Expresiones Algebraicas Matemáticas Gabriela Araque UPTAEB

1. UNIDAD I
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
G A B R I E L A A R A Q U E O V I E D O
C . I 2 5 . 7 5 3 . 9 11
S E C C I Ó N A D 0 1 0 4
Matemática
PNF Administración
06-02-2021
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2. Contenido
Suma Resta y Valor Numérico de Expresiones Algebraicas
Multiplicación y División de Expresiones Algebraicas
Productos Notables de Expresiones Algebraicas
Factorización por Productos Notables
Bibliografía
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3. Expresión Algebraica
Expresión Algebraica
Una expresión algebraica es una combinación de letras o letras y números unidos por
medio de las operaciones: suma, resta, multiplicación, división, potenciación o radicación,
de manera finita.
Usualmente las primeras letras de nuestro alfabeto: a, b, c, d, etc. si no se dice otra cosa,
representan valores fijos en la expresión. Estas letras también se pueden
llamar parámetros.
Las últimas letras de nuestro alfabeto: x, y, z, u otros símbolos, representan variables que
pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales
• Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio.
Ejemplo: 3ax 2
• Si la expresión algebraica tiene varios términos se llama polinomio.
Suma de Expresiones Algebraicas
Para sumar dos o más expresiones algebraicas con uno o más términos, se deben reunir
todos los términos semejantes que existan, en uno sólo. Se puede aplicar la propiedad
distributiva de la multiplicación con respecto de la suma.
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4. Suma y Resta de Expresiones Algebraicas
Problemas Resueltos
Suma de Binomios
𝟔𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙𝟐
Respuesta
𝟔𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟔 = 𝟗𝒙𝟐
Suma de Polinomios
𝟑𝒙𝟑
− 𝟓𝒙𝟐
+ 𝟑𝐱 + 𝟐
2𝒙𝟑
+ 𝟒𝒙𝟐
− 𝟓𝒙 − 𝟏
Respuesta 𝟓𝒙𝟑
− 𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟏
Resta de Expresiones Algebraicas
La resta algebraica es una de las operaciones fundamentales en el estudio del álgebra. Sirve para
restar monomios y polinomios. Con la resta algebraica sustraemos el valor de una expresión
algebraica de otra.
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5. Resta de Expresiones Algebraicas
Valor Numérico
Monomio: Se restan los coeficientes de cada expresión como resultado de sacar como factor común
la parte literal
Polinomio: Se deben reunir y ordenar todos los términos semejantes que existan, y proceder a
efectuar la resta.
Problemas Resueltos
Monomios 𝟐𝒙 − 𝟒𝒙
Respuesta 𝟐𝒙 − 𝟒𝒙 = 𝟐 − 𝟒 𝒙 = −𝟐𝒙
Polinomios 𝟓𝒙𝒚𝟐
+ 𝟔𝒚 + 𝟖𝒘
Restar − 𝟓𝒙𝒚𝟐
+ 𝟑𝒚
Respuesta 𝟎 + 𝟑𝒚 + 𝟖𝒘
Valor Numérico
El valor numérico de una expresión algebraica, es el número que se obtiene al sustituir en ésta por
valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas. El valor numérico de un polinomio es el
resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
Problema Resuelto
P(x) = 2x3 + 5x - 3 ;
Obtener valor numérico para x = 1
Respuesta P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4
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6. Multiplicación de Expresiones Algebraicas
Para multiplicar expresiones algebraicas se deben seguir las propiedades de
las potencias. Para ello, se multiplican los coeficientes, y si se multiplican dos incógnitas,
se suman los exponentes de cada una. Para esta operación se debe de aplicar la regla de los
signos.
Regla de los Signos
Operaciones con Potencias
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7. Multiplicación y División de Expresiones Algebraicas
Problema Resuelto
Multiplicación 𝟓𝒙𝟐
𝟑𝒙 − 𝟕 Multiplicación −𝒙 𝒙𝟐
− 𝟓𝒙 − 𝟑
Respuesta 𝟓𝒙𝟐
𝟑𝒙 − 𝟕 = 𝟏𝟓𝒙𝟑
− 𝟑𝟓𝒙𝟐
Respuesta −𝒙𝟑
+ 𝟓𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙
División de Monomios
Para dividir monomios se resta los exponentes de las potencias de misma base siguiendo la ley de los
exponentes. Ahora bien, la potencia de un número es el producto de varios factores iguales a él. El número
que se multiplica por si mismo se llama base de la potencia
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8. División de Expresiones Algebraicas
División de Monomios
División de Monomios
Para dividir monomios se resta los exponentes de las potencias de misma base siguiendo la ley de los
exponentes
𝑎𝑚
𝑎𝑛
Problema
𝟒𝒂𝒙𝟒𝒚𝟑
𝟐𝒙𝟐𝒚
Respuesta
𝟒𝒂𝒙𝟒𝒚𝟑
𝟐𝒙𝟐𝒚
= 𝟐𝒂𝒙𝟐
𝒚𝟐
División de Polinomios entre Monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio basta con dividir cada uno de los términos del dividendo
entre el término del divisor. Problema
𝟏𝟐𝒙𝟒𝒚+𝟖𝒙𝟑𝒚−𝟐𝟒𝒙𝟐𝒚
𝟒𝒙𝒚
Respuesta 𝟑𝒙𝟑
+ 𝟐𝒙𝟐
− 𝟔𝒙
División de Polinomio entre Polinomio
Para la división de polinomio entre polinomio se debe considerar ordenar cada término del divisor y el
dividendo con respecto a una letra, considerando el exponente de mayor a menor.
