Giao trinh xac suat thong ke hn1

B GIÁO D C VÀ ðÀO T O
TRƯ NG ð I H C NÔNG NGHI P I
**********************
Ths.LÊ ð C VĨNH
GIÁO TRÌNH
XÁC SU T TH NG KÊ
HÀ N I - 2006

Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..1
Chương 1 : Phép th . S ki n
Nh ng ki n th c v gi i tích t h p sinh viên ñã ñư c h c trong chương trình ph
thông. Tuy nhiên ñ giúp ngư i h c d dàng ti p thu ki n th c c a nh ng chương k ti p
chúng tôi gi i thi u l i m t cách có h th ng nh ng ki n th c này. Phép th ng u nhiên
và s ki n ng u nhiên là bư c kh i ñ u ñ ngư i h c làm quen v i môn h c Xác su t.
Trong chương này chúng tôi trình bày nh ng ki n th c t i thi u v s ki n ng u nhiên,
các phép toán v các s ki n ng u nhiên, h ñ y ñ các s ki n ñ ng th i ch ra cách
phân chia m t s ki n ng u nhiên theo m t h ñ y ñ . Nh ng ki n th c này là c n thi t
ñ ngư i h c có th ti p thu t t nh ng chương ti p theo.
I. Gi i tích t h p
1.Qui t c nhân: Trong th c t nhi u khi ñ hoàn thành m t công vi c, ngư i ta ph i th c
hi n m t dãy liên ti p k hành ñ ng.
Hành ñ ng th nh t: có 1 trong n1 cách th c hi n
Hành ñ ng th hai: có 1 trong n2 cách th c hi n
. . .. . . . . .. .. . . . . . . .. . . . . . . . . .. .. .. . . .
Hành ñ ng th k: có 1 trong nk cách th c hi n
G i n là s cách hoàn thành công vi c nói trên, ta có:
n = n1n2..nk
Qui t c trên g i là qui t c nhân.
Ví d : ð ñi t thành ph A t i thành ph C ph i qua thành ph B. Có m t trong b n
phương ti n ñ ñi t A t i B là: ñư ng b , ñư ng s t, ñư ng không và ñư ng thu . Có
m t trong hai phương ti n ñ ñi t B t i C là ñư ng b và ñư ng thu . H i có bao nhiêu
cách ñi t A t i C?
ð th c hi n vi c ñi t A t i C ta ph i th c hi n m t dãy liên ti p hai hành ñ ng.
Hành ñ ng th nh t: ch n phương ti n ñi t A t i C có n1= 4 cách
Hành ñ ng th hai: ch n phương ti n ñi t B t i C có n2 = 2 cách
V y theo qui t c nhân, s cách ñi t A t i C là n= 4.2 = 8 cách
2.Qui t c c ng:
ð hoàn thành công vi c ngư i ta có th ch n m t trong k phương án.
Phương án th nh t: có 1 trong n1 cách th c hi n
Phương án th hai: có 1 trong n2 cách th c hi n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phương án th k: có 1 trong nk cách th c hi n
G i n là s cách hoàn thành công vi c nói trên, ta có:
n = n1 + n2 +. . . ..+ nk

Qui t c trên g i là qui t c c ng
Ví d : M t t sinh viên g m hai sinh viên Hà N i, ba sinh viên Nam ð nh và ba sinh
viên Thanh Hoá. C n ch n hai sinh viên cùng t nh tham gia ñ i thanh niên xung kích.
H i có bao nhiêu cách ch n.
Phương án th nh t: Ch n hai sinh viên Hà N i có n1= 1 cách
Phương án th hai: Ch n hai sinh viên Nam ð nh có n2= 3 cách
Phương án th ba: Ch n hai sinh viên Thanh Hoá có n3= 3 cách
Theo qui t c c ng ta có s cách ch n hai sinh viên theo yêu c u:
n = 1 + 3 + 3 = 7 cách
3.Hoán v
Trư c khi ñưa ra khái ni m m t hoán v c a n ph n t ta xét ví d sau:.
Ví d : Có ba h c sinh A,B,C ñư c s p x p ng i cùng m t bàn h c. H i có bao nhiêu
cách s p x p?
Có m t trong các cách s p x p sau:
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
Nh n th y r ng: ð i ch b t kỳ hai h c sinh nào cho nhau ta ñư c m t cách s p x p
khác. T m t cách s p x p ban ñ u, b ng cách ñ i ch liên ti p hai h c sinh cho nhau ta
có th ñưa v các cách s p x p còn l i. M i m t cách s p x p như trên còn ñư c g i là
m t hoán v c a ba ph n t A, B, C. T ng quát v i t p h p g m n ph n t ta có ñ nh
nghĩa sau:
3.1 ð nh nghĩa: M t hoán v c a n ph n t là m t cách s p x p có th t n ph n t ñó.
3.2 S hoán v c a n ph n t : V i m t t p g m n ph n t ñã cho. S t t c các hoán v
c a n ph n t ký hi u là Pn.Ta c n xây d ng công th c tính Pn.
ð t o ra m t hoán v c a n ph n t ta ph i th c hi n m t dãy liên ti p n hành ñ ng.
Hành ñ ng th nh t: Ch n 1 ph n t x p ñ u có n cách ch n
Hành ñ ng th hai: Ch n 1 ph n t x p th 2 có n-1 cách ch n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hành ñ ng cu i: Ch n ph n t còn l i x p cu i có 1 cách ch n
Theo qui t c nhân, s cách t o ra 1 hoán v c a n ph n t là
Pn = n.(n-1) ....2.1= n!
4. Ch nh h p không l p
4.1 ð nh nghĩa: M t ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t là m t cách s p x p có
th t g m k ph n t khác nhau l y t n ph n t ñã cho.
Ví d : Có 5 ch s 1, 2, 3, 4, 5. Hãy l p t t c các s g m 2 ch s khác nhau
Các s ñó là: 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54.
M i m t s trên chính là m t cách s p x p có th t g m hai ph n t khác nhau l y t
năm ph n t là năm ch s ñã cho. V y m i s là ch nh h p không l p ch p hai c a năm
ph n t .

4.2 S các ch nh h p không l p: S các ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t kí hi u
là k
nA . Ta xây d ng công th c tính k
nA .
ð t o ra m t ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t ta ph i th c hi n m t dãy liên
ti p k hành ñ ng.
Hành ñ ng th nh t: ch n 1 trong n ph n t ñ x p ñ u: có n cách
Hành ñ ng th hai: ch n 1 trong n-1 ph n t ñ x p th 2: có n -1 cách
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hành ñ ng th k: ch n 1 trong n-k+1 ph n t ñ x p cu i: có n-k+1 cách
Theo qui t c nhân: S cách t o ra m t ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t là :
k
nA = n(n-1).. ....(n-k+1)
ð d nh ta s d ng công th c sau:
)!kn(
!n
1.2)......kn(
1.2).......kn(
).1kn)...(1n.(n)1kn)....(1n.(nAk
n
−
=
−
−
+−−=+−−=
5. Ch nh h p l p: ð hi u th nào là m t ch nh h p l p ta xét ví d sau:
Ví d : Hãy l p các s g m 2 ch s t 4 ch s : 1, 2, 3, 4.
Các s ñó là: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.
M i s trong các s nói trên là m t cách s p x p có th t g m hai ch s , m i ch s
có th có m t ñ n hai l n l y t b n ch s ñã cho. M i cách s p x p như v y còn g i là
m t ch nh h p l p ch p hai c a b n ph n t . T ng quát hoá ta có ñ nh nghĩa sau:
5.1 ð nh nghĩa: M t ch nh h p l p ch p k c a n ph n t là m t cách s p x p có th t
g m k ph n t mà m i ph n t l y t n ph n t ñã cho có th có m t nhi u l n.
5.2 S các ch nh h p l p ch p k:
S các ch nh h p l p ch p k c a n ph n t ñư c ký hi u là k
nAˆ . Ta s ñưa ra công th c
tính k
nAˆ .
ð t o ra m t ch nh h p l p ch p k c a n ph n t ta ph i th c hi n m t dãy liên ti p k
hành ñ ng.
Hành ñ ng th nh t: ch n 1 trong n ph n t x p ñ u có n cách
Hành ñ ng th hai: ch n 1 trong n ph n t x p th 2 có n cách
. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hành ñ ng th k: ch n 1 trong n ph n t x p th k có n cách
Theo qui t c nhân ta có: k
nAˆ = nk
6.T h p: Các khái ni m trên luôn ñ ý ñ n tr t t c a t p h p ta ñang quan sát. Tuy
nhiên trong th c t có nhi u khi ta ch c n quan tâm t i các ph n t c a t p con c a m t
t p h p mà không c n ñ ý ñ n cách s p x p t p con ñó theo m t tr t t nào. T ñây ta
có khái ni m v t h p như sau
6.1 ð nh nghĩa: M t t h p ch p k c a n ph n t là m t t p con g m k ph n t l y t n
ph n t ñã cho.

Ví d : Cho t p h p g m b n ph n t {a,b,c,d}. H i có bao nhiêu t p con g m hai
ph n t ?
Các t p con ñó là {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}
V y t p h p g m b n ph n t {a,b,c,d} có sáu t p con v a nêu.
6.2: S t h p ch p k c a n ph n t có ký hi u là k
nC
B ng cách ñ i ch các ph n t cho nhau, m t t h p ch p k c a n ph n t có th t o ra
k! ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t .
Có k
nC t h p ch p k c a n ph n t t o ra k
nA ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t .
V y ta có :
)!kn(!k
!n
!k
A
C
k
nk
n
−
==
7.T h p l p:
7.1 ð nh nghĩa: M t t h p l p ch p k c a n ph n t là m t nhóm không phân bi t th t
g m k ph n t , m i ph n t có th có m t ñ n k l n l y t n ph n t ñã cho.
Ví d : Cho t p {a,b,c} g m 3 ph n t
Các t h p l p c a t p h p trên là {a,a},{a,b},{a,c},{b,b},{b,c},{c,c}
7.2 S các t h p l p ch p k c a n ph n t ký hi u là:. k
nCˆ
Vi c t o ra m t t h p l p ch p k c a n ph n t tương ñương v i vi c x p k qu c u
gi ng nhau vào n ngăn kéo ñ t li n nhau, hai ngăn liên ti p cùng chung m t vách ngăn.
Các vách ngăn tr vách ngăn ñ u và cu i có th xê d ch và ñ i ch cho nhau. M i cách
s p x p k qu c u gi ng nhau vào n ngăn là m t cách b trí n+k-1 ph n t ( g m k qu
c u và n-1 vách ngăn) theo th t t ph i sang trái. Cách b trí không ñ i khi các qu c u
ñ i ch cho nhau ho c các vách ngăn ñ i ch cho nhau. Cách b trí thay ñ i khi các qu
c u và các vách ngăn ñ i ch cho nhau. Ta có (n+k-1)! cách b trí n+k-1 ph n t (g m k
qu c u và n-1 vách ngăn). S cách ñ i ch k qu c u là k! , s cách ñ i ch n-1 vách
ngăn là (n-1)! . V y ta có s các t h p l p ch p k c a n ph n t là:
k
kn
k
n C
nk
kn
C 1
)!1(!
)!1(ˆ
−+=
−
−+
=
Ví d : T i m t tr i gi ng gà có ba lo i gà gi ng A, B, C. M t khách hàng vào ñ nh
mua 10 con. H i có bao nhiêu cách mua ( gi s r ng s lư ng các gi ng gà A, B, C m i
lo i c a tr i ñ u l n hơn 10).
Ta th y m i m t cách mua 10 con gà chính là m t t h p l p ch p 10 c a 3 ph n t . V y
s cách mua là: 10
3Cˆ =
10
12C = 66
8. Nh th c Newton
Ta có: 201
2
111
2
020
2
222
baCbaCbaCbab2a)ba( ++=++=+
303
3
212
3
121
3
030
3
32233
baCbaCbaCbaCbab3ba3a)ba( +++=+++=+
M r ng ra:
n0n
n
kknk
n
11n1
n
0n0
n
n
baC................baC........baCbaC)ba( +++++=+ −−
Công th c trên g i là công th c nh th c Newton.
Ta ch ng minh công th c nh th c Newton theo qui n p..

V i n = 2 ta có công th c ñúng.
Gi s công th c ñúng v i n = m t c là:
m0m
m
11m1
m
0m0
m
m
baC.......baCbaC)ba( +++=+ −
Ta s ch ng minh:
1m01m
1m
1m1
1m
01m0
1m
1m
baC.........baCbaC)ba( ++
++
+
+
+
+++=+
Th t v y:
)ba)(baC...baC...baC()ba()ba()ba( m0m
m
kkmk
m
0n0
m
m1m
+++++=++=+ −+
=>
1011101101
)(...)(...)()( +−−+−++
+++++++=+ mm
m
m
m
kkmk
m
k
m
m
mm
m
baCCbaCCbaCCba
M t khác: k
1m
k
m
1k
m CCC +
−
=+ suy ra:
1m01m
1m
1m1
1m
01m0
1m
1m
baC.........baCbaC)ba( ++
++
+
+
+
+++=+ .
Theo nguyên lý qui n p công th c nh th c Newton ñư c ch ng minh.
Ví d : Tìm h s c a x12
trong khai tri n: 20
2
)
1
(
x
x +
Ta có: 20
20
20
k220k
20
200
20
20
x
1
C.......xC........xC)
x
1
x( ++++=+ −
.
Xét 20 - 2 k = 12
=> k = 4 V y h s c a x12
là: 47454
20 =C
II. Phép th , s ki n
1.Phép th ng u nhiên và không ng u nhiên
M t phép th có th coi là m t thí nghi m, m t quan sát các hi n tư ng t nhiên, các
hi n tư ng xã h i và các v n ñ kĩ thu t v i cùng m t h ñi u ki n nào ñó.
Trong các lo i phép th có nh ng phép th mà khi b t ñ u ti n hành th c hi n ta ñã bi t
ñư c k t qu s x y ra sau khi th như ñun nư c ñi u ki n bình thư ng (dư i áp su t 1
atmotphe) thì ñ n 100o
C nư c s sôi, ho c cho dung d ch NaOH không dư vào dung d ch
HCl cũng không dư ta thu ñư c mu i ăn NaCl và nư c H2O.
Nh ng phép th mà khi b t ñ u ti n hành th ta bi t ñư c nh ng k t qu nào s x y ra
sau khi th ñư c g i là các phép th không ng u nhiên.
Tuy nhiên có r t nhi u lo i phép th mà ngay khi b t ñ u ti n hành phép th ta không
th bi t ñư c nh ng k t qu nào s x y ra sau khi th ch ng h n như khi gieo 100 h t
ñ u gi ng, s h t n y m m sau m t th i gian gieo có th là t 0 ñ n 100 ho c khi cho p
10 qu tr ng thì s tr ng gà có th n ra gà con là t 0 ñ n 10 con. Nh ng phép th lo i
này g i là nh ng phép th ng u nhiên.
Trong giáo trình này chúng ta ch quan tâm t i nh ng phép th ng u nhiên, ñó là nh ng
phép th mà khi b t ñ u ti n hành th ta chưa th bi t nh ng k t qu nào s x y ra. ð
ñơn gi n t ñây tr ñi khi nói t i phép th ta ph i hi u ñ y là phép th ng u nhiên

