THỐNG KÊ
ÔN THI TUYỂN SINH SAU ĐAI HỌC

2. CH NG II. XÁC SU T
II.1. PHÉP TH - BI N C
1. Khái ni m
Hành ng mà ta th c hi n là phép th . K t qu c a phép th c g i là bi n c .
Ví d 1. a) Tung m t viên ph n lên cao, viên ph n r i xu ng.
b) M t sinh viên i thi môn Toán và u môn này, nh ng i thi ngo i ng l i b r t.
c) Bóc m t t l ch trong quy n l c l ch n m 2009, c t có ghi ngày 31-6-2009.
Hãy ch ra phép th và bi n c trong t ng ví d trên.
2. Phân lo i bi n c
- Bi n c luôn luôn x y ra trong phép th c g i là bi n c ch c ch n, kí hi u là .
- Bi n c không bao gi x y ra c g i là bi n c không th , kí hi u là .
- Bi n c có th x y ra , ho c không x y ra trong phép th c g i là bi n c ng u nhiên,
kí hi u là A, B, ..., C1, C2, ...
Ví d 2. Các bi n c ví d 1 là bi n c gì?
3. Các phép toán i v i bi n c
a) T ng các bi n c
Cho hai bi n c A và B. T ng c a chúng là m t bi n c C sao cho C x y ra khi A ho c B
x y ra, kí hi u C = A + B.
b) Tích các bi n c
Cho hai bi n c A và B. Tích c a chúng là m t bi n c C sao cho C x y ra khi A và B x y
ra, kí hi u C = A.B
c) Bi n c i l p
Hai bi n c A và B c g i là i l p nhau n u bi n c A x y ra thì bi n c B không x y
ra và n u A không x y ra thì B ph i x y ra, kí hi u AB .
Ví d 3. M t sinh viên thi hai môn Toán, Lý. G i A là bi n c sinh viên ó u Toán, B là
bi n c sinh viên ó u Lý. Hãy vi t các bi n c sau thành phép toán c a A và B:
a) Sinh viên ó u ít nh t m t môn. b) Sinh viên ó u c hai môn.
c) Sinh viên ó ch u môn Lý. d) Sinh viên ó b r t c hai môn.
e) Sinh viên ó ch u m t môn. g) Sinh viên ó u không quá m t môn.
4. Các bi n c xung kh c nhau
Hai bi n c c g i là xung kh c nhau n u chúng không cùng x y ra.
5. Các bi n c c l p
Hai bi n c c g i là c l p n u bi n c này x y ra không nh h ng n bi n c kia
và ng c l i.
6. H bi n c y
H n bi n c A1, A2,..., An c g i là h y n u luôn có m t và ch m t bi n
c c a h x y ra trong phép th .
Ví d 4. Hai bi n c ,A A t o thành m t h y .
Ví d 5. M t sinh viên ph i thi 4 môn. G i k§ ( 0,1,2,3,4)k là s môn sinh viên ó u
trong 4 môn ã thi. Ta có hai bi n c b t kì trong các bi n c này xung kh c v i nhau và h
5 bi n c ó là h y .
Ví d 4. Tung m t súc s c ( hình l p ph ng g m 6 m t có ánh s t 1 n 6). G i Ak là
bi n c xu t hi n m t k. Hãy nêu các bi n c xung kh c v i nhau. Các bi n c nào t o
thành h y ?
2

3. II.2. NH NGH A XÁC SU T
1. nh ngh a
Cho T là m t phép th và A là bi n c có th x y ra trong phép th ó.
Gi s T có n tr ng h p có th x y ra, trong s ó có m tr ng h p làm bi n c A xu t
hi n. Khi ó t s n
m
c g i là xác su t c a bi n c A, kí hi u là P(A).
V y n
m
AP )(
Ý ngh a c a xác su t: Xác su t c a m t bi n c là m t s c tr ng cho kh n ng xu t
hi n bi n c ó trong phép th , xác su t càng l n, kh n ng xu t hi n bi n c càng nhi u.
Ph ng pháp tính xác su t b ng nh ngh a:
tính xác su t c a m t bi n c , ta c n th c hi n các b c sau ây:
- G i phép th , tính s tr ng h p có th x y ra (tính s cách th c hi n phép th ).
- G i tên bi n c c n tìm xác su t, tính s cách làm bi n c ó xu t hi n.
- Áp d ng công th c nh ngh a, tìm xác su t c a bi n c ã cho.
Ví d 1. M t chi oàn có 30 sinh viên nam và 15 sinh viên n . C n ch n ra 8 sinh viên
tham gia chi n d ch mùa hè xanh. Tìm xác su t trong nhóm ch n ra có 3 sinh viên n .
Ví d 2. c ng thi môn Tri t có 70 câu h i. M t sinh viên ch ôn 40 câu. Cho bi t thi
t lu n g m 3 câu thu c c ng và n u sinh viên tr l i úng ít nh t hai câu thì u. Tìm
xác su t sinh viên ó u môn Tri t.
Ví d 3. Tung 2 ng ti n, m i ng có m t m t s p và m t m t ng a. Tìm xác su t c
a) 2 m t u s p. b) 2 m t u ng a. c) 1 m t s p và 1 m t ng a.
Trong ba bi n c trên, bi n c nào th ng x y ra nhi u h n?
2. Các tính ch t c a xác su t
1) V i m i bi n c A ta luôn có 1)(0 AP
2) 0)(P 3) 1)(P 4) )(1)( APAP
Ví d 4. M t b bài có 52 lá v i hai màu en, và 4 ch t: rô, c , píc, chu n. L y ra 8 lá
bài t b bài ó. Tìm xác su t l y c
a) 3 lá màu ; b) ít nh t 1 lá màu ;
c) 2 lá rô, 4 lá c ; d) 1 lá píc, 2 lá rô, 3 lá chu n;
e) không quá 1 lá màu en; f) ít nh t 1 lá rô.
Ví d 5. M t lô hàng có 50 s n ph m, trong ó có 6 ph ph m. L y ng u nhiên 10 s n
ph m t lô hàng ó. Tìm xác su t l y c
a) 8 s n ph m t t; b) không quá 1 ph ph m;
c) Ít nh t 1 ph ph m.
II.3. CÁC CÔNG TH C TÍNH XÁC SU T
1. Công th c c ng
Cho hai bi n c A, B và C = A + B. C n tính xác su t c a C theo xác su t c a A và B.
a) Tr ng h p hai bi n c A và B xung kh c: P(A+B) = P(A) + P(B) (1)
b) Tr ng h p A và B không xung kh c: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)
Ví d 1. Có 10 cái bút, trong ó có 4 bút , s còn l i là bút xanh. L y ng u nhiên 3 cái
bút.Tìm xác su t l y c
a) 1 bút ; b) 2 bút ; c) 3 bút xanh;
d) không quá 1 bút ; e) ít nh t 1 bút .
3

