3. Bilangan irrasional adalah bilangan-bilangan
yang tidak dapat dinyatakan
sebagai perbandingan bilangan bulat.
Contoh bilangan irasional :
√3, √5, 1 + √2, 3√7, π , cos 19°
Bilangan rasional dan irasional bersama-sama
membangun suatu klas bilangan
yang lebih besar yang disebut bilangan riil
atau kadang disebut system bilangan riil.
4. PEMBAGIAN DENGAN
NOL
• Pada perhitungan dengan bilangan
riil, pembagian dengan nol tidak
pernah diperkenankan karena
hubungan dalam bentuk y = p/0
akan mengakibatkan
• 0 . y = p
5. BBIILLAANNGGAANN KKOOMMPPLLEEKKSS
• Karena kuadrat suatu bilangan riil tidak
negatif, persamaan :
• x2 = -1
• i = √-1 didefinisikan memiliki sifat i2 = -1.
• Bilangan kompleks adalah bilangan-bilangan
yang berbentuk :
• a + bi
• dengan a dan b bilangan riil. Beberapa
contohnya adalah :
• 2 + 3i [a = 2, b = 3]
• 3 – 4i [a = 3, b = -4]
• 6i [a = 0, b = 6]
• 2 [a = 2 , b = 0]
•
6. REPRESENTASI DESIMAL DARI
BILANGAN RIIL
• Bilangan rasional dan bilangan irrasional dapat
dibedakan berdasarkan bentuk penyajian
desimalnya.
• 4 = 1.333…, [3 berulang]
• 3
• 3 = .272727…, [27 berulang]
11
• 5 = .714285714285…, [714285 berulang]
• 7
• Desimal berulang yang memuat nol setelah
beberapa titik disebut desimal terakhir.
• 1 = .50000…, 12 = 3.0000…, 8 = .
320000…
• 2 4 25
7. GARIS KOORDINAT
Geometri analitik adalah suatu cara untuk menjelaskan
rumus aljabar dengan kurva geometrik dan sebaliknya,
kurva geometri dengan rumus aljabar.
Dalam geometri analitik, langkah kuncinya adalah
menentukan hubungan bilangan real dengan titik pada
garis, hal ini dilakukan dengan menandai salah satu
dari dua arah sepanjang garis sebagai arah positif dan
yang lain sebagai arah negatif.-+Titik Asal
Bilangan riil yang bersesuaian dengan titik pada garis
disebut koordinat dari titik tersebut.
Pada gambar diberi tanda tempat titik-titik dengan
koordinat –4, -3, -2,75, -1/2, √2, π, dan 4. Tempat
dari √2 merupakan hampiran yang diperoleh dari
hampiran desimalnya yaitu π ≈ 3.14 dan √2 ≈ 1.41
-4 -3 -1.75 -1/2 √2
8. SIFAT-SIFAT URUTAN
• KETIDAKSAMAAN :
• 1. a < b atau b > a
• Interpretasi geometri : a sebelah kiri b
• Ilustrasi :
• a b
•
2. a ≤ b atau b ≥ a
• Interpretasi geometri : a sebelah kiri b atauberimpit
dengan b
• Ilustrasi : a b
• a b
•
3. 0 < a atau a > 0
• Interpretasi geometri : a sebelah kanan titik asal
• Ilustrasi :
• 0 a
• Interpretasi geometri : a sebelah kiri titik asal
9. • 4. a < 0 atau 0 > a
• Interpretasi geometri : a sebelah kiri titik asal
• Ilustrasi :
• a 0
•
5. a < b < c
• Interpretasi geometri : a sebelah kiri b dan
• b sebelah kiri c
• Ilustrasi : a b c
•
Simbol a < b ≤ c artinya a < b dan b ≤ c. Silahkan
menyimpulkan arti symbol-simbol seperti :
• a ≤ b < c, a ≤ b ≤ c dan a < b < c < d
• Ketidaksamaan berikut adalah benar :
• 3 < 8, -7 < 1.5, -12 ≤ π, 5 ≤ 5, 0 ≤ 2 ≤ 4.
• 8 ≥ 3, 1.5 > -7, -π > -12, 5 ≥ 5, 3 > 0 > -1.
