HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

1. 1
HOÁN V – CH NH H P – T H P
A. TÓM T T GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN
Gv: Phan Công Tr - Trư ng THPT Thanh Bình 2 – ð ng Tháp
1. Hoán v
ð nh nghĩa
Cho t p h p X g m n ph n t phân bi t ( )0n ≥ . M i cách s p x p n ph n t c a X theo m t th t nào
ñó ñư c g i là m t hoán v c a n ph n t . S các hoán v c a n ph n t ñư c ký hi u là Pn.
! 1.2...nP n n= = . Quy ư c: 0! = 1.
Ví d 1. S p x p 5 ngư i vào m t băng gh có 5 ch . H i có bao nhiêu cách.
Gi i
M i cách ñ i ch 1 trong 5 ngư i trên băng gh là 1 hoán v .
V y có P5 = 5! = 120 cách s p.
Ví d 2. T các ch s 0, 1, 2, 3, 4 có th l p ñư c m y s t nhiên có 5 ch s khác nhau.
Gi i
G i 1 2 3 4 5A a a a a a= v i 1 0a ≠ và 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a phân bi t là s c n l p.
+ Bư c 1: ch s 1 0a ≠ nên có 4 cách ch n a1.
+ Bư c 2: s p 4 ch s còn l i vào 4 v trí có 4! = 24 cách.
V y có 4.24 = 96 s .
2. Ch nh h p
ð nh nghĩa
Cho t p h p X g m n ph n t phân bi t ( )0n ≥ . M i cách ch n ra k ( )0 k n≤ ≤ ph n t c a X và s p
x p theo m t th t nào ñó ñư c g i là m t ch nh h p ch p k c a n ph n t . S các ch nh h p ch p k
c a n ph n t ñư c ký hi u là k
nA .
!
( )!
k
n
n
A
n k
=
−
.
Nh n xét:
!n
n nA n P= = .
Ví d 3. S p x p 5 ngư i vào m t băng gh có 7 ch . H i có bao nhiêu cách.
Gi i
M i cách ch n ra 5 ch ng i t băng gh ñ s p 5 ngư i vào và có hoán v là m t ch nh h p ch p 5 c a
7.
V y có 5
7
7!
2520
(7 5)!
A = =
−
cách s p.
Ví d 4. T t p h p { }0; 1; 2; 3; 4; 5X = có th l p ñư c m y s t nhiên có 4 ch s khác nhau.
Gi i
G i 1 2 3 4A a a a a= v i 1 0a ≠ và 1 2 3 4, , ,a a a a phân bi t là s c n l p.
+ Bư c 1: ch s 1 0a ≠ nên có 5 cách ch n a1.
+ Bư c 2: ch n 3 trong 5 ch s còn l i ñ s p vào 3 v trí 3
5A cách.
V y có 3
55 300A = s .
3. T h p
ð nh nghĩa

2. 2
Cho t p h p X g m n ph n t phân bi t ( )0n ≥ . M i cách ch n ra k ( )0 k n≤ ≤ ph n t c a X ñư c
g i là m t t h p ch p k c a n ph n t . S các t h p ch p k c a n ph n t ñư c ký hi u là k
nC .
!
!( )!
k
n
n
C
k n k
=
−
.
Ví d 5. Có 10 cu n sách toán khác nhau. Ch n ra 4 cu n, h i có bao nhiêu cách.
Gi i
M i cách ch n ra 4 trong 10 cu n sách là m t t h p ch p 4 c a 10.
V y có 4
10 210C = cách ch n.
Ví d 6. M t nhóm có 5 nam và 3 n . Ch n ra 3 ngư i sao cho trong ñó có ít nh t 1 n . H i có bao
nhiêu cách.
Gi i
+ Trư ng h p 1: ch n 1 n và 2 nam.
- Bư c 1: ch n ra 1 trong 3 n có 3 cách.
- Bư c 2: ch n ra 2 trong 5 nam có 2
5C .
Suy ra có 2
53C cách ch n.
+ Trư ng h p 2: ch n 2 n và 1 nam.
- Bư c 1: ch n ra 2 trong 3 n có 2
3C cách.
- Bư c 2: ch n ra 1 trong 5 nam có 5.
Suy ra có 2
35C cách ch n.
+ Trư ng h p 3: ch n 3 n có 1 cách.
V y có 2 2
5 33 5 1 46C C+ + = cách ch n.
Ví d 7. H i có th l p ñư c bao nhiêu s t nhiên có 4 ch s sao cho trong m i s ñó, ch s hàng
ngàn l n hơn hàng trăm, ch s hàng trăm l n hơn hàng ch c và ch s hàng ch c l n hơn hàng ñơn v .
Gi i
G i 1 2 3 4A a a a a= v i 1 2 3 49 0a a a a≥ > > > ≥ là s c n l p.
{ }0; 1; 2; ...; 8; 9X = .