2. S ki n:
Các k t qu có th có c a m t phép th ng v i m t b các ñi u ki n xác ñ nh nào ñó g i
là các s ki n ng u nhiên ho c ñơn gi n g i là các s ki n ho c các bi n c .
Ta thư ng l y các ch cái A, B, C, D. . .. . . ho c Ai, Bj, Ck, Dn.. . . ñ ch các s ki n.
Ví d 1: Tung m t con xúc x c cân ñ i và ñ ng ch t có th có các s ki n sau:
A: S ki n xu t hi n m t ch n
B: S ki n xu t hi n m t l
Ai: S ki n xu t hi n m t có i ch m.
Ví d 2: Trong m t gi ñ ng hoa qu có ch a 1 qu cam, 1 qu quýt, 1 qu ñào và 1
qu lê. Ch n ng u nhiên ra 2 qu có th có các s ki n sau:
A: Hai qu ñư c ch n g m 1 cam 1 quýt
B: Hai qu ñư c ch n g m 1 cam 1 ñào
C: Hai qu ñư c ch n g m 1 cam 1 lê
D: Hai qu ñư c ch n g m 1 quýt 1 lê
E: Hai qu ñư c ch n g m 1 quýt 1 ñào
G: Hai qu ñư c ch n g m 1 ñào 1 lê
3. S ki n t t y u và s ki n không th có
S ki n t t y u ho c s ki n ch c ch n là s ki n nh t thi t ph i x y ra sau khi phép th
ñư c th c hi n. Ta kí hi u s ki n này là Ω ..
S ki n không th có ho c s ki n b t kh ho c s ki n r ng là s ki n không bao gi
x y ra sau khi th . Ta kí hi u s ki n này là φ .
Ví d : ð ng t i Hà N i ném m t hòn ñá
S ki n ñá rơi xu ng ñ a gi i Vi t Nam là s ki n t t y u
S ki n ñá rơi xu ng ð i Tây Dương là s ki n b t kh .
4. Quan h gi a các s ki n, hai s ki n b ng nhau
S ki n A ñư c g i là kéo theo s ki n B n u A x y ra thì B cũng x y ra và kí hi u
A ⊂ B ( ho c A ⇒ B).
N u A kéo theo B và B kéo theo A thì ta nói A b ng B và vi t A = B. Trong xác su t hai
s ki n b ng nhau ñư c coi là m t
Ví d : M t h c sinh thi h t m t môn h c
A là s ki n h c sinh ñó ñ (ñ t ñi m t 5 t i 10)
B là s ki n h c sinh ñó ñ trung bình ho c khá (ñ t ñi m t 5 t i 8)
C là s ki n h c sinh ñó ñ khá ho c gi i
G là s ki n h c sinh ñó ñ gi i (ñ t ñi m 9, 10)
K là s ki n h c sinh d ñ khá (ñ t ñi m 7, 8)
TB là s ki n h c sinh ñó ñ trung bình (ñ t ñi m 5, 6)
Ai là s ki n h c sinh ñó ñ t i ñi m (i = 0, 1, . . . .,9, 10).
Ta có: ...TBA;KA;BA;GA;AA;AC;AB;AG 57796 ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒

5.Các phép tính v s ki n
5.1 Phép h p: H p c a 2 s ki n A và B là s ki n C, s ki n C x y ra khi A x y ra ho c
B x y ra.
Kí hi u: CBA =Υ và ñ c là A h p B b ng C
Ta có th mô t h p c a 2 s ki n A và B b ng hình v sau:
Hình 1
D a vào hình v trên có th th y C x y ra khi:
• A x y ra và B không x y ra.
• B x y ra và A không x y ra.
• C A và B cùng x y ra.
Vì v y có th nói h p c a hai s ki n A và B là m t s ki n C x y ra khi ít nh t 1 trong 2
s ki n A, B x y ra.
Ví d : M t sinh viên thi h t m t môn h c
G i : A là s ki n sinh viên ñó không ph i thi l i (ñi m thi t 5 ñ n 10)
B là s ki n sinh viên ñó ñ t ñi m trung bình khá (ñi m thi t 5 ñ n 8)
C là s ki n sinh viên ñó ñ t ñi m khá gi i ( ñi m thi t 7 ñ n 10)
Ta có: A = CBΥ .
5.2 Phép giao: Giao c a 2 s ki n A và B là s ki n D, s ki n D x y ra khi c A và B
cùng x y ra.
Kí hi u: DBA =Ι ho c AB = D và ñ c là A giao B b ng D ho c A nhân B b ng D
Hình v sau mô t giao c a 2 s ki n A và B
Hình 2
Ví d : Quay l i ví d m c 5.1
G i K là s ki n sinh viên ñó ñ t ñi m khá (ñi m thi t 7 ñ n 8)
Ta có: K = CB Ι
N u φ=BA Ι ta nói A và B là 2 s ki n xung kh c v i nhau. Khi A xung kh c v i B thì
h p c a 2 s ki n A và B ñư c kí hi u là A + B và ñ c là A c ng B.

5.3 Phép tr . S ki n ñ i l p: Hi u c a s ki n A tr s ki n B là s ki n E, s ki n E
x y ra khi A x y ra và B không x y ra.
Kí hi u: AB= E và ñ c là A tr B b ng E
Ta cũng có th mô t hi u c a s ki n A tr s ki n B b ng hình v sau:
Hình 3
D nh n th y r ng: N u A BΙ = φ thì A B = A
S ki n : AΩ G i là s ki n ñ i l p c a s ki n A và kí hi u là
__
A .
T ñ nh nghĩa s ki n ñ i l p c a s ki n A ta th y:
* A và
__
A . xung kh c v i nhau
* N u A không x y ra thì
__
A x y ra và ngư c l i
Hai s ki n ñ i l p nhau xung kh c v i nhau “m nh m ” theo ki u có anh thì không có
tôi nhưng không có anh thì ph i có tôi.
Ví d : M t t h c sinh g m 3 h c sinh nam 3 h c sinh n . Ch n ng u nhiên 2 ngư i.
G i : A là s ki n 2 h c sinh ñư c ch n là cùng gi i
B là s ki n 2 h c sinh ñư c ch n ñ u là nam
C là s ki n 2 h c sinh ñư c ch n ñ u là n
D là s ki n 2 h c sinh ñư c ch n có m t nam m t n
Ta có A B = C, D = A .
Hình sau mô t s ki n ñ i l p c a s ki n A
Hình 4
5.4 Tính ch t
1/ AA;A ∀Ω⇒⇒φ
2/ AA;A;A;AA =ΩΩ=Ωφ=φ=φ ΥΥ
3/ N u CB;BA ⇒⇒ thì CA ⇒
4/ BAAB;ABBA == ΥΥ

5/ C)AB()BC(A;C)BA()CB(A == ΥΥΥΥ
6/ )CA)(BA()BC(A;ACAB)CB(A ΥΥΥΥΥ ==
7/
__
BABA =
8/
____________________
BAAB;BABA ΥΥ ==
Vi c ch ng minh các tính ch t trên khá d dàng xin dành cho b n ñ c. Chúng tôi ch
ch ng minh tính ch t 8 ph n 1 như là m t ví d minh ho cho vi c ch ng minh các s
ki n b ng nhau:
Ta ch ng minh:
___________
BABA =Υ
Gi s
_______
BA Υ x y ra theo ñ nh nghĩa c a s ki n ñ i l p => BA Υ không x y ra, theo
ñ nh nghĩa c a h p hai s ki n => A không x y ra và B không x y ra, l i theo ñ nh nghĩa
c a s ki n ñ i l p => A x y ra và
__
B x y ra, theo ñ nh nghĩa c a phép giao hai s ki n
=>
____
BA . x y ra.
V y ta có:
___________
BABA ⇒Υ (1)
Ngư c l i gi s
____
BA x y ra, theo ñ nh nghĩa c a phép giao, =>
__
A x y ra và
__
B x y ra,
l i theo ñ nh nghĩa c a s ki n ñ i l p => A không x y ra và B không x y ra, theo ñ nh
nghĩa c a h p hai s ki n => BA Υ . không x y ra, theo ñ nh nghĩa c a s ki n ñ i l p
=>
_______
BA Υ x y ra. V y ta cũng có:
____________
BABA Υ⇒ (2)
T (1) và (2) =>
___________
BABA =Υ
6. S ki n có th phân chia ñư c, s ki n sơ c p cơ b n
6.1 S ki n có th phân chia ñư c
S ki n A ñư c g i là có th phân chia ñư c n u t n t i hai s ki n B φ≠ , C φ≠ ,
BC = φ và A = B + C. Khi ñó ta nói A phân chia ñư c thành hai s ki n B và C.
Ví d : Trong m t con xúc x c cân ñ i và ñ ng ch t.
G i A là s ki n xu t hi n m t có s ch m chia h t cho 3.
G i Ai là s ki n xu t hi n m t i ch m
S ki n A có th phân chia ñư c vì t n t i A3; A6 φ=φ≠ 63AA; và A = A3 + A6.
6.2 S ki n sơ c p cơ b n: S ki n khác r ng và không th phân chia ñư c g i là s ki n
sơ c p cơ b n.
Ví d : Quay l i ví d m c 6.1. Các s ki n A1, A2, A3, A4, A5, A6 là các s ki n sơ
c p cơ b n.
Ta nh n th y r ng các s ki n sơ c p cơ b n là các s ki n mà sau m t phép th ch có
m t trong các s ki n này x y ra.

7. H ñ y ñ các s ki n
7.1 H ñ y ñ các s ki n: H các s ki n A1, A2,. ... An g i là m t h ñ y ñ các s ki n
n u:
1/ Ai φ≠ v i m i i = 1, 2 . . . . n
2/ φ=jiAA v i m i i khác j
3/ A1+ A2+.. . . . . .+ An = Ω
Ví d : ðem hai cá th th h F1 mang gen Aa, Aa lai v i nhau. Các cá th con th
h F2 có th có 1 trong 4 ki u gien AA, Aa, aA và aa. Ch n 1 cá th con trong các cá th
nói trên.
G i: A là s ki n cá th con là ñ ng h p t (mang gen AA ho c aa)
B là s ki n cá th con là d h p t (mang gen Aa ho c aA)
C là s ki n cá th con có mang gen tr i (AA, Aa, aA)
A1 là s ki n cá th con ch mang gen tr i (AA)
A2 là s ki n cá th con ch mang gen l n (aa)
Ta có: A, B là m t h ñ y ñ các s ki n
C, A2 cũng là m t h ñ y ñ các s ki n
B, A1, A2 cũng là m t h ñ y ñ các s ki n
Như v y: v i m t phép th ñã cho có th có nhi u h ñ y ñ các s ki n khác nhau.
7.2 Phân chia m t s ki n theo h ñ y ñ .
Gi s A1, A2, . ...An là m t h ñ y ñ các s ki n. A là m t s ki n khác r ng nào ñó. Ta
có:
A= ni1n21 AA.....AA....AA)A..........AA(AA ++=+++=Ω
Khi ñó ta nói A ñư c phân chia gián ti p nh h ñ y ñ các s ki n: A1, A2 , A3 ,..., An.
Như ñã bi t v i m i phép th có th l p ra nhi u h ñ y ñ các s ki n vì v y m i s
ki n khác r ng A cũng có th phân chia theo nhi u cách khác nhau. M c ñích c a vi c
phân chia s ki n A ra m t s s ki n ñơn gi n hơn nh m ñánh giá kh năng x y ra c a
s ki n A nh các s ki n ñơn gi n này.
8. ð i s và σ - ñ i s các s ki n
Xét Ω là m t t p h p khác r ng mà ta g i là s ki n ch c ch n. C là m t h các t p con
nào ñó c a Ω .M i t p con A c a Ω , A∈C g i là m t s ki n. H C ñư c g i là
−σ ñ i s các s ki n n u:
1/ ∈φ C .
2/ N u A∈ C thì ∈
__
A C
3/ N u A1, A2. . . . . . An. . .là các s ki n thu c C thì ∈
∞
=
n
1n
AΥ C

H C ñư c g i là ñ i s các s ki n n u yêu c u 1, 2 nêu trên tho mãn và h p c a m t
s h u h n các s ki n thu c C cũng là m t s ki n thu c C. Ta nh n th y r ng n u C là
−σ ñ i s các s ki n thì C cũng là m t ñ i s các s ki n.
Ví d : Tung ñ ng th i 2 ñ ng ti n, các s ki n sơ c p cơ b n là:
SS, SN, NS, NN. Xét Ω = SS + SN +NS +NN.
T p t t c các t p h p con c a Ω là m t ñ i s các s ki n.và cũng là m t −σ ñ i s các
s ki n
Bài t p chương 1
1. M t ño n gen g m 2 gen X, 2 gen Y, 2 gen Z, 2 gen T liên k t v i nhau theo m t hàng
d c.

a. H i có bao nhiêu cách liên k t 8 gen nói trên?
b. H i có bao nhiêu cách liên k t ñ 2 gen X ñ ng li n nhau?
c. H i có bao nhiêu cách liên k t ñ có 3 gen XYZ ñ ng li n nhau theo th t trên.
2. Có 10 ngư i x p theo m t hàng d c
a. Có bao nhiêu cách s p x p ñ 2 ngư i A và B ñ ng li n nhau?
b. Có bao nhiêu cách s p x p ñ 2 ngư i A và B ñ ng cách nhau ñúng 3 ngư i?
3. Có th l p ñư c bao nhiêu s g m 10 ch s khác nhau sao cho:
a.Không có 2 ch s ch n nào ñ ng li n nhau
b. Không có 2 ch s l nào ñ ng li n nhau
c. Các ch s ch n ñ ng li n nhau
d. Các ch s l ñ ng li n nhau
4. Cho 6 ch s : 1, 2, 3, 4, 5, 6
a. Có th l p ñư c bao nhiêu s g m 8 ch s sao cho ch s 1 và ch s 2 m i ch s
có m t ñúng 2 l n, các ch s còn l i có m t ñúng 1 l n.
b. Có th l p ñư c bao nhiêu s ch n g m 8 ch s trong ñó ch s 2 có m t ñúng 3 l n,
các ch s còn l i có m t ñúng m t l n.
c. Có th l p ñư c bao nhiêu s l g m 8 ch s trong ñó ch s 1 có m t ñúng 3 l n,
các ch s còn l i có m t ñúng 1 l n.
5*. Trong m t kì thi tin h c qu c t t i m t khu v c g m 6 phòng thi ñánh s t 1 ñ n
6 dành cho ba ñoàn Vi t nam , Mĩ và Nga m i ñoàn g m 4 thí sinh. M i phòng thi có 2
máy tính (không ñánh s ) dành cho 2 thí sinh. Vi c x p 2 thí sinh vào m i phòng thi theo
nguyên t c hai thí sinh cùng m t qu c t ch không ñư c x p cùng m t phòng. H i có bao
nhiêu cách s p x p các thí sinh c a ba ñoàn vào 6 phòng?
6*.D c theo hai bên ñư ng vào m t trư ng trong h c ngư i ta d ñ nh tr ng m i bên 3
cây bàng, 3 cây phư ng và 3 cây b ng lăng.
a. H i có bao nhiêu cách tr ng ñ các cây cùng lo i tr ng ñ i di n nhau?
b. H i có bao nhiêu cách tr ng ñ không có hai cây cùng lo i nào tr ng ñ i di n nhau?
7*. Vòng chung k t gi i vô ñ ch bóng ñá châu Âu g m 16 ñ i trong ñó có ñ i ch nhà và
ñ i vô ñ ch b n năm trư c.
a. Có bao nhiêu cách chia 16 ñ i vào b n b ng A, B, C, D.
b, Có bao nhiêu cách chia 16 ñ i vào b n b ng A, B, C, D sao cho ñ i ch nhà và ñ i
vô ñ ch b n năm trư c không cùng b ng.
c. Gi i bài toán trên trong trư ng h p không ñ ý t i vai trò c a các b ng.

