More Related Content
Similar to Matematic logic 2006 yu.namsrai
Similar to Matematic logic 2006 yu.namsrai (20)
More from E-Gazarchin Online University
More from E-Gazarchin Online University (20)
Matematic logic 2006 yu.namsrai
- 1. Математик логик
DDC 511.3 '077 H-271
З о х и о г ч и д :
Өөлд-Дээд овогт Юмбаярын Намсрай
Говь-Алтай аймгийн Төгрөг суманд төрсөн. МУИС-ийн математи-кийн ангийг төгссөн.
1972-1981 онд ЗХУ-ын Дубна хот дахь Цөмийн Шинжилгээний Нэгдсэн Институтэд эрдэм
шинжилгээний ажилтан, 1981 - 1997 онд МУИС-ийн Математик Компьютерийн сургуульд
багш, тэнхимийн эрхлэгчээр ажилласан ба 1998 оноос ШУТИС-ийн Компью-терийн техник,
менежментийн сургуульд багш, профессороор ажиллаж байна. 1982 онд физик-математикийн
ухааны доктор (Ph.D)-biH ээрэг хамгаалсан. 1993 онд дэд профессор, 2002 онд профессор цол
хүртсэн. Монгол хэл, монгол бичгийг компьютерээр боловсруулах чиглэлээр судалгааны
ажил хийдэг ба Монгол бичгийн кодыг зохиох ажлын хэсэгт ажиллаж уг кодыг олон
улсын ISO/IEC 10646 болон Unicode стандартад батлуулсан. "Алгоритмын үндэс" сурах
бичгийг бичиж хоёр удаа хэвлүүлсэн.
Энэ номын бүх бүлгийн онолын хэсгийг бичсэн бөгөөд номын эхийг систем ашиглан
бэлтгэв.
Жаргалант овогт Дэмбэрэлийн Азбаяр
Улаанбаатар хотод 1984 онд төрсөн. Гадаад хэлний гүнзгийрүүлсэ* сургалттай Нийслэлийн
10 жилийн 23 -р дунд сургуулийг алтан медаль-тай төгссөн. ШУТИС -ийн Компьютерийн
техник, менежментийн сур-гуулийг компьютерийн ухааны бакалавр зэрэгтэй, онцлох
дипломто{ төгссөн. Олон улсын сүлжээний CISCO академийн Монгол дахь салбар1 "CCNA"
чиглэлээр суралцаж дүүргэсэн. 2005 оноос ШУТИС-ийн Ком пьютерийн техник,
менежментийн сургуульд багшаар ажиллаж байна Энэ номын бүх бүлгийн бодлого,
дасгалын хэсгийг бичиж шалгаса! болно.
I ©2006 Ю.Намсрай, ©2006 Д.Азбаяр, ©2006 ШУТИС, КтМС
Энэ номыг зохиогчийн зөвшөөрөлгүй бүрнээр нь болон хэсэгчлэн хэвлэх, хувилан
олшруулахыг хориглоно. ISBN 99929-0-639-1
-1-
- 2. Математик логик
Өмнөх үг
Оюун ухаанаар танин мэдэхүйн хэлбэр, танин мэдэх аргуудыг судалдаг шинжлэх ухааныг
логик гэж нэрлэнэ. Танин мэдэхүй гэдэг нь бид-нийг хүрээлэн буй ертөнцийн тухай үнэн
зөв м.эдлэгийг олж авах зо-рилгоор хүний оюун ухаан буюу тархинд бодит байдлыг тусган
буул-гах процесс юм. Танин мэдэх процесс нь мэдэрч тпанин мэдэх, оюун ухаанаар тпанин
мэдэх гэсэн хоёр үе шаттай явагддаг байна. Мэдэрч танин мэдэх шатанд бид өөрсдийн
мэдрэх эрхтэнүүдийн тусламжтай-гаар юмыг мэдэрч, түүний тухай ойлгоц, төсөөлөлтэй
болдог. Оюун ухаанаар танин мэдэхдзэ үзэгдэл юмсын ерөнхий шинж чанар, тэд-гээрийн
оршин тогтнохуйн болон хөгжлийн хууль, зүй тогтлыг тог-тоодог. Бодит ертөнцийг оюун
ухаандаа буулгадаг төдийгүй мөн сэт-гэхүй, оюун ухаанаараа хийсвэрлэн хийсвэр ертөнцийг
бий болгон түүн дээр тулгуурлан бодит ертөнцийн тухай мэдлэгийг олж авдаг байна. Танин
мэдэхүйн энэ шатанд 'юунаас юуг мөрдөлгөө болгон гаргаж боло-хыг' бидэнд хэлж өгөх
чухал үүргийг логик гүйцэтгэнэ. Ийм учраас аливаа шинжлэх ухааны мэдлэгийг системтэй
болгоход, мөн өдөр тут-мын амьдралд аливаа баталгаа, дүгнэлтийн хэрэгсэл болгож
логикийг ашигладаг байна. Тодорхой хэлийг хэрэгсэл болгон ашигладаг нь оюун ухаанаар
танин мэдэхүйн нэг гол онцлог болно. Тодорхой төрлийн мэдээллийг тэмдэглэх, хадгалах,
боловсруулах, дамжуулахад зориу-лагдсан тэмдгүүдийн системийг хэл гэж ойлгоно. Хүмүүс
хоорондын харилцааны хэрэгсэл болон үүссэн терөлх хэлүүдээс гадна, шинжлэх ухааны
тодорхой салбарт хэрэглэх зорилгоор хүмүүсийн зохиосон зо-хиомол хэлүүдийг ашигладаг
байна. Танин мэдэхүйн хамгийн ерөнхий зүй тогтол, түүний хэлбэрийг судлах логикийг