T 10 ph n t c a X ta ch n ra 4 ph n t b t kỳ thì ch l p ñư c 1 s A. Nghĩa là không có hoán v hay
là m t t h p ch p 4 c a 10.
V y có 4
10 210C = s .
Nh n xét:
i) ði u ki n ñ x y ra hoán v , ch nh h p và t h p là n ph n t ph i phân bi t.
ii) Ch nh h p và t h p khác nhau ch là sau khi ch n ra k trong n ph n t thì ch nh h p có s p th t
còn t h p thì không.
4. Phương pháp gi i toán
4.1. Phương pháp 1
Bư c 1. ð c k các yêu c u và s li u c a ñ bài. Phân bài toán ra các trư ng h p, trong m i trư ng
h p l i phân thành các giai ño n.
Bư c 2. Tùy t ng giai ño n c th và gi thi t bài toán ñ s d ng quy t c c ng, nhân, hoán v , ch nh
h p hay t h p.
Bư c 3. ðáp án là t ng k t qu c a các trư ng h p trên.
Ví d 8. M t nhóm công nhân g m 15 nam và 5 n . Ngư i ta mu n ch n t nhóm ra 5 ngư i ñ l p

3. 3
thành m t t công tác sao cho ph i có 1 t trư ng nam, 1 t phó nam và có ít nh t 1 n . H i có bao
nhiêu cách l p t công tác.
Gi i
+ Trư ng h p 1: ch n 1 n và 4 nam.
- Bư c 1: ch n 1 trong 5 n có 5 cách.
- Bư c 2: ch n 2 trong 15 nam làm t trư ng và t phó có 2
15A cách.
- Bư c 3: ch n 2 trong 13 nam còn l i có 2
13C cách.
Suy ra có 2 2
15 135 .A C cách ch n cho trư ng h p 1.
+ Trư ng h p 2: ch n 2 n và 3 nam.
- Bư c 1: ch n 2 trong 5 n có 2
5C cách.
- Bư c 2: ch n 2 trong 15 nam làm t trư ng và t phó có 2
15A cách.
- Bư c 3: ch n 1 trong 13 nam còn l i có 13 cách.
Suy ra có 2 2
15 513 .A C cách ch n cho trư ng h p 2.
+ Trư ng h p 3: ch n 3 n và 2 nam.
- Bư c 1: ch n 3 trong 5 n có 3
5C cách.
- Bư c 2: ch n 2 trong 15 nam làm t trư ng và t phó có 2
15A cách.
Suy ra có 2 3
15 5.A C cách ch n cho trư ng h p 3.
V y có 2 2 2 2 2 3
15 13 15 5 15 55 . 13 . . 111300A C A C A C+ + = cách.
Cách khác:
+ Bư c 1: ch n 2 trong 15 nam làm t trư ng và t phó có 2
15A cách.
+ Bư c 2: ch n 3 t viên, trong ñó có n .
- Trư ng h p 1: ch n 1 n và 2 nam có 2
135.C cách.
- Trư ng h p 2: ch n 2 n và 1 nam có 2
513.C cách.
- Trư ng h p 3: ch n 3 n có 3
5C cách.
V y có ( )2 2 2 3
15 13 5 55. 13. 111300A C C C+ + = cách.
4.2. Phương pháp 2.
ð i v i nhi u bài toán, phương pháp 1 r t dài. Do ñó ta s d ng phương pháp lo i tr (ph n bù) theo
phép toán A A X A X A= ⇒ =∪ .
Bư c 1. Chia yêu c u c a ñ thành 2 ph n là yêu c u chung X (t ng quát) g i là lo i 1 và yêu c u riêng
A. Xét A là ph ñ nh c a A, nghĩa là không th a yêu c u riêng g i là lo i 2.
Bư c 2. Tính s cách ch n lo i 1 và lo i 2.
Bư c 3. ðáp án là s cách ch n lo i 1 tr s cách ch n lo i 2.
Chú ý:
Cách phân lo i 1 và lo i 2 có tính tương ñ i, ph thu c vào ch quan c a ngư i gi i.
Ví d 9. T các ch s 0, 1, 2, 3, 4 có th l p ñư c m y s t nhiên có 5 ch s khác nhau.
Gi i
+ Lo i 1: ch s a1 tùy ý, ta có 5! = 120 s .
+ Lo i 2: ch s a1 = 0, ta có 4! = 24 s .
V y có 120 – 24 = 96 s .
Ví d 10. M t nhóm có 7 nam và 6 n . Ch n ra 3 ngư i sao cho trong ñó có ít nh t 1 n . H i có bao
nhiêu cách.
Gi i

4. 4
+ Lo i 1: ch n 3 ngư i tùy ý trong 13 ngư i có 3
13C cách.
+ Lo i 2: ch n 3 nam (không có n ) trong 7 nam có 3
7C cách.
V y có 3 3
13 7 251C C− = cách ch n.
