Lí thuyết tô hợp + chỉnh hợp lặp

1. 1
CHNH HP LAP - TO HP LAP
Trân Th Thanh Hưng, Trân ðc Duy, Mai Hu Nhân, 11T
THPT chuyên Nguyen B nh Khiêm, Vĩnh Long
Bài toán m ñâu. Có bao nhiêu cách xêp 4 viên bi giông nhau vào 3 hop khác nhau.
Li gi i. bài toán bày chúng ta có the liet kê các trưng hp có the xy ra như sau: Gi sô viên bi
xêp vào hop 1, hop 2, hop 3, lân lưt là x, y, z . Các trưng hp có the xy ra ñôi vi (x, y, z) là: (4;0;0),
(0;4;0), (0;0;4), (1;1;2), (1;2;1), (2;1;1), (1;3;0), (1;0;3), (0;1;3), (0;3;1), (3;0;1), (3;1;0), (0;2;2), (2;2;0),
(2; 0; 2). Vay có 15 cách xêp.
Nhan xét. Vi bài toán này có the liet kê tât c các trưng hp, nhưng vi nhng bài toán tương t
như thê nhưng sô bi và sô hop ln hơn rât nhiêu thì chúng ta se gap nhiêu khó khăn trong viec liet kê. Vay
có mot phương pháp nào giúp chúng ta gii nhng bài toán như thê ñơn gin hơn không?
Sau ñây chúng ta hãy cùng nhau tìm hieu vê “To hp lap – Ch nh hp lap”, chúng se giúp chúng ta
gii các bài toán phc tp mot cách de dàng hơn.
1. Chnh h

2. p lap
a) ðnh nghĩa. Cho tap X gôm n * (n ∈ N ) phân t!. Mot dãy có ño dài m * (m∈ N ) các phân t! ca X ,
trong ñó moi phân t! có the lap li nhiêu lân, sap xêp theo th t nhât ñnh gi là mot ch nh hp lap chap m
ca n phân t!. Ký hieu sô ch nh hp lap chap m ca n phân t! là m
n F .
b) Công thc. m m
n F = n .
Chng minh. Cho 1 2 { ; ;......; } n X = x x x . Dãy có ño dài m là 1 2....... m a a a * (m∈ N ) .
1 a có n cách chn , 2 a cũng có n cách chn (vì 2 a cũng có the giông 1 a ), ... m a cũng có n cách chn.
Vay dãy có ño dài m có m n cách chn, hay m m
n F = n .
c) Các ví d
Ví d 1. Bien ñăng kí ô tô có 6 ch sô và 2 ch cái ñâu tiên trong 26 ch cái (không dùng ch O và I ).
Hi sô ô tô ñưc ñăng kí nhiêu nhât là bao nhiêu?
Li gi i. Gi X là tap hp các ch cái dùng trong bng ñăng kí, suy ra X có 24 phân t! ( vì không dùng
O và I ). Vì vay ta có 2 2
24 F = 24 cách chn cho hai ch cái ñâu tiên. Gi Y là tap hp các ch sô dùng trong
bng ñăng kí, suy ra Y có 10 phân t!. Vì vay có 6 6
10 F =10 cách chn cho 6 ch sô còn li. Do ñó có tât c
6 2 10 .24 bien sô.
Ví d 2. Hi có bao nhiêu sô có 10 ch sô mà 3 ch sô ñâu và 3 ch sô cuôi tương ng giông nhau?
Li gi i. Ta thây vi 1 cách chn cho 3 ch sô ñâu cũng ch có 1 cách chn cho 3 ch sô cuôi ñe chúng
tương ng giông nhau. Ta có 3 3
10 F =10 cách chn tùy ý cho 3 ch sô ñâu. Ta phi loi trưng hp sô 0 ñng
10 F =10 cách b loi. Như vay ta có 3 2 3 2
ñâu, suy ra có 2 2
10 10 F −F =10 −10 =900 cách chn cho 3 ch sô ñâu.
Nên ta có 900 cách chn cho 3 ch sô ñâu và 3 ch sô cuôi tương ng giông nhau. Ta còn li 4 ô trông, mà t'
4 ô trông ñó ta lap ñưc 4 4
10 F =10 =10000 . Vay ta có 900.10000 = 9000000 sô cân tìm.
Nhan xét. T' ñó ta có the tong quát bài toán lên như sau: Cho n 2m 2 * (n,m∈ N ) . Hi có bao nhiêu
sô có n ch sô mà m ch sô ñâu và m ch sô cuôi tương ng giông nhau.
Li gi i. Chúng ta cũng lí luan như trên. Ta có ñưc 1 2
10 10 10 ( ). m m n m F F F − − − sô cân tìm.
2. To h

3. p lap
a) ðnh nghĩa. Moi cách chn ra k vat t' n loi vat khác nhau (trong ñó moi loi vat có the ñưc chn li
nhiêu lân) ñưc gi là to hp lap chap k ca n . Sô các to lap chap k ca n ñưc ký hieu là k
n K .
b) Công thc. 1
k k
n n k K C + − = .

