План факультативного занятия по математике в 8 классе

1. Факультативное занятие по теме "Решение уравнений вида |ax+b|=cx+d."
.
Цели занятия:
• продолжить знакомство с методами решения уравнений, содержащих под знаком модуля
выражение с переменной;
• формирование умения решать данные уравнения, научить выбирать наиболее
рациональный метод решения уравнений;
• создание условий для развития умения преодолевать трудности при решении задач разного
уровня сложности, формирования логического, абстрактного, системного мышления, речи
обучаемых;
• содействовать воспитанию коллективизма, взаимовыручки.
Ход урока
I. Организационный этап: (слайд 1)
 Сегодня мы продолжим знакомство с уравнениями, содержащими под знаком модуля
выражение с переменной. Мы приступим к решению более сложных, но не менее
интересных уравнений.
 Какие уравнения мы с вами уже научились решать? (слайд 2)
(ответы учащихся: вида |ax+b|=c,
|ax+b|=|cx+d|,
|ax+b|=ax+b,
|ax+b|=-(ax+b).)
 Как вы думаете, какие ещё уравнения нам необходимо научиться решать?
(ответы учащихся: вида |ax+b|= cx+d,
 Тема нашего занятия: (слайд 3) "Решение уравнений вида |ax+b|=cx+d."
Я хочу, чтобы на этом занятии вы не только научились решать уравнения такого вида,
но и ещё раз убедились в том, что вдвоём, группой гораздо легче добиться цели,
увидели, как важна поддержка друга, взаимопомощь одноклассников.
II. Разминка.
 Для начала вспомним, как найти модуль числа? (слайд 4)
 В чём заключается геометрический смысл модуля? (слайд 5)
 Что такое |a - b| с точки зрения расстояния? (слайд 6)
 Может ли быть отрицательным значение суммы 2+|x|? Равняться нулю? (слайд 7)
 Может ли равняться нулю значение разности 2-|x|?(слайд 8)
 А теперь проверим себя. Раскройте модуль. (слайд 9)
(слайд 10)
1) |20|; 6)|х2|;
2)|-30|; 7)|а - 3| при а ≥ 3;
3)|25-45|; 8) |b-4| при b < 4;
4) |π – 3|; 9) |-a2 - 3|.
5)|х4+1 |;
 Сколько решений имеет уравнение: (слайд 11)
1) |3x +6|=9 (2 решения)
2) |2x -4|= -6 (ни одного решения) (слайд 12)
3) |2x - 4| = 0 ( 1 решение) (слайд 13)
4) |5a +8| = 5a + 8 (бесконечное множество решений) (слайд 14)
5) |5a +8| = - ( 5a + 8) (бесконечное множество решений) (слайд 15)
6) |5a +8| = |3a - 7 | (2 решения) (слайд 16)
 Таким образом, мы определили, сколько решений имеют уравнения различного вида.
(слайд 17)Решите у доски эти уравнения .
Проверим , верно ли мы определили количество решений уравнений.
(Ученики выходят к доске по одному, решают уравнение , записанное на карточке.)
III. Релаксация (играет тихая мелодия)
 Сделаем разминочку для глаз. (слайды 18-21)
1