Ví d 11. T 20 câu h i tr c nghi m g m 9 câu d , 7 câu trung bình và 4 câu khó ngư i ta ch n ra 10
câu ñ làm ñ ki m tra sao cho ph i có ñ c 3 lo i d , trung bình và khó. H i có th l p ñư c bao nhiêu
ñ ki m tra.
Gi i
+ Lo i 1: ch n 10 câu tùy ý trong 20 câu có 10
20C cách.
+ Lo i 2: ch n 10 câu có không quá 2 trong 3 lo i d , trung bình và khó.
- Trư ng h p 1: ch n 10 câu d và trung bình trong 16 câu có 10
16C cách.
- Trư ng h p 2: ch n 10 câu d và khó trong 13 câu có 10
13C cách.
- Trư ng h p 3: ch n 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có 10
11C cách.
V y có ( )10 10 10 10
20 16 13 11 176451C C C C− + + = ñ ki m tra.
Chú ý:
Gi i b ng phương pháp ph n bù có ưu ñi m là ng n tuy nhiên như c ñi m là thư ng sai sót khi tính s
lư ng t ng lo i.
Ví d 12. T 20 câu h i tr c nghi m g m 9 câu d , 7 câu trung bình và 4 câu khó ngư i ta ch n ra 7
câu ñ làm ñ ki m tra sao cho ph i có ñ c 3 lo i d , trung bình và khó. H i có th l p ñư c bao nhiêu
ñ ki m tra.
Cách gi i sai:
+ Lo i 1: ch n 7 câu tùy ý trong 20 câu có 7
20C cách.
+ Lo i 2: ch n 7 câu không th a yêu c u.
- Trư ng h p 1: ch n 7 câu d trong 9 câu có 7
9C cách.
- Trư ng h p 2: ch n 7 câu trung bình có 1 cách.
- Trư ng h p 3: ch n 7 câu d và trung bình trong 16 câu có 7
16C cách.
- Trư ng h p 4: ch n 7 câu d và khó trong 13 câu có 7
13C cách.
- Trư ng h p 5: ch n 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có 7
11C cách.
V y có ( )7 7 7 7 7
20 9 16 13 111 63997C C C C C− + + + + = ñ ki m tra!
Sai sót trong cách tính s ñ lo i 2. Ch ng h n, khi tính s ñ trong trư ng h p 3 ta ñã tính l p l i
trư ng h p 1 và trư ng h p 2.
Cách gi i sai khác:
+ Lo i 1: ch n 7 câu tùy ý trong 20 câu có 7
20C cách.
+ Lo i 2: ch n 7 câu không th a yêu c u.
- Trư ng h p 1: ch n 7 câu d ho c trung bình trong 16 câu có 7
16C cách.
- Trư ng h p 2: ch n 7 câu d ho c khó trong 13 câu có 7
13C cách.
- Trư ng h p 3: ch n 7 câu trung bình ho c khó trong 11 câu có 7
11C cách.
V y có ( )7 7 7 7
20 16 13 11 64034C C C C− + + = ñ ki m tra.
Sai sót do ta ñã tính l p l i s cách ch n ñ ch có 7 câu d và ñ ch có 7 câu trung bình trong trư ng
h p 1 và trư ng h p 2.
Cách gi i ñúng:
+ Lo i 1: ch n 7 câu tùy ý trong 20 câu có 7
20C cách.

5. 5
+ Lo i 2: ch n 7 câu không th a yêu c u.
- Trư ng h p 1: ch n 7 câu d ho c trung bình trong 16 câu có 7
16C cách.
- Trư ng h p 2: ch n 7 câu d và khó trong 13 câu có 7 7
13 9C C− cách.
- Trư ng h p 3: ch n 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có 7
11 1C − cách.
V y có ( )7 7 7 7 7
20 16 13 9 11 1 64071C C C C C− + − + − = ñ ki m tra.
Ví d 13. H i ñ ng qu n tr c a m t công ty g m 12 ngư i, trong ñó có 5 n . T h i ñ ng qu n tr ñó
ngư i ta b u ra 1 ch t ch h i ñ ng qu n tr , 1 phó ch t ch h i ñ ng qu n tr và 2 y viên. H i có m y
cách b u sao cho trong 4 ngư i ñư c b u ph i có n .
Gi i
+ Lo i 1: b u 4 ngư i tùy ý (không phân bi t nam, n ).
- Bư c 1: b u ch t ch và phó ch t ch có 2
12A cách.
- Bư c 2: b u 2 y viên có 2
10C cách.
Suy ra có 2 2
12 10.A C cách b u lo i 1.
+ Lo i 2: b u 4 ngư i toàn nam.
- Bư c 1: b u ch t ch và phó ch t ch có 2
7A cách.
- Bư c 2: b u 2 y viên có 2
5C cách.
Suy ra có 2 2
7 5.A C cách b u lo i 2.
V y có 2 2 2 2
12 10 7 5. . 5520A C A C− = cách.