8. M t ñàn gà g m 4 con gà mái và 6 con gà tr ng. Trong 4 con gà mái có 2 con màu
vàng, 2 con màu ñen. Trong 6 con gà tr ng có 3 con màu vàng và 3 con màu ñen. Ch n
ng u nhiên 2 con gà
a. Có bao nhiêu cách ch n ñ ñư c 1 con tr ng 1 con mái
b. Có bao nhiêu cách ch n ñ ñư c 2 con màu vàng
c. Có bao nhiêu cách ch n ñ ñư c1 con tr ng 1 con mái cùng màu
9. M t t sinh viên g m 6 nam 4 n . Trong 6 nam có 2 sinh viên Hà N i và 4 sinh viên
t nh Hà Tây. Trong 4 n có 2 n sinh Hà N i và 2 n sinh Thái Bình. Ch n ng u nhiên ra
3 ngư i
a. Có bao nhiêu cách ch n ra 3 sinh viên nam?
b. Có bao nhiêu cách ch n ra 2 sinh viên nam 1 sinh viên n ?
c. Có bao nhiêu cách ch n ra 3 sinh viên g m ñ 3 t nh?
10. Cho ña giác ñ u g m 2n c nh
a. H i có th l p ñư c bao nhiêu hình ch nh t có 4 ñ nh là 4 ñ nh c a ña giác ñ u này?
b. H i ña giác ñ u nói trên có bao nhiêu ñư ng chéo?
11. Cho t p A = { }10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0
a. A có bao nhiêu t p con có ít nh t 2 ch s nh hơn 6
b. A có bao nhiêu t p con có ít nh t 2 ch s l n hơn 6
12. Có 4 viên bi gi ng nhau ñư c b vào 3 cái h p. H i có bao nhiêu cách b ?
13*. Có 4 hành khách ñ i tàu t i nhà ga A ñ ñi t i B. M t ñoàn tàu g m 4 toa chu n b
r i ga A ñ ñi t i B.
a. Có bao nhiêu cách lên tàu c a 4 hành khách trên.
b. Có bao nhiêu cách lên tàu c a 4 hành khách trên sao cho m i ngư i lên m t toa.
c. Có bao nhiêu cách ñ 4 hành khách trên lên hai toa m i toa 2 ngư i.
14. Trong khai tri n 50
2
)
x
2
x( − .
a. Tìm s h ng không ch a x
b. Tìm h s c a x20
c. Tìm h s c a x-40
15. Ch ng minh các ñ ng nh t th c:
a. nn
n
k
n
1
n
0
n 2C......C.............CC =+++++
b. 1nn
n
k
n
2
n
1
n 2nnC.....kC........C2C −
=+++++

c.
1n
12
C
1n
1
.....C
1k
1
......C
2
1
C
1n
n
n
k
n
1
n
0
n
+
−
=
+
++
+
+++
+
d. 1n2
n2
1k2
n2
3
n2
1
n2
n2
n2
k2
n2
2
n2
0
n2 C......C....CCC....C.....CC −+
+++++=+++++
16. Cho p, q > 0, p + q = 1. Tìm s h ng l n nh t trong dãy s sau:
0nn
n
kknk
n
1n1
n
n00
n qpC;..........;qpC.......;..........;pqC;qpC −−
17. X p 3 ngư i theo m t hàng d c. Nêu các s ki n sơ c p cơ b n
18. T 4 ngư i A, B, C, D l y ng u nhiên 2 ngư i. Nêu t p các s ki n sơ c p cơ b n.
19. Hai cá th sinh v t có cùng ki u gen Aa Bb ñem lai v i nhau. Hãy nêu các ki u gen
có th có c a các cá th con.
20. T hai nhóm h c sinh, nhóm th nh t g m 4 h c sinh nam A, B, C, D nhóm th hai
g m 4 h c sinh n X, Y, Z, T. Ch n m i nhóm ra 2 h c sinh.
a. Ch ra t p các s ki n sơ c p cơ b n ng v i phép th trên
b. Ch ra hai h ñ y ñ các s ki n.
21. Tung m t l n 3 ñ ng ti n.
a.Hãy ch ra các s ki n sơ c p cơ b n.
b.Hãy ch ra m t h ñ y ñ các s ki n ch g m hai s ki n
22. Tung ñ ng th i hai con xúc x c.
a. Có bao nhiêu s ki n sơ c p cơ b n
b. Hãy ch ra m t h ñ y ñ các s ki n g m 11 s ki n
23. M t ña giác ñ u g m 2n c nh (n > 2). Ch n ng u nhiên b n ñ nh.
a. Có bao nhiêu s ki n sơ c p cơ b n?
b. Có bao nhiêu s ki n ñ b n ñ nh ñư c ch n lâp thành hình ch nh t?
Khi n = 3 Ch n ng u nhiên 3 ñ nh c a m t l c giác ñ u.
c. Có bao nhiêu s ki n sơ c p cơ b n?
d. Có bao nhiêu s ki n ba ñ nh ñư c ch n l p thành tam giác ñ u?
25. Ch ng minh các tính ch t v các phép toán c a các s ki n.

Chương 2 : Xác su t
Vi c ñưa ra nh ng s ño thích h p ñánh giá kh năng khách quan x y ra c a m i s
ki n ñư c trình bày trong ph n ñ u c a chương này. Các d ng ñ nh nghĩa xác su t t các
ñ nh nghĩa c ñi n t i ñ nh nghĩa xác su t theo h tiên ñ giúp ngư i h c hình dung ñư c
s phát tri n và tính phong phú, ña d ng c a môn xác su t. Các tính ch t các ñ nh lý v
xác su t ñư c trình bày m c t i thi u ñ ngư i h c kh i c m th y n ng n khi ti p thu
chúng. Nh ng ví d ñưa ra giúp ngư i h c th y ñư c nh ng áp d ng th c th c t c a
môn xác su t và qua các ví d này ngư i h c có th hi u cách làm các bài toán xác su t.
I. Các ñ nh nghĩa c a xác su t
1. M ñ u: Khi ti n hành m t phép th , có th có m t trong nhi u s ki n s x y ra, m i
s ki n là m t ñ c tính ñ nh tính, vi c ch ra “s ño” kh năng x y ra c a m i m t s
ki n là ñi u c n thi t. Ta có th hi u xác su t c a m i s ki n là “s ño” kh năng x y ra
c a s ki n ñó. Vi c g n cho m i s ki n m t “s ño” kh năng x y ra c a nó ph i ñ m
b o tính khách quan, tính h p lý và tính phi mâu thu n. Trong m c này chúng ta s ñưa
ra các ñ nh nghĩa c a xác su t. M i d ng có nh ng ưu và như c ñi m nh t ñ nh. Tuy
v y, qua các d ng ñ nh nghĩa này có th hình dung ra s phát tri n c a môn xác su t, m t
môn h c có ngu n g c xu t phát t nh ng sòng b c nhưng nh s t hoàn thi n trong
quá trình phát tri n nên môn xác su t không nh ng có ñ y ñ các y u t cơ b n c a m t
ngành khoa h c chính xác mà còn là m t trong nh ng ngành c a Toán h c có th h tr
cho t t c các lĩnh v c khoa h c khác t khoa h c t nhiên ñ n khoa h c kĩ thu t và k c
nh ng ngành tư ng như xa l v i Toán h c ñó là các ngành khoa h c xã h i.
2. ð nh nghĩa xác su t theo quan ni m ñ ng kh năng.
2.1 Phép th ñ ng kh năng: M t phép th ñ ng kh năng là m t phép th mà các k t
qu tr c ti p (còn g i là s ki n sơ c p) ng v i phép th này có kh năng xu t hi n như
nhau sau khi th . Ch ng h n khi ta gieo m t con xúc x c cân ñ i và ñ ng ch t thì vi c
xu t hi n m t trong các m t có s ch m t 1 ñ n 6 là có kh năng như nhau ho c khi
ch n ng u nhiên hai trong năm ngư i A, B, C, D, E thì vi c ch n ñư c AB ho c CD . . .
DE là có kh năng xu t hi n như nhau.
2.2 ð nh nghĩa xác su t theo quan ni m ñ ng kh năng:
Xét m t phép th ñ ng kh năng. Gi s sau phép th này có m t trong n s ki n sơ c p
có th x y ra và có m t trong nA s ki n sơ c p x y ra kéo theo A x y ra. Ta th y l y
n
nA
làm s ño khách quan x y ra s ki n A là h p lý. Vì v y ta có ñ nh nghĩa sau:
ð nh nghĩa: Xác su t c a s ki n A là s P(A) =
n
nA
* n là s k t qu ñ ng kh năng sau phép th
* nA là s k t qu x y ra kéo theo A x y ra ho c s k t qu thu n l i cho s ki n A hay
s k t qu h p thành s ki n A

Vi c tính xác su t d a trên ñ nh nghĩa trên ph i th c hi n theo trình t sau:
* Xét phép th ñang quan sát có ph i là phép th ñ ng kh năng không
* N u phép th là ñ ng kh năng thì ph i tìm s s ki n ñ ng kh năng n
* ð tính xác su t c a s ki n A ta ph i tìm s k t qu kéo theo A sau ñó s d ng ñ nh
nghĩa
P(A) =
n
nA
2.3 Các ví d
Ví d 2.1: Gieo hai ñ ng ti n cân ñ i và ñ ng ch t. Tính xác su t ñ c hai cùng xu t
hi n m t qu c huy.
G i A là s ki n c hai ñ ng ti n cùng xu t hi n m t qu c huy.
Ta có: S s ki n ñ ng kh năng: n = 4
S s ki n kéo theo A: nA = 1 .V y P (A) =
4
1
Ví d 2.2: M t ñàn gà có b n con gà ri g m hai mái hai tr ng và sáu con gà tam
hoàng g m hai tr ng b n mái. Ch n ng u nhiên hai con gà
G i A là s ki n hai con gà ñư c ch n ñ u là tr ng
B là s ki n hai con gà ñư c ch n g m m t tr ng m t mái
C là s ki n hai con gà ñư c ch n là gà mái ri
Hãy tính xác su t c a các s ki n A, B, C
Ta có: S s ki n ñ y kh năng là 2
10C = 45
S s ki n kéo theo A là 2
4C = 6
S s ki n kéo theo B là 1
6
1
4CC = 24
S s ki n kéo theo C là 2
2C = 1
V y: P(A)=
15
2
45
6
= , P(B) =
15
8
45
24
= , P(C) =
45
1
Ví d 2.3: Có ba gen X, Y, Z và ba gen x, y, z x p ng u nhiên theo m t dãy d c. Tính
xác su t ñ các gen x, y, z x p li n nhau.
G i A là s ki n c n tính xác su t
S s ki n ñ ng kh năng: n = 6! = 720
S s ki n kéo theo A: nA = 3!4! = 144. V y: P(A) =
5
1
720
144
=
Ví d 2.4: Hai cá th b và m cùng có ki u gen AaBb. Tính xác su t ñ cá th con có
ki u gen gi ng ki u gen c a b m . Ta có b ng liên k t gen sau:

M
B
AB Ab aB ab
AB AABB AABb AaBB AaBb
Ab AABb AAbb AaBb Aabb
aB AaBB AaBb aaBB aaBb
ab AaBb Aabb aaBb aabb
D a vào b ng trên ta có: S s ki n ñ ng kh năng n = 16
S s ki n kéo theo A: nA = 4. V y P(A) =
4
1
16
4
=
3- ð nh nghĩa xác su t theo t n su t
ð nh nghĩa xác su t theo quan ni m ñ ng kh năng có ưu ñi m là ch ra cách tính xác
su t c a m t s ki n rõ ràng và ñơn gi n. Tuy nhiên ñ nh nghĩa này ch áp d ng ñư c v i
lo i phép th ñ ng kh năng và s k t qu sau phép th là h u h n. Trong th c t thư ng
g p nh ng lo i phép th không có tính ch t trên, ñ kh c ph c h n ch này ta có th ñ nh
nghĩa xác su t theo quan ñi m th ng kê.
3.1 T n su t c a s ki n: Gi s ta ti n hành n phép th v i cùng m t h ñi u ki n th y
có nA l n xu t hi n s ki n A. S nA ñư c g i là t n s xu t hi n s ki n A và t s :
n
n
)A(f A
n = g i là t n su t xu t hi n s ki n A.
Ta nh n th y r ng khi n thay ñ i nA thay ñ i vì th fn(A) cũng thay ñ i. Ngay c khi ti n
hành dãy n phép th khác v i cùng m t ñi u ki n thì t n s và t n su t c a n l n th này
cũng có th khác t n s và t n su t c a n l n th trư c. Tuy nhiên t n su t có tính n ñ nh
nghĩa là khi s phép th n khá l n t n su t bi n ñ i r t nh xung quanh m t giá tr xác
ñ nh. ð minh ch ng cho nh n xét trên ta xét m t ví d kinh ñi n v xác ñ nh t n s và
t n su t vi c xu t hi n m t s p (m t không có ch ) c a m t ñ ng ti n do Buffon và
Pearson th c hi n
Ngư i làm thí nghi m S l n tung 1 ñ ng ti n T n s m t s p T n su t m t s p
Buffon 4040 2040 0.5080
Pearson 12000 6010 0.5010
Pearson 24000 12012 0.5005
Ta nh n th y r ng khi s l n tung ti n n tăng lên, t n su t xu t hi n m t s p n ñ nh d n
v giá tr 0,5 ñư c l y làm xác xu t xu t hi n m t s p khi tung m t ñ ng ti n cân ñ i và
ñ ng ch t.
3.2 ð nh nghĩa: Xác su t c a m t s ki n là tr s n ñ nh c a t n su t khi s phép th
tăng lên vô h n.
Vi c kh ng ñ nh t n su t c a m t s ki n n ñ nh (hay ti n t i) m t giá tr xác ñ nh khi
s phép th tăng lên vô h n ñư c ñ m b o b i ñ nh lý Bernoulli s ñư c phát bi u và

ch ng minh trong chương sau. Tuy ñ nh nghĩa xác su t b ng t n su t không ch ra giá tr
c th xác su t c a s ki n nhưng trong th c t khi s l n th n là l n ta thư ng l y t n
xu t fn(A) thay cho xác su t c a s ki n A. Vào cu i th k 19 nhà toán h c Laplace theo
dõi các b n th ng kê v dân s trong vòng 10 năm c a London, Peterbua, Berlin và nư c
Pháp ông ta tìm ra t n su t sinh con trai c a ba vùng trên và c nư c Pháp là
43
22
. Khi
xem xét t l sinh con trai c a Paris ông tìm ñư c t n su t
49
25
, t n su t này nh hơn
43
22
.
Ng c nhiên v s khác nhau ñó, Laplace ñi u tra thêm và tìm ra hai ñi u thú v sau:
M t là: Vào th i b y gi các tr em ñ ra không ghi tên cha trong gi y khai sinh thì
dù sinh Marseille, Bordeaux hay b t c nơi nào trên ñ t Pháp ñ u có trong b n thông
kê tr sinh Paris.
Hai là: Ph n l n nh ng ñ a tr nói trên ñ u là con gái.
Sau khi lo i nh ng ñ a tr không sinh Paris ra kh i danh sách này thì t l tr trai
Paris tr v con s
43
22
.
Qua ví d nêu trên chúng tôi mu n các nhà nông h c tương lai khi quan sát ho c thí
nghi m th y có m t s li u nào ñó khác v i s li u ñã bi t thì c n ph i tìm nguyên do s
khác bi t này xu t phát t ñâu, r t có th qua ñó ta có th phát hi n ñư c nh ng ñi u b
ích ph c v cho chuyên môn.
4. ð nh nghĩa xác su t b ng hình h c
V i nh ng phép th ñ ng kh năng mà s k t qu sau m t phép th là vô h n thì vi c s
d ng ñ nh nghĩa xác su t m c 2 ñ tính xác su t c a m t s ki n là không th c hi n
ñư c. ð kh c ph c h n ch này ngư i ta ñưa ra ñ nh nghĩa xác su t b ng hình h c.
4.1 ð ño c a m t mi n: Gi s D là m t mi n hình h c nào ñó ch ng h n D là m t ño n
th ng, m t hình ph ng hay m t kh i không gian. S ño ñ dài, di n tích, th tích tương
ng ñư c g i là ñ ño c a mi n D và kí hi u là m(D)
4.2. ð nh nghĩa :
Xét m t phép th v i vô h n k t qu ñ ng kh năng, gi s có th thi t l p s tương ng
m t - m t m i k t qu v i m t ñi m thu c mi n G có ñ ño là m(G) . M i k t qu kéo
theo s ki n A tương ng v i m i ñi m thu c mi n D ⊂ G có ñ ño m(D).
Xác su t c a s ki n A là s P(A) =
)G(m
)D(m
Ví d 1: M t ñư ng dây cáp quang n i Hà N i v i thành ph H Chí Minh dài 1800
km g p s c kĩ thu t làm t c ngh n vi c thông tin liên l c. S c kĩ thu t có th x y ra
b t c m t v trí nào trên ñư ng cáp quang trên v i cùng m t kh năng. Tính xác su t ñ
s c kĩ thu t x y ra cách Hà N i không quá 300km.
Mi n G ñây là ñư ng cáp quang n i Hà N i- thành ph H Chí Minh có m(G) = 1800.
Mi n D tương ng v i s ki n c n tính xác su t là ño n cáp quang t Hà n i t i v trí
cách Hà N i 300 km, m(D) = 300.

