xcvzxcvzxcvxcvxc

1. Раздел I. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Общие сведения об уравнениях
При решении уравнения надо его упростить и свести к линейному урав­
нению вида ах = Ъ. Для этого необходимо:
• избавиться от знаменателей, если они есть;
• разделить уравнение на линейные, если оно предоставлено в виде
равного нулю произведения сумм;
• раскрыть скобки, если они есть;
• перенести члены с переменными в левую часть, а без переменных —
в правую;
• привести подобные члены.
Кроме того, если после раскрытия скобок сложного уравнения получи­
ли много членов в любой его части, то целесообразно сначала привести
подобные члены, а потом делать переносы. После этого найти корни.
Иногда данное уравнение целесообразно привести к виду, когда в пра­
вой части находится произведение выражений, а в левой нуль. При этом
следует помнить: произведение равняется нулю, если хотя бы один из
множителем равняется нулю.
8.Решим уравнения:
а) 25 + х = 37; х = 37 - 25; х = 12.
б) х - 12 = 23; х = 23 + 12; х = 35.
в) 24 - х —18; —х = 18 —24; - х = - 6; х - 6.
г) 3,7 - х = 1,9; ~х - 1,9 - 3,7; -х = -1 ,8 ; х = 1,8.
2 2 1
д) 1= —+ г, х = 1 — ; х - —.
3 3 3
е) 13 = 74 - х; х = 74 - 13; х = 61.
9. Решим уравнения:
а) 6х = 30; х = 30 : 6; х = 5. б) Ьу - 0; у = 0 : 5; у = 0.
в) Аг - - 8; г = -8 : 4; г - -2 . г) 2х + 3 = 19; 2х = 19 - 3; х = 16 : 2; х = 8.
д) Зу - 4 = 1; Зу = 1 + 4; Зу = 5;у = 5 : 3; у - 1~.
«ж
е) 1 - Зх = 25; -З х = 2 5 - 1 ; -З х = 24; х = 24 : (-3); х = - 8.
10. Решим уравнения:
2 2 3 15 „1
а ) —х ~ 5 ; х ~ 5 : х = 5 •—; х = — ; х = 1 —ш
3 3 2 2 2
* 5б>-?*'=!; *=1:(-? ) ®=1{ - | ) *=~1;
ч ^ 3 5 3 5 3 3 3 4 1
в) 1— х - — х = ----- 1; — х —— ; х - ; х ——.
4 8 4 8 4 8 8 3 2
11. а) Члены уравнения Зх - 5= 12: Зх; —5; 12.
б) Члены уравнения 18 - Ьх - 4 4- 2x1 18; -5 х ; 4; 2х.
в) Члены уравнения 0,8л: + 3 = 4,6: 0,8*; 3; 4,6.
12. а) В уравнении 2х + 35 = 24 выражение 2х + 35 — левая часть, число
24 — правая часть.
б) В уравнении 47# - 15 = 83 выражение 47у - 15 — левая часть, число
83 — правая часть.
rg
w
w
w
.4book.org
w
ook.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.or
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4boo
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.o
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4b
.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
.4book.org

2. в) В уравнении342 - 15- 282+ 3 выражение342 -1 5 — леваячасть, выражение
282+ 3 — правая часть.
13. Чтобы определить, какое число надо вписать в квадратики, чтобы по­
лучилось правильное равенство, обозначим это число через х и решим
полученное уравнение:
а) Зх + 11 = 32; Зх = 32 - 11; Зх = 21; х = 21 : 3; х = 7.
Ответ: в квадратик надо вписать число 7.
б) 2х - 9 = 15 - х; 2х + х = 15 + 9; Зле = 24; х = 24 : 3; х = 8.
Ответ: в квадратик надо вписать число 8.
14. Покажем, что уравнение:
а) х - 2 = Зх имеет решение х —- 1.
Ответ: дс= —1 является решением, потому что при подстановке в уравнение
-1 вместо х9 получим правильное равенство: - 1-2 = 3* ( - 1); —3 = —3.
б) 82 - 5 = 5г имеет решение 2=
Ответ: г —— является решением, потому что при подстановке в урав-
3
нение ~ вместо 2, получим правильное равенство: 8-
- - 5 = — ; 13—~ 5 —8-і; 8- = 8- .
3 3 3 3 3 3
(О
15. Покажем, что уравнение:
а) х(х - 3) = 0имеет решения х - 0, х = 3.
Произведение х(х —3) при данных значениях х всегда будет равняться О,
так как хотя бы один из множителей будет равняться О: или х = О, или
х - 3 = Опри х = 3. Ответ: уравнение имеет решения х = О, х = 3.
б) 2(2- 2)(2+ 3) = Оимеет решения 2= О, 2= 2, 2= “3.
Произведение 2(2- 2)(2+ 3) при данных значениях г всегда будет рав­
няться О, так как хотя бы один из множителей всегда будет равняться О:
ИЛИ2= 0, ИЛИ2 - 2 = 0 при 2= 2, ИЛИ 2 + 3 = 0 при 2= -3 .
Ответ: уравнение имеет решения г = 0, 2= 2, г = -3 .
17. Смотри объяснение к упражнениям 8-10.
а) х - (3 - 2х) = 9; х - 3 + 2х = 9; Зх = 9 + 3; Зх = 12; х = 12 : 3; х - 4.
Проверка: найдем значение левой части уравнения при * = 4:
4 - ( 3 - 2 -4 ) = 4 - ( 3 - 8 ) = 4 + 5 = 9.
Значения левой и правой частей уравнения равны: 9 = 9.
Ответ: х = 4.
б) 8 - (3* - 2) = 13; 8 - Зх + 2 = 13; -З х = 13 - 8- 2; -3 * = 3;
х = 3 : (—3); л; = - 1.
П роверка: найдем значение левой части уравнения При дс = -1 :
8- (3 •(-1) -2 ) = 8- (-3 - 2) = 8 + 5 = 13.
Значения левой и правой частей уравнения равны: 13 = 13.
Ответ: д: = —1.
в) 3(х - 2 ) = 27; * - 2 = 27 :3 ; * - 2 = 9; * = 9 + 2 ; * = 11.
П роверка: найдем значение левой части уравнения при х = 11:
3(11 - 2) = 3 * 9 = 27.
Значение левой и правой частей уравнения равны: 27 = 27.
Ответ: х = 11.
Решим уравнения 18—23. Смотри объяснение к упражнениям 8—10.
18. й) 2(х - 3) = 36; х - 3 = 18; х = 18 + 3; х = 21.
б) 4(5 - х) = 12; 5 - * = 3; -х = 3 - 5; - х = -2 ; х = 2.
в) 0,1(дс + 1) = 1;дс + 1 = 1 : 0,1; х + 1 = 10; х = 10 - 1; х = 9.
rg
w
w
w
.4book.org
w
ook.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.or
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4boo
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.o
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4b
.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
.4book.org

3. 19. а) 3(x + 5) = 27; * + 5 = 2 7 :3 ;л : + 5 = 9;л: = 9 - 5 ;д : = 4.
б) 5(jc - 3) = 15; x -3 = 15 : 5; x -3 = 3; x = 3 + 3; x = 6.
в) 8(3 - x) = 40; 3 - x = 40 : 8; 3 - x = 5; -x *- 5 - 3; —x = 2; x = -2 .
20. a) 4(* + 1) + 11 = 31; 4(* + 1)= 31 - 11; 4(x + 1) = 20; x + 1 = 20 ; 4;
x + 1 = 5; x = 5 - 1; x = 4.
б) 10 + 3(z - 2) = 1; 3(z - 2) = 1 - 16; 3(z- 2) = -1 5 ; z - 2 = -1 5 : 3;
z - 2 = -5 ; z = -5 + 2; z = -3 .
в) ö(y ~ 3) - 12 = 73; 5(1/ - 3) = 73 + 12;5(у - 3)= 85; (у- 3)* 85:5;
у - 3 = 17; у - 17 + 3; у = 20.
г) 47 + 2{х + 4) = 7; 2(х -i- 4) = 7 - 47; 2(х + 4)= -4 0 ; х +4 =-4 0 :2;
л: + 4 = -2 0 ; jc = -2 0 - 4; х = -2 4 .
21- а) 5(2* - 3) = 50; 2х - 3 = 50 : 5; 2х - 3- 10; 2х = 10+ 3; 2* =13;
х = 13 : 2; х = 6,5.
б) 37(8* - 23) = 37; 8л: - 23 = 37 : 37; 8л: - 23 = 1; 8* = 1 + 23; 8х = 24;
х = 24 : 8; х = 3.
в) 52(17 - 8л:) = 52; 17 - 8х = 52 : 52; 17 - 8х = 1; - 8л: = 1 - 17;
- 8л: = -1 6 ; л: = -1 6 : ( - 8); х = 2.
г) 84(37 - 17z) = 168; 37 - 17 z = 168 : 84; 37 - 17z = 2; -17z = 2 - 37;
OK 1
-17z = -3 5 ; z = -3 5 : (-17); z = — ; z = 2 — .
17 17
22. a) 3x + (7 - je) = 10; 3x + 7 —x = 10; 2x = 10 - 7; 2л: = 3; ж= 3 : 2; л: = 1,5.
б) 2л: - (3 —x) = 18; 2x - 3 + x = 18; 3# = 18 + 3; 3x = 21; x = 21 : 3; x = 7.
в) 8z - (5 - 3z) = 17; 8z - 5 + 3z = 17; 11z = 17 4- 5; 11z = 22; z * 2.
г) 12y + (5 - 2y) = -1 5 ; 12y + 5 - 2y = -1 5 ; lOy = -1 5 - 5; lOy = -2 0 ;
у = —20 : 10; у - - 2.
23. а) 2л: - (х - 3) = 20; 2л: - х + 3 = 20; х = 20 - 3; х = 17.
б) 5 - (4i/ -i/) = 10; 5 - Зу = 10; -Зу = 1 0 - 5 ; -Зу = 5; у = - l | .
в) 4z - (7 + 3z) = 2; 4z - 7 - 3z = 2; z = 2 + 7; z = 9.
r) 17y + (8- 15y) = 4; 17y + 8- 15y = 4; 2y = -4 ; у = -4 ; 2; у = -2 .
24. За три тетради и толковый словарь заплатили 16,2 грн. Известно, что
толковый словарь стоит вдвое больше, чем три тетради. Найдите стоимость
толкового словаря и трех тетрадей.
Решение. Пусть стоимость трех тетрадей х грн., тогда стоимость словаря
будет 2х грн. Их общая стоимость — (л: + 2л:) грн., которая по условию
задачи равняется 16,2 грн. Составим уравнение:
х + 2х = 16,2; Зле = 16,2; х = 16,2 : 3; х = 5,4.
2х = 5,4 *2; 2х = 10,8.
Стоимость 3-х тетрадей — 5,4 грн. Стоимость толкового словаря — 10,8 грн.
П роверка: 1) стоимость толкового, словаря вдвое больше стоимости трех
тетрадей: 10,8 : 5,4 = 2;
2) за толковый словарь и три тетради заплатили 16,2 грн.:
10,8 + 5,4 = 16,2.
Ответ: стоимость трех тетрадей — 5,4 грн.; стоимость толкового слова­
ря — 10,8грн.
25« Решение. Чтобы найти задуманное число, нужно составить уравнение.
Для этого обозначим это число буквой х . Умножив его на 3, получим Зл:.
Если к произведению прибавим 18, получится (Зл: + 18).
Составим уравнение:
Зх + 18 = 63; Зл: = 63 - 18; Зл: = 45; л: = 45 : 3; л: = 15.
Ответ: 15 — задуманное число.
rg
w
w
w
.4book.org
w
ook.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.or
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4boo
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.o
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4b
.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
.4book.org

