1. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK
XÁC SU T VÀ TH NG KÊ
(ð i h c và Cao ñ ng)
Tài li u tham kh o:
1. Giáo trình Xác su t – Th ng kê và ng d ng – Nguy n Phú Vinh – NXB Th ng kê.
2. Ngân hàng câu h i Xác su t – Th ng kê và ng d ng – ðHCN TP.HCM.
3. Lý thuy t Xác su t và Th ng kê – ðinh Văn G ng – NXB Giáo d c.
4. Lý thuy t Xác su t và Th ng kê toán – Nguy n Thanh Sơn, Lê Khánh Lu n – NXBTKê.
5. Xác su t – Th ng kê – Lý thuy t và các bài t p – ð u Th C p – NXB Giáo d c.
6. Lý thuy t Xác su t và Th ng kê – ðinh Văn G ng – NXB Giáo d c.
7. Xác su t – Th ng kê và ng d ng – Lê Sĩ ð ng – NXB Giáo d c.
8. Xác su t và Th ng kê – ð ng H n – NXB Giáo d c.
9. Giáo trình Xác su t và Th ng kê – Ph m Xuân Ki u – NXB Giáo d c.
10. Giáo trình Lý thuy t Xác su t & Th ng kê Toán–Nguy n Cao Văn–NXB Kt Qu c dân.
PH N I. LÝ THUY T XÁC SU T
B TÚC ð I S T H P
1. Tính ch t các phép toán ∩ , ∪ 2. Quy t c nhân
a) Tính giao hoán: Gi s m t công vi c nào ñó ñư c chia thành k giai
A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A. ño n. Có n1 cách th c hi n giai ño n th 1, có n2 cách
b) Tính k t h p: th c hi n giai ño n th 2,..., có nk cách th c hi n giai
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) , ño n th k. Khi ñó ta có n = n1.n2…nk cách th c hi n
toàn b công vi c.
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) .
c) Tính phân ph i: 3. Quy t c c ng
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) , Gi s m t công vi c có th th c hi n ñư c k cách
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) . (trư ng h p) lo i tr l n nhau: cách th nh t cho m1 k t
d) Tính ñ i ng u (De–Morgan): qu , cách th hai cho m2 k t qu , …, cách th k cho mk
k t qu . Khi ñó vi c th c hi n công vi c trên cho
A ∩ B = A ∪ B, A ∪ B = A ∩ B. m = m1 + m2 + … + mk k t qu .
5. Các công th c thư ng dùng
4. M u l p, m u không l p 5.1. Hoán v
ð nh nghĩa: Hoán v c a n ph n t là m t nhóm có th
t g m ñ m t n ph n t ñã cho. S hoán v c a n ph n
− M u không l p: các ph n t c a m u ch có m tm t
l n (các ph n t khác nhau t ng ñôi m t). t ñư c ký hi u là Pn , Pn = n ! .
− M u có l p: các ph n t c a m u có th l p l i nhi u
l n trong m u. 5.2. Ch nh h p l p (có th t )
− M u không th t : khi thay ñ i v trí các ph n t khác ð nh nghĩa: Ch nh h p l p k c a n ph n t (k ≤ n) là
nhau c a m u ta không nh n ñư c m u m i. m t nhóm (b ) có th t g m ph n k t không nh t thi t
− M u có th t : khi thay ñ i v trí các ph n t khác khác nhau ch n t n ph n t ñã cho. S các ch nh h p
nhau c a m u ta nh n ñư c m u m i. l p k c a n ph n t là nk.
5.4. T h p (m u không l p, không có th t )
5.3. Ch nh h p (m u không l p, có th t ) ð nh nghĩa: T h p ch p k c a n ph n t (k ≤ n) là
ð nh nghĩa: Ch nh h p ch p k c a n ph n t (k ≤ n) là m t nhóm (b ) không phân bi t th t g m k ph n t
m t nhóm (b ) có th t g m ph n k t khác nhau ch n khác nhau ch n t n ph n t ñã cho.
t n ph n t ñã cho. S ch nh h p ch p k c a n ph n t S t h p ch p k c a n ph n t ký hi u là Ck và
n
ký hi u là Ak
n .
n!
Ck = . Quy ư c: 0! = 1.
Ak = n(n − 1)...(n − k + 1) =
n!
.
n
k !( n − k )!
n
(n − k)! Tính ch t:
Ck = Cn−k ;
n n Ck = Ck−1 + Cn−1 .
n n−1
k
----------------------------------------------
Trang 1
2. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK
Chương 1. CÁC KHÁI NI M CƠ B N C A XÁC SU T
§1. BI N C NG U NHIÊN
1.1. Phép th và bi n c 1.2. Các lo i bi n c
• Phép th là vi c th c hi n 1 thí nghi m hay quan sát a) Không gian m u và bi n c sơ c p
m t hi n tư ng nào ñó ñ xem có x y ra hay không. • Trong m t phép th , t p h p t t c các k t qu có th
Hi n tư ng có x y ra hay không trong phép th ñư c g i x y ra ñư c g i là không gian m u ký hi u là .
là bi n c ng u nhiên. • M i ph n t ω ∈ không th phân nh thành hai bi n
Bi n c ng u nhiên thư ng ñư c ký hi u A, B, C… c ñư c g i là bi n c sơ c p.
VD 1. + Tung ñ ng ti n lên là m t phép th , bi n c là VD 2. Xét phép th gieo 3 h t lúa.
“m t s p xu t hi n” hay “m t ng a xu t hi n”. G i Ai là bi n c “có i h t n y m m” (i = 0, 1, 2, 3).
+ Ch n ng u nhiên m t s s n ph m t m t lô hàng ñ Khi ñó các Ai là các bi n c sơ c p và
ki m tra là phép th , bi n c là “ch n ñư c s n ph m = {A0, A1, A2, A3}.
t t” hay “ch n ñư c ph ph m”. G i B là “có ít nh t 1 h t n y m m” thì B không là
+ Gieo m t s h t lúa là phép th , bi n c là “h t lúa n y bi n c sơ c p.
m m” hay “h t lúa không n y m m”.
b) Bi n c ch c ch n và bi n c không th • Trong m t phép th mà m i bi n c sơ c p ñ u ñ ng
• Trong m t phép th , bi n c nh t ñ nh x y ra là ch c kh năng thì s ph n t c a không gian m u ñư c g i
ch n, ký hi u là . là s trư ng h p ñ ng kh năng c a phép th .
• Bi n c không th là bi n c không th x y ra khi th c VD 4.
hi n phép th , ký hi u ∅ . G i ng u nhiên m t h c sinh trong l p ñ ki m tra thì
VD 3. m i h c sinh trong l p ñ u có kh năng b g i như nhau.
T m t nhóm có 6 nam và 4 n ch n ra 5 ngư i. d) Các phép toán
Khi ñó, bi n c “ch n ñư c 5 ngư i n ” là không th , • T ng c a A và B là C, ký hi u C = A ∪ B hay
bi n c “ch n ñư c ít nh t 1 nam” là ch c ch n. C = A + B, x y ra khi ít nh t 1 trong hai bi n c A, B
x y ra.
c) S trư ng h p ñ ng kh năng VD 5. B n hai viên ñ n vào 1 t m bia. G i A1: “viên th
• Hai hay nhi u bi n c trong m t phép th có kh năng nh t trúng bia”, A2: “viên th hai trúng bia” và
x y ra như nhau ñư c g i là ñ ng kh năng. C: “bia b trúng ñ n” thì C = A1 ∪ A2 .
• Tích c a A và B là C, ký hi u C = AB = A ∩ B , x y • Ph n bù c a A, ký hi u:
ra khi và ch khi c A và B cùng x y ra. A= A = {ω ∈ ω ∉ A} .
VD 6.
M t ngư i ch n mua áo. G i A: “ch n ñư c áo màu VD 8.
xanh”, B: “ch n ñư c áo sơ–mi” và B n l n lư t 2 viên ñ n vào 1 t m bia.
C: “ch n ñư c áo sơ–mi màu xanh” thì C = AB. G i Ai: “có i viên ñ n trúng bia” (i = 0, 1, 2),
VD 7. B: “có không quá 1 viên ñ n trúng bia”.
Ch n ng u nhiên 10 linh ki n trong 1 lô ra ki m tra. G i Khi ñó B = A2 , A0 ≠ A2 và A1 ≠ A2 .
