Differencirovanie pokazatelnoj i_logarifmicheskoj_

1. Сычева Г.В.

2. Число e. а > 1.x
ay =
x
y 2=
1
1
0
0
35

3. x
y 3=
x
ey =
e = 2,7182818284590……
0
450
48 0
45

4. Свойства функции
x
ey = :
1. );;()( +∞−∞=fD
2. не является четной ,
ни нечетной;
3. возрастает;
4. не ограничена сверху,
ограничена снизу;
5. не имеет ни наибольшего,
ни наименьшего значений;
6. непрерывна;
7. );;0()( +∞=fE
8. выпукла вниз;
9. дифференцируема.

5. Производная функции y = f(x), где
x
exf =)(
1. 145)0( ==′ o
tgf y = g(x),
где g(x) = f(x-a)
2.
x
ey =
ax
ey −
=
ax
exg −
=)(
( ) 1=′ ag

6. )()( xgeeeexf aaxax
⋅=⋅== −
( ) ( )xgexf a
′⋅=′ ( ) ( )ageaf a
′⋅=′
( ) a
eaf =′( ) 1=′ ag
( )
Cedxe
ee
xx
xx
+=
=
′
∫

7. Пример 1Пример 1. Провести касательную к
графику функции в точке x=1.
x
ey =
Решение: ))(()( axafafy −′+=
1) a=1
2) f(a)=f(1)=e
.)1()(;)( efafexf x
=′=′=′3)
4) y=e+e(x-1); y = ex
Ответ: y=ex

8. ПримерПример 22.
Вычислить значение производной
функции в точке x=3.
124 −
= x
ey
Решение:
124124
4)( −−
=′=′ xx
eey
( ) 44)(3 01234
==′=′ −⋅
eey
Ответ: 4

9. ПримерПример 33.
Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y=0, x=0, x=2,
x
ey =
Решение:
21
1
0
1202
2
0
2
0
−=−=
=== ∫
eee
edxeS xx
Ответ: 12
−=eS

10. ПримерПример 44.
Исследовать на экстремум и схематически
изобразить график функции
x
exy 2
=
Решение:
1)
( ) ( )
( )22
)(
2
2222
+=+=
=
′
+
′
=′=′
xxeexxe
exexexy
xxx
xx
2)
( )+∞∞−= ;)( fD

11. ( )2+=′ xxey x
3)
-2
x
0
+ +-
4) x=-2 – точка максимума
x=0 – точка минимума
( ) ( ) 5,0
4
422 2
222
max ≈==−=−= −−
e
eeyy
( ) 00 02
min == ey

12. Ось абсцисс –
горизонтальная
асимптота
графика.
0 1
1

13. Решите упражнения:
1620, 1623(a,б), 1624(а,б), 1628(а,б), 1629(а,б)
Решить дома: 1621, 1623(в,г), 1624(в,г),
1628(в,г), 1629(в,г), 1631.

14. Натуральные логарифмы:
7ln7log
2ln2log
=
=
e
e
a
x
x
xe
re
e
a
x
r
ln
ln
log
ln
1ln
01ln
ln
=
=
=
=
=

15. 1. );;0()( +∞=fD
2. не является четной ,
ни нечетной;
3. возрастает;
4. не ограничена сверху,
не ограничена снизу;
5. не имеет ни наибольшего,
ни наименьшего значений;
6. непрерывна;
7. );;()( +∞−∞=fE
8. выпукла вверх;
9. дифференцируема.
Функция y=ln x, ее свойства, график.
0 1
1

16. Дифференцирование функция y=ln x.
y=lnx
x
ey =
a
a
P(lna;a)
P
M
M(a;lna)
( ) βtgag =′ ln
( ) ( )
β
β
βα
tg
ctg
tgtgaf
1
900
==
=−==′

17. ( ) βtgag =′ ln
( ) xx
eexg =′=′ )(
( ) aeag a
==′ ln
ln
( )
atg
af
11
==′
β
( )
x
xf
1
=′
( )
βtg
af
1
=′

18. ( )
x
x
1
ln =
′
Cx
x
dx
+=∫ ln

19. Дифференцирование функции
x
ay =
a
ea ln
=
xaxaxx
aaeaea ⋅=⋅=′=′ lnln)()( lnln
axx
ea ln
=
aaa xx
ln)( =′
Например, ( ) ;2ln22 ⋅=
′ xx ( ) .5ln55 ⋅=
′ xx

20. Дифференцирование функции xy alog=
( )
axxa
x
aa
x
xy a
ln
11
ln
1
ln
ln
1
ln
ln
)(log
=⋅=
=
′
⋅=
′






=′=′
ax
xa
ln
1
)(log =′