ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА ДЛЯ 9 КЛАССА

^ : В СМ СААКЯН СИШВАРЦБ
ДИДАКТИЧЕСКИЕ
МАТЕРИАЛЫ ПОАЛГЕБРЕ
И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА
ДЛЯ 9 КЛАССА

У к а з а т е л ь у ч е б н о г о м а т е р и а л а
с о о т в е т с т в у ю щ е г о с о д е р ж а н и ю с а м о с т о я т е л ь н ы х р а б о т
Г лава I
«Тригонометрические функции»
Содержание учебного материала
Пункты
учебного
пособия
Номера соответ
ствующих само
стоятельных работ
Преобразование тригонометрических выра
жений (повторение) 1,2 С — 1 по С — 4
Функция 3 С — 5
Исследование функций 4 С — 6, С — 7
Периодичность тригонометрических функций 5 С — 8
Исследование функции y = sin х 6 С — 9
Исследование функции у = cos х 7 С — 10
Исследование функции y — t g x 8 С — 11
Арксинус, арккосинус и арктангенс 10 С — 12
Решение простейших тригонометрических
уравнений И С — 13
Решение простейших тригонометрических
неравенств 12 С — 14
Примеры решения тригонометрических урав
нений и систем уравнений 13 С — 15 по С — 17

Б.М.ИВЛЕВ
С.М.СААКЯН
С.И.ШВАРЦБУРД
ДИДАКТИЧЕСКИЕ
МАТЕРИАЛЫ ПОАЛГЕБРЕ
ИНАЧАЛАМ АНАЛИЗА
Р Я I КЛАССА
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Рекомендовано
Главным управлением
общ его среднего образования
М инистерства просвещ ения
СССР
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
о Л
P Q
г П
Г
hr
iJ Щ j-.:
55
".
"Э
53
сю
МОСКВА
„ПРОСВЕЩЕНИЕ" 1987

ББК 74.262
И25
И25
Р е ц е н з е н т ы :
учитель-методист школы № 67 Москвы Л. И. Звавич;
учитель-методист школы № 420 Москвы Б. П. П игарев
Ивлев Б. М. и др.
Дидактические материалы по алгебре и началам анализа
для 9 класса: Пособие для учителя / Б. М. Ивлев, С. М. Са-
акян, С. И. Шварцбурд.— 2-е изд., перераб.— М.: Просвеще
ние, 1987.— 143 с.: ил.
Д и дактические м атериалы предназначены д л я учителей средней ш колы в качестве д о
полнительного пособия. Тексты сам остоятельны х и контрольны х работ даны в соответствии
с действую щ им учебным пособием «А лгебра и н ачала ан али за, 9 — 10».
. 4306010000—732 , „„
I — инф. письмо — 87 ББК 74.262
103(03)—87 w
© Издательство «Просвещение», 1987

ПРЕДИСЛОВИЕ
В пособии содержатся самостоятельные и контрольные работы
по алгебре и началам анализа, проверочные работы по курсу IX
класса, материал для итогового повторения. Дидактические
цели письменных работ того и другого вида учителям известны.
Самостоятельные работы обозначаются буквой С с соответст
вующим номером. Например, С-3 — это третья самостоятельная
работа. Обычно самостоятельные работы рассчитаны примерно на
10— 15 мин. Они дают представление об уровне усвоения мате
риала и выполняют большую обучающую роль. Самостоятельные
работы могут быть проведены на различных этапах урока с
последующим обсуждением результатов на том же уроке. Это
полезная форма работы для выработки навыков решения основных
типов задач. Проведение таких работ может носить контролирую
щий характер. При этом работы учащихся проверяются учителем
после урока. В журнал могут быть выставлены не все оценки.
Некоторые самостоятельные работы содержат материал по
2—3 пунктам учебного пособия. Такие самостоятельные работы
могут быть использованы учителем на одном или двух уроках
в соответствии с его поурочным планом.
По усмотрению учителя любая из работ может быть предложе
на учащимся не полностью.
Работы («С») даны в 10 вариантах. Первые два из них, как
правило, несколько легче остальных вариантов. Последние два
варианта содержат задания повышенной сложности. Они могут
быть использованы для работы с учащимися, проявляющими
повышенный интерес к математике. Эти задания могут быть
даны таким ученикам после выполнения ими основной работы
наравне со всеми учащимися класса в оставшееся время или
использованы в качестве необязательных заданий для домашней
работы, а также на занятиях математических кружков.
Контрольные работы обозначены буквой К с соответствующим
номером. Некоторые упражнения вариантов 3 и 4 труднее
по сравнению с соответствующими заданиями вариантов 1 и 2.
з

Необязательные задания контрольных работ адресованы уча
щимся, проявляющим повышенный интерес к математике. Они вы
полняются на отдельных листочках и сдаются учителю в случае
полного решения задания. В противном случае работа над ними
может быть продолжена дома или на занятии математического
кружка.
Материал для итогового повторения содержит 8 вариантов.
Здесь представлены все основные типы задач по курсу IX клас
са. Эти варианты заданий могут быть разобраны на уроках и в
связи с этим одновременно повторены соответствующие вопросы
теории. Частично их можно использовать для домашних письмен
ных работ, в процессе выполнения которых учащиеся приводят
краткие теоретические обоснования, готовятся к выполнению
итоговой двухчасовой работы по курсу IX класса. В конечном
счете эта работа способствует выработке специальных умений и
навыков решения задач, повышению уровня математической гра
мотности учащихся.
В конце пособия даны ответы к большинству заданий самостоя
тельных, контрольных и проверочных работ, к упражнениям для
итогового повторения.
Замечания и предложения просим направлять по адресу: Моск
ва, 129846, 3-й проезд Марьиной рощи, д. 41, издательство «Про
свещение», редакция математики.
Авторы

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ (С)
Вариант 1
С—1
1. Выразите в радианной мере величины углов 60° и 144°.
2. Выразите в градусной мере величины углов ^ и Щ-.
3. С помощью таблиц или калькулятора найдите радианную
меру угла:
а) 49°; б) 76°7'. Найдите значения синуса и косинуса этих
углов.
4. С помощью таблиц или калькулятора найдите градусную
меру угла:
а) 0,8600; б) 1,2369.
С—2
1. Докажите справедливость равенства
sin4 а —2 sin2 к cos2 а + cos4 а j gjn ^
(sin a + cos а)2
2. Определите знак выражения:
a) cos 700° tg 380°; б) cos (— 1) sin (—2).
2 я
3. Найдите tg а, если известно, что c o s a = ^ - , 0 < a < —•
С—3
1. Вычислите: а) s in ( — ; б) ctg( —600°).
2. Упростите выражение
l+ ctg ()x + a ) t g ( ^ — a) .
3. Докажите тождество
cos (2a + л) = cos2( a — ^ + c o s (a + л) sin ^ a + -|-) .
5

1. Вычислите 4 sin 37°30' cos 37°30' sin 15°.
2. Известно, что cos а = -|r, j L< <*< 2л ■Найдите cos 2а и tg 2а.
(sin a —cos а)2— 1+ 4 sin 2а.
С - 4
С - 5
1. Найдите область определения функции f, заданной форму
лой:
а) б> /W = V 4 ? ^ T .
2. Для функции / (x) = (x — I)4 найдите /(2) и / ( 1 д/*).
3. Постройте график функции / (х) = 3 —2х —х2.
С - 6
1. Докажите, что функция /(х) = л:4—2х2—sin2Зх является
четной.
2. Докажите, что функция f ( x ) = x 3—3x-f-sin2x является не
четной.
С - 7
1. Найдите нули функции у — 2х2—х и координаты вершины
соответствующей параболы. Начертите схематически график
функции у и с его помощью найдите промежутки возрастания
и убывания этой функции.
2. Докажите, что функция f(x) = x5--х возрастает на всей
числовой прямой.
6

С — 8
1. Пользуясь периодичностью, четностью или нечетностью со
ответствующей тригонометрической функции, запишите данное
значение так, чтобы аргумент был выражен наименьшим поло
жительным числом градусов или радиан:
a) cos 177°; б) sin 3521°; в) c tg ^ y -.
2. Упростите выражение sin (2л:+ 4л) —2 sin (* + л) cos (х — л).
3. Запишите (без доказательства), чему равен наименьший по
ложительный период функции:
a) f(x)= sin Ц- б) f(x) = cos7x; в) f (х) = t g х .
С - 9
1. Отметьте на графике функции y — sinx множество точек, для
которых соответствующие значения синуса удовлетворяют урав
нению sin х = ~ .
О
2. Запишите промежутки возрастания и убывания функции
y = sin — .
3. Найдите область значений функции у = 1—
С—10
1. Запишите промежутки знакопостоянства функции
f ( x ) = cos у -.
2. Найдите область определения функции f (х) = —1— .
COS
3. Запишите точки максимума и минимума функции f (х) =
= cos 5х.
С -1 1
1. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt,
для которых соответствующие значения тангенса удовлетворяют
уравнению t g / = —3,5.
2. Найдите область значений функции f(x) = 3 —tg2x.
f{x) = tg4x.
1 . ( X , л
2 S ( 3 + 1з) '
7

