- The document contains 23 multiple choice questions about inequalities. - The questions cover topics such as solving systems of inequalities, determining the number of solutions to inequalities, identifying the solution set of inequalities, and analyzing functions using inequalities. - Several questions provide contextual word problems involving applications of inequalities such as probability, construction costs, and sums of integer values.

1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS
INEQUAÇÕES

2. INEQUAÇÕES
1
01. (Epcar 2020) Sejam as funções reais f, g e h tais que:
- f é função quadrática, cujas raízes são 0 e 4 e cujo gráfico tangencia o gráfico de g;
- g é tal que g(x) m
= com m 0,
 em que m é raiz da equação
2
2x 8x 3
1
128;
2
− + +
 
=
 
 
- h é função afim, cuja taxa de variação é 1 e cujo gráfico intercepta o gráfico de f na maior das raízes de f.
Considere os gráficos dessas funções num mesmo plano cartesiano.
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa.
( ) A função real k definida por
5
2
[f(x)] [h(x)]
k(x)
[g(x)]

= é NÃO negativa se, e somente se x ] , 0].
 − 
( ) h(x) f(x) g(x)
  se, e somente se
4
x , 4 {2}.
5
 
 − −
 
 
( ) A equação h(x) f(x) 0
− = possui duas raízes positivas.
Sobre as proposições, tem-se que
a) todas são verdadeiras.
b) apenas duas são verdadeiras.
c) apenas uma é verdadeira.
d) nenhuma delas é verdadeira.
02. (Efomm 2020) Considere a inequação ( )
7 4 2 2
x x x 1 x 4x 3 x 7x 54 0.
− + − − + − −  Seja I o conjunto dos números
inteiros que satisfaz a desigualdade e n a quantidade de elementos de I. Com relação a n, podemos afirmar que
a) n é um número primo.
b) n é divisível por 7.
c) n não divide 53904.
d) n é um quadrado perfeito.
e) n é divisível por 6.
03. (Efomm 2020) A inequação | x | | 2x 8 | | x 8 |
+ −  + é satisfeita por um número de valores inteiros de x igual a
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

3. INEQUAÇÕES
2
04. (Epcar 2020) Considere:
- a matriz
x 1 1 1
A 0 1 0
x 2 1 x 1
+ −
 
 
=  
 
+ +
 
cujo determinante é detA M;
=
- a matriz
1 0 0 0 0
0 0 0 0 1
B 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
 
 
 
 
= −
 
 
 
−
 
cujo determinante é detB N;
= e
- T 3 x
= −
Seja f uma função real definida por T T
f(x) log M log N
= +
Sobre o domínio de f, é correto afirmar que
a) é o conjunto dos números reais.
b) possui apenas elementos negativos.
c) não tem o número 2 como elemento.
d) possui três elementos que são números naturais.
05. (Acafe 2019) Analise as afirmações a seguir e assinale a alternativa que contém todas as corretas.
I. Se
x 1
f(x)
x 3
+
=
−
e
x 1
g(x)
x 3
+
=
−
são funções, então f(x) g(x).
=
II. Se a função 2
h(x) (x 1)(x 3)(x 1)
= + + − é negativa para todo x (a, b),
 então 2a 3b 3.
+ = −
III. Existem valores reais de m tais que a função 2
f(x) (m 1)x 2mx m
= + − + tem raízes reais e assume um valor máximo
IV. Se 2
x 1
, se x 0
g(x) ,
x 4, se x 0
+ 


= 
− + 


então ((g g) g)(1) 0.

V. Se 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥2
− 9 ≤ 0} e 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ; −3 ≤ 𝑥 ≤ 3}, então A B.
=
a) II – V
b) II – IV
c) I – III – V
d) II – III
06. (Ime 2019) Seja a inequação: 4 3
6x 5x 29x 10x 0

− − +  . Seja (a, b) um intervalo contido no conjunto solução
dessa inequação. O maior valor possível para b a
− é
a) 2
b)
13
6
c)
1
3
d)
5
2
e)
8
3

