Questões de matemática selecionadas dos principais vestibulares militares.

1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS
POLINÔMIOS

2. POLINÔMIOS
1
01. (Ita 2015) Considere o polinômio p dado por 3 2
p(x) 2 ax bx 16,
=  + + − com 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. Sabendo-se que p admite
raiz dupla e que 2 é uma raiz de p, então o valor de b a
− é igual a
a) 36.
−
b) 12.
−
c) 6.
d) 12.
e) 24.
02. (Ita 2014) Considere os polinômios em 𝑥 ∈ ℝ da forma 5 3 2
3 2 1
p(x) x a x a x a x.
= + + + As raízes dep(x) 0
=
constituem uma progressão aritmética de razão
1
2
quando ( )
1 2 3
a , a , a é igual a
a)
1 5
, 0, .
4 4
 
 
 
b)
1 5
, 1
, .
4 4
 
 
 
c)
1 5
, 0, .
4 4
 
−
 
 
d)
5 1
, 0, .
4 4
 
 
 
e)
1 1
, 1
, .
4 4
 
− −
 
 
03. (Espcex 2014) Na figura abaixo está representado o gráfico da função polinomial f, definida no intervalo real [a,b].
Com base nas informações fornecidas pela figura, podemos afirmar que
a) f é crescente no intervalo [a,0].
b) f(x) f(e)
 para todo x no intervalo [d, b].
c) f(x) 0
 para todo x no intervalo [c, 0].
d) a função f é decrescente no intervalo [c,e].
e) se 1
x [a,c]
 e 2
x [d,e],
 então 1 2
f(x ) f(x ).


3. POLINÔMIOS
2
04. (Esc. Naval 2014) Considere 2 5 2
P(x) (m 4 m 4 x x
( ) k
) x 1
= − + + + + um polinômio na variável real x, em que m e
k são constantes reais. Quais os valores das constantes m e k para que P(x) não admita raiz real?
a) m 4
= e 2 k 2
−  
b) m 4
= − e k 2

c) m 2
= − e 2 k 2
−  
d) m 4
= e | k | 2

e) m 2
= − e k 2
 −
05. (Espcex 2014) Sabendo que 2 é uma raiz do polinômio 3 2
P(x) 2x 5x x 2,
= − + + então o conjunto de todos os
números reais x para os quais a expressão P(x) está definida é
a) {𝑥 ∈ ℝ/1 ≤ 𝑥 ≤ 2}
b) {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ≤ −
1
2
}
c) {𝑥 ∈ ℝ/−
1
2
≤ 𝑥 ≤ 1 ou x 2}

d) {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ≠ 2}
e) {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ≠ 2 e x 1}

06. (Espcex 2014) Dado o polinômio q (x) que satisfaz a equação 3 2
x ax x b (x 1) q(x)
+ − + = −  e sabendo que 1 e 2 são
raízes da equação 3 2
x ax x b 0,
+ − + = determine o intervalo no qual q(x) 0 :

a) [ 5, 4]
− −
b) [ 3, 2]
− −
c) [ 1
, 2]
−
d) [3, 5]
e) [6, 7]
07. (Ita 2014) Considere o polinômio complexo 4 3 2
p(z) z a z 5z iz 6,
= + + − − em que a é uma constante complexa.
Sabendo que 2i é uma das raízes de p(z) 0,
= as outras três raízes são
a) 3i, 1
, 1.
− −
b) i, i, 1.
−
c) i, i, 1.
− −
d) 2i, 1
, 1.
− −
e) 2i, i, i.
− −
08. (Col. naval 2014) Considere a equação do 2º grau 2
2014x 2015x 4029 0.
− − = Sabendo-se que a raiz não inteira é
dada por
a
,
b
onde "a" e "b" são primos entre si, a soma dos algarismos de "a b"
+ é
a) 7
b) 9
c) 11
d) 13
e) 15

