Questões de matemática selecionadas dos principais vestibulares militares.

1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS
SISTEMAS LINEARES

2. SISTEMAS LINEARES
1
01. (Espcex (Aman) 2020) A condição para que o sistema
ax y z 0
x 2y z 0,
x y z 0
+ + =


+ + =

 + + =

𝑎 ∈ ℝ, tenha solução única é
a) a 1.

b) a 1.
 −
c) a 2.

d) a 2.
 −
e) a 0.

02. (Epcar 2020) Três amigas: Tereza, Ana e Kely entram juntas numa loja de chocolates. A tabela abaixo indica a
quantidade de caixas e o tipo de trufas que cada uma comprou na loja.
Trufas de
morango
Trufas de
nozes
Trufaz de
coco
Tereza 3 7 1
Ana 4 10 1
Kely 1 1 1
Com as compras, Tereza gastou 315 reais e Kely gastou 105 reais. Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V)
Verdadeira ou (F) Falsa.
( ) O valor da caixa de trufas de coco é o dobro do valor da caixa de trufas de nozes.
( ) Ana gastou o quádruplo do que Kely gastou.
( ) As três juntas gastaram menos de 800 reais.
Sobre as proposições, tem-se que
a) todas são verdadeiras b) apenas uma é falsa c) apenas duas são falsas d) todas são falsas
03. (Epcar 2019) Considere o sistema abaixo
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 2 1
9
a b c
2 1 1
3
a b c
3 1 2
4
a b c

+ + =



+ − =



− − = −


Sabendo-se que a, b e c são números reais não nulos, é incorreto afirmar que
a) |𝑎| + |𝑏| + |𝑐| ∈ (ℝ − ℚ)
b) 2 2 2
a b c 2
+ + 
c) O determinante da matriz
2
2
2
a 1 3
0 b 4
0 0 c
 
 
 
 
 
 
é igual a
1
.
6
d) 2 2 2
1 1 1
a b c
+ + é par.

3. SISTEMAS LINEARES
2
04. (Ita 2019) Assinale a opção que identifica o lugar geométrico de todos os pares ordenados (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ2
que tornam
impossível o sistema linear
2
2
x 5y 10
S : .
a
5b x 10aby 1
5
− + =


 

+ + =
 
 
 

a) Uma elipse
b) Uma reta
c) Uma parábola
d) Uma hipérbole
e) Um único ponto
05. (Epcar 2019) Considere quatro números naturais distintos tais que, quando adicionados três a três, resultem em:
152,163,175 e 185.
Sobre esses quatro números é correto afirmar que
a) todos são números menores que 70.
b) nenhum é múltiplo de 10.
c) apenas um é número primo.
d) algum é quadrado perfeito.
06. (Efomm 2018) Para descrever um código que permite transformar uma palavra P de três letras em um vetor 𝑤 ∈
ℝ3
, inicialmente, escolhe-se uma matriz 3 3.
 Por exemplo, a nossa “matriz código” será:
2 2 0
A 3 3 1
1 0 1
 
 
=  
 
 
. A partir da
correspondência
A 1 / B 2 / C 3 / D 4 / E 5 /
F 6 / G 7 / H 8 / I 9 / J 10 /
L 11 / M 12 / N 13 / O 14 / P 15 /
Q 16 / R 17 / S 18 / T 19 / U 20 /
V 21 / X 22 / Z 23
→ → → → →
→ → → → →
→ → → → →
→ → → → →
→ → →
a palavra P é transformada em vetor v do ℝ3
. Em seguida, o código da palavra P é obtido pela operação w Av.
=
Por exemplo, a palavra MAR corresponde ao vetor (12,1
,17) v,
= a qual é codificada com w Av (26, 56, 29).
= =
Usando o processo acima para decodificar w (64,107, 29),
= teremos
a) x 18, y 14, z 11/ SOL
= = =
b) x 12, y 5, z 11/ MEL
= = =
c) x 12, y 1
, z 20 / MAU
= = =
d) x 11
, y 20, z 1/ LUA
= = =
e) x 20, y 21
, z 1/ UVA
= = =

