Dokumen tersebut membahas sistem kendali dalam koordinat umum, termasuk posisi partikel, koordinat umum, derajat kebebasan, dan penurunan persamaan Lagrange. Secara khusus, dibahas cara menyatakan posisi partikel dalam sistem dengan koordinat umum, konsep sistem kendali, dan penggunaan koordinat kartesius dan koordinat umum untuk menyatakan gerak partikel tunggal dan sistem.

2. SISTEM KONSTRAIN
DALAM KOORDINAT UMUM
Posisi dari masing-masing N partikel
Koordinat umum posisi 𝑟𝑘
Artinya, posisi dari masing-masing partikel 𝑟𝑘 dalam
koordinat umum kita ganti dengan 𝑞1, 𝑞2, 𝑞3, … , 𝑞 𝑛
 Jika sistem yang ditinjau mengandung N partikel, maka diperlukan paling kurang 3N koordinat
untuk menyatakan posisi semua partikel
 Ketika jumlah derajat kebebasan untuk partikel bebas < 3N , maka sIstem tersebut disebut KONSTRAIN
 Dimana dalam koordinat umum, jumlah derajat kebebasan = jumlah koordinat umum

3. Untuk partikel tunggal, fungsi koordinat umum lebih mudah diungkapkan dengan
menggunakan Koordinat Kartesius :
1 Derajat
Kebebasan
Gerak Pada
Kurva
𝑥 = 𝑥(𝑞)
2 Derajat
Kebebasan
Gerak Pada
Permukaan
𝑥 = 𝑥(𝑞1, 𝑞2)
3 Derajat
Kebebasan
Gerak Pada
Ruang
𝑥 = 𝑥(𝑞1, 𝑞2, 𝑞3)

4. 𝑚1
𝑚2
𝑥1, 𝑦1
∅1
∅2
𝑥2, 𝑦2
Perhatikan sistem bandul dengan dua massa dibawah ini.
Kita memiliki dua partikel dengan empat koordinat
(𝑥1, 𝑦1, 𝑥2, 𝑦2), tetapi memiliki dua koordinat umum ∅1 dan ∅2
Koordinat umum ∅1 dan ∅2 tidak saling bergantung atau
bebas yang disebut HOLONOMIK.
4 koordinat
2 koordinat
umum

5. PENURUNAN
PERSAMAAN LAGRANGE (L)
L(𝑞1, 𝑞2, 𝑞3, … , 𝑞1, 𝑞2, 𝑞3 , … , 𝑡)
Koordinat
umum
Koordinat
kecepatan
dapat ditulis menjadi
L (q, 𝑞, 𝑡)
Dengan :
𝐿 =
𝜕𝐿
𝜕𝑞
𝛿𝑞 +
𝜕𝐿
𝜕 𝑞
𝛿 𝑞
𝛿 𝑞 = 𝛿
𝑑𝑞
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝛿𝑞
L= T - V

6. PENURUNAN
PERSAMAAN LAGRANGE (L)
Untuk dapat menurunkan fungsi lagrange, perhatikan ilustrasi berikut
𝑡2
𝑡1
𝑡1
𝑡2
𝐿𝑑𝑡 𝛿
𝑡1
𝑡2
𝐿𝑑𝑡 = 0
𝑡1
𝑡2
𝜕𝐿
𝜕𝑞
𝛿𝑞 +
𝜕𝐿
𝜕 𝑞
𝛿 𝑞 𝑑𝑡 = 0
𝑡1
𝑡2
𝜕𝐿
𝜕𝑞
𝛿𝑞 +
𝜕𝐿
𝜕 𝑞
𝑑
𝑑𝑡
𝛿𝑞 𝑑𝑡 = 0𝛿 𝑞 = 𝛿
𝑑𝑞
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝛿𝑞 maka

