Урок математики "Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Число е. Функция y=e^x, ее свойства и график"

1. Урок изучения нового материала и закрепления полученных знаний, умений, навыков
Цель: познакомить обучающихся с числом е, как основанием функции 𝑦 = 𝑎 𝑥
с помощью
геометрического подхода, и производной функции 𝑦 = 𝑒 𝑥
; формировать умение
дифференцировать показательную функцию.
Задачи:
- развивать наблюдательность, логическое мышление, математическую речь, навыки
самоконтроля, познавательный интерес к предмету;
- воспитывать коммуникативную культуру обучающихся, навыки коллективной
деятельности, сотрудничества.
Ход урока
I. Мобилизующее начало
II. Проверка домашнего задания:(выяснить есть ли затруднения у обучающихся при
выполнении домашнего задания, если есть разобрать решение)
III. Устная работа(фронтальная работа, выявление опорных знаний)
1. Вычислите производную функции(слайд №1).
а) у = 3х5; б) 𝑦 = cos3𝑥 ; в) 𝑦 = √2𝑥 + 3; г) у = 2х2 + tgx;
д) 𝑦 = √𝑥2 + 5𝑥 + 3;е)𝑦 = cos(6 − 7𝑥)
2. Среди перечисленных функций укажите показательные(слайд №2):
а) у = х3; б) у = 3x + 11; в) 𝑦 =
𝑥5
log5 5 𝑥 ; г) 𝑦 =
1
4 𝑥 ; д) 𝑦 = (√3) 𝑥
;
е) 𝑦 = 𝜋 𝑥
;ж)𝑦 = 𝑒 𝑥
.
IV. Постановка темы и цели урока
- Вы заметили показательную функцию с незнакомым для вас основанием?
- Где вы встречали уже такую функцию?
- Могли вы выполнить задание ЕГЭ, содержащие данную функцию?
- Так какую цель мы поставим на урок?
Ответ обучающихся: познакомиться с числом е, изучить функцию 𝑦 = 𝑒 𝑥
, ее свойства,
график, научиться вычислять производную данной функции.
V. Изучение нового материала
1. Рассмотреть показательную функцию 𝑦 = 𝑎 𝑥
,гдеа>1 на примере графиков функций
𝑦 = 2 𝑥
, 𝑦 = 3 𝑥
, 𝑦 = 10 𝑥
(слайд №3).
- Какова закономерность графиков показательных функций?
1) Проходят через точку с координатами (0;1);
2) Имеют горизонтальную асимптоту у = 0 при𝑥 → −∞;
3) Все графики обращены выпуклостью вниз;
4) Имеют касательные во всех своих точках.
2. На рис. (слайд №4) проведены касательные к графикам функций в точке х = 0. Если
выполнить точные построения и измерения, то касательная к графику функции 𝑦 = 2 𝑥
образует с положительным направлением оси Ох угол приблизительно равный 350.

2. Касательная к графику функции 𝑦 = 3 𝑥
в точке х = 0 образует с осью абсцисс угол
приблизительно равный 480. А для показательной функции 𝑦 = 10 𝑥
этот угол
приблизительно равен 66,50.
Итак: если основание показательной функции постепенно увеличивать, то, что будет
происходить с углом между касательной в точке х = 0 и положительным направлением оси
абсцисс? ( Угол будет увеличиваться).
У: Логично предположить, что существует показательная функция с основанием а, для
которой соответствующий угол будет равен 450. Это основание должно быть заключено
между числами 2 и 3.
В курсе математического анализа доказано, что такое число существует, его принято
обозначать буквой е. Число е – иррациональное – бесконечная десятичная непериодическая
дробь: 𝑒 ≈ 2,7182818284590…, на практике 𝑒 ≈ 2,7.
3. Рассмотрим график функции 𝑦 = 𝑒 𝑥
– экспонента.
- Чем отличается график этой функции от графиков показательных функций? (тем, что
касательная в т. х = 0 образует с осью абсцисс угол 450)
- Перечислите свойства функции 𝑦 = 𝑒 𝑥
. (Один обучающийся записывает свойства на доске
остальные в тетрадях).
1) 𝐷( 𝑓) = (−∞;+∞);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастающая;
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) не имеет ни наибольшего , ни наименьшего значений;
6) непрерывная;
7) Е( 𝑓):(0;+∞);
8) выпукла вниз;
9) дифференцируема.
У: Пока мы еще не говорили о дифференцируемости показательной функции.
4. Выведем формулу для отыскания производной функции 𝑦 = 𝑒 𝑥
. При этом будем
опираться на геометрические предпосылки и тот факт, что касательная существует во всех
точках графика.
1) отметим 𝑦 = 𝑓( 𝑥),где 𝑓( 𝑥) = 𝑒 𝑥
в т. 𝑥 = 0, 𝑓,(0) = 𝑡𝑔450
= 1.
2) Введем в рассмотрение функцию 𝑦 = 𝑔( 𝑥), 𝑔( 𝑥) = 𝑓( 𝑥 − 𝑎), 𝑔( 𝑥) = 𝑒 𝑥−𝑎
(рис. на
слайде). Касательная к графику функции 𝑦 = 𝑔( 𝑥) в т. х = а ∥ касательной к графику
функции 𝑦 = 𝑓( 𝑥) в т. 𝑥 = 0,значит она образует с осью абсцисс угол 450. Используя
геометрический смысл производной: 𝑔, ( 𝑎) = 𝑡𝑔450
= 1.
3) Вернемся к функции 𝑦 = 𝑓( 𝑥). 𝑓( 𝑥) = 𝑒 𝑥
= 𝑒 𝑎
∙ 𝑒 𝑥−𝑎
= 𝑒 𝑎
∙ 𝑔( 𝑥).
Значит: 𝑓,( 𝑥) = 𝑒 𝑎
∙ 𝑔,( 𝑥), 𝑓,( 𝑎) = 𝑒 𝑎
∙ 𝑔,( 𝑎) = 𝑒 𝑎
.
4) 𝑓,( 𝑎) = 𝑒 𝑎
, 𝑓,( 𝑥) = 𝑒 𝑥
, 𝑓,( 𝑥) = (𝑒 𝑥
),
= 𝑒 𝑥
.
Таким образом(𝑒 𝑥
),
= 𝑒 𝑥
VI. Закрепление изученного материала
Рассмотреть решение примеров на доске (выполнят обучающиеся, учитель при
необходимости направляет):
1. Вычислить значение производной функции𝑦 = 𝑒4𝑥−12
в точке х = 3.
Воспользуемся правилом дифференцирования функции𝑦 = 𝑓( 𝑘𝑥 + 𝑚)
𝑦,
= (𝑓( 𝑘𝑥 + 𝑚)),
= 𝑘 ∙ 𝑓,
(𝑘𝑥 + 𝑚)
𝑦,
= (𝑒4𝑥−12
),
= 4𝑒4𝑥−12
, 𝑦,(3) = 4𝑒4∙3−12
= 4𝑒0
= 4Ответ: 4.
2. Провести касательную к графику функции 𝑦 = 𝑒 𝑥
в т. х = 1.
- Вспомните уравнение касательной к графику функции 𝑦 = 𝑓( 𝑥) в т. х = а.
𝑦 = 𝑓( 𝑎) + 𝑓,
(𝑎)(𝑥 − 𝑎)