10. TTEEOORREEMMAA 11..11
• MMiissaall aa,, bb,, cc,, ddaann dd bbiillaannggaann rriiiill ::
• aa)) JJiikkaa aa << bb ddaann bb << cc,, mmaakkaa aa << cc
• bb)) JJiikkaa aa << bb,, mmaakkaa aa ++ cc << bb ++ cc ddaann aa –– cc << bb –– cc
• cc)) JJiikkaa aa << bb,, mmaakkaa aacc << bbcc uunnttuukk cc ppoossiittiiff ddaann aacc
>> bbcc uunnttuukk cc nneeggaattiiff
• dd)) JJiikkaa aa << bb ddaann cc << dd,, mmaakkaa aa ++ cc << bb ++ dd
• ee)) JJiikkaa aa ddaann bb kkeedduuaannyyaa ppoossiittiiff aattaauu kkeedduuaannyyaa
• nneeggaattiiff ddaann aa << bb,, mmaakkaa 11//aa >> 11//bb
11. • Jika arah suatu ketidaksamaan menyatakan maknanya, maka
bagian (b)-(e) teorema di atas dapat diuraikan secara informal
sebagai berikut :
• b) Ketidaksamaan tidak berubah jika kedua sisinya
• ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang
• sama.
• c) Ketidaksamaan tidak berubah jika kedua sisinya
• digandakan dengan bilangan positif yang sama,
• tetapi ketidaksamaan berbalik arah jika kedua
• sisinya digandakan dengan bilangan negatif yang
• sama.
• d) Ketidaksamaan dengan tanda yang sama dapat
• dijumlahkan.
• e) Jika kedua sisi ketidaksamaan mempunyai tanda
• yang sama, maka tanda ketidaksamaannya akan
• berbalik arahnya dengan meletakkan tanda yang
• berlawanan pada setiap sisinya.
12. Pernyataan dlm teorema 1.1 diIlustrasikan :
1. Ketidaksamaan awal : -2 < 6
Operasi : kedua sisi ditambah dengan 7
Ketidaksamaan hasil : 5 < 13
2. Ketidaksamaan awal : -2 < 6
Operasi : kedua sisi dikurangi dengan 8
Ketidaksamaan hasil : -10 < -2
3. Ketidaksamaan awal : -2 < 6
Operasi : kedua sisi digandakan 3
Ketidaksamaan hasil : -6 < 18
4. Ketidaksamaan awal : 3 < 7
Operasi : kedua sisi digandakan 4
Ketidaksamaan hasil : 12 28
5. Ketidaksamaan awal : 3 < 7
Operasi : kedua sisi digandakan –4
Ketidaksamaan hasil : -12 > -28
13. PENYELESAIAN KETIDAKSAMAAN
Penyelesaian ketidaksamaan dalam x yang tidak diketahui
merupakan nilai untuk x yang membuat ketidaksamaan itu sebagai
pernyataan yang benar. Sebagai contoh x = 1 merupakan
penyelesaian dari ketidaksamaan x < 5, tetapi x = 7 bukan
merupakan penyelesaian.
Proses mendapatkan himpunan penyelesaian suatu ketidaksamaan
disebut menyelesaikanketidaksamaan.
Contoh : Selesaikan 3 + 7x ≤ 2x – 9
Penyelesaian : akan digunakan operasi dalam teorema 1.1 dengan
mengumpulkan x pada satu sisi ketidaksamaan
3 + 7x ≤ 2x – 9 [diberikan]
7x ≤ 2x – 12 [kurangkan 3 dari kedua sisi]
5x ≤ -12 [kurangkan 2x dari kedua sisi]
x ≤ - 12 [gandakan kedua sisi dengan 1/5]
5
krn sudah tidak dapat digandakan dgn yang mengandung x,
ketidaksamaan (1)=(4). Jadi himpunannya berupa selang (-∞, -
12/5)
-12
5
15. NILAI MUTLAK
Nilai mutlak atau magnitude suatu
bilangan riil a dinotasikan dengan |a| dan
didefinisikan dengan :
|a| = +a jika a ≥ 0
-a jika a < 0
Contoh :
|5| = +5 [karena 5 > 0]
|-4/7| = -(-4/7) = + 4/7
[karena –4/7 < 0]
|0| = +0 [karena 0 ≥ 0]
16. • Pengambilan nilai mutlak pada sebuah
bilangan berakibat pada hilangnya tanda minus
jika bilangan negatif dan tidak berubah jika
bilangan itu tak-negatif. Jadi |a| merupakan
bilangan tak-negatif untuk semua nilai a dan
• -|a| ≤ a ≤ |a|
17. HUBUNGAN ANTARA AKAR KUADRAT DAN
NILAI MUTLAK
Bilangan yang kuadratnya adalah a disebut akar
kuadrat dari a. Setiap bilangan riil positif a
mempunyai dua akar kuadrat riil, satu positif dan
satu negatif. Akar kuadrat positif dinotasikan
dengan √a.