4. 2
c) Các ví d.
Ví d( ñâu tiên se là mot he qu quan trng.
Ví d 1. Gi s! có n viên bi giông nhau và m cái hop, ta xêp bi vào các hop. Gi xi vi i =1, 2,3...,m là
sô bi ) hop i. Chng minh rang
a) Sô cách xêp khác nhau n viên bi vào m cái hop là 1
n
m n C + − .
n
m n C + − cách xêp ñó có 1
b) Trong 1
− cách xêp cho tât c các hop ñêu có bi.
m
n C −
1
Li gi i. a) Ta bieu dien m cái hop t' m+1 gch thang ñng, còn các viên bi bieu dien bang các ngôi
sao (*). Chang hn như
|**|*|***|*|…….|***|
Như vay ) ngoài cùng luôn luôn là các vch thang ñng, còn li m−1 vch thang ñng và n viên bi ñưc
sap xêp theo th t tùy ý. Như vay sô cách sap xêp khác nhau bang sô cách chn n phân t! trong tap hp
m−1+n phân t! (c vch và ngôi sao) ñó chính là 1
n
m n C + − .
b) Trưng hp moi hop có ít nhât 1 viên bi tương ng vi cách bieu dien moi vch phi bao gôm gia hai
ngôi sao. Nhưng có tât c n−1 khong trông gia n ngôi sao. Vì vay phi xêp m−1 vch vào n−1 khong
trông ñó. Vay có tât c 1
− cách xêp.
m
n C −
1
Nhan xét. T' bài toán trên ta suy ra mot he qu thú v.
a) Sô các nghiem t nhiên ca phương trình 1 2 ... m x +x + +x = n * (n,m∈ N ) là 1
n
m n C + − .
b) Sô các nghiem nguyên dương ca phương trình x +x + ... +x = n (m ≤ n, n,m ∈ N * ) là C m
−
1
1 2 m n 1
− .
ðe thây ñưc ng d(ng ca he qu trên ta xét ví d( sau.
Ví d 2. Tìm sô nghiem nguyên không âm ca phương trình 1 2 3 4 x +x +x +x = 20 (1) tha ñiêu kien
1 2 3 x ≤3; x ≥2; x 4 (*)
Li gi i. Ta viêt ñiêu kien ñã cho thành 1 2 3 x ≤3; x ≥2; x ≥5 . Xét các ñiêu kien sau
2 3 x ≥2; x ≥5 (**), 1 2 3 x ≥4; x ≥2; x ≥5 (***).
Gi p,q, r lân lưt là các sô nghiem nguyên không âm ca phương trình (1) tha các ñiêu kien (*), (**),
(***). Ta có p = q−r . ðat , , , ,
1 1 2 2 3 3 4 4 x = x ; x = x −2; x = x −5; x = x , kêt hp vi (**), phương trình (1) tr)
thành , , , ,
1 2 3 4 x +x +x +x =13 (2).
Sô nghiem nguyên không âm ca phương trình (1) tha ñiêu kien (**) bang sô nghiem nguyên không âm
4 4 13 1 16 K C C + − = = . Vay 13
ca phương trình (2). Theo he qu trên sô nghiem ñó là 13 13 13
16 q =C .
Lý luan tương t, ta có 9 9 9
4 4 9 1 12 r K C C + − = = = . Suy ra 13 9
16 12 p = q−r =C −C =560−220=340 .
Vay sô nghiem nguyên không âm ca phương trình (1) tha ñiêu kien (*) là 340.
Ví d 3. Tìm sô cách xêp 30 viên bi giông nhau vào 5 hop khác nhau sao cho hop 1có nhât 5 bi, biêt rang
hop 2 và hop 3 không cha quá 6 bi.
Li gi i. Trưc hêt ta tìm sô cách xêp 30 viên bi giông nhau vào 5 hop khác nhau sao cho hop 1 có ít nhât
5 bi. Nhan xét rang ta cân lây 5 bi ñe xêp trưc vào hop 1, do ñó sô bi còn li là 25. Suy ra sô cách xêp trong
trưng hp này bang sô cách xêp 25 bi vào 5 hop mà không có ñiêu kien gì thêm. Sô cách xêp ñó là
25 25 25
5 5 25 1 29 K C C 23751 + − = = = . Tương t ta có:
- Sô cách xêp 30 viên bi giông nhau vào 5 hop khác nhau sao cho hop 1 cha ít nhât 5 bi, hop cha ít nhât
7 bi là 18 18 18
5 5 18 1 22 K C C + − = = .
- Sô cách xêp 30 viên bi giông nhau vào 5 hop khác nhau sao cho hop 1 cha ít nhât 5 bi, hop 3 cha ít
nhât 7 bi là 18 18 18
5 5 18 1 22 K C C + − = = .

