Các dạng toán quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp thường gặpTới Nguyễn
Các dạng toán quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp thường gặp
tuyển tập 36 câu hỏi và bài tập trắc nghiệm quy tắc cộng và quy tắc nhân, 227 câu hỏi và bài tập trắc nghiệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp, có đáp án và lời giải chi tiết, các câu hỏi và bài tập trong tài liệu này được trích dẫn từ các đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán.
Các dạng toán quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp thường gặpTới Nguyễn
Các dạng toán quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp thường gặp
tuyển tập 36 câu hỏi và bài tập trắc nghiệm quy tắc cộng và quy tắc nhân, 227 câu hỏi và bài tập trắc nghiệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp, có đáp án và lời giải chi tiết, các câu hỏi và bài tập trong tài liệu này được trích dẫn từ các đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán.
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Tiểu Học từ lớp 1 đến lớp 5. Mọi thông tin cần hỗ trợ tài liệu, bồi dưỡng HSG, đăng ký học vui lòng liên hệ Hotline: 0936.128.126.
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - SỐ TRANG
Liên hệ:
Website: nguyentrangmath.com
Email: nguyentrangmath@gmail.com
Hotline: 0948225325
Violet: nguyentrangmathth.violet.vn
BỘ 23 ĐỀ THI HỌC KỲ 1 (TIẾNG VIỆT LỚP 4)
TUYỂN TẬP 65 ĐỀ THI GIỮA HK1 MÔN TOÁN LỚP 4
Liên hệ:
Hotline: 0948.228.325 (Zalo)
Website: Nguyentrangmath.com
Email: nguyentrangmath@gmail.com
ÔN TẬP TOÁN LỚP 4 QUA 18 DẠNG TOÁN VÀ 9 ĐỀ THI
tải về tại: nguyentrangmath.com
Nhằm hỗ trợ các em HS lớp 4 ôn tập rèn luyện kỹ năng làm TOÁN chuẩn bị kỳ thi Violympic Toán lớp 4. Cô Trang cung cấp bộ tài liệu: "Tuyển tập 23 chuyên đề bồi dưỡng Toán lớp 4 ôn luyện thi Violympic trên mạng".
Quý bậc PH quan tâm, liên hệ trực tiếp cho cô Trang theo số máy: 0948.228.325 để đặt mua tài liệu.
Dưới đây là Phụ lục của bộ tài liệu, các bậc PHHS có thể xem chi tiết tại đây.
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Tiểu Học từ lớp 1 đến lớp 5. Mọi thông tin cần hỗ trợ tài liệu, bồi dưỡng HSG, đăng ký học vui lòng liên hệ Hotline: 0936.128.126.
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - SỐ TRANG
Liên hệ:
Website: nguyentrangmath.com
Email: nguyentrangmath@gmail.com
Hotline: 0948225325
Violet: nguyentrangmathth.violet.vn
BỘ 23 ĐỀ THI HỌC KỲ 1 (TIẾNG VIỆT LỚP 4)
TUYỂN TẬP 65 ĐỀ THI GIỮA HK1 MÔN TOÁN LỚP 4
Liên hệ:
Hotline: 0948.228.325 (Zalo)
Website: Nguyentrangmath.com
Email: nguyentrangmath@gmail.com
ÔN TẬP TOÁN LỚP 4 QUA 18 DẠNG TOÁN VÀ 9 ĐỀ THI
tải về tại: nguyentrangmath.com
Nhằm hỗ trợ các em HS lớp 4 ôn tập rèn luyện kỹ năng làm TOÁN chuẩn bị kỳ thi Violympic Toán lớp 4. Cô Trang cung cấp bộ tài liệu: "Tuyển tập 23 chuyên đề bồi dưỡng Toán lớp 4 ôn luyện thi Violympic trên mạng".
Quý bậc PH quan tâm, liên hệ trực tiếp cho cô Trang theo số máy: 0948.228.325 để đặt mua tài liệu.
Dưới đây là Phụ lục của bộ tài liệu, các bậc PHHS có thể xem chi tiết tại đây.
ಇದನ್ನು ಸರಕಾರಿ ಮಾದರಿ ಕೇಂದ್ರ ಶಾಲೆ, ಬೆಳವಣಕಿ ತಾ; ರೋಣ ಜಿ: ಗದಗ್ ನ ಮಕ್ಕಳಿಗಾಗಿ ತಯಾರಿಸಲಾಗಿದ್ದು ಆಸಕ್ತಿ ಇರುವ ಯಾರು ಬೇಕಿದ್ದರೂ ಬಳಸಬಹುದು. ಬಳಸಿದವರು ನಿಮ್ಮ ಸಲಹೆ ಅನಿಸಿಕೆಗಳನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು chegareddy@gmail.com ಗೆ ತಿಳಿಸಿದಲ್ಲಿ ಉಪಕಾರವಾಗುವುದು
ಈ ಪಿ.ಪಿ.ಟಿ ಯನ್ನು ಏಳನೇ ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ 'ಮಾಲಿನ್ಯ' ಕುರಿತು ತಿಳಿಸಿಕೊಡಲು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಯಾರು ಬೇಕಿದ್ದರೂ ಬಳಸಬಹುದಾಗಿದ್ದು ತಮ್ಮ ಸಲಹೆ ಮತ್ತು ಅನಿಸಿಕೆಗಳನ್ನು chegareddy@gmail.com ಗೆ ದಯವಿಟ್ಟು ತಿಳಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ
Selon le fondateur de Grovo, start-up spécialisée dans le microlearning, quelques minutes d'attention valaient mieux qu'un long discours en matière de formation.
«Comment et quand vous apprenez est en fait plus important que ce que vous apprenez».
Chuyên cung cấp dịch vụ và giải pháp VOIP, đầu số hotline 1800 và 1900 cho doanh nghiệp
TIME TRUE LIFE TECHNOLOGY JOINT STOCK COMPANY
Mr Long
Mobi: 0986883886 - 0905710588
Email: long.npb@ttlcorp.vn
Website: ttlcorp.vn
Tài liệu spss đại học công nghiệp hui iuh
>> http://www.toilaquantri.com/2015/03/toan-bo-file-du-lieu-thuc-hanh-spss.html
dữ liệu thực hành SPSS của thầy Hà Trọng Quang - IUH mà trong quá trình học mình tổng hợp và chia sẻ lại tài liệu để thực hành SPSS, có cả bài tập và các nhận xét biểu đồ.
ôm nay mình cũng vui vì nhận được quà nhân kỷ niệm 1 năm của 1 trang web về CV nên mình chia sẻ lại cho các đọc giả của BLOG'S Tôi Là Quản Trị - WWW.TOILAQUANTRI.COM
Niên giám 2012 đại học công nghiệp tphcm chuyên ngành kinh tế IUHHải Finiks Huỳnh
Niên giám 2012 đại học công nghiệp tphcm chuyên ngành kinh tế IUH
http://renluyentuduy.blogspot.com/2014/12/ke-hoach-ao-tao-trinh-o-ao-tao-hoc-loai.html
GIAO TRINH TRIET HOC MAC - LENIN (Quoc gia).pdfLngHu10
Chương 1
KHÁI LUẬN VỀ TRIẾT HỌC VÀ TRIẾT HỌC MÁC - LÊNIN
A. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức: Trang bị cho sinh viên những tri thức cơ bản về triết học nói chung,
những điều kiện ra đời của triết học Mác - Lênin. Đồng thời, giúp sinh viên nhận thức được
thực chất cuộc cách mạng trong triết học do
C. Mác và Ph. Ăngghen thực hiện và các giai đoạn hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin;
vai trò của triết học Mác - Lênin trong đời sống xã hội và trong thời đại ngày nay.
2. Về kỹ năng: Giúp sinh viên biết vận dụng tri thức đã học làm cơ sở cho việc nhận
thức những nguyên lý cơ bản của triết học Mác - Lênin; biết đấu tranh chống lại những luận
điểm sai trái phủ nhận sự hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin.
3. Về tư tưởng: Giúp sinh viên củng cố niềm tin vào bản chất khoa học và cách mạng
của chủ nghĩa Mác - Lênin nói chung và triết học Mác - Lênin nói riêng.