Sebagai contoh, bilangan 9 mempunyai dua
akar kuadrat –3 dan 3. Karena 3 merupakan
akar kuadrat positif, diperoleh √9 = 3. Sebagai
tambahan didefinisikan √0 = 0.
19. SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK
Teorema : Jika a dan b bilangan riil, maka
(a) |-a| = |a| Suatu bilangan dan negatifnya
mempunyai nilai mutlak sama
(b) |ab| = |a||b| Nilai mutlak dari perkalian
merupakan perkalian nilai mutlak
(c) |a/b| = |a|/|b| Nilai mutlak dari perbagian
merupakan pembagian nilai mutlak
Bukti (a) : |-a| = √(-a)2 = √a2 = |a|
Bukti (b) : |ab| = √(ab)2 = √a2b2 = √a2√b2 = |a||b|
21. Teorema (Ketidaksamaan Segitiga) :
• Jika a dan b sebarang bilangan riil, maka
• |a + b| ≤ |a| + |b|
• Bukti :-|a| ≤ a ≤ |a| dan -|b| ≤ |b| ≤ |b|
• Dengan menambahkan kedua
ketidaksamaan tersebut didapat
• -(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ (|a| + |b|)
22. INTERPRETASI GEOMETRIK DARI NILAI MUTLAK
• Notasi nilai Mutlak muncul secara alamiah dalam
masalah jarak. Karena jarak tak negatif, maka
jarak d antara A dan B adalah :
• b – a jika a < b
• d = a – b jika a > b
• 0 jika a = b
• A B B A
• a b b a
• b-a a-b
• (1) b-a = positif, jadi b-a = |b-a|
• (2) b-a = negatif, jadi a-b = -(b-a) = |b-a|
24. TABEL RUMUS JARAK
EKSPRESI INTERPRE GEOMETRIK PADA GRS KOORDINAT
|x - a| Jarak antara x dan a
|x + a| Jarak antara x dan –a (krn |x+a|=|x-(-a)|)
|x| Jarak antara x dan titik asal (karena |x|=|x-0|)
Ketidaksamaan dalam bentuk |x-a| < k dan |x-a| > k, sering digunakan,
sehingga dijabarkan lagi dlm tabel berikut ;
Ketidak Interpretasi Gambar Bentuk Alternatif Himpunan
Samaan geometrik ketidaksamaan penyelesain
(k>0)
|x-a|<k x didlm k k k -k<x-a<k (a-k, a+k)
satuan dr a a-k a x a+k
|x-a|>k x lebih dr k k x-a<-k atau (-∞,a-k) U
k stn dr a a-k a a+k x x-a>k (a+k, +∞)
Dlm tabel diatas, < dapat diganti dgn ≤ dan > dgn ≥, yaitu titik2 terbuka diganti
dgn titik2 tertutup dlm ilustrasi diatas
25. Contoh ;
Selesaikan ; |x - 3| <4
Penyelesaian : ketidaksamaan tsb ditulis kembali sebagai
-4 < x – 3 < 4 (+3)
-1 < x< 7
dlm notasi selang ;(-1,7)
-1 3 7
Selesaikan : |x + 4| ≥ 2
Penyelesaian : ketidaksamaan dpt ditulis kembali
x + 4 ≤ -2 x ≤ -6
atau atau lebih sederhana atau
x + 4 ≥ 2 x ≥ -2
-6 - 4 -2
26. BIDANG KOORDINAT DAN GRAFIK
• SISTEM KOORDINAT SIKU-SIKU
• Suatu sistem koordinat siku-siku (juga disebut
sistem koordinat Cartesian) merupakan
pasangan garis koordinat yang tegak lurus, yang
disebut sumbu-sumbu koordinat sedemikian
sehingga keduanya berpotongan di titik asal.