Ai: “ch n ñư c linh ki n th i t t” và
1.3. Quan h gi a các bi n c
C: “ch n ñư c 10 linh ki n t t” thì
a) Bi n c xung kh c
10
C = A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ A10 = • Hai bi n c và B ñư c g i là xung kh c n u chúng
∩ Ai . không ñ ng th i x y ra trong m t phép th .
i =1
• H các bi n c A1, A2,…, An ñư c g i là xung kh c VD 10. Tr ng 1 cây b ch ñàn. G i A: “cây b ch ñàn
(hay ñôi m t xung kh c) khi m t bi n c b t kỳ trong h s ng”, B: “cây b ch ñàn ch t” thì A và B là ñ i l p.
x y ra thì các bi n c còn l i không x y ra.
Nghĩa là Ai ∩ A j = ∅, ∀i ≠ j . • H các bi n c {Ai} (i = 1,…, n) ñư c g i là h ñ y ñ
các bi n c n u th a mãn 2 ñi u sau:
VD 9. M t h p có 3 viên ph n màu ñ , xanh và tr ng.
Ch n ng u nhiên 1 viên. G i A: “ch n ñư c viên màu 1) H xung kh c, nghĩa là Ai ∩ A j = ∅, ∀ i ≠ j .
ñ ”, B: “ch n ñư c viên màu tr ng” và C: “ch n ñư c 2) Ph i có ít nh t 1 bi n c trong h x y ra,
viên màu xanh” thì A, B, C là xung kh c. nghĩa là A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = .
b) Bi n c ñ i l p
• Hai bi n c A và B ñư c g i là ñ i l p nhau n u chúng VD 11. H {A, B, C} trong VD 9 là ñ y ñ .
th a mãn 2 ñi u sau:
1) A và B xung kh c v i nhau. Chú ý. H { A, A } là ñ y ñ v i bi n c A tùy ý.
2) Ph i có ít nh t m t trong 2 bi n c x y ra.
Trang 2
3. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK
§2. XÁC SU T C A BI N C
2.1. ð nh nghĩa xác su t d ng c ñi n VD 2. M t h p có 10 s n ph m trong ñó có 4 ph ph m.
• Trong m t phép th có t t c n bi n c sơ c p ñ ng kh L y ng u nhiên t h p ñó ra 3 s n ph m (l y 1 l n), tính
năng, trong ñó có m kh năng thu n l i cho bi n c A xác su t ñ :
xu t hi n thì xác su t c a A là: a) C 3 s n ph m ñ u t t; b) Có ñúng 2 ph ph m.
VD 3. M t l p có 60 h c sinh trong ñó có 28 em gi i
m Soá bieán coá thuaän lôïi cho A toán, 30 em gi i lý, 32 em gi i ngo i ng , 15 em v a
P(A) = = . gi i toán v a gi i lý, 10 em v a gi i lý v a gi i ngo i
n Soá taát caû caùc bieán coá coù theå
ng , 12 em v a gi i toán v a gi i ngo i ng , 2 em gi i
VD 1. M t h p ch a 10 s n ph m trong ñó có 3 ph c 3 môn. Ch n ng u nhiên m t h c sinh c a l p. Tính
ph m. Tính xác su t: xác su t:
a) Ch n ng u nhiên 1 s n ph m t h p ñư c ph ph m. a) Ch n ñư c em gi i ít nh t 1 môn.
b) Ch n ng u nhiên 1 l n t h p ra 2 s n ph m ñư c 2 b) Ch n ñư c em ch gi i toán.
ph ph m. c) Ch n ñư c em gi i ñúng 2 môn.
Ưu ñi m và h n ch c a ñ nh nghĩa d ng c ñi n VD 7. Hai ngư i b n h n g p nhau t i 1 ñ a ñi m theo
• Ưu ñi m: Tính ñư c chính xác giá tr c a xác su t mà quy ư c như sau:
không c n th c hi n phép th . – M i ngư i ñ c l p ñi ñ n ñi m h n trong kho ng t 7
• H n ch : Trong th c t có nhi u phép th vô h n các ñ n 8 gi .
bi n c và bi n c không ñ ng kh năng. – M i ngư i ñ n ñi m h n n u không g p ngư i kia thì
ñ i 30 phút ho c ñ n 8 gi thì không ñ i n a.
2.3. ð nh nghĩa theo hình h c Tìm xác su t ñ hai ngư i g p nhau.
Cho mi n . G i ñ ño c a là ñ dài, di n tích, th 2.4. Tính ch t c a xác su t
tích ( ng v i là ñư ng cong, mi n ph ng, kh i). 1) 0 ≤ P(A) ≤ 1 , v i m i bi n c A;
G i A là bi n c ñi m M ∈ S ⊂ . 2) P(∅) = 0 ; 3) P( ) = 1 .
ñoä ño S
Ta có P(A) = . 2.5. Ý nghĩa c a xác su t
ñoä ño • Xác su t là s ño m c ñ tin ch c, thư ng xuyên x y ra
VD 6. Tìm xác su t c a ñi m M rơi vào hình tròn n i c a 1 bi n c trong phép th .
ti p tam giác ñ u c nh 2 cm. Chú ý. Xác su t ph thu c vào ñi u ki n c a phép th .
§3. CÔNG TH C TÍNH XÁC SU T
3.1. Công th c c ng xác su t c) Bi n c ñ i l p
a) Bi n c xung kh c
• A và B xung kh c thì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) .
( )
P A = 1 − P(A) .
• H {Ai} (i = 1, 2,…, n) thì:
VD 1. M t h p ph n có 10 viên trong ñó có 3 viên màu
P ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) =P(A1 )+P(A2 )+...+P(An ) . ñ . L y ng u nhiên t h p ra 3 viên ph n. Tính xác su t
b) Bi n c tùy ý ñ l y ñư c ít nh t 1 viên ph n màu ñ .
• A và B là hai bi n c tùy ý thì:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB) . VD 2. Có 33 h c sinh tham d kỳ thi ch n h c sinh gi i
• H {Ai} (i = 1, 2,…, n) các bi n c tùy ý thì: g m 2 vòng thi. Bi t r ng có 17 h c sinh thi ñ vòng 1;
14 h c sinh thi ñ vòng 2 và 11 h c sinh trư t c hai
n
n
P ∪ Ai = ∑ P(Ai ) − ∑ P(Ai A j )
vòng thi. Ch n ng u nhiên m t h c sinh trong danh sách
i =1 i =1
i< j . d thi. Tìm xác su t ñ h c sinh ñó ch thi ñ duy nh t 1
+ ∑ P(Ai A jAk )+...+(−1) n−1
P(A1A2 ...An ) trong 2 vòng thi.
i < j<k
3.2. Công th c nhân xác su t 4) n u A1 và A2 xung kh c thì:
a) Xác su t có ñi u ki n P ( A1 ∪ A2 B ) = P ( A1 B ) + P ( A2 B ) .
• Trong m t phép th , xét 2 bi n c b t kỳ A, B v i
P(B) > 0 . Xác su t có ñi u ki n c a A v i ñi u ki n B VD 3. M t h p có 10 vé, trong ñó có 3 vé trúng thư ng.
Ngư i th nh t ñã b c 1 vé không trúng thư ng. Tính
ñã x y ra ñư c ký hi u và ñ nh nghĩa: xác su t ñ ngư i th 2 b c ñư c vé trúng thư ng (m i
P(AB) ngư i ch b c 1 vé).
P( A B ) = .
P(B) b) Công th c nhân
• Xác su t có ñi u ki n cho phép chúng ta s d ng thông • A và B là 2 bi n c ñ c l p n u B có x y ra hay không
tin v s x y ra c a 1 bi n c ñ d báo xác su t x y ra cũng không nh hư ng ñ n kh năng x y ra A và ngư c
bi n c khác. l i, nghĩa là P ( A B ) = P(A) và P ( B A ) = P(B) .
• Tính ch t: 1) 0 ≤ P ( A B ) ≤ 1 ; Khi ñó ta có P(AB) = P(A).P(B) .
2) P ( B B ) = 1 ; ( )
3) P A B = 1 − P ( A B ) ;
• V i A, B không ñ c l p (ph thu c) thì:
P(AB) = P(B)P ( A B ) = P(A)P ( B A ) .