B. NỘI DUNG
I- TRIẾT HỌC VÀ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TRIẾT HỌC
1. Khái lược về triết học
a) Nguồn gốc của triết học
Là một loại hình nhận thức đặc thù của con người, triết học ra đời ở cả phương Đông và
phương Tây gần như cùng một thời gian (khoảng từ thế kỷ VIII đến thế kỷ VI trước Công
nguyên) tại các trung tâm văn minh lớn của nhân loại thời cổ đại. Ý thức triết học xuất hiện
không ngẫu nhiên, mà có nguồn gốc thực tế từ tồn tại xã hội với một trình độ nhất định của
sự phát triển văn minh, văn hóa và khoa học. Con người, với kỳ vọng được đáp ứng nhu
cầu về nhận thức và hoạt động thực tiễn của mình đã sáng tạo ra những luận thuyết chung
nhất, có tính hệ thống, phản ánh thế giới xung quanh và thế giới của chính con người. Triết
học là dạng tri thức lý luận xuất hiện sớm nhất trong lịch sử các loại hình lý luận của nhân
loại.
Với tư cách là một hình thái ý thức xã hội, triết học có nguồn gốc nhận thức và nguồn
gốc xã hội.
* Nguồn gốc nhận thức
Nhận thức thế giới là một nhu cầu tự nhiên, khách quan của con người. Về mặt lịch
sử, tư duy huyền thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là loại hình triết lý đầu tiên mà con
người dùng để giải thích thế giới bí ẩn xung quanh. Người nguyên thủy kết nối những hiểu
biết rời rạc, mơ hồ, phi lôgích... của mình trong các quan niệm đầy xúc cảm và hoang
tưởng thành những huyền thoại để giải thích mọi hiện tượng. Đỉnh cao của tư duy huyền
thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là kho tàng những câu chuyện thần thoại và những tôn
9
giáo sơ khai như Tô tem giáo, Bái vật giáo, Saman giáo. Thời kỳ triết học ra đời cũng là
thời kỳ suy giảm và thu hẹp phạm vi của các loại hình tư duy huyền thoại và tôn giáo
nguyên thủy. Triết học chính là hình thức tư duy lý luận đầu tiên trong lịch sử tư tưởng
nhân loại thay thế được cho tư duy huyền thoại và tôn giáo.
Trong quá trình sống và cải biến thế giới, từng bước con người có kinh nghiệm và có
tri thức về thế giới. Ban đầu là những tri thức cụ thể, riêng lẻ, cảm tính. Cùng với sự tiến
bộ của sản xuất và đời sống, nhận thức của con người dần dần đạt đến trình độ cao hơn
trong việc giải thích thế giới một cách hệ thống
Để xem full tài liệu Xin vui long liên hệ page để được hỗ trợ
:
https://www.facebook.com/garmentspace/
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
HOẶC
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
tai lieu tong hop, thu vien luan van, luan van tong hop, do an chuyen nganh
CÁC BIỆN PHÁP KỸ THUẬT AN TOÀN KHI XÃY RA HỎA HOẠN TRONG.pptxCNGTRC3
Cháy, nổ trong công nghiệp không chỉ gây ra thiệt hại về kinh tế, con người mà còn gây ra bất ổn, mất an ninh quốc gia và trật tự xã hội. Vì vậy phòng chông cháy nổ không chỉ là nhiệm vụ mà còn là trách nhiệm của cơ sở sản xuất, của mổi công dân và của toàn thể xã hội. Để hạn chế các vụ tai nạn do cháy, nổ xảy ra thì chúng ta cần phải đi tìm hiểu nguyên nhân gây ra các vụ cháy nố là như thế nào cũng như phải hiểu rõ các kiến thức cơ bản về nó từ đó chúng ta mới đi tìm ra được các biện pháp hữu hiệu nhất để phòng chống và sử lý sự cố cháy nổ.
Mục tiêu:
- Nêu rõ các nguy cơ xảy ra cháy, nổ trong công nghiệp và đời sống; nguyên nhân và các biện pháp đề phòng phòng;
- Sử dụng được vật liệu và phương tiện vào việc phòng cháy, chữa cháy;
- Thực hiện được việc cấp cứa khẩn cấp khi tai nạn xảy ra;
- Rèn luyện tính kỷ luật, kiên trì, cẩn thận, nghiêm túc, chủ động và tích cực sáng tạo trong học tập.
GIÁO TRÌNH 2-TÀI LIỆU SỬA CHỮA BOARD MONO TỦ LẠNH MÁY GIẶT ĐIỀU HÒA.pdf
https://dienlanhbachkhoa.net.vn
Hotline/Zalo: 0338580000
Địa chỉ: Số 108 Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 9 CHƯƠNG TRÌNH MỚI - PHẦN...
Tổ Hợp Xác Suất
1. 1
H TH NG CÁC BÀI T P CHƯƠNG 2 ð I S VÀ GI I TÍCH 11
PHAN CÔNG TR - TRƯ NG THPT THANH BÌNH 2 – ð NG THÁP
Quy tác c ng, Quy t c nhân:
1. M t trư ng ph thông có 12 h c sinh chuyên Tin và 18 h c sinh chuyên Toán. Thành l p m t
ñoàn g m hai ngư i sao cho có m t h c sinh chuyên Toán và m t h c sinh chuyên Tin. H i có
bao nhiêu cách l p m t ñoàn như trên ?
2. T các s 1,2,3,4,5,6,7,8.
a. Có bao nhiêu s t nhiên g m 6 ch s ñôi m t khác nhau ?
b. Có bao nhiêu s g m 5 ch s ñôi m t khác nhau và chia h t cho 5 ?
3. Có th l p bao nhiêu s ch n g m 5 ch s khác nhau l y t các ch s : 0,2,3,6,9 ?
4. Có bao nhiêu s ch n có 4 ch s ñôi m t khác nhau ?
5. T các s 0,1,2,3,4,5.
a. Có bao nhiêu s có ba ch s khác nhau chia h t cho 5 ?
b. có bao nhiêu s có 3 ch s khác nhau chia h t cho 9 ?
Hoán v .
1. Cho 5 ch s 1,2,3,4,5.
a. Có bao nhiêu s có 5 ch s khác nhau ?
b. Có bao nhiêu s có 5 ch s ñôi m t khác nhau và b t ñ u là s 3 ?
c. Có bao nhiêu s có 5 ch s ñôi m t khác nhau và không b t ñ u b ng s 1?
d. Có bao nhiêu s có 5 ch s khác nhau và b t ñ u là ch s l ?
2. Có bao nhiêu x p 5 b n A,B,C,D, E vào m t gh dài sao cho:
a. B n C ng i chính gi a ?
b. Hai b n A, E ng i hai ñ u gh ?
3. M t h c sinh có 12 cu n sách ñôi m t khác nhau trong ñó có 4 cu n Văn, 2 cu n Toán, 6 cu n
Anh Văn, H i có bao nhiêu cách s p các cu n sách lên m t k dài sao cho các cu n cùng môn
n m k nhau ?
4. Có hai bàn dài, m i bàn có 5 gh . Ngư i ta mu n x p ch ng i cho 10 h c sinh g m 5 nam và 5
n . H i có bao nhiêu cách s p x p n u:
a. Các h c sinh ng i tuỳ ý ?
b. Các h c sinh nam ng i m t bàn, h c sinh n ng i m t bàn ?
5. Xét các s g m 9 ch s trong ñó có 5 ch s 1 và 4 ch s còn l i là 2,3,4,5. H i có bao nhiêu
cách s p n u:
a. Năm ch s 1 x p k nhau ?
b. Năm ch s 1 x p tuỳ ý ?
Ch nh h p.
1. T các s 1,2,3,4,5,6 l p bao nhiêu s có 4 ch s ñôi m t khác nhau ?
2. Có bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s ñôi m t khác nhau ?
3. T các s 0,1,3,5,7 l p bao nhiêu s g m 4 ch s khác nhau:
a. Chia h t cho 5 ?
b. Không chia h t cho 5 ?
4. T các s 0,1,2,3,4,5,6,7 l p bao nhiêu s có 5 ch s khác nhau trong ñó:
a. S t o thành là s ch n ?
b. M t trong 3 ch s ñ u tiên ph i có m t s 1 ?
c. Nh t thi t ph i có m t ch s 5 ?
d. Ph i có m t hai s 0 và 1 ?
5. T các s 1,2,3,4,5,6,7 l p ñ oc bao nhiêu s có 3 ch s khác nhau và nh hơn 276 ?
6. Gi i các phương trình và b t phương trình sau:
a. 2 2
·. 72 6( 2 )x x x xP A A P+ = +
www.VNMATH.com
ketnoitrithuc2013.blogspot.com - Chia sẻ kiến thức thi ĐH
2. 2
b. 3 2
5 21x xA A x+ ≤
c. 10 9 8
9x x xA A A+ =
T h p.
1. ð thi tr c nghi m có 10 câu h i . H c sinh c n ch n tr l i 8 câu.
a. H i có m y cách ch n tuỳ ý ?
b. H i có m y cách ch n n u 3 câu ñ u là b t bu c ?
c. H i có bao nhiêu cách ch n 4 trong 5 câu ñ u và 4 trong 5 câu sau?
