2. DETERMINANTES
1
01. (Epcar 2015) Considere as seguintes simbologias em relação à matriz M:
t
M é a matriz transposta de M
1
M−
é a matriz inversa de M
det M é o determinante da matriz M
Da equação t 1
(X ) A (B C),
−
= + em que A e (B C)
+ são matrizes quadradas de ordem n e inversíveis, afirma-se que
I. ( ) ( )
t
t 1
1
X A B C
−
−
= +
II.
1
det X
det A det (B C)
=
+
III. ( )
1 t t t
X B C A
−
= +
São corretas
a) apenas I e II
b) apenas II e III
c) apenas I e III
d) I, II e III
02. (Espcex 2015) Seja x um número real, I a matriz identidade de ordem 2 e A a matriz quadrada de ordem 2,
cujos elementos são definidos por i j
a i j.
= −
Sobre a equação em x definida por ( )
det A xI x det A
− = + é correto afirmar que
a) as raízes são 0 e
1
.
2
b) todo x real satisfaz a equação.
c) apresenta apenas raízes inteiras.
d) uma raiz é nula e a outra negativa.
e) apresenta apenas raízes negativas.
03. (Espcex 2014) O elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz inversa da matriz
1 0 1
2 1 0
0 1 1
é:
a)
2
3
b)
3
2
c) 0
d) 2
−
e)
1
3
−
3. DETERMINANTES
2
04. (Ita 2014) Considere a equação 𝐴(𝑡) 𝑋 = 𝐵 (𝑡), 𝑡 ∈ ℝ, em que
2t 2t
2e e 1 x
A(t) 1 1 1 , X y
3 1 2 z
−
− −
= − =
−
e
t
e
B(t) 2 .
0
= −
Sabendo que det A(t) 1
= e t 0,
os valores de x, y e z são, respectivamente,
a) 2 2, 0, 3 2.
−
b) 2 2, 0, 3 2.
− −
c) 0, 3 2, 2 2.
d) 0, 2 3, 3.
e) 2 3, 3, 0.
−
05. (Ita 2014) Seja M uma matriz quadrada de ordem 3, inversível, que satisfaz a igualdade
2 3
3 2
det(2M ) det( 2M ) det(3M).
9
− = Então, um valor possível para o determinante da inversa de M é
a)
1
.
3
b)
1
.
2
c)
2
.
3
d)
4
.
5
e)
5
.
4
06. (Ita 2014) Considere as seguintes afirmações sobre as matrizes quadradas A e B de ordem n, com A inversível e B
antissimétrica:
I. Se o produto AB for inversível, então n é par;
II. Se o produto AB não for inversível, então n é ímpar;
III. Se B for inversível, então n é par.
Destas afirmações, é (são) verdadeira(s)
a) Apenas I
b) Apenas I e II
c) Apenas I e III
d) Apenas II e III
e) Todas
4. DETERMINANTES
3
07. (Esc. Naval 2014) Sejam A a matriz quadrada de ordem 2 definida por
2cos 2x cos(x )
A 2
cosx 1
π
π
− +
=
e f a
função real de variável real tal que ( )
t
f(x) det A A ,
= + onde t
A representa a matriz transposta de A. O gráfico que
melhor representa a função y f(x)
= no intervalo x
π π
− é
a)
b)
c)
d)
e)
08. (Ime 2013) Seja o determinante da matriz 2 3
1 2 3
x x x .
x x 1
O número de possíveis valores de x reais que anulam
é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
5. DETERMINANTES
4
09. (Ita 2013) Considere 𝐴 ∈ 𝑀5x5(ℝ) com ( )
det A 6
= e
R 0 .
α Se ( )
t t 2
det A AA 6 ,
α α
= o valor de α é
a)
1
.
6
b)
6
.
6
c)
3
36
.
6
d) 1.
e) 216.