3. 1) 𝑓(1) = 𝑒1
= 𝑒
2) 𝑓,( 𝑥) = ( 𝑒 𝑥),
= 𝑒 𝑥
, 𝑓,(1) = 𝑒
3) 𝑦 = 𝑒 + 𝑒( 𝑥 − 1) = 𝑒 + 𝑒𝑥 − 𝑒 =
𝑒𝑥
Ответ: 𝑦 = 𝑒𝑥.
3. Работа с учебником: выполнить № 12(а)
Для функции 𝑦 = 𝑥2
𝑒 𝑥
найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке [−1;1].
𝑦,
= (𝑥2
𝑒 𝑥
),
= 2𝑥𝑒 𝑥
+ 𝑥2
𝑒 𝑥
= 𝑒 𝑥
𝑥(2 + 𝑥)
𝑒 𝑥
𝑥(2 + 𝑥) = 0
x = 0 или x = - 2 не принадлежит отрезку[−1;1]
𝑦(−1) = 𝑒−1
=
1
𝑒
; 𝑦(0) = 0; 𝑦(1) = 𝑒
𝑦наим = 0, 𝑦наиб = 𝑒.
4. Решение задания открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ:
Задание № 12
Найдите точку минимума функции 𝑦 = (𝑥 + 3)2
∙ 𝑒2−𝑥
.
Решение: 𝑦 = ( 𝑥 + 3)2
∙ 𝑒2−𝑥
= ( 𝑥2
+ 6𝑥 + 9) ∙ 𝑒2−𝑥
𝑦,
= (2𝑥 + 6) ∙ 𝑒2−𝑥
+ ( 𝑥2
+ 6𝑥 + 9) ∙ (−𝑒2−𝑥
) = 𝑒2−𝑥
(2𝑥 + 6 − 𝑥2
− 6𝑥 − 9) =
= 𝑒2−𝑥
(−𝑥2
− 4𝑥 − 3).
𝑦,
= 0𝑒2−𝑥(−𝑥2
− 4𝑥 − 3) = 0𝑥2
+ 4𝑥 + 3 = 0x = -1, x = -3
x = -3 – т. min функции. Ответ: - 3.
VII. Проверочная работа
Тест по теме дифференцирование функции 𝑦 = 𝑒 𝑥
Вариант I
Выберите правильный вариант ответа:
А) Производная функции 𝑓( 𝑥) = 𝑒3𝑥
равна:
1) 3; 2) 3𝑒3𝑥
; 3) 𝑒3𝑥
.
Б) Производная функции 𝑓( 𝑥) = 5𝑒−𝑥
равна:
1) −5𝑒−𝑥
; 2) -5; 3) 𝑒−𝑥
.
В) Производная функции 𝑓( 𝑥) = 𝑒2𝑥
+ 7 равна:
1) 𝑒2𝑥
; 2) 7; 3) 2𝑒2𝑥
.
Вариант II
Выберите правильный вариант ответа:
А) Производная функции 𝑓( 𝑥) = 𝑒−5𝑥
равна:
1) -5x; 2) -5e; 3) −5𝑒−5𝑥
.

4. Б) Производная функции 𝑓( 𝑥) = 2𝑒4𝑥
равна:
1) 8𝑒4𝑥
; 2) 2e; 3) 8.
В) Производная функции 𝑓( 𝑥) = 𝑒6𝑥
− 11 равна:
1)-11; 2) 6𝑒6𝑥
; 3) 6e.
Проверка по слайду
VIII. Итоги урока
- Чему равно числое и каким свойством оно обладает?
- Вычислите производную функции: 𝑦 = 𝑒2𝑥
, 𝑦 = 𝑒−3𝑥+4
.
Домашнее задание: ...