2. M t t có 12 h c sinh. Th y giáo có 3 ñ ki m tra khác nhau. C n ch n 4 h c sinh cho m i ñ
ki m tra. H i có m y cách ch n ?
3. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Ngư i ta mu n ch n t ñó ra 3 tem thư và 3 bì
thư và dán 3 tem thư lên 3 bì thư ñã ch n. M i bì thư ch dán 1 tem. H i có bao nhiêu cách làm
như th ?
4. M t l p có 20 h c sinh trong ñó có 2 cán b l p. H i có bao nhiêu cách ch n 3 ngư i ñi d H i
ngh sao cho trong ñó có ít nh t 1 cán b l p ?
5. (ðH Y-2000) Có 5 nhà Toán h c nam, 3 nhà Toán h c n và 4 nhà V t lý. Mu n l p m t ñoàn
công tác có 3 ngu i g m c nam l n n , c n có nhà Toán h c l n V t lý. H i có bao nhiêu cách
ch n ?
6. M t ñ i Văn Ngh g m 10 ngu i trong ñó có 6 n , 4 nam. Có bao nhiêu cách chia ñ i văn
ngh :
a. Thành hai nhóm có s ngu i b ng nhau và m i nhóm có s n b ng nhau ?
b. Có bao nhiêu cách ch n 5 ngư i trong ñó không quá m t nam ?
7. Có hai ñư ng th ng song song d1 và d2. Trên d1 l y 15 ñi m phân bi t, trên d2 l y 9 ñi m phân
bi t. H i có bao nhiêu tam giác mà có 3 ñ nh là các ñi m ñã l y ?
8. Trong m t h p có 7 qu c u xanh, 5 qu c u ñ và 4 qu c u vàng, các qu c u ñ u khác nhau.
Ch n ng u nhiên 4 qu c u trong h p. H i có bao nhiêu cách ch n:
a. Trong 4 qu c u ch n ra có ñ c ba màu ?
b. Không có ñ ba màu ?
9. M t ñ i thanh niên tình nguy n có 15 ngư i g m 12 nam và 3 n . H i có bao nhiêu cách phân
công ñ i thanh niên tình nguy n ñó v giúp ñ ba t nh mi n núi sao cho m i t nh có 4 nam và 1
n ?
10. (ðH-Cð kh i B-2004) Trong m t môn h c, th y giáo có 30 câu h i khác nhau g m 5 câu h i
khó, 10 câu trung bình và 15 câu d . T 30 câu h i ñó l p ñư c bao nhiêu ñ ki m tra, m i ñ
g m 5 câu h i khác nhau sao cho trong m i ñ nh t thi t ph i có ñ 3 lo i câu h i và s câu h i d
không ít hơn 2 ?
11. ð i TNXK c a m t trư ng có 12 h c sinh, g m 5 h c sinh l p A ; 4 h c sinh l p B ; 3 h c
sinh l p C. C n ch n 4 h c sinh làm nhi m v sao cho 4 h c sinh này thu c không quá 2 trong 3
l p trên. H i có bao nhiêu cách ch n như v y ?
12. ð i tuy n h c sinh gi i g m 18 em g m 7 h c sinh kh i 12, 6 h c sinh kh i 11 và 5 h c sinh
kh i 10. C 8 em ñi d tr i hè sao cho m i kh i có ít nh t 1 em. H i có bao nhiêu cách c như
v y ?
13. M t d ti c có 10 nam và 6 n bi t khiêu vũ. H i có bao nhiêu cách ch n ra 3 nam và 3 n ñ
ghép thành 3 c p nh y ?
14. Bill Gate có 5 ngư i b n thân.Ông mu n m i 5 trong s h ñi chơi xa .Trong 11 ngư i này có
2 ngư i không mu n g p m t nhau. H i ngài t phú có bao nhiêu cách m i ?
16. ðH-Cð kh i B-2005
M t ñ i thanh niên tình nguy n có 15 ngư i g m 12 nam và 3 n .H i có bao nhiêu cách
phân công ñ i tình nguy n ñó v 3 t nh mi n núi sao cho m i t nh ñ u có 4 nam và 1 n ?
17. *ðH-Cð kh i B-2002
www.VNMATH.com
3. 3
Cho ña giác ñ u A1,A2,....A2n(n∈N và n ≥ 2) n i ti p ñư ng tròn (O). Bi t r ng s tam
giác có ñ nh là 3 trong 2n ñ nh A1, A2,....,A2n nhi u g p 20 l n s hình ch nh t có các ñ nh là 4
trong 2n ñ nh A1, A2,....,A2n. Tìm n.
RÚT G N BI U TH C
1/ Rút g n các bi u th c sau:
a. A = 4 7 8 9
10 3 5 2 7
P P P P
P P P P P
−
b. B =
6 5
n n
4
n
A +A
A
c. C =
25 34 2
54 3 2 1
5 5 5 5
3 2
P PP P
A
A A A A
P 2P
+ + +
−
d. D= n+1
4
n n-k
P
A P
+
5 6 7
15 15 15
7
17
C +2C C
C
+
e. E =
2 3 3
6 8 15
3
3 5
1 1 1
C - C C
3 28 65
P A
+
f. F=
3 2
5 5
2
A - A
P
+ 5
2
P
P
2/ . Ch ng minh :
a.
n
n
P
=
n-1
1
P
+
n-2
1
P
b. n+2 n+1 2 n
n+k n+k n+kA A Ak+ =
c. 2 2 2 5
k n+1 n+3 n+5 n+5P A A A n.k!A= d. k n-k
n nC C=
Phương trình liên quan ñ n công th c t h p:
Gi i các PT và BPT sau:
1. 1 2 2 1
6 6 9 14x x xC C C x x+ + = − 2. P2x2
-P3 .x=8 3. 2 2
x 2x2A +50=A , x N∈
4. 3 2 1
14 x
x x xA C C −
+ = 5. 1 2 3
x x x
7
C +C +C = x
2
6. 3 2 2
x-1 x-1 x-2
2
C C = A
3
−
7. 1 2 1
x x+1 x+4
1 1 7
=
C C 6C
− 8. 3 n-2
n nA +C =14n 9. 3 4 2
2 3n n nA C A− =
10. 2 2
12 3 30x xC A+ + < 11. 2 3
2
1 6
10
2
x
x x xA A C
x
− ≤ + 12.
! ( 1)! 1
( 1)! 6
x x
x
− −
=
+
13. Gi i b t phươngtrình 4
2 1
15
.
n
n n n
P
P P P
+
+ −
<
14. Gi i h : a)
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C
+ =
− =
15.
2 1
1
5 3y y
x x
y y
x x
C C
C C
− −
−
=
=
16. 3 2
2 20n nC C=
Các bài toán t ng h p:
1. Có th l p bao nhiêu s có 8 ch s t các s 1,2,3,4,5,6. trong ñó 1 và 6 có m t hai l n, các s
còn l i 1 l n ?
2. Có bao nhiêu s ch n g m 6 ch s khác nhau trong ñó ch s ñ u tiên là s l ?
3. Có bao nhiêu s g m 6 ch s khác nhau trong ñó có ñúng 3 ch s ch n và 3 ch s l ?
4, Có bao nhiêu s t nhiên g m 6 ch s ñôi m t khác nhau trong ñó có m t s 0 nhưng không
có m t s 1?
5. Có bao nhiêu s t nhiên g m 7 ch s bi t r ng s 2 có m t 2 l n, s 3 có m t 3 l n, các ch
s còn l i không quá m t l n ?
6.Cho hai ñư ng th ng song song d1 và d2. Trên ñư ng th ng d1 l y 10 ñi m phân bi t, trên
ñư ng th ng d2 có n ñi m phân bi t (n >1). Bi t r ng có 2800 tam giác có ñ nh là các ñi m ñã
cho. Tìm n.
www.VNMATH.com
4. 4
7.T các ch s 0,1,2,3,4,5,6, có th l p ñư c bao nhiêu s ch n, m i s có 5 ch s khác nhau
trong ñó có ñúng 2 ch s l và hai ch s l ñó ñ ng c nh nhau ?
8. T các s 0,1,2,3,4 có th l p bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s khác nhau? Tính t ng t t c
các s t nhiên ñó ?
9. Có bao nhiêu s t nhiên g m 5 ch s sao cho: Ch s 0 có m t hai l n, s 1 có m t 1 l n, 2 s
còn l i phân bi t ?
10. Có bao nhiêu s t nhiên có b n ch s sao cho không có ch s nào l p l i 3 l n ?
11. Có bao nhiêu s t nhiên có 7 ch s sao cho: S 2 có m t 2 l n, s 3 có m t 3 l n, các s còn
l i không quá m t l n ?