1. Найдите значение: a) arc sin ^ —у -^ ; б) arccos^—у ) .
2. Вычислите arctg 1+ arccos 1.
3. Найдите с помощью таблиц или калькулятора:
a) arcsin (—0,9); б) arccos 0,179 ; в) arctg у .
С—12
Решите уравнение: a) cosjc= —у - ;
С—13
б) sin Зл:= — 1; в) c tg ^ x - f y ) = —л/З.
С—14
Решите неравенство:
a) s i n j c ^ y б) tg 3 x > V 3 .
С—15
Решите уравнение:
а) 2 cos2x + 2 sin х = 2,5; б) sin х = —д/3 cos х.
С—16
Докажите тождество: а) 2 sin22а + cos 4а = 1;
б) 2 sin (75° —a) cos (75° + а ) = у — sin 2а.
С—17
Решите систему уравнений
( x + y = f ;
sin2x + sin2г / = у .
8

С— 18
На рисунке 1 изображены графики функций / (х) и g (х).
-2 -7 О
у=д(х)
Рис. 1
Ответьте на вопросы в каждом из двух случаев.
а) Чему равно значение функции в точке х = — 1?
б) Существует ли предел функции в точке х = —2?
в) Существует ли предел в точке х = — 'и если да, то чему он
равен? Запишите это символически (в случае, если предел
существует).
1. Известно, что lim f (х) = 3, lim g (x) =
x-*-2 x -> 2
C—19
1. Найдите предел
x -f-'l
в точке 2 для функции:
а) 3f(x) — g(x); б) 3 f(x)g2(x).
2. Вычислите, пользуясь теоремами о пределах:
„3__„ 2 ^ qv ga) lim (З х —х + 2);
х-*-1
urn
Зх— 1
2 Г + 1
С—20
1. Начертите график функции /(х) = 3 —2х. Выразите прира
щение функции в точке хо через хо и Ах. Найдите А/ (хо), если
Х о — 1 и Ах = 0,2. Дайте иллюстрацию результатов на рисунке.
2. Найдите Ад ^ — для ФУНКДИИ /(х )= х 2—х. Вы
числите Ад ^ при хо= 0 и Ах = 0,1; 0,001; 0,00001. Найдите
lim Щ аА >если-х0= 0.
Дх->0
9

С—21
Пользуясь определением производной, найдите производную
функции / в точке х
a) f(x ) = 4 — 7x; б) f(x )= -j-.
С—22
1. Найдите производную функции:
a) f ( x) = x 5- 2х/х; б) f ( x ) = = ~ j .
2. Вычислите производные функции f (х) = Зх — 4х3 в точках
1; 5; х; x-j-2.
С—23
Решите уравнение f (х) = 0 и неравенства f '( x ) > 0 и f ' ( x ) < О
для функции:
a) f ( x ) = x 2— З х + 1 ; б) f ( x ) = ~ ^ .
С -2 4
1. Найдите область определения функции:
а ) б)
2. Даны функции f ( x ) = ^ - j и g(x) = ^fx. Задайте с помощью
формул функции / (g(x)) и g (/ (х)).
а) / (х)= (4 —Злг)100; б) g ( x ) = V ^ + l-
С—25
Найдите производную функции:
а) f(x) = sin2x —cos Зх;
б) f(x) = t g x — c t g ( * + ^ -); в) f(x) = sin2 *.
10

С—26
yb 3^2
1. Запишите промежутки непрерывности функции / (х.)= х"{Г—2у
2. Решите методом интервалов неравенство: а) 2а:2—8 > 0 ;
6 J ( х - 2 ) ( х + 4 ) ( х - 6 ) ^ х2- 11Л'—26 ^ Q
Зх —|—2 X I- 4
С — 27
1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функ
ции / (х) = х3+ 27 в точке пересечения этого графика с осью
абсцисс.
2. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x) — 5 — ~ х 2 в точке с абсциссой х = 3. Выполните рисунок.
С—28
1. Вычислите приближенно xjl +0,0008, пользуясь формулой
ц /Г + Д я ^ 1-f-- - .
2. Вычислите приближенно значение 1,0000750°.
С—29
1. Материальная точка движется по прямой по закону s (t) =
= 16^ —213. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени
i = 2.
2. Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью щ, дви-
жется по закону h (f)=vof— у-., где h — путь в метрах, t — время
в секундах. Найдите наибольшую высоту, которой достигнет тело,
если цо = 60 м/с, g = 1 0 м /с2.
С—30
1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
f ( x ) = x + - J - .
2. Найдите критические точки функции j/==a:3+ 6a:2— 15х —3.
Какие из этих точек — точки максимума, а какие — точки мини
мума функции?
И

С—31
Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функцию
f ( x ) = ± - x — x3.
С -3 2
1. Исследуйте квадратичную функцию у — З а
стройте ее график.
2. Решите неравенство:
Юлг-ЬЗ и по-
а) х2— 17л:— 1 8 ^ 0 ; б) 9л:2— 12х + 4 > 0 .
С -3 3
Исследуйте функцию
г / 2х—3 1
f M - 2 + х 1
и постройте ее график.
С—34
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
II
1
00
Xю
на отрезке [— 1; 2].
2. Разбейте число 10 на два неотрицательных слагаемых так,
чтобы сумма квадратов этих слагаемых была наименьшей.
С -3 5
1. Проверьте, является ли функция у — s i n решением диф
ференциального уравнения у" = — —•у.
2. Напишите дифференциальное уравнение гармонического
колебания у — 2 cos (х —л). Чему равны амплитуда, частота и на
чальная фаза этого колебания?
12

1. Найдите t g ^ a — , если известно, что sin
С—36
а — —
п ^ -— < а < л .
sin (a + Р) + sin (a — Р)
cos a cos р
3. Найдите без таблиц
cos 75° + cos 15°.
VS*
Исследуйте функцию и постройте ее график:
а) у = s in ^ -; б) у = cos(x + ^-) ; в) у = tg 2лх.
С -3 7
С -3 8
1. Вычислите:
а) 2 arccos^ — ; б) arcsin -Jr-—arctg (—т/3).
2. Решите уравнение:
a) sin^* —у-) = — 1; б) cos2x = sinx.
a) cos 2 х < — ; б) tg (x + -|-) > д/3.
С -3 9
1. Решите квадратичное неравенство:
а) 2х2—Зх —5 ^ 0 ; б) х2+ 4 х + 1 > 0 .
2. Решите неравенство методом интервалов:
а) (х + 2)3(х —3)2(х + 4 )< 0 ; б) p i |_ —р 2 _ < 0 .
13

Найдите производную функции: а) 2x6+ 20y*; б) x c tg * ;
в) tg у -; г) cos х2', д) у —-р-.
С -4 0
С - 4 1
ции / (*)=cos (лг+ З) в точке с абсциссой х — — 3.
2. Вычислите приближенно:
а) 1,000000730°; б) sin ^ , считая я «3,1416.
С— 42
1. Исследуйте функцию f (х) = х3-~3х — 5 и постройте ее
график.
у = 4 х + — на отрезке [0,5; 4].
3. Материальная точка массой 3 кг движется по прямой
согласно уравнению s (<)= 2/3—2/ + 3 (s измеряется в метрах,
t — в секундах). Найдите действующую на нее силу в момент
времени / = 5 с.
Вариант 2
С — 1
5зх 17я
2. Выразите в градусной мере величины углов у и — .
меру угла:
а) 31°; б) 86°23'.
Найдите значения синуса и косинуса этих углов.
меру угла:
а) 0,5400; б) 1,4327.
14

sin4 а + 2 sin2a cos2 a + cos4 a + sin2a + cos2a = 2.
a) sin 300° cos 400°; б) sin (— 1) cos (—2).
1 Jl
3. Найдите cos a, если известно, что s i n a = — ; — < а < я .
o Z
с -з
1. Вычислите: а) co s-Ц^-; б) tg 600°.
о
l + t g ( n + oc)ctg(y- —а) .
cos (я —2a) = sin (я —a) c o s ^ —sin2^ a - |- - ^ .
С—2
С - 4
1. Вычислите 4 sin 7°30' cos 7°30' sin 75°.
2. Известно, что sin a = |^ - , 0 < a < - ^ . Найдите sin 2a и
Z o Z
ctg 2a.
(sin a cos a)2+ 1—sin 2a.
С—5
1. Найдите область определения функции /, заданной фор
мулой:
а) fM = 3xr-2x ’ б) ^ (х)=л/9х2— 4 .
2. Для функции f(x) = ( x + l f найдите /(1) и 1).
3. Постройте график функции / (х) = 5 —4х —х2.
15

С - 6
V
I — X 2
—-2 является четной.
2. Докажите, что функция g(x) = 7x3+ sin является нечет
ной.
С - 7
1. Найдите нули функции у — 4х2— х и координаты вершины
соответствующей параболы. Начертите схематически график
функции и с его помощью найдите промежутки возрастания
и убывания этой функции.
2. Докажите, что функция f ( x ) = x 3+ Зх возрастает на всей
числовой прямой.
С - 8
1. Пользуясь периодичностью, четностью или нечетностью
соответствующей тригонометрической функции, запишите дан
ное значение так, чтобы аргумент был выражен наименьшим
положительным числом градусов или радиан:
a) tg 139°; б) cos 2743°; в) sin ^ .
2. Упростите выражение c o s^ 4 a :+ -^ + 2 sin (2х —л) cos (2х +
+ я ).
3. Запишите (без доказательства), чему равен наименьший
положительный период функции:
а) / (x)= cos ; б) f(x) = tg5x; в) f(x) = s i n ( j — .
С - 9
1. Отметьте на графике функции y = sinx множество точек,
для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют
I
уравнению sin х = — —.
f/= sin 4х.
3. Найдите область значений функции f (х) — 2 sin ^ Зх — i-j-j + 1.
16