4. INEQUAÇÕES
3
07. (Epcar 2019) Sobre a inequação
2
3
3x 2x
x ,
x
+
 considerando o conjunto universo 𝑈 ⊂ ℝ, é INCORRETO afirmar
que possui conjunto solução
a) unitário se 𝑈 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 0 𝑒 𝑥 = 2𝑘, 𝑘 ∈ ℤ+
∗
}
b) vazio se U [2, [
= + 
c) com infinitas soluções se 𝑈 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = 2𝑘 + 1, 𝑘 ∈ ℤ}
d) com infinitas soluções se 𝑈 = {𝑥 ∈ ℝ ∗ |𝑥 ≤ 2}
08. (Ime 2018) Seja o seguinte sistema de equações, em que s é um número real:
1 2 3
1 2 3
1 2
x x sx 0
2x x x 1
sx 2x 0
+ − =


− + + =

 − =

. Escolha uma
faixa de valores de s em que as soluções do sistema são todas negativas.
a) s 2
 −
b) 2 s 0
−  
c) 0 s 1
 
d) 1 s 2
 
e) s 2

09. (Efomm 2018) Um atleta de tiro ao prato tem probabilidade de 0,9 de acertar o prato a cada novo lançamento.
Analisando esse jogador antes do início da competição, após quantos lançamento de pratos, a probabilidade de ele
não ter acertado todos os tiros se tornará maior que a probabilidade de acertar todos?
a) 9
b) 8
c) 7
d) 6
e) 5
10. (Espcex 2018) O conjunto solução da inequação x 4 1 2
− +  é um intervalo do tipo [a, b]. O valor de a b
+ é igual
a
a) 8.
−
b) 2.
−
c) 0.
d) 2.
e) 8.
11. (Epcar 2018) Considere a equação (I) na incógnita x e a equação (II) na incógnita y, a seguir:
2 2
x 5m 2nx
(I) ,
m n m n m n
− =
− + −
com 2 2
m n

2
(II) 2y xy 8 0
+ + =
O valor de x da equação (I) é substituído na equação (II). Se a equação (II), após esta substituição, possui conjunto
solução distinto do conjunto vazio, então o conjunto mais amplo dos valores de m que atendem esta condição é
a) {𝑚 ∈ ℝ|𝑚 ≤ −
8
5
𝑜𝑢 𝑚 ≥
8
5
} b) {𝑚 ∈ ℝ| −
8
5
≤ 𝑚 ≤
8
5
} c) {𝑚 ∈ ℝ|𝑚 ≥
8
5
} d) {𝑚 ∈ ℝ|𝑚 ±
8
5
}

5. INEQUAÇÕES
4
12. (Ime 2017) O sistema de inequações abaixo admite k soluções inteiras.
2
x 2x 14
3
x
x 12
 − −
 

 

Pode-se afirmar que:
a) 0 k 2
 
b) 2 k 4
 
c) 4 k 6
 
d) 6 k 8
 
e) k 8

13. (Ita 2017) O número de soluções inteiras da inequação 2 2
0 x | 3x 8x | 2
 − +  é
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
14. (Eear 2017) A desigualdade
3x 5 x
1 1
2 4
−
   

   
   
tem como conjunto solução
a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 1}
b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 5}
c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 5}
d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|1 < 𝑥 < 5}
15. (Ime 2016) Quantos inteiros k satisfazem à desigualdade 1
1 4
10 10
2 log k 1 10log k 3 0?
−
− + + 
a) 10
b) 89
c) 90
d) 99
e) 100
16. (Acafe 2015) Uma pessoa compra um terreno de 40 metros de comprimento por 20 metros de largura. Ela deseja
construir uma casa e estabelece ao arquiteto contratado pelo projeto certas condições:
l. a área destinada ao lazer deve ter 2
200 m ;
ll. a área interna da casa mais a área de lazer deve ultrapassar 50% da área total do terreno;
III. o custo da construção da casa deve ser menor que R$ 450.000,00.
Sabendo que o metro quadrado construído custa R$ 1.500,00, a área interna da casa que o arquiteto irá projetar será:
a) entre 2
300 m e 400 m. b) maior que 2
400 m . c) entre 2
200 m e 2
300 m . d) menor que 2
200 m .

