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【材料力学】主応力と主せん断応力 (II-09-2 2020)
- 1. 主応力と主せん断応力 1. ２次元応力状態で任意面の応力を計算できる 目標 1/12 2. 主応力/主せん断応力を決定できる 3. 主応力面/主せん断応力面の幾何的関係を説明できる
- 2. 平面応力状態で考える 2/12 σz τxz τyz＝ ＝ ＝ 0
- 3. 任意面の応力成分 x y dx dy τxy τyx σx σy θ ds σθτθ 板厚: 単位長さ1 τ’yx σ’y τ’xy σ’x σθ θ σθ cosθ σθsinθ τθ θ τθ sinθ− τθcosθ dx＝dssinθ dy＝dscosθ θ 3/12
- 4. 力の釣合い τxy σx τyx σy σθ θ σθ cosθ σθsinθ τθ θ τθ sinθ− τθcosθ ds dx＝dssinθ dy＝dscosθ θ x方向 y方向 σx dy− dxτyx− ＋ σθ cosθ τθ sin θ−ds ds ＝ 0 σθ cosθ τθ sin θ− ＝ cosθσx τyx sinθ＋ σy dx dyτxy− ＋ σθ sinθ τθ cosθds ds ＝ 0− ＋ σθ sinθ τθ cosθ ＝ σy sinθ τxy＋ cosθ＋ 4/12 x y
- 5. 任意面の応力成分 σθ cosθ τθ sin θ− ＝ cosθσx τyx sinθ＋ σy τxyσθ sinθ τθ cosθ ＝ sinθ ＋ cosθ＋ … (1) … (2) (1)×cosθ (2)×sinθ＋ σy τxyσθ ＝ cosθσx 2 ＋ sin θ 2 ＋2 sinθ cosθ ＝ σx cos2θ＋1 2 ＋σy cos2θ1 2 − τxy＋ sin 2θ ＝ 2 σx＋ σy 2 σx σy ＋ − cos2θ τxy＋ sin 2θ τxyτyx＝ (1)×sin θ (2)×cosθ− τθ ＝ σx σy 2 − sin2θ τxy cos2θ− ＋ 5/12
- 6. 例題 斜面上の垂直応力/せん断応力を求めよ x y 45° 10 N/cm2 10 N/cm2 6/12 σx＝ 0 τxy＝ 0 σy＝10 N/cm2 θ ＝ 45° ＝ 2 σx＋ σy 2 σx σy ＋ − cos2θ τxy＋ sin 2θσθ ＝ 2 0 ＋ 10 2 0 − 10 ＋ cos( 2・45 ) ＝ 5 N/cm2 ° τθ ＝ σx σy 2 − sin 2θ τxy cos2θ− ＋ ＝ 2 0 − 10 − sin( 2・45 ) ＝ 5 N/cm2 °
- 7. 垂直応力が最大値/最小値をとる角度 σθd dθ ＝0 tan2θn ＝ σx σy− 2τxy ＝ 2 σx＋σy 2 σx σy ＋ − cos2θ τxy＋ sin 2θσθ を満足する角度 と で極値をとる．θn θn 2 π ＋ 7/12 ( ) 2σx σy− sin 2θ τxy cos2θ＝0＋−
- 8. 垂直応力の最大値/最小値 σθ ＝ 2 σx＋σy 2 σx σy ＋ − cos2θ τxy＋ sin 2θ tan2θn ＝ σx σy− 2τxy cos2θn＝ tan 2θn＋1 1 2− ＋ sin 2θn＝ tan 2θn＋1 2 tan2θn − ＋ ( )σθn ＝ 2 σx＋ σy ＋ 2 σx σy− tan 2θ＋1 1 2− ＋ τxy＋ tan 2θ＋1 2 tan2θ − ＋( ) 2 σx＋ σy ＝ − ＋ 2 1 σx σy−( ) 2 4τxy＋ 2 8/12
- 9. 主応力と主軸，主応力面 最大値 最小値 方向 ＝ 2 σx＋ σy ＋ 2 1 σx σy−( ) 2 4τxy＋σ1 2 ＝ 2 σx＋ σy − 2 1 σx σy−( ) 2 4τxy＋σ2 2 tan2θn ＝ σx σy− 2τxy を満足する とθn θn 2 π ＋ θn σ1 主応力面 主軸 主応力 θn 主応力 主軸 σ2 2 π 主応力面 9/12 τθ ＝ 0n
- 10. 主せん断応力 ＝ 2 1 σ1 σ2−( ) 2 1 σ1 σ2−( )＝− 2 最大値 ＝ 2 1 σx σy−( ) 2 4τxy＋τ1 最小値 2 ＝ 2 1 σx σy−( ) 2 4τxy＋τ2 − 方向 tan2θs ＝ σx σy− 2τxy − を満足する とθs θs 2 π ＋ 10/12 τθ ＝ σx σy 2 − sin 2θ τxy cos2θ− ＋ τθd dθ ＝0 tan2θs ＝ σx σy− 2τxy −
- 11. 主応力/主せん断応力の幾何学的関係 11/12 tan2θn ＝ σx σy− 2τxy tan2θs ＝ σx σy− 2τxy − 主応力面の方向 主せん断応力面の方向 4 π 主応力面 主せん断応力面 θn θs : なす角 4 π tan2θn ＝ σx σy− 2τxy tan2θs・ ・ σx σy− 2τxy −( )＝− 1 2θn 2θs : なす角 2 π
Editor's Notes
- primeつけたよ
- 確認！！！！
- 0.5 kPa 0.5 kPa