С—10
1. Запишите промежутки знакопостоянства функции f (х)--
= cos Зх.
2. Найдите область определения функции f (х)-- X
C0ST
3. Запишите точки максимума и минимума функции f (х)=
— cos -f-
5
C - l l
1. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt, для
которых соответствующие значения тангенса удовлетворяют
уравнению tg t = —3.
2. Найдите область значений функции f (х) = tg2x + 3.
f(
С— 12
f Г;~ Найдите значение: a) arcsin ^ — ^ ; б) arccos(— 1).
| 2d Вычислите arctg (— 1)+ arcsin (— 1).
1
3. Найдите с помощью таблиц или калькулятора:
I) arcsin 0,8; б) arccos (—0,273); в) arctg л.
т щ в п в г * ——
С— 13
Решите уравнение: a) t g x = —д/З;
б) cos22x = 1 ; в) sin^x+ -j-^ = - ^ - .
С— 14
a) cos л:> ; б) tg — 1.
17

С—15
а) 2 sin2х — 2 cos х — б) sin 2 х = —cos 2х.
С—16
Докажите тождество:
а) sin4а + cos4 а = 1—0,5 sin2 2а;
б) 4 cos (45° + а) cos (45° —а) = 2 cos 2а.
С—17
Решите систему уравнений:
(
2я
Х— У=1Г,
I 1co s х -f- COS У =-Х ~-
С—18
На рисунке 2 изображены графики функций f (х) и g (х).
Рис. 2
Ответьте на вопросы в каждом из двух случаев.
а) Чему равно значение функции в точке * = 1 ?
б) Существует ли предел функции в точке х = 0?
в) Существует ли предел функции в точке х = 1 и если да,
то чему он равен? Запишите это символически (в случае, если
предел существует).
18

1. Известно, что lim / (jc) = —2; lim g(jc)= 5. Найдите пре-
х-*- — 3 х-*- — 3
дел в точке —3 для функции:
a) 3f(x) — 2g{x); б) 2 f (х) g (х).
2. Вычислите, пользуясь теоремами о пределах:
a) lim (х3- 4 х - 3 ) ; б) lim -*£±1.
х —►— 1 х-+2 X — 1
С—19
С—20
1. Начертите график функции f (х)=4 — 3х. Выразите прира
щение функции в точке хо через хо и Да:. Найдите Af (дсо), если
Хо= — 1 и Дл:= 0,3. Дайте иллюстрацию полученных результа
тов на рисунке.
2. Найдите J (*>+^0~ f М_ для функции f (х) = х2+ х.
Вычислите -Ад ^ при хо= 0 и Да:= 0,1; 0,001; 0,00001. Найдите
lim , если х0= 0.
Ах-*~0 А Х
С—21
функции f в точке х:
a) f(x) = Б— 6х- б) / (х) = — ~ .
С—22
а) / (х) — 2х7+ 4л[х б)
2. Вычислите производную функции f (х) = 2х2--х3 в точках
2; 4; х х —3.
19

Решите уравнение f' (х) = 0 и неравенства / ' (л')>0 и /' (х )< 0
a) f ( x ) = x 2+ Зх — З; б) =
С—23
С -2 4
б)
2. Даны функции / (х)= и g (х)= л[х. Задайте с помощью
формул функции f(g(x)) и g(f(x)).
а) /(*) = (3 - 2 х ) 160; б) g(x) = x / - x 2.
a) f(x)=cos 2х — sin Зх; б) f (*) = ctg * + tg 2-);
в) f (x) = cos2x.
fix)
1. Запишите промежутки непрерывности функции
х4+ Зх3
С—25
С—26
х (х + 2)
2. Решитеметодоминтервалов неравенство: а) Зх2—27 < 0 ;
(х 1) (л:+ 3) (* 5) . •. х 2 9х22.— ~
б ) 2 Й Д ^ U’ В-) ~ Т + 5 > а
С—27
1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику
функции f (х) = х3— 27 в точке пересечения этого графика с осью
абсцисс.
f(x) — 2 — х2 в точке с абсциссой х = —3. Выполните рисунок.
20

1. Вычислите приближенно д/1 —0,000016, пользуясь формулой
д / Г + Л ^ « 1 + ^ .
2. Вычислите приближенно значение 0,99999996300.
С—28
С—29
1. Материальная точка движется по прямой по закону s (t)=
— 2 t - 3 t 3. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени
t = l .
2. Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью о0,
р/2
движется по закону h(t) — vot—^ - , где h — путь в метрах, t —
время в секундах. Найдите наибольшую высоту, которой достиг
нет тело, если о0= 40 м/с, g = 1 0 м/с .
С—30
f ( x ) = x + ~ .
2. Найдите критические точки функции у — х3— 6х2— 15х + 7.
Какие из них — точки максимума, а какие — точки минимума
функции?
С—31
Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функ
цию
f (х)— 48х— х 3.
С—32
1. Исследуйте квадратичную функцию у = 2х2+ 5х + 2 и по
стройте ее график.
a) *2+ 1 5 * - 1 6 > 0 ; б) 4*2+ 1 2 * + 9 < 0 .
21

С—33
Исследуйте функцию
/ W - *+31— 2х
С -3 4
у — 2х* —8х
на отрезке [—2; 1].
2. Разбейте число 18 на два неотрицательных слагаемых
так, чтобы произведение квадрата первого слагаемого и вто
рого слагаемого было бы наибольшим.
С—35
1. Проверьте, является ли функция y = sin 2х решением диф
ференциального уравнения у" = —2у.
2. Напишите дифференциальное уравнение гармонического
колебания у = 3 cos (х + я). Чему равны амплитуда, частота и
начальная фаза этого колебания?
С—36
1. Найдите tg ^ a + -j-^ , если известно, что c o s a = - ^ ,
0 < « < f .
sin a cos (я + «) cos (л — 2a)
cos 4a
3. Найдите без таблиц
sin 75° —sin 15°.
22

С—37
a) t/= sin Зл:; б) y — cos-~- в) y = tgnx.
п
1
со
оо
1. Найдите значения:
a) ar ccos^— ; б) arcsin —arctg (— 1).
a) cos^x + y-^ = — 1; б) cos 2х = cos х.
a) s in 2 x > -|-; б) tg (x + - y ) > l .
С -3 9
1. Решите квадратичное неравенство:
а) х 2—Зл:— 1 0 ^ 0 ; б) х2—6 л :+ 1 > 0 .
а) (х— 1) (х + 2)2(х — 4 )< 0 ;
б) - 4 ~ — ^ > 0 .х —4 х —9
С -4 0
а) х7—4у/л:; б) x t g x в) c tg -|-;
г) sin х2; д)
23

С—41
ции f (x)= sin (х — 3) в точке с абсциссой х0= 3.
а) -/0>99999996; б) sin , считая я«3,1416.
С—42
1. Исследуйте функцию f(x)— x3—3x-j-5 и постройте ее
график.
4
У = х - - — на отрезке [1; 4].
3. Материальная точка массой 4 кг движется по прямой со
гласно уравнению s (t) = 3t + 2t3 (s измеряется в метрах, t — в
секундах). Найдите действующую силу в момент времени t = Зс.
Вариант 3
С -1
1. Выразите в радианной мере величины углов 64°, 160°.
2. Выразите в градусной мере величины углов l-j-я .
О 4
3. Отметьте на единичной окружности точку Р3п . Назовите
т
абсциссу и ординату этой точки, sin и cos .
С—2
1. Дано: sin а = —4~, 1 8 0 °< а < 2 7 0 °. Найдите cos а и ctg а.
5
16 sin4а — (sin2 а — 3 cos2 а)2 = 24 sin2 а — 9.
24

С - 3
1. Упростите выражение sin (180° —а) —с°*~^ 8—270^j"'
2. Вычислите sin 105°-cos 15° + sin 15°-sin 165° + tg225°.
С - 4
1. Дано: s in a = 4". 9 0 ° < a < 1 8 0 ° .
Найдите: а) sin 2a; б) sin (60° —а); в) tg(45° + a).
sin (^~—|-л^ cos х —cos ^ —|- xj sin х — 0,5.
С - 5
1. Дана функция
f /и —1 *2* еСЛИ
' ' ' X 2х, если х < 0.
а) Найдите /(0), / ( — 1), /(1), /(2).
б) Начертите график данной функции.
2. Найдите область определения функции
^ 2х2—5 •
С - 6
Исследуйте на четность функцию:
а) б) ф M = 2*5+ 3 ctgx.
С — 7
Начертите графики функций:
а) у = х2— 3; б) у = х2— 4х--4; в) у = 0,5х2—2х —2,5.
В примере в) найдите множество значений х, при которых
У < - 2,5.
25

a) sin (-1470°); б) cos (-6 9 0 °); в) tg (-1 3 2 0 °).
2 cos ^ cos а
cos (n + a )-sin 3^ - ^ - + a ^ — sin (л — a) cos3^ - ^ + a ^
С—8
С—9
Начертите график функции y = sinx на отрезке [—л; 2,5л].
Отметьте на этом графике множество точек, для которых выпол
няются условия: а) sin лг= 0,5; б) s in x = 'l; в) sin x > 0 ,5 . Вы
пишите соответствующие значения х, при которых выполняется
каждое из условий.
С—10
Начертите график функции у = cos х на отрезке [—л; 2,5л].
няются условия: а) cosx = 0,5; б) c o s x = l; в) c o sx > 0 ,5 . Вы
пишите соответствующие значения х, при которых выполняется
каждое из условий.
С—11
Начертите график функции y = t g x на отрезке [—л; 1,5л].
няются условия: а) t g x = l ; б) t g x < l . Выпишите соответ
ствующие значения х, при которых выполняется каждое из
условий.
С—12
Вычислите: а) ar csi n^— ; б) arctg УЗ;
в) sin^arccos^ —^ 0 ) ; г) tg ^ 2 arcsin^ •
26