4. 4
Ví d 2. Trong h p ph n có 10 viên ph n màu và 40 viên ph n tr ng. L y ng u nhiên 5
viên ph n. Tìm xác su t l y c
a) 1 viên ph n màu; b) toàn ph n tr ng;
c) nhi u nh t 1 viên ph n màu; d) ít nh t 1 viên ph n màu.
Ví d 3. M t l p h c có 50 sinh viên, trong ó có 35 ng i u môn Toán, 28 ng i u
môn Lý. S sinh viên c a l p u c hai môn này là 20. G i ng u nhiên m t sinh viên c a
l p. Tìm xác su t sinh viên ó u ít nh t m t môn.
Ví d 4. L p 12A có 40 h c sinh, trong ó có 20 em thích ch i bóng á, 15 em thích b i,
trong s ó có 5 em thích c á bóng và b i. G i ng u nhiên 1 em h c sinh trong l p. Tìm
xác su t g i c em không thích c 2 môn th thao này.
2. Công th c nhân
Cho hai bi n c A, B và C = AB. C n tính xác su t c a C theo xác su t c a A và B.
a) Tr ng h p hai bi n c A và B c l p: P(AB) = P(A) P(B) (3)
b) Tr ng h p hai bi n c A và B không c l p:
P(AB) = P(A) P(B/A) ho c P(AB) = P(B) P(A/B) (4)
Ví d 5. M t sinh viên ph i thi Toán và Lý. Cho bi t xác su t u hai môn ó l n l t là
0,9; 0,8. Hãy tính các xác su t sau ây:
a) Sinh viên ó r t Toán; r t Lí; b) Sinh viên ó ch u Toán;
c) Sinh viên ó u c hai môn; d) Sinh viên ó ch u m t môn;
e) Sinh viên ó u không quá m t môn. f) Sinh viên ó u ít nh t m t môn.
Ví d 6. M t x th b n hai viên n, xác su t b n trúng t ng viên l n l t là 0,6 ; 0,7. Tìm
xác su t anh ta b n trúng
a) c hai viên; b) ch m t viên; c) ít nh t m t viên.
Ví d 7. M t c u bé có 10 cái bút chì, trong ó có 3 bút chì màu. C u bé cho anh mình 2
cái bút, sau ó cho ch mình 1 cái bút. Tìm xác su t c u bé còn l i
a) toàn bút chì en; b) 2 bút chì màu; c) ít nh t 1 bút chì màu.
Ví d 8. Hai b n An và Bình r nhau mua vé s t i m t qu y có 50 vé, trong ó có 4 vé s
trúng th ng. An mua tr c 2 vé, sau ó Bình ch n mua 1 vé. Tìm xác su t hai b n ó mua
c:
a) 3 vé trúng. b) 1 vé trúng. c) Ít nh t 1 vé trúng.
3. Công th c xác su t y
Cho h y các bi n c A1, A2, ... , An và B là bi n c x y ra khi m t trong các bi n c
c a h ó x y ra. Khi ó xác su t c a B c tính b i công th c
P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + ... + P(An)P(B/An) (5)
Ví d 9. Cho 3 cái h p ng bút hình dáng gi ng nhau. H p th nh t có 2 bút , 8 bút
xanh. H p th hai có 4 bút , 6 bút xanh. H p th ba có 4 bút , 8 bút xanh. L y ng u
nhiên m t h p, t ó l y ng u nhiên 3 cái bút. Tìm xác su t l y c
a) 1 bút ; b) ít nh t m t bút .
Ví d 10. Có 4 lô hàng, m i lô có 20 s n ph m. Cho bi t lô th nh t có 3 ph ph m, lô th
hai có 2 ph ph m, lô th ba có 4 ph ph m và lô th t có 1 ph ph m. Ch n ng u nhiên 1
lô hàng, t ó l y ng u nhiên 6 s n ph m. Tìm xác su t l y c
a) 2 ph ph m; b) ít nh t 1 ph ph m.
Ví d 11. Có hai lô hàng ng các thi t b i n t . Lô th nh t có 4 ph ph m và 46 s n
ph m t t. Lô th hai có 3 ph ph m và 45 s n ph m t t. T lô th nh t l y ra 2 s n ph m b
sang lô th hai. Sau ó t lô th hai l y ra 5 s n ph m. Tìm xác su t l y c

5. a) 5 s n ph m t t; b) ít nh t m t ph ph m.
Ví d 12. Có 2 chu ng gà: chu ng th nh t có 5 con gà tr ng và 10 con gà mái; chu ng th
hai có 3 con gà tr ng và 8 con gà mái. M t con t chu ng th nh t nh y sang chu ng th
hai, sau ó t chu ng th hai ng i ta b t ra 2 con gà. Tìm xác su t b t c 1 con gà mái.
4. Công th c xác su t gi thi t
5
)
Cho h y các bi n c A1, A2, ... , An và B là bi n c x y ra khi m t trong các
bi n c c a h ó x y ra. Ta còn nói các bi n c thu c h y là gi thi t B x y ra.
Bây gi ta gi s bi n c B ã x y ra và i tìm xác su t B x y ra là do gi thi t Ak , kí
hi u . Ta có công th c( /kP A B
( ) ( /
( / )
( )
k
k
P A P B A
P A B
P B
)k ( k = 1, 2, ... , n) (6)
Công th c này còn c g i là công th c Bayes.
Ví d 13. M t nhà máy có ba phân x ng cùng s n xu t m t lo i s n ph m. Phân x ng
th nh t s n xu t 25%, phân x ng th hai s n xu t 35%, còn phân x ng th ba s n su t
40% t ng s s n ph m c a c nhà máy. T l ph ph m c a t ng phân x ng l n l t là
1%; 1,5%; 2%. L y ng u nhiên m t s n ph m trong kho hàng c a nhà máy.
a) Tìm xác su t l y c ph ph m.
b) Gi s l y c ph ph m, tìm xác su t ph ph m ó do phân x ng th nh t s n xu t.
c) N u l y c s n ph m t t, theo ý b n, kh n ng s n ph m ó do phân x ng nào s n
su t là nhi u nh t?
Ví d 14. Cho 3 cái h p ng bút hình dáng gi ng nhau. H p th nh t có 2 bút , 8 bút
xanh. H p th hai có 4 bút , 6 bút xanh. H p th ba có 4 bút , 8 bút xanh. L y ng u
nhiên m t h p, t ó l y ng u nhiên 2 cái bút.
a) Tìm xác su t l y c hai bút khác màu.
b) Gi s ã l y c hai bút khác màu. Tìm xác su t ó là các bút c a h p th ba.
PH NG PHÁP TÍNH XÁC SU T B NG CÔNG TH C
tính xác su t c a m t bi n c b ng công th c, ta c n th c hi n các b c sau ây:
- G i tên bi n c c n tìm xác su t, phân tích nó thành phép toán i v i các bi n c khác
- Phân tích m i quan h gi a các bi n c tham gia vào phép toán: xung kh c hay không,
c l p hay không, có t o thành h y hay không...
- Ch n công th c tính xác su t c a bi n c ban u theo xác su t c a các bi n c ó.
- Tính xác su t c a các bi n c tham gia vào phép toán, n u c n.
- Tính xác su t c a bi n c ban u.
5. Công th c Bernoulli
Gi s : - Phép th T l p l i n l n
- Bi n c A có th xu t hi n trong m i l n th v i xác su t không i P(A) = p.
Khi ó xác su t bi n c A xu t hi n k l n trong n l n th là
( , ) (1 )k k n
n nP k A C p p k
(k = 0, 1, ... , n) (7)
Ví d 15. M t sinh viên thi 5 môn v i xác su t u t ng môn là 0,7. Tìm xác su t anh ta
a) u 3 môn; b) không u môn nào;
c) u ít nh t m t môn; d) u t 1 n 3 môn.
Ví d 16. M t x th ã b n 6 viên n. Cho bi t xác su t b n trúng m c tiêu c a m i l n
b n u là 0,8. Tìm xác su t anh ta b n trúng
a) 4 viên; b) không quá 2 viên; c) ít nh t m t viên n.