5. - Sô cách xêp 30 viên bi giông nhau vào 5 hop khác nhau sao cho hop 1 cha ít nhât 5 bi, moi hop 2 và 3
3
cha ít nhât 7 bi là 11 11 11
5 5 11 1 15 K C C + − = = .
S! d(ng công thc A∪ B = A + B − A∩ B ta suy ra sô cách xêp 30 viên bi giông nhau vào 5 hop khác
nhau sao cho hop 1 cha ít nhât 5 bi, ñông thi hop 2 hay hop 3 cha ít nhât 7 bi là
18 18 11 18 18 11
5 5 5 22 22 15 K +K −K =C +C −C =13265 (2)
Theo yêu câu ca bài toán, khi xêp 30 viên bi vào 5 hop thì hop 1 phi có ít nhât 5 bi còn moi hop 2 và 3
phi có không quá 6 bi. Do ñó sô cách xêp này se bang hieu ca hai cách xêp (1) và (2), tc là bang:
23751−13265=10486 .
3. Bài tap
Bài 1. Tìm sô nghiem nguyên không âm ca phương trình 1 2 3 4 x +x +x +x = 40 trong moi trưng hp
sau
a) 1 2 x ≥3, x ≤4 ,
b) 1 2 x 3, x 4 ,
c) 1 2 3 4 2≤ x ≤8, x ≤4, x 3, x 6 .
Bài 2. [ðê thi ñi hc năm 2007 ] Có bao nhiêu bo ba sô nguyên không âm ( 1 2 3 x , x , x ) tha ñiêu kien
1 2 3 x +x +x ≤15 , vi 1 x 2 , 2 x 4 .
Bài 3. Moi khóa gôm 5 vòng sô ghi 0, 1, 2, …..,9. Moi dãy 5 ch sô cho mot cách ñe m) khóa. Có bao
nhiêu khóa có cách m) khác nhau.
Bài 4. Có bao nhiêu cách phát 100 phân thư)ng giông nhau cho 60 hc sinh. Moi hc sinh có ít nhât 1
phân thư)ng.
Bài 5. Có bao nhiêu sô có 6 ch sô mà
a) Ch sô ñâu và ch sô cuôi giông nhau.
b) Ch sô ñâu và ch sô cuôi giông nhau
c) Hai ch sô ñâu và hai ch sô cuôi giông nhau
Bài 6. Có bao nhiêu cách xêp kn vat khác nhau thành k nhóm, moi nhóm có n vat?
Bài 7. Ngưi ta làm mot bó hoa t' 18 hoa. Cho biêt không có bó hoa nào dưi 3 hoa. Hi có bao nhiêu
cách làm mot bó hoa?
Bài 8. Trong t có n ñôi găng tay. Lây t' ñó ra mot cách ngau nhiên 2r chiêc găng tay (2r n) . Tìm
xem có bao nhiêu kh năng trong sô tât lây ra
a) Không lap thành mot ñôi nào c.
b) Có ñúng 1 ñôi.
c) Có ñúng 2 ñôi
Tài lieu tham kh o
[1] Nguyen Vũ Thanh, “Chuyên ñê bôi dư
ng chuyên toán câp 2-3 Sô H
c”, Nhà xuât bn tr-, 2001
[2] Ngô Thê Phiet, “250 bài toán Gii Tích To Hp”, Nhà xuât bn ðông Nai,1994
[3] TS.Trân Văn Hoài, “[pdf] To hp và phép ñêm”, 2007–2008
[4] TS. Nguyen Viêt ðông, “[pdf] Tap hp, ánh x, phép ñêm”
Và các tài lieu trên: www.diendantoanhoc.net
www.onthi.com.vn
http://en.wikipedia.org/wiki/Combinations
“It’s at first you don’t success try. Try again.”