С—13
a) siп л:= — 1; б) cosa: = 1 ; b) tg 2л: = —д/З;
г) sin 5х cos х —cos 5х sin х = 0,5;
д) cos^2л:+ -2^ cos x + sin^2x + -j-^ s in x = ^ - .
С -1 4
a) s in x ^ ^ p ; б) cos 2л:< —0,5; в) ig х ^ — х/3.
С—15
а) 4 sin2л:— 1= 0 ; б) 4 sin2х — 4 sin х + 1—0;
в) 2 sin2л:+ 5 cos х + 1= 0 .
a) sin 2x + cos 2л: = 0; б) 1—2 sin 2лг= 6 cos2х.
С—16
а) д/З sin x + cos х= д/2; б) (cos A:+ sin a:)2= cos 2х .
С—17
С—18
Изобразите схематически график функции
f — { х*> если х < 1 ,
' ' ' —х + 3, если х~ ^.
а) Назовите промежутки возрастания и убывания функции.
б) Существует ли предел функции в точке х = — 1 и если
существует, то чему он равен? Запишите это символически.
в) Существует ли предел функции в точке jc= 1? Ответ объяс
ните.
27

С—19
1. Для функции /(х) = 2х укажите окрестность точки 2 оси
абсцисс, для всех точек которой приближенное равенство
/(х ) « 4 выполняется с точностью до 0,1.
2. Известно, что lim /(x) = 8, lim g(x) = —0,5. Найдите:
х-+2 х-*-2
a) lim (0,5 / (х) — 2g {х)У, б) lim (3/ (x)-g (х));
х->-2 х->-2
и) lim ■
х-*-2 4 g (X) + 3
С—20
1. Для функции /(х) = Зх + 2 найдите .
2. Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции
у — х2, проходящей через точки графика с абсциссами хо= 1,
хо-(-Дх=1,6. Выполните рисунок к задаче.
С—21
1. Пользуясь определением производной, найдите значение
производной функции /(х) = 2х2+ 3 в точке х — —2.
2. Пользуясь определением производной, найдите /' (х), если
С—22
1. Решите уравнение / ' (х) = 0, если / (х)= х3+ 1 ,5 х 2— 1.
2. Дано: / (х)=(3-|-2х)-(2х —3). Найдите / ' (х), /'(0,25).
3. Дано: ■ а) Найдите ср' (х); б) решите нера
венство ф '(х )> 0 .
С—23
1. Дано: /(х) = 4хз/хГ- Найдите / ' (х), /'(81).
2. Решите неравенство »' (х) ^ 0. если y (x )= x 3+ 4х2—Зх.
3. Найдите g ' (— 1), если g (х)— х/х + 2 (х— 1).
28

С—24
1. Найдите область определения функции У ~ ^ 9Л ■
2. Найдите <р'(—•1), если ф (дс)= (5 + блс)1°.
С—25
а ) f (х) = 3 cos 2 л:; б ) <p (*) = 4 tg Зх.
Вычислите Г ( —у ) и <р'^
2. Решите уравнение g ' (х)=0, если g (x) = sin х + 0,5 sin 2х.
С—26
a) - y f ,-— < 0 ; б) (х--2)-л]х2— 1> 0 .
С—27
Дана функция f (х)= — + + 4.
а) Составьте уравнение касательной к графику данной функ
ции в точке его с абсциссой хо= —2.
б) Выполните рисунок.
в) Вычислите площадь треугольника, ограниченного отрез
ками касательной и осей координат.
С—28
Вычислите приближенно:
а) Т48Д6; б) sin 1,03; в) cos 43°.
С—29
Основание параллелограмма а изменяется по закону а = 2 + 5/,
а высота b — по закону 6 = 2 + 6/. Вычислите скорость изменения
его площади в момент t — Зс. Основание а и высота b изме
ряются в сантиметрах.
29

Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а) / (х) — х2+ Зх 6; б) ф {х) = хъ+ 2 х — 1;
в) g (х)= х3— Злг2+ 5.
С—31
Исследуйте на максимум и минимум функцию:
a) f(x) = x* — 8х2; б) Ф( * )= - J - + i- .
С—32
Исследуйте функцию f ( х ) = —х2(х2—4) с помощью произ
водной и постройте ее график.
С—33
Исследуйте функцию f{x)— -^-x5— ?—х3 с помощью произ-
р О
С—30
С—34
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
/ (x) = cos х — 5- cos Зл:
на отрезке
[ 0: т ] ■
С—35
1. Дана функция f (х) = 6 sin . Найдите f ' (х), f" (х),
f ' ( - n ) , f " ( f ) •
2. Напишите три отличных от нуля решения дифференциаль
ного уравнения у " = — 9у.
30

С -3 6
sin4a + 2 sin a-cos a —cos 4a ____COS zee.
tg 2a—1
2. Вычислите без таблиц и калькулятора
1 - s in 422,5° + cos4 22,5°.
С—37
1. Найдите нули функции у = 2 s in -|-, наибольшее и наи-
меньшее значения и постройте ее график.
2. Докажите, что функция f(x )— x 2— 2-х четная. Построи
те график этой функции, используя свойство графика четной
функции.
С—38
1. Решите уравнение
sin х tg х + д/З sin x + tg х + л/3 = 0.
2. Решите неравенство 2 sin 2 х + 1< 0 .
3. Найдите критические точки функции
f (х) = 2х —0,5 sin 2х + sin х.
С—39
а) - ^ r ^ ° L > 0- б) < x -5 )V x 2- 4 < 0 .
С -4 0
a) tg Злг; б) -ф с-cos*; в) sin2л:; г) (cos3x + 6)3.
2. Дано: f —Ь б соэях. Найдите /'(I).
31

С -41
1. На кривой у = х2— Зх + 2 найдите точку, в которой каса
тельная параллельна прямой у — —х.
» — 1 в точке его с абсциссой л:о=1. Выполните рисунок.
X
С -4 2
1. Число 8 представьте в виде двух неотрицательных сла
гаемых так, чтобы произведение квадратов этих слагаемых было
наибольшим.
2. Исследуйте функцию / (х)= х 2(2х — 3) и постройте ее гра
фик.
Вариант 4
С -1
1. Выразите в радианной мере величины углов 56°, 170°.
2. Выразите в градусной мере величины углов , 2 -|-л .
3. Отметьтена единичной окружности точку Р5л. Назовите
Т
абсциссу и ординату этой точки, sin — , cos^p-.
С - 2
1. Дано: c o s a = — , 9 0 ° < a <180°. Найдите sin а и tg a.
Z u
(tg a —sin a )-(^°s ~ + ctg —sin2 a.
32

С - 3
1. Упростите выражение sin (90° + ос)— g°^„aj_270°)~'
2. Вычислите sin 32° sin 148° —cos 32° sin 302° + ctg 225°.
С— 4
1. Дано: cos a = — f - , 1 8 0 °< a < 2 7 0 °.
Найдите: a) cos 2a; 6) sin (30° -f- a); в) tg (45° —a).
c o s^ -|-+ ^ .-c o s лг+ sin *sin x — 0,5.
C— 5
/0 )=
x , если лг<С0,
—Зх, если х ^ О .
а) Найдите: f (0), f(l), f (— 1), f (— 2).
Зх2—6
С— 6
Исследуйте на четность функцию:
а) f (x) = 2x3+ ig х-,
б) Ф(Х) = ~ Г -
С—7
Начертите графики функций:
а ) У— — *2+ 3; б) у = — х2+ 2х — 1; в) у = —0,5л:2+ х + 1,5.
В примере в) найдите множество значений х, при которых
1,5.
2 Заказ 68 33

С—8
a) sin (-1860°); б) cos (-4 2 0 °); в) ctg( —930°).
cos | | sin3 (л — а ) - -cos (л + а) sin3 1
(¥-•)2 sin a sin |
(т -“)1
С—9
Начертите график функции г/= sin л: на отрезке [—0,5л; Зл].
Отметьте на этом графике множество точек, для которых вы
полняются условия:
a) sin х = 0,5у/2; б) s in x = — 1; в) sinx> 0,5V 2.
Выпишите соответствующие значения х, при которых выпол
няется каждое из условий.
С—10
Начертите график функции у — cos х на отрезке [—0,5л; Зл].
няются условия:
a) cos х = 0,5у/3; б) c o s x = — 1; в) cos х>0,5-/3.
С - 1 1
Начертите график функции у — tg х на отрезке [— 1,5л; л].
няются условия:
a ) tg х = — 1; б) t g x > — 1.