4. 26- Решение. Обозначим задуманное число буквой х . Если его умножить
на 7, получим 7х, после вычитания от произведения числа 16 получим
(7л: —16). Так как по условию задачи это число равняется 33, составим
уравнение: 7л: - 16 = 33.
7х - 16 * 33; 7л: = 33 + 16; 7л: = 49; х = 49 : 7; х = 7.
Ответ: 7 — задуманное число.
Решим уравнения 27—29. Смотри объяснение к упражнениям 8—10.
27. а) —(б-9ж ) = 15; - в - - - 9 х = 15; 4 - 6 * = 15; - 6* = 11; х = - 1 - .
З у ' 3 3 6
б) - - ( 12- * ) = ? ; 12- * = ® : - ; 12- * = 2; - х = 2- 12; * = 10.
. С м Д . . . . ц . - . . м ,
5 5 5 5
28. а) (3* - 2) : 2 = 18; 3* - 2 = 18 * 2; 3* - 2 = 36; 3* = 36 + 2;
2
Зл: = 38; х = 38 : 3; х —12—.
3
б) (5* - 3) : 3 = 9; 5л: ~ 3 = 9 •3; 5* - 3 = 27; 5л: = 27 + 3; 5* - 30;
х = 30 : 5; х = 6.
в) (41 - х) : 9 = 4;41 - х = 4 * 9; 41 - х = 36;- х =36 - 41; - х = -5 ;.
х = - 5 : (-1); х = 5.
29. а) 2(3* - 2) + 4 = 30; 2(3л: - 2) = 30 - 4; 2(3л: - 2) = 26; Зл: - 2 = 26 : 2;
Зх - 2 = 13; 3* = 13 + 2; 3* = 15; х = 15 : 3; х = 5.
б) 3(2 - л:) + 25 = 28; 3(2 - х) = 28 - 25; 3(2 - л:) = 3; 2 - х = 3 : 3;
2- х = 1; - х = 1- 2; - * = —1; л: = 1.
2 / ч 1 2 / ч 1 2 а 2 2 2
в) - - {л :- 4 ) + ~ = 5; - ( л : - 4 ) = 5 - - ; -* (д :-4 ) = 4 - ; л :-4 = 4 ~ : - ;
3 1 ' 3 3 1 } 3 3 1 ’ 3 3 3
14 3 ^ гг гг ^ 4х~ 4 - ------- ; * - 4 = 7; * = 7 + 4; х = 11.
3 2
г ) | (1- 2*) + | = - 2; | .(1- 2х) = - 2- 1; | -(1- 2х) = - 2 ± ;
1 - 2 * = - 2 —: —; 1 - 2 * = - — *—; 1 - 2 * = -5 ; ~2х = - 5 - 1 ; - 2дс= - 6;
7 7 7 3
л: = - 6: ( - 2); * = 3.
Решим уравнения 30—32. Смотри также объяснение к упражнениям 8—10.
Чтобы решить уравнения, записанные в виде пропорции (равенства отно­
шений чисел), необходимо преобразовать уравнение, пользуясь основным
свойством пропорции: если пропорция правильная, то произведение ее
крайних членов равняется произведению средних членов.
30- а) 6* : 8= 3 : 2; 6* •2 = 8 •3; 12л: = 24; х = 24 : 12; х = 2.
б) 5 : (2*) = 3 : 18; 2х •3 = 5 18; 6* = 90; * = 90 : 6; * = 15.
в) 1 : (Зл:) = 4 : 12; Зх * 4 = 1 ■12; 12* = 12; х = 12 : 12; х = 1.
31. а) (л: - 5) : 2 = 3 : 4; 4(* - 5) = 2 * 3; 4(х - 5) = 6; х - 5 = 6 : 4;
х - 5 = 1,5; х = 1,5 + 5; х = 6,5.
б) 5 : (с - 3) = 2 : 3; 2(с - 3) = 5 - 3;2(с - 3)= 15; с - 3 = 15 : 2;
с - 3 = 7,5; с = 7,5 + 3; с = 10,5.
в) 7 : 4 = 5* : 3; 4 •5* = 7 •3; 20* = 21; * =21 :20; * = 1,05.
rg
w
w
w
.4book.org
w
ook.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.or
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4boo
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.o
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4b
.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
.4book.org

5. 3 2 . а) 2 : т = т : 8; т •т = 2 - 8; т2 = 16; т —-4 ; т = 4 ( т = ±4).
б) х : 10 = ОД : х; х *х = 10 •ОД; х2= 1; зс = —1; л; = 1 (х = ±1).
в) 2п : 9 = 2 : п; 2п •п = 9 *2; 2л2= 18; п2= 9; п = —3; п = 3 (п = ±3).
Решите уравнения 33—35, проверку сделайте самостоятельно.
Чтобы решить уравнения, в которых неизвестное находится под знаком
модуля, надо сделать перенос членов уравнения из одной части урав­
нения в другую так, чтобы выражение, которое находится под знаком
модуля, было в левой части уравнения, а другие члены уравнения —
в правой. Таким образом получим уравнение, которое можно решить,
пользуясь примером 3) раздела «Хочешь знать еще больше?», с. 8—9
учебника.
33. а) |х|+ 5 = 12; х~ 12 - 5; |х|= 7; х = —7 или х = 7. Ответ: -7 ; 7.
б) |х|- 8= —3; |х|= —3 + 8; х= 5; х = -5 или х = 5. Ответ: —5; 5.
в) 2|х|+ 3 = 25; 2|лс|= 2 5 - 3 ; 2|х|= 22; [х|= 22 : 2; |х|= 11; х = -11 или * = 11.
Ответ: —11; 11.
34. а) х + 4|= О; х + 4 = 0; х = -4 . Ответ: -4 .
б) |* - 2| = 12; * - 2 = -1 2 ; х = -1 2 + 2; х = -1 0 ;
или х - 2 = 12; х = 12 + 2; х = 14. Ответ: -10; 14.
в) |х - 1| + 7 = 3; |х - 1|= 3 - 7; |х —1| = - 4 . Ответ: уравнение решений
не имеет, так как равенство |х —1|= -4 неверное, потому что модуль любого
выражения является числом неотрицательным.
35. а) |2х - 3|= 5; 2х - 3 = -5 ; 2х = - 5 + 3; 2х = -2 ; х - -2 : 2; х = -1 ;
или 2х —3 = 5; 2х = 5 + 3; 2х = 8; х = 8 : 2; х = 4. Ответ: —1; 4.
б) |2х| - 3 = 5; |2х|= 5 + 3; |2х|= 8; 2х = - 8; х = -8 : 2; х = -4 ;
или 2х = 8; х = 8 : 2; х = 4. Ответ: -4 ; 4.
в) 2|х - 3|= 5; х- 3|= 5 : 2; |х -3( = 2,5; х - 3 = -2 ,5 ; х = -2,5 + 3; х = 0,5;
или х - 3 = 2,5; х = 2,5 + 3; х = 5,5. Ответ: 0,5; 5,5.
36*. Чтобы определить, при каком значении а уравнение будет иметь задан­
ный корень, подставим значение переменной х в это уравнение, тогда по
определению корня уравнения получим правильное равенство, которое
содержит неизвестное а. Решим полученное уравнение относительно а .
а) Зах + 96 = 0 имеет корень х = —8.
Тогда: За *(—8) + 96 = 0; -24а = —96; а = —96 : (-24); а = 4.
Ответ: при а = 4 — х = -8 является корнем данного уравнения.
^ а 1 ЛГ¥, а п 1 ^ а 1
б) 1 х = — имеет корень х = 2. Тогда: 1 ------ 2= — ; 1----- = — ;
4 2 4 2 2 2
1 ! 1 ^1 Л1 ( ^ 3 ( 01; а = - 1—; а = -1- : — ; а = ------(-2);
2 2 2 2 2 ) 2 у }
а
а
~ 2
Ответ: при а = 3 корнем данного уравнения является — х = 2.
в) 4(а - 3)х = 72 имеет корень х = 6. Тогда:
4(а - 3) - 6= 72; 24(а - 3) = 72; а - 3 = 72 : 24; а - 3 = 3 ;а = 3 -*-3 ;а = 6.
Ответ: при а = 6корнем данного уравнения является — х = 6.
37*. Чтобы определить, при каком значении т заданные уравнения будут
иметь общий корень, надо решить уравнение, которое не имеет парамет­
ра т 9 найденное значение х подставить в другое уравнение, полученное
уравнение решить относительно переменной т.
а) 2(х + 3) = 36; х + 3 = 3 6 : 2 ; х + 3 = 18; х = 18 —3; х = 15.
х = 15 является корнем уравнения х : 3 + 2т = 19, поэтому 15 : 3 + 2т = 19 —
верное равенство. Найдем т:
rg
w
w
w
.4book.org
w
ook.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.or
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4boo
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.o
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4b
.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
.4book.org

6. 15 : 3 + 2т = 19; 5 + 2т = 19; 2т = 1 9 - 5 ; 2т = 14; т - 14 : 2; т = 7.
Ответ: при т - 7 уравнения имеют общий корень.
б) (8- х) 7 = 28; (8-х ) = 28 : 7; 8- х = 4; - х = 4 - 8; - х = -4 ; х = 4.
х = 4 является корнем уравнения 5(2х —3т) = 0, поэтому 5(2 *4 —Зт) = 0 —
верное равенство. Найдем т: 5(2 *4 - З т) = 0; 5(8 - З т) = 0;
2
8- З т = 0 : 5; 8 - З т = 0; -З т = —8; т = -8 : (-3); т - 2 —.
3
2
Ответ: при т - 2 — уравнения имеют общий корень.
3
в) (Зх - 2) : 2= 17; Зх - 2 = 17 - 2; Зх - 2 = 34; Зх = 34 + 2; Зх = 36;
х = 36 : 3; х = 12. х = 12 является корнем уравнения (х : 3 + 8 )2т = 48,
поэтому (12 : 3 + 8)2т = 48 — верное равенство.
(4 + 8 )2 т = 48; 12 - 2 т = 48; 2 4 т = 48; т = 48 : 24; т = 2.
Ответ: при т - 2 уравнения имеют общий корень.
38*. Определим, при каком значении к уравнение не будет иметь корней:
а) Уравнение х2= Ъ. не будет иметь корней при отрицательных значени­
ях ку так как квадрат любого числа принимает только неотрицательные
значения. Ответ: при отрицательных значениях И уравнение не будет
иметь корней.
б) Выполним преобразование уравнения |х|+ к - 0; |х|= -к . Модуль лю­
бого числа является числом неотрицательным, поэтому уравнение не
будет иметь корней, если —к будет принимать отрицательные значения,
то есть, если к будет принимать положительные значения. Ответ: при
положительных значениях к уравнение не будет иметь корней.
в) Выполним преобразование уравнения к + 2х = 2(х —3); к + 2х = 2х —6;
&+ 2х - 2х = - 6; к = - 6. Так как получили равенство, которое не зависит
от х, то заданное уравнение не будет иметь корней, если равенство к = —6
будет неверным. Равенство &= -6будет неверным, если к будет принимать
любое значение, кроме - 6.
Ответ: при любом значении к * - 6уравнение не будет иметь корней.
39. Обозначим ширину прямоугольника как х см, тогда длина прямоуголь­
ника будет Зх см, так как по условию задачи она втрое больше, чем ши­
рина. Периметр прямоугольника считается по формуле Р = 2(а + Ь), где
а и Ъ — ширина и длина прямоугольника. Периметр данного прямоуголь­
ника 2(х + Зх) см, что по условию задачи составляет 60 см.
Составим уравнение: 2(х + Зх) = 60; 2- 4х = 60; 8х = 60; х = 60 : 8; х = 7,5.
Ответ: ширина прямоугольника 7,5 см.
40. Обозначим ширину прямоугольника как х см, тогда его длина 2х см. Пе­
риметр прямоугольника составляет 2(х + 2х) см, что по условию равняется
50 см. Составим уравнение: 2(х + 2х) = 50; 2 •Зх = 50; 6х = 50;
1 1 2
х = 50 : 6; х = 8—. Длина прямоугольника: 2х = 2 •8—; 2х = 16 —.
3 3 3
2
Ответ: длина прямоугольника: 1 6 - см.
3
41. Обозначим длину стороны меньшего квадрата как х см, тогда длина
стороны большего квадрата будет 2х см, так как по условию задачи она
вдвое больше. Периметр большего квадрата (4 - 2х) см, а меньшего 4х см.
Учитывая, что разность периметров большего и меньшего квадратов рав­
няется 50 см, составим уравнение:
4 * 2х - 4х = 50; 8х - 4х = 50; 4х = 50; х = 50 : 4; х = 12,5.
rg
w
w
w
.4book.org
w
ook.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.or
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4boo
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.o
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4b
.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
.4book.org

