Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Viewers also liked
Viewers also liked (12)
Similar to Slide bai giang_xac_suat_thong_ke
Similar to Slide bai giang_xac_suat_thong_ke (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
Slide bai giang_xac_suat_thong_ke
- 1. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK XÁC SUÂT VÀ THÔNG KÊ (ði hc và Cao ñang) Trang 1 Tài lieu tham kh o: 1. Giáo trình Xác suât – Thông kê và ng dng – Nguyen Phú Vinh – NXB Thông kê. 2. Ngân hàng câu hi Xác suât – Thông kê và ng dng – ðHCN TP.HCM. 3. Lý thuyêt Xác suât và Thông kê – ðinh Văn Gang – NXB Giáo dc. 4. Lý thuyêt Xác suât và Thông kê toán – Nguyen Thanh Sơn, Lê Khánh Luan – NXBTKê. 5. Xác suât – Thông kê – Lý thuyêt và các bài tap – ðau Thê Câp – NXB Giáo dc. 6. Lý thuyêt Xác suât và Thông kê – ðinh Văn Gang – NXB Giáo dc. 7. Xác suât – Thông kê và ng dng – Lê Sĩ ðông – NXB Giáo dc. 8. Xác suât và Thông kê – ðang Hân – NXB Giáo dc. 9. Giáo trình Xác suât và Thông kê – Phm Xuân Kiêu – NXB Giáo dc. 10. Giáo trình Lý thuyêt Xác suât Thông kê Toán–Nguyen Cao Văn–NXB Ktê Quôc dân. PHÂN I. LÝ THUYÊT XÁC SUÂT BO TÚC ð I SÔ TO HP 1. Tính chât các phép toán ∩, ∪ a) Tính giao hoán: A ∩ B = B ∩ A , A ∪ B = B ∪ A . b) Tính kêt hp: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) , (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) . c) Tính phân phôi: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) , A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) . d) Tính ñôi ngau (De–Morgan): A ∩ B = A ∪ B, A ∪ B = A ∩ B. 2. Quy tac nhân Gi s
- 2. mot công viec nào ñó ñưc chia thành k giai ñon. Có n1 cách thc hien giai ñon th 1, có n2 cách thc hien giai ñon th 2,..., có nk cách thc hien giai ñon th k. Khi ñó ta có n = n1.n2…nk cách thc hien toàn bo công viec. 3. Quy tac cong Gi s
- 3. mot công viec có the thc hien ñưc k cách (trưng hp) loi tr lan nhau: cách th nhât cho m1 kêt qu, cách th hai cho m2 kêt qu, …, cách th k cho mk kêt qu. Khi ñó viec thc hien công viec trên cho m = m1 + m2 + … + mk kêt qu. 4. Mau lap, mau không lap - Mau không lap: các phân t
- 4. ca mau ch có mat mot lân (các phân t
- 5. khác nhau tng ñôi mot). - Mau có lap: các phân t
- 6. ca mau có the lap li nhiêu lân trong mau. - Mau không th t: khi thay ñoi v trí các phân t
- 7. khác nhau ca mau ta không nhan ñưc mau mi. - Mau có th t: khi thay ñoi v trí các phân t
- 8. khác nhau ca mau ta nhan ñưc mau mi. 5. Các công thc thưng dùng 5.1. Hoán v ðnh nghĩa: Hoán v ca n phân t
- 9. là mot nhóm có th t gôm ñ mat n phân t
- 10. ñã cho. Sô hoán v ca n phân t
- 11. ñưc ký hieu là n P , n P = n! . 5.2. Chnh hp lap (có th t) ðnh nghĩa: Chnh hp lap k ca n phân t
- 12. (k ≤ n) là mot nhóm (bo) có th t gôm phân k t
- 13. không nhât thiêt khác nhau chn t n phân t
- 14. ñã cho. Sô các chnh hp lap k ca n phân t
- 15. là nk. 5.3. Chnh hp (mau không lap, có th t) ðnh nghĩa: Chnh hp chap k ca n phân t
- 16. (k ≤ n) là mot nhóm (bo) có th t gôm phân k t
- 17. khác nhau chn t n phân t
- 18. ñã cho. Sô chnh hp chap k ca n phân t
- 19. ký hieu là k n A . k n n! A n(n 1)...(n k 1) (n k)! = − − + = − . 5.4. To hp (mau không lap, không có th t) ðnh nghĩa: To hp chap k ca n phân t
- 20. (k ≤ n) là mot nhóm (bo) không phân biet th t gôm k phân t
- 21. khác nhau chn t n phân t
- 22. ñã cho. Sô to hp chap k ca n phân t
- 23. ký hieu là k n C và ( ) k n n! C k! n k ! = − . Quy ưc: 0! = 1. Tính chât: k n k n n C = C − ; k k 1 k n n 1 n 1 C C − C = − + − . ---------------------------------------------- www.vietmaths.com www.vietmaths.com
- 24. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Chương 1. CÁC KHÁI NIEM CƠ B N C!A XÁC SUÂT Trang 2 §1. BIÊN CÔ NGAU NHIÊN 1.1. Phép th# và biên cô • Phép th
- 25. là viec thc hien 1 thí nghiem hay quan sát mot hien tưng nào ñó ñe xem có xy ra hay không. Hien tưng có xy ra hay không trong phép th
- 26. ñưc gi là biên cô ngau nhiên. Biên cô ngau nhiên thưng ñưc ký hieu A, B, C… VD 1. + Tung ñông tiên lên là mot phép th
- 27. , biên cô là “mat sâp xuât hien” hay “mat ng
- 28. a xuât hien”. + Chn ngau nhiên mot sô sn pham t mot lô hàng ñe kiem tra là phép th
- 29. , biên cô là “chn ñưc sn pham tôt” hay “chn ñưc phê pham”. + Gieo mot sô ht lúa là phép th
- 30. , biên cô là “ht lúa ny mâm” hay “ht lúa không ny mâm”. 1.2. Các loi biên cô a) Không gian mau và biên cô sơ câp • Trong mot phép th
- 31. , tap hp tât c các kêt qu có the xy ra ñưc gi là không gian mau ký hieu là . • Moi phân t
- 32. ω ∈ không the phân nh thành hai biên cô ñưc gi là biên cô sơ câp. VD 2. Xét phép th
- 33. gieo 3 ht lúa. Gi Ai là biên cô “có i ht ny mâm” (i = 0, 1, 2, 3). Khi ñó các Ai là các biên cô sơ câp và = {A0, A1, A2, A3}. Gi B là “có ít nhât 1 ht ny mâm” thì B không là biên cô sơ câp. b) Biên cô chac chan và biên cô không the • Trong mot phép th
- 34. , biên cô nhât ñnh xy ra là chac chan, ký hieu là . • Biên cô không the là biên cô không the xy ra khi thc hien phép th
- 35. , ký hieu ∅. VD 3. T mot nhóm có 6 nam và 4 n$ chn ra 5 ngưi. Khi ñó, biên cô “chn ñưc 5 ngưi n$” là không the, biên cô “chn ñưc ít nhât 1 nam” là chac chan. c) Sô trưng hp ñông kh năng • Hai hay nhiêu biên cô trong mot phép th
- 36. có kh năng xy ra như nhau ñưc gi là ñông kh năng. • Trong mot phép th
- 37. mà mi biên cô sơ câp ñêu ñông kh năng thì sô phân t
- 38. ca không gian mau ñưc gi là sô trưng hp ñông kh năng ca phép th
- 39. . VD 4. Gi ngau nhiên mot hc sinh trong lp ñe kiem tra thì moi hc sinh trong lp ñêu có kh năng b gi như nhau. d) Các phép toán • Tong ca A và B là C, ký hieu C = A ∪ B hay C = A + B, xy ra khi ít nhât 1 trong hai biên cô A, B xy ra. VD 5. Ban hai viên ñn vào 1 tâm bia. Gi A1: “viên th nhât trúng bia”, A2: “viên th hai trúng bia” và C: “bia b trúng ñn” thì 1 2 C = A ∪ A . • Tích ca A và B là C, ký hieu C = AB = A ∩ B , xy ra khi và ch khi c A và B cùng xy ra. VD 6. Mot ngưi chn mua áo. Gi A: “chn ñưc áo màu xanh”, B: “chn ñưc áo sơ–mi” và C: “chn ñưc áo sơ–mi màu xanh” thì C = AB. VD 7. Chn ngau nhiên 10 linh kien trong 1 lô ra kiem tra. Gi Ai: “chn ñưc linh kien th i tôt” và C: “chn ñưc 10 linh kien tôt” thì 10 = ∩ ∩ ∩ = ∩ . C A A ... A A 1 2 10 i = i 1 • Phân bù ca A, ký hieu: A = A = {ω ∈ ω ∉ A} . VD 8. Ban lân lưt 2 viên ñn vào 1 tâm bia. Gi Ai: “có i viên ñn trúng bia” (i = 0, 1, 2), B: “có không quá 1 viên ñn trúng bia”. Khi ñó 2 B = A , 0 2 A ≠ A và 1 2 A ≠ A . 1.3. Quan he gi)a các biên cô a) Biên cô xung khac • Hai biên cô và B ñưc gi là xung khac nêu chúng không ñông thi xy ra trong mot phép th
- 40. . • H các biên cô A1, A2,…, An ñưc gi là xung khac (hay ñôi mot xung khac) khi mot biên cô bât kỳ trong h xy ra thì các biên cô còn li không xy ra. Nghĩa là i j A ∩ A = ∅, ∀i ≠ j . VD 9. Mot hop có 3 viên phân màu ñ, xanh và trang. Chn ngau nhiên 1 viên. Gi A: “chn ñưc viên màu ñ”, B: “chn ñưc viên màu trang” và C: “chn ñưc viên màu xanh” thì A, B, C là xung khac. b) Biên cô ñôi lap • Hai biên cô A và B ñưc gi là ñôi lap nhau nêu chúng tha mãn 2 ñiêu sau: 1) A và B xung khac vi nhau. 2) Phi có ít nhât mot trong 2 biên cô xy ra. VD 10. Trông 1 cây bch ñàn. Gi A: “cây bch ñàn sông”, B: “cây bch ñàn chêt” thì A và B là ñôi lap. • H các biên cô {Ai} (i = 1,…, n) ñưc gi là he ñây ñ các biên cô nêu tha mãn 2 ñiêu sau: 1) H xung khac, nghĩa là i j A ∩ A = ∅, ∀ i ≠ j . 2) Phi có ít nhât 1 biên cô trong h xy ra, nghĩa là 1 2 n A ∪ A ∪ ... ∪ A = . VD 11. H {A, B, C} trong VD 9 là ñây ñ. Chú ý. H {A, A} là ñây ñ vi biên cô A tùy ý. www.vietmaths.com www.vietmaths.com
- 41. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 3 §2. XÁC SUÂT C!A BIÊN CÔ 2.1. ðnh nghĩa xác suât dng co ñien • Trong mot phép th
- 42. có tât c n biên cô sơ câp ñông kh năng, trong ñó có m kh năng thuan li cho biên cô A xuât hien thì xác suât ca A là: = m = Soá bieán coá thuaän lôïi cho A P(A) n Soá taát caû caùc bieán coá coù theå . VD 1. Mot hop cha 10 sn pham trong ñó có 3 phê pham. Tính xác suât: a) Chn ngau nhiên 1 sn pham t hop ñưc phê pham. b) Chn ngau nhiên 1 lân t hop ra 2 sn pham ñưc 2 phê pham. VD 2. Mot hop có 10 sn pham trong ñó có 4 phê pham. Lây ngau nhiên t hop ñó ra 3 sn pham (lây 1 lân), tính xác suât ñe: a) C 3 sn pham ñêu tôt; b) Có ñúng 2 phê pham. VD 3. Mot lp có 60 hc sinh trong ñó có 28 em gii toán, 30 em gii lý, 32 em gii ngoi ng$, 15 em va gii toán va gii lý, 10 em va gii lý va gii ngoi ng$, 12 em va gii toán va gii ngoi ng$, 2 em gii c 3 môn. Chn ngau nhiên mot hc sinh ca lp. Tính xác suât: a) Chn ñưc em gii ít nhât 1 môn. b) Chn ñưc em ch gii toán. c) Chn ñưc em gii ñúng 2 môn. Ưu ñiem và hn chê ca ñnh nghĩa dng co ñien • Ưu ñiem: Tính ñưc chính xác giá tr ca xác suât mà không cân thc hien phép th
- 43. . • Hn chê: Trong thc tê có nhiêu phép th