Biasanya, salah satu garis tersebut horizontal
dengan arah positif ke kanan, dan yang lain
vertical dengan arah positif ke atas.
sumbu-y
0
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
sumbu-x
titik asal
27. *KOORDINAT
• GRAFIK
Kuadran Kuadran
II I
Kuadran Kuadran
III IV
( - , + ) ( + , + )
( - , - ) ( + , - )
28. Contoh : Buatlah sketsa grafik dari y = x2
Himpunan penyelesaian dari y = x2 mempunyai tak hingga banyak
anggota, sehingga tak mungkin digambarkan semuanya
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-3 -2 -1 1 2 3
x y = x2 (x, y)
0
0
1
1
2
4
3
9
-1
1
-2
4
-3
9
(0, 0)
(1, 1)
(2, 4)
(3, 9)
(-1, 1)
(-2, 4)
(-3, 9)
Sebaiknya diingat bahwa kurva dalam gambar di atas hanyalah hampiran grafik y =
x2. Pada umumnya, hanya dengan cara kalkulus bentuk grafik yang benar dapat
diketahui dengan pasti.
29. Contoh : Buatlah sketsa grafik dari y = x3
y
8
-2 2
-8
x
x y = x3 (x, y)
0
0
1
1
2
8
-1
-1
-2
-8
(0, 0)
(1, 1)
(2, 8)
(-1, -1)
(-1, 1)
31. Grafik dari 3x + 2y = 6 merupakan garis seperti
ditunjukkan dalam gambar.
(0, b)
(a, 0)
x
perpotongan-y
perpotongan-x
3x + 2y = 6
3
2
32. GRAFIK DENGAN SKALA TIDAK SAMA
• Sebagai contoh, y = x3 untuk nilai antara –10 dan 10, akan mempunyai mempunyai
nilai y antara (-10)3 =
• -1000, yang sulit digambarkan pada lembar kertas standar atau halaman cetak; satu-satunya
cara mengatasinya menggunakan skala yang tidak sama
y
8
-2 2
-8
x
y
140
-2 2
-140
x
34. y
y = x3
x
y
y = 3√x
x
y
y = 1/x
x
y
y = -1/x
x
35. GARIS
*Kemiringan
Dalam pengamatan,”tanjakan” atau “kemiringan” suatu bukit
didefinisikan sebagai perbandingan jarak horisontal (run) dengan
ketinggian (rise).
y
P2 (x2, y2)
y2 – y1
P (rise) 1 (x1, y1)
x x2 – x1
(run)
36. Definisi ; Jika P1(x1,y1) dan P2(x2,y2)
adalah titik-titik pada bidang koordinat maka
kemiringan m dari garis tersebut
didefinisikan dengan
m= rise = y2-y1
run x2-x1
Definisi diatas; tidak diterapkan untuk
garis vertikal. Untuk garis vertikal akan
diperoleh x2=x1, sehingga memuat
perbandingan dengan nol. Kemiringan
garis vertikal tidak didefinisikan. Garis
vertikal mempunyai kemiringan tak hingga
37. Contoh ; Pada tiap bagian tentukan kemiringan
dan garis yang melalui
(a) titik (6,2) dan titik (9,8)
(b) titik (2,9) dan titik (4,3)
(c) titik (-2,7) dan titik (5,7)
Penyelesaian
(a) m = 8-2/9-6 = 6/3 = 2
y
(c) m = 7-7/5-(-2) = 0/7 = 0
(b) m = 3-9/4-2 = -6/2 = -3
x
P1’ (x1’, y1’)
P1 (x1, y1)
P2 (x2, y2)
P2’ (x2’, y2’)
y2’ – y1’
y2 – y1
x2’ – x1’
Q’
x2 – x1 Q
38. PERSAMAAN UMUM GARIS
Suatu persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
Ax + By + C = 0
disebut persamaan derajat-pertama dalam x dan y.
Sebagai contoh,
4x + 6y – 5 = 0
adalah persamaan derajat-pertama dalam x dan y
karena memiliki bentuk sesuai di atas dengan
A = 4, B = 6,C = -5
Teorema : Setiap persamaan derajat-pertama dalam x
dan y mempunyai grafik berupa garis lurus, sebaliknya,
setiap garis lurus dapat disajikan oleh suatu persamaan
derajat-pertama dalam x dan y.
