1. Các bài toán vê nguyên lý dêm
251
CÁC BÀI TOÁN VÊ NGUYÊN LÝ DÊM
I. TÓM TAT LÝ THUYÊT
1. Chnh hp
Cho mot tap hp gôm n phân t (1£ nÎ ) . Moi bo sap th t
gôm k phân t
trong sô n phân t dã cho dưc gi là mot chnh hp chap k ca n phân t dó.
A n n n k n
1 ... 1 !
Sô các chnh hp chap k ca n phân t là: ( ) ( )
( )
!
k
n
n k
= − − + =
−
2. Hoán v: Mot chnh hp chap n ca n phân t dưc gi là mt hóan v ca n
phân t dó. Sô các hoán v ca n phân t là: ( 1) ....2.1 ! n
n n P = A = n n − = n
3. To hp: Cho mot tap hp n phân t phân biet. Moi tap con gôm k phân t
phân biet không sap th t
( 0 £ k £ n ), lây trong sô n phân t dã cho là mot to
hp chap k ca n phân t.
Sô các to hp chap k ca n phân t là:
C A n
1 !
! ! ( )
!
k k
n n
= × =
k k n −
k
4. Qui tac cong
Cho 1 2 , , ..., n X X X là các tap hp hu hn không giao nhau: i j X X =Æ thì
1 2 1 1 2 1 ... n n ... n n X X X X X X X X − − = + + + + vi i X là sô phân t.
Ý nghia sô hc:
Gi s mot phép chn dưc th
c hien qua n bưc doc lap vi nhau trong dó:
Bưc 1 có 1 p cách th
c hien; Bưc 2 có 2 p cách; … Bưc n có n p cách.
Khi dó có 1 2 ... n p + p + + p cách khác nhau th
c hien phép chn.
5. Qui tac nhân
Cho Cho 1 2 , , ..., n X X X là các tap hp hu hn vi sô phân t: i i X = p , khi dó:
1 2 1 1 2 1 ... n n ... n n X X X X p p p p − − × × × × = × × × ×
Ý nghia sô hc:
Gi s mot phép chn dưc th
c hien qua n bưc liên tiêp trong dó:
Bưc 1 có 1 p cách th
c hien; Bưc 2 có 2 p cách ; … Bưc n có n p cách .
Khi dó có 1 2 1 ... n n p p p p − × × × × cách khác nhau th
c hien phép chn.
2. Chng III. To hp, Xác suât và Sô ph
c − Trân Phng
II. CÁC DNG BÀI TAP C BN TRONG NGUYÊN LÝ DÊM
II.1. PH
NG PHÁP CHUNG GI
3. I BÀI TOÁN VÊ CÂU TO SÔ
Gi s m, n là các sô nguyên dương vi m £ n thì:
1) Sô cách viêt m trong n ch sô khác nhau vào m v trí dnh trưc là m
252
n A
2) Sô cách viêt m ch sô khác nhau trong n v trí dnh trưc là m
n A
( n − m v trí còn li không thay doi ch sô)
3) Sô cách viêt m ch sô giông nhau trong n v trí dnh trưc là n m m
n n C C − =
4) Cho tap hp gôm n ch sô, trong dó có ch sô 0, sô các sô có m ch sô to
1 1 m
n n A −
thành t chúng là ( ) 1
− −
Th
c vay, có (n −1) cách chn ch sô d ng dâu, sau dó áp dng menh dê 2.
Sau dây là các dng toán thưng gap.
A. Dng 1. SÔ T
4. O THÀNH CHA CÁC CH SÔ DNH TRƯC.
Cho tap hp gôm n ch sô, trong dó có ch sô 0, t chúng viêt dưc bao nhiêu
sô có m ch sô khác nhau sao cho trong dó có k ch sô d
6. i: Sô to thành gôm m v trí 1 2 ... m a a a . Gi tap hp k ch sô dinh
trưc là X. Ta xét hai bài toán nh! theo các kh nang ca gi thiêt vê tap hp X
và ch sô 0 như sau:
1) Trong X ch
a ch
sô 0
Ta có (m −1) cách chn v trí cho sô 0;
Sô cách chn (k −1) ch sô khác 0 thuoc X trong (m −1) v trí còn li là 1
A m −
k
m −
theo menh dê (1) .
Theo qui tac nhân, ta dưc sô các sô dó là ( ) 1
1 1 k m k
S = m − A − ×
A −
m − n − k 2) Trong X không ch
a ch
sô 0
Bư
c 1: Tính sô các sô to thành cha ch sô 0.