V y xác su t c n tính P =
6
1
1800
300
= .
Ví d 2: Hai ngư i A, B h n g p nhau t i m t ñ a ñi m trong quãng th i gian t 12
gi ñ n 13 gi theo qui ư c, ngư i ñ n trư c ñ i ngư i ñ n sau không quá 15 phút. Tính
xác su t ñ hai ngư i g p ñư c nhau. Bi t r ng m i ngư i có th ñ n ñi m h n vào b t
c th i ñi m nào trong quãng th i gian nói trên.
G i x là th i ñi m A ñ n ch h n, y là th i ñi m B ñ n ch h n, 0 60y,x ≤≤
Vi c hai ngư i ñ n ch h n tương ng v i ñi m M(x, y) thu c hình vuông OABC có
c nh dài 60 ñơn v dài. Hai ngư i g p ñư c nhau
⇔+≤≤−⇔≤−⇔ 15xy15x15yx M(x, y) thu c hình ODEBGH.
Hình 1
Ta có mi n G là hình vuông OABC, mi n D là hình ODEBGH.
m(G) = 602
, m(D)= 602
- 452
.
V y xác su t c n tính P =
16
7
16
9
1
60
4560
)G(m
)D(m
2
22
=−=
−
=
M t s bài toán th c t như quá trình th ph n, quá trình th tinh .... có th áp d ng như
bài toán g p g nói trên.
5. H tiên ñ Kolmogorop
M c dù ra ñ i t th k 17 nhưng do ngu n g c xu t phát và nh ng khái ni m ñư c nêu
ra có tính mô t thi u nh ng lu n c khoa h c nên c m t quãng th i gian dài t th k 17
ñ n trư c nh ng năm 30 c a th k 20 xác su t không ñư c coi là m t ngành toán h c
chính th ng. Mãi t i năm 1933 khi nhà toán h c Nga A.N Kolmogorop xây d ng h tiên
ñ cho lý thuy t xác su t thì xác su t m i ñư c công nh n là m t ngành toán h c chính
th ng sánh ngang hàng v i nhi u ngành toán h c khác như s h c, hình h c, ñ i s , gi i
tích...
Tuy ñư c ch p nh n mu n màng nhưng xác su t ñã có m t trong h u h t các lĩnh v c
khoa h c t khoa h c t nhiên , khoa h c kĩ thu t d n khoa h c xã h i. Vì là m t giáo
trình dành cho các ngành không chuyên v toán chúng tôi ch có ý ñ nh trình bày sơ lư c
h tiên ñ v lý thuy t xác su t do A.N Kolmogorop ñưa ra
Xét C là m t σ - ñ i s các s ki n . Xác su t P là m t hàm xác ñ nh trên C tho mãn :
1/ P(A) ≥0 ∈∀A C

2/ 1)(P =Ω
3/ N u A1, A2 , ... ,An,.. . . . . . . ... xung kh c t ng ñôi, An ∈ C , n =1,2,... thì
∑∑
∞
=
∞
=
=
1i
i
1i
i )A(P)A(P
B ba ( ,Ω A, P ) ñư c g i là không gian xác su t.
II Các tính ch t và các ñ nh lý
1. Các tính ch t.
ð ñơn gi n, ta ch s d ng ñ nh nghĩa theo quan ñi m ñ ng kh năng ñ ch ng minh
các tính ch t s nêu trong m c này. Tuy nhiên các tính ch t ñó cũng ñúng v i m i d ng
ñ nh nghĩa xác su t khác.
1/ 1)A(P0 ≤≤ vì 1
n
n
)A(P
n
n
0nn0 A
A =≤=≤⇒≤≤
2/ 1)(,0)( =Ω= PP φ vì nn,0n == Ωφ suy ra ñi u c n ch ng minh.
3/ N u φ=∩ BA thì P(A+B) = P(A) + P(B)
G i nA là s s ki n kéo theo A, nB là s s ki n kéo theo B do A xung kh c v i B nên s
s ki n kéo theo A + B là
)B(P)A(P
n
n
n
n
n
nn
n
n
)BA(Pnnn BABABA
BABA +=+=
+
==+⇒+= +
+
4/ )AB(P)B(P)A(P)BA(P −+=∪
G i nA là s s ki n kéo theo A, nB là s s ki n kéo theo B, nAB là s s ki n kéo theo
AB, BAn ∪ là s s ki n kéo theo BA ∪ . Ta có
)AB(P)B(P)A(P
n
n
n
n
n
n
)BA(P
n
nnn
n
n
)BA(Pnnnn
ABBA
ABBABA
ABBABA
−+=−+=⇒
−+
==∪⇒−+= ∪
∪
Υ
H qu 1: )A(P1)A(P −= . Th t v y ta có
⇒=+⇒Ω=+⇒Ω=+ 1)A(P)A(P)(P)AA(PAA ñi u c n ch ng minh.
H qu 2: N u A1, A2 , .. .An xung kh c t ng ñôi thì ∑∑ ==
=
n
i
i
n
i
i APAP
11
)()(
ap d ng nhi u l n tính ch t 1.3 ta có h qu trên.
5/ N u )B(P)A(PBA ≤⇒⊂
Vì )B(P
n
n
n
n
)A(PnnBA BA
BA =≤=⇒≤⇒⊂
2. Xác su t có ñi u ki n

Xét hai s ki n A và B trong m t phép th ñư c ti n hành ng v i m t b ñi u ki n nào
ñó. Vi c xu t hi n s ki n này ñôi khi nh hư ng ñ n xác su t xu t hi n c a s ki n kia
và ngư c l i .
Ch ng h n trong m t h p có 3 bi tr ng và 2 bi ñ , rút l n lư t 2 bi. L n ñ u rút ñư c bi
tr ng hay không rõ ràng nh hư ng ñ n xác su t xu t hi n bi tr ng l n th hai.
2.1. ð nh nghĩa: Xác su t c a s ki n A v i gi thi t s ki n B ñã x y ra là xác su t có
ñi u ki n c a A v i ñi u ki n B.
Ta kí hi u xác su t này là P(A/B) ho c PB(A)
Ví d 2.1: Quay l i ví d v a nêu trên. G i B là s ki n l n ñ u rút ñư c bi tr ng , A
là s ki n l n sau cũng rút ñư c bi tr ng. Ta có P(A/B)=
2
1
4
2
= còn P(A/
4
3
)B = . Rõ ràng
vi c xu t hi n hay không xu t hi n B nh hư ng t i xác su t xu t hi n A.
Ví d 2.2: Tính tr ng hoa vàng gen A là tính tr ng tr i, hoa tr ng gen a là tính tr ng
l n. Hai cây ñ u hoa vàng d h p t ( cùng mang gen Aa) ñem lai v i nhau các cá th con
có các ki u gen AA, Aa, aA, aa vơí cùng m t kh năng. Ch n m t cá th con thì th y cá
th này có hoa màu vàng. Tính xác su t ñ cá th ñó là ñ ng h p t
G i B là s ki n cá th con có hoa màu vàng, A là s ki n cá th con có gen ñ ng h p t .
Ta có: P(A/B) =
3
1
2.2 Công th c xác su t có ñi u ki n
)B(P
)AB(P
)B/A(P =
Th t v y g i nB là s s ki n kéo theo B( do gi thi t B ñã x y ra nên nB 0≠ , g i nAB là
s ki n kéo theo AB
Ta có
)B(P
)AB(P
n
n
n
n
n
n
)B/A(P
B
AB
B
AB
===
3. Công th c nhân xác su t
T )B/A(P)B(P)AB(P
)B(P
)AB(P
)B/A(P =⇒= (1)
Thay ñ i vai trò c a A và B cho ta có P(AB) = P(A)P(B/A)
M r ng ta có: P(A1A2...An) =P(A1)P(A2/A1)...P(An/A1A2...An-1) (2)
Công th c trên g i là công th c nhân xác su t. Áp d ng liên ti p công th c (1) nhi u l n
ta có công th c (2)
Ví d 3.1: Có 6 cây ñ u hoa vàng và 2 cây ñ u hoa tr ng l y l n lư t 2 cây ñ u. Tính
xác su t ñ c 2 cây ñ u l y ra là cây ñ u hoa vàng.
G i A là s ki n c 2 cây l y ra là ñ u hoa vàng
A1 là s ki n cây l y ra l n ñ u màu vàng

A2 là s ki n c y l y ra l n hai màu vàng
Ta có: A = A1A2 t ñó suy ra
28
15
56
30
7
5
.
8
6
)A/A(P)A(P)AA(P)A(P 12121 =====
S d ng ñ nh nghĩa xác su t theo quan ñi m ñ ng kh năng ta cũng có k t qu trên.
Ví d 3.2: M t gi ng lúa m i t i m t tr i lai t o gi ng trư c khi ñưa ra s n xu t ñ i trà
ph i ti n hành liên ti p ba l n ki m ñ nh do ba trung tâm kh o c u gi ng c p m t, c p
hai, c p ba ti n hành. N u gi ng lúa ñư c ch p nh n trung tâm c p dư i thì ñư c
chuy n lên trung tâm c p trên ñ ki m ñ nh ti p. Qua th ng kê cho th y gi ng c a tr i
trên ñư c trung tâm c p m t ch p nh n v i xác su t 0,7. Sau khi chuy n lên trung tâm
c p hai nó ñư c ch p nh n v i xác su t 0,8. N u ñư c chuy n lên trung tâm c p ba nó
ñư c ch p nh n v i xác su t 0,9. Tính xác su t ñ gi ng lúa ñư c ñưa ra s n xu t ñ i trà.
G i: A là s ki n gi ng lúa ñư c ñưa ra s n xu t ñ i trà.
Ai là s ki n gi ng lúa ñư c ch p nh n trung tâm c p i.
Ta có: A = A1A2A3
⇒ P(A) = P(A1A2A3) = P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2) =0,7.0,8.0,9 = 0,486
4. Các s ki n ñ c l p.
4.1 Hai s ki n ñ c l p: S ki n A ñư c g i là ñ c l p v i s ki n B n u:
P(A/B) = P(A)
T ñ nh nghĩa trên ta có
* N u A ñ c l p v i B thì P(AB)=P(A)P(B)
Th t v y P(AB)=P(B)P(A/B) =P(B)P(A)
* N u A ñ c l p v i B thì B cũng ñ c l p v i A
Do P(AB)=P(A)P(B/A) =P(B)P(A)⇒P(B/A)=P(B). Do v y B cũng ñ c l p v i A.
* A ñ c l p v i B ⇔ P(AB)= P(B)P(A)
4.2. H ñ c l p t ng ñôi và ñ c l p hoàn toàn
H : A1,A2,...,An ñư c g i là ñ c l p t ng ñôi n u Ai ñ c l p Aj ∀i≠j
H : A1,A2,...,An ñư c g i là ñ c l p hoàn toàn n u
P( { } { }A,...,A,AA,...A,A)A(P)A...AA/A n21jjjijjji k21k21
⊂∀=
T ñ nh nghĩa trên ta th y h ñ c l p hoàn toàn thì ñ c l p t ng ñôi nhưng ñi u ngư c l i
nói chung không ñúng.
4.3. Các ví d
Ví d 4.1: M t m ng c p nư c như hình v
Hình 2

Nư c ñư c c p t E ñ n F qua ba tr m bơm tăng áp A, B, C. Các tr m bơm làm vi c ñ c
l p v i nhau. Xác su t ñ các tr m bơm A,B,C có s c sau m t th i gian làm vi c l n
lư t là: 0,1; 0,1; 0,05. Tính xác su t ñ vùng F m t nư c
G i: F là s ki n vùng F m t nư c
A là s ki n tr m A có s c
B là s ki n tr m B có s c
C là s ki n tr m C có s c
Ta có: F =( ) ( )[ ]CBAP)F(PCBA ∪∩=⇒∪∩
= P(AB)+P(A)-P(ABC) = P(A)P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C)
= 0,01 + 0,05 - 0,005 = 0,055
Ví d 4.2: Có hai l ng gà gi ng. L ng th nh t có 2 gà tr ng, 4 gà mái. L ng th hai
có 4 gà tr ng, 2 gà mái. L y ng u nhiên t m i l ng ra 1 con. Tính xác su t ñ 2 con gà
l y ra ñ u là gà mái
G i : A1 là s ki n con gà l y ra l ng m t là gà mái
A2 là s ki n con gà l y ra l ng hai là gà mái
Ta có: P(A1A2) = P(A1)P(A2) =
9
2
6
2
.
6
4
=
5. Dãy phép th ñ c l p: Trong th c t nhi u khi ta g p nh ng phép th h p g m m t
dãy liên ti p các phép th như nhau ñư c l p ñi l p l i n l n và ñ ý ñ n s xu t hi n c a
m t s ki n A nào ñó trong n l n th này. Ch ng h n khi gieo m t ñ ng ti n cân ñ i và
ñ ng ch t n l n ho c tung m t con xúc x c cân ñ i và ñ ng ch t n l n thì nh ng phép th
thu c lo i này chính là dãy phép th ñ c l p.
5.1. Lư c ñ Bernoulli. Ti n hành m t dãy n phép th mà phép th sau ñ c l p v i các
phép th trư c ñó, xác su t xu t hi n s ki n A m i phép th là như nhau và b ng p
(p ≠ 0, p ≠ 1). Dãy n phép th ñ c l p lo i này còn ñư c g i là m t lư c ñ Bernoulli.
5.2. Công th c Bernoull: Trong m t lư c ñ Bernoulli s ki n A có th xu t hi n t 0
ñ n n l n. G i Bk là s ki n A xu t hi n ñúng k l n trong lư c ñ Bernoulli. ta xây d ng
công th c tính P(Bk)
G i Ai là s ki n A xu t hi n l n th i trong n l n th
Ta có Bk = A1A2...Ak n1knkn1n1k A...AA...A...A...A +−−+ ++ . M i s ki n c a t ng các s
ki n trên g m tích c a n s ki n trong ñó A xu t hi n k l n và A xu t hi n n-k l n. M i
tích trên tương ng v i vi c ch n ra k phép th (A xu t hi n) t n phép th ñã cho, theo
lý thuy t t h p có t t c k
nC tích như v y.
Do n phép th là ñ c l p P(Ai) = p, P qp1)A( j =−=
nên P(A1A2...Ak (P...)A...A n1k ==+ n1knkn1 A...AA...A +−− ) = pk
qn-k
Suy ra: P(Bk) = k
nC pk
qn-k
ðây là công th c Bernoulli cho ta bi t xác su t A xu t hi n k l n trong m t lư c ñ
Bernoulli
G i: Pn(k) là xác su t ñ s ki n A xu t hi n k l n trong m t lư c ñ Bernoulli và

Pn(k1, k2) là xác su t ñ A xu t hi n trong kho ng t k1 ñ n k2 l n (k1< k2)
Ta có: Pn(k) = P(Bk) = k
nC pk
qn-k
Pn(k1,k2) = knk
k
kk
k
n
k
kk
n qpC)k(P
2
1
2
1
−
==
∑∑ =
Ví d 5.1: Xác su t ñ m t qu tr ng gà ñem p n ra gà con là 0,8. ðem p 5 qu
tr ng. Tính xác su t ñ có 3 qu n ra gà con?
Ta có m t lư c ñ Bernoulli v i n = 5, p = 0,8. Xác su t c n tính là
2048,02,08,0C)3(P 233
55 ==
Ví d 5.2: T l ñ u hoa vàng ñ ng h p t gen AA, hoa vàng d h p t gen Aa và hoa
tr ng gen aa là 1 : 2 : 1. Ch n10 h t ñ u ñem gieo
1/Tính xác su t ñ có 4 cây ñ u hoa vàng là ñ ng h p t
2/ Tính xác su t ñ có 5 cây ñ u hoa vàng
N u ch xét t i các cây ñ u hoa vàng ñ ng h p t trong s cây ñ u ta có lư c ñ
Bernoullie v i
p1 =
4
3
q,
4
1
1 = . V y xác su t c n tính là
644
1010 )
4
3
.()
4
1
(C)4(P =
Trong trư ng h p th 2 ta có p2 =
4
1
q,
4
3
1 = và xác su t c n tính
555
1010 )
4
1
.()
4
3
(C)5(P =
5.3. S l n xu t hi n ch c nh t: Xét m t lư c ñ Bernoullie v i s l n th n và xác su t
xu t hi n s ki n A, P(A) = p .
k0 ñư c g i là s l n xu t hi n ch c nh t ho c s l n xu t hi n có kh năng nh t n u:
Pn(k0) ≥ Pn(k) ∀ k = 0, 1..., n. ð tìm k0 ta ch c n xét dãy s Pn(0), Pn(1),...Pn(k),...Pn(n)
xem s nào l n nh t thì k ng v i s ñó chính là k0 c n tìm. Tuy nhiên vi c tính t t c
các s trong dãy s trên s m t nhi u th i gian. Vì v y ta ñưa ra thu t toán tìm s l n
xu t hi n ch c nh t t nh n xét sau. Trong dãy s u1, u2,... un n u
k
1k
u
u +
còn l n hơn 1 thì
dãy s còn tăng ñ n khi nào
k
1k
u
u +
nh hơn 1 thì dãy s b t ñ u gi m. S k0 mà t ñó dãy
chuy n t tăng sang gi m là s c n tìm. Áp d ng nh n xét trên ta xét
q
p
.
1k
kn
qpC
qpC
)k(P
)1k(P
knkk
n
1kn1k1k
n
n
n
+
−
==
+
−
−−++
⇒ Pn(k+1)>Pn(k) kqnp)qp(kqnpqkqkpnp >−⇔+>−⇔+>−⇔
Do np - q là m t h ng s nên khi k còn nh hơn np - q dãy còn tăng t i khi k vư t qua
np – q thì dãy b t ñ u gi m.