- 44. vô hn các biên cô và biên cô không ñông kh năng. 2.3. ðnh nghĩa theo hình hc Cho miên . Gi ño ño ca là ño dài, dien tích, the tích (ng vi là ñưng cong, miên phang, khôi). Gi A là biên cô ñiem M ∈ S ⊂ . Ta có P(A) = ñoä ño S ñoä ño . VD 6. Tìm xác suât ca ñiem M rơi vào hình tròn noi tiêp tam giác ñêu cnh 2 cm. VD 7. Hai ngưi bn h*n gap nhau ti 1 ña ñiem theo quy ưc như sau: – Moi ngưi ñoc lap ñi ñên ñiem h*n trong khong t 7 ñên 8 gi. – Moi ngưi ñên ñiem h*n nêu không gap ngưi kia thì ñi 30 phút hoac ñên 8 gi thì không ñi n$a. Tìm xác suât ñe hai ngưi gap nhau. 2.4. Tính chât c+a xác suât 1) 0 ≤ P(A) ≤ 1 , vi mi biên cô A; 2) P(∅) = 0 ; 3) P() = 1. 2.5. Ý nghĩa c+a xác suât • Xác suât là sô ño mc ño tin chac, thưng xuyên xy ra ca 1 biên cô trong phép th
- 45. . Chú ý. Xác suât ph thuoc vào ñiêu kien ca phép th
- 46. . §3. CÔNG TH,C TÍNH XÁC SUÂT 3.1. Công thc cong xác suât a) Biên cô xung khac • A và B xung khac thì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) . • H {Ai} (i = 1, 2,…, n) thì: ( ) 1 2 n 1 2 n P A ∪ A ∪ ... ∪ A =P(A )+P(A )+...+P(A ) . b) Biên cô tùy ý • A và B là hai biên cô tùy ý thì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(AB) . • H {Ai} (i = 1, 2,…, n) các biên cô tùy ý thì: n n ∪ = − + − P A P(A ) P(A A ) i i i j = = i 1 i 1 i j − n 1 i j k 1 2 n i j k P(A A A )+...+( 1) P(A A ...A ) Σ Σ Σ . c) Biên cô ñôi lap P(A) = 1 − P(A) . VD 1. Mot hop phân có 10 viên trong ñó có 3 viên màu ñ. Lây ngau nhiên t hop ra 3 viên phân. Tính xác suât ñe lây ñưc ít nhât 1 viên phân màu ñ. VD 2. Có 33 hc sinh tham d kỳ thi chn hc sinh gii gôm 2 vòng thi. Biêt rang có 17 hc sinh thi ño vòng 1; 14 hc sinh thi ño vòng 2 và 11 hc sinh trưt c hai vòng thi. Chn ngau nhiên mot hc sinh trong danh sách d thi. Tìm xác suât ñe hc sinh ñó ch thi ño duy nhât 1 trong 2 vòng thi. 3.2. Công thc nhân xác suât a) Xác suât có ñiêu kien • Trong mot phép th
- 47. , xét 2 biên cô bât kỳ A, B vi P(B) 0 . Xác suât có ñiêu kien ca A vi ñiêu kien B ñã xy ra ñưc ký hieu và ñnh nghĩa: ( ) P(AB) P A B = . P(B) • Xác suât có ñiêu kien cho phép chúng ta s
- 48. dng thông tin vê s xy ra ca 1 biên cô ñe d báo xác suât xy ra biên cô khác. • Tính chât: 1) 0 ≤ P(A B) ≤ 1 ; 2) P(B B) = 1 ; 3) P(A B) = 1 − P(A B); 4) nêu A1 và A2 xung khac thì: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 P A ∪ A B = P A B + P A B . VD 3. Mot hop có 10 vé, trong ñó có 3 vé trúng thư,ng. Ngưi th nhât ñã bôc 1 vé không trúng thư,ng. Tính xác suât ñe ngưi th 2 bôc ñưc vé trúng thư,ng (moi ngưi ch bôc 1 vé). b) Công thc nhân • A và B là 2 biên cô ñoc lap nêu B có xy ra hay không cũng không nh hư,ng ñên kh năng xy ra A và ngưc li, nghĩa là P(A B) = P(A) và P(B A) = P(B) . Khi ñó ta có P(AB) = P(A).P(B) . • Vi A, B không ñoc lap (ph thuoc) thì: P(AB) = P(B)P(A B) = P(A)P(B A) . www.vietmaths.com www.vietmaths.com
- 49. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 4 VD 4. Mot lô hàng có 100 sn pham trong ñó có 10 phê pham. Kiem tra liên tiêp không hoàn li 5 sn pham, nêu có ít nhât 1 phê pham thì không nhan lô hàng ñó. Tính xác suât ñe nhan lô hàng. VD 5. Mot lô hàng gôm 12 sn pham trong ñó có 8 sn pham tôt và 4 phê pham. Rút ngau nhiên 1 sn pham t lô hàng và không ñe ý ti sn pham ñó, sau ñó rút tiêp sn pham th 2. Tính xác suât ñe sn pham th hai là tôt. VD 6. Mot câu th bóng ro có 4 qu bóng ñang ném tng qu vào ro. Nêu bóng vào ro hoac hêt bóng thì câu th ngng ném. Biêt xác suât vào ro ca qu bóng th 1, 2, 3 và 4 lân lưt là 90%, 80%, 85% và 70%. Tính xác suât câu th ném ñưc bóng vào ro. 3.3. Công thc xác suât ñây ñ+ và Bayes. a) Công thc xác suât ñây ñ+ • Cho h các biên cô {Ai} (i = 1, 2,…, n) ñây ñ và B là biên cô bât kỳ trong phép th
- 50. , ta có: Σ . ( ) ( ) ( ) n = = + + P(B) P(A ) B A i i i 1 P(A )P B A ... P(A )P B A 1 1 n n = VD 7. Mot ñám ñông có sô ñàn ông bang n
- 51. a sô ñàn bà. Xác suât ñe ñàn ông b bnh tim là 0,06 và ñàn bà là 0,0036. Chn ngau nhiên 1 ngưi t ñám ñông, tính xác suât ñe ngưi này b bnh tim. b) Công thc Bayes • Cho h các biên cô {Ak} (k = 1, 2,…, n) ñây ñ và B là biên cô bât kỳ trong phép th
- 52. . Xác suât ñe xuât hien Ak sau khi ñã xuât hien B là: ( ) P(A )P ( B A ) k k ( ) = Σ k n i i i 1 P A B P(A )P B A = . VD 8. T. sô ôtô ti và ôtô con ñi qua ñưng có trm bơm dâu là 5/2. Xác suât ñe 1 ôtô ti ñi qua ñưng này vào bơm dâu là 10%; ôtô con là 20%. Có 1 ôtô qua ñưng ñe bơm dâu, tính xác suât ñe ñó là ôtô ti. VD 9. Có 3 bao lúa cùng loi. Bao 1 nang 20kg cha 1% ht lép, bao 2 nang 30kg cha 1,2% ht lép và bao 3 nang 50kg cha 1,5% ht lép. Tron c 3 bao li rôi bôc ngau nhiên 1 ht thì ñưc ht lép. Tính xác suât ñe ht lép này là ca bao th ba. VD 10. Ba kien hàng ñêu có 20 sn pham vi sô sn pham tôt tương ng là 12, 15, 18. Lây ngau nhiên 1 kien hàng (gi s
- 53. 3 kien hàng có cùng kh năng) rôi t kien ñó lây tùy ý ra 1 sn pham. a) Tính xác suât ñe sn pham chn ra là tôt. b) Gi s
- 54. sn pham chn ra là tôt, tính xác suât ñe sn pham ñó thuoc kien hàng th hai. Chương II. BIÊN (ð I LƯNG) NGAU NHIÊN §1. BIÊN NGAU NHIÊN VÀ LUAT PHÂN PHÔI XÁC SUÂT 1.1. Khái niem và phân loi biên ngau nhiên a) Khái niem • Mot biên sô ñưc gi là ngau nhiên nêu trong kêt qu ca phép th
- 55. nó se nhan mot và ch mot trong các giá tr có the có ca nó tùy thuoc vào s tác ñong ca các nhân tô ngau nhiên. • Các biên ngau nhiên ñưc ký hieu: X, Y, Z, …còn các giá tr ca chúng là x, y, z,… VD 1. Khi tiên hành gieo n ht ñau ta chưa the biêt có bao nhiêu ht se ny mâm, sô ht ny mâm có the là 0, 1, …, n. Kêt thúc phép th
- 56. gieo ht thì ta biêt chac chan có bao nhiêu ht ny mâm. Gi X là sô ht ny mâm thì là X biên ngau nhiên và X = {0, 1, 2, …, n}. b) Phân loi biên ngau nhiên • Biên ngau nhiên (bnn) ñưc gi là ri rc nêu các giá tr có the có ca nó lap nên 1 tap hp h$u hn hoac ñêm ñưc. • Biên ngau nhiên ñưc gi là liên tc nêu các giá tr có the có ca nó lâp ñây 1 khong trên trc sô. VD 2. + Biên X trong VD 1 là bnn ri rc (tap h$u hn). + Gi Y là sô ngưi ñi qua 1 ngã tư trên ñưng phô thì Y là bnn ri rc (tap ñêm ñưc). VD 3. + Ban 1 viên ñn vào bia, gi X là “khong cách t ñiem chm ca viên ñn ñên tâm ca bia” thì X là biên ngau nhiên liên tc. + Gi Y là “sai sô khi ño 1 ñi lưng vat lý” thì Y là biên ngau nhiên liên tc. 1.2. Luat phân phôi xác suât c+a biên ngau nhiên • Luat phân phôi xác suât ca biên ngau nhiên là mot cách bieu dien quan he gia các giá tr ca biên ngau nhiên vi các xác suât tương ng mà nó nhan các giá tr ñó. 1.2.1. Phân phôi xác suât c+a biên ngau nhiên a) Trưng hp ri rc • Cho biên ngau nhiên ri rc X có X = {x1, x2,..., xn} vi xác suât tương ng là i i p = P(X = x ) . Ta có phân phôi xác suât (dng b ng) X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn Trong ñó: i p ≥ 0 ; n Σ = ; i i i 1 p 1 = Σ = (vô hn); i 1 p 1 ∞ = = Σ . P(a X b) p i i a x b VD 4. Mot lô hàng có 12 sn pham tôt và 8 phê pham. Lây ngau nhiên t lô hàng ra 8 sn pham. Gi X là sô phê pham trong 8 sn pham lây ra. Tìm phân phôi xác suât ca X và chng minh: 0 8 1 7 7 1 8 0 8 8 12 8 12 8 12 8 12 20 C C + C C + ... + C C + C C = C . www.vietmaths.com www.vietmaths.com
- 57. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 5 VD 5. Xác suât ñe 1 ngưi thi ñt moi khi thi lây bang lái xe là 0,3. Ngưi ñó thi cho ñên khi ñt mi thôi. Gi X là sô lân ngưi ñó d thi. Tìm phân phôi xác suât ca X và tính xác suât ñe ngưi ñó phi thi không ít hơn 2 lân. b) Trưng hp liên t1c • Cho biên ngau nhiên liên tc X. Hàm f(x), x ∈ ℝ ñưc gi là hàm mat ño xác suât ca X nêu tha: +∞ ∫ = ; 1) f(x) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ; 2) f(x)dx 1 −∞ 3) b P(a X b) = ∫ f(x)dx (a b). a Chú ý 1) Nhiêu khi ngưi ta dùng ký hieu fX(x) ñe ch hàm mat ño xác suât ca X. 2) Do a P(X = a) = ∫ f(x)dx = 0 nên ta không quan a tâm ñên xác suât ñe X nhan giá tr c the. Suy ra ≤ = ≤ = ≤ ≤ P(a X b) P(a X b) P(a X b) b = = ∫ P(a X b) f(x)dx a . 3) Vê mat hình hc, xác suât biên ngau nhiên (bnn) X nhan giá tr trong (a; b) bang dien tích hình thang cong gii hn b,i x = a, x = b, y = f(x) và trc Ox. +∞ ∫ = 4) Nêu f(x) tha f(x) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ và f(x)dx 1 −∞ thì f(x) là hàm mat ño xác suât ca 1 bnn nào ñó. VD 6. Chng t Î = Ï 4x3, x (0; 1) f (x) 0, x (0; 1) là hàm mat ño xác suât ca biên ngau nhiên X. VD 7. Cho bnn X có hàm mat ño xác suât: = 0, x 1 f (x) k ³ 2 , x 1 x . Tìm k và tính P(−1 X ≤ 2) . 1.2.2. Hàm phân phôi xác suât • Hàm phân phôi xác suât ca biên ngau nhiên X, ký hieu F(x) hoac FX(x), là xác suât ñe X nhan giá tr nh hơn x (vi x là sô thc bât kỳ). F(x) = P(X x), ∀x ∈ ℝ . – Hàm phân phôi xác suât cho biêt t le phân trăm giá tr ca X nam bên trái ca sô x. – Vi biên ngau nhiên ri rc X = {x1, x2, …, xn}: = Σ = = Σ . F(x) P(X x ) p i i x x x x i i – Vi biên ngau nhiên liên tc X: x = ∫ . F(x) f(t)dt −∞ • Gi s