7. Длина стороны большего квадрата: 2х - 2 * 12,5; 2х = 25.
Ответ: 25 см.
42. Обозначим половицу возраста дедушки как х лет, тогда возраст де­
душки будет составлять 2х лет. Если дедушка проживет еще столько же
и еще половину, это будет составлять 2х + 2х + х, что по условию задачи
составляет 200 лет. Составим уравнение: 2х + 2х + х = 200; Ъх - 200;
х = 200 : 5; х = 40. Возраст дедушки 2х = 2 *40; 2х - 80.
. Ответ: возраст дедушки 80 лет.
43. Обозначим через х количество лет, через которое дочь будет вдвое младше,
чем отец. Через х лет отцу будет (34 + х) лет, дочери — (12 + х) лет. Учи­
тывая, что дочь будет в это время вдвое младше отца, составим уравнение:
34 + х - 2(12 + х); 34 + х = 24 + 2х х —2х - 24 - 34; - х = -1 0 ; х - 10.
Ответ: через 10 лет дочь будет вдвое младше отца.
44. Решение.
I способ. Обозначим количество быков в череде как х. Треть череды состав­
ляет быков, а две трети от —составляют —-—, или 70 быков. Получаем
3 3 3 3
0 V о.у
уравнение: —*—= 70; — = 70; 2х = 9 •70; 2х = 630; х ?=630 : 2; х - 315.
3 3 9
I I способ. Обозначим треть от трети всей череды как х быков, тогда треть
всей череды составляет Зх быков, а вся череда 3 •Зх быков, то есть 9х
быков. Так как пастух вел две трети от трети череды, то он вел 2х быков,
что составило 70 быков. Составим уравнение: 2х = 70; х = 70 : 2; х = 35.
Количество быков в череде 9х быков. 9х = 9 *35; 9х = 315.
Ответ: в череде 315 быков.
45. а) 3,7 - 1,2 : 0,4 * 3,7 - 12 : 4 = 3,7 - 3 = 0,7;
б) 2,8 + 8,1 : 2,7 = 2,8 + 81 : 27 = 2,8 + 3 = 5,8;
в) (7 - 8,5) : 0,5 = -1 ,5 : 0,5 = -1 5 : 5 = -3 ;
г) —4,9 : (2,3 - 1,6) = -4 ,9 : 0,7 = -4 9 : 7 = -7 ;
д) 3 : 0,2 + 8 •2,5 * 30 : 2 + 20 = 15 + 20 = 35;
е) 12,1 : 0,11 + 1 : (-0,2) = 1210 : 11 - 10 : 2 = 110 - 5 = 105;
е) 0,2® + 0,32= 0,008 + 0,09 = 0,098;
з) (-0 ,4 )2- 1,22= 0,16 - 1,44 = -1 ,2 8 ;
ж) (3 - 1,4) : 0,22= 1,6 : 0,04 = 160 : 4 =*40.
46. а) Если а = 2, то 2 а + 5 = 2 * 2 + 5 = 4 4 -5 = 9;
б) если т = 8, то 2,3 - 3т - 2,3 - 3 * 8 = 2,3 - 24 = - 21,7;
1в) если а = — и с = 0,5, то
3 2 3
о О 2 3 4 + 9 13 0 1
2а + Зс - 2 - + 3 0,5 = - + 1,5 = - + - = --------= — = 2 - ;
3 3 3 2 6 6 6
г) если а = — и с ~ 0,5, то
3
2 (а + 3с) = 2 Г| + 3 0,б) =
( 2 3
( Ь 1-5) -
Г2 3>
1 3
—+ —
3 2
= о 2 + 9 _ _ 11 1 1 ^ 11 э 2
6 6 0 Я 3 ~ 3
47, Обозначим коэффициент пропорциональности как х %тогда первое число
составляет 2х, второе — Зх, третье — 5х. Сумма этих чисел 2х + Зх + Ьх,
что по условию задачи равняется 300. Составим уравнение:
2х + Зя + Ъх - 300; 10х = 300; х = 30.
rg
w
w
w
.4book.org
w
ook.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.or
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4boo
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.o
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4b
.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
.4book.org

8. Тогда первое число 2х = 2 *30, 2х = 60; второе число Зх = 3 * 30, Зх = 90;
третье число 5* = 5 * 30, 5х - 150.
Отпветг число 300 является суммой чисел 60, 90, 150.
§ 2. Равносильные уравнения
Чтобы доказать равносильность уравнений, надо доказать, что они име­
ют одни и те же корни или совсем не имеют,корней. Можно также путем
выполнения преобразований из одного уравнения получить другое, ему
равносильное. Для этого можно в любой части уравнения раскрыть скоб­
ки, свести подобные члены; перенести любой член из одной части урав­
нения в другую, заменив его знак на противоположный; обе части урав­
нения умножить или разделить на одно и то же число, отличающееся от
нуля. В результате указанных действий всегда, кроме исключительных
случаев, получим уравнение, равносильное данному. Исключительными
являются случаи, когда в результате преобразований хотя бы в одной
из частей уравнения исчезает деление на выражение с переменной или
сокращается квадратный корень из выражения с переменной. В таком
случае следует указывать значения переменной, при которых возникает
деление на нуль или извлечение квадратного корня из отрицательного
числа, и исключить эти значения из решения уравнения, об этом вы
узнаете в следующем классе.
ш
I
ш
X
о
к
гО-I
о
53. Подберем к каждому из уравнений равносильное, используя основные
свойства уравнений.
а) Если в уравнении 7х + 8 = 10 перенести слагаемое 8 в правую часть,
получим равносильное уравнение 7х = 10 - 8.
б) Если в уравнении 12 - Зх = 0 перенести уменьшаемое 12 в правую часть,
получим равносильное уравнение -З х = - 12.
в) Если в уравнении 5х - 2 = 2х —5 члены уравнения, которые содержат
х, перенести в левую часть, а те, которые не содержат х, в правую, полу­
чим равносильное уравнение 5х - 2х = —5 + 2.
ос^ 3
г) Если обе части уравнения -------= 3 —х умножить на 5, получим рав-
5
носильное уравнение х + 3 = 15 - 5х.
1 3
д) Если обе части уравнения —•(3 - 6х) = —умножить на 4, получим рав-
2 4
носильное уравнение 2(3 - 6х) = 3.
е) Если обе части уравнения —+ Зх = х умножить на 3, получим равно-
3
сильное уравнение 1 + 9х = Зх.
54. Перенесем члены с переменными из правой части в левую, а без пере­
менных — в правую:
а) 12х - 3 = х + 2; б) 152 + 8 = 2г; в) - т - —- 3 - —пг;
12* - * = 2 + 3. 15г - 2г = - 8. 2 3 2
1 1 о 2—т + —т = 3 + —.
2 2 3
55. Перенесем члены с переменными из левой части в правую, а без пере­
менных — в левую:
а) 7х + 4 = 9х; б) 3 8 - 2 п - 2п; в) 1 - 0,5г = 1,5з;
4 = 9х - 7х. 38 = 2п + 2л. 1 = 1,5г -I- 0,5г.
rg
w
w
w
.4book.org
w
ook.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.or
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4boo
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.o
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4b
.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
.4book.org

9. Решим уравнения 56—59. Смотри объяснение к упражнениям 8—10.
56. Решим уравнения: ^
а) 12у + 3 = 1/ - 7;. 12у - у = -7 - 3; Н у = -1 0 ; у = -1 0 : 11; у = - — .
2
б) 5х + 2х + 5 = 4л:; 5л: - 4л: + 2х = -5 ; Зх = -5 ; * - - 5 : 3 ; х = - 1 —.
О
в) 0,7 - 2с = Зс + 1,7; -2 с - Зс = 1,7 - 0,7; -5 с = 1; с = 1 : (-5); с = -0 ,2 .
57. а) 2л: - 1 = Зх; 2л: - Зх = 1; - х = 1; х = -1 .
б) 5у + 6= 2у; 5у - 2у = - 6; 3у = - 6; у = -6 : 3; у = -2 .
в) 0,82- 1 = 0,32; 0,8г - 0,32 = 1; 0,52 = 1; г = 1 : 0,5; 2= 2.
2
г) 2 + 37* = 40*; 37* - 40* = -2 ; -3* = -2 ; * = -2 : (-3); * = - .
О
д) 1 - 0,5с = 0,5с; -0,5с - 0,5с = -1 ; -1 *с = -1 ; с = 1.
е) 3 + 4,7л: = 4,7л:; 4,7* - 4,7х = -3 ; 0 = -3 , что является неверным ра­
венством. Решений нет.
5 8 . а) 3(х - 5) = 2х - 7; Зх - 15 = 2л: - 7; Зх - 2х = -7 + 15; зс = 8.
б) 4(£ - 0,9) = 1,2 + 21; 41 - 3,6 = 1,2 + 21; 4 1 -2 1 = 1,2 + 3,6;
21 = 4,8; I = 4,8 : 2; I = 2,4.
в) 7л: - 4(х - 3) = 12; 7х ~ 4л: + 12 = 12; Зл: = 12 - 12; Зх = 0; х = 0.
г) 16 - (2 - 5лг) = 29; 16 - 2 + 5х = 29; 5* = 29 - 16 + 2; 5х = 15; х = 3.
59. а) —ас = 1 2 - * ; - * + * = 12; * + — = 12; - * = 12; * = 1 2 - - ; * = 9.
3 3 3 3 4
2 2 „ 2у + 3у „ 5 „ 3 27 .2
б) -г / = 9~у; дУ+г/ = 9; — = *» д» = 9; !/ = 9' 5; у = ~5“: у 5-
, 1 1 1 1 2- 6г 1 5
в)—2= —+ 2; - 2-2 = —; ---------= —; — 2= —; 2
6 3 6 3 6 3 6 3
1 6 2
2= ; 2= .
3 5 5
5 5 . 5 5 . 5
г )5 у = — + у; 5у - у = - - ; у = ; У = ~32*
2 2 2д) —л: + 8= 8; - х = 8 - 8 ; —х = 0; х = 0.
3 3 3
ч . 1 1 . 1 1 -28с + с 1 1е) -4с = с; -4с + —с = —; ------------= —; -27с = 1; с = ------- .
7 7 7 7 7 7 27
60. а) Так как 2х - 3 равняется х + 17, то 2х - 3 = х + 17.
2х —3 = х + 17; 2х - х = 17 + 3; х = 20.
Ответ: х = 20.
б) Так как х + 37 вдвое больше, чем х —15, то х + 37 = 2(х —15).'
х + 37 = 2х - 30; х - 2х = -3 0 - 37; - х = -6 7 ; х = 67.
Ответ: 67.
Решим уравнения 61—68. Смотри объяснение к упражнениям 8—10.
6 1 .а) —( 2 * -3 ) = 1; —-5 (2 * -3 ) = 1-5; 2 * - 3 = 5; 2* = 8; * = 8 :2 ; * = 4.
5 5
б) ~ ( 4 + 3*) = | ; | -9 (4 + 3*) = | 9; 4 + 3* = 3; 3* = —1; * = ~ £-
в ) | ( 2 - 3 * ) = ф ^ -7 (2 -3 * ) = ~ 7 ; 3 (2 -3 * ) = 1; 6 - 9 * = 1;
5
-9 х = 1 - 6 ; -9 х - -5; х = —.
9
rg
w
w
w
.4book.org
w
ook.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.or
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4boo
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.o
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4b
.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
.4book.org