6. Ví d 17. Cho bi t t l h c sinh b c n th m t tr ng THPT là 20%. Ch n ng u nhiên
12 h c sinh c a tr ng ó. Tìm xác su t có
a) 3 h c sinh b c n; b) không quá 1 h c sinh b c n;
c) có t 2 n 4 h c sinh b c n; d) ít nh t m t h c sinh b c n.
BÀI T P CH NG II
1. Hai ng i cùng b n, m i ng i b n m t viên n vào t m bia. G i iN là bi n c ng i
th i b n trúng bia, i = 1,2. Hãy bi u di n các bi n c sau qua N1, N2 :
a) Ch có ng i th nh t b n trúng bia. b) Có úng m t ng i b n trúng.
c) C hai ng i u b n trúng. d) Không có ai b n trúng.
e) Có ít nh t m t ng i b n trúng. f) Có không quá m t ng i b n trúng.
2. L p h c môn xác su t có 64 sinh viên, trong ó có 15 sinh viên n . Ch n ng u nhiên m t
nhóm g m 10 sinh viên. Tìm xác su t trong nhóm ch n ra có
a) 4 sinh viên n ; b) không quá 2 sinh viên n ; c) ít nh t 1 sinh viên n .
3. T m t cái h p có 20 viên ph n, trong ó có 5 viên ph n màu, ng i ta l y ra 6 viên
ph n. Tìm xác su t l y c
a) 2 viên ph n màu; b) không quá m t viên ph n màu; c) ít nh t m t viên ph n màu.
4. T m t lô hàng có 6 qu bóng , 9 qu bóng xanh và 5 qu bóng vàng ng i ta l y ra 5
qu bóng. Tìm xác su t l y c
a) 2 qu bóng ; b) 2 qu bóng vàng, 3 qu bóng xanh;
c) Ít nh t 1 qu bóng ; d) Không quá 1 qu bóng .
5. Có ba ng i, m i ng i b n m t viên n vào bia v i xác su t b n trúng l n l t là 0,6 ;
0,7 ; 0,8. Tìm các xác su t sau ây:
a) Ch có ng i th hai b n trúng; b) Có úng m t ng i b n trúng;
c) Ch có ng i th ba b n tr t; d) Có úng hai ng i b n trúng;
e) C ba ng i u b n trúng; f) Không có ai b n trúng.
6. Có ba cái h p ng bút. H p th nh t có 5 bút , 10 bút xanh. H p th hai có 3 bút ,
7 bút xanh. H p th ba có 3 bút , 4 bút xanh. T h p th nh t l y ra 1 cái bút, t h p th
hai l y ra 2 cái, cùng b vào h p th ba.Tìm xác su t trong h p th ba s bút nhi u h n
s bút xanh.
7. Có hai lô hàng, lô th nh t có 10 s n ph m lo i A, 2 s n ph m lo i B; lô th hai có 16
s n ph m lo i A, 4 s n ph m lo i B. T m i lô ta l y ng u nhiên ra m t s n ph m. Sau ó,
trong hai s n ph m thu c l i l y ra m t s n ph m. Tìm xác su t s n ph m l y ra sau
cùng là s n ph m lo i A.
8. Hai máy cùng s n xu t ra m t lo i chi ti t. N ng su t c a máy th hai g p ôi máy th
nh t. T l chi ti t t tiêu chu n c a máy th nh t là 65%, c a máy th hai là 80%. L y
ng u nhiên m t chi ti t t lô hàng do hai máy s n xu t.
a) Tìm xác su t l y c chi ti t t tiêu chu n.
b) N u chi ti t ó là ph ph m, tìm xác su t chi ti t ó do máy th hai s n xu t.
9. m t vùng c 100 ng i thì có 30 ng i hút thu c lá. Bi t t l ng i b viêm h ng
trong s ng i hút thu c là 60%, còn trong s ng i không hút là 10%.
a) Khám ng u nhiên m t ng i. Tìm xác su t ng i ó b viêm h ng.
b) Gi s ng i c khám b viêm h ng. Tìm xác su t anh ta hút thu c.
c) N u ng i ó không b viêm h ng thì xác su t anh ta hút thu c b ng bao nhiêu ?
10. Có b n nhóm x th t p b n. Nhóm th nh t có 6 ng i, nhóm th hai có 7 ng i,
nhóm th ba có 8 ng i và nhóm th t có 4 ng i. Xác su t b n trúng ích c a m i ng i
trong b n nhóm ó l n l t là 0,8 ; 0,7 ; 0,6 ; 0,5. Ch n ng u nhiên m t x th .
6

7. a) Tìm xác su t anh ta b n trúng ích.
b) Gi s x th này b n tr t. H i kh n ng ng i ó nhóm nào là nhi u nh t ?
11. Gi s xác su t sinh con trai là 0,51. M t gia ình có 4 ng i con. Tìm xác su t gia
ình ó có a) hai con trai; b) không quá m t con trai.
12. M t x th có xác su t b n trúng ích m i l n b n là 0,7. Anh ta ã b n 5 l n, m i l n
1 viên n. Tìm xác su t có a) 3 viên trúng ích; b) không quá 3 viên trúng.
CH NG III. I L NG NG U NHIÊN
VÀ CÁC PHÂN PH I XÁC SU T
III.1. NH NGH A và PHÂN LO I I L NG NG U NHIÊN
1. Khái ni m
i l ng cho t ng ng m i k t qu c a phép th v i m t s c g i là i l ng
ng u nhiên (hay bi n ng u nhiên) trên các k t qu c a phép th ó.Nói m t cách khác,
i l ng ng u nhiên là i l ng có giá tr thay i tu theo phép th .
Ví d 1. a) S môn thi u c a m t sinh viên trong m t h c kì (khi ph i thi 5 môn).
b) Nhi t c a phòng h c trong m t ngày êm.
c) S ng i n giao d ch t i m t ngân hàng trong m t tháng.
d) Chi u cao c a thanh niên Vi t nam th ng trong kho ng 155 cm n 180 cm.
2. Các lo i i l ng ng u nhiên
i l ng ng u nhiên c chia thành hai lo i: r i r c và liên t c.
- i l ng ng u nhiên X có d ng
1 2, ,..., nX x x x ho c 1 2, ,..., ,...nX x x x
c g i là i l ng ng u nhiên r i r c.
- i l ng ng u nhiên có giá tr l p y m t kho ng (a, b) hay o n [a, b] nào ó
c g i là i l ng ng u nhiên liên t c (a, b có th h u h n ho c vô h n).
Ví d 2. Các i l ng ng u nhiên cho ví d 1 là i l ng gì?
3. Phân ph i xác su t
nghiên c u i l ng ng u nhiên X ta c n bi t các giá tr có th có c a X và xác su t
nó nh n m i giá tr ó. M i liên h gi a các giá tr có th có c a X và xác su t t ng ng
c g i là phân ph i xác su t c a i l ng ng u nhiên X.
i v i i l ng ng u nhiên r i r c ta có b ng phân ph i xác su t. Tr ng h p i l ng
ng u nhiên liên t c ta có hàm m t phân ph i xác su t.
D i ây ta ch xét i l ng ng u nhiên r i r c nh n h u h n các giá tr .
a) B ng phân ph i xác su t
Cho 1 2, ,..., nX x x x là m t i l ng ng u nhiên r i r c.
t ( ), 1,2,..., .i ip P X x i n
Khi ó b ng sau ây c g i là b ng phân ph i xác su t c a X.
X x1 x2 …
nx
P p1 p2 …
np
B ng phân ph i xác su t có các tính ch t sau
7

8. (1) 0 ip 1 (2)
1
1
n
i
i
p
Ví d 3. G i X là s môn thi u c a m t sinh viên trong h c kì ph i thi 5 môn. Khi ó X
nh n các giá tr : 0, 1, 2, 3, 4, 5. Gi s X có b ng phân ph i xác su t sau ây.
X 0 1 2 3 4 5
P 0,05 0,15 0,3 0,35 0,15 0
T b ng ta có xác su t thi u 4 môn c a sinh viên ó là 0,15; xác su t u c 5 môn là 0.
Trong các xác su t ta th y ( 3)P X l n nh t nên kh n ng anh ta u 3 môn là nhi u nh t.
Ví d 4. M t x th c phép b n 3 viên n. G i X là s viên n anh ta b n trúng bia.
Hãy l p b ng phân ph i xác su t c a X, bi t xác su t b n trúng m c tiêu c a m i viên n
u là 0,8.
b) Hàm phân ph i xác su t
Cho X là i l ng ng u nhiên r i r c. Khi ó hàm s có d ng ,
c g i là hàm phân ph i xác su t c a X.
( ) ( ) ,F x P X x x
Hàm phân ph i xác su t có các tính ch t sau ây:
(1) F(x) là hàm không gi m; (2) 0 F(x) 1, x R;
(3) ; ; (4) P(a X < b) = F(b) – F(a), .0)(lim xF
x
1)(lim xF
x
,a b
(5) N u X là i l ng ng u nhiên liên t c thì '( ) ( ),F x f x x .
Ng c l i, n u F(x) là hàm s xác nh trên R và có các tính ch t (1) – (3) thì F(x) là hàm
phân ph i xác su t c a m t i l ng ng u nhiên nào ó.
N u X là i l ng ng u nhiên r i r c có b ng phân ph i xác su t
X x1 x2 …
nx
P p1 p2 …
np
v i x1 < x2 < … < , thì hàm phân ph i xác su t c a X lànx
F(x) =
n
nnn
xx
xxx
xxx
xx
ppp
p
1
2
1
121
1
...............
1
....
...........................
0
neáu,
neáu,
.............
neáu,
neáu,
Ví d 6. Cho X là i l ng ng u nhiên r i r c có b ng phân ph i xác su t nh sau
X 1 2 4
P 0,25 0,45 0,3
Hàm phân ph i xác su t c a X có d ng
0 1
0,25 1 2
( )
0,7 2 4
1 4
khi x
khi x
F x
khi x
khi x
8