12. Cho ña giác ñ u A1, A2, ......A2n n i ti p ñư ng tròn tâm O, bi t r ng s tam giác có các ñ nh
là 3 trong 2n ñi m A1, A2, ......A2n g p 20 l n s hình ch nh t có ñ nh là 4 trong 2n ñi m.Tìm n.
13. T các s 1,2,.....,6. L p bao nhiêu s có 3 ch s khác nhau và chia h t cho 3 ?
14. Có bao nhiêu s t nhiên ch n g m 5 ch s khác nhau và không b t ñ u b ng 123 ?
Nh th c Newton
I. Áp d ng công th c khai tri n:
1. Tìm h s c a s h ng th tư trong khai tri n
10
1
x
x
+
2. Tìm h s c a s h ng th 31 trong khai tri n
40
2
1
x
x
+
3. Tìm h ng t ch a x2
c a khai tri n: ( )
7
23
x x−
+
4. Tìm h ng t không ch a x trong các khai tri n sau:
a.
12
3
3
x
x
+
b.
7
3
4
1
x
x
+
5. Tìm h s c a x12
y13
trong khai tri n c a (2x-3y)25
6. Tìm h ng t ñ ng gi a trong khai tri n
10
3
5
1
x
x
+
.
7. Trong khai tri n
21
3
3
a b
b a
+
. Tìm h s c a s h ng ch a a và b có s mũ b ng nhau ?
II. Khai tri n v i gi thi t có ñi u ki n.
1/ Bi t khai tri n 2 1
n
x
x
+
. T ng các h s c a s h ng th nh t, hai, ba là 46. Tìm s h ng
không ch a x ?
2/ Cho bi t t ng ba h s c a ba s h ng ñ u tiên trong khai tri n 2 2
n
x
x
− =
là 97. Tìm h ng t
c a khai tri n ch a x4
?
3/ Cho khai tri n 0 1 11 1 1
.......( 1)
3 3 3
n
n n n n
n n nn
x C x C x C−
− = − + −
. Bi t h s c a s h ng th ba trong
khai tri nlà 5. Tìm s h ng chính gi a ?
4/ Cho khai tri n 3 0 3
2 2
2 2
( ) ( ) ........ ( )n n n n
n nx C x C
x x
+ = + + . Bi t t ng ba h s ñ u là 33.Tìm h s
www.VNMATH.com
5. 5
c a x2
.
5/ Tìm s h ng ch a x8
trong khai tri n 5
3
1
n
x
x
+
. Bi t r ng 1
4 3 7( 3)n n
n nC C n+
+ +− = + .
6/ Tìm h s c a x7
trong khai tri n (2 - 3x)n
trong ñó n tho mãn h th c sau:
1 3 2 1
2 1 2 1 2 1....... 1024n
n n nC C C +
+ + ++ + + =
7/ Gi i phương trình sau: 2 4 2 2007
2 2 2.... 2 1n
n n nC C C+ + + = −
8/ Tìm h s c a s h ng ch a x26
trong khai tri n 7
4
1
n
x
x
−
bi t n tho mãn h th c
1 2 3 2 1 20
2 1 2 1 2 1 2 1....... 2 1n
n n n nC C C C +
+ + + ++ + + + = − .
9/ Tìm h s c a s h ng ch a x10
khi khai tri n (2+x)n
bi t :
0 1 1 2 2
3 3 3 .... ( 1) 2048n n n n n
n n n nC C C C− −
− + + + − =
10/ Cho: 1 2
79n n n
n n nC C C− −
+ + = .Trong khai tri n nh th c
28
3 15
n
x x x
−
+
, hãy tìm s h ng không
ph thu c vào x ?
11/ Tìm h s c a s h ng ch a 26
x trong khai tri n nh th c 7
4
1
n
x
x
+
, bi t t ng
1 2 20
2 1 2 1 2 1... 2 1n
n n nC C C+ + ++ + + = −
12/.Tìm h s c a 4
x trong khai tri n bi u th c ( )2
1 3
n
A x x= − − . Trong ñó n là s nguyên dương
th a mãn: ( )2 2 2 2 2
2 3 4 12 ... 3n nC C C C A ++ + + + =
13. T ng các h s trong khai tri n nh th c f(x) chính là f(1).
Cho ( )
100 1 2
0 1 2 100( ) 1 ...f x x a a x a x a x= + = + + + +
a)Tính 97a
b) 0 1 2 100...S a a a a= + + + +
c)M = 1 2 1001. 2. ... 100.a a a+ + +
III. Ch ng minh ho c tính t ng bi u th c t h p:
1/ Khai tri n (3x -1)16
. T ñó ch ng minh: 16 0 15 1 16 16
16 16 163 3 .......... 2C C C− + + =
2/ Ch ng minh:
a. 0 1 2
....... 2n n
n n n nC C C C+ + + + =
b. 1 3 2 1 0 2 2
2 2 2 2 2 2...... .........n n
n n n n n nC C C C C C−
+ + + = + + +
3/ Ch ng minh r ng: 0 1 2
3
1 1 1
3 .......... 4
3 3 3
n n n
n n n nn
C C C C
+ + + + =
4/ Tính t ng:
a. S= 0 2 2
2 2 2...... n
n n nC C C+ + +
b. S = 1 3 2 1
2 2 2......... n
n n nC C C −
+ + +
5/ Ch ng minh r ng:
a. 0 2 2004 1002
2004 2004 2004........ 2C C C+ + + =
b.
2004
0 2 2 4 4 2004 2004
2004 2004 2004 2004
3 1
2 2 .......2
2
C C C C
+
+ + + =
www.VNMATH.com
6. 6
6/ Ch ng minh r ng: 1 1000 1001
2001 2001 2001 2001 , 0 k 2000k k
C C C C+
+ ≤ + ∀ ≤ ≤
7/ Ch ng minh r ng: ( )
2
2 2 2. , 0,n n n
n k n k nC C C k n− + ≤ ∀ =
8/ Ch ng minh r ng:
1
0 11 1 2 1
...
2 1 1
n
n nC C
n n
+
−
+ + + =
+ +
9/ Ch ng minh r ng: ( )1 2
2 ... 1 0
n n
n n nC C nC− + + − =
10/ Ch ng minh r ng : 1 2 3 4
44 6 4k k k k k k
n n n n n nC C C C C C− − − −
++ + + + = , (4 k n≤ ≤ )
11/ CMR: ( )0 2 1 3 2 2 2 2 1 2
2 2 2 23 3 ... 3 2 2 1n n n n
n n n nC C C C −
+ + + + = +
12/ CMR: ( )0 2 2 4 2 2000 2000 2000 2001
2001 2001 2001 20013 3 ... 3 2 2 1C C C C+ + + + = −
13/ Ch ng minh r ng: 1
1 1...k k k k
k k k m k mC C C C +
+ + − ++ + + = .T ñó suy ra ñ ng th c sau:
0 1 2 1 1
1 2 1... m m
k k k k m k mC C C C C− −
+ + + − ++ + + + =
IV. Khai tri n nhi u h ng t :
1/ Tìm h s c a x6
trong khai tri n [1+x2
(1+x)]7
.
2/ Tìm h s c a s h ng ch a x4
trong khai tri n (1+ 2x + 3x2
)10
.
3/ Tìm h s ch a x10
trong khai tri n: P(x) = (1+x) + 2(1+x)2
+3(1+x)3
+......+15(1+x)15
.
4/ Tìm h s c a x5
trong khai tri n : x(1-2x)5
+ x2
(1+3x)10
5/.Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n P(x) =
9
2
1
1 2x
x
+ −
6/.Tìm h s c a s h ng ch a 3
1
x
trong khai tri n P(x) =
7
23
1
1 2 x
x
− +
V. S d ng ñ o hàm ho c tích phân
1/ Ch ng minh h th c sau :
a. 1 2 3 1
2 3 ...... 2n n
n n n nC C C nC n −
+ + + + = b.
1
0 1 21 1 1 2 1
...........
2 3 1 1
n
n
n n n nC C C C
n n
+
−
+ + + + =
+ +
2/ Tính t ng :
a. S = 1 2 3 14
14 14 14 142 3 ....... 14C C C C− + + − b. S = 0 1 2 2008
2008 2008 2008 20082 3 ........ 2009C C C C+ + + +
3/ Ch ng minh r ng
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1
......
2 4 6 2 2 1
n
n
n n n nC C C C
n n
− −
+ + + + =
+
4/ Tìm n nguyên dương sao cho:
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 12.2 3.2 4.2 ..... (2 1).2 . 2007n n
n n n n nC C C C n C +
+ + + + +− + − + + + =
5/ Tính t ng: S =
2 3 1
0 1 22 1 2 1 2 1
.....