10. 9у 7 2х. 7 1
62. а) — + —= 1 ; ----- 9 + —-9 = 1-9; 2ж-3 + 7 = 9; 6х = 9 - 7 ; 6х = 2; х = —.
3 9 3 9 3
б) — - — = 7; — 1 0 - — 10 = 7-10; З с 2 - с = 70; 6с - с = 70;
5 10 5 10
5с = 70; с = 70 : 5; с = 14.
В) ^ _ ^ = _2; —-8- — •8= -2•8; л 2г-3л = -16; -л = -16; л = 16.
4 8 . 4 8
63. а) —+ ———= —; —•9 + ——- -9 = —-9; 2 + 3(х - 2) = 5; 2 + Зх - 6= 5;
9 3 9 9 3 9
Зх - 4 = 5; Зх = 5 + 4; Зх = 9; х = 9 : 3; х = 3.
б) 1 _ 1'± Ё = _2^ ; —•8- 1 ^ 5 .8= - 2—■8; 3 - 4 (1/ + б) = -18;
8 2 4 8 2 4 ' ’ ,
3 - 4# - 20 = —18; -4у = - 1 8 - 3 + 20; -4у = -1; {/ = - 1 :( - 4 ) ; у = - .
4
х —3 2х х —3 2х
в) —— - — —= 2; — -9 - — -9 = 2-9; (х - 3) * 3 - 2х =18;
3 9 3 9
Зх - 2х - 9 = 18; х = 18 + 9; х = 27.
64. а) 5(0,6/71 - 2) = 2{т - 3,6); 3т —10 = 2т - 7,2; 3т - 2т = —7,2 + 10;
тп= 2,8.
б) 3(1,2л + 8) = 4(5 —0,1л); 3,6л + 24 = 20 - 0,4л; 3,6л + 0,4л = 20 - 24;
4л = -4 ; л = - 4 : 4; л = -1 .
в) 2(11 - 6х) - 3(7 - 4х) = 1; 22 —12х - 21 + 12х = 1; 1 = 1.
Так как равенство верно, х — любое число.
г) 7(у + 6) = 4(3*/ - 5) - 3; Чу + 42 = 12у - 20 -3 ; 7у - 12у =-2 3 - 42;
-5у = -6 5 ; у = -6 5 : (-5); у = 13.
д) --(б + *) = —(2*-15); — 3(б + *) = - ( 2 * -1 5 )-3 ; 6+ * = 2 (2 * -1 5 );
3 3 3 3
6+ х = 4х - 30; х - 4х = -3 0 - 6; -Зх = -36; х = -36 : (-3 ); х = 12.
*> ^(7 " 2*) = | (8* + 4 ! ) | -4 (7 -2 * ) = | ( 8* + 4 | }-4 ;
2(7- 2*) = з|в;с + у 1 ; 14 - 4* = 24* +14; -2 8 * = 0; * = 0 :(-2 8 ); * = 0..
6 5 .а) - ( * - 2 ) = - ( 5 * - 2 4 ) ; - ( * - 2 ) - 5 = - ( 5 * - 2 4 ) - 5 ; 3(х - 2) = 2(5* - 24);
5 5 5 5
Зх - 6 = 10х - 48; Зх - 10х = -4 8 + 6; —7х = -42; х = -4 2 : (-7); х = 6.
б) | (* + 2) = | (7* + 12); | -б (* + 2) = ^ (7* + 12) б; 5 (* + 2) = 7* + 12;
5х +10 = 7х +12; 5х - 7х = 1 2 -1 0 ; -2 х = 2; х = 2 : (-2); х = -1 .
в) 0,4(6х - 1) = 0,1(12х + 5); 2,4х - 0,4 = 1,2х + 0,5; 2,4х - 1,2х = 0,5 + 0,4;
1,2х = 0,9; х = 0,9 : 1,2; х = 0,75.
г) 0,5(7х + 8) = 1,5(7х + 8); 0,5(7х + 8) : 0,5 = 1,5(7х + 8) : 0,5;
7х + 8= 3(7х + 8); 7х + 8= 21х + 24; 7х - 21х = 2 4 - 8 ; -1 4 х = 16;
х = 16 : ("14); х = - ~ ; х = -1 у .
д) 5* —— ——(3* + 4);5 *-3 - —•3 = —(3* + 4)-3;1 5 * - 2 = 3 * + 4;
3 3 3 3
15х —Зх = 4 + 2; 12х = 6; х = 6:12; х = 0 ,5 .
rg
w
w
w
.4book.org
w
ook.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.or
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4boo
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.o
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4b
.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
.4book.org

11. е) !/-|(2|,-5) = 1 ^ - 2 г,; у 4 - | ( 2 * - 5 ) - 4 = | . 4 - 2 у 4 ;
4у - 3(21/ - 5) = 5 - 8*/; 4у - 6у +15 = 5 - 8у; ~2у + 8у = 5 -1 5 ;
6у = - 10; у = - 10: 6; у = у = - 1~ .
66. а) 2,5(у + 6) = у + 1,5(1/ -10); 2,5у + 15 = у + 1.5* - 15;
2,5у - у - 1,5|/ .= -1 5 - 15; 0 = -3 0 .
Так как равенство неверно, то уравнение решений не имеет,
б) 0,75(4 - *) - 0,5* = 5(0,05* + 3); 3 - 0,75* - 0,5* = 0,25* + 15;
-1 ,6 * = 12; * = 12 : (-1,5); * = - 8.
„ ч 3* + 7 х - 3 5*+ 2 3* + 7 0 х - 3 0 5* + 2 0
67 . а ) ------------------- = ----------; —*о ------------о ---------- о;
4 2 8 4 2 8
2(3* + 7) - 4(* - 3) = 5* + 2; б* + 14 - 4* +12 = 5* + 2; 2* - 5* = 2 - 26;
-3 * = -2 4 ; * - -2 4 : (-3); * = 8.
_ч 5* - 4 7 - * 3* +1 5* - 4 _ 7 - * _ 3* +1 _
б) ---------= --------+ —- — ; ----------- 6= --------- 6+ -----------6;
. 3 2 6 3 2 6
2(5* - 4) = 3(7 - *) + 3* + 1; 10* - 8« 2 1 - 3* + 3* + 1; 10* = 22+ 8;
10* = 30; * = 30 : 10; * = 3.
68. а) 8 ^ . 1 0 _ Ь % . 1 0 = 6 £ ± 1 7
5 2 10 5 2 10
2(8 - 3у) - 5(1 - 2у) = Ъу + 17; 16 - 6у - 5 + 10у = 6у + 17; 4у - Ьу = 17 - 11;
- 2у = 6; у = 6 : ( - 2); у = -3 .
б) 1 ^ 4 * = 1 ^ 2 * _ * ± 3 2 - 4 * 1- 2* £ + 3
5 3 4 5 3 4
12(2 - 4*) = 20(1 -2 * ) -1 5 (* + 3); 24 - 48* = 20 - 40* - 15* - 45;
-4 8 * + 55* = -2 5 - 24; 7* = -4 9 ; *.= -4 9 : 7; * = -7 .
6 9 . Обозначим число, которое надо вычесть, через х. Если вычесть от 135 это
число, получим 135 - *, а если от 83 вычесть это число, получим 83 - *.
Учитывая, что первая разность в 3 раза больше второй, составим уравнение:
135 - * = 3(83 - *); 135 - * = 249 - 3*; - * + 3* = 249 - 135;
2* = 114; * = 114 : 2; * = 57. Ответ: надо вычесть число 57.
70. Обозначим число, которое надо прибавить, как *. Если прибавить его
к 207, получим 207 + *, а если прибавить его к 33, получим 33 + *. Учи-'
тывая, что первая сумма в 4 раза больше второй, составим уравнение:
207 + * = 4(33 + *); 207 + * = 132 + 4*; * - 4* = 132 - 207;
—3* = —75; * = —75 : (—3); * = 25. П роверка. Если к 207 прибавить 25, полу­
чим 232. Если к 33 прибавить 25, получим 58. Найдем частное 232 : 58 —4,
удовлетворяющее условию задачи. Ответ: надо прибавить число 25..
71. Обозначим одно из чисел через * , тогда второе число 120 - *. После деле-
*
ния первого числа на 5 получим —, а после деления второго числа на 3 по­
лучим ——. По условию задачи эти частные равны. Составим уравнение:
3
х 120- * * . „ 120- * п
— = -------- ;~ •15 =*-- 15; 3* = 5(120 - *); 8* = 600 - 5*;
о о о 3
3* + 5* = 600; * = 600 : 8; * = 75. Первое число * = 75, второе число
120 - * = 120 —75; 120 - * = 45. Ответ: числа 75 и 45.
72. Обозначим меньшее из чисел через *, тогда большее число будет * + 12.
0,7 меньшего числа — 0,7*, 0,3 большего — 0,3(* + 12) и по условию
задачи они равны. Составим уравнение:
rg
w
w
w
.4book.org
w
ook.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.or
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4boo
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.o
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4b
.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
.4book.org