9. Ví d 7. M t sinh viên thi ba môn Toán, Lý, Hóa v i xác su t u l n l t là 0,6 ; 0,7 ;
0,8. Hãy tìm hàm phân ph i xác su t c a s môn anh ta u trong ba môn ó.
III.2. CÁC C TR NG C A I L NG NG U NHIÊN R I R C
1. Kì v ng
Cho X là i l ng ng u nhiên r i r c có b ng phân ph i xác su t là :
X x1 x2 …
nx
P p1 p2 …
np
Khi ó s c g i là kì v ng c a X.
1
( )
n
i i
i
E X x p
Kì v ng c a i l ng ng u nhiên là trung bình theo xác su t các giá tr có th nh n
c a i l ng ó.
2. Ph ng sai
S ,
2 2
( ) ( ) ( )D X E X E X
trong ó ( )E X là kì v ng c a ,X 2
1
( )
n
i i
i
2
E X x p là kì v ng c a ,
2
X
c g i là ph ng sai c a i l ng ng u nhiên .X
Ph ng sai còn c tính b i công th c:
2
1
( ) ( )
n
i i
i
D X x E X p
Ph ng sai là trung bình c a bình ph ng sai s gi a X và trung bình theo xác su t
c a X.
3. l ch chu n
S (X) = D(X) c g i là l ch chu n c a i l ng ng u nhiên X.
Ví d 1. Tính kì v ng, ph ng sai và l ch chu n c a i l ng ng u nhiên X, bi t b ng
phân ph i xác su t c a nó là
X 1 2 4
P 0,25 0,45 0,3
Gi i. Ta có
2 2 2 2
2 2 2
( ) 1.0,25 2.0,45 4.0,3 2,35 ; ( ) 1 .0,25 2 .0,45 4 .0,3 6,85;
( ) ( ) ( ) 6,85 2,35 1,3275 ; ( ) ( ) 1,3275 1,1522.
E X E X
D X E X E X X D X
Ta có th tính ph ng sai b ng cách khác:
2 2 2
( ) (1 2,35) .0,25 (2 2,35) .0,45 (4 2,35) .0,3 1,3275.D X
Ví d 2. M t sinh viên thi 4 môn, xác su t u t ng môn là 0,6. G i X là s môn sinh viên
ó u. Hãy l p b ng phân ph i xác su t, hàm phân ph i xác su t và tính kì v ng, ph ng
sai, l ch chu n c a X.
BÀI T P CH NG III
1. M t x th c phát 3 viên n và c phép b n l n l t t ng viên cho n khi trúng
m c tiêu thì d ng b n. Bi t xác su t b n trúng t ng viên u là 0,8. Hãy l p b ng phân ph i
xác su t, hàm phân ph i xác su t và tính kì v ng, ph ng sai, l ch chu n c a s viên
9

10. 10
n a) trúng m c tiêu; b) anh ta ã s d ng.
2. M t h p ch a 10 viên ph n tr ng và 6 viên ph n màu. Ch n ng u nhiên ra 3 viên ph n.
G i X là s viên ph n màu l y c. Hãy l p b ng phân ph i xác su t, hàm phân ph i xác
su t và tính kì v ng, ph ng sai, l ch chu n c a X.
3. Trong m t h p có 20 s n ph m, trong ó có 5 ph ph m. L y ng u nhiên 4 s n ph m.
G i X là s ph ph m trong các s n ph m l y ra. Tìm hàm phân ph i xác su t c a X và tính
kì v ng, ph ng sai, l ch chu n c a X.
4. Trong m t h p có 10 s n ph m, trong ó có 2 ph ph m. L y ng u nhiên 3 s n ph m.
G i X là s ph ph m trong các s n ph m l y ra. Hãy l p b ng phân ph i xác su t và hàm
phân ph i xác su t c a X.
5. M t sinh viên thi 4 môn, xác su t u t ng môn là 0,7. G i X là s môn anh ta u. Hãy
l p b ng phân ph i xác su t và tính kì v ng, ph ng sai c a X.
CH NG IV. LÝ THUY T M U
IV.1. M U VÀ PH NG PHÁP CH N M U
1. T ng th và m u
- T p h p t t c các ph n t mà ta quan tâm nghiên c u trong m t v n nào ó c g i
là t ng th . S ph n t c a t ng th c g i là kích th c c a t ng th .
- T p con l y ra t t ng th c g i là m u. S ph n t c a m u c g i là kích th c
m u hay c m u.
Ví d 1. Khi nghiên c u v s cá trong m t h thì t ng th là toàn b các con cá trong h
ó. S cá có trong h chính là kích th c c a t ng th . N u ta b t lên 20 con cá thì ta c
m t m u v i kích th c là 20.
Ví d 2. Nghiên c u v t l ch t kích thích trong bia Sài Gòn thì t ng th là toàn b s chai
bia và lon bia do nhà máy bia Sài Gòn s n xu t. N u ta l y ra 50 chai i u tra v ch t
kích thích trong bia thì ta c m t m u kích th c 50.
2. Ph ng pháp ch n m u
Có hai cách ch n các ph n t c a t ng th l y làm m u
a) Ch n không hoàn l i: ph n t ã ch n s b lo i ra kh i t ng th r i m i ch n ph n t
ti p theo. Khi ó ta có m u không hoàn l i.
b) Ch n có hoàn l i: ph n t ã ch n c tr l i t ng th r i m i ch n ph n t ti p theo.
Khi ó ta c m u có hoàn l i.
Ví d 3. Khi l y chai bia ra i u tra thì ng i ta ph i khui nó ra phân tích thành ph n
hoá h c. D nhiên sau ó ta không th tr nó v t ng th . V y, ví d 2 ta có m u không
hoàn l i.
Ví d 4. ví d 2 ta có hai cách b t cá: b t m t lúc 20 con lên xem xét – ây c ng là m u
không hoàn l i. Nh ng n u ta b t l n l t t ng con, xem xét xong thì th l i vào h r i m i
b t con ti p theo (con b t l n sau có th trùng v i con b t l n tr c). Làm nh v y 20 l n ta
c m u có hoàn l i kích th c 20.
Thông th ng, khi t ng th có ít ph n t thì ng i ta hay ch n m u có hoàn l i. Tr ng
h p t ng th có nhi u ph n t thì ng i ta xem hai cách ch n m u này nh nhau, ngh a là
không phân bi t có hoàn l i hay không hoàn l i.
3. Phân lo i m u
a) M u nh tính: là m u mà ta quan tâm n các ph n t trong m u có tính ch t T nào ó
hay không. Khi ó m u c cho d ng:
- Kích th c m u: n
- S ph n t có tính ch t T c a m u: k

11. Ví d 5. Tr c ngày b u c ng i ta ph ng v n 125 c tri thì th y 74 ng i ng h ng c
viên A.
ây là m u nh tính l y ra t t ng th t t c c tri. Kích th c m u n = 125, tính ch t T là
“ ng h ng c viên A”, s ph n t có tính ch t T c a m u là k = 74.
b) M u nh l ng: là m u mà ta quan tâm n giá tr c a t ng ph n t trong m u. Khi ó
m u c cho d ng :
- Kích th c m u: n
- Giá tr c a các ph n t : x1, x2, ..., xn .
Ví d 6. i m thi môn Toán c a 10 sinh viên nh sau: 5, 6, 8, 4 , 2, 8, 9, 6, 5, 7.
ây là m u nh l ng v i kích th c n = 10. i m thi c a t ng sinh viên chính là giá tr
c a các ph n t trong m u.
N u trong m u có m t s ph n t có giá tr gi ng nhau thì ng i ta th ng cho m u d ng
thu g n: giá tr x1 có t n s n1 (ngh a là trong m u có n1 ph n t cùng có giá tr x1),
giá tr x2 có t n s n2 , ..., giá tr xm có t n s nm, trong ó n1 + n2 + ... + nm = n là t ng s
ph n t c a m u. Khi ó ng i ta vi t m u d ng b ng sau ây
Giá tr 1x 2x … mx
T n s 1n 2n … mn
Ví d 7. i m thi môn Anh v n c a m t s sinh viên Tr ng H nh sau
i m thi 3 4 5 6 7 8 9
S sinh viên 4 10 15 12 10 7 2
ây là m u nh l ng d ng thu g n. Giá tr c a các ph n t chính là i m thi, t n s c a
giá tr 3 là 4, t n s c a giá tr 4 là 10, …, t n s c a giá tr 9 là 2. Kích th c m u
n = 4 + 10 + 15 + 12 + 10 + 7 + 2 = 60.
N u ni là s ph n t c a m u nh n giá tr trong kho ng (ai , bi) thì ta xem chúng nh n giá tr
chung là
2
i i
i
a b
x .
Ví d 8. Chi u cao c a m t s thanh niên c cho trong b ng sau ây
Chi u cao (cm) S ng i có chi u cao t ng ng
154 – 158
158 – 162
162 – 166
166 – 170
170 – 174
174 – 178
178 - 182
10
14
26
28
12
8
2
T b ng này ta có b ng các giá tr i di n nh sau
Chi u cao 156 160 164 168 172 176 180
S thanh niên 10 14 26 28 12 8 2
11