- 58. 1 2 n x x ... x , ta có hàm phân phôi xác suât ca X: ≤ ≤ neáu neáu neáu 0 x x 1 p x x x p p x x x 1 1 2 + ≤ 1 2 2 3 1 2 n 1 n 1 F(x) ........................................................... p p ... p − x − x x = + + + ≤ neáu n n 1 x x neáu • Tính chât: 1) 0 ≤ F(x) ≤ 1, ∀x ∈ ℝ ; 2) F(x) không gim. 3) F(−∞) = 0; F(+∞) = 1 ; 4) P(a ≤ X b) = F(b)− F(a) . • Liên he v2i phân phôi xác suât 1) X ri rc: pi = F(xi+1) – F(xi); 2) X liên tc: F(x) liên tc ti x và F′(x) = f(x) . VD 8. Mot phân xư,ng có 2 máy hot ñong ñoc lap. Xác suât trong 1 ngày làm viec các máy ñó hng tương ng là 0,1 và 0,2. Gi X là sô máy hng trong 1 ngày làm viec. Lap hàm phân phôi xác suât ca X và ve ñô th ca F(x). VD 9. Tuoi th X(gi) ca 1 thiêt b có hàm mat ño xác suât = 0, x 100 f (x) 100 ³ 2 , x 100 x . a) Tìm hàm phân phôi xác suât ca X. b) Thiêt b ñưc gi là loi A nêu tuoi th ca nó kéo dài ít nhât là 400 gi. Tính t le (xác suât) loi A. VD 10. Biên ngau nhiên X có hàm mat ño xác suât: π π a cos x, x ∈ − ; = 2 2 π π ∉ − f(x) 0, x ; 2 2 . Tìm a và hàm phân phôi xác suât F(x). VD 11. Thi gian ch phc v ca khách hàng là bnn £ = Î 0, x 0 X(phút) liên tc có hàm ppxs 4 F(x) ax , x (0; 3] 1, x 3 . a) Tìm a và hàm mat ño xác suât f(x) ca X. b) Tính P( 2 Y £ 5) vi Y = X2 +1 . c) Ve ñô th ca F(x). www.vietmaths.com www.vietmaths.com
- 59. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 6 1.3. Phân phôi xác suât c+a hàm c+a biên ngau nhiên • Trong thc tê, ñôi khi ta xét bnn ph thuoc vào 1 hay nhiêu bnn khác ñã biêt luat phân phôi. Bài toán. Cho hàm ϕ(x) và bnn ri rc X có phân phôi xác suât cho trưc. Tìm phân phôi xác suât ca ϕ(x) . a) Trưng hp 1 biên VD 12. Lap bng phân phôi xác suât ca Y = ϕ(X) = X2 + 2 , biêt: X –1 0 1 2 P 0,1 0,3 0,4 0,2 b) Trưng hp nhiêu biên VD 13. Cho bng: Y X –1 0 1 1 0,1 0,15 0,05 2 0,3 0,2 0,2 Lap bng phân phôi xác suât ca: a) Y = 2X2 + X −1 . b) Z = ϕ(X,Y) = 2X − Y + 5 . c) Z = ϕ(X,Y) = X2 − Y2 . 1.4. Phân phôi xác suât c+a bnn 2 chiêu (X, Y) ri rc a) ðnh nghĩa • Cap 2 ñi lưng ngau nhiên ri rc ñưc xét ñông thi (X, Y) ñưc gi là 1 vector ngau nhiên ri rc. Ký hieu biên cô (X x).(Y y) = (X x; Y y). • Hàm phân phôi xác suât ñông thi ca X và Y là: F(x, y) = P(X x; Y y), ∀x, y ∈ ℝ . • X và Y ñưc gi là ñoc lap nêu: X Y F(x, y) = F (x).F (y), ∀x, y ∈ ℝ . Chú ý 1) Nêu X, Y ñoc lap thì hàm phân phôi ñông thi ca X, Y ñưc xác ñnh qua các hàm phân phôi ca X, ca Y. 2) Chương trình ch xét hàm phân phôi biên ca X, Y. b) B ng phân phôi xác suât ñông thi c+a (X, Y) Y X y1 y2 … yj … yn PX x1 x2 …. xi …. xm p11 p12 … p1j … p1n p21 p22 … p2j … p2n .................................................. pi1 pi2 … pij … pin ……………………………….. pm1 pm2 … pmj … pmn p1 p2 ... pi … pm PY q1 q2 … qj … qn 1 Pij = P(X = xi, Y = yj) (i = 1,…,m; j = 1,…,n) là xác suât ñe X = xi, Y = yj và m n ΣΣ = . ij i 1 j 1 p 1 = = c) Phân phôi xác suât biên (lê) T bng phân phôi xác suât ñông thi ca X, Y ta có: • Phân phôi xác suât biên c+a X X x1 x2 … xi … xm PX p1 p2 … pi … pm n n Σ p = Σ p(X = x ,Y = y ) = p(X = x ) = p . ij i j i i j = 1 j = 1 • Phân phôi xác suât biên c+a Y Y y1 y2 … yi … yn PY q1 q2 … qi … qn m m Σ p = Σ p(X = x ,Y = y ) = p(Y = y ) = q . ij i j j j = = i 1 i 1 Tính chât. X và Y ñoc lap ij i j ⇔ p = p .q , ∀i, j . VD 14. Cho bng phân phôi xác suât ñông thi ca X và Y: Y X 10 20 30 40 10 0,2 0,04 0,01 0 20 0,1 0,36 0,09 0 30 0 0,05 0,1 0 40 0 0 0 0,05 a) Tìm phân phôi biên ca X, ca Y. b) Xét xem X và Y có ñoc lap không ? c) Tìm phân phôi xác suât ca Z = X + Y. §2. CÁC ðAC TRƯNG SÔ (THAM SÔ ðAC TRƯNG) C!A BIÊN NGAU NHIÊN • Nh$ng thông tin cô ñng phn ánh tng phân vê biên ngau nhiên giúp ta so sánh gi$a các ñi lưng vi nhau ñưc gi là các ñac trưng sô. Có ba loi ñac trưng sô: – Các ñac trưng sô cho xu hưng trung tâm ca bnn: Kỳ vng toán, Trung v, Mod,… – Các ñac trưng sô cho ño phân tán ca bnn: Phương sai, ðo lech chuan, He sô biên thiên,… – Các ñac trưng sô cho dng phân phôi xác suât. 2.1. Kỳ vng toán 2.1.1. ðnh nghĩa a) Biên ngau nhiên ri rc • Cho X = {x1, x2,…, xn} vi xác suât tương ng là p1, p2,…, pn thì kỳ vng toán (gi tat là kỳ vng) ca X, ký hieu EX hay M(X), là: n = + + + = Σ . EX x p x p ... x p x p 1 1 2 2 n n i i = i 1 VD 1. Mot lô hàng gôm 10 sn pham tôt và 2 phê pham. Lây ngau nhiên 2 sn pham t lô hàng ñó, gi X là sô phê pham trong 2 sn pham lây ra. Lap bng phân phôi xác suât và tính kỳ vng ca X. www.vietmaths.com www.vietmaths.com
- 60. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 7 b) Biên ngau nhiên liên t1c +∞ = ∫ . • Bnn X có hàm mat ño là f(x) thì: EX x.f(x)dx −∞ VD 2. Tìm kỳ vng ca biên ngau nhiên X có hàm mat ño xác suât 3 2 (x 2x), x (0; 1) f(x) 4 0, x (0; 1) + ∈ = ∉ . Chú ý 1) Nêu X = {x ∈ A} , X liên tc thì EX ∈ A . 2) Nêu X = {x1,…, xn} thì: 1 n 1 n EX ∈ [min{x ,...,x }; max{x ,...,x }] . VD 3. Thi gian ch mua hàng ca khách là biên ngau nhiên liên tc T (ñơn v: phút) có hàm mat ño xác suât 4 3 t , t (0; 3) f(t) 81 0, t (0; 3) ∈ = ∉ . Tính thi gian trung bình ch mua hàng ca 1 khách hàng. VD 4. Cho biên ngau nhiên X có hàm mat ño xác suât ax bx2, x (0; 1) f(x) 0, x (0; 1) + ∈ = ∉ . Cho biêt EX = 0,6 hãy tính 1 P X 2 . 2.1.2. Ý nghĩa c+a EX • Kỳ vng là giá tr trung bình (theo xác suât) ca biên ngau nhiên X, nó phn ánh giá tr trung tâm ca phân phôi xác suât ca X. • Trong thc tê sn xuât hay kinh doanh nêu cân chn phương án cho năng suât (hay li nhuan) cao, ngưi ta chn phương án sao cho năng suât kỳ vng (hay li nhuan kỳ vng) cao. VD 5. Theo thông kê, mot ngưi My 25 tuoi se sông thêm trên 1 năm có xác suât là 0,992 và ngưi ñó chêt trong vòng 1 năm ti là 0,008. Mot chương trình bo hiem ñê ngh ngưi ñó bo hiem sinh mng cho 1 năm vi sô tiên chi tr là 10000 USD, phí bo hiem là 100 USD. Hi công ty ñó có lãi không? VD 6. Mot d án xây dng ñưc vien C thiêt kê cho c 2 bên A và B xét duyet mot cách ñoc lap. Xác suât (kh năng) ñe A và B châp nhan d án này khi xét duyet thiêt kê là 70% và 80%. Nêu châp nhan d án thì bên A phi tr cho C là 400 trieu ñông, còn ngưc li thì phi tr 100 trieu ñông. Nêu châp nhan d án thì bên B phi tr cho C là 1 t ñông, còn ngưc li thì phi tr 300 trieu ñông. Biêt chi phí cho thiêt kê ca C là 1 t ñông và 10% thuê doanh thu. Hi vien C có nên nhan thiêt kê hay không? 2.1.3. Tính chât c+a EX 1) E(C) = C vi C là hang sô. 2) E(CX) = C.EX. 3) E(X ± Y) = EX ± EY, vi X và Y là hai biên ngau nhiên. 4) E(XY) = EX.EY nêu X và Y là hai bnn ñoc lap. 5) Nêu Y = ϕ(X) thì: i i Σ ∫ ϕ i = (x )p , EY ϕ (x)f(x)dx, +∞ −∞ neáu X rôøi raïc neáu X lieân tuïc . VD 7. Tính EY vi Y = ϕ(X) = X2 − 3 , biêt X có bng phân phôi xác suât: X –1 0 1 2 P 0,1 0,3 0,35 0,25 VD 8. Cho bnn X có hàm mat ño xác suât: 2 , x [1; 2] 2 f(x) x 0, x [1; 2] ∈ = ∉ . a) Tính EX. b) Tính kỳ vng ca 5 2 = − . Y X X 2.2. Phương sai 2.2.1. ðnh nghĩa • Phương sai ca biên ngau nhiên X, ký hieu VarX hay VX hay D(X), ñưc xác ñnh: ( ) ( ) 2 2 2 = − = − VarX E X EX E(X ) EX 2 2 i i i i x .p x .p , i i 2 +∞ +∞ 2 x .f(x)dx x.f(x)dx , −∞ −∞ Σ − Σ = ∫ − ∫ neáu X rôøi raïc neáu X lieân tuïc VD 9. Tính phương sai ca biên ngau nhiên X có bng phân phôi xác suât: X 1 2 3 P 0,2 0,7 0,1 VD 10. Tính phương sai ca biên ngau nhiên X trong VD 2. VD 11. Cho biên ngau nhiên X có hàm mat ño xác suât: 3 2 (1 x ), x 1 f(x) 4 0, x 1 − ≤ = . Tìm phương sai ca biên ngau nhiên Y = 2X2. www.vietmaths.com www.vietmaths.com
- 61. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 8 2.2.2. Ý nghĩa c+a VarX • Do X – EX là ño lech gi$a giá tr ca X so vi trung bình ca nó nên phương sai là trung bình ca bình phương ño lech ñó. Phương sai dùng ñe ño mc ño phân tán ca X quanh kỳ vng. Nghĩa là: phương sai nh thì ño phân tán nh nên ño tap trung ln và ngưc li. • Trong ky thuat, phương sai ñac trưng cho ño sai sô ca thiêt b. Trong kinh doanh, phương sai ñac trưng cho ño ri ro ñâu tư. • Do ñơn v ño ca VarX bang bình phương ñơn v ño ca X nên ñe so sánh ñưc vi các ñac trưng khác ngưi ta ñưa vào khái niem ño lech tiêu chuan σ(X) = VarX . VD 12. Năng suât ca hai máy tương ng là các bnn X, Y (ñơn v: sn pham/phút) có bng phân phôi xác suât: X 1 2 3 4 P 0,3 0,1 0,5 0,1 và Y 2 3 4 5 P 0,1 0,4 0,4 0,1 Nêu phi chn mua 1 trong 2 loi máy này thì ta nên chn máy nào? 2.2.3. Tính chât c+a VarX 1) VarX ≥ 0 ; VarC = 0, vi C là hang sô. 2) Var(CX) = C2.VarX; σ(CX) = C .σX . 3) Nêu a và b là hang sô thì Var(aX + b) = a2.VarX. 4) Nêu X và Y ñoc lap thì: Var(X ± Y) = VarX + VarY ; σ(X ± Y) = σ2(X) + σ2(Y) . 2.3. Trung v và Mod 2.3.1. Trung v • Trung v ca biên ngau nhiên X, ký hieu medX, là sô m tha 1 ≤ và 1 P(X m) P(X m) 2 ≤ . 2 – Nêu X ri rc thì medX = xi vi 1 2 ≤ ≤ + . F(x ) F(x ) i i 1 – Nêu X liên tc thì medX = m vi m = ∫ = . F(m) f(x)dx 0,5 −∞ VD 13. Cho bnn X có bng phân phôi xác suât: X 1 2 3 4 5 P 0,1 0,2 0,15 0,3 0,45 Khi ñó ta có medX = 4. VD 14. Tìm med ca bnn X có bng phân phôi xác suât: X –1 0 1 2 P 0,25 0,15 0,30 0,30 4 , x 1 VD 15. Cho hàm 5 f(x) x 0, x 1 ≥ = . a) Chng t f(x) là hàm mat ño xác suât ca biên ngau nhiên X. b) Tìm medX. 2.3.2. Mod • ModX là giá tr x0 mà ti ñó X nhan xác suât ln nhât (nêu X ri rc) hay hàm mat ño ñt cc ñi (nêu X liên tc). ModX còn ñưc gi là sô có kh năng nhât. VD 16. Cho bnn X có bng phân phôi xác suât: X 0 1 2 4 5 8 P 0,1 0,2 0,3 0,05 0,25 0,1 Khi ñó ta có modX = 2. VD 17. Tìm medX và modX vi biên ngau nhiên X có bng phân phôi xác suât: X 20 21 22 23 24 P 0,30 0,25 0,18 0,14 0,13 VD 18. Cho bnn X có hàm mat ño xác suât: x2 2 1 f(x) .e , x 2 − = ∈ π ℝ . Tìm modX. §3. MOT SÔ LUAT PHÂN PHÔI XÁC SUÂT THÔNG D6NG 3.1. Phân phôi xác suât c+a biên ngau nhiên ri rc 3.1.1. Phân phôi siêu boi • Xét tap có N phân t