2 3 1
n
n
n n n nC C C C
n
+
− − −
+ + + +
+
6/ Ch ng minh r ng: 0 1 2 2000 2000
2000 2000 2000 20002 3 ... 2001 1001.2C C C C+ + + + =
7/ Ch ng minh r ng:
( )
( ) ( )
0 1 2 11 1 1 1
...
2 4 6 2 1 2 1
n
n
n n n nC C C C
n n
−
− + + =
+ +
8/ Xác ñ nh s l n nh t trong các s : 0 1 2
, , ,..., ,...,k n
n n n n nC C C C C
9/ CMR: 1 1 2 2 3 3 4 1
2 2 3.2 4.2 ... .3n n n n n n
n n n nC C C nC n− − − − −
+ + + + + =
10/ CMR: . ( ) ( )
11 0 2 1 1 1 2 1
.4 1 4 ... 1 4 ... .2
nn n n n n
n n n n n nn C n C C C C n C
−− − − −
− − + − = + +
www.VNMATH.com
7. 7
XÁC SU T
TÍNH XÁC SU T B NG ð NH NGHĨA
1. M t lô hàng g m 100 s n ph m , trong ñó có 30 s n ph m x u. L y ng u nhiên 1 s n ph m
t lô hàng.
a. Tìm xác su t ñ s n ph m l y ra là s n ph m t t
b. L y ra ng u nhiên (1 l n) 10 s n ph m t lô hàng. Tìm xác su t ñ 10 s n ph m l y
ra có ñúng 8 s n ph m t t
2. M t h p ch a 30 bi tr ng, 7 bi ñ và 15 bi xanh. M t h p khác ch a 10 bi tr ng , 6bi ñ và
9 bi xanh. L y ng u nhiên t m i h p bi. Tìm xác su t ñ 2 bi l y ra cùng màu.
3. Gieo ñ ng th i 2 con xúc x c cân ñ i ñ ng ch t. Tìm xác su t sao cho :
a. T ng s ch m trên m t hai con xúc x c b ng 8.
b. Hi u s ch m trên m t hai con xúc x c có tr tuy t ñ i b ng 2.
c. S ch m trên m t hai con xúc x c b ng nhau
4. M t lô hàng có n s n ph m trong ñó có k s n ph m x u. L y ng u nhiên t lô hàng k s n
ph m. Tìm xác su t ñ k s n ph m l y ra có ñúng s s n ph m x u.
5. Chia 12 t ng ph m cho 3 ngư i . Tìm xác su t ñ :
a. Ngư i th nh t ñư c 3 s n ph m
b. M i ngư i ñư c 4 s n ph m
6. 12 hành khách lên ng u nhiên 4 toa tàu. Tìm xác su t ñ :
a. M i toa có 3 hành khách
b. M t toa có 6 hành khách, m t toa có 4 hành khách các toa còn l i có 1 hành khách.
7. L y ng u nhiên l n lư c 3 ch s t 5 ch s {0,1,2,3,4} x p thành hàng ngang t trái sang
ph i. Tìm xác su t ñ nh n ñư c s t nhiên g m 3 ch s .
8. M t h c sinh vào thi ch thu c 18 câu trong 25 câu h i. Tìm xác su t ñ h c sinh ñó tr l i
ñư c 3 câu h i mà h c sinh ñó rút ñư c
9. Trong ñeà cöông moân hoïc goàm 10 caâu hoûi lyù thuyeát vaø 30 baøi taäp. Moãi ñeà thi goàm coù 1
caâu hoûi lyù thuyeát vaø 3 baøi taäp ñöôïc laáy ngaãu nhieân trong ñeà cöông. Moät hoïc sinh A chæ hoïc 4
caâu lyù thuyeát vaø 12 caâu baøi taäp trong ñeà cöông. Khi thi hoïc sinh A choïn 1 ñeà thò moät caùch
ngaãu nhieân. Vôùi giaû thieát hoïc sinh A chæ traû lôøi ñöôïc caâu lyù thuyeát vaø baøi taäp ñaõ hoïc. Tính
xaùc suaát ñeå hoïc sinh A :
a/ khoâng traû lôøi ñöôïc lyù thuyeát.
b/ chæ traû lôøi ñöôïc 2 caâu baøi taäp.
c/ ñaït yeâu caàu. Bieát raèng muoán ñaït yeâu caàu thì phaûi traû lôøi ñöôïc caâu hoûi lyù thuyeát vaø ít
nhaát 2 baøi taäp.
10. Trong h p có 8 bi ñen và 5 bi tr ng. L y hú h a l n lư t 3 l n,m i l n 1 viên ko hoàn l i.
Tìm XS ñ viên bi l y th 3 là tr ng.
11. Moät khaùch saïn coù 6 phoøng troï phuïc vuï khaùch, nhöng coù taát caû 10 khaùch ñeán xin nghæ
troï, trong ñoù coù 6 nam vaø 4 nöõ. Khaùch saïn phuïc vuï theo nguyeân taéc “ai ñeán tröôùc phuïc vuï
tröôùc vaø moãi phoøng nhaän 1 ngöôøi”.
a/ Tìm xaùc suaát ñeå cho caû 6 nam ñeàu ñöôïc nghæ troï.
b/ Tìm xaùc suaát ñeå 4 nam vaø 2 nöõ ñöôïc nghæ troï.
c/ Tìm xaùc suaát sao cho ít nhaát 2 trong soá 4 nöõ ñöôïc nghæ troï.
12.Coù 2 loâ haøng :
Loâ 1 : Coù 90 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån vaø 10 pheá phaåm
Loâ 2 : Coù 80 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån vaø 20 pheá phaåm.
Laáy ngaãu nhieân moãi loâ haøng moät saûn phaåm. Tính xaùc suaát :
www.VNMATH.com
8. 8
a/ Coù moät saûn phaåm ñaït tieâu chuaån.
b/ Coù hai saûn phaåm ñaït tieâu chuaån.
c/ Coù ít nhaát moät saûn phaåm ñaït tieâu chuaån.
13. Giaû söû coù 10 khaùch haøng vaøo moät cöûa haøng coù 3 quaày, moãi ngöôøi chæ toái moät quaày. Tìm
caùc xaùc suaát :
a/ coù 4 ngöôøi ñeán quaày soá 1;
b/ coù 4 ngöôøi ñeán moät quaày naøo ñoù;
c/ coù 4 ngöôøi ñeán quaày 1 vaø 3 ngöôøi ñeán quaày 2.
14. Coù 5 khaùch haøng khoâng quen bieát nhau vaø cuøng vaøo mua haøng ôû moät cöûa haøng coù 4 quaày
haøng. Bieát söï löïa choïn quaày haøng cuûa caùc khaùch haøng laø ñoäc laäp vaø nhö nhau. Haõy tìm xaùc suaát
cuûa caùc söï kieän sau:
a. Caû 5 khaùch haøng vaøo cuøng 1 quaày haøng
b. Coù 3 ngöôøi vaøo cuøng 1 quaày.
c. Coù 5 ngöôøi vaøo 2 quaày töùc laø coù ñuùng 2 quaày coù khaùch.
d. Moãi quaày ñeàu coù ngöôøi tôùi mua
15 .Moät cô quan ngoaïi giao coù 25 nhaân vieân trong ñoù coù 16 ngöôøi bieát noùi tieáng Anh, 14
ngöôøi bieát noùi tieáng Phaùp, 10 ngöôøi bieát noùi tieáng Nha, 10 ngöôøi bieát noùi tieáng Anh vaø Phaùp, 5
ngöôøi bieát noùi tieáng Anh vaø Nga, 3 ngöôøi bieát tieáng Phaùp vaø Nha, khoâng coù ai bieát noùi caû 3 thöù
tieáng treân. Coù 1 ngöôøi trong cô quan aáy ñi coâng taùc. Tính xaùc suaát ñeå ngöôøi aáy :
a/ Bieát noùi tieáng Anh hay Phaùp.
b/ Bieát noùi ít nhaát 1 ngoaïi ngöõ trong 3 ngoaïi ngöõ treân.
c/ Chæ bieát noùi 1 ngoaïi ngöõ trong 3 ngoaïi ngöõ treân.
16. Ch n ng u nhiên 5 con bài trong b bài tú – lơ – khơ :
a. Tính xác su t sao cho trong 5 quân bài ñó có ñúng 3 quân bài ñó thu c 1 b ( ví d : có 3
con 4)
b. Tính xác su t sao cho trong 5 quân bài ñó có 4 quân bài thu c m t b
17. Gieo hai con xúc x c cân ñ i ñ ng ch t. G i A là bi n c “ t ng s ch m trên m t c a hai con
xúc x c b ng 4 “
a. Li t kê các k t qu thu n l i c a bi n c A
b. Tính xác su t c a bi n c A
18. M t vé s có 5 ch s . Khi quay s n u vé c a b n mua có s trúng hoàn toàn v i k t qu thì
b n trúng gi i nh t. N u vé b n trúng 4 ch s sau thì b n trúng gi i nhì.
a. Tính xác su t ñ b n trúng gi i nh t.
b. Tính xác su t ñ b n trúng gi i nhì.