Bentuk persamaan Ax + By + C = 0 kadang disebut
persamaan umum dari suatu garis atau persamaan
linear dalam x dan y.
39. Contoh : Gambarkan grafik
persamaan 3x – 4y + 12 = 0
y
x
(0, 3)
(-4, 0)
3x – 4y + 12 = 0
43. OPERASI-OOPPEERRAASSII PPAADDAA FFUUNNGGSSII
• OPERASI-OPERASI ARITMATIK PADA
FUNGSI
• Fungsi-fungsi dapat dijumlahkan, dikurangkan,
digandakan dan dibagi. Sebagai contoh, jika
• f(x) = x dan g(x) = x2, maka
• f(x) + g(x) = x + x2
• Rumus ini mendefinisikan suatu fungsi baru yang
disebut jumlah dari f dan g dan dituliskan dengan
• f + g. Jadi
• (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + x2
44. Definisi : Diketahui fungsi f dan g, maka rumus-rumus
untuk jumlah f + g, selisih f – g, hasil kali
f . g dan hasil bagi f /g
• didefinisikan dengan;
• (f + g)(x) = f(x) + g(x)
• (f – g)(x) = f(x) – g(x)
• (f . g)(x) = f(x) . g(x)
• (f /g)(x) = f(x) /g(x)
• Contoh : Dimisalkan
• f(x) = 1 + √x – 2 dan g(x) = x – 1
• Dapatkan (f + g)(x), (f – g)(x), (f . g)(x), (f /g)(x)
47. SATU CONTOH DALAM KALKULUS
Contoh : Misalkan f(x) = x2 dan h adalah sebarang
bilangan riil tak nol.
Dapatkan ; f(x + h) – f(x)
• h dan sederhanakan
• Penyelesaian :
• f(x + h) – f(x) = (x + h)2 – x2 = x2 + 2xh + h2 – x2
• h h h
• = 2xh + h2 = h(2x + h)
• h h
• Dengan mencoret h dan dengan memperhatikan
pembatasan pada h, diperoleh
• f(x + h) – f(x) = 2x + h, h ≠ 0
48. KLASIFIKASI FUNGSI
Fungsi yang paling sederhana disebut fungsi
konstan. Contohnya ; f(x) = 3 maka
f(-1) = 3, f(0) = 3, f(√2) = 3, f(9) = 3
Fungsi dengan bentuk cxn, dimana c adalah suatu
konstanta dan n adalah bilangan bulat tak negatif,
disebut monomial dalam x.
contoh 2x3, πx7, 4x0(= 4), -6x, x17
Fungsi-fungsi 4x1/2 dan x-3 bukan monomial sebab
pangkat dari x bukan bilangan bulat tak negatip.
49. polinomial dalam x.
• Contoh :
•
x3 + 4x + 7, 3 – 2x3 + x17, 9, 17 – 2 x, x5
Rumus untuk polinomial dalam x adalah
f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +…+ an xn
atau
3
f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 +…+a0
51. FFuunnggssii rraassiioonnaall
Adalah suatu fungsi yang dapat dinyatakan sebagai rasio dua
polinomial.
Contoh :
X5 – 2x2 + 1 x
X2 - 4 x + 1
A0 + a1x + ax2 + ……… + anxn
F(x) = b0 + b1x +b2x2 + ……… + bnxn
fungsi-fungsi aljabar eksplisit
Contoh : f(x) = x2/3 = (√ x)2 dan g(x) =
52. GRAFIK FUNGSI
• Definisi grafik fungsi
• Grafik suatu fungsi f pada bidang xy didefinisikan
sebagai grafik dari persamaan y = f(x).
• Contoh : Buatlah sketsa grafik f(x) = x + 2
• 2
-2
54. L I M I T
Kalkulus berpusat di sekitar dua
permasalahan dasar ;
Masalah garis singgung
y
x
Garis singgung di P
P(x0, y0)
y = f (x)
55. Masalah luas
• Diberikan fungsi f, dapatkan luas antara grafik
f dan suatu selang [a, b] pada sumbu-x.
• luas sebenarnya dibawah kurva tersebut
sebagai suatu nilai limit
y
x
a b
y = f (x)
56. Limit menggambarkan perilaku
suatu fungsi jika peubah bebasnya
bergerak menuju suatu nilai tertentu.