- 62. , trong ñó có NA phân t
- 63. có tính chât A. T tap ñó lây ra n phân t
- 64. . Gi X là sô phân t
- 65. có tính chât A thì X có phân phôi siêu boi. Ký hieu: A X ∈ H(N,N ,n) hay A X ∼ H(N,N ,n) . a) ðnh nghĩa • Phân phôi siêu boi là phân phôi ca biên ngau nhiên ri rc X = {0; 1; 2; …; n} vi xác suât tương ng là: C k C n − k = = = N N − N A A . k n N p P(X k) C VD 1. Trong 1 c
- 66. a hàng bán 100 bóng ñèn có 5 bóng hng. Mot ngưi chn mua ngau nhiên 3 bóng t c
- 67. a hàng này. Gi X là sô bóng hng ngưi ñó mua phi. Lap bng phân phôi xác suât ca X. b) Các sô ñac trưng − N n EX np; VarX npq N 1 = = − , vi A N = = − . p , q 1 p N VD 2. Mot ro man có 20 trái trong ñó có 6 trái b hư. Chn ngau nhiên t ro ñó ra 4 trái. Gi X là sô trái man hư chn phi. Lap bng phân phôi xác suât ca X và tính EX, VarX bang hai cách. www.vietmaths.com www.vietmaths.com
- 68. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 9 3.1.2. Phân phôi nh thc a) Công thc Bernoulli • Dãy phép th
- 69. Bernoulli là dãy n phép th
- 70. tha 3 ñiêu kien: 1) Các phép th
- 71. ca dãy ñoc lap vi nhau. 2) Trong moi phép th
- 72. ta ch quan tâm ñên 1 biên cô A, nghĩa là ch có A và A xuât hien. 3) Xác suât xuât hien A trong mi phép th
- 73. ca dãy luôn là hang sô: P(A) = p, P(A) = 1 − p = q, (0 p 1) . • Cho dãy n phép th
- 74. Bernoulli, xác suât xuât hien k lân biên cô A là: k k n k k n p = C p q − , p = P(A) . VD 3. Mot bà m* sinh 2 con (moi lân sinh 1 con) vi xác suât sinh con trai là 0,51. Gi X là sô con trai trong 2 lân sinh. Lap bng phân phôi xác suât ca X. VD 4. Mot máy sn xuât lân lưt tng sn pham vi xác suât 1 phê pham là 1%. a) Cho máy sn xuât ra 10 sn pham, tính xác suât có 2 phê pham. b) Máy cân sn xuât ít nhât bao nhiêu sn pham ñe xác suât có ít nhât 1 phê pham nh hơn 3%. 4x3, x (0; 1) VD 5. Cho X có hàm mat ño f(x) 0, x (0; 1) ∈ = ∉ . Tính xác suât ñe trong 3 phép th
- 75. ñoc lap có 2 lân X nhan giá tr trong khong (0,25; 0,5) . b) ðnh nghĩa • Phân phôi nh thc là phân phôi ca biên ngau nhiên ri rc X = {0; 1; 2; …; n} vi xác suât tương ng là: p = P(X = k) = C k p k q n − k . k n Ký hieu: X ∈ B(n, p) hay X ~ B(n, p). Chú ý • Khi n = 1 thì X ∈ B(1, p) ≡ B(p), khi ñó X còn ñưc gi là có phân phôi không – mot hay Bernoulli. c) Các sô ñac trưng = = EX np; VarX npq; ModX = x , np − q ≤ x ≤ np + p 0 0 . VD 6. Mot nhà vưn trông trông 5 cây lan quý, vi xác suât n, hoa ca moi cây trong 1 năm là 0,8. a) Lap bng phân phôi xác suât ca sô cây lan trên n, hoa trong 1 năm. b) Giá 1 cây lan n, hoa là 1,2 trieu ñông. Gi s
- 76. nhà vưn bán hêt nh$ng cây lan n, hoa thì moi năm nhà vưn thu ñưc chac chan nhât là bao nhiêu tiên? c) Nêu muôn trung bình moi năm có 10 cây lan n, hoa thì nhà vưn phi trông mây cây lan? VD 7. Mot lô hàng cha 20 sn pham trong ñó có 4 phê pham. Chn liên tiêp 3 lân (có hoàn li) t lô hàng, moi lân chn ra 4 sn pham. Tính xác suât ñe trong 3 lân có ñúng 1 lân chn có nhiêu nhât 3 phê pham. 3.1.3. Phân phôi Poisson a) Bài toán dan ñên phân phôi Poisson • Gi X là sô lân xuât hien biên cô A ti nh$ng thi ñiem ngau nhiên trong khong thi gian (t1; t2) tha mãn hai ñiêu kien: 1) Sô lân xuât hien biên cô A trong khong (t1; t2) không nh hư,ng ñên xác suât xuât hien A trong khong thi gian kê tiêp. 2) Sô lân xuât hien biên cô A trong 1 khong thi gian bât kỳ t le vi ño dài ca khong ñó. Khi ñó X có phân phôi Poisson, ký hieu X ∈ P(λ) vi 2 1 λ = c(t − t ) 0 , c: cưng ño xuât hien A. Chang hn, sô xe qua 1 trm hoac sô cuoc ñien thoi ti 1 trm công cong… có phân phôi Poisson. b) ðnh nghĩa • Biên ngau nhiên X có phân phôi Poisson vi tham sô λ 0 (trung bình sô lân xuât hien A) nêu X nhan các giá tr 0, 1, 2,…, n,… vi xác suât tương ng là: k k −λ λ e . = = = . p P(X k) k! c) Các sô ñac trưng 0 0 EX = VarX = λ; ModX = x , λ −1 ≤ x ≤ λ . VD 8. Trung bình c 3 phút có 1 khách ñên quây mua hàng. Tính xác suât ñe trong 30 giây có 2 khách ñên quây mua hàng. VD 9. Mot trm ñien thoi trung bình nhan ñưc 300 cuoc gi trong 1 gi. a) Tính xác suât ñe trm nhan ñưc ñúng 2 cuoc gi trong 1 phút. b) Tính xác suât ñe trm nhan ñưc ñúng 5 cuoc gi trong 3 phút. c) Tính xác suât ñe 2 trong 3 phút liên tiêp, moi phút trm nhan ñưc nhiêu nhât 1 cuoc gi. VD 10. Trung bình 1 ngày (24 gi) có 10 chuyên tàu vào cng Cam Ranh. Chn ngau nhiên liên tiêp 3 gi trong 1 ngày. Tính xác suât ñe 2 trong 3 gi ây có ñúng 1 tàu vào cng. 3.2. Phân phôi xác suât c+a biên ngau nhiên liên t1c 3.2.1. Phân phôi chuan a) ðnh nghĩa • Bnn X ñưc gi là có phân phôi chuan vi tham sô μ và σ2 (σ 0) , ký hieu X ∈ N(μ, σ2 ) , nêu hàm mat ño phân phôi xác suât ca X có dng: 2 (x ) 1 2 2 f(x) e , x 2 −μ − = σ ∈ σ π ℝ . Các sô ñac trưng ModX = MedX = EX = μ; VarX = σ2 . www.vietmaths.com www.vietmaths.com
- 77. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 10 b) Phân phôi chuan ñơn gi n • Cho X ∈ N(μ, σ2 ) , ñat X T − μ = σ thì T có phân phôi chuan ñơn gin T ∈ N(0, 1). • Hàm mat ño phân phôi xác suât ca T: t2 2 1 f(t) e 2 − = π (giá tr ñưc cho trong bng A). • Công thc xác suât: b t2 2 a 1 P(a T b) e dt 2 − = π ∫ . Hàm x t2 2 0 1 (x) e dt 2 − ϕ = π ∫ ( x ≥ 0 ) ñưc gi là hàm Laplace (giá tr ñưc cho trong bng B). Tính chât ca hàm Laplace (dùng ñe tra bng) 1) ϕ(−x) = −ϕ(x) (hàm l3); 2) vi x 5 thì ϕ(x) ≈ 0,5 ; 3) P(T x) = 0,5 + ϕ(x) . Phân v mc α • Ta gi tα là phân v mc α ca T nêu: P( T tα ) = α . c) Phương pháp tính xác suât phân phôi chuan tong quát • Cho X ∈ N(μ, σ2 ) , ñe tính P(a X b) ta ñat a − μ α = σ , b − μ β = σ ⇒ P(a X b) = ϕ(β)− ϕ(α) , tra bng B ta ñưc kêt qu. VD 11. Thi gian X (phút) ca 1 khách ch ñưc phc v ti 1 c
- 78. a hàng là bnn vi X ∈ N(4,5; 1,21) . a) Tính xác suât khách phi ch ñe ñưc phc v t 3,5 phút ñên 5 phút; không quá 6 phút. b) Tính thi gian tôi thieu t nêu xác suât khách phi ch vưt quá t là không quá 5%. VD 12. Thông kê ñiem thi X (ñiem) trong mot kỳ tuyen sinh ði hc môn toán ca hc sinh c nưc cho thây X là biên ngau nhiên vi X ∈ N(4; 2,25) . Tính t le ñiem thi X ≥ 5,5. VD 13. Tuoi th ca 1 loi bóng ñèn là X (năm) vi X ∈ N(4,2; 6,25) . Khi bán 1 bóng ñèn thì lãi ñưc 100 ngàn ñông nhưng nêu bóng ñèn phi bo hành thì lo 300 ngàn ñông. Vay ñe có tiên lãi trung bình khi bán moi bóng ñèn loi này là 30 ngàn ñông thì cân phi quy ñnh thi gian bo hành là bao nhiêu? VD 14. Cho X có phân phôi chuan vi EX = 10 và P(10 X 20) = 0, 3 . Tính P(0 X ≤ 15) . VD 15. Mot công ty cân mua 1 loi thiêt b có ño dày t 0,118cm ñên 0,122cm. Có 2 c
- 79. a hàng cùng bán loi thiêt b này vi ño dày là các biên ngau nhiên có phân phôi chuan N(μ, σ2). Giá bán ca c
- 80. a hàng X là 3 USD/hop/1000 cái và c
- 81. a hàng Y là 2,6 USD/hop/1000 cái. Ch sô ño dày trung bình μ (cm) và ño lech chuan σ (cm) ñưc cho trong bng: C
- 82. a hàng μ (cm) σ (cm) I 0,12 0,001 II 0,12 0,0015 Hi công ty nên mua loi thiêt b này , c
- 83. a hàng nào? Chú ý. Nêu X ∈ N(μ, σ2 ) thì: aX + b ∈ N(aμ + b, a σ2 ) . 3.2.3. Phân phôi χ2(n) (xem giáo trình) 3.2.4. Phân phôi Student T(n) (v2i n bac t do) • Cho T ∈ N(0, 1) và Y ∈ χ2(n) thì T = ∈ có hàm mat ño xác suât: X T(n) Y n n 1 + Γ = + 2 2 n 1 2 x f(x) 1 n n n . 2 + − π Γ . Giá tr ñưc ca t(n) ñưc cho trong bng C. Chương III. ð9NH LÝ GI:I H N TRONG XÁC SUÂT §1. MOT SÔ LO I HOI T6 TRONG XÁC SUÂT VÀ CÁC ð9NH LÝ (He ñi hc) 1.1. Hoi t1 theo xác suât – Luat sô l2n a) ðnh nghĩa • Dãy biên ngau nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñưc gi là hoi t theo xác suât ñên biên ngau nhiên X nêu: ( ) n ∀ω ∈ , ∀ε 0 : lim P X ( ω ) − X( ω ) ≥ ε = 0 . n →∞ Ký hieu: P n X →X (n → ∞) . • H biên ngau nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñưc gi là tuân theo luat sô ln (dng Tchébyshev) nêu: 1 n 1 n ∀ε Σ − Σ ε = 0 : lim P X EX 1 i i n →∞ n = n = i 1 i 1 ⇔ Σ ( − ) → . n P i i i 1 1 X EX 0 n = b) Bât ñang thc Tchébyshev • Nêu biên ngau nhiên X có EX và VarX h$u hn thì: VarX ( ) 2 ∀ε 0 : P X − EX ≥ ε ≤ ε hay VarX ( ) 2 P X − EX ε ≥ 1 − ε . www.vietmaths.com www.vietmaths.com