Lân lưt có (m −1) cách chn v trí cho 0 ;
7. Các bài toán vê nguyên lý dêm
k
m A − theo menh dê 2;
253
Sô cách viêt k ch sô thuoc X vào (m−1) v trí còn li là 1
Sô cách chn (m − k −1) trong sô (n − k −1) ch sô khác 0 mà không thuoc X
m k
n k A − −
vào (m − k −1) v trí còn li là 1
− − theo menh dê 1. Theo qui tac nhân, ta
1
1 1 1 1 k m k
m n k S m A A − −
dưc sô các sô dó là: ( ) 1
− − − = − ×
Bư
c 2: Tính sô các sô to thành không cha ch sô 0.
Sô cách viêt k ch sô thuoc X trong m v trí là k
m A theo menh dê 2;
Sô cách chn (m − k ) trong sô (n − k −1) ch sô khác 0 mà không thuoc X vào
m k
n k A −
(m − k ) v trí còn li là 1
− − theo menh dê 1. Theo qui tac nhân, ta dưc sô
k m k
m n k S A A −
các sô dó là: = ×
2 − − 1
Bư
c 3: Theo qui tac cong, ta dưc sô các sô to thành th!a mãn bài toán là:
1 2 S = S + S
Bài mau. T các sô 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có the lap dưc bao nhiêu sô gôm
6 ch sô khác nhau sao cho trong các ch sô dó có mat ch sô 0 và 1?
Gi
8. i: Có 5 cách chn v trí cho ch sô 0.
Vi moi cách chn trên li có 5 cách chn v trí cho ch sô 1 và có 4
8 A cách
chn v trí cho 4 trong 8 ch sô còn li.
Vay có tât c 4
8 5.5.A = 42000 sô gôm 6 ch sô khác nhau và trong các ch sô
dó có mat ch sô 0 và 1.
B. Dng 2. SÔ T
12. i: Sô to thành có dng 1 2 ... m a a a và 2 ch sô dnh trưc là x, y
(thuoc n ch sô dã cho) . Ta xét ba bài toán nh! theo các kh nang ca gi
thiêt vê ch sô x, y và ch sô 0 như sau:
1) Nêu n ch
sô dã cho ch
a ch
sô 0 và hai ch
sô dnh trc x, y khác 0.
Bư
c 1: Tính sô các sô to thành mot cách bât kì
13. Chng III. To hp, Xác suât và Sô ph
c − Trân Phng
Có n −1 cách chn v trí cho ch sô 0 và áp dng menh dê 2 dưc sô các sô dó
là: ( ) 1
254
1 1 1 m
S = n −
A −
n − Bư
c 2: Tính sô các sô có 2 ch sô x, y cnh nhau theo th t xy và yx .
TH1: 1 2 a a = xy . Khi dó moi sô 3 ... m a a ng vi mot chnh hp chap (m − 2)
m
n S A −
ca (n − 2) ch sô khác x, y. Sô các sô dó là: 2
− = theo menh dê 1.
2 2
TH2: 1 2 a a ¹ xy . Lân lưt ta có (n − 3) cách chn ch sô cho 1 a ¹ 0, x, y ;
(m − 2) cách chn v trí cho xy ; Sô cách chn (m − 3) trong (n −3) ch sô còn
m
n A −
li khác 1 a , x, y cho (m− 3) v trí còn li là 3
3
− theo menh dê 1.
3 3 3 2 m
n S n m A −
Theo qui tac nhân, sô các sô dó là: ( ) ( ) 3
− = − − .
T 2 trưng hp trên, ta dưc sô các sô có ch a xy là 2 3 S + S .
Tương t
có 2 3 S + S sô ch a yx .
Bư
c 3: Vay sô các sô tha mãn bài toán là: ( ) 1 2 3 S = S − 2 S + S .
2) Nêu n ch
sô dã cho ch
a ch
sô 0 và mot trong hai ch
sô dnh trc bang 0.
Bư
c 1: Tính sô các sô to thành mot cách bât kì: ( ) 1
1 1 1 m
S = n −
A −
n − 2 2 2 3 m
n S m A −
Bư
c 2: Tính sô các sô có 2 ch sô x và 0 cnh nhau: ( ) 2
− = −
(có m – 1 cách viêt x0 và m – 2 cách viêt 0x vào m v trí)
Bư
c 3: Vay sô các sô th!a mãn bài toán là: 1 2 S = S − S .
2 2 1 m m
n n S A m A −
3) Nêu n ch
sô dã cho không ch
a ch
sô 0: ( ) 2
− = − −
Bài 1. T các sô 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có the lao dưc bao nhiêu sô có 6 ch sô
khác nhau? Trong dó có bao nhiêu sô mà ch sô 1 và ch sô 6 không d ng
cnh nhau?