Contoh ; f(x) = sin x/x, dibuat tabel sbb ;
x f(x) = sin x/x x f(x) = sinx/x
1,0 0,84147 -1,0 0,84147
0,9 0,87036 -0.9 0,87036
0,8 0,89670 -0,8 0,89670
0,7 0,92031 -0,7 0,92031
0,6 0,94107 -0,6 0,94107
0,5 0,95885 -0,5 0,95885
0,4 0,97355 -0,4 0,97355
0,3 0,98507 -0,3 0,98507
0,2 0,99335 -0,2 0,99335
0,1 0,99833 -0,1 0,99833
0 0,99998 0 0,99998
57. Beberapa limit dasar
Limit Contoh
lim k = k
x a
lim 3 = 3 lim 3 = 3
x 2 x -2
lim k = k
x +∞
lim 3 = 3 lim 0 = 0
x +∞ x +∞
lim k = k
x -∞
lim 3 = 3 lim 0 = 0
x -∞ x -∞
lim x = a
x a
lim x = 5 lim x = 0 lim x = -2
x 5 x 0 x -2
lim x = +∞
x +∞
lim x = -∞
x -∞
58. Teorema : Dimisalkan lim di sini berarti satu dari
limit-limit lim , lim , lim , lim atau lim . Jika
x a x a- x a+ x +∞ x -∞
L1 = lim f(x) dan L2 = lim g(x) keduanya ada, maka
(a) lim [ f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) = L1 + L2
(b) lim [ f(x) – g(x)] = lim f(x) – lim g(x) = L1 – L2
(c) lim [ f(x)g(x)] = lim f(x) lim g(x) = L1 L2
(d) lim f(x) = lim f(x) = L1 jika L2 ≠ 0
g(x) lim g(x) L2
(e) lim n√ f(x) = n√lim f(x) = n√L1 , untuk L1 ≥ 0
jika n genap.
59. Untuk sebarang fungsi yang
banyaknya berhingga
lim [ f1(x) + f2(x) +…+ fn(x)] = lim f1(x) + lim f2(x) +
…+ lim fn(x)
lim [f1(x) f2(x)… fn(x)] = lim f1(x) lim f2(x)… lim fn(x)
lim [ f(x)]n = [lim f(x)]n
lim xn = [ lim x]n = an
x a x a
Contoh : lim x4 = 34 = 81
x 3
60. LIMIT DARI POLINOMIAL
UNTUK x a
Contoh : Dapatkan lim x2 – 4x + 3 dan jelaskan
x 5
setiap langkahnya.
Penyelesaian :
lim (x2 – 4x + 3) = lim x2 – lim 4x + lim 3
x 5 x 5 x 5 x 5
= lim x2 – 4 lim x + lim 3
x 5 x 5 x 5
= 52 – 4(5) + 3
= 8
61. Limit dari fungsi rasional
untuk x→ a
Contoh :
dapatkan ; lim 5x3 + 4
x→ 2 x - 3
Penyelesaian ;
lim 5x3 + 4 = lim 5x3 + 4 = 5.23 + 4 = - 44
x→ 2 x - 3 x→ 2 2 – 3
lim x - 3
x→ 2
62. Limit pembilang dan
penyebut mendekati nol
Dapatkan ; lim x2 – 4
x → 2 x – 2
Lim x2 – 4 = lim (x – 2)(x + 2) = lim (x + 2) = 4
x→ 2 x – 2 x→ 2 x - 2 x→ 2
63. Limit yyaanngg mmeemmuuaatt 11//xx
NILAI KESIMPULAN
x
1/x
1 10 100 1000 10.000 ….
1 0,1 0,01 0,001 0,0001 ….
Untuk x→ ∞ nilai dari 1/x turun
menuju nol
x
1/x
-1 -10 -100 -1000 -10.000 ….
-1 -0,1 -,001 -,001 -0,0001 …..
Untuk x→ - ∞ nilai dari 1/x
bertambah/naik menuju nol
x
1/x
1 0,1 0,01 0,001 0,0001 ….
1 10 100 1000 10.000 ….