Trang 3
4. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK
VD 4. M t lô hàng có 100 s n ph m trong ñó có 10 ph 3.3. Công th c xác su t ñ y ñ và Bayes.
ph m. Ki m tra liên ti p không hoàn l i 5 s n ph m, n u a) Công th c xác su t ñ y ñ
có ít nh t 1 ph ph m thì không nh n lô hàng ñó. Tính • Cho h các bi n c {Ai} (i = 1, 2,…, n) ñ y ñ và B là
xác su t ñ nh n lô hàng. bi n c b t kỳ trong phép th , ta có:
VD 5. M t lô hàng g m 12 s n ph m trong ñó có 8 s n n
ph m t t và 4 ph ph m. Rút ng u nhiên 1 s n ph m t P(B) = ∑ P(Ai )( B Ai ) .
lô hàng và không ñ ý t i s n ph m ñó, sau ñó rút ti p i =1
s n ph m th 2. Tính xác su t ñ s n ph m th hai là t t. = P(A1 )P ( B A1 ) + ... + P(An )P ( B An )
VD 6. M t c u th bóng r có 4 qu bóng ñang ném
t ng qu vào r . N u bóng vào r ho c h t bóng thì c u VD 7. M t ñám ñông có s ñàn ông b ng n a s ñàn bà.
th ng ng ném. Bi t xác su t vào r c a qu bóng th 1, Xác su t ñ ñàn ông b b nh tim là 0,06 và ñàn bà là
2, 3 và 4 l n lư t là 90%, 80%, 85% và 70%. 0,0036. Ch n ng u nhiên 1 ngư i t ñám ñông, tính xác
Tính xác su t c u th ném ñư c bóng vào r . su t ñ ngư i này b b nh tim.
b) Công th c Bayes VD 9. Có 3 bao lúa cùng lo i. Bao 1 n ng 20kg ch a 1%
• Cho h các bi n c {Ak} (k = 1, 2,…, n) ñ y ñ và B là h t lép, bao 2 n ng 30kg ch a 1,2% h t lép và bao 3
bi n c b t kỳ trong phép th . Xác su t ñ xu t hi n Ak n ng 50kg ch a 1,5% h t lép. Tr n c 3 bao l i r i b c
sau khi ñã xu t hi n B là: ng u nhiên 1 h t thì ñư c h t lép.
P(Ak )P ( B Ak ) Tính xác su t ñ h t lép này là c a bao th ba.
P ( Ak B ) = .
n
VD 10. Ba ki n hàng ñ u có 20 s n ph m v i s s n
∑ P(Ai )P ( B Ai ) ph m t t tương ng là 12, 15, 18. L y ng u nhiên 1 ki n
i =1
hàng (gi s 3 ki n hàng có cùng kh năng) r i t ki n
VD 8. T s ôtô t i và ôtô con ñi qua ñư ng có tr m ñó l y tùy ý ra 1 s n ph m.
bơm d u là 5/2. Xác su t ñ 1 ôtô t i ñi qua ñư ng này a) Tính xác su t ñ s n ph m ch n ra là t t.
vào bơm d u là 10%; ôtô con là 20%. Có 1 ôtô qua b) Gi s s n ph m ch n ra là t t, tính xác su t ñ s n
ñư ng ñ bơm d u, tính xác su t ñ ñó là ôtô t i. ph m ñó thu c ki n hàng th hai.
Chương II. BI N (ð I LƯ NG) NG U NHIÊN
§1. BI N NG U NHIÊN VÀ LU T PHÂN PH I XÁC SU T
1.1. Khái ni m và phân lo i bi n ng u nhiên b) Phân lo i bi n ng u nhiên
a) Khái ni m • Bi n ng u nhiên (bnn) ñư c g i là r i r c n u các giá
• M t bi n s ñư c g i là ng u nhiên n u trong k t qu tr có th có c a nó l p nên 1 t p h p h u h n ho c
c a phép th nó s nh n m t và ch m t trong các giá ñ m ñư c.
tr có th có c a nó tùy thu c vào s tác ñ ng c a các • Bi n ng u nhiên ñư c g i là liên t c n u các giá tr có
nhân t ng u nhiên. th có c a nó l p ñ y 1 kho ng trên tr c s .
• Các bi n ng u nhiên ñư c ký hi u: X, Y, Z, …còn các VD 2. + Bi n X trong VD 1 là bnn r i r c (t p h u h n).
giá tr c a chúng là x, y, z,… + G i Y là s ngư i ñi qua 1 ngã tư trên ñư ng ph thì Y
VD 1. là bnn r i r c (t p ñ m ñư c).
Khi ti n hành gieo n h t ñ u ta chưa th bi t có bao VD 3. + B n 1 viên ñ n vào bia, g i X là “kho ng cách
nhiêu h t s n y m m, s h t n y m m có th là 0, 1, …, t ñi m ch m c a viên ñ n ñ n tâm c a bia” thì X là
n. K t thúc phép th gieo h t thì ta bi t ch c ch n có bao bi n ng u nhiên liên t c.
nhiêu h t n y m m. G i X là s h t n y m m thì là X + G i Y là “sai s khi ño 1 ñ i lư ng v t lý” thì Y là
bi n ng u nhiên và X = {0, 1, 2, …, n}. bi n ng u nhiên liên t c.
1.2. Lu t phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên Trong ñó:
• Lu t phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên là m t n ∞
cách bi u di n quan h gi a các giá tr c a bi n ng u pi ≥ 0 ; ∑ pi = 1 ; ∑ pi = 1 (vô h n);
nhiên v i các xác su t tương ng mà nó nh n các giá i =1 i =1
tr ñó. P(a < X < b) = ∑ pi .
1.2.1. Phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên a<x i <b
a) Trư ng h p r i r c VD 4. M t lô hàng có 12 s n ph m t t và 8 ph ph m.
• Cho bi n ng u nhiên r i r c X có X = {x1, x2 ,..., x n } L y ng u nhiên t lô hàng ra 8 s n ph m.
G i X là s ph ph m trong 8 s n ph m l y ra.
v i xác su t tương ng là pi = P(X = x i ) . Tìm phân ph i xác su t c a X và ch ng minh:
Ta có phân ph i xác su t (d ng b ng) C8C12 + C1C12 + ... + C7C1 + C8C12 = C8 .
0 8 7 0
X x1 x2 … xn 8 8 12 8 20
P p1 p2 … pn
Trang 4
5. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK
VD 5. Xác su t ñ 1 ngư i thi ñ t m i khi thi l y b ng Chú ý
lái xe là 0,3. Ngư i ñó thi cho ñ n khi ñ t m i thôi. 1) Nhi u khi ngư i ta dùng ký hi u fX(x) ñ ch hàm m t
G i X là s l n ngư i ñó d thi. ñ xác su t c a X.
Tìm phân ph i xác su t c a X và tính xác su t ñ ngư i a
ñó ph i thi không ít hơn 2 l n.
b) Trư ng h p liên t c
2) Do P(X = a) = ∫ f(x)dx = 0 nên ta không quan
a
• Cho bi n ng u nhiên liên t c X. Hàm f(x), x ∈ ℝ tâm ñ n xác su t ñ X nh n giá tr c th . Suy ra
ñư c g i là hàm m t ñ xác su t c a X n u th a: P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b)
+∞
b
1) f(x) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ; 2) ∫ f(x)dx = 1 ; = P(a < X < b) = ∫ f(x)dx
.
−∞
a
b
3) V m t hình h c, xác su t bi n ng u nhiên (bnn) X
3) P(a < X < b) = ∫ f(x)dx (a < b). nh n giá tr trong (a; b) b ng di n tích hình thang cong
a gi i h n b i x = a, x = b, y = f(x) và tr c Ox.
+∞ 1.2.2. Hàm phân ph i xác su t
4) N u f(x) th a f(x) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ và ∫ f(x)dx = 1 • Hàm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên X, ký
hi u F(x) ho c FX(x), là xác su t ñ X nh n giá tr nh
−∞
thì f(x) là hàm m t ñ xác su t c a 1 bnn nào ñó. hơn x (v i x là s th c b t kỳ). F(x) = P(X < x),
∀x ∈ ℝ .
4x 3 , x ∈ (0; 1)
VD 6. Ch ng t f (x) = là hàm m t ñ – Hàm phân ph i xác su t cho bi t t l ph n trăm giá tr
0, x ∉ (0; 1) c a X n m bên trái c a s x.
xác su t c a bi n ng u nhiên X. – V i bi n ng u nhiên r i r c X = {x1, x2, …, xn}:
VD 7. Cho bnn X có hàm m t ñ xác su t: F(x) = ∑ P(X = x i ) = ∑ pi .
0, x <1 x i <x x i <x
f (x) = k . – V i bi n ng u nhiên liên t c X:
x2 , x ≥ 1
x
Tìm k và tính P(−1 < X ≤ 2) . F(x) = ∫ f(t)dt .