Gi
14. i: Bư
c 1: Tính sô các sô to thành mot cách bât kì
Có 6 cách chn ch sô dâu tiên khác 0 và có 5
6 A cách chn 5 trong 6 sô vào 5
v trí còn li. Vay có 5
6 6A sô có 6 ch sô to thành t các ch sô trên.
Bư
c 2: Tính sô các sô có 2 ch sô 1, 6 cnh nhau theo th t 16 và 61.
TH1: Nêu 2 ch sô dâu tiên là 1, 6, khi dó có 2! cách do v trí 2 sô này.
15. Các bài toán vê nguyên lý dêm
5 A cách chn 4 trong 5 sô vào 4 v trí còn li. Vay có 4
5 2A sô có 6 ch sô
6 C cách chn 3 trong 6 v trí cho
255
Có 4
to thành t các ch sô trên và có 2 sô dâu tiên là 1 và 6.
TH2: Nêu sô dâu tiên khác 1 và 6, khi dó có 4 cách chn de sô này khác 0.
Có 4 cách chn v trí cho 2 sô 1 và 6 cnh nhau.
4 A cách chn 3 trong 4 sô vào 3 v trí còn li.
Có 3
Mat khác ta có 2! cách do v trí 2 sô 1 và 6 cnh nhau. Vay có 3
4.4.A4 .2! sô có
6 ch sô có hai sô 1, 6 d ng cnh nhau và không d ng dâu tiên.
Bư
c 3: Vay sô các sô tha mãn bài toán là: 5 ( 4 3 )
6 5 4 S = 6A − 2 A + 4.4.A = 3312 .
C. Dng 3. SÔ T
17. I
Ví d: Có bao nhiêu sô t
nhiên só 6 ch sô sao cho trong dó có 1 ch sô xuât
hien 3 lân, 1 ch sô khác xuât hien 2 lân và 1 ch sô khác 2 ch sô trên.
Li gi
18. i: Nêu ke c trưng hp ch sô 0 d ng dâu, lân lưt:
Có 10 cách chn ch sô xuât hien 3 lân và có 3
ch sô dó. Sau dó có 9 cách chn ch sô xuât hien 2 lân và có 2
3 C cách chn 2
trong 3 v trí còn li cho ch sô dó. Tiêp theo có 8 cách chn ch sô cho v trí
còn li cuôi cùng. Ta dưc sô các sô dó là: 3 2 3 2
6 3 6 3 S =10.C .9.C .8 = 720.C .C .
Do vai trò ca 10 ch sô 0, 1, … 9 là như nhau nên sô các sô có ch sô d ng
dâu khác 0 th!a mãn bài toán là: 3 2
9 648. .
10
S = C C
6 3
Bài toán tong quát: Cho tap hp gôm n ch sô, t chúng viêt dưc bao nhiêu
sô có m ch sô sao cho trong dó có mot ch sô xuât hien k lân, mot ch sô
khác xuât hien q lân vi k + q = m.
Cách gi
19. i: Ta xét hai bài toán nh! dưi dây:
1) Nêu n ch
sô dã cho có ch
a ch
sô 0.
Bư
c 1: Nêu ke c trưng hp ch sô 0 dng dâu, ta thây:
Có n cách chn ch sô xuât hien k lân và có k
m C cách chn k trong m v trí
cho ch sô dó. Sau dó có (n −1) cách chn ch sô xuât hien q lân cho q v trí
còn li. Theo qui tac nhân ta tính dưc sô các sô dó là: ( 1) k
m S = n n − C
20. Chng III. To hp, Xác suât và Sô ph
c − Trân Phng
Bư
c 2: Vai trò ca n ch sô như nhau nên sô các sô có ch sô d ng dâu khác 0
th!a mãn bài toán là: n 1 S
256
−
n
2) Nêu n ch
sô dã cho không ch
a ch
sô 0: ( 1) k
m S = n n − C
Bài 1. T các ch sô 0, 1, 2, 3, 4, 5 có the lap dưc bao nhiêu sô gôm 8 ch sô
trong dó ch sô 1 có mat 3 lân còn moi ch sô khác có mat dúng 1 lân.
Gi
21. i
Xét 8 ch sô hình th c 0, 1a, 1b, 1c, 2, 3, 4, 5. Ta se lap sô gôm 8 ch sô trên.