12. 0,7* = 0,3(д: + 12); 0,7* = 0,3* + 3,6; 0,7х ~ 0,3л: = 3,6; 0,4* = 3,6;
* = 3,6 : 0,4; х = 9. Меньшее число равняется 9, большее х + 12 = 9 + 12;
х + 12 = 21. Ответ: 9 и 21.
73. Обозначим первое из чисел через *, тогда второе число будет 425 - х.
20 % первого числа — 0,2*, а 30 % второго — 0,3(425 - *), и по условию
задачи они равны. Составим уравнение: 0,2* = 0,3(425 - х);
0,2* = 127,5 - 0,3*; 0,2* + 0,3* = 127,5; 0,5* = 127,5; * = 1 2 7 ,5 :0 ,5 ; * = 255.
Первое число 255, второе число — 425 —* —425 - 255; 425 —* = 170 , то
есть второе число 170. Ответ: числа 255 и 170.
74. Обозначим массу угля на втором складе как * т, тогда масса угля на
первом складе составляет 2* т. После того, как на первый склад привезут
еще 84 т угля, на нем будет (2* + 84) т; после того, как на второй склад
привезут еще 140 т угля, на нем станет (* + 140) т. По условию задачи
угля на первом и втором складе станет поровну. Составим уравнение:
2х + 84 = * + 140; 2х - х - 140 - 84; * = 56. На втором складе 56 т угля.
На первом складе 2х = 2 •56; * = 112, то есть 112 т угля.
Ответ: на первом складе 112 т, на втором — 56 т угля.
75. Обозначимколичествобензинаво втором баке как * л, тогдав первом — 2х л.
Если из первого бака отольют 17 л бензина, в нем станет (2* - 17) л; если
во второй бак дольют 17 л, в нем станет (* + 17) л, и в двух баках бензина
станет поровну. Составим уравнение: 2 * —17 = * + 17;
2* - * = 17 + 17; * = 34. Во втором баке 34 л, а в первом — 2* = 2 *34 = 68,
то есть 68л. Ответ: в первом баке — 68л, во втором — 34 л бензина.
76*. Чтобы определить значение числа а, при котором будут равносильны­
ми данные уравнения, найдем корень уравнения, которое не содержит
а, заменим найденным значением * во втором уравнении и решим его
относительно о.
а) Решим уравнение 2(х - 1) = 4 - * ; 2х - 2 = 4 - *; 2* + * = 4 + 2;
3* = 6; * = 6 : 3; * = 2.
Решим уравнение ах = * + а, заменив * числом 2. а •2 = 2 + а; 2а - а = 2; а *=2.
Ответ: при а = 2 уравнения равносильны.
б) Решим уравнение *2= 0; * = 0.
Решим уравнение (1 - а)х = *, заменив * числом 0. (1 - а) * 0 = 0; 0 = 0.
Равенство верно при любом значении а.
Ответ: уравнения равносильны при любом а.
77*. Найдем значение а, составив уравнение, учитывая, что по условию при
* = -1 значение выражения равняется 4.
—1+ а) , к 3(—1+ а) 3 (—1+ а)
----------- + 0,5*(-1) + 3 = 4; -------- ^ -0 ,5 = 4 - 3 ; —^-------- ^= 1 + 0,5;
2 2 2
3(-1 + д) 3 3
= 1,5; -1 + а = —: —; -1 + а = 1; а = 1 + 1; а = 2.
2 2 2
Найдем значение выражения при а = 2 и * = 5:
3(5+ 2) + 0 ,5-6 + 3 = — + 2 ,5 + 3 = 10,5 + 5,5 = 16; Ответ-. 16.
2 2
78*. Найдем значение /п, составив уравнение, учитывая, что по условию при
2
* = 1— значение выражения равняется 16:
rg
w
w
w
.4book.org
w
ook.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.or
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4boo
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.o
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4b
.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
.4book.org

13. тп—4
= 1 4 -1 5 ;
т
= - 1:
т - 4
(-3) = -1 *(-3); т - 4 = 3;
т = 3 + 4; т = 7. Найдем значение выражения при т = 7 и х = -
9
Ответ: 0,6.
7 9 . Ответ:
13 28 37
410 66 62
75 84 99
а) 80 2 б) 1024 2 в) 1001
40 2 512 2 91
20 2 256 2 13
10 2 128 2 1
5 5 64 2
1 32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
11
7
13
81
Ответ: а) 80 = 24* 5; б), 1024 = 210; в) 1001 = 1 1 - 7 - 1 8 .
а 02
+11§ 2,
5
ит вет : а; ои = • о; о), =
(
1 Я а 92 Л4
4,3* — + 11* 2,25 :2 ,75 = 9,1
43 Ь )
1) 4,3
43
1 * - А = А = 0,3;
10 43 10
2) 11—-2,25 = — -2—= 29*® ' ® 261
5 5 4 5-Х а
3) 0,3 + 26,1 = 26,4;
26,4 «640“*‘
4 )2 6 ,4 :2 ,7 5 =
Ответ: 9,6.
10
48
2,75 ОГ7ГГ21*),
26,1;
9,6.
82. а) Полусумма чисел т и п :
«л
т + п
; б) полуразность чисел 2х и Зг:
2х —3г
2 ' ' 2
83. Определим, на сколько число 40 больше 32— 40 - 32 - 8.
Определим, на сколько процентов число 40 больше числа 32 — 8: 32 = 0,25,
то есть на 25 % . Определим, на сколько процентов число 32 меньше 40 —
8 : 40 = 0,2, то есть на 20 %.
Ответ: 40 больше 32 на 25 %; 32 меньше 40 на 20 %.
§ 3. Линейные уравнения
87 . а) 2 - Зх = 5 - 7х; 7х - Зх = 5 - 2; 4х = 3. б) 0 = 7х - 5; -7 х = -5 .
г)
1
—х -
3
х - 4
в 1
2 8
1 1
6 - ~ х ; —# + —д
2 3 2
К
1
і
= 1; ------ •2 =
2
6; - * = 6
1 * 2 ; х —4 = 2;аг = 2 + 4;ае = 6.
rg
w
w
w
.4book.org
w
ook.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.or
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4boo
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.o
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4b
.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
.4book.org

14. Чтобы привести уравнение к линейному уравнению вида ах = Ъ9 надо:
избавиться от знаменателей, если они есть; раскрыть скобки, если они
есть; перенести члены с переменными в левую часть, а числа — в пра­
вую; привести подобные члены.
88. Приведем уравнение к линейному:
а) 2х + х - 7х + 3 = 8; б) у - 5у = 8 - у; в) Зх + 2(х + 7) = 2х;
-Ах = 8 - 3 ; - 4у + у = 8; Зх + 2х + 14 = 2х;
—Ах = 5. -3 у = 8. Зх +- 2х —2х = —14;
Зх = -1 4 .
г) 4(2 + х) - х = Зх +9; д) —с + 31(2 - с) = 32с; е) 0,7 = 2(х + 3,5) - 2х;
8 +•4х - х - Зх = 9; -с + 62 - 31с = 32с; 0,7 = 2х + 7 —2х;
Ох = 9 - 8; - с - 31с - 32с = -6 2 ; Ох = 7 —0,7;
Ох = 1. Ох = 6,3.
89. Чтобыопределить, сколько решений имеет уравнение, надо свести его к виду
ах —Ь. Если а ф 0, уравнение имеет одно решение; если а = 0; Ь - 0, уравнение
имеет множество решений; если а = 0и Ь* 0, уравнение не имеет решений.
а) 2х - 3 = х + 7; 2х - х = 7 + 3; х = 10. Ответ: одно решение.
б) Зх + 7 = Зх - 9; Зх - Зх = -9 - 7; Ох - -1 6 . Ответ: решений нет.
в) 2(3х - 1) = 3(2х + 1); 6х - 2 = 6х + 3; 6х - 6х = 3 + 2; 0 = 5.
Ответ: решений нет.
Решим уравнения 90—96. Смотри объяснение к упражнениям 8—10.
90. а) 32х = -1 6 ; х = -1 6 : 32; х - -0 ,5 .
б) -1 5 г = 0,5; г = 0,5 : (-15); 2= — — ; г = - — .
150 30
в) х + 4х = 5х; 5х - 5х = 0; 0 = 0. Равенство верно, поэтому х — любое число.
г) -0,5у = -0 ,5 ; у = -0 ,5 : (-0,5); у = 1.
д) 6х = 8+ 6х; 6х —6х = 8; 0 = 8. Равенство неверно; решений нет.
е) х - 4х = 5х; -Зх - 5х = 0; - 8х = 0; х = 0 : (-8); х = 0.
91 . а) Ох = 35; 0 = 35. Равенство неверно; решений нет.
б) Оу = 13 —13; 0 = 0. Равенство верно; у — любое число.
в) 2х = 3 + 2х; 0 = 3. Равенство неверно; решений нет.
3 2
92. а) 0,52 = 6+ —г; - г - —г = 6; —2= 6; 2= 6: —; 2= 36.
3 2 3 6 6 .
б) 0,2х + 5 = —х; —х ——х = -5; 0 = -5 . Равенство неверно; решений нет.
5 5 5
5 8
в ) —х + 7 = 0,6х; —х - 0 ,6 х =-7 ; —х - —х = -7 ;— х = -7 ; х = -105.
3 3 3 5 15
93. а) 4 - Зх = 8(1 — х);4 - Зх =8—8х; -З х + 8х = 8- 4; 5х = 4; х = —.
5
б) 2 - 5у = 5(1 - 2у); 2 - = 5 - 10у; - Ьу + Му = 5 - 2; 5# = 3; у = |.
в) х = 3(х + 1) - 2х; х = Зх + 3 - 2х; х = х + 3 ; х - х = 3 ; 0 = 3.
Равенство неверно; решений нет.
г) 2(5 - 8х) = -4(4х + 3); 10 - 16х = -1 6 х - 12; -16х + 16х = -1 2 - 10;
0 = -2 2 . Равенство неверно; решений нет.
94. а) 8(9 - 2х) = 5(2 - Зх); 72 - 16х = 10 - 15х; -16х 4- 15х = 10 - 72;
-х = -6 2 ; х = 62.
б) 5(2+ 3) = 8(10 - 2); 52 + 15 = 80 - 82; 52 + 82= 80 —15; 13г = 65;
2= 65 : 13; 2= 5.
rg
w
w
w
.4book.org
w
ook.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.or
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4boo
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.o
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4b
.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
.4book.org