Untuk x→ o+ nilai dari 1/x naik
menuju tanpa batas
x
1/x
-1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 …
-1 -10 -100 -1000 -10.000 …
Untuk x→o- nilai dari 1/x turun
menuju tanpa batas
65. Limit dari Polinomial untuk x→ +∞
atau x → -∞
y y
8 8
y=x y=x2
x x
-4 4 -4 +4
Lim x = + ∞, lim x2 = + ∞,
x→ + ∞ x→ + ∞
Lim x = - ∞, lim x2 = + ∞,
x→ - ∞ x→ - ∞
y y
8 8
y=x3 y=x4
x x
-4 +4 -4 +4
66. Lim xn = +∞, untuk n = 1,2,3,4..........
x→ + ∞
lim xn = +∞, untuk n = 2,4,6........
x→ - ∞ = - ∞, untuk n = 1,3,5.......
untuk perkalian xn bilangan real negatip menghasilkan tanda
berlawan. Tapi untuk perkalian xn bilangan real positip
menghasilkan tanda sama.
Contoh ; lim 2x5 = +∞ lim 2x5 = -∞
x→ + ∞ x→ - ∞
lim -7x6 = -∞ lim -7x6 = -∞
x→ + ∞ x→ - ∞
lim = (lim )n = 0,
x→ + ∞ x→ +∞
67. Limit Fungsi Rasional
untuk x→ +∞ atau x → -∞
• -pembilang dan penyebut dibagi dengan pangkat
tertinggi dari penyebut ;
• Contoh :
• Dapatkan ; lim
• x→ +∞
• Penyelesaian : bagi dengan x untuk pembilang dan
penyebut
• Lim = lim 3 + lim 5/x = lim 3 + 5 lim 1/x
• x→ +∞ x→ +∞ x→ +∞ x→ +∞ x→ +∞ =
1/2
• lim 6 + lim 8/x lim 6 + 8 lim 1/x
68. Metode cepat
Limit Fungsi Rasional
untuk x→ +∞ atau x → -∞
• Limit fungsi rasional untuk
x→ +∞ atau x → -∞ , tidak
terpengaruh jika semua suku dlm
pembilang dan penyebut
dihilangkan kecuali suku pangkat
tertinggi
• Lim = lim
• x→ +∞ x→ +∞
m
c x
m
n
n
d x
72. Soal-soal 2
1. Diberikan f(x) = { x>3
2x, x 3 dapatkan ;
(a) f(-4) b) f(4) f(t2 + 5)
2. Misalkan f(x) = 3/x dapatkan ;
a). f b.). f(x2) + f2(x)
3. Dapatkan : f o g dan g o f dari pers.berikut ini ;
a. f(x) = sin2x , g(x) = cos x
b. f(x) = , g(x) =
4. Buat sketsa grafik fungsinya dari ;
a). f(x) = 2 sin x b). g(x) = {x2, x ± 4
0 , x = 4
73. Soal-soal
5. a. lim b. lim
x 5 x 3
6. a.lim b. lim
x 2 x 4
7. a. lim b. lim
x ∞ x ∞
8. a. Lim b. lim
x -∞ x +∞
9. lim b. lim
s +∞ s +∞
74. Kontinuitas
• Definisi ;
• Suatu fungsi f dikatakan kontinu di titik c,
jika syarat-syarat berikut dipenuhi ;
• 1. f(c) terdefinisi
• 2. lim f (x) ada
• x c
• 3. lim f(x) = f(c)
• x c
• Jika salah satu tidak terpenuhi, maka fungsi
disebut : diskontinu
75. Contoh diskontinuitas
y = f(x) y = f(x)
c c
y = f(x)
c
y = f(x)
c
Pada gambar diatas terjadi lubang pada titik c
Karena fs f tidak terdifinisi di ttk tsb
(a)
Pada gb diatas terjadi patahan pd grafiknya, fs f
terdifinisi di c, tapi lim f(x) tdk ada
x c
(b)
Sama seperti gambar (b) Pada gambar diatas, fs f terdifinisi di c dan lim f(x)
ada, tetapi ada patahan pd ttk c, lim f(x) ≠f(c)
76. Contoh KKoonnttiinnuu ddaann ddiisskkoonnttiinnuu
• 11..
f x x
( ) 4
• 22.. gg((xx)) ==
2
2
-
= -
x
2 4
-
-
x
2
x
3
, x ≠ 2
, x = 2