N u np - q không ph i là s nguyên s l n xu t hi n ch c nh t là: k0 = [np-q]+1
Chú ý: Ph n nguyên c a s th c x là s nguyên l n nh t nh thua ho c b ng x, kí hi u
là[ ]x
N u np - q là s nguyên thì s l n xu t hi n ch c nh t là k0 = np - q và k0+1.
Khi ñó ta có Pn(k0) = Pn(k0+1) n,0k)k(Pn =∀≥
Ví d 5.3: Xác su t ñ m i cây s ng sau th i gian tr ng là 0,8. Tr ng 1000 cây, Tìm s
cây có kh năng s ng cao nh t
Ta có n =1000, p = 0,8, q = 0,2 ⇒ np - q = 799,8
V y s cây có kh năng s ng cao nh t k0 = 800
6. Công th c xác su t toàn ph n
Xét A1, A2,..., An là m t h ñ y ñ các s ki n, A là m t s ki n nào ñó.
Ta có:
A= A n21n21 AA...AAAA)A...AA(A +++=+++=Ω
⇒ )AA...AAAA(P)A(P n21 +++=
S d ng công th c c ng và nhân xác su t ta có
P(A) = P(A1)P(A/A1)+ P(A2)P(A/A2)+...+ P(An)P(A/An)
Công th c trên ñư c g i là công th c xác su t toàn ph n
Ví d 6.1: M t kho hàng có 10 ki n hàng trong ñó có 4 ki n do máy A s n xu t,
3 ki n do máy B s n xu t và 3 ki n còn l i do máy C s n xu t. T l s n ph m lo i hai do
các máy s n xu t l n lư t là 0,02; 0,03; 0,05. L y ng u nhiên t kho ra m t ki n hàng r i
t ñó l y ra m t s n ph m. Tính xác su t ñ s n ph m l y ra là s n ph m lo i hai
G i: A là s ki n s n ph m l y ra là s n ph m lo i hai
Ai là s ki n s n ph m l y ra do máy i s n xu t
Khi ñó A1, A2, A3 là m t h ñ y ñ ⇒ A = 321 AAAAAA ++
Theo công th c xác su t toàn ph n ta có
P(A) = P(A1)P(A/A1)+ P(A2)P(A/A2)+ P(A3)P(A/A3)
= 032,005,0.
10
3
03,0.
10
3
02,0.
10
4
=++
Ví d 6.2: M t loài sinh v t có các ki u gen AA, Aa, aa theo t l : 1 : 2 : 1.
N u cá th b (m ) có ki u gen AA lai v i các th m (b ) có ki u gen AA thì các cá th
con ñ u có ki u gen AA.
N u cá th b (m ) có ki u gen AA lai v i các th m (b ) có ki u gen Aa thì cá th con
có ki u gen AA, Aa theo t l 1 : 1.
N u cá th b (m ) có ki u gen AA lai v i các th m (b ) có ki u gen aa thì cá th con
ch có các ki u Aa. Ch n m t cá th con t cá th m có ki u gen AA.
1/ Tính xác su t ñ cá th con có ki u gen AA
2/ Tính xác su t ñ cá th con có ki u gen Aa

G i: A là s ki n cá th con có ki u gen AA
B là s ki n cá th con có ki u gen Aa
A1 là s ki n cá th b có ki u gen AA
A2 là s ki n cá th b có ki u gen Aa
A3 là s ki n cá th b có ki u gen aa
Theo ñ u bài :
0)/(;
2
1
)/(;1)/(;
4
1
)(;
4
2
)(;
4
1
)( 321321 ====== AAPAAPAAPAPAPAP
1)/(;
2
1
)/(;0)/( 321 === ABPABPABP
H : A1, A2, A3 là h ñ y ñ .
A = 321 AAAAAA ++
suy ra P(A) = P(A1)P(A/A1)+ P(A2)P(A/A2)+ P(A3)P(A/A3)
=
2
1
4
1
4
1
0.
4
1
2
1
.
4
2
1.
4
1
=+=++
B = 321 BABABA ++
suy ra P(B) = P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+ P(A3)P(B/A3)
=
2
1
4
1
4
1
1.
4
1
2
1
.
4
2
0.
4
1
=+=++
7. Công th c Bayes
Gi s A1, A2,...Ai. . . . An là m t h ñ y ñ các s ki n. A là m t s ki n nào ñó
có P(A) ≠ 0
Theo công th c xác su t toàn ph n ta có:
P(A) = P(A1)P(A/A1)+ P(A2)P(A/A2)+... +P(Ai)P(A/Ai)+...+P(An)P(A/An)
Xét Aj là m t s ki n nào ñó trong h các s ki n ñã cho
Ta có P(Aj/A)=
( )∑=
= n
1i
ii
jjj
A/AP)A(P
)A/A(P)A(P
)A(P
)AA(P
Công th c trên ñư c g i là công th c Bayes. Các xác su t P(Aj/A) g i là các xác su t h u
nghi m ñ phân bi t v i các xác su t tiên nghi m P(Ai)
Ví d 7.1: C p tr sinh ñôi có th là sinh ñôi th t ( do cùng m t tr ng sinh ra) trong
trư ng h p này chúng luôn cùng gi i. Trư ng h p c p sinh ñôi do hai tr ng sinh ra g i là
gi sinh ñôi. N u c p sinh ñôi do hai tr ng sinh ra thì xác su t ñ chúng cùng gi i là 1/2.
Bi t xác su t ñ c p sinh ñôi do cùng m t tr ng sinh ra là p. M t c p tr sinh ñôi ra ñ i
bi t chúng cùng gi i. Tính xác su t ñ chúng là sinh ñôi th t.
G i: A là s ki n c p tr sinh ñôi là cùng gi i
A1 là s ki n c p tr sinh ñôi là sinh ñôi th t
A2 là s ki n c p tr sinh ñôi là gi sinh ñôi

A1, A2 là h ñ y ñ , P(A1) = p; P(A2) =1-p; P(A/A1) = 1; P(A/A2) =
2
1
Theo công th c Bayes ta có xác su t c n tính là:
p1
p2
2
1
)p1(1.p
1.p
)A/A(P)A(P)A/A(P)A(P
)A/A(P)A(P
)A/A(P
2211
11
1
+
=
−+
=
+
=
Ví d 7.2: T l ngư i ñ n khám t i m t b nh vi n m c b nh A là 60%, trong s
nh ng ngư i m c b nh A có 50% m c c b nh B, còn trong s nh ng ngư i không m c
b nh A có 70% m c b nh B.
1/ Khám cho m t ngư i thì th y ngư i ñó m c b nh B. Tính xác su t ñ ngư i
ñư c khám cũng m c b nh A.
2/ N u ngư i ñư c khám không m c b nh B tìm xác su t ñ ngư i ñó không m c
b nh A.
G i : A là s ki n ngư i ch n ñi khám m c b nh A
B là s ki n ngư i ch n ñi khám m c b nh B
Ta có A và A là m t h ñ y ñ , P(A) = 0,6; P( A ) =0,4
Vì v y ta có: B = BA +B A
Xác su t c n tính ph n 1 là P(A/B) =
)B(P
)A/B(P)A(P
Xác su t c n tính ph n 2 là
)B(P
)A/B(P)A(P
)B/A(P =
Ta có: P(B/A) = 0,5; P( )A/B = 0,3.
Suy ra: P(B) = P(A)P(B/A) + P( A )P(B/ A )
= 0,6.0,5 + 0,4.0,7 = 0,58 ⇒ P(B ) = 0,42
V y: P(A/B) =
7
2
42,0
3,0.4,0
)B/A(P,
29
15
58,0
30,0
===
Ví d 7.3: ð gây ñ t bi n cho m t tính tr ng ngư i ta tìm cách tác ñ ng lên hai gen
A, B b ng phóng x . Xác su t ñ t bi n c a tính tr ng do gen A là 0,4; do gen B là 0,5 và
do c hai gen là 0,9.
1/ Tính xác su t ñ có ñ t bi n tính tr ng ñó bi t r ng phóng x có th tác ñ ng
lên gen A v i xác su t 0,7 và lên gen B v i xác su t 0,6.
2/ Tính tr ng có d u hi u ñ t bi n. Xác ñ nh vai trò ñóng góp c a t ng gen
G i : C là s ki n có ñ t bi n tính tr ng ñang xét
A là s ki n phóng x tác d ng lên gen A
B là s ki n phóng x tác d ng lên gen B
C1 là s ki n phóng x ch tác ñ ng lên gen A
C2 là s ki n phóng x ch tác d ng lên gen B
C3 là s ki n phóng x tác d ng lên c 2 gen

C4 là s ki n phóng x không tác d ng lên gen nào
Khi ñó h C1, C2, C3, C4 là m t h ñ y ñ
C1 = AB , C2 = BA , C3 = AB, C4 = A B . M t khác A, B là ñ c l p nên
P(C1) = P(A)P(B ) = 0,28, P(C2) = P(A )P(B) = 0,18
P(C3) = P(A)P(B) = 0,42; P(C4) = P(A )P(B ) = 0,12
M t khác P(C/C1) = 0,4; P(C/C2) = 0,5; P(C/C3) = 0,9 và P(C/C4) = 0
Theo công th c xác su t toàn ph n ta có
P(C) = 0,28.0,4 +0,18.0,5 +0,42.0,9 +0,12.0 = 0,58
Vai trò ñóng góp c a riêng gen A cho s ñ t bi n là
1931,0
580
112
)(
)/()(
)/( 11
1 ≈==
CP
CCPCP
CCP
Vai trò ñóng góp c a riêng gen B cho s ñ t bi n là
1552,0
580
90
)(
)/()(
)/( 22
2 ≈==
CP
CCPCP
CCP
Vai trò ñóng góp c a c hai gen cho s ñ t bi n là
6517,0
580
378
)(
)/()(
)/( 33
3 ≈==
CP
CCPCP
CCP

Bài t p chương II
1.Tung ñ ng th i 3 ñ ng ti n. Tính xác su t ñ c 3 ñ ng ti n cùng xu t hi n m t s p.
2. M t t h c sinh có 4 nam, 4 n . Ch n ng u nhiên 3 h c sinh.
a.Tính xác su t ñ trong 3 ngư i ñư c ch n có 2 nam, 1 n .
b. Tính xác su t ñ trong 3 ngư i ñư c ch n ñ u là n .
3. Có 6 t m th ñánh s t 1 ñ n 6. Rút l n lư t 3 t m r i ñ t t trái qua ph i
a.Tính xác su t ñ s l p ñư c là s ch n
b. Tính xác su t ñ s l p ñư c chia h t cho 3
c. Tính xác su t ñ s l p ñư c chia h t cho 5
4. Có n ngư i x p theo m t hàng d c (n >5)
a.Tính xác su t ñ 2 ngư i A, B ñ ng li n nhau
b.Tính xác su t ñ 2 ngư i A, B ñ ng cách nhau ñúng 3 ngư i
5. M t h c sinh có 5 quy n sách Toán, 3 quy n sách Văn và 2 quy n sách Ngo i ng .
H c sinh này x p ng u nhiên các quy n sách này trên m t ngăn c a giá sách.
a. Tính xác su t ñ 5 quy n sách Toán ñ ng li n nhau
b. Tính xác su t ñ không có 2 quy n sách Toán nào x p li n nhau
6. Ch n ng u nhiên 10 h c sinh, tính xác su t ñ không có 2 h c sinh nào có cùng sinh
nh t.
7. Cho m t lô hàng có n s n ph m trong ñó có m ph ph m. L y ng u nhiên k s n ph m
(k < n, k < m ). Tính xác su t ñ trong k s n ph m l y ra có l ph ph m (l < k).
8*. M t ñoàn tàu vào ga g m có 4 toa, trên sân ga có 8 hành khách ñ i lên tàu. Các hành
khách này có lên m t trong b n toa trên m t cách ng u nhiên
a. Tính xác su t ñ m i toa có ñúng 2 hành khách m i lên
b. Tính xác su t ñ m i toa có ñúng 4 hành khách m i lên
c. Tính xác su t ñ m t toa có ñúng 5 hành khách m i lên 3 toa còn l i m i toa có 1 hành
khách lên.
9. T i m t tr i l n gi ng có 4 con l n nái thu c các loài A, B , C, D cho ph i gi ng v i 4
l n ñ c cũng thu c 4 loài trên m t cách ng u nhiên .
a. Tính xác su t ñ các c p l n cùng loài ph i gi ng v i nhau
b. Tính xác su t ñ không có c p nào cùng loài ph i gi ng v i nhau

10. Trong 10 h t ñ u gi ng có 4 h t ñ u hoa vàng thu n ch ng, 3 h t ñ u hoa vàng không
thu n ch ng và 3 h t ñ u hoa tr ng. Ch n ng u nhiên 3 h t ñ u
a. Tính xác su t ñ 3 h t ñ u ñư c ch n g m 3 lo i khác nhau
b. Tính xác su t ñ 3 h t ñ u ñư c ch n là ñ u cho hoa màu vàng
c. Tính xác su t ñ 3 h t ñ u ñư c ch n có ít nh t m t h t cho hoa màu tr ng
11. M t ño n th ng có chi u dài 2l ñư c b ng u nhiên thành 3 ño n. Tính xác su t ñ 3
ño n này l p thành m t tam giác.
12. Do thi u kinh nghi m m t nhân viên th tinh nhân t o cho bò ch chu n ñoán ñư c
bò s r ng tr ng trong kho ng 0h sáng ñ n 24h cùng ngày. Bi t r ng tr ng và tinh trùng
có th s ng trong t cung không quá t gi (t < 12).
a. K thu t viên ti n hành th tinh nhân t o vào lúc 12h. Tính xác su t ñ vi c th tinh
thành công.
b. Kĩ thu t viên ti n hành vi c th tinh nhân t o m t cách ng u nhiên trong quãng th i
gian t 10h ñ n 14h. Tính xác su t ñ vi c th tinh thành công.
13. Lai gà lông màu nâu v i gà lông màu tr ng gà con th h F1 có lông màu nâu, màu
xám và màu tr ng theo t l : 1 : 2 : 1. Ch n ng u nhiên 5 qu tr ng th h F1 ñem p
và c 5 qu tr ng ñ u n . Tính xác su t ñ :
a. Có ñúng 3 gà con có lông màu nâu.
b. Có 2 gà con có lông màu nâu và 3 gà con có lông màu xám.
c. Có 1 gà con có lông màu nâu, 2 gà con có lông màu xám, 2 gà con có lông màu tr ng.
14. Bi t t l ngư i có nhóm máu O, A, B và AB trong c ng ñ ng tương ng là:
34%, 37%, 21%, 8%. Ngư i có nhóm máu O, A, B ch có th nh n máu c a ngư i cùng
nhóm v i mình ho c nh n t ngư i có nhóm máu O, còn ngư i có nhóm máu AB có th
nh n máu t b t c m t ngư i có nhóm máu nào. Có m t ngư i c n ti p máu và m t
ngư i cho máu. Vi c truy n máu ñã ñư c th c hi n.
a. Tính xác su t ñ ngư i nh n máu có nhóm máu A
b. Tính xác su t ñ ngư i nh n máu có nhóm máu B
15. M t công ty có hai phòng ch c năng. Phòng A g m 3 nhân viên nam, 2 nhân viên n .
Phòng B g m 3 nhân viên nam, 3 nhân viên n . ð ki m tra năng l c làm vi c c a m i
phòng, giám ñ c công ty quy t ñ nh ch n m i phòng 2 nhân viên ñ ki m tra chuyên
môn. Bi t r ng m i nhân viên phòng A có th vư t qua kỳ ki m tra v i xác su t 0,8 ñ i
v i nam và 0,7 ñ i v i n . M i nhân viên phòng B có th vư t qua kỳ ki m tra v i xác
su t 0,7 ñ i v i nam và 0,8 ñ i v i n .
a. Tính xác su t ñ 4 nhân viên ñư c ch n ñ u là nam.
b. Tính xác su t ñ 4 nhân viên ñư c ch n ñ u qua kì ki m tra

c. Kh năng vư t qua kì ki m tra c a phòng nào cao hơn?
16. M t nhóm b nh nhân g m 6 ngư i trong ñó có 4 ngư i m c b nh A và 5 ngư i m c
b nh B.
a. Tìm s b nh nhân m c c hai lo i b nh
b. Ch n ng u nhiên 2 trong s 6 b nh nhân nói trên. Tính xác su t ñ 2 ngư i ñó m c c
hai lo i b nh.
c. Ngư i ta ñ nh s d ng m t lo i bi t dư c X ñ ñi u tr cho nhóm b nh nhân trên. Xác
su t ñ m t b nh nhân ch m c m t lo i b nh khi s d ng bi t dư c X kh i b nh là 0,8.
Xác su t ñ m t b nh nhân m c c hai lo i b nh khi s d ng bi t dư c X kh i b nh là
0,6. Ch n ng u nhiên hai b nh nhân trong 6 b nh nhân nói trên r i cho dùng bi t dư c X.
Tính xác su t ñ c hai b nh nhân kh i b nh.
17. Ba phòng thí nghi m ñư c giao nhi m v t o gi ng lúa m i. Ba phòng làm vi c ñ c
l p, xác su t thành công tương ng là 0,4; 0,3; 0,2.
a. Tính xác su t ñ có ñúng m t phòng thành công.
b. Tính xác su t ñ có ít nh t m t phòng thành công.
c. Trong m t năm n u phòng nào thành công trong vi c t o ra gi ng lúa m i thì ñư c coi
là hoàn thành nhi m v . N u th t b i ñư c làm thêm m t l n n a và n u l n này thành
công thì cũng ñư c coi là hoàn thành nhi m v . Tính xác su t ñ c ba phòng cùng hoàn
thành nhi m v .
18. M t m ng cung c p ñi n như hình v
Hình 3
ði n ñư c cung c p t E t i khu tiêu dùng F qua năm tr m bi n áp A, B, C, D, G. Các
tr m bi n áp này làm vi c ñ c l p, xác su t ñ m i tr m bi n áp A, B, C có s c kĩ thu t
sau m t th i gian ho t ñ ng là 0,1. Xác su t trên v i hai tr m D, G là 0,05.
a. Tính xác su t ñ F m t ñi n.
b. Bi t F b m t ñi n.Tính xác su t ñ c 2 tr m D, G có s c .
19. Cho A, B là hai s ki n có P(A) = 0,45; P(B) = 0,30; P(A∪B) = 0.60. Hãy tính các
xác su t sau:
a. P( )BA ; b. P(B/A) ; c. P(AB) ; d. P(A/B)
20. Cho P(A) = 3/14; P(B) = 1/6; P(C) = 1/3; P(AC) = 1/7; P(B/C) = 5/21.
Tính: a. P(A/C) ; b. P(C/A) ; c. P(BC) ; d. P(C/B)