5. Hoán v l p (tham kh o)
Cho t p h p X có n ph n t g m n1 ph n t gi ng nhau, n2 ph n t khác l i gi ng nhau, …, nk ph n t
khác n a l i gi ng nhau ( )1 2 ... kn n n n+ + + = . M i cách s p n ph n t này vào n v trí là m t hoán v
l p, s hoán v l p là
1 2
!
! !... !k
n
n n n
.
Ví d 14. T các ch s 1, 2, 3 l p ñư c bao nhiêu s t nhiên có ñúng 5 ch s 1, 2 ch s 2 và 3 ch
s 3.
Gi i
Xem s c n l p có 10 ch s g m 5 ch s 1 gi ng nhau, 2 ch s 2 gi ng nhau và 3 ch s 3 gi ng
nhau.
V y có
10!
2520
5!2!3!
= s .
Cách gi i thư ng dùng:
+ Bư c 1: ch n 5 trong 10 v trí ñ s p 5 ch s 1 có 5
10C cách.
+ Bư c 2: ch n 2 trong 5 v trí còn l i ñ s p 2 ch s 2 có 2
5C cách.
+ Bư c 3: s p 3 ch s 3 vào 3 v trí còn l i có 1 cách.
V y có 5 2
10 5. .1 2520C C = s .
B. BÀI T P
Bài 1. C n x p 3 nam và 2 n vào 1 hàng gh có 7 ch ng i sao cho 3 nam ng i k nhau và 2 n ng i
k nhau. H i có bao nhiêu cách.
Bài 2. Xét ña giác ñ u có n c nh, bi t s ñư ng chéo g p ñôi s c nh. Tính s c nh c a ña giác ñ u ñó.

6. 6
Bài 3. Tính s các s t nhiên ñôi m t khác nhau có 6 ch s t o thành t các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao
cho 2 ch s 3 và 4 ñ ng c nh nhau.
Bài 4. Tính s các s t nhiên có 4 ch s ñôi m t khác nhau ñư c thành l p t 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho
trong m i s ñó ñ u có m t ít nh t ch s 1 ho c 2.
Bài 5. Hai nhóm ngư i c n mua n n nhà, nhóm th nh t có 2 ngư i và h mu n mua 2 n n k nhau,
nhóm th hai có 3 ngư i và h mu n mua 3 n n k nhau. H tìm ñư c m t lô ñ t chia thành 7 n n ñang
rao bán (các n n như nhau và chưa có ngư i mua). Tính s cách ch n n n c a m i ngư i th a yêu c u
trên.
Bài 6. T 4 ch s 0, 1, 2, 3 l p thành các s t nhiên có 3 ch s phân bi t. Tính t ng các s ñư c
thành l p.
Bài 7. Tính s hình ch nh t ñư c t o thành t 4 trong 20 ñ nh c a ña giác ñ u có 20 c nh n i ti p
ñư ng tròn tâm O.
Bài 8. Cho ña giác ñ u có 2n c nh n i ti p ñư ng tròn tâm O. Bi t s tam giác có các ñ nh là 3 trong 2n
ñ nh c a ña giác nhi u g p 20 l n s hình ch nh t có các ñ nh là 4 trong 2n ñ nh c a ña giác. Tính s
hình ch nh t.
Bài 9. ð i tuy n h c sinh gi i c a m t trư ng g m 18 em, trong ñó có 7 em kh i 12, 6 em kh i 11 và 5
em kh i 10. Tính s cách ch n 6 em trong ñ i ñi d tr i hè sao cho m i kh i có ít nh t 1 em ñư c ch n.
Bài 10. Cho t p h p X g m 10 ph n t khác nhau. Tính s t p h p con khác r ng ch a m t s ch n các
ph n t c a X.
Bài 11. M t h p ñ ng 15 viên bi khác nhau g m 4 bi ñ , 5 bi tr ng và 6 bi vàng. Tính s cách ch n 4
viên bi t h p ñó sao cho không có ñ 3 màu.
Bài 12. Gi i vô ñ ch bóng ñá Qu c gia có 14 ñ i tham gia thi ñ u vòng tròn 1 lư t, bi t r ng trong 1
tr n ñ u: ñ i th ng ñư c 3 ñi m, hòa 1 ñi m, thua 0 ñi m và có 23 tr n hòa. Tính s ñi m trung bình
c a 1 tr n trong toàn gi i.
Bài 13. Tính s các s t nhiên g m 7 ch s ñư c ch n t 1, 2, 3, 4, 5 sao cho ch s 2 có m t ñúng 2
l n, ch s 3 có m t ñúng 3 l n và các ch s còn l i có m t không quá 1 l n.
Bài 14. Tính s các s t nhiên g m 5 ch s phân bi t và m t trong 3 ch s ñ u tiên là 1 ñư c thành
l p t các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Bài 15. T m t nhóm 30 h c sinh g m 15 h c sinh kh i A, 10 h c sinh kh i B và 5 h c sinh kh i C
ch n ra 15 h c sinh sao cho có ít nh t 5 h c sinh kh i A và có ñúng 2 h c sinh kh i C. Tính s cách
ch n.