- 84. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 11 VD (tham kh o). Thu nhap trung bình hàng năm ca dân cư 1 vùng là 700USD vi ño lech chuan 120USD. Hãy xác ñnh mot khong thu nhap hàng năm xung quanh giá tr trung bình ca ít nhât 95% dân cư vùng ñó. Gi i. Gi X(USD) là thu nhap hàng năm ca dân cư vùng ñó. Ta có: P ( X − EX ε ) ≥ 1 − VarX 2 ε ( ) 2 120 ⇔ P X − 700 ε ≥ 1 − = 0, 95 2 ε ⇒ ε = 536,656USD. Vay ít nhât 95% dân cư vùng ñó có thu nhap hàng năm trong khong (163,344USD; 1236,656USD). c) ðnh lý luat sô l2n Tchébyshev ðnh lý • Nêu h các biên ngau nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñoc lap tng ñôi có EXi h$u hn và VarXi b chan trên b,i hang C thì: n ∀ε 1 − 1 n ≥ ε = Σ Σ . 0 : lim P X EX 0 i i n →∞ n = n = i 1 i 1 He qu • Nêu h các biên ngau nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñoc lap tng ñôi có EXi = μ và VarXi = σ2 thì: n Σ P →μ . i i 1 1 X n = Ý nghĩa • The hien tính on ñnh ca trung bình sô hc các biên ngau nhiên ñoc lap cùng phân phôi và có phương sai h$u hn. • ðe ño 1 ñi lưng vat lý nào ñó ta ño n lân và lây trung bình các kêt qu làm giá tr thc ca ñi lưng cân ño. • Áp dng trong thông kê là da vào mot mau khá nh ñe kêt luan tong the. 1.2. Hoi t1 yêu – ðnh lý gi2i hn trung tâm a) ðnh nghĩa • Dãy biên ngau nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñưc gi là hoi t yêu hay hoi t theo phân phôi ñên b.n.n X nêu: lim F (x) F(x), x C(F) →∞ n n = ∀ ∈ . Trong ñó, C(F) là tap các ñiem liên tc ca F(x). Ký hieu: d n X →X hay d n F →F . Chú ý Nêu P n X →X thì d n X →X . §2. CÁC LO I XÂP X; PHÂN PHÔI XÁC SUÂT b) ðnh lý Liapounop (gi2i hn trung tâm) • Cho h các biên ngau nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñoc n n lap tng ñôi. ðat = Σ μ = Σ , Y X , EX i i = = i 1 i 1 n σ 2 = Σ . Nêu EXi, VarXi h$u hn và i i 1 VarX = n 3 − Σ i i thì Y ∈ N(μ, σ2 ). σ n 3 i 1 E X EX = lim 0 →∞ = Ý nghĩa • Dùng ñnh lý gii hn trung tâm ñe tính xâp x (gân ñúng) các xác suât. • Xác ñnh các phân phôi xâp x ñe gii quyêt các vân ñê ca lý thuyêt ưc lưng, kiem ñnh,… 2.1. Liên he gi)a phân phôi Siêu boi và Nh thc • Nêu n cô ñnh, N tăng vô hn và A N p (0 p 1) N → ≠ ≠ k n k N N N d k k n k C C thì A A C p q n n N C − − → − . Xâp x phân phôi siêu boi bang Nh thc • Nêu N khá ln và n rât nh so vi N (n 0,05N) thì A N ∼ = . X B(n;p), p N VD 1. Mot vưn lan có 10000 cây sap n, hoa, trong ñó có 1000 cây hoa màu ñ. Chn ngau nhiên 20 cây lan trong vưn này. Tính xác suât ñe chn ñưc 5 cây lan có hoa màu ñ. 2.2. Liên he gi)a Nh thc và Poisson • Nêu n → ∞, p → 0, np → λ thì: k − λ k k n k d n −λ e . C p q → . k! Xâp x phân phôi Nh thc bang Poisson • Cho X có phân phôi nh thc B(n, p), λ = np . Khi ñó: a) Nêu n ln và p khá bé (gân bang 0) thì X ∼ P(λ) . b) Nêu n ln và p cũng khá ln (gân bang 1) thì X ∼ P(λ) . VD 2. Mot lô hàng có 0,1% phê pham. Tìm xác suât ñe khi chn ra 1000 sn pham có: a) Tât c ñêu tôt; b) Không quá 2 phê pham. 2.3. ðnh lý gi2i hn Moivre – Laplace ðnh lý 1 (gi2i hn ña phương) • Gi pk là xác suât xuât hien k lân biên cô A trong n phép th
- 85. Bernoulli vi P(A) = p (p không quá gân 0 và npq.P (k) không quá gân 1) thì n lim 1 →∞ f(x ) n k = . Trong ñó, x2 2 − − 1 k np = = k f(x) e , x π 2 npq h$u hn. www.vietmaths.com www.vietmaths.com
- 86. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 12 ðnh lý 2 (gi2i hn Moivre – Laplace) X − • Cho np X ∈ B(n, p) và S n = thì: npq F n S →N(0, 1) . Xâp x Nh thc bang phân phôi chuan • Cho X ∈ B(n, p) , nêu n khá ln, p không quá gân 0 và 1 thì X ∼ N(μ; σ2) vi μ = np, σ2 = npq . Khi ñó: 1) 1 k − μ = = σ σ P(X k) .f (tra bng A, f(–x) = f(x)). − μ − μ ≤ ≤ = ϕ − ϕ σ σ 2) 2 1 1 2 k k P(k X k ) . VD 3. Trong mot kho lúa giông có t le ht lúa lai là 13%. Tính xác suât sao cho khi chn 1000 ht lúa giông trong kho thì có không quá 15 ht lúa lai. VD 4. Mot khách sn nhan ñat cho ca 325 khách hàng cho 300 phòng vào ngày 1/1 vì theo kinh nghiem ca nh$ng năm trưc cho thây có 10% khách ñat cho nhưng không ñên. Biêt moi khách ñat 1 phòng, tính xác suât: a) Có 300 khách ñên vào ngày 1/1 và nhan phòng. b) Tât c các khách ñên vào ngày 1/1 ñêu nhan ñưc phòng. ………………………………………………………………….. PHÂN II. LÝ THUYÊT THÔNG KÊ Chương IV. LÝ THUYÊT MAU §1. KHÁI NIEM VÊ PHƯƠNG PHÁP XÁC ð9NH MAU 1.1. Mau và tong the (ñám ñông) • Tap hp có các phân t
- 87. là các ñôi tưng mà ta nghiên cu ñưc gi là tong the. Sô phân t
- 88. ca tong the ñưc gi là kích thưc ca tong the. • T tong the ta chn ra n phân t
- 89. thì n phân t
- 90. ñó ñưc gi là mot mau có kích thưc (c mau) n. Mau ñưc chn ngau nhiên mot cách khách quan ñưc gi là mau ngau nhiên. VD 1. Khi nghiên cu vê sô cá trong mot hô thì sô cá trong hô là kích thưc ca tong the. T hô ñó bat lên 10 con cá thì ñưc 1 mau không hoàn li kích thưc là 10. Nêu t hô ñó bat lên 1 con cá rôi th xuông, sau ñó tiêp tc bat con khác, tiên hành 10 lân như thê ta ñưc mau có hoàn li kích thưc 10. • Khi mau có kích thưc ln thì ta không phân biet mau có hoàn hay không hoàn li. 1.2. Phương pháp xác ñnh mau • Mau ñnh tính là mau mà ta ch quan tâm ñên các phân t
- 91. ca nó có tính chât A nào ñó hay không. VD 2. ðiêu tra 100 ho dân ca mot thành phô vê thu nhap trong 1 năm. Nêu ho có thu nhap dưi 10 trieu ñông/năm là ho nghèo. Thì trong 100 ho ñưc ñiêu tra ta quan tâm ñên ho nghèo (tính chât A). • Mau ñnh lư ng là mau mà ta quan tâm ñên mot yêu tô vê lưng (như chiêu dài, cân nang,…) ca các phân t
- 92. trong mau. VD 3. Cân 100 trái dưa gang ñưc chn ngau nhiên t 1 cách ñông là mau ñnh lưng. • Mau có kích thưc n là tap hp ca n biên ngau nhiên ñoc lap X1, X2,…, Xn ñưc lap t biên ngau nhiên X và có cùng luat phân phôi vi X là mau tong quát. Tiên hành quan sát (cân, ño,…) tng biên Xi và nhan ñưc các giá tr c the Xi = xi, khi ñó ta ñưc mau c the x1, x2,…, xn. VD 4. Chiêu cao ca cây bch ñàn là biên ngau nhiên có phân phôi chuan. ðo ngau nhiên 5 cây X1, X2,…, Xn ta ñưc X1=3,5m; X2=3,2m; X3=2,5m; X4=4,1m; X5=3m. Khi ñó, {X1, X2,…, Xn} là mau tong quát có phân phôi chuan và {3,5m; 3,2m; 2,5m; 4,1m; 3m} là mau c the. • Xác suât nghiên cu vê tong the ñe hieu vê mau còn thông kê thì ngưc li. • Xét vê lưng – Trung bình tong the là μ = EX . – Phương sai tong the σ2 = VarX là bieu th cho mc ño biên ñong ca dâu hieu X. • Xét vê chât – ðám ñông ñưc chia thành 2 loi phân t
- 93. : loi có tính chât A ñó mà ta quan tâm và loi không có tính chât A. – Gi X = 0 nêu phân t
- 94. không có tính chât A và X = 1 nêu phân t
- 95. có tính chât A, p là t le phân t
- 96. có tính chât A thì: X ∈ B(p), p = EX = Soá phaàn töû coù tính chaát A Soá phaàn töû cuûa toång theå . 1.3. Sap xêp sô lieu thc nghiem 1.3.1. Sap xêp theo các giá tr khác nhau • Gi s
- 97. mau (X1, X2,…, Xn) có k quan sát khác nhau là X1, X2,…, Xk ( k ≤ n ) và Xi có tân sô ni (sô lân lap li) vi 1 2 k n + n + ... + n = n . Sô lieu ñưc sap xêp theo th t tăng dân ca Xi. VD 5. Kiem tra ngau nhiên 50 sinh viên, kêt qu: X (ñiem) 2 4 5 6 7 8 9 10 ni (sô SV) 4 6 20 10 5 2 2 1 www.vietmaths.com www.vietmaths.com
- 98. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 13 1.3.2. Sap xêp dư2i dng kho ng • Gi s
- 99. mau (X1, X2,…, Xn) có nhiêu quan sát khác nhau, khong cách gi$a các quan sát không ñông ñêu hoac các Xi khác nhau rât ít thì ta sap xêp chúng dưi dng khong. Xét khong ( ) min max x , x cha toàn bo quan sát Xi. Ta chia ( ) min max x , x thành các khong bang nhau (còn gi là lp ) theo nguyên tac: Sô khong tôi ưu là 1 + 3,322lgn, ño dài khong là: − max min x x h 1 3, 322 lg n = + . VD 6. ðo chiêu cao ca n = 100 thanh niên, ta có bng sô lieu , dng khong: Lp (khong) (ñơn v: cm) Tân sô ni (sô thanh niên) Tân suât i n n 148 – 152 152 – 156 156 – 160 160 – 164 164 – 168 5 20 35 25 15 0,05 0,2 0,35 0,25 0,15 − + = ta có bng sô lieu , S
- 100. dng công thc i 1 i i a a x 2 dng bng (dùng ñe tính toán): xi Tân sô ni Tân suât i n n 150 154 158 162 166 5 20 35 25 15 0,05 0,2 0,35 0,25 0,15 Chú ý • ðôi vi trưng hp sô lieu ñưc cho b,i cách liet kê thì ta sap xêp li , dng bng. VD 7. Theo dõi mc nguyên lieu hao phí ñe sn xuât ra mot ñơn v sn pham , mot nhà máy, ta thu ñưc các sô lieu sau (ñơn v: gam). Hãy sap xêp sô lieu dưi dng bng? 20; 22; 21; 20; 22; 22; 20; 19; 20; 22; 21; 19; 19; 20; 18; 19; 20; 20; 18; 19; 20; 20; 21; 20; 18; 19; 19; 21; 22; 21; 21; 20; 19; 20; 22; 21; 21; 22; 20; 20; 20; 19; 20; 21; 19; 19; 20; 21; 21. §2. CÁC ðAC TRƯNG MAU (tham kh o) 2.1. Các ñac trưng mau • Gi s
- 101. tong the có trung bình EX = μ , phương sai VarX = σ2 và t le p phân t
- 102. có tính chât A. 2.1.1. T le mau Fn • Cho mau ñnh tính kích thưc n, ta gi n 1 0 Σ là t le mau tong quát. F X , X n i i n = 1 i 1 = = • Cho mau ñnh tính kích thưc n, trong ñó có m phân t
- 103. có tính chât A. Khi ñó ta gi: = = là t le mau c the. n m f f n Tính chât a) Kỳ vng ca t le mau bang t le tong the: + + = = ( ) 1 n n X ... X M F M p n . b) Phương sai ca t le mau: + + = 1 n = n X ... X pq VarF Var n n (các Xi có phân phôi Bernoulli). 2.1.2. Trung bình mau • Trung bình mau: n = = Σ . n i i 1 1 X X X n = Trung bình mau c the: n = = Σ . n i i 1 1 x x x n = Tính chât E(Xn ) = μ = EX , ( ) 2 n σ = = VarX . Var X n n Chú ý + + = và trung bình mau • T le mau 1 n n X ... X F n + + = 1 n khác nhau , cho là trong Fn, các n X ... X X n Xn ch có phân phôi Bernoulli: i 0, X = neáu phaàn töû khoâng coù tính chaát A 1, neáu phaàn töû coù tính chaát A . www.vietmaths.com www.vietmaths.com