Ch sô dâu tiên (hàng chc trieu) không the là 0 nên có 7 cách chn. Moi ch
sô tiêp sau có the là sô bât ky trong 7 ch sô còn li nên có 7! cách chn. Như
vay tât c có 7.7! sô có 8 ch sô. Do1a = 1b = 1c = 1 nên các ch sô trên dã lap
li 3! = 6 lân. Vay sô các sô th!a mãn yêu câu bài toán là 7.7! 5880
3!
= sô.
Bài 2. Cho tap hp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
a. T tap A có the lap dưc bao nhiêu sô có 12 ch sô sao cho ch sô 5 có mat
3 lân, ch sô 6 có mat 4 lân còn li ch sô khác có mat 1 lân?
b. T tap A có the lap dưc bao nhiêu sô có 7 ch sô sao cho có 1 ch sô lap
li 4 lân; mot ch sô khác lap li 2 lân và mot ch sô khác vi hai ch sô trên?
Gi
22. i
a. + Có 3
12 C cách chn v trí cho 3 ch sô 5
9 C cách chn v trí cho 4 ch sô 6.
+ Có 4
+ Có 5! cách xêp 5 ch sô còn li vào 5 v trí.
Vay có tât c: 3 4
12 9 C .C .5!= 3326400 sô cân tìm.
b. Bư
c 1: Có 7 cách chn ch sô lap li 4 lân t 7 ch sô dã cho.
7 C cách chn v trí cho 4 ch sô này.
Có 4
Bư
c 2: Có 6 cách chn ch sô lap li 2 lân t 6 ch sô dã cho còn li
3 C cách chn v trí cho 2 ch sô này.
Có 2
Bư
c 3: Có 5 cách chn ch sô xuât hien 1 lân t 5 ch sô dã cho còn li.
Vay sô các sô cân tìm là: 4 2
7 3 7.C .6.C .5 = 22050 sô.
23. Các bài toán vê nguyên lý dêm
4 C cách lây ra 3 viên bi vàng. Vay có 1 3 3
C5 .C7 .C4 cách lây ra
4 C cách lây ra 2 viên bi vàng. Vay có 2 3 2
5 7 4 C .C .C cách lây ra
257
II.2. CÁC DNG BÀI TOÁN SÔ HC TÍCH HP S VAT, HIEN T
NG
A. Dng 1: BÀI TOÁN CHN VAT
1) Dac trng ca bài toán:
Chn mot tap hp gôm có k phân t t n phân t khác nhau, k phân t không
có tính chât gì thay doi nêu như hoán v k v trí ca nó. Dây chính là dac diem
de nhan dng s dng công th c to hp.
2. Phng pháp:
Bư
c 1: Liet kê các tính chât có the có ca tap con cân chn
Bư
c 2: Phân chia trưng hp (nêu có)
Bư
c 3: Tính sô cách chn bang cách d
a vào công th c k
n C .
Bư
c 4: Dùng quy tac nhân và quy tac cong kêt qu ca bài toán
Bài 1. Mot hop d
ng 7 viên bi xanh; 5 viên bi d! và 4 viên bi vàng.
a) Có bao nhiêu cách lây ra 7 viên bi d 3 màu, trong dó có 3 viên bi xanh và
nhiêu nhât 2 viên bi d!?
b) Có bao nhiêu cách lây ra 8 viên bi có d 3 màu?
Gi
24. i
a) Xét hai trưng hp sau:
TH1: Có 1 viên bi d: khi dó có 1
5 C cách lây 1 viên bi d!; có 3
7 C cách lây ra 3
viên bi xanh và có 3
7 viên bi trong dó có 3 bi xanh, 1 bi d! và 3 bi vàng.
TH2: Có 2 viên bi d: khi dó có 2
5 C cách lây 2 viên bi d!; có 3
7 C cách lây ra 3
viên bi xanh và có 2
7 viên bi trong dó có 3 bi xanh, 2 bi d! và 2 bi vàng.
Vay có tât c: 1 3 3 2 3 2
5 7 4 5 7 4 C C C + C C C = 2800 cách.
b) Bư
c 1: Tính sô cách lây ra 8 viên bi bât ky: có 8
16 C cách
Bư
c 2: Tính sô cách lây ra 8 viên bi không có màu vàng mà ch có hai màu
xanh và d!: 7 1 6 2 5 3 4 4 3 5
7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 C C + C C + C C + C C + C C = 495
25. Chng III. To hp, Xác suât và Sô ph
c − Trân Phng
Bư
c 3: Tính sô cách lây ra 8 viên bi không có màu d! mà có hai màu xanh và
vàng: 7 1 6 2 5 3 4 4
258
7 4 7 4 7 4 7 4 C C + C C + C C + C C =165
Bư
c 4: Tính sô cách lây ra 8 viên bi không có màu xanh mà ch có hai màu d!