Bài 16. T m t nhóm 12 h c sinh g m 4 h c sinh kh i A, 4 h c sinh kh i B và 4 h c sinh kh i C ch n
ra 5 h c sinh sao cho m i kh i có ít nh t 1 h c sinh. Tính s cách ch n.
Bài 17. Tính s t p h p con c a X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} ch a 1 mà không ch a 0.
Bài 18. ð i thanh niên xung kích c a m t trư ng ph thông có 12 h c sinh g m 5 h c sinh l p A, 4 h c
sinh l p B và 3 h c sinh l p C. Tính s cách ch n 4 h c sinh ñi làm nhi m v sao cho 4 h c sinh này

7. 7
thu c không quá 2 trong 3 l p trên.
Bài 19. T các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 l p thành s t nhiên ch n có 5 ch s phân bi t nh hơn 25000.
Tính s các s l p ñư c.
Bài 20. T p h p A g m n ph n t (n ≥ 4). Bi t r ng s t p h p con ch a 4 ph n t c a A b ng 20 l n
s t p h p con ch a 2 ph n t c a A, tìm s { }1; 2; ...;k n∈ sao cho s t p h p con ch a k ph n t c a
A là l n nh t.
C. HƯ NG D N GI I
Bài 1. Xét 3 lo i gh g m 1 gh có 3 ch , 1 gh có 2 ch và 2 gh có 1 ch ng i.
+ Bư c 1: do 2 gh có 1 ch không phân bi t nên ch n 2 trong 4 v trí ñ s p gh 2 và 3 ch ng i có
2
4 12A = cách.
+ Bư c 2: s p 3 nam vào gh 3 ch có 3! = 6 cách.
+ Bư c 3: s p 2 n vào gh 2 ch có 2! = 2 cách.
V y có 12.6.2 = 144 cách s p.
Bài 2. Ch n 2 trong n ñ nh c a ña giác ta l p ñư c 1 c nh ho c ñư ng chéo.
S c nh và ñư ng chéo là 2
nC . Suy ra s ñư ng chéo là 2
nC n− .
Ta có: 2 !
2 2
2!( 2)!
n
n
C n n n n
n
− = ⇔ − =
−
( 1) 6 7n n n n⇔ − = ⇔ = .
V y có 7 c nh.
Bài 3. Xét s có 5 ch s g m 0, 1, 2, 5 và ch s “kép” là (3, 4).
+ Lo i 1: ch s hàng trăm ngàn có th là 0.
- Bư c 1: s p 5 ch s vào 5 v trí có 5! = 120 cách.
- Bư c 2: v i m i cách s p ch s kép có 2 hoán v ch s 3 và 4.
Suy ra có 120.2 = 240 s .
+ Lo i 2: ch s hàng trăm ngàn là 0.
- Bư c 1: s p 4 ch s vào 4 v trí còn l i có 4! = 24 cách.
- Bư c 2: v i m i cách s p ch s kép có 2 hoán v ch s 3 và 4.
Suy ra có 24.2 = 48 s .
V y có 240 – 48 = 192 s .
Bài 4.
+ Lo i 1: ch s a1 có th là 0.
S p 4 trong 6 ch s vào 4 v trí có 4
6 360A = cách. S p 4 ch s 0, 3, 4, 5 vào 4 v trí có 4! = 24 cách.
Suy ra có 360 – 24 = 336 s .
+ Lo i 2: ch s a1 là 0 (v trí a1 ñã có ch s 0).
S p 3 trong 5 ch s vào 3 v trí có 3
5 60A = cách. S p 3 ch s 3, 4, 5 vào 3 v trí có 3! = 6 cách. Suy ra
có 60 – 6 = 54 s .
V y có 336 – 54 = 282 s .
Cách khác:
+ Lo i 1: S t nhiên có 4 ch s tùy ý.
- Bư c 1: Ch n 1 trong 5 ch s khác 0 s p vào a1 có 5 cách.
- Bư c 2: Ch n 3 trong 5 ch s khác a1 s p vào 3 v trí còn l i có 3
5 60A = cách.
Suy ra có 5.60 = 300 s .
+ Lo i 2: S t nhiên có 4 ch s g m 0, 3, 4, 5 (không có 1 và 2).

8. 8
- Bư c 1: Ch n 1 trong 3 ch s khác 0 s p vào a1 có 3 cách.
- Bư c 2: S p 3 ch s còn l i vào 3 v trí 3! = 6 cách.
Suy ra có 3.6 = 18 s .
V y có 300 – 18 = 282 s .
Bài 5. Xem lô ñ t có 4 v trí g m 2 v trí 1 n n, 1 v trí 2 n n và 1 v trí 3 n n.