12. IV.2. CÁC C TR NG C A M U
1. Các c tr ng c a m u nh tính
T n su t m u:
k
f
n
Ví d 1. Tr c k b u c , ng i ta ph ng v n 1575 c tri thì th y có 1212 ng i tr l i là
ng h ng c viên X. Tìm t l m u ng h ng c viên X.
Ví d 2. Ng i ta b t c 1200 con cá, ánh d u r i th l i vào h n c. Sau m t th i
gian b t l i 250 con thì th y có 32 con b ánh d u. Hãy tìm t l m u b ánh d u.
2. Các c tr ng c a m u nh l ng
a) Trung bình m u:
1
1
m
i in
i
X x n
b) Trung bình m u bình ph ng:
2 21
1
m
i in
i
X x n
c) Ph ng sai m u: 22
^
2
)(XXS
d) Ph ng sai m u hi u ch nh:
^
2 2
1
n
n
S S
e) l ch m u hi u ch nh:
2
SS
Ví d 3. i u tra n ng su t lúa c a m t vùng, ta có b ng s li u sau
N ng su t lúa (t /ha) 41 44 45 46 48 52 54
Di n tích có n ng su t lúa t ng ng (ha) 10 20 30 15 10 10 5
Hãy tính các c tr ng m u.
Ví d 4. nghiên c u nhu c u mua g o m t thành ph , ng i ta ti n hành i u tra m t
s gia ình và ghi k t qu b ng sau ây:
Nhu c u
(kg/tháng)
S gia ình Nhu c u S gia ình
30 – 35
35 – 40
40 – 45
45 – 50
50 - 55
45
68
103
179
208
55 – 60
60 – 65
65 – 70
70 – 75
75 - 80
182
151
115
94
55
a) Hãy tính các c tr ng m u.
b) Tính t l m u có nhu c u trên 60 kg/tháng.
BÀI T P CH NG IV
1. i m ki m tra môn Toán c a m t s sinh viên c cho trong b ng sau.
i m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
S sinh viên 1 2 5 10 20 48 3 22 10 5 2
a) Tính i m ki m tra trung bình và ph ng sai m u hi u ch nh c a m u ó.
b) Tìm t l m u có i m ki m tra d i trung bình.
12

13. 2. o chi u cao c a m t s thanh niên t nh Ti n Giang, ta thu c b ng sau ây
Chi u cao (cm) S ng i có chi u cao t ng ng
154 – 158
158 – 162
162 – 166
166 – 170
170 – 174
174 – 178
178 – 182
10
14
26
28
12
8
2
a) Hãy tính các c tr ng m u.
b) Tính t l m u có chi u cao trên 1,7m.
CH NG V. C L NG CÁC THAM S
C A I L NG NG U NHIÊN
V.1. KHÁI NI M
1. c l ng tham s
Gi s m t i l ng ng u nhiên X có phân ph i xác su t ã bi t nh ng các c tr ng
c a nó ph thu c vào m t (ho c nhi u) tham s ch a bi t. Thông qua m u ng u
nhiên, ta c n xác nh giá tr g n úng hay th cho tham s ch a bi t ó.
Ví d 1. Ta bi t m t i l ng ng u nhiên nào ó có phân ph i chu n 2
( , )X N ,
nh ng và 2
nh n giá tr nào thì ch a bi t. Do ó c n tìm giá tr g n úng c a và
2
, thông qua m t m u ng u nhiên, l y t t ng th các giá tr c a i l ng ng u nhiên
ó.
Mu n v y, t t ng th ta l y m t m u ng u nhiên kích th c n, sau ó l p m t i l ng
th ng kê ˆ thay th cho . Khi ó ta g i ˆ là c l ng c a .
2. c l ng i m
Gi s 1 2( , ,..., )nX x x x là m t m u ng u nhiên kích th c n l y t t ng th có kì v ng
và ph ng sai 2
. Ta dùng m t hàm nào ó c a m u này c l ng cho , kí hi u là
. Khi ó, v i m t m u c th thì hàm s này s nh n m t giá tr c th
bi u th b i m t i m trên tr c s . Do ó ta g i s
1 2, ,..., )nx xˆ (F x
ˆ là m t c l ng i m c a và coi ˆ
là giá tr g n úng c a .
3. c l ng không ch ch
c l ng ˆ c a c g i là c l ng không ch nh n u kì v ng c a ˆ là , ngh a là
n u ˆ( )E .
V i m i m u ta luôn có:
T l m u f là c l ng không ch nh c a t l t ng th P.
Trung bình m u X là c l ng không ch nh c a kì v ng c a t ng th .
Ph ng sai m u hi u ch nh S2
là c l ng không ch nh c a ph ng sai c a t ng th 2
.
4. c l ng kho ng
Kho ng (a, b) c g i là kho ng c l ng c a n u ta coi ( , )c d .
Xác su t ( , ) 1P c d c g i là tin c y c a c l ng.
13

14. N u ˆ là m t c l ng không ch nh c a thì kho ng c l ng c a có d ng
ˆ ˆ( , ), kho ng này c g i là kho ng c l ng i x ng. S 0 c g i là
chính xác (hay sai s ) c a c l ng.
N u ˆ ˆ( , ) là kho ng c l ng i x ng c a v i tin c y 1 thì xác su t
ˆ ˆ( , ˆ) 1P P .
V.2. C L NG GIÁ TR TRUNG BÌNH C A T NG TH
1. Bài toán
Gi s t ng th có giá tr trung bình là ch a bi t. Ta c n c l ng v i tin c y
1 cho tr c. Ta c ng gi thi t r ng ta ã có m t m u g m n quan sát c ch n t t ng
th ó và ã tính c trung bình m u X , l ch m u hi u ch nh . Khi ó tu t ng
tr ng h p c th , ta có ph ng pháp tìm kho ng c l ng nh sau.
S
2. Tr ng h p t ng th có phân ph i chu n, ã bi t ph ng sai 2
chính xác c tính b i công th c:
2
Z
n
, trong ó là bi n ng u nhiên có phân
ph i chu n v i
Z
2
1
( )
2 2
Z và ( )Z là hàm phân ph i xác su t Laplace (có b ng giá tr
cho tr c).
Kho ng c l ng c a là ( ,X X ).
Ví d 1. K t qu thu th p trong 15 ngày t i m t công ty cho th y trung bình m t ngày có
267 trang tài li u c chuy n i b ng fax. Theo kinh nghi m t các v n phòng t ng t thì
l ch tiêu chu n là 32 trang. Gi s r ng s trang tài li u chuy n b ng fax trong m t ngày
có phân ph i chu n. Hãy c l ng s trang tài li u c chuy n trong m t ngày c a công
ty v i tin c y 95%.
Ví d 2. M t m u g m 16 s n ph m c ch n t t ng th có phân ph i chu n v i ph ng
sai là 25. Cho bi t trung bình m u là 330 gam. Hãy xác nh kho ng c l ng cho trung
bình c a t ng th v i tin c y 90%.
3. Tr ng h p ch a bi t ph ng sai c a t ng th
a) N u c m u thì30n
2
S
Z
n
(t ng th có phân ph i b t kì).
Ví d 3. Kh o sát 100 sinh viên ch n ng u nhiên trong tr ng thì th y i m trung bình môn
Toán là 5,12 và ph ng sai m u hi u ch nh là 0,0676. Hãy c l ng i m trung bình môn
Toán c a sinh viên toàn tr ng v i tin c y 97%.
Ví d 4. Ch n ng u nhiên 49 s n ph m t m t lô hàng. K t qu ki m tra cho th y tu i th
trung bình c a các s n ph m ó là 485 gi và l ch m u hi u ch nh là 36 gi . Hãy c
l ng tu i th trung bình c a c lô hàng v i tin c y 99%.
b) N u c m u và t ng th có phân ph i chu n thì30n
1,
2
n
S
T
n
, trong ó
1,
2
n
T có phân ph i Student v i n – 1 b c t do (tra b ng phân ph i Student dòng n – 1, c t
2
).
14
Ví d 5. Chi u dài c a m t lo i s n ph m có phân ph i chu n. o ng u nhiên 10 s n ph m
c chi u dài trung bình là 10,02 m, l ch m u hi u ch nh là 0,04 m. Tìm kho ng c
l ng chi u dài trung bình c a lo i s n ph m này v i tin c y 95%.