và vàng: 5 3 4 4
5 4 5 4 C C + C C = 9
Vay có tât c: 8 ( )
16 C − 495 +165 + 9 =12201 cách.
Chú ý: T bưc 2 ta có the tính theo cách sau:
Bư
c 2: Tính sô cách lây ra 8 viên bi trong tong sô 12 viên xanh và d!: 8
12 C
Bư
c 3: Tính sô cách lây ra 8 viên bi trong tong sô 11 viên xanh và vàng: 8
11 C
Bư
c 4: Tính sô cách lây ra 8 viên bi trong tong sô 9 viên d! và vàng: 8
9 C
Vay có tât c: 8 8 8 8
16 12 11 9 C − (C + C + C ) =12201 cách.
Bài 2. Có 8 con tem và 5 bì thư. Chn ra 3 con tem de dán vào 3 bì thư, moi bì
thư dán 1 con tem. H!i có bao nhiêu cách dán?
Gi
26. i
Chn 3 con tem có 3
8 C cách; Chn 3 bì thư có 3
5 C cách
Mot con tem có the dán vào bì thư nào cung dưc trong 3 bì lây ra nên có tât
c: 3 3
8 5 3!C C = 3360 cách.
Bài 3. Trên mot giá sách có 10 cuôn sách giáo khoa và 7 cuôn sách tham kho.
a) Có bao nhiêu cách lây 6 cuôn trong dó có 2 cuôn sách giáo khoa?
b) Có bao nhiêu cách lây 7 cuôn trong dó có ít nhât 4 cuôn sách giáo khoa?
Gi
27. i
a) Có 2
10 C cách lây bât ky 2 cuôn trong 10 cuôn sách giáo khoa; Có 4
7 C cách
chn 4 cuôn còn li trong 7 cuôn sách tham kho. Vay có 2 4
10 7 C C =1575 cách.
b) Có 4 3
10 7 C C cách chn trong dó có 4 cuôn SGK và 3 cuôn sách tham kho
10 7 C C cách chn trong dó có 5 cuôn SGK và 2 cuôn sách tham kho.
Có 5 2
10 7 C C cách chn trong dó có 6 cuôn SGK và 1 cuôn sách tham kho.
Có 6 1
10 7 C C cách chn trong dó có 7 cuôn SGK và 0 cuôn sách tham kho.
Có 7 0
Vay có 4 3 5 2 6 1 7 0
10 7 10 7 10 7 10 7 C C + C C + C C + C C =14232 cách.
28. Các bài toán vê nguyên lý dêm
B. Dng 2: BÀI TOÁN CHN NGƯ)I
Bài 1. Lp 11A ca Tuân có 11 hc sinh nam và 18 hc sinh n.
a. Có bao nhiêu cách chn ra mot doi van nghe gôm 10 ngưi d nam và n.
b. Chn ra mot to tr
c nhat gôm 13 ngưi, trong dó có 1 to trưng. H!i có bao
nhiêu cách chn nêu Tuân luôn có mat trong to và ch là thành viên?
259
Gi
29. i
a. Bư
c 1: Chn 10 ngưi bât kì trong 29 ngưi c nam và n có 10
29 C cách
Bư
c 2: Chn 10 ngưi dêu là nam có 10
11 C cách
Bư
c 3: Chn 10 ngưi dêu là n có 10
18 C cách
Vay có 10 10 10
C29 − C11 − C18 =19986241 cách chn.
b. Do Tuân luôn có mat trong to nên ch chn thêm 12 ngưi trong 28 ngưi
còn li. Có 1
28 C cách chn 1 to trưng và 11
27 C cách chn 11 thành viên còn li.
Vay có 1 11
28 26 C .C = 216332480 cách chn.
Bài 2. Mot trưng trung hc có 7 thây dy Toán, 6 thây dy Lý và 4 thây dy
Hóa. Chn t dó ra mot doi có 5 thây d
di hoi. H!i có bao nhiêu cách chn
de có d 3 bo môn?