+ Bư c 1: nhóm th nh t ch n 1 v trí cho 2 n n có 4 cách và m i cách có 2! = 2 cách ch n n n cho m i
ngư i. Suy ra có 4.2 = 8 cách ch n n n.
+ Bư c 2: nhóm th hai ch n 1 trong 3 v trí còn l i cho 3 n n có 3 cách và m i cách có 3! = 6 cách
ch n n n cho m i ngư i. Suy ra có 3.6 = 18 cách ch n n n.
V y có 8.18 = 144 cách ch n n n cho m i ngư i.
Bài 6.
+ Xét s A có 3 ch s phân bi t và ch s hàng trăm có th là 0.
T 3
4 24A = s A ta l p ñư c 12 c p s có t ng là 333. Ví d 012 + 321 = 333.
Suy ra t ng các s A là 12.333 = 3996.
+ Xét s B có 3 ch s phân bi t và ch s hàng trăm là 0.
T 2
3 6A = s B ta l p ñư c 3 c p s có t ng là 44. Ví d 032 + 012 = 44.
Suy ra t ng các s B là 3.44 = 132.
V y t ng các s th a yêu c u là 3996 – 132 = 3864.
Cách khác:
+ Xét s A có 3 ch s phân bi t và ch s hàng trăm có th là 0.
- S các s A là 3
4 24A = s . S l n các ch s có m t hàng trăm, hàng ch c và ñơn v là như nhau và
b ng 24 : 4 = 6 l n.
- T ng các ch s hàng trăm (hàng ch c, ñơn v ) c a 24 s là:
6.(0 + 1 + 2 + 3) = 36.
Suy ra t ng các s A là 36.(100 + 10 + 1) = 3996.
+ Xét s B có 3 ch s phân bi t và ch s hàng trăm là 0.
- S các s B là 2
3 6A = s . S l n các ch s 1, 2, 3 có m t hàng ch c và ñơn v là như nhau và b ng
6 : 3 = 2 l n.
- T ng các ch s hàng ch c (ñơn v ) c a 6 s là 2.(1 + 2 + 3) = 12.
Suy ra t ng các s B là 12.(10 + 1) = 132.
V y t ng các s th a yêu c u là 3996 – 132 = 3864.
Bài 7. Nh n th y các hình ch nh t ñư c t o thành có 2 ñư ng chéo là ñư ng kính c a ñư ng tròn. V
ñư ng th ng d qua tâm O và không qua ñ nh c a ña giác ñ u thì d chia ña giác thành 2 ph n, m i ph n
có 10 ñ nh. Suy ra s ñư ng chéo c a ña giác ñi qua tâm O là 10. Ch n 2 trong 10 ñư ng chéo thì l p
ñư c 1 hình ch nh t.
V y có 2
10 45C = hình ch nh t.
Bài 8. + Lý lu n tương t câu 65 ta có 2
nC hình ch nh t.
+ S tam giác t o thành t 3 trong 2n ñ nh c a ña giác là 3
2nC .
+ T gi thi t ta có:
( ) ( )
3 2
2
(2 )! !
20 20
3! 2 3 ! 2! 2 !
n n
n n
C C
n n
= ⇔ =
− −
2 (2 1)(2 2) ( 1)
20 8
6 2
n n n n n
n
− − −
⇔ = ⇔ = .
V y có 2
8 28C = hình ch nh t.
Bài 9.
Cách gi i sai:
+ Ch n tùy ý 6 em trong ñ i có 6
18 18564C = cách.
+ Ch n 6 em trong ñ i thu c kh i 12 ho c kh i 11 có 6
13 1716C = cách.

9. 9
+ Ch n 6 em trong ñ i thu c kh i 12 ho c kh i 10 có 6
12 924C = cách.
+ Ch n 6 em trong ñ i thu c kh i 11 ho c kh i 10 có 6
11 462C = cách.
V y có 18564 – 1716 – 924 – 462 = 15462 cách ch n!
Sai ch l p 12 và l p 11 ta ñã tính l p l i.
Cách gi i ñúng:
+ Ch n tùy ý 6 em trong ñ i có 6
18 18564C = cách.
+ Ch n 6 em trong ñ i thu c kh i 12 ho c kh i 11 có 6
13 1716C = cách.
+ Ch n 6 em trong ñ i thu c kh i 12 và kh i 10 có 6 6
12 7 917C C− = cách.
+ Ch n 6 em trong ñ i thu c kh i 11 và kh i 10 có 6 6
11 6 461C C− = cách.
V y có 18564 – 1716 – 917 – 461 = 15454 cách ch n.
Bài 10.
+ S t p h p con ch a 2 ph n t c a X là 2
10 45C = .
+ S t p h p con ch a 4 ph n t c a X là 4
10 210C = .
+ S t p h p con ch a 6 ph n t c a X là 6
10 210C = .
+ S t p h p con ch a 8 ph n t c a X là 8
10 45C = .