21. N u m t cơn bão xu t hi n b bi n Philippin thì cơn bão ñó s ñ b vào Vi t Nam
v i t l p1. Kinh nghi m cho bi t xác su t ñ m t cơn bão xu t hi n vùng bi n này
trong tháng Tám là p2.
a. Tính xác su t ñ m t cơn bão s xu t hi n b bi n Philippin và s ñ b vào Vi t
Nam trong tháng Tám năm nay.
b. N u cơn bão hình thành vùng bi n Philippin mà ñư c làm nh ñi b ng kĩ thu t phun
hoá ch t khi bão qua vùng bi n Trư ng sa thì kh năng nó ñ b vào Vi t Nam s gi m
ñi 1/4. Tính xác su t ph n a trong trư ng h p này. Bi t r ng các cơn bão xu t hi n
vùng bi n Philippin khi ñ b vào ñ t li n luôn ñi qua qu n ñ o Trư ng sa.
22. M t nhà phân tích th trư ng ch ng khoán xem xét tri n v ng c a các ch ng khoán
c a nhi u công ty ñang phát hành. M t năm sau 25% s ch ng khoán t ra t t hơn nhi u
so v i trung bình c a th trư ng, 25% s ch ng khoán t ra x u hơn nhi u so v i trung
bình c a th trư ng và 50% b ng trung bình c a th trư ng. Trong s nh ng ch ng khoán
tr nên t t có 40% ñư c nhà phân tích ñánh giá là mua t t, 20% s ch ng khoán là trung
bình cũng ñư c ñánh giá là mua t t và 10% s ch ng khoán tr nên x u cũng ñư c ñánh
giá là mua t t.
a. Tính xác su t ñ m t ch ng khoán ñư c ñánh giá là mua t t s tr thành t t.
b. Tính xác su t ñ m t ch ng khoán ñư c ñánh giá là mua t t s tr thành x u.
23. M t ñ i lý t i Hà N i kinh doanh ñ u ng do ba công ty A, B, C s n xu t theo t l
2 : 3 : 5. T l ñ u ng có ga tương ng ba công ty trên là 70%, 60% và 50%.
a. Ch n ng u nhiên m t ki n hàng t i kho c a ñ i lý. Tính xác su t ñ ki n ñ u ng ñư c
ch n là ñ u ng có ga.
b. Bi t ki n hàng ñư c ch n là ñ u ng có ga. Tính xác su t ñ ki n hàng ñó do công ty
A s n xu t.
24. Trong m t kho s lư ng rư u lo i A và lo i B là như nhau. Ngư i ta ch n ng u nhiên
t trong kho ra m t chai rư u và ñưa cho 5 ngư i sành rư u n m th ñ xem ñây là lo i
rư u nào. Gi s xác su t ñoán ñúng c a m i ngư i là 0,7. Có 3 ngư i k t lu n là rư u
lo i A, 2 ngư i k t lu n là rư u lo i B. Tính xác su t ñ chai rư u trên là rư u lo i A.
25. M t trung tâm phân ph i gi ng cây tr ng nh n cây gi ng t 3 cơ s khác nhau theo t
l : 2 : 3 : 5. T l cây gi ng x u tương ng là 5%, 3% và 2%.
a. Ch n ng u nhiên m t cây gi ng c a trung tâm. Tính xác su t ñ cây gi ng ñư c ch n
là cây x u.
b. Bi t cây gi ng ñư c ch n là cây gi ng x u. Kh năng cây gi ng ñó thu c cơ s nào là
cao nh t? T i sao?
26. Cho lai gà lông xám thu n ch ng (tính tr ng tr i) v i gà lông tr ng thu n ch ng (tính
tr ng l n) th h F1 t t c gà con ñ u có lông màu xám , th h F2 gà có lông màu

xám và màu tr ng theo t l 3 : 1. Bi t t l gà lông xám thu n ch ng , gà lông xám không
thu n ch ng, gà lông tr ng thu n ch ng trong m t ñàn gà là 1 : 2 : 1. M t qu tr ng gà
c a m t gà m lông xám không thu n ch ng s p n ra m t chú gà con.
a. Tính xác su t ñ gà con n ra có lông màu tr ng.
b. Bi t gà con n ra có lông màu xám. Tính xác su t ñ gà b có lông màu tr ng.
27. T l ngư i có kí sinh trùng s t rét trong máu c a m i ngư i dân vùng cao là 0,2.
a. Ch n ng u nhiên 4 ngư i. Tính xác su t ñ trong 4 ngư i ñư c ch n có 3 ngư i trong
máu có kí sinh trùng s t rét.
b. L y máu c a 100 ngư i ñem th . Tính xác su t ñ có ít nh t m t ngư i có kí sinh
trùng s t rét trong máu.
28. Có hai t h c sinh. T th nh t có 4 nam 5 n , t th hai có 5 nam 6 n . Chon ng u
nhiên ra m i t 3 h c sinh r i ghép m i h c sinh t này v i m i h c sinh c a t kia làm
m t nhóm h c t p
a.Tính xác su t ñ các nhóm h c t p ñ u cùng gi i.
b.Tính xác su t ñ các nhóm h c t p ñ u khác gi i
29. Nhân ngày qu c t ph n , sinh viên A vào c a hàng hoa t i c ng trư ng mua ng u
nhiên 3 bông hoa ñ t ng cho 3 b n n m i ngư i 1 bông. Sinh viên B cũng vào c a
hàng hoa này và cũng mua ng u nhiên 3 bông hoa ñ t ng cho 3 b n n nói trên m i
ngư i 1 bông. C a hàng hoa ch bán 3 lo i hoa là h ng b ch, h ng vàng và h ng nhung.
a. Tính xác su t ñ m i b n n ñư c t ng 2 bông hoa cùng màu.
b. Tính xác su t ñ m i b n n ñư c t ng 2 bông hoa g m 2 màu khác nhau.
30. M t h p ñ u gi ng g m 2 h t ñ u tr ng và 3 h t ñ u ñ . M t h p khác g m 3 h t ñ u
tr ng và 2 h t ñ u ñ . T l n y m m là 0,8 ñ i v i m i h t ñ u tr ng, là 0,7 ñ i v i m i
h t ñ u ñ . L y ng u nhiên t m i h p ra 2 h t ñem gieo.
a. Tính xác su t ñ c 4 h t ñ u n y m m.
b. Bi t 4 h t ñem gieo ñ u n y m m. Tính xác su t ñ 4 h t này ñ u là ñ u ñ .
31. Lai hai gi ng hoa màu h ng và màu ñ thu n ch ng, các cây con F1 có th cho hoa
màu h ng, màu ñ ho c màu cánh sen v i t l 1: 1: 2. Ch n ng u nhiên 5 h t hoa F1 ñem
gieo. Tính xác su t ñ :
a. Có ñúng 3 cây cho hoa màu ñ .
b. Có 2 cây hoa màu ñ , 3 cây màu h ng.
c. Có 1 cây màu ñ , 1 cây màu h ng và 3 cây màu cánh sen.
32. Dư i tác ñ ng c a phóng x các nhi m s c th c a m t t bào b gãy làm hai m nh
trong ñó ch có m t m nh ch a tâm ñ ng. Các m nh gãy theo th i gian s t ghép l i v i
nhau m t cách ng u nhiên và t bào s s ng sót n u m i c p m nh ghép v i nhau ch
ch a m t tâm ñ ng. Tìm xác su t ñ t bào s ng sót, bi t r ng t bào ñó có n nhi m s c
th b gãy.

33. (Bài toán Buffon) Trên m t ph ng có m t d i các ñư ng th ng song song cách ñ u
nhau m t kho ng 2a. Gieo ng u nhiên m t cái kim có chièu dài 2l (l < a). Tính xác su t
ñ cái kim c t m t trong nh ng ñư ng th ng trên.
34. Hai t u thu c p vào m t c ng ñ tr hàng m t cách ñ c l p trong vòng 24h. Bi t
r ng th i gia b c d hàng c a tàu th nh t là 2h, c a tàu th hai là 3h Tính xác su t ñ
m t trong hai tàu trên ph i ch ñ c p b n.
35. Có n viên bi b ng u nhiên vào m cái h p (n > m).
a. Tính xác su t ñ có ñúng 1 h p không ch a viên bi nào.
b. Tính xác su t ñ có 1 h p ch a c n viên bi.
c. Tính xác su t ñ m i h p có ít nh t 1 viên bi.
36. (Bài toán Banach) M t nhà toán h c có 2 bao diêm, m i bao có n que. Ông ta ñ m i
bên túi 1 bao. Khi s d ng nhà bác h c rút ng u nhiên 1 bao r i rút ra 1 que ñ dùng.
Tìm xác su t ñ khi ông phát hi n 1 bao ñã h t diêm thì bao kia còn k que.
37. Có k thùng h t gi ng g m k lo i khác nhau ñư c g i ñ n m t trung tâm b o qu n
gi ng. Trung tâm này có k phòng ñư c ñánh s t 1 ñ n k m i phòng b o qu n m t lo i
h t gi ng. Do ngư i ph trách kĩ thu t c a trung tâm v ng m t, nhân viên b o v ñành
x p t m m i thùng h t gi ng vào m t phòng.
a. Tính xác su t ñ không thùng nào ñ ñúng v trí.
b. Tính xác su t ñ các thùng ñ u ñ ñúng v trí.
38*
. Trên m t toa tàu có 30 hành khách. ð n ga ti p theo m i hành khách có th xu ng
tàu v i xác su t 0,3. T i ga này m i hành khách m i có th lên toa tàu trên v i xác su t
0,5. Tính xác su t ñ khi ra kh i ga toa tàu v n còn ñ 30 hành khách.
39. M t c a hàng bán m t lo i s n ph m trong ñó 30% do nhà máy A s n xu t, 40% do
nhà máy B s n xu t, 30% do nhà máy C s n xu t.
T l s n ph m lo i m t c a ba nhà máy trên l n lư t là: 0,9 ; 0,8 , 0,9.
a. Mua ng u nhiên m t s n ph m t i c a hàng. Tĩm xác su t ñ s n ph m mua ñư c là
lo i m t.
b. Bi t s n ph m mua ñư clà lo i m t. Tính xác su t ñ s n ph m ñó do nhà máy A s n
su t.
40. T i m t vùng dân cư, t l ngư i nghi n hút thu c lá là 0,2. Bi t r ng t l viêm h ng
trong s ngư i nghi n thu c lá là 0,7 và v i ngư i không nghi n là 0,2. Khám ng u
nhiên 1 ngư i thì th y ngư i ñó b viêm h ng. Tính xác su t ñ ngư i ñó nghi n thu c lá.
41. Có 8 ngư i rút thăm ñ ch n các căn h trong m t chung cư t t ng 8 ñ n t ng 15,
m i t ng có 8 căn h .
a. Tính xác su t ñ ñ c 8 ngư i trên ñ u nh n ñư c các căn h trong cùng m t t ng.
b. Tính xác su t ñ 8 ngư i trên nh n ñư c 8 căn h trên 8 t ng khác nhau.

Chương 3 Bi n ng u nhiên
ð nh nghĩa chính xác mang tính toán h c thu n tuý v bi n ng u nhiên vư t kh i yêu c u
c a giáo trình. ð nh nghĩa ñư c trình bày ñây mang tính mô t , tuy nhiên nó cũng giúp
cho ngư i h c hi u ñư c th nào là bi n ng u nhiên, bi n ng u nhiên r i r c, bi n nhiên
liên t c. Các khái ni m khác như b ng phân ph i xác su t hàm phân ph i cũng như hàm
m t ñ xác su t ñ u ñư c trình bày v i nh ng ki n th c ñơn gi n nh t. Các s ñ c trưng
quan tr ng nh t c a bi n ngãu nhiên như kì v ng, phương sai, ñ l ch chu n ñư c trình
bày kĩ hơn các s ñ c trưng khác.Các bi n ng u nhiên r i r c và liên t c thư ng g p
trong th c t cũng như các s ñ c trưng c a chúng ñư c gi i thi u khá kĩ. Khái ni m
véctơ ng u nhiên ñư c g i thi u m t cách sơ lư c. Các ví d liên quan t i các ki n th c
lý thuy t cũng như các ng d ng th c t giúp ngư i h c hi u và có h ng thú hơn ñ i v i
môn h c. Lu t s l n, m t s ñ nh lí v lu t s l n và m t s ñ nh lý gi i h n ñư c gi i
thi u sơ lư c trong chương này.
I Bi n ng u nhiên
Khi ti n hành m t phép th ng u nhiên, các k t qu c a phép th thư ng là các ñ c tính
ñ nh tính. Tuy nhiên trong nhi u phép th m i m t k t qu c a phép th thư ng ñư c gán
tương ng v i m t giá tr ñ nh lư ng nào ñó. Ch ng h n khi chơi các trò chơi ăn ti n m i
k t qu c a m t l n chơi ñư c gán tương ng v i m t s ti n ( ñ c tính ñ nh lư ng) mà
ngư i chơi ñư c hay m t ho c khi nh m b n m t phát ñ n vào bia, m i k t qu c a vi c
b n tương ng v i ñi m s ( ñ c tính ñ nh lư ng) mà x th ñ t ñư c.
1.ð nh nghĩa:
Bi n ng u nhiên (th c) là bi n nh n giá tr là các s th c ph thu c vào k t qu c a phép
th ng u nhiên .
Ta thư ng dùng các ch cái hoa X, Y, Z... ñ ch các bi n ng u nhiên và các ch cái
thư ng x, y, z...ho c xi , yj.... . ñ ch các giá tr c th mà bi n ng u nhiên ñó nh n.
2. Các ví d :
Ví d 1: Tung ñ ng th i hai con xúc x c. G i X là t ng s ch m hai m t trên, X là
m t bi n ng u nhiên và có th nh n m t trong các giá tr t 2 ñ n 12
Ví d 2: M t ngư i nh m b n vào bia cho t i khi trúng bia thì ng ng. G i Y là s ñ n
c n dùng. Y là m t bi n ng u nhiên nh n các giá tr :
1, 2, ..., n, ...
Ví d 3: Th p sáng liên t c m t bóng ñèn ñi n cho t i khi dây tóc c a bóng ñèn b
cháy. G i Z là th i gian bóng ñèn sáng. Z là m t bi n ng u nhiên
Qua ba ví d trên ta th y có hai lo i bi n ng u nhiên:
Lo i th nh t là lo i bi n ng u nhiên ch nh n m t s h u h n hay vô h n ñ m ñư c các
giá tr .
*M t t p ñư c g i là vô h n ñ m ñư c n u t n t i m t phép tương ng m t - m t t i t p
các s t nhiên N.