- 104. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 14 2.1.3. Phương sai mau • Phương sai mau: 2 2 n ( )2 ɵ = ɵ n = Σ − . i n i 1 1 S S X X n = Mau c the: ( ) 2 2 n 2 ɵ = ɵ n = Σ − . i n i 1 1 s s x x n = • Phương sai mau hieu chnh: ( ) n 2 − Σ . = = − 2 2 n i n i 1 1 S S X X n 1 = Mau c the: ( ) n 2 − Σ . = = − 2 2 n i n i 1 1 s s x x n 1 = Tính chât. 2 − = σ n 1 2 ɵ , E(S2 ) = σ2 . E S n • Trong tính toán ta s
- 105. dng công thc: ( ) 2 2 2 n = − = Σ . 2 2 n n n n i i 1 n 1 s x x , x x − n 1 n = 2.2. Liên he gi)a ñac trưng c+a mau và tong the • Các ñac trưng mau 2 n n n F , X , S là các thông kê dùng ñe nghiên cu các ñac trưng p, μ, σ2 tương ng ca tong the. T luat sô ln ta có: F → p, X → μ, S 2 → σ 2 (theo xác suât). n n n • Trong thc hành, khi c7 mau n khá ln (c7 hàng chc tr, lên) thì các ñac trưng mau xâp x các ñac trưng tương 2 ng ca tong the: x ≈ μ, f ≈ p, s ≈ σ2, s2 ≈ σ2 ɵ . §3. PHÂN PHÔI XÁC SUÂT C!A CÁC ðAC TRƯNG MAU (tham kh o) 3.1. Phân phôi xác suât c+a t le mau F • Do EF = p và pq VarF = nên vi n khá ln thì: n ∈ pq F N p, n . • Vi mau c the kích thưc n, t le mau f thì p ≈ f . Ta có: ∈ f(1 − f) (F − p) n ∈ − F N p, hay N(0, 1) n f(1 f) . 3.2. Phân phôi xác suât c+a trung bình mau 3.2.1. Trưng hp tong the X có phân phôi chuan X ∈ N(μ, σ2 ) • Do EF = p và σ 2 = μ = nên: EX , VarX n ( ) σ 2 − μ ∈ μ X ∈ σ X N , hay n N 0, 1 n . • Vi mau c the kích thưc n ñ ln, thì σ2 ≈ s2 . Ta có: ( ) s2 − μ ∈ μ X ∈ X N , hay n N 0, 1 n s . • Khi n 30 và σ2 chưa biêt thì: X 2 n (n 1) − μ s ∈ χ − có phân phôi Student vi n – 1 bac t do. 3.2.2. Trưng hp X không có phân phôi chuan • T ñnh lý gii hn trung tâm, ta suy ra: X n d N ( 0, 1 ) − μ → σ − μ X n d N ( 0, 1 ) s → . • Vi n ≥ 30 , ta có các phân phôi xâp x chuan: a) σ2 ñã biêt thì: − μ σ ≈ ≈ μ σ X 2 ( ) n N 0, 1 , X N , n . b) σ2 chưa biêt thì: − μ ≈ ≈ μ X S2 ( ) n N 0, 1 , X N , S n . 3.3. Phân phôi xác suât c+a phương sai mau • Gi s
- 106. tong the X ∈ N(μ, σ2 ) , khi ñó: ( ) 2 n 2 n n 1 1 S S X X ɵ 2 Σ n se có phân σ 2 σ 2 σ 2 i i = 1 phôi χ2(n −1) . − = = − §4. TH=C HÀNH TÍNH CÁC ðAC TRƯNG MAU C6 THE 4.1. Tính t le mau f • Trong mau có m phân t
- 107. có tính chât A mà ta quan tâm thì t le mau là m f = . n 4.2. Tính trung bình mau x • Mau có n giá tr xi thì trung bình mau là: n + + + = 1 2 n = Σ . i i 1 x x ... x 1 x x n n = • Nêu xi lap li ni (i = 1,…, k ≤ n ) lân thì trung bình mau là: k = Σ . i i i 1 1 x x n n = VD. Xét 10 kêt qu quan sát: 102, 102, 202, 202, 202, 302, 302, 302, 302, 402. Ta có: 1 = + + + . x (102.2 202.3 302.4 402.1) 10 4.3. Tính phương sai mau 2 s ɵ • Tính x và ( ) 2 n = 2 + 2 + + 2 = Σ 2 . 1 2 n i i 1 1 1 x x x ... x x n n = • Phương sai mau là: ( ) 2 2 2 s = x − x ɵ . • Phương sai mau có hieu chnh là: 2 2 n s s n 1 = − ɵ . www.vietmaths.com www.vietmaths.com
- 108. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK S? D6NG MÁY TÍNH B@ TÚI ðE TÍNH CÁC ðAC TRƯNG C!A MAU Trang 15 1. SÔ LIEU ðƠN (không có tân sô) VD 1. Cho mau có c7 mau là 5: w = (12, 13, 11, 14, 11). a) Máy fx 500MS • Xóa nh: MODE - 3 - = - = • Vào chê ño thông kê nhap d lieu – MODE - 2 (chn SD ñôi vi fx500MS); MODE - MODE - 1 (chn SD ñôi vi fx570MS) – Nhap các sô: 12 M+ 13 M+…. 11 M+ • Xuât kêt qu – SHIFT - 2 - 1 - = (xuât kêt qu x : trung bình mau) – SHIFT - 2 - 2 - = (xuât kêt qu s ⌢ = xσn : ño lech chuan ca mau) – SHIFT - 2 - 3 - = (xuât kêt qu s = xσn −1 : ño lech chuan ca mau có hieu chnh) b) Máy fx 500ES • Xóa nh: SHIFT - 9 - 3 - = - = • Vào chê ño thông kê nhap d lieu – SHIFT - MODE - dch chuyen mũi tên tìm chn mc Stat - 3 (chê ño không tân sô) – MODE - 3 (stat) - 1 (1-var) - (nhap các sô) 12 = 13 =…. 11 = • Xuât kêt qu – SHIFT - 1 - 5 (var) - 1 - = (n: c7 mau) – SHIFT - 1 - 5 (var) - 2 - = ( x : trung bình mau) – SHIFT - 1 - 5 (var) - 3 - = ( xσn : ño lech chuan ca mau) – SHIFT - 1 - 5 (var) - 4 - = ( xσn −1 : ño lech chuan ca mau có hieu chnh) 2. SÔ LIEU CÓ TÂN SÔ VD 2. Cho mau như sau xi 12 11 15 ni 3 2 4 a) Máy fx 500MS • Xóa nh: MODE - 3 - = - = • Vào chê ño thông kê nhap d lieu – MODE - 2 (chn SD ñôi vi fx500MS); MODE - MODE - 1 (chn SD ñôi vi fx570MS) – Nhap các sô: 12 - SHIFT - , - 3 - M+ 11 - SHIFT - , - 2 - M+ 15 - SHIFT - , - 4 - M+ • Xuât kêt qu, làm như 1a) b) Máy fx 500ES • Xóa nh vào chê ño thông kê nhap d lieu có tân sô: – SHIFT - MODE (SETUP) dch chuyen mũi tên - 4 - 1 – MODE - 3 (stat) - 1 (1-var) – Nhap các giá tr và tân sô vào 2 cot trên màn hình X FREQ 12 3 11 2 15 4 • Xuât kêt qu, làm như 1b) VD 3. ðiêu tra năng suât ca 100 ha lúa trong vùng, ta có bng sô lieu sau: Năng suât (tân/ha) 3 - 3,5 3,5 - 4 4 - 4,5 4,5 - 5 5 - 5,5 5,5 - 6 6 - 6,5 6,5 - 7 Dien tích (ha) 7 12 18 27 20 8 5 3 Nh$ng th
- 109. a ruong có năng suât ít hơn 4,4 tân/ha là có năng suât thâp. a) Tính t le dien tích lúa có năng suât thâp. b) Tính năng suât lúa trung bình, phương sai và ño lech chuan ca mau có hieu chnh. …………………………………………………………… www.vietmaths.com www.vietmaths.com
- 110. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Chương V. Ư:C LƯNG ðAC TRƯNG C!A TONG THE (ðÁM ðÔNG) Trang 16 §1. Ư:C LƯNG ðIEM 1.1. Thông kê • Mot hàm ca mau tong quát T = T(X1, X2,…, Xn) ñưc gi là 1 thông kê. • Các vân ñê ca thông kê toán ñưc gii quyêt ch yêu nh vào viec xây dng các hàm thông kê ch ph thuoc vào mau tong quát, không ph thuoc các tham sô. 1.2. Ư2c lưng ñiem • Ưc lưng ñiem ca tham sô θ (t le, trung bình, phương sai,…) là thông kê θ = θ(X1,...,Xn ) ɵ ɵ ch ph thuoc vào n quan sát X1, …, Xn, không ph thuoc vào θ . VD 1. • T le mau 1 2 n X X ... X F + + + = là ưc lưng n ñiem ca t le tong the p. • Trung bình mau 1 2 n X X ... X X + + + = là ưc n lưng ñiem ca trung bình tong the μ . 1.3. Ư2c lưng không chech (tham kh o) • Thông kê ( ) 1 n X ,...,X θɵ là ưc lưng không chech ca θ nêu ( ) 1 n E X ,...,X θ = θ ɵ . VD 2. • EF = p (t le mau là ưc lưng không chech ca t le tong the). • E(X) = μ (trung bình mau là ưc lưng không chech ca trung bình tong the μ ). = = σ • ( ) 2 ɵ (phương sai mau là ưc lưng E S2 E S 2 không chech ca phương sai tong the σ2 ). VD 3. Cân 100 sn pham ca 1 xí nghiep ta có bng sô lieu: x (gr) 498 502 506 510 ni 40 20 20 20 Ta có: 498.40+502.20+506.20+510.20 x = = 502,8(gr) . 100 D ñoán (ưc lưng): Trng lưng trung bình ca các sn pham trong xí nghiep là μ ≈ 502,8(gr) . VD 4 (tham kh o). T mau tong quát W = (X1, X2) ta xét hai ưc lưng ca trung bình tong the μ sau: 1 1 ′ = + . = + và 1 2 X X X 1 2 2 2 1 2 X X X 3 3 a) Chng t X và X′ là ưc lưng không chech ca μ . b) Ưc lưng nào hieu qu hơn? Gi i = + = + a) ( ) 1 1 1 1 E X E X X E ( X ) E ( X ) 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 = μ + μ = μ . ′ = + = + ( ) 1 2 1 ( ) 2 ( ) 1 2 1 2 E X E X X E X E X 3 3 3 3 1 2 3 3 = μ + μ = μ ⇒ (ñpcm). = + b) ( ) 1 1 Var X Var X X 1 2 2 2 1 Var ( X ) 1 Var ( X ) 4 4 4 4 2 2 2 2 1 2 σ σ σ = + = + = . ( ) 1 2 ′ = 1 + 2 Var X Var X X 3 3 1 Var ( ) 4 X Var ( X ) 4 5 9 9 9 9 9 2 2 2 1 2 σ σ σ = + = + = ⇒ Var(X) Var(X′ ). Vay ưc lưng X hieu qu hơn. §2. Ư:C LƯNG KHO NG 2.1. ðnh nghĩa • Khong (θ1; θ2 ) ɵ ɵ ca thông kê θɵ ñưc gi là khong tin cay ca tham sô θ nêu vi xác suât 1 − α cho trưc thì P(θ1 θ θ2 ) = 1 − α ɵ ɵ . • Xác suât 1 − α là ño tin cay ca ưc lưng, θ2 − θ1 = 2ε ɵ ɵ là ño dài khong tin cay và ε là ño chính xác ca ưc lưng. Khi ñó: θ ∈ (θ1; θ2 ) ɵ ɵ . • Bài toán tìm khong tin cay ca θ là bài toán ưc lưng khong. Chú ý • Do tong the X là biên ngau nhiên liên tc nên: P(θ1 θ θ2 ) = P(θ1 ≤ θ ≤ θ2 ) ɵ ɵ ɵ ɵ . Do ñó, ta có the ghi 1; 2 θ ∈ θ θ ɵ ɵ . 2.2. Ư2c lưng kho ng cho t le tong the p • Gi s
- 111. t le p các phân t
- 112. có tính chât A ca tong the chưa biêt. Vi ño tin cay 1 − α cho trưc, khong tin cay cho p là ( ) 1 2 p ; p tha: ( ) 1 2 P p p p = 1 − α . www.vietmaths.com www.vietmaths.com
- 113. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 17 = = (n: c7 mau; Trong thc hành vi t le mau n m f f n m: sô phân t
- 114. quan tâm), khong tin cay cho p là: (f − ε; f + ε ), vi f (1 f ) ε = . t − n α Trong ñó tα là mc phân v, tìm ñưc t 1 ϕ (t ) = bang cách tra bng B. Chú ý • ( ) − α 2 α = t 2 − + ε 2 n α f 1 f 1 là kích thưc mau cân chn ng vi ε , 1 − α cho trưc ([x] là phân nguyên ca x). VD 1. Mot trưng ðH có 10.000 sinh viên. ðiem danh ngau nhiên 1000 sinh viên thây có 76 ngưi b hc. Hãy ưc lưng sô sinh viên b hc ca trưng vi ño tin cay 95%. VD 2. ðe ưc lưng sô cá trong 1 hô ngưi ta bat lên 3000 con, ñánh dâu rôi th li xuông hô. Sau 1 thi gian bat lên 400 con thây có 60 con có ñánh dâu. Vi ño tin cay 97%, hãy ưc lưng sô cá có trong hô. VD 3. Lây ngau nhiên 200 sn pham trong 1 kho hàng thây có 21 phê pham. a) Ưc lưng t le phê pham có trong kho hàng vi ño tin cay 99%. b) Da vào mau trên, nêu muôn ño chính xác ca ưc lưng là ε = 0,035 thì ño tin cay ca ưc lưng là bao nhiêu ? c) Da vào mau trên, nêu muôn ño chính xác là 0,01 vi ño tin cay 97% thì cân kiem tra thêm bao nhiêu sn pham n$a ? 2.3. Ư2c lưng trung bình tong the μ • Gi s