Gi
30. i
Chn 1 thây dy Toán, 1 thây dy Lý, 3 thây dy Hóa có 1 1 2
3 5 8 C C C cách
Chn 1 thây dy Toán, 2 thây dy Lý, 2 thây dy Hóa có 1 2 2
7 6 4 C C C cách
Chn 1 thây dy Toán, 3 thây dy Lý, 1 thây dy Hóa có 1 3 1
7 6 4 C C C cách
Chn 2 thây dy Toán, 1 thây dy Lý, 2 thây dy Hóa có 2 1 2
7 6 4 C C C cách
Chn 2 thây dy Toán, 2 thây dy Lý, 1 thây dy Hóa có 2 2 1
7 6 4 C C C cách
Chn 3 thây dy Toán, 1 thây dy Lý, 1 thây dy Hóa có 3 1 1
7 6 4 C C C cách
Vay có tât c: 1 1 3 1 2 2 1 3 1 2 1 2 2 2 1 3 1 1
7 6 4 7 6 4 7 6 4 7 6 4 7 6 4 7 6 4 C C C + C C C + C C C + C C C + C C C + C C C
=168 + 630 + 560 + 756 +1260 + 840 = 4214 cách chn.
31. Chng III. To hp, Xác suât và Sô ph
c − Trân Phng
Sô cách chn 5 thây bât kì trong 17 thây là: 5
260
17 C
Sô cách chn 5 trong 13 thây dy Toán và Lý là: 5
13 C
Sô cách chn 5 trong 11 thây dy Toán và Hóa là: 5
11 C
Sô cách chn 5 trong 10 thây dy Lý và Hóa là: 5
10 C
Vay sô cách chn có d c 3 bo môn là: 5 5 5 5
17 13 11 10 C − C − C − C = 4187 cách
6188 −1287 − 462 − 252
Bài 3. Lp 12A ca Tiên có 30 hc sinh.
a. Hãy chn trong lp Tiên mot to tr
c nhat có 11 ngưi, trong dó có 1 to
trưng và còn li các thành viên. H!i có bao nhiêu cách chn nêu Tiên luôn có
mat trong to?
b. Hãy chn trong lp Tiên mot doi van nghe có 8 ngưi, trong dó có 1 doi
trưng, 1 thư ký và các thành viên. H!i có bao nhiêu cách chn nêu Tiên luôn
có mat trong doi?
Gi
32. i
a. Khi Tiên luôn có mat trong to thì Tiên có the là to trưng hoac thành viên.
Xét 2 trưng hp sau:
TH1: Nêu Tiên là to trưng thì có 10
29 C cách chn 10 thành viên còn li
TH2: Nêu Tiên là thành viên thì có 1
29 C cách chn to trưng và có 9
28 C cách
chn 9 thành viên còn li suy ra có 1 9
29 28 C .C cách chn
29 29 28 C + C .C = 20030010+200300100=220330110 cách chn.
Vay có tât c: 10 1 9
29 C cách chn 10 thành viên còn li de có to trc nhat 11 ngưi
Chú ý: Có 10
trong dó có Tiên. Có 11 cách chn 1 trong sô dó làm to trưng do dó sô cách
chn là: 10
29 11.C = 220330110 cách.
b. Có 7
29 C cách chn 7 thành viên còn li de dưc doi van nghe 8 ngưi trong
dó có Tiên. Có 8 cách chn doi trưng và ng vi moi cách li có 7 cách chn
thư kí. Vay tong sô cách chn là: 7
29 56.C = 87403680
33. Các bài toán vê nguyên lý dêm
261
C. Dng 3. BÀI TOÁN SAP XÊP VAT
Bài 1. Có bao nhiêu cách xêp 15 viên bi vào 3 hop d
ng bi?
Gi
34. i
Vi moi viên bi ta có 3 cách chn hop nên có 15 3 cách xêp 15 viên bi vào hop.
Bài 2. Ti cuoc thi Theo dòng lch s, BTC s dng 7 th) vàng và 7 th) d!,
dánh dâu moi loi theo các sô 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. H!i có bao cách xêp tât c các
th) này thành mot hàng sao cho hai th) cùng màu không nam liên nhau?
Gi
35. i
Nêu các th) vàng nam v trí l) thì các th) d! nam v trí chan, ta có 7!.7!
cách xêp khác nhau.
+ Nêu các th) vàng nam v trí chan thì các th) d! nam v trí l), ta có 7!.7!
cách xêp khác nhau.
Vay có tât c: 7!.7! + 7!.7! = 50803200 cách.
D. Dng 4: BÀI TOÁN SAP XÊP NGƯ)I
Bài 1. Mot to có 8 hc sinh 5 n và 3 nam. H!i có bao nhiêu cách sap xêp các
hc sinh trong to d ng thành mot hàng dc de vào lp sao cho:
a. Các bn n d ng chung vi nhau b. Nam n không d ng chung nhau
Gi
36. i
a. Các bn n d ng chung vi nhau ta xem như mot nhóm doàn kêt nên có 4!
cách. Có 5! hoán v 5 bn n vi nhau. Vay có 5!.4! = 2880 cách.
b. Các bn nam d ng riêng ta có: 3! cách. Các bn n d ng riêng ta có: 5! cách
Có 2! cách doi cho 2 nhóm nam và n nên có tât c: 2!.5!.3! = 1440 cách.