−∞
• Gi s x1 < x2 < ... < x n , ta có hàm phân ph i xác • Tính ch t:
1) 0 ≤ F(x) ≤ 1, ∀x ∈ ℝ ;
su t c a X:
2) F(x) không gi m.
0 3) F(−∞) = 0; F(+∞) = 1 ;
neáu x ≤ x1
p 4) P(a ≤ X < b) = F(b) − F(a) .
1 neáu x1 < x ≤ x 2
p + p • Liên h v i phân ph i xác su t
neáu x2 < x ≤ x 3
F(x) = 1
2 1) X r i r c: pi = F(xi+1) – F(xi);
...........................................................
2) X liên t c: F(x) liên t c t i x và F′(x) = f(x) .
p + p + ... + p
1
2 n−1 neáu x n −1 < x ≤ x n VD 8. M t phân xư ng có 2 máy ho t ñ ng ñ c l p.
1
neáu x > x n Xác su t trong 1 ngày làm vi c các máy ñó h ng tương
ng là 0,1 và 0,2. G i X là s máy h ng trong 1 ngày
làm vi c.
L p hàm phân ph i xác su t c a X và v ñ th c a F(x).
VD 9. Tu i th X(gi ) c a 1 thi t b có hàm m t ñ xác
0, x < 100 VD 11. Th i gian ch ph c v c a khách hàng là bnn
0, x ≤ 0
su t f (x) = 100 .
x 2 , x ≥ 100
X(phút) liên t c có hàm ppxs F(x) = ax 4 , x ∈ (0; 3] .
a) Tìm hàm phân ph i xác su t c a X. 1, x > 3
b) Thi t b ñư c g i là lo i A n u tu i th c a nó kéo dài
ít nh t là 400 gi . Tính t l (xác su t) lo i A.
a) Tìm a và hàm m t ñ xác su t f(x) c a X.
VD 10. Bi n ng u nhiên X có hàm m t ñ xác su t:
a cos x, x ∈ − π ; π
b) Tính P ( )
2 < Y ≤ 5 v i Y = X2 + 1 .
2 2
f(x) =
c) V ñ th c a F(x).
π π
.
0,
x ∉ − ;
2 2
Tìm a và hàm phân ph i xác su t F(x).
Trang 5
6. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK
1.3. Phân ph i xác su t c a hàm c a bi n ng u nhiên b) Trư ng h p nhi u bi n
• Trong th c t , ñôi khi ta xét bnn ph thu c vào 1 hay VD 13. Cho b ng:
nhi u bnn khác ñã bi t lu t phân ph i. Y
–1 0 1
X
Bài toán. Cho hàm ϕ(x) và bnn r i r c X có phân ph i 1 0,1 0,15 0,05
xác su t cho trư c. Tìm phân ph i xác su t c a ϕ(x) . 2 0,3 0,2 0,2
a) Trư ng h p 1 bi n L p b ng phân ph i xác su t c a:
VD 12. L p b ng phân ph i xác su t c a
a) Y = 2X2 + X − 1 .
Y = ϕ(X) = X2 + 2 , bi t:
b) Z = ϕ(X, Y) = 2X − Y + 5 .
X –1 0 1 2
P 0,1 0,3 0,4 0,2 c) Z = ϕ(X, Y) = X2 − Y 2 .
1.4. Phân ph i xác su t c a bnn 2 chi u (X, Y) r i r c b) B ng phân ph i xác su t ñ ng th i c a (X, Y)
a) ð nh nghĩa Y y1 y2 … yj … yn PX
• C p 2 ñ i lư ng ng u nhiên r i r c ñư c xét ñ ng th i X
(X, Y) ñư c g i là 1 vector ng u nhiên r i r c. x1 p11 p12 … p1j … p1n p1
Ký hi u bi n c (X < x).(Y < y) = (X < x; Y < y). x2 p21 p22 … p2j … p2n p2
• Hàm phân ph i xác su t ñ ng th i c a X và Y là: …. .................................................. ...
F(x, y) = P(X < x; Y < y), ∀x, y ∈ ℝ . xi pi1 pi2 … pij … pin pi
• X và Y ñư c g i là ñ c l p n u: …. ……………………………….. …
xm pm1 pm2 … pmj … pmn pm
F(x, y) = FX (x).FY (y), ∀x, y ∈ ℝ .
PY q1 q2 … qj … qn 1
Chú ý Pij = P(X = xi, Y = yj) (i = 1,…,m; j = 1,…,n) là xác su t
1) N u X, Y ñ c l p thì hàm phân ph i ñ ng th i c a X, m n
Y ñư c xác ñ nh qua các hàm phân ph i c a X, c a Y.
2) Chương trình ch xét hàm phân ph i biên c a X, Y.
ñ X = xi, Y = yj và ∑ ∑ pij = 1 .
i =1 j=1
c) Phân ph i xác su t biên (l ) Tính ch t. X và Y ñ c l p ⇔ pij = p i .q j, ∀i, j .
T b ng phân ph i xác su t ñ ng th i c a X, Y ta có:
• Phân ph i xác su t biên c a X VD 14.
X x1 x2 … xi … xm Cho b ng phân ph i xác su t ñ ng th i c a X và Y:
P X p1 p2 … pi … pm Y
X 10 20 30 40
n n
∑ pij = ∑ p(X = xi , Y = y j ) = p(X = xi ) = pi . 10
20
0,2
0,1
0,04
0,36
0,01
0,09
0
0
j=1 j=1
• Phân ph i xác su t biên c a Y 30 0 0,05 0,1 0
Y y1 y2 … yi … yn 40 0 0 0 0,05
P Y q1 q2 … qi … qn
m m
a) Tìm phân ph i biên c a X, c a Y.
∑ pij = ∑ p(X = x i , Y = y j ) = p(Y = y j ) = q j . b) Xét xem X và Y có ñ c l p không ?
c) Tìm phân ph i xác su t c a Z = X + Y.
i =1 i =1
§2. CÁC ð C TRƯNG S (THAM S ð C TRƯNG) C A BI N NG U NHIÊN
• Nh ng thông tin cô ñ ng ph n ánh t ng ph n v bi n 2.1. Kỳ v ng toán
ng u nhiên giúp ta so sánh gi a các ñ i lư ng v i nhau 2.1.1. ð nh nghĩa
ñư c g i là các ñ c trưng s . a) Bi n ng u nhiên r i r c
Có ba lo i ñ c trưng s : • Cho X = {x1, x2,…, xn} v i xác su t tương ng là p1,
p2,…, pn thì kỳ v ng toán (g i t t là kỳ v ng) c a X, ký
– Các ñ c trưng s cho xu hư ng trung tâm c a bnn: hi u EX hay M(X), là:
Kỳ v ng toán, Trung v , Mod,… n
EX = x1p1 + x2 p2 + ... + x n pn = ∑ x i pi .
– Các ñ c trưng s cho ñ phân tán c a bnn: i =1
Phương sai, ð l ch chu n, H s bi n thiên,… VD 1. M t lô hàng g m 10 s n ph m t t và 2 ph ph m.
L y ng u nhiên 2 s n ph m t lô hàng ñó, g i X là s
– Các ñ c trưng s cho d ng phân ph i xác su t. ph ph m trong 2 s n ph m l y ra.
L p b ng phân ph i xác su t và tính kỳ v ng c a X.
Trang 6
7. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK
b) Bi n ng u nhiên liên t c VD 3. Th i gian ch mua hàng c a khách là bi n ng u
+∞ nhiên liên t c T (ñơn v : phút) có hàm m t ñ xác su t
4 3
• Bnn X có hàm m t ñ là f(x) thì: EX = ∫ x.f(x)dx .
t , t ∈ (0; 3)
−∞ f(t) = 81
. Tính th i gian trung bình
VD 2. Tìm kỳ v ng c a bi n ng u nhiên X có hàm m t 0,
t ∉ (0; 3)
3 2
(x + 2x), x ∈ (0; 1) ch mua hàng c a 1 khách hàng.
ñ xác su t f(x) = 4
. VD 4. Cho bi n ng u nhiên X có hàm m t ñ xác su t
0,
x ∉ (0; 1)
ax + bx 2 , x ∈ (0; 1)
f(x) = .
Chú ý 0,
x ∉ (0; 1)
1) N u X = {x ∈ A} , X liên t c thì EX ∈ A .