С—12
Вычислите: a) arcsin (—0,5); б) arctg ; в) tg (arccos (
г) cos^2 arcsin^ — •
-0,5));
С -1 3
a) c o s x = — 1; б) sin х = 1 ; в) tg З х = —
г) cos 5х cos 2х + sin 5х sin 2х = 0,5;
д) sirt^2x + Y^ cos х — co s^2 x + -y ) s m ; e = ^ .
С -1 4
a) c o s x ^ y - ; б) sin 2л: < —0,5; в) t g - O — 1.
С—15
а) 4 cos2х — 1 = 0 ; б) 4 sin2х + 4 sin х + 1= 0 ;
в) 2 sin2х--5 cos х --1= 0 .
С—16
a) sin 2 х— jb cos 2л:=0; б) 1+ 2 sin 2x-j-2 cos2л:= 0.
С—17
а) УЗ sin х —cos х — 2; б) (cos л:—sin х)2—cos 2х.
2* 35

Изобразите схематически график функции
t / _/ 0,5л:2, если — 1,
' • ’I * + 3, если х < — 1.
а) Назовите промежутки возрастания и убывания функции.
б) Существует ли предел функции в точке л:=1 иеслису
ществует, то чему онравен? Запишите это символически.
в) Существует ли предел функции в точке х ~ —1?Ответ
объясните.
С—18
С— 19
1. Для функции f(x) — 3x укажите окрестность точки 2 оси
абсцисс, для всех точек которой приближенное равенство /(*)«*6
выполняется с точностью до 0,1.
2. Известно, что Пт/(л:)==6, lim g (х)= — 1,5. Найдите:
х->-3 *->-3
a) lim (0,5/ (x) — 2g (*)); б) Hm (2/ (x)-g(x)); в) Urn НхУг?--.
С — 20
1. Для функции f ( х ) = 2 х + 3 найдите
2. Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции
у = 0 , 5 л:2, проходящей через точки графика с абсциссами
*о= 1, *0+ А *=1,8. Выполните рисунок к задаче.
С— 21
1. Пользуясь определением производной, найдите значение
производной функции /(л:)= Зх2+ 2 в точке х — —3.
2. Пользуясь определением производной, найдите /' (л:), если
/ (*) = 2л[х.
С— 22
1. Решите уравнение /'(* ) = 0, если / (*) = 2лс3—■Зле2+ 1.
2. Дано: / (* )= (1 + 2*) (2*— 1). Найдите /'(*), /'(0,5).
6х
3. Дано: Ф(*) == j- • а) Найдите ф' (х) б) решите нера
венство ф '(л:)>0.
36

С—23
1. Дано: f (x)=5xfx¥. Найдите f ' (х), f (32).
2. Решите неравенство у ' ( х ) ^ 0, если у(х)— 2х3-
+ 12x + 7.
3. Найдите g' (4), если g (x)=^Jx — 3 (х--2).
- 9 х 2+
С—24
1. Найдите область определения функции у = ^ ~ - ^ .
2. Найдите ф '( —2), если ср(x) = (2x--3)i2.
С—25
а ) f W = 2 sin 5х; б) ф(х)== 3 ctg 2х.
Вычислите / ' ( — и ф' ( — ^ .
2. Решите уравнение f ' (х) = 0, если f ( x ) = cos х —0,25 cos 2х.
С—26
а) ^ ± ^ < 0 ; б) (х 3)у/*2 К О .
С—27
Дана функция /( х ) = х 2— 4.
а) Составьте уравнение касательной к графику данной функ
ции в точке его с абсциссой л:о= —2.
б) Выполните рисунок.
в) Вычислите площадь треугольника, ограниченного отрез
ками касательной и осей координат.
С—28
Вычислите приближенно:
а) -т/37,03; б) cos 2,06; в) sin 37°.
37

С—29
Радиус круга R изменяется по закону /? = 4-{-2/2. Определите,
с какой скоростью изменяется его площадь в момент /== 2с.
Радиус круга измеряется в сантиметрах.
С—30
Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а ) / М — —х 2+ 4х — 3; б) ф {х) = х3--4х — 7;
в) g (х) = 2х3—Зх2 1.
С—31
Исследуйте на максимум и минимум функцию:
а) / (х) = 2х4—Ах2+ 1; б)
С—32
Исследуйте функцию /(x) = (x2—2 f с помощью производной
С—33
Исследуйте функцию / (х)= —2х5+ 3 -i-x3 с помощью произ
С—34
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
/ (x) = sin х — Зх
на отрезке 0; .
38

С—35
1. Дана функция / (х) = 2 sin^4x+ -|-^ . Найдите f ' (х),
Г (х), f '( - n ) , f " ( f ) .
2. Напишите три отличных от нуля решения дифференциаль
ного уравнения у" = — 100г/.
С—36
2sin 2а 4-sin 4а 0
—------ = 2а cos а -2(cosa + cos3a)
2. Вычислите без таблиц и калькулятора
1—sin4 15° —cos4 15°.
С—37
1. Найдите нули функции у = 2 cos 0,5х, наибольшее и наи
меньшее значения и постройте ее график.
2. Докажите, что функция / (х) = 0,5л:2+ х четная. Построй
те график этой функции, используя свойство графика четной
функции.
С—38
V3 tg x sin * - V 3 t g x + s i n x - l = 0.
2. Решите неравенство 2 cos З х + 1^ 0 .
/ (х) = 0,5 sin 2х — cos х--2х.
С— 39
a) б) (х + 5 ) V ^ - 1 6 > 0 .
39

a) ctg 2х; б) л/x-sinx; в) cos2л:; г) (sin 2х — 5)3.
2. Дано: f (х)= + 8 sin 0,5ях. Найдите / ' ( — I).
С -4 0
С— 41
1. На кривой у — —х2-{-Зх — 2 найдите точку, в которой каса
тельная параллельна прямой у = х .
у = х^~1 в точке его с абсциссой хо= 1. Выполните рисунок.
X
С— 42
1. Число 12 представьте в виде суммы двух неотрицательных
слагаемых так, чтобы произведение куба одного из них на
утроенное другое слагаемое было наибольшим.
2. Исследуйте функцию f (х)= х2(х + 3) и постройте ее график.
Вариант 5
С—1
S. Выразите в радианной мере величины углов 72° и 140°.
2. Выразите в градусной мере величины углов и ^ -я .
12 о
меру угла:
а ) '79°; б) 38°22'.
меру угла:
‘а) 0,7575; б) 2,0365.
40

. | sin4 oc+ sin2 a cos2 a 1
^""I 9 2 *cos a cos a
v cos 200° tg 300° . n 4 л
а ) :— ; 6 ) C O S Z - t g 4 .
’ sin 400° ' &
o
3. Найдите sin a и tg a, если известно, что c o s a = - ^ -
и a не лежит во II четверти.
С—2
а) sin 1050°; б) cos2- ^ ; в) tg2130°.
si"2 ( т + “) _cos2( a _ T )
tg 2( ^ + « ) - ctg 2( a - Y )
cos (— a)
sin
3 s ( — a ) , /З я , / л
т тг— т * t g ( — “ ) ctg ( - - “ )•
C - 3
1. Вычислите
С— 4
1— sin222°30'
2 cos 1 5 ° -1
2. Известно, что cos a = - — и л < а < ^ - . Найдите cos 2a
и tg 2a.
ctg2 a (I —cos 2a)2— cos2 2a.
41

1. Найдите область определения функции, заданной формулой:
*> б>/W-V5 -
2. Для функции, заданной формулойД (х)—х3+ Зх— 1, найди
те f (—2) и /(* + 1 ).
3. Постройте график функции
у —х 2— 2х — 3.
С—5
С - 6
1. Докажите, что функция / является четной.
2. Докажите, что функция g (лг)= |х| cos 2х sin3Зх является
нечетной.
С— 7
1. Докажите, что функция у = х 3— Зх возрастает на проме
жутке [1; оо).
2. Найдите нули функции у = - х 2-{-2х и координаты ее
вершины. Начертите схематически график данной функции и с
его помощью найдите промежутки возрастания и убывания этой
функции.
С - 8
1. Пользуясь периодичностью, четностью или нечетностью
соответствующей тригонометрической функции, запишите задан
ные значения так, чтобы аргумент был выражен наименьшим
возможным положительным числом градусов или радианов:
a) cos 235° 17'; б) sin 5040°; в) t g ^ -я.
2. Вычислите sin (—60°) + cos 690° + tg (—600°).
3. Найдите наименьший положительный период функции:
а ) */= tg (-f— -f-) : б) y = cos2 2х — sin 4х.
42

С—9
неравенству sin
2. Найдите точки минимума и максимума функции / (х) =
= sin^3x —~ j .
3. Расположите в порядке убывания числа
sin (—200°); sin (— 100°); sin 10°; sin 100°; sin 150°.
С—10
1. Расположите в порядке возрастания числа
sin 40°; cos 40°; sin 70°; cos 70°.
2. Отметьте на графике функции у = cos х множество точек,
для которых соответствующие значения косинуса удовлетво
ряют неравенству c o s x ^ —Щ-.
у = COS
( f -t ) ■
С - 1 1
1. Отметьте на графике функции у — tg х множество точек,
для которых t g x > —2.
2. Найдите промежутки возрастания функции
/( * ) = tg ( 2 * — J-) .
3. Найдите область определения функции f (х)-
*g
i ‘ - i ) '
С—12
1. Найдите значение: a) ar ccos^— б) sin (arcsin 0,1)..
2. Вычислите arctg (— l)+ a rc c o s (— 1).
3. С помощью таблиц или калькулятора найдите значение:
a) arcsin 0,897; б) arccos{— 0,773); в) arctg( —4).
43

a) c o s x = — б) sin (x —-f-) = l'> в) tg (3 x + -|-)
С—13
1
= V3-
С -1 4
a) c o s 3 * < j - ;6 ) tg (2 x + f-) > —д/З-
С -1 5
а) ctg х = —4 —3 tg х;
б) д/3 sin^A:— + 3 cos^x — =0.
а) 2 sin22y + cos 4 у = 1;
б) 4 cos (а + 60°) cos а = 1+ 2 sin (30° —2а).
С—16
С—17
| sin х cos у = —0,25,
1 cos х sin г/= 0,75.
С—18
1. Для функции, график ко
торой изображен на рисунке 3,
укажите:
а) ее значения в точках —2
и 4; б) ее предел в точках
—2 и 4.
2. Укажите наибольшее б,
при котором для всех х=^3 из
б-окрестности точки 3 выпол
няется неравенство
|/(х )+ 6 | <0,001, где /(* )= Л = £ .
X — О
44