2.  (читает учитель)
– Встаньте, поднимите голову вверх, представим, что на нас светит яркое солнышко, своими
лучами оно посылает нам свет, тепло и любовь…
- Наши пальчики- маленькие ручейки, то разливаются, то сливаются, образуя большие реки….
Представим себя на зелёном лугу…
И нам хочется посидеть на травке,
Почувствовать её мягкость,
Травка тянется к солнцу и мы тоже
Тянемся к солнцу всё выше и выше…
– Говорят в народе - “Весна – красна”!
- От чего красна весна? – (от радости сердца)
– Улыбнитесь друг другу, мне, я – вам…
- Подарим друг другу радость!
IV. Изучение нового материала. (слайд 22)
Таким образом, мы с вами повторили способы решения некоторых уравнений
1. (слайд 23)Уравнения вида |ax+b|=c, где с – любое число.
Если с>0, то уравнение имеет 2 корня. По определению абсолютной величины данное
уравнение распадается на два уравнения: ax+b=c или ax+b= - c.
Если с=0, то уравнение имеет 1 корень. ax+b= 0.
Если с<0, то уравнение корней не имеет.
2. (слайд 24)Уравнения вида |ax+b|=|cx+d| равносильно совокупности уравнений ax+b=cx+d или
ax+b= - (cx+d).
3. (слайд 25)Уравнение вида |ax+b|= ax+b равносильно неравенству ax+b≥0, уравнение вида |
ax+b|=-(ax+b) равносильно неравенству ax+b≤0.
4. (слайд 26)Рассмотрим методы решения уравнений вида |ax+b|=cx+d. В этом нам помогут
заранее созданные группы. Класс разбит на 4 группы, каждая группа готовила презентацию по
заранее выбранному методу, которая и будет представлять, и защищать ее. (слайд 27)
1 группа. Метод интервалов.
2 группа. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
3 группа. Метод замены уравнения совокупностью систем.
4 группа. Графический метод.
 Метод интервалов. (слайд 28)
Для того, чтобы решить уравнение, содержащее неизвестную под знаком модуля, необходимо
освободиться от знака модуля, используя его определение. Для этого следует: (слайд 29)
1) Найти значение неизвестной, при которых выражение, стоящее под знаком модуля, обращается
в нуль;
2) Разбить область допустимых значений уравнения на промежутки, на каждом из которых
выражения, стоящие под знаком модуля сохраняют знак;
3) На каждом из этих промежутков уравнение записать без знака модуля, а затем решить его.
Объединение решений, найденных на всех промежутках, и составляет решение исходного
уравнения.
Пример 1. Решить уравнение: |x+4|=2x -10. (слайд 30)
x + 4 = 0 при x = -4.
При х < - 4 получим уравнение При х ≥ - 4 получим уравнение
- х - 4 = 2х -10 х+4=2х-10
-3х= - 6 х=14 – удовлетворяет условию х ≥ - 4.
х=2 – не удовлетворяет условию х < - 4 .
Ответ: 14.
 Возведение обеих частей уравнения в квадрат. (слайд 31)
Для того, чтобы решить уравнение содержащее модуль, необходимо освободиться от знака
модуля. Для этого следует: (слайд 32)
возвести в квадрат обе части уравнения, решить его. Но не забывать, что при возведении в квадрат
появляются лишние корни, поэтому надо найти ОДЗ и выявить, принадлежат ли корни данному
условию или просто подставить корни в уравнение. Трудность пока может возникнуть, если
получим уравнение, которое ещё не умеем решать ( не линейное)
Пример 2. Решить уравнение: |х - 6| = х +14. (слайд 33)
Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:
(х – 6)2 = (х + 14)2,
2

3. х2 – 12х + 36 = х2 + 28х + 196,
х2 – х2 – 12х – 28х = 196 – 36,
- 40х = 160.
х = - 4.
Подставим в уравнение |-4-6|= -4+14.
Ответ: -4.
 Метод замены уравнения системой. (слайд 34)
Уравнение вида |ax+b|=cx+d равносильно
 cx + d ≥ 0,  cx + d ≥ 0,
 или 
 ax + b = cx + d ,  ax + b = − (cx + d ),
Пример 3. Решить уравнение |3х+10|=5х-4. (слайд 35)
Получим
 5х − 4 ≥ 0,  5х − 4 ≥ 0,
 или 
 3х + 10 = 5х − 4,  3х + 10 = − (5х − 4),
 5х ≥ 4,  5х ≥ 4,
 
 3х − 5х = − 4 − 10,  3х + 5х = 4 − 10,
 х ≥ 0,8,  х ≥ 0,8,
 
 − 2 х = − 14,  8х = − 6,
 х ≥ 0,8,  х ≥ 0,8
 
 х = 7,  х = − 0,75
х=7 решений нет
Ответ: 7.
 Графический метод. (слайд 36)
Рассмотрим метод решения уравнения, в котором будем использовать построения на
координатной плоскости. Этим методом, теоретически, можно решать уравнения с модулем
любого вида, однако практическая реализация метода иногда бывает довольно сложной.
Суть метода состоит в следующем. (слайд 37)
Решить уравнение f(х)=q(x) это значит найти все значения х, для которых значение функций y=f(x)
и y=q(x) равны, т.е. найти абсциссы всех точек пересечения графиков этих функций. Если же
графики не имеют общих точек, то уравнение не имеет корней. Следует, однако, иметь в виду, что
точное построение графиков функций практически невозможно, поэтому решение, найденное
графическим способом, требует проверки подстановкой.
Пример 4. Решить уравнение: |х+3|= -4х + 8. (слайд 38)
3