7. 𝑡1
𝑡2
𝜕𝐿
𝜕𝑞
𝛿𝑞 +
𝜕𝐿
𝜕 𝑞
𝑑
𝑑𝑡
𝛿𝑞 𝑑𝑡 = 0
Ruas sebelah kanan dapat diubah menjadi
𝑡1
𝑡2
𝜕𝐿
𝜕𝑞
𝛿𝑞 +
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 𝑞
𝛿𝑞 − 𝛿𝑞
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 𝑞
𝑑𝑡 = 0
𝑡1
𝑡2
𝜕𝐿
𝜕𝑞
−
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 𝑞
𝛿𝑞 𝑑𝑡 +
𝑡1
𝑡2
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 𝑞
𝛿𝑞 𝑑𝑡 = 0
Integral sebelah kanan dapat diselesaikan
𝑡1
𝑡2
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 𝑞
𝛿𝑞 𝑑𝑡 =
𝜕𝐿
𝜕 𝑞
𝛿𝑞
𝑡2
𝑡1
= 0, 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑡1 ≠ 𝑡2
𝑡1
𝑡2
𝜕𝐿
𝜕𝑞
−
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 𝑞
𝛿𝑞 𝑑𝑡 = 0
Jika
𝜕𝐿
𝜕𝑞
=
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 𝑞
Persamaan
EULER LAGRANGE
Untuk sistem n banyak partikel,
Maka persamaan Euler Lagrage dinyatakan
𝜕𝐿
𝜕𝑞 𝑘
=
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 𝑞 𝑘
Untuk 1 ≤ k ≤ n

8. FUNGSI LAGRANGE
Fungsi lagrange merupakan selisih antara energi kinetik dengan energi potesial
L= T - V
Prosedur umum yang dipakai untuk mencari persamaan diferensial gerak dari sebuah sistem menggunakan
Persamaan Lagrange adalah sebagai berikut :
• Pilih koordinat yang sesuai untuk menyatakan konfigurasi sistem.
• Cari energy kinetik T sesuai fungsi waktu.
• Jika sistem tersebut konservatif, cari energi potensial V sebagai fungsi koordinat umum.
• Persamaan deferensial gerak selanjutnya dapat dicari dengan menggunakan persamaan Lagrange.

9. CONTOH SOAL
m1
m2
𝑥1
𝑥2
Dengan, 𝑥1 = 𝑥
𝑥2 = ℓ − 𝑥
Energi Kinetik
T = ½ 𝑚1 𝑥1
2
+ = ½ 𝑚2 𝑥2
2
Karena 𝑥1 = 𝑥2 𝑚𝑎𝑘𝑎
T = ½ (𝑚1+𝑚2) 𝑥1
2
Energi Potensial
V = -m1.g.x1 m2.g.x2
= -m1.g.x1 – m2.g.(ℓ - x1)
= -m1.g.x1 + m2.g.x1 – m2.g.ℓ
Persamaan Lagrange
L = T - V
= ½ (𝑚1+𝑚2) 𝑥1
2
-(-m1.g.x1 + m2.g.x1 – m2.g.ℓ)
𝑑𝐿
𝑑𝑞
=
𝑑𝐿
𝑑𝑥1
= (m1 – m2) g
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝐿
𝑑 𝑞
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑥2 𝑚1 + 𝑚2 𝑥1)
= (m1 + m2) 𝑥1
(m1- m2)g = (m1+m2) 𝑥1
𝑥 =
𝑚1 − 𝑚2
𝑚1+ 𝑚2
g

10. Bagaimanakah persamaan differensial
Gerak pegas ?

11. Bagaimanakah persamaan differensial
Gerak bandul ?

12. Bagaimanakah persamaan differensial
Gerak pegas ?
Massa A = Massa B

13.  TERIMA KASIH 
DISUSUN OLEH :
Diana Astuti Kismaningrung 1510631140033
Erma Sari 1510631140045
Farras Hilmy A.P 1510631140054
Fitri Fazri Suswati 1510631140056
Hengky 1510631140067