1. Известно, что lim f(x) = 5; lim g(x) = 2. Найдите предел в
*->-3 * -* з
точке 3 для функции:
а) f ( x) —2 g 2 (x);
б) 2| (если указанный предел существует).
2. Вычислите, пользуясь правилами вычисления пределов:
a) lim (1 —3x3-j-4x4); б) lim - f t * 9- .
*— - 2 х - * 3 X — X — 1
С—19
С—20
о
1. Начертите график функции f {х)= —— х + 2. Выразите при
ращение функции в точке хо через х0 и Ах. Найдите Af (*0), если
хо— , Д* = 0,1. Дайте иллюстрацию полученных результатов на
рисунке.
2. Найдите П*0' для функции f(x )= 1— Зх — 2х2. Вычислите
при *0=1 И Д* = 0,1; 0,002; 0,00001. Найдите l i m ^ I ,
А х Ах-*~0 А х
если Хо=1.
С—21
а) /(•* )= 6 ^ ; б) f (х)— 4 — х2.
С—22
a) f(x) = x9— Зх6— 4 + 2;
4 — Y2
б>n*)~hh-2. Вычислите производную функции f (х) — (х+ 1) -у/х в точках
2, 4, х, х —2.
45

Решите уравнение /'(* ) = 0 и неравенства f ' (х)> О и f ' (х)< О
a) f(x) = 9x3+ x- б) /(*)=*-
С—23
С—24
а) /(* )= У з V *— 1 ; б) f(x ) = — =====-.
у х —6*+ 9
2. Даны функции / M = и g(x)=-[x. Задайте с помощью
формул функции / (g (*)) и g (/ (*)).
a) f (х)=(х7— Эх4)120; б) g (* )= V * 2— *•
a) f W = t g ( j - + Ю); б) / (Jf)=cos(3 —2л:);
в) / W = tg * sin (2л:+ 5).
С—26
1. Укажите промежутки непрерывности функции
г / ч х 2—4______
' ^Х ) ~ ( х - 1 ) ( х г - З х - 4 ) •
2. Решите методом интервалов неравенство:
а) , 2+ 5* + 4 < 0 ; 6) <*~2) f + f ’^ ~ 7)< 0 ; в) •
С—27
1. Напишите уравнение касательной к гиперболе г / = — ~
в точке с абсциссой х — — 1. Выполните рисунок.
у = c o s в точке с абсциссой х = п.
46

1. Вычислите приближенно -/35,91, используя формулу
V iT a^ i + ^ l .
2. Вычислите приближенно
1,00008'000—0,99996200.
С—28
С—29
1. Материальная точка массой 3 кг движется прямолинейно
по закону s (t)= l 7 t - 2 t 2---^-t3, где s — путь в метрах, t — время
О
в секундах. Найдите силу, действующую на нее в момент t = Зс.
2. Тело, выпущенное вертикально вверх с высоты ho с на
чальной скоростью vo, движется по закону h (t) = ho + vot— ,
где h — высота в метрах, t — время в секундах. Найдите высо
ту тела в момент времени, когда скорость тела в 3 раза меньше
первоначальной, если Ло= 2м, у0= 4-^- считайте равным
10
С—30
f (х)— 2х3—Здс2— 12х.
f (х)=2 л[х — х.
Укажите, какие из этих точек — точки максимума функции,
а какие — точки минимума.
С—31
f (х)= х2(х — 6)2.
47

1. Исследуйте квадратичную функцию и постройте ее график:
у = —0,5х2+ 2х + 2,5.
а) Здс2—2х + 1> 0 ; б) 9х2- 18х + 4 < 5 х 2- 6 х + 11.
С—32
С— 33
у = хА~ 2 х 2~-1.
С -3 4
f (х)=Зх5- 5 х 3+
чтобы произведение квадрата первого слагаемого и второго
слагаемого было наибольшим.
С— 35
1. Проверьте, является ли функция jc(/) = sin5f решением
дифференциального уравнения х" ( t ) = —25x(t).
2. Запишите дифференциальное уравнение гармонического
колебания х (/) = 3 cos (-/2 t — 1). Укажите амплитуду, частоту
и начальную фазу этого колебания.
С—36
1. Найдите sin (а + Р), если известно, что sin а = ~ , —■< а < л;
О Z
cos р = g—, л < р < у - .
cos2( —- -2ос^ 2
V2 2 cos2 — 2 sin2-2-) .
cos2(л—а) ’ V 2 27
3. Найдите tg 22°30' и sin 22°30'.
48

С -3 7
Проведите исследование и постройте график функции:
а) у = sin 2*; б) у = c o s(x -fy -) ; в) y = t g (-|— f j .
a) arccos^ ^ ; б) a r c s in ^ ; в) arctg ( —^ .
a) 2 cos^2* — у ) —V2; б) cos2х — sin 2х — —
a) t g 2x < — 1;в ) sin
С—38
С—39
а) х 2—4х + 3=^0; б) х 2—6х + 9 > 0 .
а) (^ = В ^ < 0; б) ;с! , + х! 2 > 4-
а) х ^ ~ 3 х 4-~2х3— 3 б) (3 — 2х)л[х в) sin 2х;
г) — *) >Д) f i x — I)17.
С—40
€ -4 1
f (х) — 3х— х2 в точке с абсциссой х0= 1.
a) VO,998; б) (1,0003)5°.
3. Материальная точка движется по прямой согласно урав
нению
x ( t ) = t 3— 2t2+ 3t.
Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t0— 2.
49

1. Исследуйте функцию у = 4х — х4 и постройте ее график.
/ (x)=p-Ly на отрезке [— 1; 0,5].
С—42
Вариант 6
С -1
2. Выразите в градусной мере величины углов - - и л.
меру угла:
а) 57°; б) 88°55'.
меру угла:
а) 0,8796; б) 2,3422.
С— 2
j . cos4 а + sin2 a cos2 а 1
sin2а ‘ sin2 а
„ч sin 110° cos 220° п i л
а) ~ctg 330° ; б> sin 2 -ctg 4.
3. Найдите sin а и ctg а, если известно, что t g a = 3 и а
не лежит в III четверти.
50

a) sin 2280°; б) c o s ^ - ; в) tg 1590°.
ctg (270° —a) ctg2(360° - а ) - 1
1—tg 2(а — 180°)" ctg (180° + а)
^¥ г^г< *(т+ “)*«(т+“)-соЧ т + « )
С—3
С— 4
1 - s in 2 15°
2cos2-£— 1
О
2. Известно, что s i n a = — и - 2 - < а < л . Найдите cos 2a
и ctg 2a.
cos22a + (l -f-cos 2a )2tg2 a.
C— 5
а > в . б>
2. Для функции, заданной формулой f (х)= 2х3—лг+ 5, найдите
/ ( — 1) и f ( х — 1).
3. Постройте график функции
у = х 2+ 2х — 3.
С— 6
1. Докажите, что функция f (х)= — xcof xtgx является чет
ной. * р
2. Докажите, что функция g (х) — хх sin 5х tg Зх является не
четной.
51

1. Докажите, что функция у = х3—Зх убывает на проме
жутке [— 1; 1].
2. Найдите нули функции у — —0,5х2+ 2л: и координаты ее
вершины. Начертите схематически график данной функции
и с его помощью найдите промежутки возрастания и убывания
этой функции.
С - 7
С— 8
ответствующей тригонометрической функции, запишите данное
значение так, чтобы аргумент был выражен наименьшим положи
тельным числом градусов или радиан: a) sin 312° 19'; б) cos 5042°;
В) C t g f .
2. Вычислите cos (—30°) -f- sin 660° + ctg (—510°).
a) y = tg (1 —Зх); б) i/ = sin4x + cos4х.
С—9
неравенству sin / > 4 ~.
2. Найдите точки максимума и минимума функции / (*)=
= s in (2* + f ) .
sin (—300°); sin (—250°); sin (— 150°); sin 20°; sin 40°.
С— 10
cos 10°; cos 70°; cos (—20°); sin 15°.
2. Отметьте на графике функции у — cos л: множество точек,
для которых соответствующие значения косинуса удовлетворяют
неравенству cos х > —
» - « • ( ■ § — пг) ■
52

С—11
1. Отметьте на графике функции y = t g x множество точек,
для которых tg x < [l,5 .
2. Найдите промежутки убывания функции / (x) = tg^-^---------- .
3. Найдите область определения функции f(x ) = ^ — .
С— 12
1. Найдите значение: a) arc sin ^ — ; б) cos (arccos (—0,3)).
2. Вычислите arctg (—д /3 )+ arctg
3. С помощью таблиц или калькулятора найдите значение:
a) arcsin (—0,736); б) arccos (—0,997); в) arctg 3,7.
С—13
a) sin х = — б) c o s ( x + - | _л/З.
) 2 ’
в) tg ( 2дс-1
со|а
II
%
С -1 4
a) s in 2 x > ^ ; б) tg^3x — ^
С -1 5
а) tg х + З ctg х = 4;
б) sin ^хН— -f- cos ^х + - 2-^ = 0.
С—16
а) 2 cos22р —cos 4р = 1;
б) 4 sin (30° + a) cos а = 1+ 2 cos (60S —2а).
53