1
2) N u X = {x1,…, xn} thì: Cho bi t EX = 0,6 hãy tính P X < .
EX ∈ [min{x1,..., x n }; max{x1,..., x n }] .
2
2.1.2. Ý nghĩa c a EX
• Kỳ v ng là giá tr trung bình (theo xác su t) c a bi n VD 6. M t d án xây d ng ñư c vi n C thi t k cho c 2
ng u nhiên X, nó ph n ánh giá tr trung tâm c a phân bên A và B xét duy t m t cách ñ c l p. Xác su t (kh
ph i xác su t c a X. năng) ñ A và B ch p nh n d án này khi xét duy t thi t
• Trong th c t s n xu t hay kinh doanh n u c n ch n k là 70% và 80%. N u ch p nh n d án thì bên A ph i
phương án cho năng su t (hay l i nhu n) cao, ngư i ta tr cho C là 400 tri u ñ ng, còn ngư c l i thì ph i tr
ch n phương án sao cho năng su t kỳ v ng (hay l i 100 tri u ñ ng. N u ch p nh n d án thì bên B ph i tr
nhu n kỳ v ng) cao. cho C là 1 t ñ ng, còn ngư c l i thì ph i tr 300 tri u
VD 5. Theo th ng kê, m t ngư i M 25 tu i s s ng ñ ng. Bi t chi phí cho thi t k c a C là 1 t ñ ng và 10%
thêm trên 1 năm có xác su t là 0,992 và ngư i ñó ch t thu doanh thu.
trong vòng 1 năm t i là 0,008. M t chương trình b o H i vi n C có nên nh n thi t k hay không?
hi m ñ ngh ngư i ñó b o hi m sinh m ng cho 1 năm
v i s ti n chi tr là 10000 USD, phí b o hi m là 100
USD. H i công ty ñó có lãi không?
2.1.3. Tính ch t c a EX VD 7. Tính EY v i Y = ϕ(X) = X2 − 3 , bi t X có
1) E(C) = C v i C là h ng s .
b ng phân ph i xác su t:
2) E(CX) = C.EX.
X –1 0 1 2
3) E(X ± Y) = EX ± EY, v i X và Y là hai bi n ng u
nhiên. P 0,1 0,3 0,35 0,25
4) E(XY) = EX.EY n u X và Y là hai bnn ñ c l p. VD 8. Cho bnn X có hàm m t ñ xác su t:
5) N u Y = ϕ(X) thì: 2
, x ∈ [1; 2]
∑ ϕ(x i )p i , f(x) = x2
.
neáu X rôøi raïc
0,
i x ∉ [1; 2]
EY = +∞
. a) Tính EX.
ϕ(x)f(x)dx, neáu X lieân tuïc
∫
−∞ 2
b) Tính kỳ v ng c a Y = X5 − .
X
2.2. Phương sai VD 9. Tính phương sai c a bi n ng u nhiên X có b ng
2.2.1. ð nh nghĩa phân ph i xác su t:
• Phương sai c a bi n ng u nhiên X, ký hi u VarX hay X 1 2 3
VX hay D(X), ñư c xác ñ nh: P 0,2 0,7 0,1
VD 10.
VarX = E ( X − EX ) = E(X2 ) − ( EX )
2 2
Tính phương sai c a bi n ng u nhiên X trong VD 2.
2
∑ x i2 .p i − ∑ x i .pi ,
neáu X rôøi raïc VD 11. Cho bi n ng u nhiên X có hàm m t ñ xác su t:
i
i
= +∞ 3
+∞ 2 (1 − x 2 ), x ≤ 1
, neáu X lieân tuïc f(x) = 4
.
∫ x .f(x)dx − ∫ x.f(x)dx
2
0,
−∞ −∞
x >1
Tìm phương sai c a bi n ng u nhiên Y = 2X2.
Trang 7
8. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK
2.2.2. Ý nghĩa c a VarX
• Do X – EX là ñ l ch gi a giá tr c a X so v i trung VD 12. Năng su t c a hai máy tương ng là các bnn X,
bình c a nó nên phương sai là trung bình c a bình Y (ñơn v : s n ph m/phút) có b ng phân ph i xác su t:
phương ñ l ch ñó. Phương sai dùng ñ ño m c ñ phân
tán c a X quanh kỳ v ng. Nghĩa là: phương sai nh thì X 1 2 3 4
ñ phân tán nh nên ñ t p trung l n và ngư c l i. P 0,3 0,1 0,5 0,1
• Trong k thu t, phương sai ñ c trưng cho ñ sai s c a và
thi t b . Trong kinh doanh, phương sai ñ c trưng cho ñ Y 2 3 4 5
r i ro ñ u tư. P 0,1 0,4 0,4 0,1
• Do ñơn v ño c a VarX b ng bình phương ñơn v ño
c a X nên ñ so sánh ñư c v i các ñ c trưng khác ngư i N u ph i ch n mua 1 trong 2 lo i máy này thì ta nên
ta ñưa vào khái ni m ñ l ch tiêu chu n ch n máy nào?
σ(X) = VarX .
2.2.3. Tính ch t c a VarX – N u X r i r c thì medX = xi v i
1) VarX ≥ 0 ; VarC = 0, v i C là h ng s . 1
F(x i ) ≤ ≤ F(x i +1 ) .
2) Var(CX) = C2.VarX; σ(CX) = C .σX . 2
3) N u a và b là h ng s thì Var(aX + b) = a2.VarX. – N u X liên t c thì medX = m v i
m
4) N u X và Y ñ c l p thì:
Var(X ± Y) = VarX + VarY ; F(m) = ∫ f(x)dx = 0, 5 .
−∞
σ(X ± Y) = σ2 (X) + σ2 (Y) .
2.3. Trung v và Mod VD 13. Cho bnn X có b ng phân ph i xác su t:
2.3.1. Trung v
• Trung v c a bi n ng u nhiên X, ký hi u medX, là s m X 1 2 3 4 5
1 1 P 0,1 0,2 0,15 0,3 0,45
th a P(X < m) ≤ và P(X > m) ≤ . Khi ñó ta có medX = 4.
2 2
VD 14. Tìm med c a bnn X có b ng phân ph i xác su t: VD 16. Cho bnn X có b ng phân ph i xác su t:
X –1 0 1 2
P 0,25 0,15 0,30 0,30 X 0 1 2 4 5 8
4
P 0,1 0,2 0,3 0,05 0,25 0,1
, x≥1
VD 15. Cho hàm f(x) = x 5
. Khi ñó ta có modX = 2.
0, VD 17. Tìm medX và modX v i bi n ng u nhiên X có
x <1
b ng phân ph i xác su t:
a) Ch ng t f(x) là hàm m t ñ xác su t c a bi n ng u X 20 21 22 23 24
nhiên X. P 0,30 0,25 0,18 0,14 0,13
b) Tìm medX. VD 18. Cho bnn X có hàm m t ñ xác su t:
2.3.2. Mod x2
1 −
• ModX là giá tr x0 mà t i ñó X nh n xác su t l n nh t f(x) = .e 2, x ∈ ℝ . Tìm modX.
(n u X r i r c) hay hàm m t ñ ñ t c c ñ i (n u X liên 2π
t c). ModX còn ñư c g i là s có kh năng nh t.
§3. M T S LU T PHÂN PH I XÁC SU T THÔNG D NG
3.1. Phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên r i r c VD 1. Trong 1 c a hàng bán 100 bóng ñèn có 5 bóng
3.1.1. Phân ph i siêu b i h ng. M t ngư i ch n mua ng u nhiên 3 bóng t c a
• Xét t p có N ph n t , trong ñó có NA ph n t có tính hàng này. G i X là s bóng h ng ngư i ñó mua ph i.
ch t A. T t p ñó l y ra n ph n t . G i X là s ph n t L p b ng phân ph i xác su t c a X.
có tính ch t A thì X có phân ph i siêu b i. b) Các s ñ c trưng
Ký hi u: X ∈ H(N, NA , n) hay X ∼ H(N, NA , n) . N−n
EX = np; VarX = npq ,
N−1
a) ð nh nghĩa N
• Phân ph i siêu b i là phân ph i c a bi n ng u nhiên r i v i p = A, q = 1−p.
N
r c X = {0; 1; 2; …; n} v i xác su t tương ng là: VD 2. M t r m n có 20 trái trong ñó có 6 trái b hư.
Ck Cn−k
N N− N Ch n ng u nhiên t r ñó ra 4 trái. G i X là s trái m n
pk = P(X = k) = A A
. hư ch n ph i. L p b ng phân ph i xác su t c a X và tính
n
CN EX, VarX b ng hai cách.