19. X p 5 ngư i ng i vào bàn tròn. Tính xác su t ñ A, B ng i g n nhau.
5. M t l p có 50 h c sinh trong ñó 20 em sinh vào ngày ch n. Ch n ng u nhiên 3 h c sinh. Tính
xác su t ñ 3 h c sinh ñư c ch n có t ng các s ngày sinh là s ch n.
20. K t qu (b,c) c a vi c gieo hai con xúc x c cân ñ i hai l n, ñư c thay vào phương trình x2
+
bx+ c =0. Tính xác su t ñ :
a. Phương trình vô nghi m
b. Phương trình có ngh êm kép
c, Phương trình có hai nghi m phân bi t
21. Gieo m t con xúc x c 2 l n . Tính xác su t ñ :
a. M t 4 ch m xu t hi n l n ñ u tiên
b. M t 4 ch m xu t hi n ít nh t 1 l n
22. Trong m t bình có 3 qu c u ñen khác nhau và 4 qu c u ñ khác nhau. L y ra 2 qu c u.
www.VNMATH.com
9. 9
Tính xác su t ñ :
a. Hai qu c u l y ra màu ñen
b. Hai qu c u l y ra cùng màu
23. S p x p 5 ngư i ng i vào 5 gh th ng hàng. Tính xác su t ñ :
a. A, B ng i c nh nhau
b. A,B ng i cách nhau m t gh .
24. Gieo 3 con ñ ng xu. Tính xác su t ñ
a. Có ñ ng xu l t ng a
b. Không có ñ ng xu nào s p
25. G i (x,y) là k t qu c a vi c gieo hai con xúc x c khác nhau. Tính xác su t ñ :
a. x l , y ch n
b. x>y
c. x+y <4
d. x chia h t cho y
26.Có 4 t m bìa ñ ghi 1,2,3,4 và 5 t m bìa xanh ghi 6,7,8. Rút ng u nhiên 1 t m. Tính xác su t
ñ :
a. Rút ñư c t m ghi s ch n
b. Rút t m bìa ñ
27: M t l p có 28 sinh viên trong ñó có 5 SV gi i,13 SV khá,10SV trung bình.L y ng u nhiên 4
SV ñi d ðH ñoàn trư ng.Tính XS ñ có ít nh t 2 SV gi i ñc l y.
28. Có 100 t m bìa hình vuông ñư c ñánh s t 1 ñ n 100.Ta l y ng u nhiên 1 t m bìa.Tìm xác
su t ñ l y ñư c:
a/M t t m bìa có s không ch a ch s 5 Pa = 0,8
b/M t t m bìa có s chia h t cho 2 ho c 5 ho c c 2 và 5 Pb= 0,6
29. M t h p có ch a a qu c u tr ng và b qu c u ñen.L y ra l n lư t t h p t ng qu c u(m t
cách ng u nhiên).Tìm xác su t ñ
a/Qu c u th 2 là tr ng b/ Qu c u cu i cùng là tr ng
ðáp s : Pa = Pb = a/a+b
30. Gieo ñ ng th i 2 ñ ng xu.Tìm xác su t ñ có :
a/Hai m t cùng s p xu t hi n (P=0,25)
b/M t m t s p,m t m t ng a (P=0,5 )
c/Có ít nh t 1 m t s p (P=0,75 )
31 Gieo ñ ng th i 2 xúc x c ñ i x ng và ñ ng ch t.Tìm xác su t ñ ñư c:
a/T ng s ch m xu t hi n b ng 7 (P=1/6)
b/T ng s ch m xu t hi n nh hơn 8 (P=7/12)
c/ Có ít nh t 1 m t 6 ch m xu t hi n (P=11/36)
32.Thang máy c a 1 toà nhà 7 t ng xu t phát t t ng 1 v i 3 khách.tìm xác su t ñ :
a/T t c cùng ra t ng 4 (P=1/216)
b/T t c cùng ra m t t ng (P=1/36)
c/M i ngư i ra m t t ng khác nhau (P=5/9)
33. M i vé x s kí hi u b i 1 s có 5 ch s .Tìm xác su t ñ 1 ngư i mua 1 vé ñư c:'
a/Vé có 5 ch s khác nhau (P=0,3024)
b/Vé có 5 ch s ñ u ch n (P=0,03125)
34. 5 ngư i A,B,C,D,E ng i m t cách ng u nhiên vào 1 chi c gh dài.Tìm xác su t ñ :
a/Ngư i C ng i chính gi a (P=0,2)
b/Hai ngư i A,B ng i 2 ñ u (P=0,1)
35. Trong m t chi c h p có n qu c u ñư c ñánh s t 1 ñ n n.L y ng u nhiên cùng lúc ra 2 qu
c u.Tính xác su t ñ ngư i ñó l y ñư c 1 qu có s hi u l n hơn k và m t qu có s hi u nh hơn
www.VNMATH.com
10. 10
k (ñáp s :
2( 1)( )
( 1)
k n k
P
n n
− −
=
−
)
36* Có 10 ngư i khách bư c ng u nhiên vào m t c a hàng có 3 qu y.H i xác su t ñ 3 ngư i
cùng ñ n qu y s 1 là bao nhiêu?
HD: M i khách có 3 kh năng như nhau ñ d n 3 qu y.S bi n c ñ ng kh năng là: 310
.Còn s
bi n c thu n l i là: 3 7
10.2C suy ra
3 7
10
10
.2
3
C
P =
37. Có n ngư i (trong ñó có m ngư i trùng tên) x p ng u nhiên thành hàng ngang.Xác su t ñ m
ngư i trùng tên ñó ñ ng c nh nhau là bao nhiêu?
ðáp s :
( 1)! !
!
n m m
P
n
− +
=
S D NG CÁC ð NH LÝ XÁC SU T
Bài 1: Ki m tra theo th t m t lô hàn g m n s n ph m. các s n ph m l y ra ñ u thu c m t trong
hai lo i t t ho c x u . Kí hi u Ak (k= 1,2,3 …N) là bi n c s n ph m th k thu c lo i x u. Vi t
các bi n c sau ñây theo các bi n c Ak.
a. C N s n ph m ñ u x u
b. Có ít nh t m t s n ph m x u
c. M s n ph m ñ u t t , các s n ph m còn l i x u
d. Các s n ph m ki m tra theo th t ch n là x u còn l là t t
Bài2: Ba ngư i cùng b n vào m t m c tiêu.G i kA là bi n c ngư i th ba b n trúng m c tiêu
(k=1,2,3).Các bi n c sau ñây ñư c vi t b ng kí hi u ra sao?
a/Ch có ngư i th nh t b n trúng m c tiêu
b/Ch có m t ngư i b n trúng m c tiêu
c/Ch có hai ngư i b n trúng m c tiêu
d/Có ít nh t m t ngư i b n trúng m c tiêu
Bài3: Khi ki m tra theo th t m t lô hàng có 10 s n ph m(các s n ph m ñ u thu c 1 trong 2 lo i
t t ho c x u).G i Ak là bi n c "s n ph m th k là lo i x u".Vi t b ng kí hi u các bi n c sau:
a/C 10 s n ph m ñ u x u
b/Có ít nh t 1 s n ph m x u
c/Sáu s n ph m ñ u là t t còn l i là x u
d/Các s n ph m ki m tra theo th t ch n là t t,th t l là x u
Bài4: Có 2 h p ñ ng bi:h p 1 ñ ng 3 bi tr ng,7 bi ñ ,15 bi xanh ; h p 2 ñ ng 10 bi tr ng,6 bi
ñ ,9 bi xanh.Ta l y ng u nhiên t m i h p 1 viên bi.Tìm xác su t ñ 2 viên bi l y ra cùng màu
(P= 207/625)
Bài5: Hai ngư i cùng b n vào m t m c tiêu.Xác su t b n trúng c a t ng ngư i là 0,8 và 0,9.Tìm
xác su t c a các bi n c sau
a/Ch có m t ngư i b n trúng m c tiêu (P=0,26)
b/Có ít nh t m t ngư i b n trúng m c tiêu (P=0,98)
c/C hai ngư i b n trư t (P=0,02)
Bài6: B n liên ti p vào 1 m c tiêu ñ n khi viên ñ n ñ u tiên trúng m c tiêu thì d ng.Tính xác su t
sao cho ph i b n ñ n viên ñ n th 6.Bi t r ng xác su t trúng m c tiêu c a m i viên ñ n là 0,2.Và
các l n b n ñ c l p v i nhau (P=0,065536)
Bài7: Gieo 2 con xúc x c ñ i x ng và ñ ng ch t.G i A là bi n c t ng s ch m xu t hi n là s
l .B là bi n c ñư c ít nh t m t m t m t ch m.Hãy tính
a/ P( A B∪ ) (P=23/36) b/ P(AB) (P=1/6)
Bài8: Có 2 bóng ñi n v i xác su t h ng là 0,1 và 0,2 (Vi c chúng h ng là ñ c l p v i nhau).Tính
xác su t ñ m ch không có ñi n do bóng h ng n u
www.VNMATH.com
11. 11
a/Chúng ñư c m c song song P=0,02
b/Chúng ñư c m c n i ti p P=0,28
Bài 9: Ba c u bé chơi trò chơi gieo ñ ng xu liên ti p. Ai giei ñư c m t s p trư c thì th ng cu c.