4. SISTEMAS LINEARES
3
07. (Ita 2018) Se o sistema
2 4
3
x y z 0
2a y (2a a)z 0
x ay (a 1)z 0
+ + =



+ − =


+ + − =


admite infinitas soluções, então os possíveis valores do parâmetro a são
a)
1 3 1 3
0, 1
, , .
2 2
− − − +
−
b)
1 3 1 3
0, 1
, , .
2 2
− +
−
c)
1 3 1 3
0, 1
, , .
2 2
− + +
−
d) 0, 1
, 1 3, 1 3.
− − − − +
e) 0, 1
,1 3,1 3.
− − +
08. (Epcar 2018) Carlos, Paulo e José resolveram fazer um lanche na praça de alimentação de um shopping center. Ao
observarem o cardápio disponível, perceberam que teriam que pedir o que era denominado de “Combo”, ou seja, um
combinado de vários itens por um preço já especificado.
Assim, os Combos solicitados foram:
- Combo 1 R$ 15,00 : 2
= hambúrgueres, 1 suco e 1 sobremesa
- Combo 2 R$ 24,00 : 4
= hambúrgueres e 3 sucos
- Combo 3 R$ 35,00 : 5
= sucos e 3 sobremesas
O valor individual dos hambúrgueres é o mesmo, bem como o valor individual dos sucos e o valor individual das
sobremesas, não importando qual Combo foi escolhido. O quadro a seguir mostra a quantidade de cada um dos itens
dos Combos que Carlos, Paulo e José consumiram:
Hambúrgueres Sucos Sobremesas
Carlos 2 4 2
Paulo 3 3 0
José 1 2 2
Se Carlos, Paulo e José se organizaram para descobrir o valor individual de cada item e pagaram individualmente
apenas pelo que cada um consumiu, então é correto afirmar que
a) Carlos pagou R$ 9,00 a mais que Paulo.
b) a diferença entre o que Carlos e José pagaram foi de R$ 3,00.
c) Paulo e José pagaram o mesmo valor.
d) Carlos pagou mais que José, que pagou mais que Paulo.

5. SISTEMAS LINEARES
4
09. (Ime 2018) Seja o seguinte sistema de equações, em que s é um número real:
1 2 3
1 2 3
1 2
x x sx 0
2x x x 1
sx 2x 0
+ − =


− + + =

 − =

Escolha uma faixa de valores de s em que as soluções do sistema são todas negativas.
a) s 2
 −
b) 2 s 0
−  
c) 0 s 1
 
d) 1 s 2
 
e) s 2

10. (Efomm 2017) Dado o sistema linear abaixo, analise as seguintes afirmativas:
3 4 6 x 3
0 16 b y a
1 4 2 z 3
− −
     
     
 =
     
     
−
     
I. Se b 12,
 − o sistema linear terá uma única solução.
II. Se a b 12,
= = − o sistema linear terá infinitas soluções.
III. Se b 12,
= − o sistema será impossível.
a) Todas as afirmativas são corretas.
b) Todas as afirmativas são incorretas.
c) Somente as afirmativas I e III são corretas.
d) Somente as afirmativas I e II são corretas.
e) Somente as afirmativas II e III são corretas.
11. (Espcex 2017) Considere o sistema linear homogêneo
x 3y kz 0
3x ky z 0,
kx y 0
− + =


+ + =

 + =

onde k é um número real. O único valor
que torna o sistema, acima, possível e indeterminado, pertence ao intervalo
a) ( 4, 2]
− −
b) ( 2,1]
−
c) (1
, 2]
d) (2, 4]
e) (4, 6]
12. (Acafe 2017) Num restaurante, uma torta de legumes pesa 250 gramas, o que equivale a 500 calorias, e a porção
de carne tem 240 gramas e contém 600 calorias. Uma pessoa com restrição alimentar compra uma torta e uma
porção de carne, mas ela sabe que pode ingerir no máximo 824 calorias. Considerando que x e y representam,
respectivamente, em gramas, a quantidade de torta e de carne que ela pode ingerir, então, se essa pessoa consumir
entre 180 gramas e 220 gramas de carne, ela só poderá comer uma quantidade de torta entre
a) 127 g e 197 g.
b) 138 g e 188 g.
c) 137 g e 187 g.
d) 147 g e 177 g.