15. Ví d 6. M t m u ng u nhiên g m 16 khách hàng s d ng d ch v ATM thu c h th ng
c a m t ngân hàng c ghi nh n v th i gian (giây) th c hi n xong m t d ch v : 65, 30,
40, 58, 26, 60, 75, 45, 50, 36, 76, 34, 38, 50, 44, 56. Gi s th i gian th c hi n d ch v qua
ATM có phân ph i chu n. Hãy tìm kho ng c l ng cho th i gian trung bình th c hi n
d ch v qua ATM v i tin c y 99%.
V.3. C L NG T L
Gi s t ng th có hai lo i ph n t , m t trong hai lo i có tính ch t A nào ó. Ta c n c
l ng t l P các ph n t có tính ch t A c a t ng th v i tin c y 1 cho tr c. Gi s
ta có m t m u ng u nhiên g m n ph n t c a t ng th ( ) và30n f là t l các ph n t có
tính ch t A trong m u.
Khi ó chính xác c tính b i công th c
2
(1 )f f
Z
n
.
Kho ng c l ng c a P là ( , )f f .
Ví d 1. M t nghiên c u c th c hi n nh m c l ng t l khách hàng s d ng bánh
k o n i a. K t qu i u tra ng u nhiên 100 khách hàng cho th y có 34 khách hàng dùng
bánh k o n i a. V i tin c y 95% hãy c l ng t l khách hàng s d ng bánh k o n i
a.
Ví d 2. i m danh ng u nhiên 50 sinh viên th y có 6 sinh viên b h c. Hãy c l ng t
l sinh viên b h c v i tin c y 95,45%.
Ví d 3. Tr c ngày b u c t ng th ng, ng i ta ph ng v n ng u nhiên 1800 c tri thì th y
có 1180 ng i ng h ng c viên A. V i tin c y 95%, h i ng c viên ó thu c t i
thi u bao nhiêu ph n tr m s phi u b u ?
Ví d 4. Ki m tra ng u nhiên 500 s n ph m c a m t nhà máy thì th y có 360 s n ph m lo i
m t. Hãy c l ng t l s n ph m lo i m t t i thi u c a c nhà máy v i tin c y 95%.
Ví d 5. Ng i ta b t c 1500 con thú, ánh d u r i th l i vào r ng. Sau m t th i gian
b t l i 360 con thì th y có 27 con b ánh d u. Hãy c l ng s thú có trong r ng v i
tin c y 99%.
V.4. XÁC NH C M U
1. Tr ng h p c l ng t l
T công th c tính chính xác c a bài toán c l ng t l , ta có 2
2
2
(1 )f f
n Z .
(N u k t qu tìm c không ph i là s nguyên thì ta l y ph n nguyên c a k t qu ó c ng
v i 1).
Ví d 1. L y ng u nhiên 200 s n ph m trong kho hàng th y có 25 ph ph m.
a) N u mu n chính xác c a c l ng là 0,035 thì tin c y là bao nhiêu?
b) N u mu n chính xác là 0,01; tin c y 95% thì c n ki m tra thêm bao nhiêu s n
ph m n a?
Ví d 2. C n m t m u kích th c bao nhiêu t l m u là 0,2; chính xác là 0,01 và
tin c y là 95%?
Ví d 3. N u kích th c m u là 100; t l m u là 0,2; chính xác là 0,2 thì tin c y c a
c l ng vào kho ng bao nhiêu?
2. Tr ng h p c l ng giá tr trung bình
T công th c tính chính xác c a bài toán c l ng giá tr trung bình ta có
15

16. 2 2
2
2
Z
n ho c
2 2
2
2
Z S
n .
Ví d 4. (Ti p theo ví d 1, bài VI.2) Gi s ta mu n c l ng s l ng tài li u chuy n
b ng fax trong m t ngày v i tin c y 99% và chính xác là 10 trang thì kích th c m u
là bao nhiêu? Cho bi t l ch tiêu chu n c a t ng th là 32 trang.
Ví d 5. o ng kính c a 100 chi ti t do m t máy s n xu t, ta c các s li u sau:
ng kính (cm) 9,75 9,80 9,85 9,90
S chi ti t 5 37 42 16
a) V i chính xác 0,06 hãy xác nh tin c y.
b) Mu n chính xác là 0,03; tin c y 95% thì c n ki m tra thêm bao nhiêu chi ti t?
BÀI T P CH NG V
1. M t tr ng i h c th c hi n nghiên c u v s gi t h c c a sinh viên trong m t tu n.
Ch n ng u nhiên 200 sinh viên cho th y s gi t h c trong tu n tính trung bình là 18,36
gi . V i tin c y 95%, hãy c l ng s gi t h c trung bình trong m t tu n c a sinh
viên toàn tr ng. Cho bi t l ch tiêu chu n c a s gi t h c c a sinh viên là 3,92 gi .
2. Công ty i n tho i m t thành ph mu n c l ng th i gian trung bình c a m t cu c
i n àm ng dài vào nh ng ngày cu i tu n. M u ng u nhiên 20 cu c g i ng dài vào
nh ng ngày cu i tu n cho th y th i gian i n àm trung bình là 14,8 phút, l ch m u hi u
ch nh là 5,6 phút. V i tin c y 90% , hãy c l ng th i gian i n àm trung bình c a
dân c thành ph ó vào nh ng ngày cu i tu n. Cho bi t th i gian i n àm là i l ng
ng u nhiên có phân ph i chu n.
3. Hãy c l ng t l s n ph m t t c a m t nhà máy v i tin c y 90,106%, bi t r ng khi
ki m tra 400 s n ph m thì th y có 20 ph ph m.
4. T i m t vùng quê, th m dò 100 thanh niên th y có 45 ng i t t nghi p THPT. Hãy c
l ng t l thanh niên t t nghi p THPT vùng ó v i tin c y 93%.
5. Ki m tra ng u nhiên 500 s n ph m c a m t nhà máy thì th y có 360 s n ph m lo i m t.
Hãy c l ng t l s n ph m lo i m t t i thi u c a c nhà máy v i tin c y 95%.
6. L y ng u nhiên 400 h p t m t kho h p ki m tra thì th y có 20 h p b h ng. T
k t qu ki m tra ó, hãy c l ng t l ph ph m c a kho hàng v i tin c y 95,45%.
7. T i m t khu r ng nguyên sinh, ng i ta eo vòng vào chân c a 1200 con chim. Sau m t
th i gian b t l i 250 con thì th y 40 con có eo vòng. Hãy c l ng s chim trong khu
r ng ó v i tin c y 99%.
8. Mu n bi t s cá có trong m t h l n, ng i ta b t lên 2000 con, ánh d u xong l i th
chúng xu ng h . Sau ó ng i ta b t lên 400 con thì th y có 55 con b ánh d u. V i tin
c y 0,95 hãy c l ng s cá trong h . Cho bi t m i con cá có kh i l ng trung bình 800
gam và m i kilôgam cá bán c 28000 . Tính doanh thu t i thi u khi bán h t s cá trong
h .
9. Cân th 100 trái cây c a m t nông tr ng, ta có k t qu sau ây
Kh i l ng (g) S trái
35 – 55
55 – 75
75 – 95
95 – 115
3
10
25
35
16

