Questões de matemática selecionadas dos principais vestibulares militares.

1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS
POLINÔMIOS

2. POLINÔMIOS
1
01. (Ita 2012) Considere um polinômio p(x), de grau 5, com coeficientes reais. Sabe-se que −2i e i 3
− são duas de
suas raízes. Sabe-se, ainda, que dividindo-se p(x) pelo polinômio q(x) x 5
= − obtém-se resto zero e que
p(1) 20(5 2 3)
= + . Então, p( 1)
− é igual a
a) 5(5 2 3)
−
b) 15(5 2 3)
−
c) 30(5 2 3)
−
d) 45(5 2 3)
−
e) 50(5 2 3)
−
02. (Ita 2011) Se 1 é uma raiz de multiplicidade 2 da equação x4
+ x2
+ ax + b = 0, com a, b ∈ ℝ, então a2
– b3
é igual a
a) – 64
b) – 36
c) – 28
d) 18
e) 27
03. (Epcar 2011) Sobre o polinômio ( )
A x expresso pelo determinante da matriz
x 1 1
1 x 2
1 x x
 
 
−
 
 
 
, é incorreto afirmar que
a) não possui raízes comuns com ( ) 2
B x x 1
= − .
b) não possui raízes imaginárias.
c) a soma de suas raízes é igual a uma de suas raízes.
d) é divisível por ( )
P x x 2
= + .
04. (Col. naval 2011) Sejam p (x) = 2x2010
- 5x2
- 13x + 7 e q (x) = x2
+ x + 1. Tomando r(x) como sendo o resto na divisão
de p(x) por q(x), o valor de r(2) será
a) -8
b) -6
c) -4
d) -3
e) -2
05. (Ita 2011) Com respeito a equação polinomial 2x4
– 3x3
– 3x2
+ 6x – 2 = 0. É correto afirmar que
a) todas as raízes estão em ℚ.
b) uma única raiz está em ℤ e as demais estão em ℚ ℤ.
c) duas raízes estão em ℚ e as demais tem parte imaginária não nula.
d) não é divisível por 2x – 1.
e) uma única raiz está em ℚ ℤe pelo menos uma das demais está em ℝ ℚ.
06. (Ita 2011) A expressão 4e2x
+ 9e2y
– 16ex
– 54ey
+ 61 = 0, com x e y reais, representa
a) o conjunto vazio.
b) um conjunto unitário.
c) um conjunto não unitário com um número finito de pontos.
d) um conjunto com um número infinito de pontos.
e) o conjunto {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2|2(𝑒𝑥
− 2)2
3 + (𝑒𝑦
− 3)2
= 1}.

3. POLINÔMIOS
2
07. (Ita 2010) Considere o polinômio p(x) =
15
n 0
=
 an xn
com coeficientes a0 = – 1 e an = 1 + ian – l, n = 1, 2, ..., 15. Das
afirmações:
I. p(– 1) ∉ ℝ,
II. p(x) ≤ 4 (3 + 2 5
+ ), x
 [– 1, 1],
III. a8 = a4,
é (são) verdadeira(s) apenas
a) I
b) II
c) III
d) I e II
e) II e III
08. (Ime 2010) Seja o polinômio 3 b
p(x) x ( n a) x e ,
= + , onde a e b são números reais positivos diferentes de zero. A
soma dos cubos das raízes de p(x) depende
Obs.: e representa a base do logaritmo neperiano e n a a função logaritmo neperiano.
a) apenas de a e é positiva.
b) de a e b e é negativa.
c) apenas de b e é positiva.
d) apenas de b e é negativa.
e) de a e b e é positiva.
09. (Ita 2010) Um polinômio real p(x) =
5
n 0
=
 an xn
, com a5 = 4, tem três raízes reais distintas, a, b e c, que satisfazem o
sistema
a 2b 5c 0
a 4b 2c 6 .
2a 2b 2c 5
+ + =


+ + =

 + + =

Sabendo que a maior das raízes é simples e as demais tem multiplicidade dois, pode-se
afirmar que p(l) é igual a
a) – 4
b) – 2
c) 2
d) 4
e) 6

4. POLINÔMIOS
3
10. (Ita 2010) Sabe-se que o polinômio p(x) = x5
– ax3
+ ax2
– 1, a R
a , admite a raiz – i.
Considere as seguintes afirmações sobre as raízes de p:
I. Quatro das raízes são imaginárias puras.
II. Uma das raízes tem multiplicidade dois.
III. Apenas uma das raízes e real.
Destas, é (são) verdadeira(s) apenas
a) I
b) II
c) III
d) I e III
e) II e III
GABARITO
1 - C 2 - C 3 - A 4 - E 5 - E
6 - D 7 - E 8 - D 9 - A 10 - C