Bài 2. Doi van nghe ca trưng gôm 10 hc trong dó có 3 bn Lan, Hang, Nga
hc cùng mot lp. H!i có bao nhiêu cách xêp doi van nghe thành mot hàng dc
sao cho 3 bn Lan, Hang, Nga luôn bên cnh nhau?
Gi
37. i
Ba bn Lan, Hang, Nga d ng cnh nhau ta gi là mot nhóm doàn kêt.
+ Nhóm doàn kêt này cùng vi 7 hc sinh còn li ta se có 8! cách sap xêp
+ Moi lân doi cho 3 hc sinh trong nhóm doàn kêt ta dưc 3! cách sap xêp.
Vay có tât c: 8!.3!= 241920 cách.
38. Chng III. To hp, Xác suât và Sô ph
c − Trân Phng
E. Dng 5: BÀI TOÁN DÊM TRONG HÌNH HC
Bài 1. Xét các tam giác có 3 dnh lây t các dnh ca da giác dêu H có 10 cnh.
a, Có tât c bao nhiêu tam giác? Có bao nhiêu tam giác có dúng 2 cnh ca H?
b. Có bao nhiêu tam giác có dúng mot cnh là ca H? Có bao nhiêu tam giác
không có cnh nào ca H?
262
Gi
39. i
a. Da giác có 10 cnh nên có 10 dnh và có 3
10 C =120 tam giác có 3 dnh là
dnh ca H. Tam giác có dúng hai cnh ca da giác là tam giác to bi 3 dnh
liên tiêp ca da giác. Dó là các tam giác:
1 2 3 2 3 4 3 4 5 9 10 1 10 1 2 A A A , A A A , A A A , ..., A A A , A A A nên có dúng 10 tam giác.
b. Chn mot cnh ca H và hai bên cnh này ta b! di 2 cnh t c là b! di 4 dnh,
còn li 6 dnh. +ng vi mot trong 6 dnh và cnh dã chn ta có mot tam giác
có dúng mot cnh ca H, nên có 6 tam giác ng vi mot cnh dã chn ban dâu
ca H. Vay có 6.10 = 60 tam giác có dúng 1 cnh là cnh ca H. T dó suy ra
sô các tam giác không ch a cnh nào ca H là: 120 – 10 – 60 = 50 tam giác.
Bài 2. Cho 15 diem trên mat phang , trong dó không có 3 diem nào thang hàng.
Xét tap hp các dưng thang di qua 2 diem ca 15 diem dã cho. Sô giao diem
khác 15 diem dã cho do các dưng thang này to thành nhiêu nhât là bao nhiêu?
Gi
40. i
C 2 diem có 1 dưng thang nên sô dưng thang t 15 diem là: 2
15 C =105
Nêu c 2 dưng thang cho 1 giao diem thì se có 2
105 C giao diem. Nhưng moi
diem dã cho có 14 dưng thang di qua nên diem này phi là giao ca 2
14 C cap
dưng thang. Như vay vi 15 diem dã cho se có 15. 2
14 C giao diem trong 2
105 C
giao diem nói trên. Suy ra sô giao diem cân tìm là: 2 2
105 14 C −15.C = 4095
Bài 3. Cho 2 h dưng thang cat nhau: H (L1) gôm 10 dưng thang song song
vi nhau; H (L2) gôm 15 dưng thang song song vi nhau. H!i có bao nhiêu
hình bình hành dưc to bi (L1) và (L2)
Gi
41. i
Mot hình bình hành dưc to bi 2 dưng thang ca h (L1) và 2 dưng thang
ca h (L2) nên sô hình bình hành dưc to bi là 2 2
10 15 C C = 45×105 = 4725
42. Các bài toán vê nguyên lý dêm
F. Dng 6. BÀI TOÁN PHÂN CHIA TAP H5P
Cho tap A có n phân t khác nhau. Chia tap A thành các tap con 1 2 , , ..., k A A A ;
trong dó moi tap con i ( 1, ) A i = k có i ( 1, ) n i = k phân t. Khi dó viec chn i n
phân t trong n phân t là phép chn và loi tr dân các phân t dã dưc chn.
Bài 1. Cân phi phát 6 dê thi khác nhau cho 4 em hc sinh. H!i có bao nhiêu
cách phát dê thi nêu moi em hc sinh dêu làm ít nhât 1 bài thi?