Tìm xác su t th ng cu c c a m i c u bé.
Baøi 10 : Xaùc suaát ñeå 1 saûn phaåm cuûa nhaø maùy A bò hoûng laø 0,05, khi kieåm tra moät loâ haøng goàm
caùc saûn phaåm cuûa nhaø maùy A, ngöôøi ta laáy ngaãu nhieân n saûn phaåm trong loâ haøng, loâ haøng bò
loaïi neáu coù ít nhaát k pheá phaåm trong n saûn phaåm laáy ra. Tính xaùc suaát ñeå loâ haøng bò loaïi vôùi :
a/ n = 3 ;k = 1 b/ n = 5; k = 2
Baøi 11 : Moät maïng ñieän goàm moät ngaét ñieän K vaø hai boùng ñieän Ñ1, Ñ2 ñöôïc gheùp noái tieáp.
Maïng ñieän bò taét neáu ít nhaát moät trong ba boä phaän treân bò hoûng.
Tìm xaùc suaát ñeå cho maïng ñieän bò taét, bieát raèng xaùc suaát bò hoûng töông öùng K, Ñ1, Ñ2, laø 0,4 ;
0,5 ; 0,6 vaø caùc boä phaän ñoù hoûng hoùc moät caùch ñoäc laäp vôùi nhau.
Baøi 12: Moät maùy bay goàm coù ba boä phaän coù taàm quan troïng khaùc nhau. Muoán baén rôi maùy bay,
thì chæ caàn coù moät vieân ñaïn truùng boä phaän thöù nhaát, hoaëc hai vieân ñaïn truùng boä phaän thöù hai,
hoaëc ba vieân ñaïn truùng boä phaän thöù ba.
Xaùc suaát ñeå moät vieân ñaïn truùng boä phaän thöù nhaát, thöù hai, thöù ba vôùi ñieàu kieän vieân ñaïn ñoù ñaõ
truùng maùy bay töông öùng baèng 0,15 ; 0,30 vaø 0,55.
Tìm xaùc suaát ñeå maùy bay bò baén rôi khi
a/ coù moät vieân ñaïn truùng maùy bay ;
b/ coù hai vieân ñaïn truùng maùy bay;
c/ coù ba vieân ñaïn truùng maùy bay;
d/ coù boán vieân ñaïn truùng maùy bay.
Baøi 13: Hai maùy bay laàn löôït neùm bom vaøo moät muïc tieâu ñaõ ñònh. Moãi maùy bay coù mang theo
ba quaû bom vaø moãi laàn lao xuoáng chæ neùm moät quaû. Xaùc suaát truùng ñích cuûa moät quaû bom ôû
maùy bay thöù nhaát baèng 0,4 coøn cuûa maùy bay thöù hai laø 0,5. Muïc tieâu bò phaù huûy ngay sau khi
quûa bom ñaàu tieân rôi truùng muïc tieâu. Tìm xaùc suaát muïc tieâu bò phaù huûy sao cho khoâng söû duïng
heát taát caû soá bom ôû hai maùy.
Baøi 14: Moät hoäp coù 10 vieân bi trong ñoù coù 7 bi ñoû vaø 3 bi xanh.
a. Laáy laàn löôït töøng bi moät khoâng hoaøn laïi cho tôùi khi laáy ñöôïc bi xanh thì thoâi.
Tìm xaùc suaát ñeå laáy ñöôïc bi xanh khoâng quaù 2 laàn laáy bi
b. Laáy laàn löôït töøng bi moät khoâng hoaøn laïi cho tôùi khi laáy ñöôïc 2 bi ñoû thì thoâi. Tìm xaùc
suaát ñeå laáy ñöôïc 2 bi ñoû khi laáy ra khoâng quaù 3 bi.
Baøi 15: Hai caàu thuû boùng roå, moãi ngöôøi neùm boùng 2 laàn, xaùc suaát neùm truùng ñích cuûa moãi caàu
thuû theo thöù töï laø 0,6 vaø 0,7. Tính xaùc suaát :
a/ Soá laàn neùm truùng roå cuûa caàu thuû thöù nhaát nhieàu hôn soá laàn neùm truùng roå cuûa caàu thuû
thöù hai.
b/ Soá laàn neùm truùng roå cuûa hai ngöôøi nhö nhau.
Baøi 16 : Moät caên phoøng ñieàu trò coù 3 beänh nhaân beänh naëng vôùi xaùc suaát caàn caáp cöùu trong voøng
moät giôø cuûa caùc beänh nhaân töông öùng laø 0,7 ; 0,8 vaø 0,9. Tìm caùc xaùc suaát sao cho trong voøng
moät giôø :
a/ coù hai beänh nhaân caàn caáp cöùu.
b/ coù ít nhaát moät beänh nhaân khoâng caàn caáp cöùu.
www.VNMATH.com
12. 12
Baøi 17 : Moät coâng ty ñaàu tö 2 döï aùn A vaø B. Xaùc suaát thua loã döï aùn A laø 10% vaø xaùc suaát thua
loã döï aùn B laø 20%. Söï thua loã cuûa 2 döï aùn laø phuï thuoäc vôùi nhau vaø bieát xaùc suaát ñeå coâng ty
thua loã caû 2 döï aùn A vaø B laø 5%.
a/ Tìm xaùc suaá ñeå caû 2 döï aùn A vaø B ñeàu khoâng bò thua loã.
b/ Tìm xaùc suaát ñeå coù ñuùng 1 döï aùn bò thua loã.
Baøi 18: Moät Coâng ty ñaáu thaàu 2 döï aùn A vaø B, döï aùn A ñaáu thaàu tröôùc. Khaû naêng thaéng thaàu
döï aùn A laø 90%. Neáu döï aùn A thaéng thaàu thì khaû naêng thaéng thaàu döï aùn B laø 80%. Neáu döï aùn A
khoâng thaéng thaàu thì khaû naêng thaéng thaàu döï aùn B laø 50%
a. Tìm xaùc suaát Coâng ty thaéng thaàu ít nhaát moät döï aùn.
b. Tìm xaùc suaát Coâng ty chæ thaéng thaàu moät döï aùn
c. Tìm xaùc suaát Coâng ty chæ thaéng thaàu döï aùn B.
Baøi 19 Moät Coâng ty ñaáu thaàu 2 döï aùn A vaø B, khaû naêng thaéng thaàu döï aùn A laø 90%; khaû naêng
thaéng thaàu döï aùn B laø 77% vaø khaû naêng thaéng thaàu ñoàng thôøi caû 2 döï aùn laø 72%
a. Tìm xaùc suaát Coâng ty chæ thaéng thaàu 1 döï aùn
b. Tìm xaùc suaát Coâng ty coù ít nhaát 1 döï aùn khoâng thaéng thaàu
c. Tìm xaùc suaát Coâng ty ñeàu khoâng thaéng thaàu caû 2 döï aùn .
Baøi 20 : Moät soït cam raát lôùn ñöôïc phaân loaïi theo caùch sau: Choïn ngaãu nhieân 20 quaû cam laøm
maãu ñaïi dieän. Neáu maãu naøy khoâng chöùa quaû cam hoûng naøo thì soït cam ñöôïc xeáp loaïi 1. Neáu
maãu cho moät hoaëc hai quaû hoûng thì soït cam xeáp loaïi 2. Trong tröôøng hôïp coøn laïi (coù töø 3 quaû
hoûng trôû leân) soït cam ñöôïc xeáp loaïi 3.
Treân thöïc teá 3% soá cam trong soït bò hoûng. Tìm xaùc suaát ñeå soït cam ñöôïc xeáp loaïi :
a/ Loaïi 1 ;
b/ Loaïi 2 ;
c/ Loaïi 3.