+ S t p h p con ch a 10 ph n t c a X là 1.
V y có 45 + 210 + 210 + 45 + 1 = 511 t p h p.
Bài 11.
+ Trư ng h p 1: ch n 4 bi ñ ho c tr ng có 4
9 126C = cách.
+ Trư ng h p 2: ch n 4 bi ñ và vàng ho c 4 bi vàng có 4 4
10 4 209C C− = cách.
+ Trư ng h p 3: ch n 4 bi tr ng và vàng có ( )4 4 4
11 5 6 310C C C− + = cách.
V y có 126 + 209 + 310 = 645 cách.
Cách khác:
+ Lo i 1: ch n tùy ý 4 trong 15 viên bi có 4
15 1365C = cách.
+ Lo i 2: ch n ñ c 3 màu có 720 cách g m các trư ng h p sau:
- Ch n 2 bi ñ , 1 bi tr ng và 1 bi vàng có 180 cách.
- Ch n 1 bi ñ , 2 bi tr ng và 1 bi vàng có 240 cách.
- Ch n 1 bi ñ , 1 bi tr ng và 2 bi vàng có 300 cách.
V y có 1365 – 720 = 645 cách.
Bài 12. + Do thi ñ u vòng tròn 1 lư t nên 2 ñ i b t kỳ ch ñ u v i nhau ñúng 1 tr n. S tr n ñ u c a
gi i là 2
14 91C = .
+ T ng s ñi m c a 2 ñ i trong 1 tr n hòa là 2 nên t ng s ñi m c a 23 tr n hòa là 2.23 = 46.
+ T ng s ñi m c a 2 ñ i trong 1 tr n không hòa là 3 nên t ng s ñi m c a 68 tr n không hòa là 3.68 =
204.
V y s ñi m trung bình c a 1 tr n là
46 204 250
91 91
+
= ñi m.
Bài 13. Xem s có 7 ch s như 7 v trí th ng hàng.
+ Bư c 1: ch n 2 trong 7 v trí ñ s p 2 ch s 2 (không hoán v ) có 2
7 21C = cách.
+ Bư c 2: ch n 3 trong 5 v trí còn l i ñ s p 3 ch s 3 (không hoán v ) có 3
5 10C = cách.
+ Bư c 3: ch n 2 trong 3 ch s 1, 4, 5 ñ s p vào 2 v trí còn l i (có hoán v ) có 2
3 6A = cách.
V y có 21.10.6 = 1260 s .
Bài 14.
+ Lo i 1: ch s a1 có th là 0.
- Bư c 1: ch n 1 trong 3 v trí ñ u ñ s p ch s 1 có 3 cách.

10. 10
- Bư c 2: ch n 4 trong 7 ch s (tr ch s 1) ñ s p vào các v trí còn l i có 4
7 840A = cách. Suy ra có
3.840 = 2520 s .
+ Lo i 2: ch s a1 là 0.
- Bư c 1: ch n 1 trong 2 v trí th 2 và 3 ñ s p ch s 1 có 2 cách.
- Bư c 2: ch n 3 trong 6 ch s (tr 0 và 1) ñ s p vào các v trí còn l i có 3
6 120A = cách. Suy ra có
2.120 = 240 s .
V y có 2520 – 240 = 2280 s .
Bài 15.
+ Lo i 1: Ch n 2 h c sinh kh i C, 13 h c sinh kh i B ho c kh i A có 2 13
5 25C C cách.
+ Lo i 2: Ch n 2 h c sinh kh i C, 13 h c sinh kh i B và kh i A không th a yêu c u.
- Trư ng h p 1: Ch n 2 h c sinh kh i C, 10 h c sinh kh i B và 3 h c sinh kh i A có 2 10 3
5 10 15C C C cách.
- Trư ng h p 2: Ch n 2 h c sinh kh i C, 9 h c sinh kh i B và 4 h c sinh kh i A có 2 9 4
5 10 15C C C cách.
V y có ( )2 13 10 3 9 4
5 25 10 15 10 15 51861950C C C C C C− − = cách.
Bài 16.
+ Trư ng h p 1: 1 kh i có 3 h c sinh và 2 kh i còn l i m i kh i có 1 h c sinh.
- Bư c 1: ch n 1 kh i có 3 h c sinh có 3 cách.
- Bư c 2: trong kh i ñã ch n ta ch n 3 h c sinh có 3
4 4C = cách.
- Bư c 3: 2 kh i còn l i m i kh i có 4 cách ch n.
Suy ra có 3.4.4.4 = 192 cách.
+ Trư ng h p 2: 2 kh i có 2 h c sinh và kh i còn l i có 1 h c sinh.
- Bư c 1: ch n 2 kh i có 2 h c sinh có 2
3 3C = cách.
- Bư c 2: trong 2 kh i ñã ch n ta ch n 2 h c sinh có 2
4 6C = cách.
- Bư c 3: kh i còn l i có 4 cách ch n.
