1. ひずみと変位の関係を導出できる 2. 一般化されたフックの法則を説明できる 3. 体積ひずみを説明できる 2018版

1. 3次元空間のひずみ
1. ひずみと変位の関係を導出できる
目標
2. 一般化されたフックの法則を説明できる
3. 体積ひずみを説明できる
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2. 面素の変形と変位
x
y
B
CD
dx
dy
A
v(x, y)
A (x, y)
u(x, y)
A’(x+u(x, y), y+v(x, y))
B’
A’
C’
D’
y’
x’
2/17

3. 面素の変形と変位（x軸方向）
x
y
B
CD
B’
A’
C’
D’
dx
dy
u (x+dx, y)
B’’
A
v(x, y)
A (x, y)
B (x+dx, y)
u(x, y)
A’(x+u(x, y), y+v(x, y))
B’’(x+dx+u(x+dx, y),
y+v(x, y))
y’
x’
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4. x軸方向の垂直ひずみ
BAB’’A’ −
BA
εx ＝
＝
B’’A’ ＝ −
BA ＝ dx
(x+dx+u(x+dx, y)) (x+u(x, y))
u(x+dx, y) − u(x, y)
εx ＝
dx
u(x+dx, y) − u(x, y)
＝ ∂
∂
x
u(x, y)
dx → 0
4/17
+ dx

5. 面素の変形と変位（y軸方向）
x
y
B
CD
dx
dy
A
v(x, y)
A (x, y)
u(x, y)
A’(x+u(x, y), y+v(x, y))
B’
A’
C’
D’
y’
x’
D (x, y+dy)
v (x, y+dy) D’’
D’’(x+u(x, y),
y+dy+v(x, y+dy))
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6. y軸方向の垂直ひずみ
DAD’’A’ −
DA
εy ＝
＝
D’’A’ ＝ −
DA ＝ dy
(y+dy+v(x, y+dy)) (y+v(x, y))
εy ＝
dy
v(x, y+dy) − v(x, y)
＝ ∂
∂
y
v(x, y)
dy → 0
6/17
v(x, y+dy) − v(x, y) +dy

7. 変位と面素の変形（せん断方向）
x
y
B
A
CD
B’
A’
C’
D’
y’
x’
dx
dy v(x, y)
u(x, y)
B’(x+dx+u(x+dx, y),
y+v(x+dx, y))
θ1
θ2
u (x+dx, y)
B’’
v (x, y+dy) D’’
B’’(x+dx+u(x+dx, y),
y+v(x, y))
B’B’’
BA
θ1 ＝
7/17

8. 変位と面素の変形（せん断方向）
x
y
B
A
CD
B’
A’
C’
D’
y’
x’
dx
dy v(x, y)
u(x, y)
θ1
θ2
u (x+dx, y)
B’’
v (x, y+dy) D’’
D’(x+u(x, y+dy),
y+dy+v(x, y+dy))
D’’(x+u(x, y),
y+dy+v(x, y+dy))
D’D’’
DA
θ2 ＝
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9. 角度変化
B’B’’
BA
θ1 ＝
BA ＝ dx
＝ −v(x+dx, y) v(x, y)
＝
dx
−v(x+dx, y) v(x, y)
θ1
＝B’B’’ (y+v(x+dx, y))
(y+v(x, y))−
D’D’’
DA
θ2 ＝
D’D’’ ＝ (x+u(x, y+dy))
(x+u(x, y))−
＝ −u(x, y+dy) u(x, y)
DA ＝ dy
＝
dy
θ2
−u(x, y+dy) u(x, y)
＝ ∂
∂
y
u(x, y)
dy → 0＝ ∂
∂
x
v(x, y)
dx → 0
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10. せん断ひずみ
γxy ＝ θ1 + θ2
＝ ∂
∂
x
v(x, y)
∂
∂
y
u(x, y)
+
γyx ＝ γxy
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11. ３次元空間のひずみ
変位ベクトル：
u
v
w
垂直ひずみ
εx ＝ ∂
∂
x
u(x, y, z)
εy ＝ ∂
∂
y
v(x, y, z)
εz ＝ ∂
∂
z
w(x, y, z)
せん断ひずみ
γxy ＝ +
∂
∂
x
v(x, y, z)
∂
∂
y
u(x, y, z)
γzx ＝ +
∂
∂
x
w(x, y, z)
∂
∂
z
u(x, y, z)
γyz ＝ +
∂
∂
y
w(x, y, z)
∂
∂
z
v(x, y, z)
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12. ひずみテンソル
εij i 軸に垂直な面の
j 方向のひずみ
εx
εy
εz
εyx εzx
εzy
Sym.
[ε] ＝
εij ＝ γij2
1
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13. 多軸応力場の応力ーひずみ関係
σy
σy
σyによるひずみ
εy＝
E
1 σy εx εz＝ ＝
E
ν
σy−
σxによるひずみ
εx＝
E
1 σx εy εz＝ ＝
E
ν
σx−
σz によるひずみ
εz ＝
E
1 σz εx εy＝ ＝
E
ν
σz−
( )εx＝
E
1 σx ν σy− σz＋
ν＝ − (横ひずみ/縦ひずみ)
ν＝ εy− εx / ＝ εy− /εz
単軸
多軸＝単軸の重ね合わせ
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14. 一般化されたフックの法則
τxy＝
G
1
γxy
τzx＝
G
1
γzx
τyz＝
G
1
γyz
( )εx＝
E
1 σx ν σy− σz＋
( )εy＝
E
1 σy ν σz− σx＋
( )εz ＝
E
1 σz ν σx− σy＋
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15. ひずみと応力
σx＝ ( )( )1 ν 1 2ν−＋
E ( )1 ν− εx ( )ν ＋εy εz＋
σy＝ ( )( )1 ν 1 2ν−＋
E ( )1 ν− εy ( )ν ＋εz εx＋
σz＝ ( )( )1 ν 1 2ν−＋
E ( )1 ν− εz ( )ν ＋εx εy＋
τxy γxy＝G τzx γzx＝G τyz γyz＝G
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16. 体積ひずみ
V＝dx dzdy V’＝ dx( )εx1＋ dy( )1＋εy dz( )1＋εz
V
V’ − V
＝ εx εy εz＋ ＋ ＋εx εy ＋ εy εz ＋ εz εx ＋ εx εy εz
~− εx εy εz＋ ＋
εV ＝
＝
E
1 2ν−
( )σx＋σy＋σz
dx dx( )εx1＋
dy( )1＋εy
dy
dz( )1＋εzdz
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17. まとめ
1. ひずみと変位の関係
2. 一般化されたフックの法則
17/17
3. 体積ひずみ
垂直ひずみ せん断ひずみ