17. 115 – 135
135 – 155
155 - 175
20
6
1
a) Hãy c l ng kh i l ng trung bình c a trái cây nông tr ng v i tin c y 90,106%.
b) Xem các trái cây có kh i l ng không quá 95 gam là trái cây lo i hai. Hãy c l ng t
l trái cây lo i hai v i tin c y 95,45%.
10. o ng kính c a m t s chi ti t do m t máy s n xu t, ta có s li u sau:
ng kính (mm) S chi ti t
19,80 – 19,85
19,85 – 19,90
19,90 – 19,95
19,95 – 20,00
20,00 – 20,05
20,05 – 20,10
20,10 – 20,15
20,15 – 20,20
3
5
16
28
23
14
7
4
a) Hãy c l ng ng kính trung bình c a các chi ti t do máy s n xu t v i tin c y
95%.
b) Hãy c l ng t l chi ti t t tiêu chu n v i tin c y 99%, bi t r ng nh ng chi ti t t
tiêu chu n ph i có ng kính t 19,9 mm n 20,1 mm.
11. Trong m t kì thi c a trung tâm ngo i ng , ng i ta ch n ng u nhiên 49 bài thi và m
s l i vi t sai chính t . K t qu cho th y s l i trung bình c a m i bài thi là 6,5 và l ch
m u hi u ch nh là 3,44.
a) Tìm kho ng c l ng cho s l i sai trung bình c a t t c các bài thi v i tin c y 90%.
b) V i tin c y 95%, mu n sai s c l ng cho s l i trung bình không quá 1,2 thì c n
ch n bao nhiêu bài thi ki m tra?
12. M t cu c nghiên c u c th c hi n tìm hi u s gi xem tivi trung bình trong m t
tu n c a h c sinh ti u h c. K t qu i u tra cho th y s gi xem tivi trung bình là 15 gi và
l ch m u hi u ch nh là 6 gi . V i tin c y 99%, mu n sai s c l ng không quá 1,2
gi thì c n ch n bao nhiêu h c sinh i u tra?
CH NG VI. KI M NH GI THUY T TH NG KÊ
VI.1. BÀI TOÁN KI M NH
1. Khái ni m
Các c tr ng c a m u ngoài vi c s d ng c l ng các c tr ng c a t ng th còn
c dùng ánh giá xem m t gi thuy t nào ó c a t ng th là úng hay sai. Vi c tìm ra
k t lu n bác b hay ch p nh n m t gi thuy t c g i là ki m nh gi thuy t.
Ví d 1. M t nhà s n xu t cho r ng kh i l ng trung bình c a m t gói mì là 75 gam.
ki m tra i u này úng hay sai, ch n ng u nhiên m t s gói mì ki m tra và tính toán.
Ví d 2. M t xí nghi p cho r ng t l ph ph m trong kho hàng là 5%. ki m tra i u này
úng hay sai, ch n ng u nhiên m t s s n ph m ki m tra, tính toán.
2. Gi thuy t và gi thuy t0H 1H
Gi s t ng th có c tr ng ch a bi t. V i giá tr c th 0 cho tr c nào ó, ta c n
ki m nh gi thuy t 0 0:H .
17

18. Gi thuy t là k t qu ng c l i c a gi thuy t . N u úng thì sai và ng c
l i. còn c g i là gi thuy t i.
1H 0H 0H 1H
1H
V y c p gi thuy t và c th hi n trong tr ng h p ki m nh sau ây0H 1H
18
00 0 1: ; :H H .
Ví d 3. Trong tr ng h p ví d 1 ta có th t gi thuy t: 0 1: 75 ; : 7H H 5 .
3. Sai l m lo i m t, sai l m lo i hai
Vì ch d a trên m t m u k t lu n các giá tr c a t ng th nên ta có th ph m sai l m khi
a ra k t lu n v gi thuy t . Các sai l m ó là:0H
a) Sai l m lo i m t: Gi thuy t úng nh ng ta bác b nó.0H
b) Sai l m lo i hai: Gi thuy t sai nh ng ta ch p nh n nó.0H
Khi ki m nh, ng i ta mong mu n kh n ng m c sai l m lo i m t không v t quá m t s
cho tr c, ngh a là xác su t bác b khi nó úng là0H thì xác su t ch p nh n nó là
1 . Ta g i là m c ý ngh a c a ki m nh.
Ng c l i, i v i sai l m lo i hai, xác su t ch p nh n khi nó sai c kí hi u là0H , suy
ra xác su t bác b là 10H . Ta g i 1 là giá tr c a ki m nh.
Trong m t bài toán ki m nh, n u kh n ng ph m sai l m lo i m t gi m thì kh n ng ph m
sai l m lo i hai l i t ng lên. Do ó ng i ta th ng ch n trong kho ng t 1% n 10%.
B ng tóm t t hai lo i sai l m và xác su t ph m sai l m khi ki m nh gi thuy t
Gi thuy t úng0H Gi thuy t sai0H
Không bác b Quy t nh úng, xác su t 1 Sai l m lo i hai, xác su t
Bác b Sai l m lo i m t, xác su t Quy t nh úng, xác su t 1
4. Các b c c n th c hi n trong bài toán ki m nh gi thuy t
M t bài toán ki m nh gi thuy t th ng bao g m 5 b c sau ây.
- B c 1. Thi t l p gi thuy t 0H và 1H .
- B c 2. Tính giá tr ki m nh. (M i lo i ki m nh có công th c riêng nh m ánh
giá gi thuy t).
- B c 3. Ch n m c ý ngh a và xác nh mi n bác b gi thuy t 0H (n u giá tr
ki m nh n m trong mi n này thì 0H b bác b ).
- B c 4. a ra k t lu n v m t th ng kê, ngh a là m t m c ý ngh a nào ó ta s
bác b hay không th bác b gi thuy t 0H .
- B c 5. K t lu n cu i cùng v n i dung bài toán nh m tr l i m t cách rõ ràng câu
h i mà bài toán t ra (không dùng thu t ng th ng kê).
VI.2. KI M NH GI THUY T V TRUNG BÌNH C A T NG TH
1. Bài toán
Gi s ta có m t m u g m n quan sát c ch n t t ng th . G i 2
, , , 2
X S l n l t là
trung bình, ph ng sai c a t ng th ; trung bình, ph ng sai m u hi u ch nh. Ta c n ki m
nh gi thuy t: 0 0 1: ; :H H 0 0( là m t giá tr c th ) v i m c ý ngh a cho
tr c. Khi ó vi c ki m nh c th c hi n nh sau.
2. Tr ng h p ã bi t ph ng sai c a t ng th
Giá tr ki m nh c tính b i công th c: 0X
Z n .

