1. 座屈を説明できる 2. 座屈方程式を導出できる 3. 端末条件から座屈荷重を決定できる 2018版

1. 座屈
1. 座屈を説明できる
目標
2. 座屈方程式を導出できる
3. 端末条件から座屈荷重を決定できる
1/14

2. 柱の座屈
圧縮
連続
安定
P PB<
不連続
不安定
P > PB
座屈荷重
変形
2/14

3. 柱の仮想切断
P
ℓ
y
y
x
x
O
R = P R = P
θ ＋ dθ
F
N
F＋dF
N ＋ dN
x’
3/14
F
N
R = P
x
θ
x’
x

4. 柱に作用する軸力とせん断力
F
N
R = P
x
Ncosθ sinθF− + P＝0
Nsinθ + cosθF ＝0
N ＝ Pcosθ F ＝Psinθ
~−θ 0if
力の釣合い
軸力
N P~− F Pθ~−
θ
x’
y
y’
N
Ncosθ
Nsinθ
θ
x’
y’ F
θ
cosθF
sinθF
x’
y’
せん断力
4/14

5. 微小領域における力の釣合い
P
y
y
x
x
O
R = P
＝ PcosN＋dN ( )θ＋dθ
P~−
＝ ( )sin θ＋dθN＋dN( )
cos( )θ＋dθ( )F＋dF+
fy+
Nsinθ cosθF− −＝fy−
fy+ fy− ＝0+
F
F＋dF
x
y
N ＋ dN
N
dx
y
θ
θ ＋ dθ
y ＋ dy θ＋dθ∵ ~− 0
座屈直前＝微小変形
軸線方向
水平方向
5/14

6. 水平方向の力の釣合い
N P~−
~−θ 0if
sinθ ~− θ
sin( )θ＋dθ θ＋dθ~− cos( )θ＋dθ ~− 1
cosθ ~− 1
N＋dN P~−
Pdθ dF− ＝0
( )sin θ＋dθN＋dN( ) cos( )θ＋dθ( )F＋dF+
Nsinθ cosθF− −
＝fy+
( )F＋dFfy+ P θ＋dθ( )−~ +
fy− ＝
~−θ 0if
fy+ fy−＝ 0+
6/14
fy− Pθ F−−~ −

7. たわみ関連の関係式
dx
dy
＝θ ＝dθ dx
dx2
d y2
dx
dM
＝F
dx
d M
＝dF
2
2
dx
∴
∴
P
y
y
x
x
O
R = P
θ たわみとたわみ角
せん断力とモーメント
dx
d y2
2
＝−
EI
M
dx
d M2
2
＝−EI
dx
d y
4
4∴
たわみとモーメント
7/14

8. 座屈方程式
dx
dx2
d y2
P
dx
d M
2
2
dx− ＝0
EI
dx
d y
4
4
+
dx2
d y2
P ＝0
Pdθ dF− ＝0
P
y
y
x
x
O
R = P
θ
y＝Asinαx + Bcosαx + Cx + D
一般解
8/14
dx
d y
4
4
α2
+ ＝
dx
d y
2
2 0 ＝
EI
P
α2
座屈方程式

9. 固定端ー自由端の境界条件
P
y
y
x
x
O
R = P
θ
下端固定
d x
d y
＝0
x=0
y ＝0x=0
ℓ
y ＝ δx=
上端自由
dx
d y2
2
＝−
EI
M ( )M ＝− P δ − y
dx
d y2
2 EI
P
+ y＝
EI
P δ
dx
d y2
2
+ y ＝ δα2
α2
y＝Asinαx + Bcosαx
一般解
+ δ
B + δ＝0
αA＝0
∴ B＝ δ−
∴ A＝0 α＝0
y＝ δ ( )cosαx1−
( )cosα1−δ ℓ ＝ δ 9/14
δ
M

10. 固定端ー自由端の座屈荷重
0δ＝ の解をもつ条件 cosαℓ ＝0
αℓ ＝
2
2n+1
π
＝
EI
P
α2
PB＝
2
2n+1
π
ℓ
EI( )
2
PB ＝
4
1
π
ℓ
EI2
2 ＝0n
座屈荷重
＝σB
PB
A
座屈応力
∵
10/14
( )cosα1−δ ℓ ＝ δ
最小値
n＝ 0，1，2,・・・

11. y
固定端ー回転端の境界条件
固定端
y＝0,
d x
d y
＝ 0
回転端
y＝0, M＝0
dx
d y
2
2 ＝0∴
O
P
ℓ
11/14

12. 固定端ー回転端の座屈荷重
回転 ＝y x=0 0B + D＝
dx
d y
2
2
＝ ＝0α2
− B
x=0
＝y x=ℓ
Asinα + Bcosα + Cℓ ℓ ＝0ℓ + D
dx
dy
x=
＝
ℓ
Acosα − Bsinα + Cℓ ℓ ＝0α α
sinα − cosαℓ ℓ ＝0A αℓ( )
tan ℓα ＝ ℓα
ℓα ~− 1.43π (0でない最小解)
O
P
ℓ
y＝Asinαx + Bcosαx + Cx + D
一般解
＝
EI
P
α2
x
固定
＝2.046
ℓ 2
π2
EIPB
座屈荷重
12/14

13. 端末係数と座屈長さ
固定ー自由 固定ー回転 固定ー固定回転ー回転
PB＝ L
ℓ 2
π2 EI L : 端末条件係数
L＝1 4 L＝2.046 L＝1 L＝4
＝
ℓ0
2
π2 EI
ℓ0 ＝
ℓ
ℓ L : 座屈長さ
13/14

14. まとめ
1. 座屈の特徴を説明できる
2. 座屈方程式を導出できる
3. 座屈荷重を決定できる
圧縮負荷時のみの現象 不安定 ＆ 不連続
ある荷重（座屈荷重）以上で発生
dx
d y
4
4
α2
+ ＝
dx
d y
2
2 0
＝
EI
P
α2
y＝Asinαx + Bcosαx + Cx + D
一般解
固定ー回転固定ー自由
14/14
P＝ L
ℓ 2
π2 EI 回転ー回転 固定ー固定
L＝1 4 L＝2.046 L＝1 L＝4