15. в) 2(* - 3) = 3(2* - 1); 2х - 6= 6* - 3; 2* - 6* = -3 + 6;
-4 * = 3; х = 3 : (-4); х = -0 ,7 5 .
г) 4(5 ~ х) = -5 * + 2; 20 - 4х = -5 * .+ 2; -4 х + 5* = 2 - 20; х = -1 8 .
9 5 . а) у —1,08 = 0,2(5 + у); у - 1,08 = 1 + 0,2у; у - 0,2у = 1 + 1,08;
0,8у = 2,08; у = 2,08 : 0,8; у = 2,6.
б) 0,3(1 - с) = с + 0,04; 0,3 - 0,3с = с + 0,04; -с - 0,3с = 0,04 - 0,3;
-1 ,3 с = -0 ,2 6 ; с = 0,26 : 1,3; с = 0,2.
в) 3 - 5* = 0,3(2* + 1); 3 - 5* = 0,6* + 0,3; -5 * - 0,6* = 0,3 - 3;
27
-5 ,6 * = -2 ,7 ; * - -2 ,7 : (-5,6); * =
56
г) 1 - 3(* - 5) = 7(3 - 2*); 1 - 3* + 15 = 21 - 14*; -3 * + 14* = 21
11* = 5; * = 5 : 11; * = — .
11
2
, 1 1 3 1 3 1 5 1 I f 5^
96. а) — * — = - х ; - - * — * = - ; — * = - ; * = - : — ;
2 3 4 2 4 3 4 3 3 { 4 J
1 - 1 5 ;
* =
4^
15
б) = %t - 0 ,6 t = -
3 5 3 5
в а
2 3 1 1 1
—t — t = —; — t -
3 5 5 15 5
3;
4 4
в) - 0,82+ 1= ~ z; — z
' 5 5
- z = - l ;
5
8
, - и =
( - 5)- -! ■
97. Решим уравнение, пользуясь для вычислений микрокалькулятором:
а) 235* = 408; б) 18,7у = 9,7; в) -3 2 ,4г = 58,8;
* = 408 : 235; у=9,7 : 18,7; 2 = -5 8 ,8 : 32,4;
* «в 1,73617; у«0,51872; 2* -1,81481;
* * 1,736. ( у * 0,519. 2 1,815.
98. Найдем корни уравнений:
а) 492* + 317 = 923 —
с точностью до тысячных.
492* = 923 - 317;
492* = 606; * = 606 : 492;
* = 1,2317073; * * 1,232.
б) 2,382 - 5,87 = 3,41 —
с точностью до стотысячных.
2.382 = 3,41 + 5,87;
2.382 = 9,28; 2 = 9,28 : 2,38;
2 = 3,8991597; 2 * 3,89916.
Решим уравнения 99—103. Смотри объяснение к упражнениям 8—10.
99. а) 3(* + 4) + 6(11 - *) = 9; 3* + 12 + 66 - 6* = 9;
3* - 6* = 9 - 12 - 66; -3 * = -6 9 ; * = 69 : 3; * = 23.
б) 8(1 - *) + 5(* - 2) = 2; 8 - 8* + 5* - 10 = 2; -8 * + 5* = 2 - 8 + 10;
“3* = 4; 4 : 3 ; * = - 1-
3
в) 7(ж - 5) - 3(2* - 6) = 10; 7* - 35 - 6* + 18 = 10; * = 10 + 35 - 18; * = 27.
г) 5(3 - 2*) - (12 + 7*) = 0; 15 - 10* - 12 - 7* = 0; -1 0 * - 1х = 12 - 15;
-1 7 х = -3 ; х = -3 : (-17); х = — .
17
100. а) 7(4 - t) + 3(t - 5) = 9t; 28 - 7t + 3t - 15 = 91; - 7 1 + 3t - 9« = 15 - 28;
-1 3 t = -1 3 ; * = 13 : 13; t = 1.
в) 42 - 1,2(2 - 62) = 1 - 52; 42 - 2,4 + 62= 1 - 5z; 102+ 52 = 1 + 2,4;
rg
w
w
w
.4book.org
w
ook.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.or
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4boo
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.o
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4b
.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
.4book.org

16. 1Ъг = 3,4; г = 3,4 : 15; г - 2=
б) 3(х + 1,5) + 2(3 + х) = ~5; Зх + 4,5 + 6 + 2х = -5 ; 5х = -5 - 6- 4,5;
5* = -1 5 ,5 ; * = -15,5 : 5; х = -3 ,1 .
г) 2,5х - 1,7(5 - 2х) = Зх; 2,5х —8,5 + 3,4х = Зх; 5,9х - Зх = 8,5;
85 27
2,9х = 8,5; х = 8,5 : 2,9; х = — ; х = 2-— .
29 29
101. а) 8 + 3(х - 5) + х = 2(3 + 2х); 8 4- Зх - 15 + х = 6+ 4х;
4х —•4х = 6 + 7; 0 = 13. Ответ: уравнение не имеет решений.
б) 2 4- 2(4 4- г) = Зг 4- 8; г 4- 8 + 2г = Зг 4- 8; г 4- 2г - Зг = 8 —8; О= О.
Ответ: уравнение имеет множество решений.
_ 1 2х + х - 4х _ 1
2 4 У _/ ' 2 4 2 ' 2 4 Х ~ 2 * 4 ~ 2
, 1 1 / л X X 1 X X
в) - х + —( х - 2) = х; —+ -------- = х; —+ -----
2-±.
2 2*
1 1 1 А О О
— х = - ; —х = —*4; —х = 2; х = -2 .
4 2 2
1 ^1 Ч 1 2 2
г) —+ 21 —п + 11 = 3п; —+ —п+ 2 = Зп; —п -З п
2 УЗ ) 2 3 3
2 п -9 п - 4 - 1 7 5 5 3 15 ^ 1
---------- = ----------; — п = — ; л = ------ ; п = — ; п = 1— .
3 2 3 2 2 7 14 14
102. а) ^ (4 * -5 ) + - ( 2 * + 1) = * + 3; - 2 ( 4 * - 5 ) + --2 ( 2 * + 1) = (* + 3)-2;
2 2 2 2
' 4 х - 5 + 3(2х +1) = 2х + 6; 4 х - 5 + 6х + 3 = 2х + 6; 1 0 х - 2х = 6+ 5 - 3 ;
8х = 8; х = 8: 8; х = 1. Ответ: х = 1.
б) | (5 -3 * ) + |(2 + 9*) = 2 * -1 ; 3(5 - 3*) + 1 3(2 + 9*) = (2х -1 )-3 ;
2 (5 -З х ) + 2 + 9х = б х -3 ; 1 0 -6 х + 2 + 9х = б х -3 ; ~3х = -15;
х = —1 5 : (—3); х = 5. Ответ: х = 3.
в) —(6+ 7 * ) - 2 * = —(4 + 3*) + 3; --5 (б + 7 * )- 2 * - 5 = - - 5 ( 4 + 3*) + 3-5;
5 5 5 5
3(6 + 7х) - 1 0 * = 2(4 + 3*) +15; 18 + 21* -1 0 * = 8+ 6* +15;
2 1 * - 1 0 * - 6* = 15 + 8 -1 8 ; 5* = 5; * = 5 :5 ; * = 1. Ответ,'. * = 1.
г) 2 + ^ (8* + 1) = 5* + | (4 * -1 ); 2 -4 + ^ (8* + 1)-4 = 5 * -4 + | (4 * -1 )-4 ;
8 + 8 х + 1 = 20* + 3 (4 * -1 ); 8* + 9 = 20* + 12* - 3;
8х - 20х - 12х = -3 - 9; -2 4 х = -1 2 ; х = -1 2 : (-24); х = 0,5;
Ответ: х = 0,5.
103. а) 3(2х + 3) - 5(7 - 4х) - 2(5х + 4) = - 2; 6х + 9- 35 + 20х - 10х - 8= -2 ;
6х +. 20х - 10х = -2 - 9 + 35 + 8; 16х = 32; х = 32 : 16; х = 2.
Ответ: х = 2.
б) 8(4 - Зх) + 7(х - 3) + 3(9 + 7х) - 10; 32 - 24х + 7х - 21+ 27 + 21х = 10;
-2 4 х + 7х + 21х = 10 - 32 + 21 - 27; 4х = -28; х = -2 8 : 4; х = “ 7.
Ответ: х = -7 .
в) 6(х + 2) + 3(3х + 7) = 4(5 + 4х) - 7; 6х + 12 + 9х + 21 = 20 + 16х - 7;
6х + 9х - 1 6 х = 20 - 7 - 12 - 21; - х = -2 0 ; х = 20.
Ответ: х = 20.
rg
w
w
w
.4book.org
w
ook.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.or
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4boo
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.o
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4b
.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
.4book.org

17. г) 5(12 - *) - 11(4* - 5) = 9(9 - 5*) - 26; 60 - 5* - 44* + 55 = 81 - 45* - 26;
-5 * —44* + 45* = 81 - 26 - 60 —55; —4* = -6 0 ; * = -6 0 : (—4); * = 15.
Ответ: х = 15.
Решим задачи, составив к ним уравнения.
104. Решение. Обозначим первое число через *. Тогда вторым числом будет
(х - 6). Если первое умножить на 5, то будет 5*, а второе умножить на 4,
то получим 4(* - 6). По условию задачи составим уравнение:
5* - 4(* - 6) = 40; 5* - 4* + 24 = 40; * = 40 - 24; * = 16. Первое число 16,
тогда вторым числом будет 16 - 6= 10. Ответ: 16 и 10.
105. Решение, Обозначим первое число через *. Так как второе число в 6 раз
больше, то оно будет составлять 6*. Исходя из условия задачи, (6* - 37)
должно равняться (* + 73). Значит, получаем уравнение: 6* - 37 = х + 73;
6* - * = 73 + 37; 5х = 110; * = 110 : 5; * = 22.
Первое число 22, тогда вторым числом будет 22 * 6= 132.
Ответ: 22 и 132.
106- а) Обозначим одно из чисел через *, тогда второе число (155 - *). По
условию задачи разность этих чисел равняется 91.
* - (155 - *) = 91; * - 155 + * = 91; 2* = 91 + 155; 2* = 246;
* = 246 : 2; х = 123. Одно число 123. Второе число 155 - х = 155 - 123;
155 —* = 32. Ответ: 123 и 32.
б) Обозначим меньшее число через * , тогда большее число * + 47. Полусум-
* + * + 47
ма этих чисел ---------------, что по условию задачи равняется 46. Составим
2
х + х + 47 2* + 47 2 *+ 47
уравнение: -------------- = 46; = 4 6 ; ------------2 = 46 *2; 2* + 47 = 92;
2 2 2
2* = 92 - 47; 2* = 45; х = 45 : 2; * = 22,5.
Меньшее число 22,5; большее число * + 47 = 22,5 + 47; * + 47 = 69,5.
Ответ: 22,5 и 69,5.
107. Обозначим число, которое надо найти, через *, тогда его третья Часть - *.
1 3
По условию числобольше своей третьей частина —.
Составим уравнение: * - —* = —; * •3 ——* •3 = —*3; 3* - * = 1; 2* = 1;
3 3 3 3
х = 1 : 2; * = і . Ответ: число —.
2 2
108. а) Сумма чисел х и 15 — * + 15, а их разность — * - 15. Составим урав­
нение, учитывая, что сумма чисел в два раза больше их разности:
* + 15 = 2(* - 15); * + 15 = 2* - 30; * —2* = -3 0 - 15; —* = —45; * = 45.
Ответ: х = 45.
б) Сумма чисел * и 1,5 — * + 1,5, а их произведение — 1,5*. Составим
уравнение, учитывая, что сумма чисел равняется их произведению:
* + 1,5 = 1,5*; х - 1,5х = —1,5; —0,5* = -1 ,5 ; * = -1 ,5 : (-0,5); * = 3.
Ответ: * = 3. . . , .
т - 1 4 /71+ 14
109. а) Полуразность чисел т и 1 4 --------------, их полусумма--------------- . Соста-
2 2
вим уравнение, учитывая, что полуразность составляет 0,2полусуммы:
т - 1 4 л л т + 14 т - 1 4 л л ^ ггс+14 л
—------ = 0 ,2 -— — ; ------------ 2 =0 ,2 ------------- 2; т - 14 = 0 ,2 (т + 14);
2 2 2 2
т - 14 = 0 ,2 т + 2,8; т - 0,2т = 2,8 + 14; 0 ,8 т = 16,8; т = 16,8 : 0,8;
т = 21. Ответ: т = 21.
rg
w
w
w
.4book.org
w
ook.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.or
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4boo
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.o
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4b
.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
.4book.org