4. Ответ: 1.
V. Решение уравнений. (слайд 39)
Запишите в тетради следующие уравнения:
1) |4х-5| = - 6х + 2.
2) |3х-10| = х-2.
Какой метод вам понравился больше всего? (слайд 40 )Давайте решим этим методом следующие
уравнения. Члены __ группы являются консультантами.
Ответ: 1) -1,5. 2)3; 4.
VI. Итог занятия.
Мы с вами рассмотрели различные методы решения уравнений, содержащих переменную под
знаком модуля . Эти же методы можно применять при решении любых уравнений вида |f(х)|=q(x),
где f(х) и q(x) – это любые выражения с переменной. В этом году вы научитесь решать квадратные
уравнения и на факультативных занятиях, дополнительных занятиях, при самостоятельной работе
сможете углубить свои знания.
 Скажите, какой же метод вам понравился больше всего?
 Как вы думаете, чем мы будем заниматься на следующем занятии, коль уравнения с
модулем мы решать уже умеем? Решать неравенства с модулем.
4

5. Ответ: 1.
V. Решение уравнений. (слайд 39)
Запишите в тетради следующие уравнения:
1) |4х-5| = - 6х + 2.
2) |3х-10| = х-2.
Какой метод вам понравился больше всего? (слайд 40 )Давайте решим этим методом следующие
уравнения. Члены __ группы являются консультантами.
Ответ: 1) -1,5. 2)3; 4.
VI. Итог занятия.
Мы с вами рассмотрели различные методы решения уравнений, содержащих переменную под
знаком модуля . Эти же методы можно применять при решении любых уравнений вида |f(х)|=q(x),
где f(х) и q(x) – это любые выражения с переменной. В этом году вы научитесь решать квадратные
уравнения и на факультативных занятиях, дополнительных занятиях, при самостоятельной работе
сможете углубить свои знания.
 Скажите, какой же метод вам понравился больше всего?
 Как вы думаете, чем мы будем заниматься на следующем занятии, коль уравнения с
модулем мы решать уже умеем? Решать неравенства с модулем.
4

6. Ответ: 1.
V. Решение уравнений. (слайд 39)
Запишите в тетради следующие уравнения:
1) |4х-5| = - 6х + 2.
2) |3х-10| = х-2.
Какой метод вам понравился больше всего? (слайд 40 )Давайте решим этим методом следующие
уравнения. Члены __ группы являются консультантами.
Ответ: 1) -1,5. 2)3; 4.
VI. Итог занятия.
Мы с вами рассмотрели различные методы решения уравнений, содержащих переменную под
знаком модуля . Эти же методы можно применять при решении любых уравнений вида |f(х)|=q(x),
где f(х) и q(x) – это любые выражения с переменной. В этом году вы научитесь решать квадратные
уравнения и на факультативных занятиях, дополнительных занятиях, при самостоятельной работе
сможете углубить свои знания.
 Скажите, какой же метод вам понравился больше всего?
 Как вы думаете, чем мы будем заниматься на следующем занятии, коль уравнения с
модулем мы решать уже умеем? Решать неравенства с модулем.
4

7. Ответ: 1.
V. Решение уравнений. (слайд 39)
Запишите в тетради следующие уравнения:
1) |4х-5| = - 6х + 2.
2) |3х-10| = х-2.
Какой метод вам понравился больше всего? (слайд 40 )Давайте решим этим методом следующие
уравнения. Члены __ группы являются консультантами.
Ответ: 1) -1,5. 2)3; 4.
VI. Итог занятия.
Мы с вами рассмотрели различные методы решения уравнений, содержащих переменную под
знаком модуля . Эти же методы можно применять при решении любых уравнений вида |f(х)|=q(x),
где f(х) и q(x) – это любые выражения с переменной. В этом году вы научитесь решать квадратные
уравнения и на факультативных занятиях, дополнительных занятиях, при самостоятельной работе
сможете углубить свои знания.
 Скажите, какой же метод вам понравился больше всего?
 Как вы думаете, чем мы будем заниматься на следующем занятии, коль уравнения с
модулем мы решать уже умеем? Решать неравенства с модулем.
4