6 C cách chn 2 bài thi trong 6 bài thi và có 2
6 4.C cách phát 2 bài thi cho
6 C cách chn 2 bài thi trong 6 bài thi và có 2
6 4.C cách phát 2 bài thi cho
4 C cách chn 2 bài thi trong 4 bài thi còn li và có 2
4 3.C cách phát 2 bài
6 C cách chn 3 bài thi trong 6 bài thi và có 3
6 4.C cách phát 3 bài thi cho
263
Gi
43. i
TH1: Moi em dêu làm mot bài thi:
6 C = 15 cách chn dê thi.
+ Có 4
+ Vi 1 cách chn 4 dê thi phát cho 4 hc sinh se có 4! cách phát
Vay có 4 4
6 6 4!C = A = 360 cách phát dê thi mà moi em làm 1 bài.
TH2: Có mot em nào dó làm 2 bài thi:
+ Có 2
1 trong 4 hc sinh.
+ Vi 4 bài thi còn li se có 3
4 A cách chia cho 3 thí sinh.
Vay có 2 3
6 4 4.C .A =1440 cách phát dê thi mà trong dó có 1 em làm 2 bài thi.
TH3: Có hai em nào dó làm 2 bài thi:
+ Có 2
1 trong 4 hc sinh.
+ Có 2
thi cho 1 trong 3 hc sinh còn li.
+ Vi 2 bài thi còn li se có 2! cách phát cho 2 thí sinh còn li.
Vay có 2 2
6 4 4.C .3.C .2!= 2160 cách phát dê thi mà trong dó có 2 em làm 2 bài thi.
TH4: Có mot em nào dó làm 3 bài thi:
+ Có 3
1 trong 4 hc sinh.
+ Vi 3 bài thi còn li se có 3! cách phát cho 3 thí sinh còn li.
Vay có 3
6 4.C .3!= 480 cách phát dê thi mà trong dó có 1 em làm 3 bài thi.
44. Chng III. To hp, Xác suât và Sô ph
c − Trân Phng
Kêt luan: Tong hp 4 trưng hp dã xét ta có sô cách phát dê thi de moi em
hc sinh dêu làm ít nhât 1 bài thi là:
4 2 3 2 2 3
6 6 4 6 4 6 4!C + 4.C .A + 4.C .3.C .2!+ 4.C .3! = 360 +1440 + 2160 + 480 = 4440 cách
Bài 2. Cho A là tap hp có 15 phân t khác nhau.
a. Có bao nhiêu tap hp con ca A?
b. Có bao nhiêu tap hp con khác rong ca A mà có sô phân t là sô chan?
264
Gi
45. i
a. + Sô tap con ca A có 0 phân t (tap rong) là: 0
15 C
+ Sô tap con ca A có 1 phân t là 1
15 C
+ Sô tap con ca A có 2 phân t là 2
15 C
…………………………………………..
+ Sô tap con ca A có 15 phân t là 15
15 C
Vay tong sô tap hp con ca A là: ( )0 1 2 15 15 15
15 15 15 15 C + C + C + ... + C = 1+1 = 2
b. Do 0 1 2 3 14 15 0 14 2 12 14 0
15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 C + C + C + C + ... + C + C = C + C + C + C + ... + C + C
nên 15 ( 0 2 4 14 )
15 15 15 15 2 = 2 C + C + C + ... + C suy ra 2 4 14 14
15 15 15 C + C + ... + C = 2 −1
Vay sô tap hp con khác rong ca A có sô phân t chan là: 14 T = 2 −1.
Bài 3. Cho tap hp A gôm 20 phân t khác nhau.
Có bao nhiêu tap hp con khác rong ca A mà có sô phân t là sô chan?
Gi
46. i
Sô các tap con không rong ch a mot sô chan các phân t rút ra t tap hp 20
phân t trên là 2 4 20
20 20 20 S = C + C + ... + C . Ta tính tong S theo cách sau dây:
( ) 0 1 2 20 20 20
20 20 20 20 C + C + C + ... + C = 1+1 = 2 (1)
( ) 0 1 2 20 20
20 20 20 20 C − C + C − ... + C = 1−1 = 0 (2)
Lây (1) cong vi (2) vê theo vê ta dưc: 0 2 4 20 20
20 20 20 20 2C + 2C + 2C + ... + 2C = 2
Û 0 2 4 20 19
20 20 20 20 C + C + C + ... + C = 2 Û 2 4 20 19
20 20 20 S = C + C + ... + C = 2 −1
Vay sô các tap con không rong ch a mot sô chan các phân t là 19 S = 2 −1.