10. (Epcar 2013) Considere as matrizes A e B, inversíveis e de ordem n, bem como a matriz identidade I. Sabendo que
( )
det A 5
= e ( )
1 1
det I.B .A ,
3
−
= então o ( )
t
1 1
det 3. B .A
− −
é igual a
a) n
5 3
b)
n–1
2
3
5
c)
n
3
15
d) n 1
3 −
11. (Acafe 2012) Analise as afirmações abaixo, sabendo que:
= −
a b c
d e f 2
g h i
I. =
d e f
a b c 2
g h i
II. = −
3a 3b 3c
3d 3e 3f 6
3g 3h 3i
III. =
a b c
0 0 0 0
g h i
IV. + + + = −
a b c
d 2a e 2b f 2c 2
g h i
Assinale a alternativa correta.
a) Apenas I, III e IV são verdadeiras.
b) Apenas a afirmação III é verdadeira.
c) Apenas I e II são verdadeiras.
d) Todas as afirmações são verdadeiras.
6. DETERMINANTES
5
12. (Epcar 2011) Sendo
2 3 4 a
0 0 2 0
70
3 1 1 b
1 0 2 c
=
−
−
, o valor de
4 3 2 a
2 0 0 0
1 1 3 b
7 1 0 b 3c
−
− +
é
a) 280
b) 0
c) –70
d) –210
13. (Ita 2010) Sobre os elementos da matriz A = [
x1 x2 x3 x4
y1 y2 y3 y4
0 0 0 1
1 0 0 0
] ∈ M4x4(ℝ), sabe-se que (x1, x2, x3, x4) e (y1, y2,
y3, y4) são duas progressões geométricas de razão 3 e 4 e de soma 80 e 255, respectivamente. Então, det(A–1
) e o
elemento (A–1
)23 valem, respectivamente,
a)
1
72
e 12
b)
1
72
− e -12
c)
1
72
− e 12
d)
1 1
e .
72 12
−
e)
1 1
e .
72 12
14. (Ime 2010) Considere o determinante de uma matriz de ordem n, definido por:
n
1 1 1 1 ... 1 1
-1 3 0 0 ... 0 0
0 -1 3 0 ... 0 0
0 0 -1 3 ... 0 0
...........................
0 0 0 0 ... 3 0
0 0 0 0 ... -1 0
=
Sabendo que 1 1
= , o valor de 10
é
a) 59049
b) 48725
c) 29524
d) 9841
e) 364
15. (Ita 2008) Sejam A e C matrizes n × n inversíveis tais que det (I + C-1 A) = 1/3 e det A = 5. Sabendo-se que
B = 3(A-1 + C-1)t, então o determinante de B é igual a
a) 3n
b) 2 . (3n
/52
)
c) 1/5
d) 3n - 1
/5
e) 5 . 3n - 1
7. DETERMINANTES
6
16. (Ita 2004) Considere as afirmações dadas a seguir, em que A é uma matriz quadrada n × n, n ≥ 2:
I. O determinante de A é nulo se, e somente se, A possui uma linha ou uma coluna nula.
II. Se A = (aij) é tal que aij = 0 para i > j, com i, j = 1,2,...,n, então det A = a11a22...ann.
III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira coluna por 2 +1 e a segunda por 2 -1, mantendo-se inalteradas
as demais colunas, então det B = det A.
Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s)
a) apenas II
b) apenas III
c) apenas I e II
d) apenas II e III
e) todas.
17. (Ita 1996) Considere A e B matrizes reais 2 × 2, arbitrárias. Das afirmações a seguir assinale a verdadeira. Justifique
a afirmação verdadeira e dê exemplo para mostrar que cada uma das demais é falsa.
a) Se A é não nula então A possui inversa.
b) (AB)t
= At
Bt
c) det (AB) = det (BA)
d) det A2
= 2 det A
e) (A + B)(A - B) = A2
- B2
GABARITO
1 - D 2 - C 3 - A 4 - B 5 - A
6 - C 7 - D 8 - C 9 - C 10 - B
11 - A 12 - D 13 - C 14 - C 15 - D
16 - D 17 - C