19. Quy t c quy t nh: Bác b m c ý ngh a0H n u
2
Z Z (t c là ch p nh n
m c ý ngh a
0H
n u
2
Z Z ).
Ta nh n th y có s liên h gi a c l ng và ki m nh gi thuy t, c th , gi thuy t
b bác b v i m c ý ngh a0H khi và ch khi kho ng tin c y (v i tin c y 1 ) c a
không ch a tr s 0 .
3. Tr ng h p ch a bi t ph ng sai c a t ng th
- V i m u có kích th c thì30n 0X
Z n
S
và quy t c quy t nh nh tr ng h p
ã bi t ph ng sai c a t ng th .
- V i m u có kích th c và t ng th có phân ph i chu n thì giá tr ki m nh:30n
0X
T n
S
.
Quy t c quy t nh: Bác b m c ý ngh a0H n u
1,
2
n
T T , trong ó
1,
2
n
T có phân
ph i Student v i n – 1 b c t do (tra b ng phân ph i Student dòng n – 1, c t
2
).
Chú ý. Trong t t c các tr ng h p trên, khi gi thuy t 0 :H 0 ã b bác b (t c là
0 ) thì
- V i 0X ta k t lu n 0 .
- V i 0X ta k t lu n 0 .
Ví d 1. M t máy óng mì gói t ng quy nh kh i l ng trung bình là 75 gam, l ch
tiêu chu n là 15 gam. Sau m t th i gian s n xu t, ki m tra 80 gói ta có kh i l ng trung
bình m i gói là 72 gam. Hãy k t lu n v tình hình s n xu t v i m c ý ngh a 5%.
Ví d 2. M t nhà máy s n xu t èn ch p hình cho bi t tu i th trung bình c a s n ph m là
100 gi . Ng i ta ch n ng u nhiên 15 bóng th nghi m th y tu i th trung bình là 99,7 gi ,
ph ng sai m u hi u ch nh là 0,15. Gi s tu i th c a èn có phân ph i chu n. Cho k t
lu n v tình hình s n xu t c a nhà máy v i m c ý ngh a 1%.
Ví d 3. M t lo i èn chi u c nhà s n xu t qu ng cáo có tu i th trung bình là 65 gi .
K t qu ki m tra ng u nhiên 21 èn cho th y tu i th trung bình là 62,5 gi , l ch m u
hi u ch nh là 3 gi . V i m c ý ngh a 1% có th k t lu n gì v l i qu ng cáo ó?
Ví d 4. M t hãng s n xu t l p xe ôtô tuyên b s n ph m c a hãng có th s d ng
100 000 km, l ch tiêu chu n b ng 12 000 km. M t công ty v n t i mua 64 l p xe, sau
m t th i gian s d ng th y b n trung bình là 98 500 km. Hãy k t lu n v tuyên b c a
hãng s n xu t l p xe v i m c ý ngh a 5%.
Ví d 5. N ng su t lúa trung bình v tr c là 4,5 t n/ha. V lúa n m nay ng i ta áp
d ng bi n pháp k thu t m i cho toàn b di n tích tr ng lúa trong vùng. Theo dõi 100 ha, ta
có b ng n ng su t lúa sau ây
N ng su t (t /ha) Di n tích (ha) N ng su t Di n tích
30 – 35
35 – 40
40 – 45
45 – 50
7
12
18
27
50 – 55
55 – 60
60 – 65
65 – 70
20
8
5
3
19

20. V i = 0,01 hãy k t lu n v bi n pháp k thu t m i.
VI.3. KI M NH GI THI T V T L
1. Bài toán
Gi s t ng th g m hai lo i ph n t : có tính ch t T và không có tính ch t này. Ta
a ra gi thi t:
0H : T l P các ph n t có tính ch t T c a t ng th là 0
pP
Ta c n ki m nh xem gi thi t ó úng hay sai v i m c ý ngh a cho tr c.
2. Ph ng pháp gi i bài toán
- L y m u nh tính g m n ph n t c a t ng th , ta tính c t n su t m u f.
- T m c ý ngh a , tra b ng hàm s Laplace, ta tìm c s
2
Z sao cho
2
2
1
( )
2
Z .
- Tính giá tr ki m nh: 0
0 0(1 )
f p
p p
Z n
- So sánh v iZ
2
Z : N u
2
Z z thì ta ch p nh n .0H
N u
2
Z z thì ta bác b .0H
Ví d 1. Theo báo cáo, t l hàng ph ph m trong kho là 10%. Ki m tra ng u nhiên 100 s n
ph m th y có 8 ph ph m. H i báo cáo trên có áng tin m c ý ngh a 5% không?
Ví d 2. Tr c ây t l ph ph m c a m t nhà máy là 5%. N m nay ng i ta áp d ng m t
bi n pháp k thu t m i s n xu t. Sau m t th i gian, ki m tra 800 s n ph m thì th y có 24
ph ph m. V i m c ý ngh a 1%, hãy ánh giá hi u qu c a bi n pháp k thu t ó.
BÀI T P CH NG VI
1. Ki m tra các gói ng lo i 1 kg trong m t siêu th , ta có k t qu sau
Kh i l ng (kg) 0,95 0,96 0,97 0,99 1,00 1,01 1,03
S gói 19 30 32 8 6 3 2
V i m c ý ngh a = 0,05 có th k t lu n vi c óng gói m b o yêu c u hay không?
2. M t v n m cây gi ng quy nh khi nào cây cao trung bình t 1m tr lên thì em ra
tr ng. o ng u nhiên 25 cây, c s li u sau
Chi u cao (m) 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3
S cây 1 2 9 7 4 2
V i m c ý ngh a 5% có th em cây ra tr ng c ch a? Cho bi t chi u cao c a cây có
phân ph i chu n.
3. M t m u g m 49 quan sát c ch n ng u nhiên t t ng th có phân ph i chu n. K t qu
cho th y trung bình m u là 448 gam và ph ng sai m u hi u ch nh là 30,25. V i m c ý
ngh a 0,01, hãy ki m nh gi thuy t: 0 1: 450; : 45H H 0.
4. M t m u g m 64 quan sát c ch n ng u nhiên t t ng th có phân ph i chu n. K t qu
cho th y trung bình m u là 252 gam và ph ng sai m u hi u ch nh là 14,44. Hãy ki m nh
gi thuy t: 0 1: 250; : 25H H 0 v i m c ý ngh a 0,1.
20

21. 21
5. Chuyên viên ki m tra ch t l ng c a m t nhà máy s n xu t bóng èn ch n ng u nhiên 16
s n ph m, k t qu cho th y tu i th trung bình c a các bóng èn là 925 gi và l ch m u
hi u ch nh là 45 gi .
a) Hãy c l ng tu i th trung bình c a s n ph m v i tin c y 90% .
b) Giám c nhà máy cho bi t tu i th c a s n ph m là 950 gi thì có tin c không
v i m c ý ngh a 5%?
6. M t công ty d c ph m quan tâm n m c t p ch t trong s n ph m (thu c viên), t i
a không c v t quá 3%. L y ng u nhiên 100 viên thu c t m t lô s n ph m, m c
t p ch t trung bình là 3,09%. Gi s r ng m c t p ch t tuân theo phân ph i chu n v i
l ch tiêu chu n là 0,5%.
a) Hãy c l ng m c t p ch t trung bình c a lô s n ph m v i tin c y 95%.
b) m c ý ngh a 5% có th nói r ng m c t p ch t trong s n ph m là 3% c
không?
7. Kh i l ng quy nh cho m i gói bánh c óng gói t ng là 250 gam. Ki m tra
ng u nhiên 81 gói thì th y kh i l ng trung bình là 235 gam và l ch m u hi u ch nh là
36 gam. V i m c ý ngh a 0,01 hãy k t lu n v tình hình s n xu t.
8. b n c a m t lo i dây thép s n xu t theo công ngh c là 150. Sau khi c i ti n k thu t
ng i ta l y 100 s i dây thép th thì th y b n trung bình là 185 và S = 25. V i
= 0,03 hãy k t lu n hi u qu c a vi c c i ti n k thu t.
9. T l ng i m c b nh tai m i h ng m t thành ph là 6%. Trong l n ki m tra s c kho
ng u nhiên 300 ng i thì th y có 24 ng i m c b nh tai m i h ng. V i = 0,01 có th cho
r ng t l ng i m c b nh ó có xu h ng t ng lên không ?
10. Khi i u tr b ng thu c A, t l b nh nhân kh i b nh là 80%. i sang thu c B i u
tr cho 1100 ng i thì th y có 920 ng i kh i b nh. V i m c ý ngh a = 0,02 có th cho
r ng thu c B hi u qu h n thu c A hay không ?
11. M t nhà máy s n xu t s n ph m v i t l s n ph m lo i m t lúc u là 20%. Sau khi áp
d ng ph ng pháp s n xu t m i, ki m tra ng u nhiên 500 s n ph m th y có 150 s n ph m
lo i m t. Cho k t lu n v tác d ng c a ph ng pháp s n xu t m i v i m c ý ngh a 1%.
12. Gi s s n ph m c a m t công ty s n xu t l p xe ôtô ã chi m c 42% th tr ng.
Tr c s c nh tranh c a các i th và i u ki n thay i môi tr ng kinh doanh, Ban lãnh
o công ty nghi ng th tr ng c a công ty ang b gi m sút. Ki m tra ng u nhiên 550 ôtô
trên ng, k t qu cho th y có 219 xe s d ng l p c a công ty. Có th k t lu n gì v i u
nghi ng trên v i m c ý ngh a 10%?