6. SISTEMAS LINEARES
5
13. (Efomm 2017) Na Escola de Marinha Mercante, há alunos de ambos os sexos (130 mulheres e 370 homens),
divididos entre os Cursos Básico, de Máquinas e de Náutica. Sabe-se que do total de 130 alunos do Curso de Máquinas,
20 são mulheres. O Curso de Náutica tem 270 alunos no total e o Curso Básico tem o mesmo número de homens e
mulheres. Quantas mulheres há no Curso de Náutica?
a) 50
b) 55
c) 60
d) 65
e) 70
14. (Ita 2017) Considere o sistema de equações

+ + =




+ + =



 + + =


2 3
2 3
2 3
1 27 8
3
x y z
4 81 40
S 10 .
x y z
2 54 24
7
x y z
Se (x, y, z) é uma solução real de S, então | x | | y | | z |
+ + é igual a
a) 0.
b) 3.
c) 6.
d) 9.
e) 12.
15. (Efomm 2017) Analise as afirmações que se seguem.
I. Se x, y, z são números reais positivos, então 3
x y z
x y z.
3
+ +
  
II. Se z é um número complexo de módulo unitário que satisfaz a condição 2n
z 1
,
 − sendo n um número inteiro
positivo, então
n
2n
z
1 z
+
é um número real.
III. Se 4, 3
A representa a matriz dos coeficientes de um sistema linear com quatro equações e três incógnitas, esse
sistema será possível e determinado sempre que o posto desta matriz A for menor ou igual a 3.
Então, pode-se dizer que
a) todas as afirmativas são verdadeiras.
b) todas as afirmativas são falsas.
c) somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
d) somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
e) somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

7. SISTEMAS LINEARES
6
16. (Espcex 2016) Para que o sistema linear
x y az 1
x 2y z 2 ,
2x 5y 3z b
+ + =


+ + =

 + − =

em que a e b são reais, seja possível e indeterminado,
o valor de a b
+ é igual a
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
17. (Acafe 2016) Um designer de joias utiliza três tipos de pedras preciosas (rubis, safiras e esmeraldas) na criação de
três modelos diferentes de colares (A, B e C). Na criação dessas peças ele verificou que:
- Para cada colar do tipo A usaria 4 rubis, 1 safira e 3 esmeraldas.
- Para cada colar do tipo B usaria 3 rubis, 1 safira e 2 esmeraldas.
- Para cada colar do tipo C usaria 2 rubis, 3 safiras e 2 esmeraldas.
Se ele dispõe de 54 rubis, 36 safiras e 42 esmeraldas para a execução dessas peças, então, a relação entre o número
de peças A, B e C é
a) C A B.
= +
b) B A C.
= +
c) A C B.
= −
d) C 2B 8A.
= −
18. (Ita 2016) Se o sistema de equações
x y 4z 2
x 2y 7z 3
3x y az b
+ + =


+ + =

 + + =

É impossível, então os valores de a e b são tais que
a) a 6 e b 4.
= 
b) a 6 e b 4.
 
c) a 6 e b 4.
 =
d) a 6 e b 4.
= =
e) a é arbitrário e b 4.


8. SISTEMAS LINEARES
7
19. (Acafe 2016) Seja o sistema S de equações lineares nas incógnitas x, y e z, e a e b números reais, dado por
x y z 4
S 4x ay z 25,
x y 3z b
− + − =


= + + = −

 − + =

analise as afirmações:
I. A matriz dos coeficientes associada ao sistema S tem determinante igual a ( 2a 8).
− −
II. O sistema S é impossível para a 4
= − e b 2.

III. Se a 1
= − e para algum valor real de b, a tripla ordenada
b 2 4 b
(x,y,z) 7, ,
2 2
− +
 
= −
 
 
é solução do sistema S.
IV. O sistema S possui infinitas soluções para a 4
= − e qualquer b .

Todas as afirmações corretas estão em
a) I - II
b) I - IV
c) I - II - III
d) II - III - IV
20. (Epcar 2016) O dono de uma loja de produtos seminovos adquiriu, parceladamente, dois eletrodomésticos. Após
pagar
2
5
do valor dessa compra, quando ainda devia R$ 600,00, resolveu revendê-los. Com a venda de um dos
eletrodomésticos, ele conseguiu um lucro de 20% sobre o custo, mas a venda do outro eletrodoméstico representou
um prejuízo de 10% sobre o custo. Com o valor total apurado na revenda, ele pôde liquidar seu débito existente e
ainda lhe sobrou a quantia de R$ 525,00. A razão entre o preço de custo do eletrodoméstico mais caro e o preço de
custo do eletrodoméstico mais barato, nessa ordem, é equivalente a
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
GABARITO
1 - A 2 - B 3 - B 4 - B 5 - C
6 - A 7 - B 8 - C 9 - D 10 - D
11 - B 12 - C 13 - C 14 - C 15 - C
16 - B 17 - B 18 - A 19 - C 20 - C