18. б) Полусумма чисел т и 14 — т-+1- , их разность — пг - 14. Соста-
2
вим уравнение, учитывая, что полусумма чисел составляет 120 % их
разности, то есть в 1,2 раза больше разности. ~ + = 1 ,2 (т -1 4 );
_ , |4 2
— *2 = 1 ,2 (т -1 4 ) •2; т + 14 = 2 ,4 (т - 14); т + 14 = 2 ,4 т - 33,6;
2
т - 2 ,4 т = -33,6 - 14; -1 ,4 т = -47,6; т = -47,6 : (-1,4); т =34. Ответ: 34.
110. Решение. Обозначим через * то, что дал первый жертвователь. Тогда по
условию задачи имеем: второй дал 2х; третий — 3 * 2х, что равняется 6*;
четвертый — 4 •6*, что равняется 24*; всего они дали * + 2х + 6х + 24х, что
составляет 132. Составляем и решаем уравнение: * + 2х + 6х + 24* = 132;
33* = 132; х = 132 : 33; * = 4. Ответ: первый жертвователь дал 4.
111. Решение. Обозначим количество гусей через х. Тогда полстолько будет
* *
составлять — гусей, четвертую часть будет составлять — гусей. Исходя
X X -
из условия задачи, составим уравнение: * + * + —+ —+ 1= 100;
2 4
2х + —+ —+ 1 = 100; 4| 2ж+ —+ —+ 1 1= 100• 4; 2х-4 + - - 4 + - - 4 + 4 = 400;
2 4 { 2 4 ) 2 4
8* + 2* + х + 4 = 400; 1Ъ: = 400 - 4; И х = 396; х = 396 : 11; х = 36.
П роверка: 36 + 36 + 36 • — + 36 • —+ 1 = 7 2 + 1 8 + 9 + 1 = 100, удовле-
2 4
творяет условию задачи. Ответ: летело 36 гусей.
112. Решение. Пусть голова весит * г. Тогда туловище весит (* + 150) г, а его
* + 150 „
половина----------- г. По условию задачи голова весит столько, сколько хвост
п 1СП ж+ 150
и половина туловища. Составим уравнение: * = 150 + — - — = *;
* 2 = 150 2 + * + 1 -° 2; 2* = 300 + * + 150; 2* - * = 450; * = 450.
2
Головавесит 450 г , тогдатуловище весит * +150 = 450 +150; * +150 = 600 (г).
Значит, вся рыба весит 600 + 450 + 150 = 1200 (г), или 1 кг 200 г.
Ответ: рыба весит 1 кг 200 г.
113*. Чтобы доказать, что заданные уравнения при любых значениях а имеют
единственный корень, надо привести уравнение к виду линейного уравне­
ния и показать, что множитель перед * отличный от нуля.
а) (о2+ 3)х = 5 — линейное уравнение. Множитель а2 + 3 отличный от
нуля, так как а2 — неотрицательное, а а2 + 3 — положительное. Поэтому
уравнение имеет единственный корень.
б) (а2 + 1)* = а — линейное уравнение. Множитель а2+ 1 отличный от нуля,
так как а2 — неотрицательное, а2+ 1— положительное. Поэтому уравнение
имеет единственный корень.
в) Приведем уравнение а2* = -2 * к виду линейного уравнения: а2* = —2х;
а2х + 2* = 0; (а2 + 2)* = 0. Множитель а 2+ 2 отличный от нуля, так как
а2 — число неотрицательное, а2+ 2 — положительное. Поэтому уравнение
имеет единственный корень.
г) Приведем уравнение 4 - 5* = а2х к линейному: 4 - 5* = а2*; -5 * - а2х = -4 ;
5* + а 2х = 4; (5 + а2)* = 4. Множитель (5 + а2) отличный от нуля, так как
а2 — число неотрицательное, 5 + а2 — число положительное. Поэтому
уравнение имеет единственный корень.
rg
w
w
w
.4book.org
w
ook.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.or
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4boo
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.o
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4b
.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
.4book.org

19. 114*. Все заданные уравнения — линейные. Поэтому:
1) Чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы мно­
житель неред х не равнялся нулю:
а) уравнение kx = 8имеет единственный корень при любом kyкроме k = О;
б) уравнение (к + 3)* = 5 имеет единственный корень при любом к> кроме
того, при котором k + 3 = О, то есть к = -3 ;
в) уравнение kx —к имеет единственный корень при любом кукроме к = 0;
г) уравнение (2- к)х = (2- К) имеет единственный корень при любом к,
кроме того, при котором 2- к = 0, - k = - 2, к = 2, то есть кроме к - 2.
2) Чтобы уравнение не имело корней, необходимо, чтобы множитель перед
х равнялся нулю, а число, которое находится в правой части уравнения,
не равнялось нулю.
а) уравнение kx = 8 не имеет корней, если к = 0;
б) уравнение (к + 3)* = 5 не имеет корней, если к + 3 = 0, тоесть к = -3 ;
в) уравнение kx = к всегда имеет корни;
г) уравнение (2—k)x - (2- k) всегда имеет корни.
3) Чтобы линейное уравнение имело множество корней, необходимо, чтобы
и множитель перед х, и число, которое находится в правой части уравне­
ния, равнялись нулю.
а) уравнение kx = 8не может иметь множество корней;
б) уравнение (k + 3)* = 5 не может иметь множество корней;
в) уравнение kx - k имеет множество корней, если k - 0;
г) уравнение (2- к)х = (2—k) имеет множество корней, если 2—&= 0,
- k = - 2, k = 2, то есть при к = 2.
115*. X) Примеры уравнений, которые имеют один корень:
о« I о
а) 5* —4 + 2* = х + 2; б) 2(1,5* - 7) - Зх = *; в) =1 .
5
Если эти уравнение привести к линейным, множитель перед х не будет
равняться нулю.
2) Примеры уравнений, которые имеют множество корней:
Q y I О
а) Ьх - 4 + 2х = -4 + 7х; б) 2(1,5* - 7) - 3* * -1 4 ; в) --------= 0,6* + 0 ,4 .
5
Если эти уравнение привести к линейным, и множитель перед х> и число,
которое находится в правой части уравнения, будут равняться нулю.
3) Примеры уравнений, которые не имеют корней:
Зх + 2
а) 5* - 4 + 2х = 7х; б) 2(1,5* - 7) - 3* = 0; в) = 0 ,6 * .
5
Если эти уравнение привести к линейным, множитель перед * будет равнять­
ся нулю, а число, которое находится в правой части, будет отличнымот нуля.
116. а) Квадрат суммы чисел * и у: (* + у)2;
б) сумма квадратов чисел * и у: *2+ у2;
в) разность кубов чисел а и Ь: а3- Ьв;
г) куб разности чисел а и Ь: (а - Ь)3;
д) сумма кубов чисел а и Ь: а3 + Ь3;
е) куб суммы чисел а и Ь: (а + b f.
117. а) При а = 0,2, 5а3= 5 * (0,2)3= 5 * 0,008 = 0,04;
б) при * = -2 , 2*2- *4- 5 = 2* (-2 )2- (-2 )4- 5 ^ 2 - 4 - 1 6 - 5 =
= 8 - 21 = -13;
в) при а = 0,2, а3+ За2= (0,2)3+ 3 * (0,2)2= 0,008 + 3 •0,04 =
= 0,008 + 0,12= 0,128;
г) при а = -1 ,2 , За4- а2= 3 * (~1,2)4- (-1 ,2 )2= 3 * 2,0736 - 1,44 =
- 6,2208 - 1,44 - 4,7808;
rg
w
w
w
.4book.org
w
ook.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.or
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4boo
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.o
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4b
.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
.4book.org

20. д) при х =: 2,5 и у = 3, 1 - (х - у)3 = 1 - (2,5 - З)3= 1 - (-0,5)э =
= 1 + 0,125 = 1,125.
118. Найдем сумму 10 + 11 + 12 + ... + 97 + 98 + 99.
Сумма первого слагаемого и последнего, сумма второго и предпоследнего
слагаемых, и так далее, является одинаковой и равняется: 10 + 99 = 109.
Всего сумма содержит 90 слагаемых, тогда пар слагаемый 90 : 2, и каж­
дая из них равняется 109. Тогда 10 + 11 + 12 + ... + 97 + 98 4- 99 =
- 109 •45 = 4905. Ответ: 4905.
119- Чтобы найти проценты от числа, надо проценты свести к десятичной
дроби, и умножить дробь на заданное число. Учтите, что 1% — 0,01.
а) 20 % от 350: 350 *0,2 = 70. Ответ: 70.
б) 30 % от 5600: 5600 * 0,3 = 1680. Ответ: 1680.
в) 12 % от 0,75: 0,75 * 0,12 = 0,09. Ответ: 0,09.
г) 125 % от 1,4: 1,4 * 1,25 = 1,75. Ответ: 1,75.
д) 15 % от 124 грн: 124 грн - 0,15 = 18,6 грн. Ответ: 18,6 грн.
е) 48 % от 3,5 м: 3,5 м - 0,48 = 1,68 м. Ответ: 1,68 м.
§ 4. Решение задач с помощью уравнений
Чтобы решить задачу с помощью уравнений, надо:
1) неизвестное или одно из неизвестных в задаче обозначить переменной
и записать условие задачи в виде уравнения;
2) решить составленное уравнение;
3) ответить на вопросы, поставленные в задаче.
125- Решение. Так как разность чисел составляет 1,6, то одно число мень­
ше другого на 1,6. Если одно из задуманных чисел обозначим через х, то
второе число будет составлять (# - 1,6). Их сумма равняется 13,6, значит,
можно составить уравнение:
х + (х - 1,6) = 13,6; 2х = 13,6 + 1,6; 2х = 15,2; х = 15,2 : 2; х = 7,6.
Одно число 7,6, тогда второе число 7,6 —1,6 = 6.
Ответ: искомые числа 6 и 7,6.
126. Решение.
1) Из рисунка 19 учебника ясно: в правую окружность нужно вписать
такое число, которое будет равняться сумме 36 и числа, которое надо
вписать в левую окружность, а также будет равняться числу, кото­
рое вписано в левую окружность, помноженному на 3. Исходя из этого
и обозначив число, которое вписано в левую окружность, через х, имеем
х + 36 —3#; х - Зх - —36; 2х = 36; х = 36 : 2; х = 18. Тогда число, которое
вписано в правую окружность, — 3 * 18 = 54.
2) Из рисунка 20 учебника ясно, что в окружности необходимо вписать
два числа, сумма которых равняется 100, а частное составляет 5.
Пусть делителем будет х. Тогда, исходя из того, что частное составляет 5, де­
лимое будет в пять раз больше, то есть 5*. Их сумма будет составлять Ьх + дг,
что равняется 100. Получаем уравнение: 5х + х = 100; 6х ~ 100; х =
50 * 50 к 250 _
х = — — делитель, тогдаделимое будет 5 ------. Выделив целуючасть
3 3 3
ОЛ1 „_2
в обоих числах, получим: 83 — и 16 —.
3 3
1 2
Ответ: 1) искомые числа 18 и 54; 2) искомые числа 8 3 — и 16 —.
3 3
rg
w
w
w
.4book.org
w
ook.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.or
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4boo
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.o
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4b
.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
.4book.org