( cos х cos у —0,5,
1 sin х sin у = —0,5.
С—17
С— 18
1, Для функции, график ко
торой изображен на рисунке 4,
укажите:
а) ее значения в точках —3
и 2; б) ее предел в точках —3
и 2.
2. Укажите наибольшее зна
чение б, при котором для всех
х ф 2 из б-окрестности точки 2
выполняется неравенство
f (х) —4| <0,001,
е / х 2— 4
где f(x ) = — 2-.
С— 19
1. Известно, что lim f (х) = 2; lim g ( х)=3.
х -у — 1
Найдите предел в точке — 1 для функции:
а ) f2(x)— 3g(х) б) (если указанный предел су
ществует) .
a) lim (l-3 x 2+ 4x4); б) lim
х-»2 х ^ - 3 Х 2+ Х + 1
С— 20
1. Начертите график функции f (х)=0,Ъх — 2. Выразите при
ращение функции в точке хо через х0 и Ах. Найдите Af (х0),
если лго= 5, Ах ==0,2. Дайте иллюстрацию полученных результатов
на рисунке.
2. Найдите для функции f (х )= 2 + Зх— Вычислите
при Хо= — 1 и Ад:= 0,1; 0,002; 0,00001. Найдите
Ах
если дго= — 1.
Ах-»0 Л*
54

a) f(x)=4^[x; б) /(х ) = х 2+ 3.
С—21
С—22
a) f ( x ) = x 7+ 2x5+ ± - 1; б) / ( х ) = | ^ - .
2. Вычислите производную функции f (х )= х д/х+ 1 в точках
О, 3, х, х — 1.
С—23
Решите уравнение /' (х) = 0 и неравенство /' (х )> 0 и / ' (х )< 0
a) f(x) = 3x3—х; б)
С—24
а) /(х )= У 4 —2 V*; б) f(x) = ~ ~ _ ~ =r.
-yjx —Зх+ 2
2. Даны функции / (х) = и g (х)=У х. Задайте с помощью
формул функции / (g (х)) и g (/ (х)).
a) f(x) — (xb— 2х2)191; б) g (х) = д/1—х2.
С—25
Найдите производную функции /:
а) / (x) = cos (3 —4х); б) f (x )= tg (2х —7);
в) f (x)= sin х cos (2х —3).
55

С—26
f ( x ) = ____ __________
/ w ( x + l ) ( x 2- 4 x + 3)'
а) х2- 3 * + 2 > 0; б)
х —3 2х —5
' х + З ^ 4х —3 '
С—27
y = sin 2х в точке с абсциссой
2. Напишите уравнение касательной к гиперболе У=-^~ в точ
ке с абсциссой х = —2. Выполните рисунок.
С—28
1. Вычислите приближенно д/49,07, используя формулу
V l + A ^ l + f ,
2. Вычислите приближенно
1.ООООб3000—0.999986000.
С— 29
по закону s (t) = 4t--t2— l—t3, где s — путь в метрах, t — время
в секундах. Найдите силу, действующую на точку в момент t — 2c.
2. Тело, выпущенное вертикально вверх с высоты h0 с началь
ной скоростью vo, движется по закону h (t)— ho--vot-~
2
где h — высота в метрах, t — время в секундах. Найдите высоту
тела в момент времени, когда скорость тела в 2 раза меньше
первоначальной, если ho = 4 м, по= 3— ( g считайте равным
« * ) ■
56

С—30
f (х) = 2х3+ Зх2— 12х.
f {х)=2х—л[х.
Укажите, какие из этих точек — точки максимума функции,
а какие — точки минимума.
С—31
f (х) = 2 х2—х4+ 3.
С—32
у — —0,5х2+ * + 1,5.
. а) 2х2- х + 1 < 0 ; б) 16x2+ 6* + 3 > 7 x 2- 6 x - 1.
С—33
у = 2 х 3—6х2+ 4.
С—34
f(x) = x* + 20х2+ 3
на отрезке [— 1; 1].
чтобы сумма квадрата первого слагаемого и куба второго сла
гаемого была наименьшей.
57

С—35
1. Проверьте, является ли функция х (/) = sin -j- решением диф
ференциального уравнения х" — — х .
2. Запишите дифференциальное уравнение гармонического ко
лебания a:(/)= -^ -cos (д/3/ Н-2). Укажите амплитуду, частоту и на-
и
чальную фазу этого колебания.
С—36
1. Найдите cos (а —р), если известно, что cos d = -|~ , ^ 5 - < а <
О Z
< 2л; cos р = — g-, - |~ < р < л .
(2 cos2а — 2 sin2 а )2sin2(л —2а) —sin2 — 4а) .
3. Найдите tg 15° и cos 15°.
С—37
а) у = cos б) y = s in (* —у-) ; в) y = t g ( 3 * + -у) .
С—38
a) ar ccos^— ; б) arcsin-у ; в) arctg (— 1).
а) 2 sin( 'f _+ "f') = 1; б) cos2x + sin 2* = -|-.
a) t g 1; б) cos(* + y ) <&-.
58

С -3 9
а) х2—6х + 8 > 0 ; б) х2— 12х + 3 6 < 0 .
а) (X—1)-(х+ 2 ) ^ 0. б)
х—3 х —j~I х“I-2
С— 40
а) х7—2х?+ 3 х —3; б) (1+Зх)н/х; в) cos 5х;
г) ctg (y -x + 5) ; д) ( j-x —б)
С— 41
/ (х) = Зх + 2х2 в точке с абсциссой хо=1.
а) д/Ь002; б) 0,9999760.
3. Материальная точка движется по прямой согласно уравне
нию
* (0 = * 3+ y * * - 7 f .
Найдите ее скорость и ускорение в момент времени to— 2>.
С— 42
„4
1. Исследуйте функцию у = 8х — — и постройте ее график.
f (х)— -гт~г на отрезке [—2; 0,5].X -р 1
59

Вариант 7
С— 1
5л 29
2. Выразите в градусной мере величины углов — и —л.
10 о
меру угла:
а) 71,4°; б) 29°17'.
меру угла:
а) 0,0367; б) 2,0033.
С—2
cos а (1 + c o s -1 a + tg a) (1 —cos-1 a + tg a ) = 2 sin a.
ч sin 100° cos 100° . • , о . с
3 ) tg 200» ctg 300^ ’ б ) 8Ш 1 C° S d tg b -
3. Найдите sin a, cos a, если известно, что t g a = —2 и
cos a > 0.
С—3
a) cos 1755°; б) sin 2160°; в) c tg ^ b .
2. Упростите выражение (sin160° + sin 40°) (sin 140° +
+ sin 2 0 °)+ (sin 50°- s i n 70°) (sin 130°- s i n 110°).
sin (a-t-л) I cos (Зл —a) __ 1
. / Зл / я cos a ‘
s i n f c t + y ) c o s ^ y + a j — 1
C—4
1—sin2 67°30'
2 cos2 75° - 1 ‘<P
2. Известно, что s in a = - |- и -^ -С а С л . Найдите sin 4a и
tg 4a.
3. Упростите выражение 1 с g ?а с .
tg a + ctg а
60

а> б>/м -л/Й •2. Дана функция
t м —/ х 2— 1 при х > — 1,
1 ' ' I x-f- 1 при х<С — 1.
а) Вычислите /(0), / (2), / ( — 1), / ( —2).
С—5
С— 6
Какие из функций:
а) у = 2 sin xcos 2 x tg Зх; б) у = х 2 cos х ctg Зх;
в) у = 2 cos sin х; г) y = 3x2-f-2 sin 5х cos х —
являются четными, какие — нечетными, а какие не являются ни
четными, ни нечетными?
С—7
/(*) =
_Зх + 7
х—1
2. Найдите точки максимума и минимума функции /(х) = 5х —
—2х2—2. Изобразите схематически ее график.
С— 8
ответствующей тригонометрической функции, запишите заданные
значения так, чтобы аргумент был выражен наименьшим возмож
ным положительным числом градусов или радиан:
a) sin 311° 17'; б) cos 4160°; в) tg у-л.
2. Вычислите: sin (—30°)+ cos 660° + tg (—510°).
a) f (x) = tg ^ 2x — y j ; б) f (x) = sin2x -f tg x.
61

С—9
1. Отметьте на графике функции синус множество точек, для
которых соответствующие значения синуса удовлетворяют нера
венству sin
sin 1, sin 2, sin 3, sin 4.
3. Найдите промежутки возрастания функции
/( * ) = s in ( x - y - ) .
С— 10
1. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt, для
которых соответствующие значения косинуса удовлетворяют нера
венству cos
2. Найдите точки максимума функции f {x) = cos(^3x— ~ ^ .
3. Решите уравнение cos(-£— Б г)= ®'
С—11
/( * ) = tg (3 * — J-) -
для которых соответствующие значения тангенса удовлетворяют
неравенству tg / < —2.
/ « = t g ( - f - - f - ) •
1. Найдите значение: ^ **
a) arccos- р — arcsin 1; б) arcsin (sin 110°).
~J2
2. Поставьте вместо звездочки знак равенства или неравенства
так, чтобы получилось истинное высказывание:
arcsin (— 1) * arctg (— 1).
3. Найдите с помощью таблиц или калькулятора значение:
a) arcsin (—0,3217); б) arccos (—0,7991); в) arctg 3,257.
62