Trang 8
9. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK
3.1.2. Phân ph i nh th c VD 3. M t bà m sinh 2 con (m i l n sinh 1 con) v i xác
a) Công th c Bernoulli su t sinh con trai là 0,51. G i X là s con trai trong 2 l n
• Dãy phép th Bernoulli là dãy n phép th th a 3 ñi u sinh. L p b ng phân ph i xác su t c a X.
ki n: VD 4. M t máy s n xu t l n lư t t ng s n ph m v i xác
1) Các phép th c a dãy ñ c l p v i nhau. su t 1 ph ph m là 1%.
2) Trong m i phép th ta ch quan tâm ñ n 1 bi n c A, a) Cho máy s n xu t ra 10 s n ph m, tính xác su t có 2
nghĩa là ch có A và A xu t hi n. ph ph m.
3) Xác su t xu t hi n A trong m i phép th c a dãy luôn b) Máy c n s n xu t ít nh t bao nhiêu s n ph m ñ xác
là h ng s : su t có ít nh t 1 ph ph m nh hơn 3%.
4x 3 , x ∈ (0; 1)
( )
P(A) = p, P A = 1 − p = q, (0 < p < 1) . VD 5. Cho X có hàm m t ñ f(x) =
.
• Cho dãy n phép th Bernoulli, xác su t xu t hi n k l n 0, x ∉ (0; 1)
Tính xác su t ñ trong 3 phép th ñ c l p có 2 l n X
bi n c A là: pk = Ck pk q n−k , p = P(A) .
n nh n giá tr trong kho ng (0, 25; 0,5) .
b) ð nh nghĩa VD 6. M t nhà vư n tr ng tr ng 5 cây lan quý, v i xác
• Phân ph i nh th c là phân ph i c a bi n ng u nhiên su t n hoa c a m i cây trong 1 năm là 0,8.
r i r c X = {0; 1; 2; …; n} v i xác su t tương ng là: a) L p b ng phân ph i xác su t c a s cây lan trên n
pk = P(X = k) = Ck p k q n−k . hoa trong 1 năm.
n
b) Giá 1 cây lan n hoa là 1,2 tri u ñ ng. Gi s nhà
Ký hi u: X ∈ B(n, p) hay X ~ B(n, p). vư n bán h t nh ng cây lan n hoa thì m i năm nhà
Chú ý vư n thu ñư c ch c ch n nh t là bao nhiêu ti n?
• Khi n = 1 thì X ∈ B(1, p) ≡ B(p), khi ñó X còn ñư c c) N u mu n trung bình m i năm có 10 cây lan n hoa
g i là có phân ph i không – m t hay Bernoulli. thì nhà vư n ph i tr ng m y cây lan?
VD 7. M t lô hàng ch a 20 s n ph m trong ñó có 4 ph
c) Các s ñ c trưng ph m. Ch n liên ti p 3 l n (có hoàn l i) t lô hàng, m i
EX = np; VarX = npq; l n ch n ra 4 s n ph m. Tính xác su t ñ trong 3 l n có
.
ModX = x 0 , np − q ≤ x 0 ≤ np + p ñúng 1 l n ch n có nhi u nh t 3 ph ph m.
3.1.3. Phân ph i Poisson Ch ng h n, s xe qua 1 tr m ho c s cu c ñi n tho i t i
a) Bài toán d n ñ n phân ph i Poisson 1 tr m công c ng… có phân ph i Poisson.
• G i X là s l n xu t hi n bi n c A t i nh ng th i ñi m
ng u nhiên trong kho ng th i gian (t1; t2) th a mãn hai b) ð nh nghĩa
ñi u ki n: • Bi n ng u nhiên X có phân ph i Poisson v i tham s
1) S l n xu t hi n bi n c A trong kho ng (t1; t2) không λ > 0 (trung bình s l n xu t hi n A) n u X nh n các
nh hư ng ñ n xác su t xu t hi n A trong kho ng th i giá tr 0, 1, 2,…, n,… v i xác su t tương ng là:
gian k ti p. e−λ .λ k
2) S l n xu t hi n bi n c A trong 1 kho ng th i gian pk = P(X = k) = .
b t kỳ t l v i ñ dài c a kho ng ñó. k!
c) Các s ñ c trưng
Khi ñó X có phân ph i Poisson, ký hi u X ∈ P(λ) v i
EX = VarX = λ; ModX = x 0 , λ − 1 ≤ x 0 ≤ λ .
λ = c(t2 − t1 ) > 0 , c: cư ng ñ xu t hi n A.
VD 8. Trung bình c 3 phút có 1 khách ñ n qu y mua 3.2. Phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên liên t c
hàng. Tính xác su t ñ trong 30 giây có 2 khách ñ n 3.2.1. Phân ph i chu n
qu y mua hàng. a) ð nh nghĩa
VD 9. M t tr m ñi n tho i trung bình nh n ñư c 300 • Bnn X ñư c g i là có phân ph i chu n v i tham s µ
cu c g i trong 1 gi .
a) Tính xác su t ñ tr m nh n ñư c ñúng 2 cu c g i và σ2 (σ > 0) , ký hi u X ∈ N ( µ, σ2 ) , n u hàm m t
trong 1 phút. ñ phân ph i xác su t c a X có d ng:
b) Tính xác su t ñ tr m nh n ñư c ñúng 5 cu c g i (x −µ )2
1 −
trong 3 phút. f(x) = e 2σ2 , x ∈ ℝ.
c) Tính xác su t ñ 2 trong 3 phút liên ti p, m i phút σ 2π
tr m nh n ñư c nhi u nh t 1 cu c g i.
VD 10. Trung bình 1 ngày (24 gi ) có 10 chuy n tàu vào Các s ñ c trưng
c ng Cam Ranh. Ch n ng u nhiên liên ti p 3 gi trong 1
ModX = MedX = EX = µ; VarX = σ2 .
ngày. Tính xác su t ñ 2 trong 3 gi y có ñúng 1 tàu
vào c ng.
Trang 9
10. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK
b) Phân ph i chu n ñơn gi n x t2
1 −
• Cho X ∈ N ( µ, σ2 ) , ñ t T =
X−µ
thì T có phân
Hàm ϕ(x) = ∫ 2π
e ( x ≥ 0 ) ñư c g i là hàm
2 dt
σ 0
ph i chu n ñơn gi n T ∈ N ( 0, 1 ) . Laplace (giá tr ñư c cho trong b ng B).
• Hàm m t ñ phân ph i xác su t c a T: Tính ch t c a hàm Laplace (dùng ñ tra b ng)
1 −
t2 1) ϕ(−x) = −ϕ(x) (hàm l );
f(t) = e 2 (giá tr ñư c cho trong b ng A).
2π 2) v i x > 5 thì ϕ(x) ≈ 0, 5 ;
• Công th c xác su t: 3) P(T < x) = 0, 5 + ϕ(x) .
b
−
t2 Phân v m c α
1
P(a < T < b) = ∫ 2π
e 2 dt . • Ta g i tα là phân v m c α c a T n u:
a
P ( T > tα ) = α .
c) Phương pháp tính xác su t phân ph i chu n t ng VD 12. Th ng kê ñi m thi X (ñi m) trong m t kỳ tuy n
quát sinh ð i h c môn toán c a h c sinh c nư c cho th y X
• Cho X ∈ N ( µ, σ2 ) , ñ tính P(a < X < b) ta ñ t là bi n ng u nhiên v i X ∈ N(4; 2, 25) .
Tính t l ñi m thi X ≥ 5,5.
a−µ b−µ
α= , β=
σ σ VD 13. Tu i th c a 1 lo i bóng ñèn là X (năm) v i
⇒ P(a < X < b) = ϕ(β) − ϕ(α) , tra b ng B ta ñư c X ∈ N(4, 2; 6, 25) . Khi bán 1 bóng ñèn thì lãi ñư c 100
k t qu . ngàn ñ ng nhưng n u bóng ñèn ph i b o hành thì l 300
VD 11. Th i gian X (phút) c a 1 khách ch ñư c ph c ngàn ñ ng. V y ñ có ti n lãi trung bình khi bán m i
v t i 1 c a hàng là bnn v i X ∈ N ( 4, 5; 1,21 ) . bóng ñèn lo i này là 30 ngàn ñ ng thì c n ph i quy ñ nh
th i gian b o hành là bao nhiêu?
a) Tính xác su t khách ph i ch ñ ñư c ph c v t 3,5
phút ñ n 5 phút; không quá 6 phút. VD 14. Cho X có phân ph i chu n v i EX = 10 và
b) Tính th i gian t i thi u t n u xác su t khách ph i ch
vư t quá t là không quá 5%. P ( 10 < X < 20 ) = 0, 3 . Tính P ( 0 < X ≤ 15 ) .