- 115. tong the có trung bình μ chưa biêt. Vi ño tin cay 1 − α cho trưc, khong tin cay cho μ là ( μ ; μ ) 1 2 tha: P ( μ μ μ ) = 1 − α . 1 2 Trong thc hành ta có 4 trưng hp sau a) Trưng hp 1. Kích thưc mau n ≥ 30 và phương sai tong the σ2 ñã biêt. • Tính x (trung bình mau). T 1 − α B − α ⇒ = ϕ → . 1 (t ) t 2 α α • Suy ra μ ∈ (x − ε; x + ε ) vi t n α σ ε = . VD 4. Kho sát ngau nhiên 100 sinh viên thây ñiem trung bình môn XSTK là 5,12 ñiem vi ño lech chuan 0,26 ñiem. Hãy ưc lưng ñiem trung bình môn XSTK ca sinh viên vi ño tin cay 97%. b) Trưng hp 2. Kích thưc mau n ≥ 30 và phương sai tong the σ2 chưa biêt. • Tính 2 2 n 2 ⌢ ⌢ (ño lech chuan ⇒ = ⇒ x, s s s s − n 1 mau hieu chnh). 1 − α • T B − α ⇒ = ϕ → (bng B) 1 (t ) t 2 α α ⇒ μ ∈ (x − ε; x + ε ) vi s ε = t α . n VD 5. ðo ñưng kính ca 100 trc máy do 1 nhà máy sn xuât thì ñưc bng sô lieu: ðưng kính (cm) 9,75 9,80 9,85 9,90 Sô trc máy 5 37 42 16 a) Hãy ưc lưng ñưng kính trung bình ca trc máy vi ño tin cay 97%. b) Da vào mau trên, vi ño chính xác 0,006, hãy xác ñnh ño tin cay. c) Da vào mau trên, nêu muôn có ño chính xác là 0,003 vi ño tin cay 95% thì cân phi ño bao nhiêu trc máy ? c) Trưng hp 3. Vi n 30 , phương sai tong the σ2 ñã biêt và X có phân phôi chuan thì ta làm như trưng hp 1. d) Trưng hp 4. Vi n 30 , phương sai tong the σ2 chưa biêt và X có phân phôi chuan. • Tính ⌢ 2 2 n ⌢ 2 . ⇒ = ⇒ x, s s s s − n 1 T 1 − α ⇒ α C → tn−1 α (bng C) • Suy ra μ ∈ (x − ε; x + ε ) vi t n 1 s . n − ε = α . Chú ý • Trong thc hành, nêu ñê bài không cho X có phân phôi chuan thì ta bo sung vào. VD 6. Biêt chiêu dài ca 1 sn pham là ñi lưng ngau nhiên có phân phôi chuan. ðo ngau nhiên 10 sn pham này thì ñưc trung bình 10,02m và ño lech chuan ca mau chưa hieu chnh là 0,04m. Tìm khong ưc lưng chiêu dài trung bình ca loi sn pham này vi ño tin cay 95%. VD 7. Năng suât lúa trong 1 vùng là ñi lưng ngau nhiên có phân phôi chuan. Gat ngau nhiên 115 ha lúa ca vùng này ta có sô lieu: Năng suât (t/ha) 40 – 42 42 – 44 44 – 46 Dien tích (ha) 7 13 25 Năng suât (t/ha) 46 – 48 48 – 50 50 – 52 Dien tích (ha) 35 30 5 a) Hãy ưc lưng năng suât lúa trung bình , vùng này vi ño tin cay 95%. b) Nh$ng th
- 116. a ruong có năng suât không quá 44 t/ha là năng suât thâp. Hãy ưc lưng năng suât trung bình ca nh$ng th
- 117. a ruong có năng suât thâp vi ño tin cay 99%. www.vietmaths.com www.vietmaths.com
- 118. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 18 VD 8. ðe nghiên cu nhu câu vê loi hàng A , 1 khu vc ngưi ta tiên hành kho sát 400 trong toàn bo 4000 gia ñình, kêt qu: Nhu câu (kg/tháng) 0–1 1–2 2–3 3–4 Sô gia ñình 10 35 86 132 Nhu câu (kg/tháng) 4–5 5–6 6–7 7–8 Sô gia ñình 78 31 18 10 a) Ưc lưng nhu câu trung bình loi hàng A ca khu vc trên trong 1 năm vi ño tin cay 95%. b) Vi mau kho sát trên, nêu muôn có ưc lưng vi ño chính xác 4,8 tân và ño tin cay 95% thì cân kho sát tôi thieu bao nhiêu gia ñình trong khu vc? 2.4. Ư2c lưng phương sai tong the σ2 • Gi s
- 119. tong the X có phân phôi chuan vi phương sai σ2 chưa biêt. Vi ño tin cay 1 − α cho trưc, khong tin cay cho σ2 là ( 2 2 ) 1 2 σ ; σ tha: ( 2 2 2 ) 1 2 P σ σ σ = 1 − α . Trong thc hành ta có hai trưng hp sau a) Trưng hp 1. Trung bình tong the μ ñã biêt. 2 k 2 = Σ − μ ≤ ɵ . • T mau ta tính ( ) n.s n x , k n i i = i 1 • T 1 α − α ⇒ , tra bng D tìm ñưc: 2 α α χ 2 1 − , χ 2 n n 2 2 . 2 2 ɵ ɵ n.s n.s ⇒ σ = σ = 2 , 2 1 2 α α χ 2 1 − χ 2 n 2 n 2 . b) Trưng hp 2. Trung bình tong the μ chưa biêt. • T mau ta tính ( ) k 2 ⇒ − 2 = Σ − ≤ . x (n 1)s n x x , k n i i = i 1 • T 1 α − α ⇒ , tra bng D tìm ñưc: 2 α α χ 2 1 − , χ 2 n − 1 2 n − 1 2 . − − 2 2 (n 1)s (n 1)s ⇒ σ = σ = 2 , 2 1 2 α α χ 2 − 1 − n 1 χ 2 2 n − 1 2 . VD 9. Trng lưng gói mì X(gr) là bnn có phân phôi chuan. Cân kiem tra 15 gói mì có sô lieu: X(gr) 84 84,5 85 85,5 Sô gói 2 3 8 2 Vi ño tin cay 93%, hãy ưc lưng phương sai X trong moi trưng hp sau: a) Biêt trng lưng trung bình gói mì là 84,9gr. b) Chưa biêt trng lưng trung bình gói mì. VD 10. Kho sát 16 sinh viên vê ñiem trung bình ca hc kỳ 2 thì tính ñưc s2 = 2,25 ñiem. Ưc lưng phương sai vê ñiem trung bình hc kỳ 2 ca sinh viên vi ño tin cay 97%, biêt rang ñiem trung bình X ca sinh viên là biên ngau nhiên có phân phôi chuan. VD 11. Mc hao phí nguyên lieu cho 1 ñơn v sn pham là ñi lưng ngau nhiên X (gr) có phân phôi chuan. Quan sát 28 sn pham này ngưi ta thu ñưc bng sô lieu: X (gr) 19,0 19,5 20,0 20,5 Sô sn pham 5 6 14 3 Vi ño tin cay 90%, hãy ưc lưng phương sai ca mc hao phí nguyên lieu trên trong 2 trưng hp: a) Biêt EX = 20gr. b) Chưa biêt EX. Chương VI. KIEM ð9NH GI THIÊT THÔNG KÊ §1. KIEM ð9NH GI THIÊT VÊ ðAC TRƯNG TONG THE (ðÁM ðÔNG) 1.1. Khái niem bài toán kiem ñnh • Dùng các thông kê t mau ñe châp hay bác b mot gi thiêt H nào ñó nói vê tong the gi là kiem ñnh gi thiêt thông kê. • Khi kiem ñnh gi thiêt H có the xy ra 1 trong 2 sai lâm sau: 1) Loi 1: Bác b H trong khi H ñúng; 2) Loi 2: Châp nhan H trong khi H sai. • Phương pháp kiem ñnh là cho phép xác suât xy ra sai lâm loi 1 không vư t quá mc ý nghĩa α. Vi mc ý nghĩa α ñã cho, ta châp nhan H nêu xác suât xy ra sai lâm loi 2 là nh nhât. Chú ý • Mc ý nghĩa α gim thì P(loi I) gim ⇒ P(loi II) tăng, nghĩa là kh năng châp nhan H tăng. 1.2. Kiem ñnh gi thiêt t le tong the p www.vietmaths.com www.vietmaths.com
- 120. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 19 − F p = ∈ và Vi t le p0 cho trưc thì 0 T N(0; 1) p q n 0 0 Wα = {t ∈ T P(t tα ) ≤ α} là miên bác b gi thiêt H. Các bưc gii • ðat gi thiêt H: p = p0 (nghĩa là t le tong the như t le cho trưc). • T mau c the ta tính t le mau m f = và n − f p giá tr kiem ñnh 0 = . 0 0 t p q n • T mc ý nghĩa α ⇒ 1 − α − α 1 B ⇒ = ϕ (t α ) → t 2 α . – Nêu t ≤ tα thì ta châp nhan gi thiêt, nghĩa là p = p0. – Nêu t tα thì ta bác b gi thiêt, nghĩa là p ≠ p . 0 • Trong trưng hp bác b, nêu f p0 thì kêt luan p p0 và f p0 thì p p0. VD 1. Kiem tra 800 sinh viên thây có 128 sinh viên gii. Trưng báo cáo tong kêt là có 40% sinh viên gii thì có the châp nhan ñưc không vi mc ý nghĩa 5%? VD 2. ðe kiem tra 1 loi súng the thao, ngưi ta cho ban 1000 viên ñn vào bia thây có 540 viên trúng ñích. Sau ñó, bang ci tiên ky thuat ngưi ta nâng t le trúng lên 70%. Hãy cho kêt luan vê ci tiên vi mc ý nghĩa 1%. VD 3. Theo báo cáo, t le hàng phê pham trong kho là 12%. Kiem tra ngau nhiên 100 sn pham thây có 13 phê pham. Vi mc ý nghĩa 5% thì báo cáo trên có ñáng tin không ? VD 4. Mot công ty tuyên bô rang 40% dân chúng ưa thích sn pham ca công ty. Mot cuoc ñiêu tra 400 ngưi tiêu dùng thây có 175 ngưi ưa thích sn pham ca công ty. Vi mc ý nghĩa 3%, hãy kiem ñnh tuyên bô trên ? 1.3. Kiem ñnh gi thiêt trung bình tong the μ • Vi trung bình μ0 cho trưc, tương t bài toán ưc lưng khong cho trung bình tong the, ta có các trưng hp sau (tóm tat): • ðat gi thiêt H: μ = μ0 (nghĩa là trung bình tong the như trung bình cho trưc). a) Trưng hp 1. Vi n ≥ 30, σ2 ñã biêt. • Tính 0 x t , t n α − μ = σ . • Nêu t ≤ tα ta châp nhan gi thiêt; t tα ta bác b gi thiêt. b) Trưng hp 2. Vi n ≥ 30, σ2 chưa biêt. Làm như trưng hp 1 nhưng thay σ = s . c) Trưng hp 3. Vi n 30, σ2 ñã biêt, X có phân phôi chuan (làm như trưng hp 1). d) Trưng hp 4. Vi n 30, σ2 chưa biêt, X có phân phôi chuan. − μ • Tính 0 x t = . T mc ý nghĩa C tn−1 s n α → α . • Nêu t tn−1 ≤ α ta châp nhan gi thiêt; t tn−1 α ta bác b gi thiêt. Chú ý • Trong trưng hp bác b: Nêu 0 0 x μ ⇒ μ μ và 0 0 x μ ⇒ μ μ . VD 5. Trng lưng trung bình ca ca mot loi sn pham là 6kg. Kiem tra 121 sn pham thây trng lưng trung bình là 5,795 kg và phương sai 2 s = 5,712 ɵ . Hãy kiem ñnh vê trng lưng trung bình ca sn pham này vi mc ý nghĩa 5%. VD 6. Cân th
- 121. 15 con gà tây , 1 tri chăn nuôi khi xuât chuông ta tính ñưc x = 3,62kg . Biêt trng lưng gà tây là biên ngau nhiên có σ2 = 0, 01 . a) Giám ñôc tri nói rang trng lưng trung bình ca gà tây là 3,5kg, vi mc ý nghĩa 2% hãy kiem ñnh li nói trên ? b) Gi s
- 122. ngưi ta dùng thc ăn mi và khi xuât chuông trng lưng trung bình ca gà tây là 3,9 kg. Vi mc ý nghĩa 3%, hãy cho kêt luan vê loi thc ăn này ? VD 7. Khôi lưng ca mot bao go ca 1 nhà máy là biên ngau nhiên có ño lech tiêu chuan là 0,3kg. Ban giám ñôc tuyên bô khôi lưng moi bao go ca nhà máy là 50kg. Cân th
- 123. 50 bao thì thây khôi lưng trung bình là 49,97kg. Vi mc ý nghĩa 1%, hãy kiem tra li tuyên bô trên ? VD 8. ðiem trung bình môn toán ca sinh viên năm trưc là 5,72. Năm nay theo dõi 100sv ñưc sô lieu: ðiem 3 4 5 6 7 8 9 Sô sinh viên 3 5 27 43 12 6 4 Vi mc ý nghĩa 5%, phi chăng ñiem trung bình ca sinh viên năm nay cao hơn năm trưc? www.vietmaths.com www.vietmaths.com