Lo i th hai là lo i bi n ng u nhiên mà nó có th nh n các giá tr trong m t kho ng ho c
m t s kho ng th c nào ñó. Lo i bi n ng u nhiên th nh t g i là bi n ng u nhiên r i r c.
Lo i bi n ng u nhiên th hai g i là bi n ng u nhiên liên t c.
Vi c ñưa ra m t ñ nh nghĩa thu n tuý toán h c v bi n ng u nhiên không ñư c trình bày
ñây. Ngư i ñ c mu n bi t có th tham kh o các tài li u d n ra cu i giáo trình này.
3. B ng phân ph i xác su t c a m t bi n ng u nhiên r i r c.
3.1. ð nh nghĩa: B ng phân ph i xác su t c a m t bi n ng u nhiên r i r c X là m t b ng
g m hai dòng
Dòng trên ghi các giá tr có th có c a bi n ng u nhiên X, dòng dư i ghi các xác su t
tương ng. N u X nh n 1 s h u h n các giá tr thì b ng phân ph i xác su t c a X là:
X x1 x2 ... xi ... xn
P p1 p2 ... pi ... pn
N u X nh n 1 s vô h n ñ m các giá tr thì b ng phân ph i xác su t c a X là
X x1 x2 ... xi ... xn ...
P p1 p2 ... pi ... pn ...
pi = P(X= xi) là xác su t ñ X nh n giá tr là xi.
Do X nh n và ch nh n m t trong các giá tr xi nên ta có ∑=
n
1i
ip = 1 ñ i v i b ng th nh t
và ∑
∞
=1i
ip = 1 ñ i v i b ng th hai.
3.2. Các ví d
Ví d 1: M t ngư i chơi trò chơi ăn ti n b ng cách tung ñ ng th i 2 ñ ng ti n cân ñ i
và ñ ng ch t. N u c hai xu t hi n m t s p anh ta ñư c 100 ñ ng, n u c hai xu t hi n
m t ng a anh ta m t 40 ñ ng còn xu t hi n m t s p m t ng a anh ta m t 30 ñ ng. G i X
là s ti n anh ta nh n ñư c sau m t ván chơi. L p b ng phân ph i xác su t c a X
Nh n th y X có th nh n các giá tr - 40, - 30, 100 tương ng v i vi c m t 40 ñ ng , m t
30 ñ ng và ñư c 100 ñ ng.
Ta có P(X = - 40) =
4
1
)100X(P,
2
1
)30X(P,
4
1
===−=
V y b ng phân ph i xác su t c a X là
X - 40 - 30 100
P
4
1
2
1
4
1
Ví d 2 : M t phòng thí nghi m ñư c c p ba tri u ñ ng ñ ti n hành thí nghi m tìm
m t ch ng vi rút trong gia c m. M t l n thí nghi m chi phí m t tri u ñ ng. N u phát hi n
ra ch ng vi rút này thì ng ng thí nghi m. N u không phát hi n ra thì làm thí nghi m cho
t i khi phát hi n ra ch ng vi rút trên ho c h t kinh phí thì d ng. G i Y là s ti n mà

phòng thí nghi m trên ti t ki m ñư c. L p b ng phân ph i xác su t c a Y bi t các thí
nghi m là ñ c l p v i nhau và xác su t ñ tìm ra ch ng vi rút m i l n thí nghi m là 0,3.
Ta th y Y có th nh n m t trong ba giá tr 0, 1, 2. V i xác su t tương ng
P(Y= 0 ) = 0,72
= 0,49; P( Y = 1 ) = 0,7.0,3 = 0,21; P( Y = 2 ) = 0,3.
V y b ng phân ph i xác su t c a Y là
Y 0 1 2
P 0,49 0,21 0,3
Ví d 3: M t ngư i nh m b n vào m t m c tiêu cho t i khi trúng ñích thì d ng. Các
l n b n ñ c l p, xác su t trúng ñích c a m i l n b n là p
(0 < p < 1). G i Z là s ñ n ph i dùng. L p b ng phân ph i xác su t c a Z
Nh n th y Z có th nh n các giá tr 1, 2, ..., n,...
P(Z = n) = qn-1
p (q = 1 - p). V y b ng phân ph i xác su t c a Z là
Z 1 2 ... i ... n ...
P p qp qi-1
p qn-1
p ...
4. Hàm phân ph i xác su t
4.1. ð nh nghĩa: Hàm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên X là hàm s F(x) ho c
FX(x) cho b i F(x) = P( X<x) v i m i x ∈R
T ñ nh nghĩa ta th y m i bi n ng u nhiên ñ u có hàm phân ph i xác su t. N u X là m t
bi n ng u nhiên r i r c thì
F(x) = P(X = x1) + ... +P(X = xi-1) v i xi-1 < x ≤ xi và F(x) = 0 n u x ≤ x1
4.2. Các ví d
Ví d 1: Bi n ng u nhiên X có b ng phân ph i xác su t
X 0 1 2
P 0,3 0,4 0,3
1/ L p hàm phân ph i xác su t c a X
2/ V ñ th c a F(x)
Ta có







>
≤<
≤<
≤
=
21
217,0
103,0
00
)(
xkhi
xkhi
xkhi
xkhi
xF

ð th c a F(x)
Hình 1
Ví d 2: ð th s c ch u nén c a m t lo i v t li u ngư i ta ti n hành theo ba m c sau:
M c 1: Ti n hành th v i áp l c 200 2
/ cmkG . N u v t li u ch u ñư c áp l c này thì
chuy n sang m c hai
/ cmkG . N u v t li u ch u ñư c áp l c này thì
chuy n sang m c ba
/ cmkG
Bi t các l n th ñ c l p v i nhau và xác su t ñ lo i v t li u ch u ñư c các m c th trên
tương ng là 0,90; 0,60; 0,40. G i X là s l n th . Y là s l n th thành công. Hãy tìm
hàm phân ph i xác su t c a X và c a Y
Ta th y: X có th nh n các giá tr 1, 2, 3
Y có th nh n các giá tr 0, 1, 2, 3.
P( X = 1) = 0,1; P( X = 2) = 0,9.0,4 = 0,36; P( X = 3) = 0,9.0,6 = 0,54
V y hàm phân ph i xác su t c a X là
)x(FX







>
<≤
<≤
≤
=
3xkhi1
3x2khi46,0
2x1khi1,0
1xkhi0
P(Y = 0) = 0,1; P(Y = 1) = 0,9.0,4 = 0,36; P(Y = 2) = 0,9.0,6.0,6 = 0,324
P(Y = 3) = 0,9.0,6.0,4 = 0,216









>
<≤
<≤
<≤
≤
=
31
32784,0
2146,0
101,0
00
)(
xkhi
xkhi
xkhi
xkhi
xkhi
xFY
5. Các tính ch t c a hàm phân ph i: Hàm phân ph i F(x) c a bi n ng u nhiên X có các
tính ch t sau
Tính ch t 5.1: 1)(0 ≤≤ xF
Tính ch t này suy ra t ñ nh nghĩa c a hàm phân ph i xác su t .
Tính ch t 5.1: 1)x(Flim;0)x(Flim
xx
==
∞→−∞→
Vi c ch ng minh tính ch t này vư t ra kh i ki n th c c a giáo trình này. Tuy nhiên n u
ñ t
)(F)x(Flim;)(F)x(Flim
xx
∞=−∞=
∞→−∞→
thì ta có th hi u khi x −∞→ s ki n X < x tr thành s ki n không th có còn khi
x +∞→ s ki n X < x tr thành s ki n t t y u. T ñó suy ra k t qu c a tính ch t 2
Tính ch t 5.3: Hàm phân ph i xác su t F(x) là hàm không gi m
Th t v y: ∀ x1, x2 ∈R, x1 < x2
Xét F(x2) = P(X <x2) = P[(X <x1) ]xXx[ 21 <≤∪ ]
= P (X <x1) ]xXx[P 21 <≤+ ]= F(x1) )x(F]xXx[P 121 ≥<≤+
Tính ch t 5.4: P( )bXa <≤ = F(b) - F(a)
Thay b và x2, a vào x1 trong ch ng minh tính ch t 3 ta có
F(b) = F(a) + P( )bXa <≤ ⇒ P( )bXa <≤ = F(b) - F(a)
Tính ch t 5.5: Hàm phân ph i xác su t là hàm liên t c trái. Ta công nh n tính ch t này
Ngư i ta cũng ñã ch ng minh ñư c r ng n u m t hàm th c F(x) tho mãn các tính ch t 2,
tính ch t 3 và tính ch t 5 thì nó cũng là hàm phân ph i xác su t c a m t bi n ng u nhiên
X nào ñó.
T các tính ch t trên ta nh n th y khi bi t hàm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên X
thì ta có th tính xác su t ñ X nh n giá tr trong m t kho ng b t kì. Vì v y bi t hàm phân
ph i xác su t c a X cũng là bi t ñư c qui lu t xác su t c a X.
Ví d : Cho









π
>
π
≤<−
≤
=
2
xkhi1
2
x0khixcos1
0xkhi0
)x(F

1/ Ch ng minh r ng F(x) là hàm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên X nào ñó
2/ G i X là bi n ng u nhiên có hàm phân ph i F(x).
Tính: P(
4
X0
π
<≤ )
Ta có: 1)x(Flim;0)x(Flim
xx
==
∞→−∞→
V y hàm F(x) tho mãn tính ch t 2. D th y F(x) liên t c v i m i x ∈ R, v y F(x) tho
mãn tính ch t 5
∀ x ≤ 0, F(x) = 0 ⇒ F(x) không gi m
∀ x ∈ ]
2
,0[
π
, F(x) = 1 - cosx là hàm tăng. V i ∀ x >
2
π
, F(x) = 1 cũng không
gi m.T nh ng k t qu nêu trên ta th y F(x) không gi m trên R. Theo các yêu c u ñ m t
hàm s v i bi n s th c tr thành hàm phân ph i xác su t c a m t bi n ng u nhiên nào
ñó, hàm F(x) tho mãn các yêu câù này. V y nó là hàm phân ph i xác su t c a m t bi n
ng u nhiên.G i X là bi n ng u nhiên có hàm phân ph i xác su t F(x) nêu trên, theo tính
ch t 4 ta có:
P(
4
x0
π
<≤ ) = F (
4
π
)- F(0) = 1-
2
22
0
2
2 −
=−
6. Hàm m t ñ xác su t
ð nh nghĩa: N u hàm phân ph i F(x) c a bi n ng u nhiên X có ñ o hàm ∀ x∈R thì
)x(f)x(F =′ ñư c g i là hàm m t ñ xác su t c a bi n ng u nhiên X
Khi ñó bi n ng u nhiên X g i là bi n ng u nhiên liên t c tuy t ñ i.
T ñ nh nghĩa trên ta th y n u X là bi n ng u nhiên r i r c thì hàm phân ph i xác su t
c a X là hàm gián ño n nên F(x) không kh vi ( không có ñ o hàm) t i nh ng ñi m gián
ño n. Vì v y bi n ng u nhiên r i r c không có hàm m t ñ xác su t.
7. Các tính ch t
Tính ch t 7.1: Hàm m t ñ xác su t c a bi n ng u nhiên X là m t hàm không âm
Th t v y vì F(x) là hàm không gi m nên )x(F)x(f ′= ≥ 0
Tính ch t 7.2: Hàm phân ph i xác su t ∫∞−
=
x
dt)t(f)x(F ñó f(x) là hàm m t ñ xác su t
c a X
Th t v y do F(x) là m t nguyên hàm c a f(x) nên:
)x(F)(F)x(F)t(Fdt)t(f
x
x
=−∞−== ∞−
∞−
∫
Tính ch t trên ñư c minh ho b i hình sau:
Hình 2

Tính ch t 7.3: ∫=<≤
b
a
dx)x(f)aXa(P
Th t v y do F(x) là m t nguyên hàm c a f(x) nên
=−==∫ )()()()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a
)bXa(P <≤
Tính ch t 7.4: N u X có hàm m t ñ f(x) thì P(X = a) = 0 ∀ x ∈R
Vì P(X =a) = 0)a(F)b(F[lim)bXa(Plim
abab
=−=<≤ ++
→→
Do F(x) kh vi nên F(x) liên t c
T hai tính ch t trên ta có h qu sau: N u bi n ng u nhiên X có hàm m t ñ xác su t
f(x) thì
P[a≤ X < b] = P[a <X ≤ b]= P[a< X < b]= P[a≤ X ≤ b] = ∫
b
a
dx)x(f
Tính ch t 7.5: 1dx)x(f =∫
+∞
∞−
Vì:
1)(F)(F)x(Fdx)x(f =−∞−+∞==
∞+
∞−
+∞
∞−
∫
T tính ch t này ta th y di n tích c a hình gi i h n b i hàm m t ñ xác su t c a và tr c
Ox b ng 1.
Ngư i ta cũng ñã ch ng minh ñư c r ng n u m t hàm th c f(x) không âm và
1dx)x(f =∫
+∞
∞−
thì nó cũng là hàm m t ñ xác su t c a m t bi n ng u nhiên X nào ñó
8. Các ví d :
Ví d 1: Cho



π∈
π∉
=
][0,xnÕu
][0,xÕu
xsinA
n0
)x(f
1/ Tìm A ñ f(x) là hàm m t ñ xác su t
2/ Tìm hàm phân ph i xác su t tương ng
ð f(x) tr thành hàm m t ñ xác su t thì f(x) ≥ 0 và 1dx)x(f =∫
+∞
∞−
.
T f(x) ≥ 0 suy ra A ≥ 0.
Xét 1dx)x(f =∫
+∞
∞−
2
1
A1A21|xcosA1xdxsinA 0
0
=⇔=⇔=−⇔=⇔ π
π
∫

Có F(x) =





π>
π≤<−
≤
=∫∞−
xÕu1
x0nÕu
2
1
0xnÕu
n
xcos
2
1
0
dt)t(f
x
Ví d 2: Cho 2
x1
A
)x(f
+
=
1/ Tìm A ñ f(x) là hàm m t ñ xác su t c a bi n ng u nhiên X nào ñó
2/ Tìm hàm phân ph i xác su t tương ng
3/ Tính P[0<X<1]
ð f(x) là hàm m t ñ xác su t ⇒ A ≥ 0 và
π
=⇔=π⇔=⇔=
+
∞+
∞−
+∞
∞−
∫
1
A1A1|Aarctgx1dx
x1
A
2
F(x) = )
2
arctgx(
1
|arctgt
1
t1
dt
.
1 x
x
2
π
+
π
=
π
=
+π
∞−
∞−
∫
Xác su t: P[0 <X <1] =
4
1
1arctg
1
=
π
II. Các s ñ c trưng
Khi bi t b ng phân ph i xác su t hay hàm phân ph i xác su t ñ i v i bi n ng u nhiên
r i r c, bi t hàm phân ph i xác su t hay hàm m t ñ xác su t ñ i v i bi n ng u nhiênliên
t c là hoàn toàn xác ñ nh ñư c qui lu t xác su t c a bi n ng u nhiên. Tuy nhiên, trong
th c t ,ñ gi i quy t m t v n ñ nào ñó nhi u khi không c n ph i bi t m t trong các lo i
hàm nêu trên mà ch c n bi t m t s giá tr ñ c trưng tương ng v i bi n ng u nhiên ñang
xét. Các giá tr ñ c trưng này ñư c chia thành hai nhóm m t nhóm ñ c trưng cho v trí và
m t nhóm ñ c trưng cho m c phân tán c a bi n ng u nhiên.
1. Kì v ng
1.1.Các ñ nh nghĩa
N u bi n ng u nhiên X có b ng phân ph i xác su t
X x1 x2 ... xi .... ……….xn
P p1 p2 ... pi .................. pn
thì kì v ng toán ( ho c v ng s ) c a X là s kí hi u là M(X) hay E(X) cho b i:
E(X) = ∑=
n
1i
ii xp
N u bi n ng u nhiên X nh n vô h n ñ m ñư c các giá tr có b ng phân ph i xác su t
X x1 x2 ... xi ... xn ...
P p1 p2 ... pi ... pn ...

và n u ∑
∞
=1n
nn |x|p h i t thì kì v ng toán c a X là s M(X) ho c E(X) cho b i
E(X) = ∑
∞
=1n
nn xp
N u bi n ng u nhiên X có hàm m t ñ xác su t f(x) và n u ∫
+∞
∞−
dx)x(f|x| h i t thì kì
v ng toán c a X là s E(X) = ∫
+∞
∞−
dx)x(xf
T các ñ nh nghĩa trên ta nh n th y:
* ð nh nghĩa ch ra cách tính kì v ng toán c a bi n ng u nhiên .
*Các bi n ng u nhiên r i r c nh n m t s h u h n các giá tr luôn có kì v ng toán.
* Các bi n ng u nhiên r i r c nh n m t s vô h n ñ m ñư c ho c không ñ m ñư c các
giá tr có th không có giá tr kì v ng .
* Kì v ng c a bi n ng u nhiên X là giá tr ñ c trưng cho v trí (tr ng tâm ho c trung
tâm) c a bi n ng u nhiên .
* Kì v ng còn ñ oc g i là trung bình s h c c a bi n ng u nhiên.
1.2 Các ví d
Ví d 1: M t nhóm 10 ngư i trong ñó ba ngư i cao 1,62 m, hai ngư i cao 1,66m, hai
ngư i cao 1,70m và ba ngư i cao 1,74m. Ch n ng u nhiên m t ngư i trong nhóm ngư i
trên. G i X là chi u cao c a ngư i ñư c ch n. Tính E(X)
Ta có b ng phân ph i xác su t c a X
X 1,62 1,66 1,70 1,74
P 0,3 0,2 0,2 0,3
V y E(X) = 0,3.1,62 + 0,2.1,66 + 0,2.1,70 + 0,3.1,74 = 1,68m
Ví d 2: Sau m t năm bán hàng, m t c a hàng kinh doanh hoa tươi t i Hà n i nh n
th y s l ng hoa X bán ra trong ngày theo t l (xác su t ) sau:
X 9 10 11 12 13 14 15
P 0,05 0,10 0,15 0,25 0,20 0,15 0,10
M t l ng hoa tươi mua vào 60.000 ñ ng bán ra 100000 ñ ng, n u trong ngày bán không
h t s còn l i b v t b . S l ng hoa c n mua vào là bao nhiêu ñ l i nhu n trung bình thu
ñư c là cao nh t?
ð th c hiên bài toán trên ta l p b ng sau:
Hàng ñ u c a b ng ghi s l ng hoa Y d ñ nh mua vào trong ngày.
C t ñ u c a b ng ghi s l ng hoa X có th bán ra trong ngày.
C t cu i ghi xác su t bán ñư c s l ng hoa tương ng.
Ô giao gi a dòng i và c t j là ti n l i (trăm nghìn) thu ñư c khi mua vào j l ng bán ra i
l ng.