Suy ra có 3.6.6.4 = 432 cách.
V y có 192 + 432 = 624 cách.
Cách khác:
+ Ch n 5 h c sinh tùy ý có 5
12 792C = cách.
+ Ch n 5 h c sinh kh i A và B (tương t kh i A và C, B và C) có 5
8 56C = cách.
V y có 792 – 3.56 = 624 cách.
Bài 17.
+ S t p h p con không ch a ph n t nào c a { } 0; 1X là 0
5C .
+ S t p h p con ch a 1 ph n t c a { } 0; 1X là 1
5C .
+ S t p h p con ch a 2 ph n t c a { } 0; 1X là 2
5C .
+ S t p h p con ch a 3 ph n t c a { } 0; 1X là 3
5C .
+ S t p h p con ch a 4 ph n t c a { } 0; 1X là 4
5C .
+ S t p h p con ch a 5 ph n t c a { } 0; 1X là 5
5C .
Suy ra s t p h p con c a { } 0; 1X là 0 1 2 3 4 5
5 5 5 5 5 5 32C C C C C C+ + + + + = . Ta h p các t p h p con này
v i {1} thì ñư c 32 t p h p th a bài toán.
Bài 18.
Cách gi i sai:
+ Trư ng h p 1: ch n 4 h c sinh l p A ho c l p B có 4
9C cách.
+ Trư ng h p 2: ch n 4 h c sinh l p A ho c l p C có 4
8C cách.
+ Trư ng h p 3: ch n 4 h c sinh l p B ho c l p C có 4
7C cách.

11. 11
V y có 4 4 4
9 8 7 231C C C+ + = cách!
Sai do ta ñã tính l p l i trư ng h p ch ch n 4 h c sinh l p A và trư ng h p ch ch n 4 h c sinh l p B.
Cách gi i sai khác:
+ Lo i 1: ch n tùy ý 4 trong 12 h c sinh có 4
12 495C = cách.
+ Lo i 2: ch n 4 h c sinh có m t c 3 l p.
- Bư c 1: ch n 1 h c sinh l p A, 1 h c sinh l p B và 1 h c sinh l p C có:
5.4.3 = 60 cách.
- Bư c 2: ch n 1 h c sinh trong 9 h c sinh còn l i c a 3 l p có 9 cách.
Suy ra có 9.60 = 540 cách ch n lo i 2 (l n hơn s cách ch n lo i 1!).
Sai là do khi th c hi n bư c 1 và bư c 2, vô tình ta ñã t o ra th t trong cách ch n. Có nghĩa là t t
h p chuy n sang ch nh h p!
Cách gi i ñúng:
+ Lo i 1: ch n tùy ý 4 trong 12 h c sinh có 4
12 495C = cách.
+ Lo i 2: ch n 4 h c sinh có m t c 3 l p, ta có 3 trư ng h p sau:
- Ch n 2 h c sinh l p A, 1 h c sinh l p B và 1 h c sinh l p C có 2
5 .4.3 120C = cách.
- Ch n 1 h c sinh l p A, 2 h c sinh l p B và 1 h c sinh l p C có 2
45. .3 90C = cách.
- Ch n 1 h c sinh l p A, 1 h c sinh l p B và 2 h c sinh l p C có 2
35.4. 60C = cách.
V y có 495 – (120 + 90 + 60) = 225 cách.
Bài 19. G i s c n l p là 1 2 3 4 5A a a a a a= v i 11 2a≤ ≤ .
+ Trư ng h p 1: a1 = 1.
Có 4 cách ch n a5 và 3
5A cách ch n các ch s còn l i nên có 3
54. 240A = s .
+ Trư ng h p 2: a1 = 2, a2 l .
Có 2 cách ch n a2, 3 cách ch n a5 và 2
4A cách ch n các ch s còn l i nên có 2
42.3. 72A = s .
+ Trư ng h p 3: a1 = 2, a2 ch n.
Có 2 cách ch n a2, 2 cách ch n a5 và 2
4A cách ch n các ch s còn l i nên có 2
42.2. 48A = s .
V y có 240 + 72 + 48 = 360 s .
Bài 20. S t p h p con ch a k ph n t c a A là k
nC . Ta có:
( ) ( )
4 2 ! !
20 20
4! 4 ! 2! 2 !
n n
n n
C C
n n
= ⇔ =
− −
( 2)( 3) 240 18n n n⇔ − − = ⇔ =
( ) ( )
( ) ( )
1
18 18
1
18 18
18! 18!
! 18 ! ( 1)! 19 !
18! 18!
! 18 ! ( 1)! 17 !
k k
k k
k k k kC C
C C
k k k k
−
+

≥ − − − ≥ 
⇒ ⇔ 
≥  ≥
 − + −
19 17 19
1 18 2 2
k k
k
k k
− ≥
⇔ ⇔ ≤ ≤
+ ≥ −
.
V y k = 9.