VD 15. M t công ty c n mua 1 lo i thi t b có ñ dày t 3.2.3. Phân ph i χ2(n) (xem giáo trình)
0,118cm ñ n 0,122cm. Có 2 c a hàng cùng bán lo i thi t
b này v i ñ dày là các bi n ng u nhiên có phân ph i 3.2.4. Phân ph i Student T(n) (v i n b c t do)
chu n N(µ, σ2). Giá bán c a c a hàng X là 3 • Cho T ∈ N(0, 1) và Y ∈ χ2 (n) thì
USD/h p/1000 cái và c a hàng Y là 2,6 USD/h p/1000
cái. Ch s ñ dày trung bình µ (cm) và ñ l ch chu n σ T
X= ∈ T(n) có hàm m t ñ xác su t:
(cm) ñư c cho trong b ng: Y
C a hàng µ (cm) σ (cm) n
I 0,12 0,001
II 0,12 0,0015 Γ n + 1
−
n +1
2
x2 2
H i công ty nên mua lo i thi t b này c a hàng nào? f(x) = 1 +
.
Chú ý. N u X ∈ N ( µ, σ2 ) thì: n
nπ.Γ n
2
aX + b ∈ N ( aµ + b, a σ2 ) . Giá tr ñư c c a t(n) ñư c cho trong b ng C.
Chương III. ð NH LÝ GI I H N TRONG XÁC SU T
§1. M T S LO I H I T TRONG XÁC SU T VÀ CÁC ð NH LÝ (H ñ i h c)
1.1. H i t theo xác su t – Lu t s l n 1
n
a) ð nh nghĩa ⇔ ∑ ( Xi − EXi ) 0 . P
→
• Dãy bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñư c g i là n i =1
h i t theo xác su t ñ n bi n ng u nhiên X n u:
∀ω ∈ , ∀ε > 0 : lim P ( X n (ω) − X(ω) ≥ ε ) = 0 . b) B t ñ ng th c Tchébyshev
n →∞ • N u bi n ng u nhiên X có EX và VarX h u h n thì:
P
Ký hi u: Xn X (n → ∞) .
→ VarX
∀ε > 0 : P ( X − EX ≥ ε ) ≤
• H bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñư c g i là ε2
tuân theo lu t s l n (d ng Tchébyshev) n u: hay
1 n n VarX
1
∀ε > 0 : lim P ∑ Xi − ∑ EXi < ε = 1
P ( X − EX < ε ) ≥ 1 − .
i =1 ε2
n →∞ n n i =1
Trang 10
11. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK
VD (tham kh o). Thu nh p trung bình hàng năm c a c) ð nh lý lu t s l n Tchébyshev
dân cư 1 vùng là 700USD v i ñ l ch chu n 120USD. ð nh lý
Hãy xác ñ nh m t kho ng thu nh p hàng năm xung • N u h các bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñ c
quanh giá tr trung bình c a ít nh t 95% dân cư vùng ñó. l p t ng ñôi có EXi h u h n và VarXi b ch n trên b i
Gi i. G i X(USD) là thu nh p hàng năm c a dân cư h ng C thì:
vùng ñó. Ta có: 1 n n
1
VarX ∀ε > 0 : lim P ∑ Xi − ∑ EXi ≥ ε = 0 .
n
P ( X − EX < ε ) ≥ 1 − n →∞ i =1 n i =1
ε2
H qu
1202 • N u h các bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñ c
⇔ P ( X − 700 < ε ) ≥ 1 − = 0, 95
ε2 l p t ng ñôi có EXi = µ và VarXi = σ2 thì:
⇒ ε = 536, 656USD . 1
n
V y ít nh t 95% dân cư vùng ñó có thu nh p hàng năm ∑ Xi µ .
n i =1
P
→
trong kho ng (163,344USD; 1236,656USD).
1.2. H i t y u – ð nh lý gi i h n trung tâm
Ý nghĩa
a) ð nh nghĩa
• Th hi n tính n ñ nh c a trung bình s h c các bi n • Dãy bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñư c g i là
ng u nhiên ñ c l p cùng phân ph i và có phương sai h u h i t y u hay h i t theo phân ph i ñ n b.n.n X n u:
h n. lim Fn (x) = F(x), ∀x ∈ C(F) .
n →∞
• ð ño 1 ñ i lư ng v t lý nào ñó ta ño n l n và l y trung Trong ñó, C(F) là t p các ñi m liên t c c a F(x).
bình các k t qu làm giá tr th c c a ñ i lư ng c n ño. d d
Ký hi u: Xn → X hay Fn → F .
• Áp d ng trong th ng kê là d a vào m t m u khá nh
ñ k t lu n t ng th . Chú ý
P d
N u Xn X thì Xn → X .
→
§2. CÁC LO I X P X PHÂN PH I XÁC SU T
b) ð nh lý Liapounop (gi i h n trung tâm) 2.1. Liên h gi a phân ph i Siêu b i và Nh th c
• Cho h các bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñ c • N u n c ñ nh, N tăng vô h n và
n n
NA
l p t ng ñôi. ð t Y = ∑ Xi , µ= ∑ EXi , N
→ p (0 ≠ p ≠ 1)
i =1 i =1
n Ck CN−k
NA
n
− NA
∑ VarXi . N u EXi, VarXi h → Ck p k q n−k .
d
σ2 = u h n và thì n
n
i =1 CN
3 X p x phân ph i siêu b i b ng Nh th c
n
E Xi − EXi
lim ∑ = 0 thì Y ∈ N ( µ, σ2 ) . • N u N khá l n và n r t nh so v i N (n < 0,05N) thì
n →∞
i =1 σ3 N
Ý nghĩa X ∼ B(n; p), p = A .
N
• Dùng ñ nh lý gi i h n trung tâm ñ tính x p x (g n
VD 1. M t vư n lan có 10000 cây s p n hoa, trong ñó
ñúng) các xác su t.
có 1000 cây hoa màu ñ . Ch n ng u nhiên 20 cây lan
• Xác ñ nh các phân ph i x p x ñ gi i quy t các v n ñ
trong vư n này.
c a lý thuy t ư c lư ng, ki m ñ nh,…
Tính xác su t ñ ch n ñư c 5 cây lan có hoa màu ñ .
2.2. Liên h gi a Nh th c và Poisson 2.3. ð nh lý gi i h n Moivre – Laplace
• N u n → ∞, p → 0, np → λ thì:
ð nh lý 1 (gi i h n ñ a phương)
e−λ .λ k
Ck pk q n−k →
d
n .
k! • G i pk là xác su t xu t hi n k l n bi n c A trong n
X p x phân ph i Nh th c b ng Poisson phép th Bernoulli v i P(A) = p (p không quá g n 0 và
• Cho X có phân ph i nh th c B(n, p), λ = np . Khi ñó:
npq.Pn (k)
a) N u n l n và p khá bé (g n b ng 0) thì X ∼ P(λ) . không quá g n 1) thì lim = 1.
n →∞ f(x k )
b) N u n l n và p cũng khá l n (g n b ng 1) thì
X ∼ P(λ) . 1 −
x2
k − np
VD 2. M t lô hàng có 0,1% ph ph m. Tìm xác su t ñ Trong ñó, f(x) = e 2, xk = h u h n.
2π npq
khi ch n ra 1000 s n ph m có:
a) T t c ñ u t t; b) Không quá 2 ph ph m.
Trang 11
12. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK
ð nh lý 2 (gi i h n Moivre – Laplace)
X − np VD 3. Trong m t kho lúa gi ng có t l h t lúa lai là
• Cho X ∈ B(n, p) và Sn = thì: 13%. Tính xác su t sao cho khi ch n 1000 h t lúa gi ng
npq trong kho thì có không quá 15 h t lúa lai.
F
Sn N(0, 1) .