Baøi 21 : Moät baøi thi traéc nghieäm (multiple-choice test) goàm 12 caâu hoûi, moãi caâu hoûi cho 5 caâu
traû lôøi, trong ñoù chæ coù moät caâu ñuùng. Giaû söû moãi caâu traû lôøi ñuùng ñöôïc 4 ñieåm vaø moãi caâu traû
lôøi sai bò tröø 1 ñieåm.
Moät hoïc sinh keùm laøm baøi baèng caùch choïn huù hoïa moät caâu traû lôøi. Tìm xaùc suaát ñeå:
a/ Anh ta ñöôïc 13 ñieåm ;
b/ Anh ta ñöôïc ñieåm aâm.
Baøi 22. Moät hoäp coù 7 thaønh phaåm vaø 3 pheá phaåm. Laãy ngaãu nhieân laàn löôït töøng saûn phaåm moät
khoâng hoaøn laïi cho tôùi khi laáy ñöôïc hai thaønh phaåm thì döøng laïi.
a. Tìm xaùc suaát ñeå chæ laáy ra saûn phaåm ôû laàn thöù tö thì döøng laïi.
b. Tìm xaùc suaát ñeå vieäc döøng laïi khi khoâng laáy quaù 4 saûn phaåm
Baøi 23 : Moät chieác maùy bay coù theå xuaát hieän ôû vò trí A vôùi xaùc suaát 3
2
vaø ôû vò trí B vôùi xaùc suaát
3
1
. Coù ba phöông aùn boá trí 4 khaåu phaùo baén maùy bay nhö sau :
Phöông aùn 1 : 3 khaåu ñaët taïi A, moät khaåu ñaët taïi B.
Phöông aùn 2 : 2 khaåu ñaët ôû A, 2 khaåu ñaët ôû B.
Phöông aùn 3 : 1 khaåu ñaët ôû A vaø 3 khaåu ñaët ôû B.
Bieát raèng xaùc suaát baén truùng maùy bay cuûa moãi khaåu phaùo laø 0,7 vaø caùc khaåu phaùo hoaït ñoäng
ñoäc laäp vôùi nhau, haõy choïn phöông aùn toát nhaát.
www.VNMATH.com
17. 17
phaåm thì ñöôïc saûn phaåm toát. Traû saûn phaåm ñoù laïi kieän haøng vöøa laáy ra, sau ñoù laïi laáy tieáp 1 saûn
phaåm thì ñöôïc saûn phaåm toát.
Tìm xaùc suaát ñeå caùc saûn phaåm ñöôïc laáy töø kieän haøng thöù 3, bieát raèng caùc kieän haøng ñeàu coù 20
saûn phaåm.
Baøi 56: Moät caùi hoäp coù 8 thaønh phaåm vaø 2 pheá phaåm. Trong quaù trình vaän chuyeån bò maát ñi 2
saûn phaåm khoâng roõ chaát löôïng . Laáy ngaãu nhieân 2 saûn trong 8 saûn phaåm coøn laïi.
a/ Tìm xaùc suaát 2 saûn phaåm laáy ra laø thaønh phaåm.
b/ Tìm xaùc suaát ñeå coù ít nhaát 1 thaønh phaåm bò maát , bieát raèng 2 saûn phaåm laùy ra laø thaønh
phaåm.
c/ Bieát raèng 2 saûn phaåm laáy ra laø thaønh phaåm. Tìm xaùc suaát ñeå laáy tieáp moät saûn phaåm
nöõa döôïc pheá phaåm.
Baøi 57: Moät thuøng röôïu coù 20 chai, trong ñoù coù 3 chai röôïu giaû. Trong quaù trình vaän chuyeån bò
maát 1 chai khoâng roõ chaát löôïng. Laáy ngaãu nhieân 1 chai trong 19 chai coøn laïi.
a. Tìm xaùc suaát ñeå chai laáy ra laø chai thaät
b. Bieát chai laáy ra laø chai thaät. Tìm xaùc suaát ñeå laáy tieáp ra 2 chai nöõa coù 1 chai thaät vaø 1
chai giaû.
Bài1: M t chi ti t máy ñư c l y ng u nhiên.Chi ti t lo i 1(chi ti t A);chi ti t lo i 2(chi ti t B);chi
ti t lo i 3(chi ti t C).Hãy mô t các bi n c sau ñây
a/ A B∪ b/ A B+ c/( . )A B C∪ d/ .A C
Baøi 58 : Ba ngöôøi cuøng baén vaøo moät muïc tieâu. Xaùc suaát baén truùng ñích cuûa ngöôøi thöù 1, 2, 3 laàn
löôït laø 0,5 ; 0,6 ; 0,7. Goïi Ai laø söï kieän chæ ngöôøi thöù i baén truùng muïc tieâu i = 1, 2, 3. Haõy bieåu
dieãn caùc söï kieän sau theo caùc söï kieän Ai, iA
; i = 1, 2, 3 vaø tính xaùc suaát cuûa caùc söï kieän ñoù.
a/ A = söï kieän chæ coù moät ngöôøi baén truùng ñích.
b/ A = söï kieän coù nhieàu nhaát 1 ngöôøi baén truùng ñích.
c/ C = söï kieän muïc tieâu (ñích) bò baén truùng.
Baøi 59: Ta kieåm tra theo thöù töï moät loâ haøng coù 10 saûn phaåm. Caùc saûn phaåm ñeàu thuoäc moät
trong hai loaïi : toát hoaëc xaáy. Ta kyù hieäu Ak (k = 10,1 ) laø bieán coá chæ saûn phaåm kieåm tra thöù k
thuoäc loaïi xaáu. Vieát baèng kyù hieäu caùc bieán coá sau ñaây :
a/ Coù 10 saûn phaåm ñeàu xaáu.
b/ Coù ít nhaát moät saûn phaåm xaáu.
c/ Coù 6 saûn phaåm kieåm tra ñaàu laø toát, caùc saûn phaåm coøn laïi laø xaáu.
d/ Caùc saûn phaåm kieåm tra theo thöù töï chaün laø toát, coøn caùc saûn phaåm kieåm tra theo thöù töï
leû laø xaáu.
BI N NG U NHIÊN R I R C
Bài60: M t h p có 3 qu c u tr ng và 2 qu c u ñen.L y ng u nhiên t ng qu c u cho ñ n khi l y
ñư c qu c u tr ng.Hãy l p b ng phân ph i xác su t c a các qu c u ñư c l y ra
Bài61: M t phòng thi v n ñáp có 20 câu h i lý thuy t và 10 câu bài t p.M i ngư i vào thi ñư c
l y 1 câu lý thuy t và 1 câu bài t p.Tr l i ñúng ñư c 5 ñi m,tr l i sai ñư c 0 ñi m (cho m i
câu).Vi c tr l i câu lý thuy t và câu bài t p là ñ c l p.Khi vào thi hc sinh A thu c 12 câu lý
thuy t và có th làm ñư c 6 câu bài t p.
a/Tính xác su t ñ A ñ t ñi m 0 (P= 4/25)
b/G i X là s ñi m A ñ t ñư c.CMR: X là m t bi n ng u nhiên r i r c
- L p b ng phân b xác su t c a X.
www.VNMATH.com
18. 18
- Tính xác su t ñ A ñ t t 5 ñi m tr lên (P= 21/25)
c/Tính s ñi m trung bình mà A có th ñ t ñư c (Kỳ v ng E(X)=6)
Bài62: M t thi t b g m 3 b ph n ho t ñ ng ñ c l p v i nhau.Xác su t trong th i gian t các b
ph n b h ng tương ng là: 0,4 ; 0,2 ; 0,3.G i X là s b ph n b h ng trong th i gian t
a/L p b ng phân b xác su t c a X
b/Xác su t ñ trong th i gian t có không quá 2 b ph n b h ng là bao nhiêu?
Bài63: M t ngư i ñi t nhà ñ n cơ quan ph i qua 3 ngã tư.Xác su t ñ ngư i ñó g p ñèn ñ các
ngã tư tương ng là : 0,2 ; 0,4 ; 0,5.M i khi g p ñèn ñ ngư i y ph i d ng l i 3 phút.H i th i
gian trung bình mà ngư i ñó ph i d ng l i trên ñư ng là bao nhiêu? (ñáp s : kho ng 3,3 phút)
Bài64: Hai c u th l n lư t ném bóng vào r cho ñ n khi trúng v i xác su t ném trư t c a t ng
ngư i là: 0,7 và 0,6.Ngư i th nh t ném trư c
a/L p b ng phân b xác su t c a s l n ném r cho m i ngư i
b/L p b ng phân b xác su t c a t ng s l n ném r c a c hai ngư i
www.VNMATH.com