Problema Dividir P(x) = 2x4 +2x -1 entre Q(x) = x2-1
Primero, se ordena el polinomio dividendo, según las potencias decrecientes, y se completa con
monomios nulos, para las potencias faltantes:
P(x) = 2x4 + 0x3 +0x2 +2x -1
Q(x) = x2-1
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9. División de Expresiones Algebraicas
Segundo, se divide el primer termino del dividendo ( 2x4) por el primer término del divisor, (x2) obteniéndose así el
primer término del cociente:𝟐𝒙𝟒
+ 𝟎𝒙𝟑
+ 𝟎𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒙𝟐
− 𝟏
Tercero, multiplicar este término (2x2 ) por el divisor (x 2 – 1) y cambiarle el signo
Y el producto obtenido ( -2x4 + 2x2 ), se suma al dividendo ( 2x4 + 0x3 + 0x2 + 2x - 1) , y se obtiene de esta
manera, un nuevo dividendo
Cuarto, se reiteran los pasos 2 y 3 tantas veces como sea necesario, hasta que el dividendo se transforme en el
polinomio nulo, o su grado sea menor que el divisor.
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10. División de Expresiones Algebraicas
De esta manera se obtiene
𝟐𝒙𝟒
+ 𝟎𝒙𝟑
+ 𝟎𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒙𝟐
− 𝟏
−𝟐𝒙𝟒
+ 𝟐𝒙𝟐
𝟐𝒙𝟐
+ 𝟐
𝟐𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟏
−𝟐𝒙𝟐
+ 𝟐
𝟐𝒙 + 𝟏
Donde G(x) = 2x2 +2 es el cociente y R(x) = 2x +1 es el resto
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11. Productos Notables de Expresiones Algebraicas
Producto Notable
En matemáticas, un producto corresponde al resultado que se obtiene al realizar una multiplicación.
Sabemos que algo es notable cuando nos llama la atención o destaca entre un grupo de cosas.
Los productos notables son simplemente multiplicaciones especiales entre expresiones algebraicas, que
por sus características destacan de las demás multiplicaciones. Las características que hacen que un producto
sea notable, es que se cumplen ciertas reglas, tal que el resultado puede ser obtenido mediante una simple
inspección, sin la necesidad de verificar o realizar la multiplicación paso a paso.
Los productos notables o identidades notables permiten realizar operaciones con expresiones algebraicas
de una manera mas sencilla; debido a que podemos transformar un polinomio grande en dos polinomios mas
pequeños sin alterar la expresión o polinomio original, usando cualquiera de los tipos de producto notable.
Existe varios tipos de productos notables o identidades notables, cada uno con su característica particular, sus
diferente forma de resolver y con distintas reglas que cumplir, entre estos podemos mencionar los siguientes:
 Binomio al cuadrado.
 Binomio al cubo.
 Binomios conjugados.
 Binomios con un termino común.
 Trinomio al cuadrado
 Trinomio al cubo
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12. Productos Notables de Expresiones Algebraicas
Factorización por Productos Notables
Fórmulas del Binomio al Cuadrado
 Formula de suma de un binomio al cuadrado
 Formula de resta de un binomio al cuadrado
 Formula de suma de un binomio al cubo
 Fórmula de resta de un binomio al cubo
Factorización
El objetivo de la factorización es llevar un polinomio complicado y expresarlo como el producto de sus factores
polinomiales simples.
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si
dan como producto la primera expresión.
Problema Factorizar 𝒙𝟐
+ 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐
Respuesta 𝒙 + 𝟑 𝒙 + 𝟒
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13. Factorización por Productos Notables
Problema
Procediendo a factorizar la expresión 4y2 + 6x7
Respuesta
Divisores del 4: 1 2 4
Divisores del 6: 1 2 3 6
El factor común es 2
Por lo cual se puede factorizar en
4y2 + 6x7 = 2 (2y2 + 3x7)
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14. Factorización por Productos Notables
Factorizando 3x2 + 2x + 15x + 10
Se agrupa de es forma
(3x2 + 2x ) + (15x + 10 )
Sacar factor común por 1 vez a cada en cada término
x(3x + 2) + 5(3x + 2)
Sacar factor común por 2 vez a cada en cada término y se obtiene
(3x + 2)(x + 5)
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15. Bibliografía
• Pontificia Universidad Javeriana (2021). En línea. Disponible en:
 http://proyectos.javerianacali.edu.co/cursos_virtuales/pregrado/matematicas_fundament
ales/Expresiones/Cap2/
 Expresiones Algebraicas y Sus Operaciones (2021). En línea. Disponible en:
 https://es.slideshare.net/guest5d8d8531/expresiones-algebraicas-y-sus-operaciones-
presentation
 Operaciones con Expresiones Algebraicas (2021). En línea. Disponible en:
 https://es.plusmaths.com/operaciones-con-expresiones-algebraicas.html
 Algebra(2021). En línea. Disponible en:
 https://www.profesorenlinea.cl/matematica/AlgebraDivision.htm
 Taller de matemática (2021). En línea. Disponible en:
 http://prometeo.matem.unam.mx/recursos/Licenciatura/TallerMate_UAM_CUAJIMALPA//s
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