- 124. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 20 VD 9. Chiêu cao cây giông X(m) trong mot vưm ươm là biên ngau nhiên có phân phôi chuan. ðo ngau nhiên 25 cây ta có: X (m) 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 Sô cây 1 2 9 7 4 2 Theo quy ñnh khi nào cây cao trung bình trên 1m thì ñem ra trông. Vi mc ý nghĩa 5%, có the ñem cây ra trông ñưc chưa ? 1.4. Kiem ñnh gi thiêt phương sai tong the có phân phôi chuan σ2 (tham kh o) Vi 2 0 σ cho trưc, ta thc hien các bưc sau: 0 σ = σ (nghĩa là phương sai tong the • ðat gi thiêt H: 2 2 như phương sai cho trưc). • T mau ta tính giá tr kiem ñnh 2 2 (n −1)s 2 0 χ = σ . α α α − α ⇒ →χ χ − • T D 2 2 n 1 n 1 1 , 1 2 2 2 − − . α α χ χ χ − • Nêu 2 2 2 n 1 n 1 1 2 2 − − ta châp nhan gi thiêt, ngưc li thì bác b gi thiêt. • Trong trưng hp bác b, nêu 2 2 0 s σ thì kêt luan σ 2 σ 2 và s 2 σ 2 thì σ 2 σ 2 . 0 0 0 VD 10. Tiên hành 25 quan sát vê ch tiêu X ca 1 loi sn pham, ta tính ñưc s2 = 416,667. Có tài lieu nói rang phương sai ca ch tiêu X là 400. Vi mc ý nghĩa 3%, cho nhan xét vê tài lieu này? §2. KIEM ð9NH SO SÁNH HAI ðAC TRƯNG 2.1. So sánh hai t le px và py c+a hai tong the X, Y • ðat gi thiêt H: px = py. • T 2 mau ta tính x x m m = , y x f n y = , y f n + m m x y 0 x y p n n = + (t le thc nghiem chung ca hai mau). • Tính 0 0 q = 1 − p − f f x y 0 0 x y t 1 1 p q n n ⇒ = + (giá tr kiem ñnh). • Nêu t ≤ tα thì châp nhan H x y ⇒ p = p ; t t α ⇒ nêu x y x y p p f f t t α ⇒ ; nêu x y x y p p f f . VD 1. T hai tong the X1, X2 tiên hành 2 mau có kích thưc n1 = 100, n2 = 120 ta tính ñưc f1 = 0,2 và f2 = 0,3. Vi mc ý nghĩa 1% hãy so sánh hai t le ca hai tong the ñó. VD 2. Kiem tra 120 sinh viên trưng A thây có 80 sinh viên gii, 150 sinh viên trưng B có 90 sinh viên gii. Hi t le sinh viên gii ca 2 trưng như nhau không vi mc ý nghĩa là 5%? VD 3. Kiem tra 120 sn pham , kho I thây có 6 phê pham. Kiem tra 200 sn pham , kho II thây có 24 phê pham. Chât lưng hàng , hai kho có khác nhau không vi: 1) Mc ý nghĩa 5% ? 2) Mc ý nghĩa 1% ? 2.2. So sánh hai trung bình μx và μy c+a hai tong the Tóm tat 4 trưng hp (châp nhan hay bác b# gi thiêt như bài kiem ñnh trung bình): • ðat gi thiêt H: μx = μy. Trưng hp 1. x y n , n ≥ 30 và 2 2 x y σ , σ ñã biêt. • T 2 mau c the ta tính kiem ñnh − x y 2 2 x y x y t n n = σ σ + và so sánh vi tα . Trưng hp 2. x y n , n ≥ 30 và 2 2 x y σ , σ chưa biêt. Ta thay 2 2 x y σ , σ b,i 2 2 x y s , s trong trưng hp 1. Trưng hp 3. x y n , n 30 và 2 2 x y σ , σ ñã biêt ñông thi X, Y có phân phôi chuan (như trưng hp 1). Trưng hp 4. x y n , n 30 và 2 2 x y σ , σ chưa biêt; X, Y có phân phôi chuan. • Tính phương sai mau chung chưa hieu chnh ca 2 mau − + − 2 2 (n 1)s (n 1)s 2 x x y y x y s n n 2 = + − . • Tính giá tr kiem ñnh − x y x y t 1 1 s. n n = + . + − • T x y C n n 2 t α → α và so sánh vi t. VD 4. Cân th
- 125. 100 trái cây , nông trưng I ta tính ñưc 2 x x = 101,2gr; s = 571,7 và 361 trái cây , nông trưng II tính ñưc 2 y y = 66, 39gr; s = 29,72 . Hãy so sánh trng lưng trung bình ca trái cây , 2 nông trưng vi mc ý nghĩa 1%. VD 5. ðo ñưng kính 20 trc máy do máy I sn xuât và 22 trc máy do máy II sn xuât ta tính ñưc x = 251,7mm ; 2 x s = 52,853 và y = 249,8mm ; 2 y s = 56,2 . Có the xem ñưng kính trung bình ca các trc máy , 2 máy như nhau vi mc ý nghĩa 1% không? www.vietmaths.com www.vietmaths.com
- 126. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 21 VD 6. Khôi lưng trung bình ca 50 trái dưa hâu do xã A trông là 6,72kg vi sx = 0,72kg. Khôi lưng trung bình ca 80 trái dưa hâu do xã B trông là 6,46kg vi sy = 0,91kg. Vi mc ý nghĩa 1% có kêt luan khôi lưng trung bình trái dưa hâu do xã A trông nang hơn không ? VD 7. Khôi lưng trung bình ca 23 trái dưa hâu do xã A trông là 6,72kg vi sx = 0,72kg. Khôi lưng trung bình ca 19 trái dưa hâu do xã B trông là 6,46kg vi sy = 0,91kg. Vi mc ý nghĩa 1% có kêt luan khôi lưng trung bình trái dưa hâu do xã A trông nang hơn không ? x σ và 2 2.3. So sánh hai phương sai 2 y σ c+a hai tong the (so sánh t le phương sai) (tham kh o) x y σ = σ . • ðat gi thiêt H: 2 2 • Tính giá tr kiem ñnh 2 x 2 y s g = . s • T mc ý nghĩa α α ⇒ . 2 f = fα(n −1, n −1) . Tra bng E ta tìm ñưc x y 2 • Nêu g f ta châp nhan gi thiêt, nêu g f ta bác b gi thiêt. • Trong trưng hp bác b gi thiêt: – Nêu 2 2 x y s s thì kêt luan 2 2 x y σ σ và ngưc li. VD 8. Giá co phiêu là biên ngau nhiên có phân phôi chuan. ðiêu tra ngau nhiên giá co phiêu ca công ty X trong 25 ngày tính ñưc ño lech tiêu chuan mau hieu chnh là 7,5 ngàn ñông; ca công ty Y trong 22 ngày là 6,2 ngàn ñông. Vi mc ý nghĩa 5%, hãy so sánh vê ño ri ro co phieu ca hai công ty trên. VD 9. Doanh sô bán hàng (ñơn v: trieu ñông) ca 1 công ty A là biên ngau nhiên có phân phôi chuan. Công ty A cho ngưi theo dõi doanh sô bán hàng trong 7 ngày , vùng X thì tính ñưc phương sai mau chưa hieu chnh là 82,1; , vùng Y trong 6 ngày thì tính ñưc 25,3. Vi mc ý nghĩa 3%, hãy so sánh ño ri ro ñâu tư ca công ty A , hai vùng trên. Chương VII. LÝ THUYÊT TƯƠNG QUAN VÀ HÀM HÔI QUY 1. He sô tương quan gi)a X và Y • ðe minh ha cho vân ñê, chúng ta th
- 127. xem xét nghiên cu sau ñây mà trong ñó nhà nghiên cu ño lưng ño cholesterol (Y) trong máu ca 10 ñôi tưng nam , ño tuoi (X). Kêt qu ño lưng như sau: X 20 52 30 57 28 Y 1,9 4,0 2,6 4,5 2,9 X 43 57 63 40 49 Y 3,8 4,1 4,6 3,2 4,0 Bieu ñô liên he gi$a ño tuoi và ño cholesterol: Bieu ñô trên ñây gi ý cho thây môi liên he gi$a ño tuoi (X) và cholesterol (Y) là mot ñưng thang (tuyên tính). • ðe “ño lưng” môi liên he này, chúng ta có the s
- 128. dng he sô tương quan: n Σ Σ Σ − − (x x)(y y) i i = i 1 xy n n 2 2 2 2 x y i i i 1 i 1 xy x.y r s .s (x x) (y y) = = − = = − − ⌢ ⌢ . = Σ , ij n = Σn . Trong ñó ij i i i 1 j 1 1 xy n x n y = = ⌢ ⌢ có sai sô bé hơn x y s .s Chú ý. 2 2 x y s .s ⌢ ⌢ . Ý nghĩa • He sô tương quan ño môi quan he tuyên tính gi$a x, y. 1) xy −1 ≤ r ≤ 1 . 2) Nêu xy r = 0 thì hai biên sô không có quan he tuyên tính; nêu xy r = ±1 thì hai biên sô có quan he tuyên tính tuyet ñôi. 3) Nêu xy r 0 thì quan he gi$a x, y là gim biên (có nghĩa là khi x tăng thì y gim). 4) Nêu xy r 0 thì quan he gi$a x, y là ñông biên (có nghĩa là khi x tăng thì y cũng tăng). www.vietmaths.com www.vietmaths.com
- 129. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 22 VD 1. Tính he sô tương quan gi$a ño tuoi và cholesterol cho , bng trên. Ta có: n = Σ = ; i x i 1 1 x 43 n ,9 = n = Σ = ; i y i 1 1 y 3, n 56 = = Σ = ; xy y 167,2 ij i i i 1 j 1 1 n x 6 n = = y s = 0,6944 ⌢ . 2 x s = 183,29 ⌢ ; 2 − xy x.y = = ⌢ ⌢ . Vay xy 2 2 r 0, 9729 s .s x y 2. ðưng thang hôi qui • ðe tien viec theo dõi và mô t mô hình, gi ño tuoi cho cá nhân i là xi và cholesterol là yi, i = 1,10 . – Các ñiem có ta ño (xi; yi) to thành ñưng gâp khúc và gân vi ñưng thang có dng y = ax + b. Ngưi ta dùng ñưng thang y = ax + b ñe tính xâp x các giá tr yi theo xi: i i i y = ax + b + ε vi mot sai sô i ε , ñưng thang này ñưc gi là ñưng thang hôi quy. – Các thông sô a, b phi ñưc ưc tính t d$ lieu. Phương pháp ñe ưc tính các thông sô này là phương pháp bình phương bé nhât. Phương pháp bình phương bé nhât là tìm giá tr a, b sao cho tong bình phương sai sô n n Σε 2 = Σ y − (ax + 2 b) là nh nhât. i i i = = i 1 i 1 – Ưc lưng cho a, b ñáp ng ñiêu kien trên là: − xy x.y = ⌢ = − . a , b y ax 2 x s Chú ý − − ⌢ = ⌢ . y y x x x r xy s s y x VD 2. ðo chiêu cao X(m) và khôi lưng Y(kg) ca 5 hc sinh, ta có kêt qu: X(m) 1,45 1,6 1,5 1,65 1,55 Y(kg) 50 55 45 60 55 a) Tìm he sô tương quan rxy. b) Lap phương trình hôi quy tuyên tính ca Y theo X. c) D ñoán nêu mot hc sinh cao 1,62m thì nang khong bao nhiêu kg? VD 3. Sô vôn ñâu tư X(trieu ñông) và li nhuan Y(trieu ñông) trong mot ñơn v thi gian ca 100 quan sát là: Y X 0,3 0,7 1,0 1 20 10 2 30 10 3 10 20 a) Lap phương trình hôi tuyên tính ca X theo Y. b) D ñoán nêu muôn li nhuan thu ñưc là 0,5 trieu ñông thì cân ñâu tư bao nhiêu? VD 4. Sô thùng bia Y(thùng) ñưc bán ra ph thuoc vào giá bán X (trieu ñông/ thùng). ðiêu tra 100 ñi lý vê 1 loi bia trong mot ñơn v thi gian có bng sô lieu: Y X 100 110 120 0,150 5 15 30 0,160 10 25 0,165 15 a) Tính he sô tương quan rxy. b) Lap phương trình hôi tuyên tính ca X theo Y. c) D ñoán nêu muôn bán ñưc 115 thùng bia thì giá bán moi thùng c7 bao nhiêu? 3. S# d1ng máy tính tìm ñưng hôi qui VD 5. (fx 500ES) Bài toán cho dng cap i i (x , y )như sau X 20 52 30 57 28 43 57 63 40 49 Y 1,9 4 2,6 4,5 2,9 3,8 4,1 4,6 3,2 4 Tìm he sô xy r , ñưng hôi qui mau x y = ax + b . Nhap lieu: SHIFT - MODE - dch chuyen mũi tên tìm chn mc Stat- 2 (chê ño không tân sô) MODE-2 (stat) -2 (A+Bx) - (nhap các giá tr ca X, Y vào 2 cot) X Y 20 1,9 … … 49 4 Xuât kêt qu: SHIFT - 1 - 7 -1(A chính là b trong phương trình) - 2 (B chính là a trong phương trình) - 3 (r chính là xy r ). VD 6. (fx 500ES) Bài toán cho dng bng như sau X Y 21 23 25 3 2 4 5 3 5 11 8 Nhap lieu: SHIFT - MODE - dch chuyen mũi tên tìm chn muc Stat- 1 (chê ño có tân sô) MODE-2 (stat) -2 (A+Bx) - (nhap các giá tr ca X, Y, tân sô vào 2 cot) X Y FREQ 21 3 2 21 4 5 23 4 3 23 5 11 25 5 8 Xuât kêt qu giông ví d trên. ------------------------------------Hêt-------------------------------------- www.vietmaths.com www.vietmaths.com