→
VD 4. M t khách s n nh n ñ t ch c a 325 khách hàng
X p x Nh th c b ng phân ph i chu n
cho 300 phòng vào ngày 1/1 vì theo kinh nghi m c a
• Cho X ∈ B(n, p) , n u n khá l n, p không quá g n 0 nh ng năm trư c cho th y có 10% khách ñ t ch nhưng
và 1 thì X ∼ N(µ; σ2 ) v i µ = np, σ2 = npq . không ñ n. Bi t m i khách ñ t 1 phòng, tính xác su t:
Khi ñó:
a) Có 300 khách ñ n vào ngày 1/1 và nh n phòng.
1 k − µ (tra b ng A, f(–x) = f(x)).
1) P(X = k) = .f
σ σ
b) T t c các khách ñ n vào ngày 1/1 ñ u nh n ñư c
k − µ
− ϕ k1 − µ .
phòng.
2) P(k1 ≤ X ≤ k 2 ) = ϕ 2
σ
σ
…………………………………………………………………..
PH N II. LÝ THUY T TH NG KÊ
Chương IV. LÝ THUY T M U
§1. KHÁI NI M V PHƯƠNG PHÁP XÁC ð NH M U
N u t h ñó b t lên 1 con cá r i th xu ng, sau ñó ti p
1.1. M u và t ng th (ñám ñông) t c b t con khác, ti n hành 10 l n như th ta ñư c m u
• T p h p có các ph n t là các ñ i tư ng mà ta nghiên có hoàn l i kích thư c 10.
c u ñư c g i là t ng th . S ph n t c a t ng th ñư c • Khi m u có kích thư c l n thì ta không phân bi t m u
g i là kích thư c c a t ng th . có hoàn hay không hoàn l i.
• T t ng th ta ch n ra n ph n t thì n ph n t ñó ñư c 1.2. Phương pháp xác ñ nh m u
g i là m t m u có kích thư c (c m u) n. M u ñư c • M u ñ nh tính là m u mà ta ch quan tâm ñ n các ph n
ch n ng u nhiên m t cách khách quan ñư c g i là m u t c a nó có tính ch t A nào ñó hay không.
ng u nhiên. VD 2. ði u tra 100 h dân c a m t thành ph v thu
VD 1. Khi nghiên c u v s cá trong m t h thì s cá nh p trong 1 năm. N u h có thu nh p dư i 10 tri u
trong h là kích thư c c a t ng th . T h ñó b t lên 10 ñ ng/năm là h nghèo. Thì trong 100 h ñư c ñi u tra ta
con cá thì ñư c 1 m u không hoàn l i kích thư c là 10. quan tâm ñ n h nghèo (tính ch t A).
• M u ñ nh lư ng là m u mà ta quan tâm ñ n m t y u t
v lư ng (như chi u dài, cân n ng,…) c a các ph n t
trong m u. VD 4. Chi u cao c a cây b ch ñàn là bi n ng u nhiên có
VD 3. Cân 100 trái dưa gang ñư c ch n ng u nhiên t 1 phân ph i chu n. ðo ng u nhiên 5 cây X1, X2,…, Xn ta
cách ñ ng là m u ñ nh lư ng. ñư c X1=3,5m; X2=3,2m; X3=2,5m; X4=4,1m; X5=3m.
Khi ñó, {X1, X2,…, Xn} là m u t ng quát có phân ph i
• M u có kích thư c n là t p h p c a n bi n ng u nhiên chu n và {3,5m; 3,2m; 2,5m; 4,1m; 3m} là m u c th .
ñ c l p X1, X2,…, Xn ñư c l p t bi n ng u nhiên X và
có cùng lu t phân ph i v i X là m u t ng quát. Ti n • Xác su t nghiên c u v t ng th ñ hi u v m u còn
hành quan sát (cân, ño,…) t ng bi n Xi và nh n ñư c th ng kê thì ngư c l i.
các giá tr c th Xi = xi, khi ñó ta ñư c m u c th x1,
x2,…, xn.
• Xét v lư ng 1.3. S p x p s li u th c nghi m
– Trung bình t ng th là µ = EX . 1.3.1. S p x p theo các giá tr khác nhau
• Gi s m u (X1, X2,…, Xn) có k quan sát khác nhau là
– Phương sai t ng th σ2 = VarX là bi u th cho m c
X1, X2,…, Xk ( k ≤ n ) và Xi có t n s ni (s l n l p l i)
ñ bi n ñ ng c a d u hi u X.
• Xét v ch t v i n1 + n 2 + ... + n k = n . S li u ñư c s p x p theo
– ðám ñông ñư c chia thành 2 lo i ph n t : lo i có tính th t tăng d n c a Xi.
ch t A ñó mà ta quan tâm và lo i không có tính ch t A.
– G i X = 0 n u ph n t không có tính ch t A và X = 1 VD 5. Ki m tra ng u nhiên 50 sinh viên, k t qu :
n u ph n t có tính ch t A, p là t l ph n t có tính ch t
A thì: X (ñi m) 2 4 5 6 7 8 9 10
Soá phaàn töû coù tính chaát A ni (s SV) 4 6 20 10 5 2 2 1
X ∈ B(p), p = EX = .
Soá phaàn töû cuûa toång theå
Trang 12
13. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK
1.3.2. S p x p dư i d ng kho ng
• Gi s m u (X1, X2,…, Xn) có nhi u quan sát khác VD 6. ðo chi u cao c a n = 100 thanh niên, ta có b ng
nhau, kho ng cách gi a các quan sát không ñ ng ñ u s li u d ng kho ng:
ho c các Xi khác nhau r t ít thì ta s p x p chúng dư i
d ng kho ng. L p (kho ng) T n s ni ni
Xét kho ng ( x min , x max ) ch a toàn b quan sát Xi. (ñơn v : cm) (s thanh niên) T n su t
n
Ta chia ( x min , x max ) thành các kho ng b ng nhau (còn 148 – 152 5 0,05
152 – 156 20 0,2
g i là l p ) theo nguyên t c: 156 – 160 35 0,35
S kho ng t i ưu là 1 + 3,322lgn, ñ dài kho ng là: 160 – 164 25 0,25
x − x min 164 – 168 15 0,15
h = max .
1 + 3, 322 lg n
a i−1 + a i VD 7. Theo dõi m c nguyên li u hao phí ñ s n xu t ra
S d ng công th c x i = ta có b ng s li u
2 m t ñơn v s n ph m m t nhà máy, ta thu ñư c các s
d ng b ng (dùng ñ tính toán): li u sau (ñơn v : gam). Hãy s p x p s li u dư i d ng
n b ng?
xi T n s ni T n su t i
n 20; 22; 21; 20; 22; 22; 20; 19; 20; 22; 21;
150 5 0,05 19; 19; 20; 18; 19; 20; 20; 18; 19; 20; 20;
154 20 0,2 21; 20; 18; 19; 19; 21; 22; 21; 21; 20; 19;
158 35 0,35 20; 22; 21; 21; 22; 20; 20; 20; 19; 20; 21;
162 25 0,25 19; 19; 20; 21; 21.
166 15 0,15
Chú ý
• ð i v i trư ng h p s li u ñư c cho b i cách li t kê thì
ta s p x p l i d ng b ng.
§2. CÁC ð C TRƯNG M U (tham kh o)
2.1. Các ñ c trưng m u
• Gi s t ng th có trung bình EX = µ , phương sai Tính ch t
VarX = σ và t l p ph n t có tính ch t A.
2
a) Kỳ v ng c a t l m u b ng t l t ng th :
2.1.1. T l m u Fn
X + ... + X n
• Cho m u ñ nh tính kích thư c n, ta g i M ( Fn ) = M 1
= p.
0
n
1
n
Fn = ∑ Xi , Xi = là t l m u t ng quát.
n i =1 1
b) Phương sai c a t l m u:
• Cho m u ñ nh tính kích thư c n, trong ñó có m ph n t X + ... + X n pq
có tính ch t A. Khi ñó ta g i: VarFn = Var 1 =
n
n
m
f = fn = là t l m u c th . (các Xi có phân ph i Bernoulli).
n
2.1.2. Trung bình m u
• Trung bình m u: Chú ý
n
1
X = Xn = ∑X .
n i =1 i X1 + ... + X n
• T l m u Fn = và trung bình m u
Trung bình m u c th : n
n X1 + ... + X n
1 Xn =
x = xn = ∑x .
n i =1 i n
khác nhau ch là trong Fn, các
Xn ch có phân ph i Bernoulli:
Tính ch t 0, neáu phaàn töû khoâng coù tính chaát A
σ2 Xi =
( ) ( ) VarX .
E X n = µ = EX , Var Xn = = . 1, neáu phaàn töû coù tính chaát A
n n
Trang 13