С -1 3
a) tg x = - - j = ; б) s i n ( * + y ) = ^ ; в) cos ( з *— — 1.
С—14
а) s i r i f < - f ; 6) t g ( f —
а) cos2х — 3 sin х —3 = 0; б) sin 2х = 2 л/З sin2х.
С—15
С—16
I 2 а
ctg2^ .
С—17
cos (х + у )= —у ,
sin лг+ sin y = V3.
о I * 2 siri —+ sin а
cos 2а 1—tg “ . 2
1 cin 9yv 1_Ltrr гу ’ 1l+ s in 2 a 1 + t g a ’ а
2 Sin у
1. Для функции, график которой изоб
ражен на рисунке 5, укажите:
а) ее значение в точках — 1 и 1;
б) ее предел в точках — 1 и 1.
2. Укажите наибольшее б, при кото
ром для всех 1^=5 из б-окрестности точ
ки 5 выполняется неравенство
I / M - 2 I < 0,001, где / ( * ) = 4 тГ=5Г-
С—18
63

1. Известно, что lim f(x )= 4 -; lim g ( х ) = — .
х-> 3 £ Х -+3 о
Найдите предел в точке 3 для функции:
a) /(x)g(x); б) — (если указанный предел су
ществует) .
а) iim ( i_ * + ± - * 2- i - * 3) ; б) .
С—19
С—20
1. Для функции /(х) = х2—Зх выразите приращение в точке
Хо через х0 и Ах и найдите Ду, если:
а) х0= 3; А х — — j-; б) х0= —2; Ал:= 1.
2. Найдите И<о+ ^ —И£о) ддя фуНКЦИИ /(х) = х3—5х.
С—21
Пользуясь определением производной, найдите производную •
функции f в точке х0:
a) f (х) = 7 —5л:; б) f(x) = x2—4л: —7.
С—22
a) /(х) = х7—Зх5+ ^ —2; б) g (л:)= (л + 5) л[х.
2. Вычислите производную функции
р / 3 2х
/W = T + 5 -
в точках —4, 8, х, х2—5.
С—23
Решите уравнение f' (х)= 0 и неравенства /' (х )> 0 и /' (х )< 0
а) / (х) = 2х4—х2; б) f ( х ) = ± = £ .
64

а) f ( x) = -7=== > б) f (X) = ~F==~ ■
У ^ З - 1 ' l / 2-V i
2. Даны функции f ( x ) = x 2х и g (x)= siri х. Задайте с по
мощью формул функции
f (g (*)) и B (f (*))•
3. Найдите производную функции;_______
а) / (х)— (5х4— 4л:5)101; б) g (х)=д/3х2—Зх.
С—24
С—25
Найдите производную функции: а) / (x) = cos ( Щ— 01 ;
б) / (jc)= sin х cos 2х + cos х sin 2х; в) f (x) = cos х cos 2х —
— tg Зх.
С—28
f (х) Зх—8 .
/ W х —7х --6х •
а) ( ^ - 2)(*+8)(* -9 )^ 0 ; б) (х2 16)yx + 3 < 0.
С—27
1. Напишите уравнение- касательной к графику функции
</= siri в точке с абсциссой х=-^~.
2. Напишите уравнение касательной к параболе у
в ее точке с абсциссой х0= 2. Выполните рисунок.
— х2—2х
С—28
1. Вычислите приближенно У 16,08, используя формулу
У'1 + Л х « 1 + ^ .
2. Найдите приближенно значение
1,00004100+ 0,99996100.
3 Заказ 68 65

С—29
по закону s = гДе s — путь в метрах, t — время в се
кундах. Найдите силу, действующую на точку в момент t = 4 с.
2. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с
на угол 3/ —О,ОН2 (рад). Найдите: а) угловую скорость вра
щения маховика в момент 4= 7 с; б) в какой момент време
ни маховик остановится.
С— 30
f (х) = Зх3—х2—7х.
Укажите, какие из этих точек — точки максимума функции, а ка
кие — точки минимума.
С— 31
Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функцию .
С— 32
f{x) = 5х2- З х - 8 .
а) 2х2+ 5х + 2 < 0 ; б) х2— 12х + 36 0.
С— 33
f ( х ) = 6
х + 15
66

С—34
f(x) = x3- 2 x 2+ 8 x - 2
2. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и углом
60° вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипоте
нузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его
площадь была наибольшей?
С— 35
1. Запишите общий вид решений для дифференциального
уравнения
и " = - и -
2. Напишите дифференциальное уравнение гармонического ко
лебания x(t) = 2 sin Укажите амплитуду, частоту и начальную
фазу этого колебания.
С— 36
5
1. Найдите cos (а + (5), если известно, что cos а = -у,
• л 1 2 /~ . ЗХ ЗХ________
_
о
Р=ТГ' 0 < а < — , у < Р < л .
8 sin2(л —a) sin2^ y - |- a ) — 1.
3. Найдите sin у - и tg ~ если c o s a = — 0 < а < л .
С— 37
а) f(x) = cos(^2x— у ) ; б) f ( x ) = y + s i n в) f(x) = 3-
3* 67

С—38
1. Найдите значение:
a) arccos (— 1); б) arcsin
a) siri2^-^— б) 8 cos2х —2 sin х = 5.
a) tg 2 х > — б) cos (2х-
- i ) ; в) arctg '
С—39
а) х2—З х — 11 > 0 ; б) х2+ Т х+ 12< 0.
а) (£=| i ± 5 f < 0 ; б) s l t + 5 l . < 2.
С—40
а) х^ —Злг6-J-2я3—7; б) яд/З + х; в) sin г) tg ^2jc— —^ ;
д) ( f - з * 2) 35.
С—41
f (х)= х2— 2х + 3 в точке пересечения графика с осью ординат.
а) УУ1.00004; б) 1,0000350°.
3. Материальная точка движется по прямой согласно уравне
нию
г -
Найдите ее скорость и ускорение в момент времени /е —2.
68

С—42
1. Исследуйте функцию f ( x ) = x 4— 8x2 и постройте ее график.
/ (х) —2 л:3 + Зх2+ 2 на отрезке [—2; 0].
Вариант 8
С— 1
2. Выразите в градусной мере величины углов ^ и ^-п.
меру угла:
а) 23,6°; б) 83°53'.
меру угла:
а) 0,0995; б) 3,1012.
, „ С— 2
sin2 а (1 -f-sin-1 a + ctg а) (1 —sin-1 а -f-ctg а) = 2 sin а cos а.
ч sin 200° cos 20° 1 • о * с
а ) Tg 3 0 0 ° c tg ib 0 ° ; б > cos sin 3 tg 5.
3. Найдите sin а и cos а, если известно, что tgoc = 3 и а не
лежит в I четверти.
1. Вычислите: С—3
a) sin 1935°; б) tg 1395°; в) c o s ^ .
2. Упростите выражение (cos 70° + cos 50°) (cos 310° +
+ cos 290°) + (cos 4 0 ° + cos 160°) (cos 320° —cos 380°).
tg ( л - а ) ( 1 + t g ( § 4 -a) c t g ( f - + 2a )) = tg (2л - a ) -
- c t g ( | - - 2a) .
69

1—2 cos2^
1. Вычислите 2 ——.
sin2 75° — 1
2. Известно, что c o s a = - |- и s in a < 0 . Найдите sin 4a и
ctg 4a.
1—ctg 2a tg a
tg a + ctg a
С - 4
C— 5
» Г (* У = ? Ш т '- б > f « = V Ш -
t (г / —х2+ 1 при л:< 1,
' ^ ’ х — 1 при х ^ Л .
а) Вычислите /(0); f(l); / ( — 1); /(2).
С - 6
Какие из функций:
а) у — 2 sin х cos Зх tg 5л:; б) г/=л:3 sin (x-j- |лг|);
б) ^ = tg ( —-§-); Г) y = ctg х + х cos2х —
являются четными, какие — нечетными, а какие не являются
ни четными, ни нечетными?
С— 7
с t 2"х—3
f M = 7 + T -
2. Найдите точки максимума и минимума функции f (х) —
— Зх—х2+ 1. Изобразите схематически ее график.
70

С—8
ответствующей тригонометрической функции, запишите задан
ные значения так, чтобы аргумент был выражен наименьшим
возможным положительным числом градусов или радиан:
a) cos 393° 17'; б) tg 4020°; в) cosyy-л.
2. Вычислите cos (—60°) + sin 690° + tg (—600°).
a) f(x) = c o s (-|-+ -|-) ; б) f ( x ) = cos2* —ctg х.
С— 9
1. Отметьте на графике функции синус множество точек, для
которых соответствующие значения синуса удовлетворяют нера
венству
sin х < — |- .
sin 0,5; sin 1,5; sin 3; sin 4,5.
3. Найдите промежутки убывания функции
/(* )—s i n ( x + y ) .
С—10
для которых соответствующие значения косинуса удовлетво-
/з
ряют неравенству cos t > .
2. Найдите точки минимума функции
/(*) = cos (•§-+-!-) .
c° s ( i + i ) = ° -
71

ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА ДЛЯ 9 КЛАССА

ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА ДЛЯ 9 КЛАССА

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Viewers also liked

Viewers also liked (19)

Similar to ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА ДЛЯ 9 КЛАССА

Similar to ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА ДЛЯ 9 КЛАССА (20)

More from Garik Yenoqyan

More from Garik Yenoqyan (8)

ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА ДЛЯ 9 КЛАССА