6. INEQUAÇÕES
5
17. (Acafe 2015) O conjunto S é formado pela solução da inequação dada a seguir, com 𝑥 ∈ ℤ.
x(x 5) x 2
1 1
0
5 25
+ +
   
− 
   
   
O número de conjuntos de 3 elementos cada um, que podemos formar com os elementos obtidos em S é igual a
a) 10.
b) 120.
c) 64.
d) 20.
18. (Col. naval 2015) Seja S a soma dos valores inteiros que satisfazem a inequação
2
2
(5x 40)
0.
x 10x 21
−

− +
Sendo assim,
pode-se afirmar que
a) S é um número divisível por 7.
b) S é um número primo.
c) 2
S é divisível por 5.
d) S é um número racional.
e) 3S 1
+ é um número ímpar.
19. (Ime 2015) Sejam x e y números reais não nulos tais que:
1 1
e
x y
e
y x
log y log x a
1 1
b
log x log y
π
π− −
 + =


 − =



. O valor de
a b 2e
a b 2
x
y π
+ +
− +
é
a) 1
b)
e
π
c)
a e
b π


d) a b
−
e)
e
(a b)π
π
+
20. (Espcex 2014) Se 𝑌 = {𝑦 ∈ ℝ tal que 6y 1 5y 10},
−  − então
a)
1
Y ,
6
 
= −
 
 
b) Y { 1}
= −
c) 𝑌 = ℝ
d) Y = 
e)
1
,
6
 
+
 
 

7. INEQUAÇÕES
6
21. (Ime 2013) Considere as inequações abaixo:
I) 2 2 2
a b c ab bc ca
+ +  + +
II) 3 3 2 2
a b a b ab
+  +
III) ( ) ( )4
2 2
a – b a – b

Está(ão) correta(s), para quaisquer valores reais positivos de a,b e c, a(s) inequação(ões)
a) II apenas.
b) I e II apenas.
c) I e III apenas.
d) II e III apenas.
e) I, II e III.
22. (Espcex 2012) A inequação + + + +
+ + + +
x x 1 x 2 x 3 x 4
10 10 10 10 10 <11111
, em que x é um número real,
a) não tem solução.
b) tem apenas uma solução.
c) tem apenas soluções positivas.
d) tem apenas soluções negativas.
e) tem soluções positivas e negativas.
23. (Col. naval 2011) No conjunto dos números reais, qual será o conjunto solução da inequação
1
2
88 1
0,25
x
121
−  ?
a) {𝑥 ∈ 𝑅/
2
15
< 𝑥 <
15
2
}
b) {𝑥 ∈ 𝑅/0 < 𝑥 <
2
15
}
c) {𝑥 ∈ 𝑅/−
2
15
< 𝑥 < 0}
d) {𝑥 ∈ 𝑅/−
15
2
≤ 𝑥 < −
2
15
}
e) {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 < −
15
2
}
24. (Epcar 2011) Classifique em (V) verdadeiro ou (F) falso cada item abaixo, onde 𝑎 ∈ ℝ.
I.
𝑥2−𝑎2
𝑥−𝑎
= 𝑥 + 𝑎 ∀𝑥 ∈ ℝ
II.
1 1
se
x a
 e 𝑎 > 0, então {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 0 ou 𝑥 > 𝑎}
III. 2 2
se a 0 e x a, então x a 0
  − 
Tem-se a sequência correta em
a) F – V – F
b) F – F – V
c) V – F – V
d) F – V – V

8. INEQUAÇÕES
7
25. (Espcex 2011) O conjunto-solução da inequação
2
x
log (x 1)
x 4
+
 , no conjunto dos números reais, é
a) {𝑥 ∈ ℝ|0 < 𝑥 < 1}
b) {𝑥 ∈ ℝ|0 ≤ 𝑥 ≤ 1}
c) {𝑥 ∈ ℝ|0 < 𝑥 ≤ 1}
d) {𝑥 ∈ ℝ| − 3 ≤ 𝑥 ≤ 1}
e) {𝑥 ∈ ℝ| − 3 ≤ 𝑥 < 1}
26. (Ime 2010) Sejam r, s, t e v números inteiros positivos tais que . Considere as seguintes relações
I.
II.
III.
IV.
O número total de relações que estão corretas é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
GABARITO
1 - D 2 - D 3 - E 4 - C 5 - D 6 - B
7 - B 8 - D 9 - C 10 - E 11 - A 12 - D
13 - C 14 - B 15 - C 16 - C 17 - D 18 - B
19 - A 20 - C 21 - B 22 - D 23 - B 24 - D
25 - A 26 - D
r t
s v

( ) ( )
r s t v
s v
+ +

( ) ( )
r t
r s t v

+ +
( )
( )
r t
r
s s v
+

+
( ) ( )
r t r t
s v
+ +