Y
X
9 10 11 12 13 14 15 P
9
10
11
12
13
14
15
360 300 240 180 120 60 0
360 400 340 280 220 160 100
360 400 440 380 320 260 200
360 400 440 480 420 360 300
360 400 440 480 520 460 400
360 400 440 480 520 560 500
360 400 440 480 520 560 600
0,05
0,10
0,15
0,25
0,20
0,15
0,10
Vi c quy t ñ nh mua các l ng hoa hàng ngày có th th c hi n theo các phương án sau:
Phương án 1: Mua vào 9 l ng, ti n l i trung bình là:
E1 = 360
E2 = 300. 0,05 + 400. 0,95 = 395
E3 = 240. 0,05 + 340. 0,10 + 440. 0,85 = 420
Phương án 4: Mua vào 12 l ng, l i nhu n là:
E4 = 180. 0,05 + 280. 0,1 + 380. 0,15 + 480. 0,70 = 430
Phương án 5:Mua vào 13 l ng, l i nhu n là:
E5 = 120. 0,05 + 220. 0,1 + 320. 0,15 + 420. 0,25 + 520. 0,45 = 415
Phương án 6: Mua vào 14 l ng, l i nhu n trung bình là:
E6 = 60. 0,05 + 160. 0,1 + 260. 0,15 +360. 0,25 + 460. 0,20 + 560. 0,25 = 380
Phương án 7: Mua vào 15 l ng, l i nhu n trung bình là:
E7 = 0. 0,05 + 100. 0,1 +200. 0,15 + 300. 0,25 + 400. 0,2 + 500. 0,15 + 600. 0,1 = 330
T các k t qu trên ta th y khi c a hàng mua vào 12 lãng hoa thì l i nhu n trung bình là
cao nh t.
Ví d 3: M t x th nh m b n vào m t m c tiêu cho t i khi trúng m c tiêu thì d ng.
Các l n b n ñ c l p, xác su t trúng m c tiêu c a m i l n b n là 0,8. G i X là lư ng ñ n
ph i dùng. Tính kì v ng c a X
X có b ng phân ph i xác su t sau
X 1 2 ... n ...
P 0,8 0,2.0,8 ... 0,2n-1
0,8 ...
Do X ch nh n các giá tr nguyên dương nên n u chu i ∑
∞
=
−
1n
1n
8,0.2,0.n h i t thì giá tr ñó
chính là kì v ng toán c a X
Xét ∑
∞
=
=
1
)(
n
n
xxf v i ∀ x )1,0(∈ . Do chu i h i t ñ u trong mi n ñang xét nên

∑
∞
=
−
=′
1n
1n
nx)x(f
M t khác ∑∑
∞
=
−
∞
= −
=
−
+−
=′
−
=⇒=
1n
22
1n
1n
n
)x1(
1
)x1(
xx1
)
x1
x
(nxx
x-1
x
⇒∑
∞
=
−
==⇒==
1
22
1
25,1
8,0
8,0
)(
8,0
1
)2,0('2,0.
n
n
XEfn
Ví d 4: ð i bi n ng u nhiên X có hàm m t ñ
)x1(
1
)x(f 2
+π
=
( phân ph i Cauchy ). Tính E(X)
Ta có: dx
x1
x2
dx)x(f|x| 2∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
+π
=
Do tích phân này phân kì nên X không có kì v ng.
Ví d 5: Bi n ng u nhiên X có hàm m t ñ




π∈
π∉
=
][0,xnÕu
][0,xÕu
xsin
2
1
n0
)x(f
Ta có E(X) = ∫
+∞
∞−
dx)x(xf = ∫
π
π
=
0
2
xdxsinx
2
1
1.3 Tính ch t
1/ Kì v ng c a h ng s b ng chính nó
Th t v y ta có th coi h ng s là bi n ng u nhiên ch nh n giá tr C v i xác su t b ng 1
nên E(C) = 1.C = C
2/ H ng s có th ñưa ra ngoài d u kì v ng
Xét: Y= kX, n u X là bi n ng u nhiên r i r c v i P(X = xi) = pi thì
P(Y = kxi) = pi. V y E(Y) = ∑∑ == )X(kExpk)kx(p iiii
3/ Kì v ng c a m t t ng b ng t ng các kì v ng
Ta ch ng minh trong trư ng h p X, Y là các bi n ng u nhiên r i r c.
G i: Z = X + Y v i zij = xi + yj , P(Z = zij ) = pij
Ta có:
E(Z) = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑∑ ∑ +=+=+= ijjijijijiijjiijijij pypxypxp)yx(pzp
= ∑∑ +=+ •• )Y(E)X(Eypxp jjii
∑∑ =
•
=
• ======
1i
ijjj
1j
ijii p)yY(Pp;p)xX(Pp
H qu 1: E(aX + b) = aE(X) + b

H qu 2: E( ∑∑ ==
=
n
1i
ii
n
1i
ii )X(Ea)Xa
Áp d ng nhi u l n tính ch t 2 và tính ch t 3 ta có hai h qu trên
4/ N u X ñ c l p v i Y thì E(XY) = E(X). E(Y)
ð t: Z = XY, jiij yxz = . Gi s P(X = xi) = •ip , P(Y= yj) = jp•
⇒ jiij p.p)zZ(P ••== ⇒ ∑ ∑∑ •••• == jjiiijji yp.x.pzp.p)Z(E
= ∑ ∑ =•• )Y(E).X(Eypx.p jjii
5/ N u Y = )X(ϕ v i ϕ là m t hàm s xác ñ nh nào ñó. N u X là bi n ng u nhiên
r i r c v i P(X= xi) = pi thì P[Y = ii p)]x( =ϕ .
V y E(Y) = ∑ ϕ )x(p ii
N u X có hàm m t ñ f(x) thì Y có hàm m t ñ f(x) v y
E(Y) = ∫
+∞
∞−
ϕ dx)x(f)x(
2. Phương sai
Xét bi n ng u nhiên X có kì v ng E(X)
2.1 . ð nh nghĩa: Phương sai c a bi n ng u nhiên X là s kí hi u là
D(X) ho c VarX và D(X) = E[X-E(X)]2
T ñ nh nghĩa trên ta th y:
* N u X có phương sai thì X ph i có kì v ng
* Phương sai còn ñư c g i là ñ l ch bình phương trung bình c a X ñ i v i kì v ng c a
nó.
* Phương sai càng nh thì X càng t p trung xung quanh kì v ng E(X)
V y phương sai là ñ i lư ng ñ c trưng cho m c ñ phân tán c a bi n ng u nhiênquanh
giá tr trung bình lí thuy t c a nó.
Xét: D(X) = E[X-E(X)]2
= E{X2
-2XE(X) + [E(X)]2
}
= E(X2
)-2E(X)E(X) + E[E(X)]2
= E(X2
)-[E(X)]2
ð t [E(X)]2
= E2
(X) ta có D(X) = E(X2
) - E2
(X)
2.2 Các ví d
Ví d 1: Bi n ng u nhiên X có b ng phân ph i xác su t
X 0 1 2
P 0,3 0,4 0,3
Tính D(X).
Có: D(X) = E(X2
) - E2
(X)
E(X) = 0.0,3 +1.0,4 + 2.0,3 = 1
E(X2
) = 0.0,3 + 12
.0,4 +22
.0,3 = 1,6. V y D(X) = 1,6 - 12
= 0,6

Ví d 2: M t x th nh m b n vào m t m c tiêu cho t i khi trúng ñích thì d ng. Các
l n b n là ñ c l p, xác su t trúng ñích m i l n b n là 0,8. G i X là lư ng ñ n c n
dùng.Tính D(X)
Nh n th y X là bi n ng u nhiên nh n các giá tr t nhiên dương v i P(X = k) = 0,2k-1
.0,8
E(X) = ∑∑
∞
=
−
∞
=
−
=
1
1
1
1
2,0.8,08,0.2,0.
k
k
k
k
kk
Xét chu i: ∑∑
∞
=
−
∞
=
=′⇒∈=
1k
1k
1k
k
kx)x(fx (x)f(0,1)xvíi
M t khác f(x) = 22
)x1(
1
)x1(
xx1
)x(f
x1
x
−
=
−
+−
=′⇒
− 2
1
1
8,0
1
)2,0('2,0. ==⇒∑
∞
=
−
fk
k
k
25,1
8,0
1
)( ==⇒ XE
E(X2
) = ∑ ∑
∞
=
∞
=
−−
=
1k 1k
1k21k2
2,0.k8,08,0.2,0.k
∑ ∑
∞
=
∞
=
−−
+−=
1k 1k
1k1k
2,0.k8,02,0).1k(k8,0
∑
∞
=
−
+−=
1
2
8,0
1
2,0).1(2,0.8,0
k
k
kk
T ∑∑∑
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−=⇒=′∈=
1
2
1
1
1
)1()('')(
k
k
k
k
k
k
xkkxfkxxfx (x)f;(0,1)xvíi
⇒ ∑
∞
=
−
−=′′
1k
2k
x)1k(k)x(f
∑ −
−==⇒
−
=⇒
−
=′ 2
332
2,0).1(
8,0
2
)2,0(''
)1(
2
)(''
)1(
1
)( k
kkf
x
xf
x
xf
⇒ E(X2
) = 223
8,0
2,1
8,0
1
8,0
4,0
8,0
1
8,0
2
2,0.8,0 =+=+
⇒ D(X) = 222
22
8,0
2,0
8,0
1
8,0
2,1
)()( =−=− XEXE ≈0,3125
Ví d 3: Cho bi n ng u nhiên X có hàm m t ñ xác su t




π∈
π∉
=
][0,xnÕu
][0,xÕu
xsin
2
1
n0
)x(f Tính D(X).
Ta có: E(X) = ∫
+∞
∞−
dx)x(xf = ∫
π
π
=
0
2
xdxsinx
2
1

E(X2
) = ∫
+∞
∞−
dx)x(fx2
= ∫
π
−
π
=
0
2
2
1
2
xdxsinx
2
1
V y: D(X) = 1
44
1
2
222
−
π
=
π
−−
π
2.3 Các tính ch t c a phương sai
1/ Phương sai c a h ng s b ng 0
Th t v y: D(C) = E(C2
) - E2
(C) =C2
- C2
= 0
2/ H ng s ñưa ra ngoài d u phương sai ph i bình phương lên
Vì: D(kX) = E(k2
X2
) - [E(kX)2
] = k2
E(X2
) - k2
E2
(X)
= k2
[E(X2
) - E2
(X)] = k2
D(X)
3/ N u X ñ c l p v i Y thì D(X+Y) = D(X) + D(Y)
Ta có: D(X + Y) = E[(X+Y)2
] - [E(X +Y)]2
= E( X2
+2XY + Y2
) - [E(X) + E(Y)]2
= E(X2
) + 2E(XY) + E(Y2
) - E2
(X) - 2E(X)E(Y) - E2
(Y)
= E(X2
) + E(Y2
) - E2
(X) - E2
(Y) = D(X) +D(Y)
H qu 1: D(aX +b) = a2
D(X)
H qu 2: N u X1, X2,....,Xn ñ c l p thì D( ∑∑ = )X(Dk)Xk i
2
iii
Hai h qu trên suy tr c ti p t ba tính ch t v a nêu. Minh ho cho s h u ích c a h qu
2 ta xét ví d sau.
Ví d : Gieo ñ ng th i 10 con xúc x c cân ñ i và ñ ng ch t
G i X là t ng s ch m các m t trên. Tính D(X)
G i Xi là s ch m m t trên c a con xúc x c th i
⇒ X = ∑=
10
1i
iX Do các Xi là ñ c l p v i nhau nên D(X) = ∑=
10
1i
i )X(D
P(Xi =1) = P(Xi =2) =...= P(Xi =6) =
6
1
⇒ E(Xi) =
6
1
( 1 + 2 + ... + 6) =3,5
E( 2
iX ) =
6
1
(1 + 4 + ... +36) =
12
35
36
105
36
441546
)
6
21
(
6
91
)(;
6
91 2
==
−
=−=iXD
V y: D(X) =
12
350
36
1050
=
6
175
=
3. ð l ch chu n
Vi c dùng phương sai ñ ño m c ñ phân tán c a bi n ng u nhiên quanh giá tr kì v ng
c a nó s tr nên không thích h p ñ i v i bi n ng u nhiên có th nguyên (có ñơn v ño ñi
kèm) b i n u X có th nguyên b c nh t thì phương sai D(X) l i có th nguyên b c hai.

ð kh c ph c như c ñi m này ngư i ta ñưa ra m t giá tr cũng ñ c trưng cho m c ñ
phân tán c a X nhưng có cùng th nguyên v i X ñó là ñ l ch chu n
3.1 .ð nh nghĩa: ð l ch chu n c a bi n ng u nhiên X là s
)X(D)X( =σ
* ð l ch chu n cùng th nguyên v i X n u X là bi n có th nguyên
* Bi n ng u nhiên X có ñ l ch chu n khi và ch khi X có phương sai
3.2. Tính ch t
1/ 0)X( ≥σ
2/ )X(|k|)kX( σ=σ
3/ N u X ñ c l p v i Y thì :
)Y()X()Y(D)X(D)YX( σ+σ≤+=±σ
Vi c ch ng minh các tính ch t trên khá d dàng nên dành cho ngư i ñ c
4. M t s giá tr ñ c trưng khác
Ngoài các giá tr ñ c trưng là kì v ng, phương sai ho c ñ l ch chu n ngư i ta còn ñưa ra
m t s giá tr ñ c trưng khác
4.1 Mômen: Mômen c p k c a bi n ng u nhiên X ñ i v i a là s
µk(a) = E(X - a)k
* N u a = 0 thì µk(0) g i là mô men g c c p k c a X
* N u a = E(X) thì µk(a) g i là mô men trung tâm c p k c a X và kí hi u là µk
Ta có µ(0) = E(X), µ2 = D(X), µ1 = 0 v i m i bi n ng u nhiên
M t khác khi X có phân ph i ñ i x ng qua kì v ng E(X) thì µk = 0 v i k là s t nhiên l .
Vì v y ta có th s d ng µ3 ñ xét xem phân ph i xác su t c a X có ñ i x ng hay không.
Tuy nhiên, n u X là ñ i lư ng có th nguyên thì µ3 có th nguyên b c ba so v i X, vì v y
ngư i ta dùng H3 = 3
3
σ
µ
làm s ño cho tính ch t ñ i x ng hay không ñ i x ng c a X và H3
g i là h s b t ñ i x ng c a X. Ngư i ta dùng h s 3H 4
4
4 −
σ
µ
= làm h s nh n c a
phân ph i xác su t c a X, σ2
là phương sai c a X.
4.2 Mode: N u X là bi n ng u nhiên r i r c thì mode c a ñ i lư ng
ng u nhiên X là s kí hi u là ModX tho mãn P(X = modX) ≥ P(X = xi) ∀ xi
N u X là bi n ng u nhiên liên t c thì ModX là ñi m mà t i ñó hàm m t ñ f(x) ñ t giá tr
c c ñ i.
Ví d 1: Cho X có b ng phân ph i xác su t
X 1 2 3 4 5
P 0,3 0,2 0,1 0,3 0,1
ModX = 1 ho c ModX = 4. X có 2 Mod

Giao trinh xac suat thong ke hn1

Giao trinh xac suat thong ke hn1

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (17)

Similar to Giao trinh xac suat thong ke hn1

Similar to Giao trinh xac suat thong ke hn1 (20)

Giao trinh xac suat thong ke hn1