4. POLINÔMIOS
3
09. (Espcex 2013) A figura a seguir apresenta o gráfico de um polinômio P(x) do 4º grau no intervalo  
0,5 .
O número de raízes reais da equação ( )
P x 1 0
+ = no intervalo  
0,5 é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
10. (Espcex 2013) Um polinômio q(x), do 2º grau, é definido por ( ) 2
q x ax bx c,
= + + com a, b e c reais, a 0.
 Dentre
os polinômios a seguir, aquele que verifica a igualdade ( ) ( )
q x q 1 x ,
= − para todo x real, é
a) ( ) ( )
2
q x a x x c
= + +
b) ( ) ( )
2
q x a x – x c
= +
c) ( ) ( )
2 2
q x a x – x c
= +
d) ( ) ( )
2 2
q x a x x c
= + +
e) ( ) 2
q x a x c
= +
11. (Esc. Naval 2013) Sejam 3
F(x) x ax b
= + + e 2
G(x) 2x 2x 6
= + − dois polinômios na variável real x, com a e b
números reais. Qual valor de (a b)
+ para que a divisão
F(x)
G(x)
seja exata?
a) 2
−
b) 1
−
c) 0
d) 1
e) 2
12. (Epcar 2013) As raízes da equação algébrica 3 2
2x ax bx 54 0
− + + = formam uma progressão geométrica.
Se 𝑎, b ∈ ℝ, b 0,
 então
a
b
é igual a
a)
2
3
b) 3
c)
3
2
−
d)
1
3
−

5. POLINÔMIOS
4
13. (Esc. Naval 2013) Sabendo que i 3 é uma das raízes da equação 4 3 2
x x 2x 3x 3 0,
+ + + − = a soma de todas as
raízes desta equação é
a) 2i 3
−
b) 4i 3
c) 0
d) 1
−
e) 2
−
14. (Ita 2013) A soma de todos os números reais x que satisfazem a equação ( ) ( )
x 1 x 1 x 1
8 44 2 64 19 4
+ + +
+ + = é
igual a
a) 8
b) 12
c) 16
d) 18
e) 20
15. (Ime 2013) Os polinômios ( ) 3 2
P x x ax 18
= + + e ( ) 3
Q x x bx 12
= + + possuem duas raízes comuns. Sabendo que
a e b são números reais, pode-se afirmar que satisfazem a equação
a) a b
=
b) 2a b
=
c) a 2b
=
d) 2a 3b
=
e) 3a 2b
=
16. (Espcex 2012) As medidas em centímetros das arestas de um bloco retangular são as raízes da equação polinomial
− + − =
3 2
x 14x 64x 96 0. Denominando-se r, s e t essas medidas, se for construído um novo bloco retangular, com
arestas medindo ( )
−
r 1 , ( )
−
s 1 e ( )
−
t 1 , ou seja, cada aresta medindo 1cm a menos que a do bloco anterior, a medida
do volume desse novo bloco será
a) 3
36 cm
b) 3
45 cm
c) 3
54 cm
d) 3
60 cm
e) 3
80 cm
17. (Ime 2012) Considere o polinômio 3 2
5x – 3x – 60x 36 0.
+ = Sabendo que ele admite uma solução da forma n,
onde n é um número natural, pode se afirmar que
a) 1 n 5
 
b) 6 n 10
 
c) 10 n 15
 
d) 15 n 20
 
e) 20 n 30
 

6. POLINÔMIOS
5
18. (Epcar (Afa) 2012) O polinômio ( ) 4 2
P x x 75x 250x
= − + tem uma raiz dupla. Em relação à P(x) é correto afirmar
que
a) apenas uma de suas raízes é negativa.
b) a sua raiz dupla é negativa.
c) três de suas raízes são negativas.
d) nenhuma de suas raízes é negativa.
19. (Espcex 2012) Seja a função complexa ( ) = − + −
3 2
P x 2x 9x 14x 5. Sabendo-se que +
2 i é raiz de P, o intervalo I de
números reais que faz ( ) 
P x 0, para todo 
x I é
a)
 
− 
 
 
1
,
2
b)  
0,1
c)
 
 
 
1
,2
4
d)  
+
0,
e)
 
−
 
 
1 3
,
4 4
20. (Ita 2012) As raízes 1
x , 2
x e 3
x do polinômio 2 3
p(x) 16 ax (4 2)x x
= + − + + estão relacionadas pelas equações:
3
1 2 1 2 3
x
x 2x 2 e x 2x 2x 0
2
+ + = − − = . Então, o coeficiente a é igual a
a) 2(1 2)
−
b) 2 4
−
c) 2(2 2)
+
d) 4 2
+
e) 4( 2 1)
−
GABARITO
1 - B 2 - C 3 - D 4 - A 5 - C
6 - C 7 - A 8 - D 9 - C 10 - ANULADA
11 - B 12 - D 13 - D 14 - D 15 - B
16 - B 17 - C 18 - A 19 - A 20 - C