21. 127. Решение. Пусть одно число х, тогда второе число в 2 раза больше (отно­
шение 1 : 2), что составляет 2*. По условию задачи составим уравнение:
х + 2 * = 105; Зх =105; х —35. Одно число 35, тогда второе число 2х = 2 *35;
2х = 70. Ответ: искомые числа 35 и 70.
128. Реш ение. Пусть искомое число будет х. Его половина составляет —,
2
* „
а треть — —. По условию задачи составим уравнение:
3
- - - = 0,5; ^ — ^ = 0,5; Зх - 2х = 0 , 5 - 6 ; * = 3.
2 3 6
П роверка: пусть найденное число 3. Его половина 3 : 2, а его третья часть
3 : 3. Разность половины числа и третьей части: 3 : 2 —3 : 3 = 1,5 —1 = 0,5,
удовлетворяющее условию задачи. Ответ: искомое число 3.
129. Реш ение. Пусть сыну х лет. Тогда, исходя из условия задачи, отцу
5* лет, что на 32 года больше, чем сыну, значит, 5х —х = 32; 4* = 32;
х = 32 : 4; х = 8. Сыну 8лет, тогда отцу 5 *8= 40 (лет). Ответ: 8и 40 лет.
130. Реш ение. Пусть площадь большей части поля будет х га, тогда площадь
меньшей части — (ас —130) га. Получаем уравнение: х + х —130 = 430;
2х = 430 + 130; 2х = 560; х = 560 : 2; х = 280. 280 га — площадь большей
части поля, тогда меньшая часть будет 280 - 130 - 150 (га).
Ответ: 150 га, 280 га.
131. Решение. Обозначим более короткую часть веревки через х м, тогда
более длинная часть будет Зх м. Так как длина веревки 84 м, получаем
уравнение: х + Зх = 84; 4* = 84; х = 84 : 4; х = 21. Более короткая часть
веревки — 21 м, тогда более длинная часть — 3 •21 = 63 (м).
Ответ: 21 м и 63 м.
132. Обозначим длину меньшей части веревки как х. Вторая часть на 50 %
длиннее, то есть составляет 150 % от х или 1,5*. Так как сумма частей
веревки 25 м, составим уравнение: * + 1,5* = 25; 2,5* = 25;
х = 25 : 2,5; * = 10. Тогда 1,5* = 15.
Проверка: одна часть 10 м, вторая 15 м, что в сумме составляет 10+ 15 = 25 м.
Вторая часть длиннее на 15 м - 10 м = 5 м. Найдем, на сколько процен­
тов вторая часть длиннее первой: 5 м : 10 м = 0,5, что составляет 50 %.
Условия задачи выполнены. Ответ: 10 м и 15 м.
133. Решение. Пусть бригада должна была за 5 дней изготовить * деталей.
*
Каждый день бригада изготовляла - деталей, что на 12 деталей больше
х х х 5 х _4.зс
нормы, составляющей — деталей. Значит, = 12; ----------- = 12;
5 4 5 20
* = 12 ■20; * = 240. Ответ: 240 деталей.
134. Решение. Пусть более длинная сторона прямоугольника — * см, тог­
да более короткая сторона будет (* - 12) см. Периметр прямоугольника
равняется удвоенной сумме длин двух его сторон и по условию задачи
составляет 118 см. То есть 2 ■(* + * - 12) = 118; * + * - 12 = 59;
2* = 59 + 12; 2* - 71; х = 71 : 2; * = 35,5. Более длинная сторона состав­
ляет 35,5 см, тогда более короткая сторона — 35,5 - 12 = 23,5 (см).
Ответ: 23,5 см и 35,5 см.
135. Решение. Обозначим через * га площадь, которую вспахал третий тра­
кторист, тогда по условию задачи второй вспахал (* + 9) га, а первый —
(* + 9 + 6) га, что вместе составляет 72 га. Получаем уравнение:
* + (* + 9) + (* + 9 + 6) = 72; 3* + 24 = 72; 3* = 72 - 24; 3* = 48;
* = 48 : 3; * = 16.
rg
w
w
w
.4book.org
w
ook.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.or
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4boo
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.o
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4b
.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
.4book.org

22. Третий тракторист вспахал 16 га, тогда второй тракторист вспахал
16 + 9 = 25 (га), а первый — 25 4- 6= 31 (га).
Ответ: первый — 31 га, второй — 25 га, третий — 16 га.
136. Решение. Если количество учеников в первом классе обозначить через х,
то во втором классе будет (х 4- 3) учеников, а в третьем — (х —2) учеников.
Так как в трех классах было 79 учеников, можно составить уравнение:
х + (х + 3) + (х - 2) = 79; Зх + 1 = 79; Зх = 79 - 1; Зх = 78;
х = 78 : 3; х = 26. В первом классе 26 учеников, тогда во втором классе
26 4- 3 = 29 (учеников), а в третьем — 2 6 - 2 - 2 4 (ученика).
Ответ: в первом — 26 учеников, во втором — 29 учеников, а в треть­
ем — 24 ученика.
137- Решение. Пусть в первой корзине — х кг яблок, тогда во второй —
(х + 12) кг, а в третьей — 2х кг яблок. По условию задачи составим урав­
нение: х + (х + 12) 4- 2х = 56; 4х = 56 - 12; 4х = 44; х = 44 : 4; х = 11.
В первой корзине 11 кг яблок, тогда во второй — 11 4- 12 = 23 (кг), а в
третьей — 11 * 2 = 22 (кг). Ответ: в первой — 11 кг, во второй — 23 кг,
в третьей — 22 кг.
138. Купили два рулона ткани, в одном из которых на 10 м ткани больше,
чем во втором. Сколько метров ткани в каждом рулоне, если известно,
что всего купили 50 м ткани?
Решение. Пусть в меньшем рулоне х м, тогда в большем — (х 4- 10) м тка­
ни. Так как всего купили 50 м ткани, составим уравнение: х 4* х + 1 0 = 50;
2х + 10 = 50; 2х = 50 - 10; 2х = 40; х = 40 : 2; х = 20. Тогда: х + 10 = 30.
Ответ: 20 м и 30 м.
139. Решение. Пусть площадь наименьшего участка будет х га, тогда площадь
второго будет составлять 1,5х га, а площадь третьего — (х + 1,5х) га. Исхо­
дя из условия задачи, получаем уравнение: х 4- 1,5х + (х + 1,5х) = 860;
5х = 860; х = 860 : 5; х = 172. Площадь первого участка 172 га, тогда
площадь второго участка составляет 1,5 * 172 = 258 (га), а третьего —
172 4- 258 = 430 (га). Ответ: 172 га, 258 га, 430 га.
х
140. Решение. Пусть в букете было х лотосов. Шиве принесли в жертву — цвет-
о
X X X
ков, Вишну , Солнцу , Бхаване------, а 6лотосов отдали учителю,
5 6 4
X X X X _ X X X X _
значит, получаем уравнение: х = —+ —4 —+ —+ 6; х ---------------------- = 6;
* 3 5 6 4 3 5 6 4
60х —20х —12х - 10х - 15х с Зх с х
-----------------------------------------= 6; — = 6; — = 6; х = 6■20; х = 120.
60 60 20
Ответ: в букете было 120 лотосов.
141. Решение. Пусть у Пифагора было х учеников, из которых математику изу-
X X X
чали —, музыку — —, молчали — — и было 3 женщины. Значит, получа-
х х х л х х х 0 2 8 х - 1 4 х - 7 х - 4 х 0
ем уравнение: х = —+ —+ —+ 3; х -----------------= 3 ; -----------------------------= 3;
к 2 4 7 2 4 7 28
Зх
—г = 3; х = 28. Ответ: 28 учеников.
28
142. Решение. Пусть через х лет отец будет в 3 раза старше сына. Тогда в это
время сыну будет (10 4- х) лет, а отцу будет 3(10 4- х) или (40 4- х) лет,
отсюда: 3(10 4- х) = 40 + х; 30 + Зх = 40 4- х; Зх - х = 40 - 30; 2х - 10;
х = 10 : 2; х = 5. Ответ: через 5 лет.
rg
w
w
w
.4book.org
w
ook.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.or
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4boo
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.o
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4b
.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
.4book.org

23. 143. Пусть сейчас Галке * лет, тогда Сороке — 2* лет. В позапрошлом
году Галке было {х - 2) лет, а Сороке — (2* - 2) лет. Так как Соро­
ка в позапрошлом году была старше Галки втрое, составим уравнение:
2х - 2 = 3(* - 2), откуда; 2х - 2 = Зле - 6; 2х - 3* = -6 + 2; - х = -4 ; х = 4.
Тогда 2х = 2 * 4 = 8. Ответ: Сороке 8лет.
144. Решение. Обозначим расстояние между пристанями через х км. Так
как по течению катер плывет со скоростью 20 4- 2 = 22 (км/ч.), а против
течения — со скоростью 20 - 2 = 18 (км/ч.), то по течению катер плыл
X X
— часов,а противтечения — часов. Поусловиюзадачиполучаемуравнение:
22 18 •
х х 9* +11* 20 к 10 2 л 99
— + — = 5; -------------= 5; -----х = 5; — * = 5; — * = 1; х = — ; * = 49,5.
22 18 198 198 99 99 2
Ответ: 49,5 км‘.
145. Решение. Обозначим расстояние между пристанями через * км. Так как
по течению скорость катера 15 + 2 = 17 (км/ч.), а против течения 15 - 2 =
* X
= 13 (км/ч.), то по течению катер плывет — часов, а против течения —
17 13
часов. По условию задачи получаем уравнение:
х х 1 1 7 * -1 3 * 1 221 ««со е ^ Л„
----------- = —; ---------------= —; х ----- ; * = 27,625. Ответ: 27,625 км.
13 17 2 221 2 8
146. Решение. Пусть расстояние между станциями будет * км. Двигаясь со
скоростью 70 км/ч., состав преодолеет расстояние за — часов, а со ско-
х
ростыо 60 км/ч. — за — часов. Исходя из условия задачи, имеем:
* * 1 7 * - 6 * 1 420
-----= —; ------------------- =—; х ------;х = 210. Ответ: 210 км.
60 70 2 420 2 2
147. Решение. Пусть скорость пассажирского состава * км/ч., тогда скорость
товарного (* - 20) км/ч. За 3 часа пассажирский состав пройдет 3* км,
а товарный за 4 часа — 4 *(* - 20) км. По условию задачи получаем урав­
нение: 3* 4 * (* “ 20) = 10; 3* - 4* + 80 = 10; - * = 10 - 80; - * = -7 0 ;
* = 70. Скорость пассажирского состава — 70 км/ч., тогда скорость товар­
ного 70 —20 = 50 (км/ч.).
Ответ: 70 км/ч., 50 км/ч.
148. Решение. Обозначим скорость велосипедиста на грунтовой дороге как
* км/ч., тогда его скорость на асфальтированной дороге — (* + 4) км/ч.
По грунтовой дороге велосипедист проехал 2* км, а по асфальтированной —
1 км. По условию задачи получаем уравнение:
2* + (* + 4) = 28; 3* = 28 - 4; 3* = 24; * = 24 : 3; * = 8.
8км/ч. — скорость велосипедиста на грунтовой дороге, тогда на асфаль­
тированной дороге его скорость будет составлять 4 + 8 = 12 (км/ч.).
Ответ: скорость на асфальтированной дороге — 12 км/ч., а на грунто­
вой — 8 км/ч.
149. Решение. Обозначим расстояние от станции до турбазы через * км.
х х
До турбазы туристы шли — часов, а назад часов, что на 1 ч. мень-
4 5 .
* * , 5* - 4 *
ше, значит, = 1; ----------- = 1;зс = 20.
4 5 20
Ответ: расстояние от станции до турбазы 20 км.
rg
w
w
w
.4book.org
w
ook.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.or
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4boo
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4book.o
book.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
.4b
.org
w
w
w
.4book.org
w
w
w
w
w
.4book.org