сонгодог логик гэдэг бол математик тэмдэглэгээ - хэлийг хэрэглэж, математикийн батал-
гаа, нотолгоог хийхэд зориулагдсан логикийг математик логик гэнэ. 'Баталгаа' гэсэн
ойлголтыг нарийн тодорхойлж, аливаа баталгааг хийх үндсэн арга зүйгээр хангахад
математик логикийн гол зорилго оршно. Бид энэхүү номонд математик логикийн үндэс
болон аливаа оюун дүгнэлтийг батлахад хэрэглэгдэх аргуудыг нэгтгэж оруулах зорилго
тавьсан юм. Математикийн ухааны нэг салбар болон үүсч байсан ком-пьютерийн ухаан нь
нэгэнт өөрийн судлах зүйлтэй, өөрийн судалгааны арга, хэрэгсэлтэй биеэ даасан шинжлэх
ухаан болон хөгжсөн бөгөөд түүнд янз бүрийн логикийг өргөн хэрэглэж байна. Ийм учраас
компьютерийн мэргэжлийн ангиудад зориулан ''Математик логик" -ийн хичээл заах
-2-
- 3. Математик логик
үүргийг 1990-ээд оны дунд}'ур надад сургуулиас өгсөн юм. Энэ даалгаврыг биелүүлэхийн
тулд логикийг хамгийн их хэрэглэдэг "Хий-мэл оюун", "Логик програмчлал" зэрэг
компьютерийн ухааны салба-руудын үндэс болон "Z notation", " Vienna Development Method'7
зэрэг формаль хэлний ном зохиолыг судалж эхэлсэн билээ. Миний аз болж, НҮБ -ын Их
сургуулийн харъяа, Програм хангамжийн Технологийн Олон улсын Институтэд очиж
"Програм хангамжийн системийг хөгжуү-лэх формаль аргыг" судлах, нэгэн төсөлд түүнийг
хэрэглэн ажиллах завшаан надад тохиосон юм. Мөн уг институтийн хүсэлтээр, формаль
аргыг судлахад шаардагдах математикийн суурь мэдлэг олгоход зори-улан "Mathematics for
Computer Science" (Компьютерийн ухааны мате-матик) сэдэвт гарын авлагыг бичсэн болно.
Энэ бүгдийн үндсэн дээр компьютерийн ухаанд суурь болон хэрэг-лэгдэж байгаа
математик логикийн үндсийг багтаасан энэхүү сурах бичгийг бичлээ. Математик логикийг
энэ номын хэмжээнд судалснаар нэгдүгээрт, аливаа бодлогын үнэн зөв алгоритм, програмыг
зохиох, хоёрдугаарт, тавигдсан шаардлагыг гүйцэд хангасан програм хангам-жийн систем
зохиох, түүний үнэн зөв болохыг батлахад математик логикийг хэрэглэх болон
компьютерийн ухааны "Хиймэл оюун", "Сис-тем хөгжщлэх формаль арга" зэрэг салбарын
үндсийг судлахад шаар-дагдах суурь мэдлэг, чадварыг эзэмших болно.
Энэхүү ном нь компьютерийн ухааны мэргэжлээр суралцаж байгаа оюутан, мэдээллийн
технологийн салбарын мэргэжилтнүүдээс гадна математик логик, түүний хэргэлгээг
сонирхон судлах зорилготой бүх хүнд тустай байх болов уу хэмээн итгэж байна.
Номын маань зарим бүлгийг уншиж үнэтэй санал, шүүмжийг өгсөн МУИС -ийн
Математик, Компьютерийн сургуулийн багш, дэд профес-сор Н.Ендон багшдаа болон номын
эхийг бэлтгэх явцад тусалж зөвлөсөн ШУТИС -ийн Компьютерийн техник, менежментийн
сургуулийн багш магистр Я.Лутбат, уг сурах бичгийн агуулгаар надтай хамт хичээл зааж
ирсэн багш магистр Л.Батаа нарт чин сэтгэлийн талархал илэр-хийлье.
Номын талаарх санал, шүүмжийг ШУТИС -ийн Компьютерийн тех-ник, менежментийн
сургуулийн Програмчлалын технологийн профес-сорын багийн нэр дээр болон
ny@csms.edu.mn хаягаар ирүүлбэл уншигч таньд талархах болно
Зохиогч Юмбаярын Намсрай 2006 оны 2–р cap
-3-
- 4. Математик логик
Агуулга
Өмнөх үг iii
1 Хэллэгийн логик 1
1.1 Хэллэгийн тухай ойлголт............................................................ 1
1.2 Хэллэгийн логикийн үндсэн үйлдлүүд..................................... 4
1.2.1 Үгүйсгэл ............................................................................. 4
1.2.2 Хоёр хэллэгийн дизъюнкц .............................................. 5
1.2.3 Хоёр хэллэгийн конъюнкц.............................................. 5
1.2.4 Хоёр хэллэгийн импликац .............................................. 6
1.2.5 Хоёр хэллэгийн эквиваленц ........................................... 8
1.3 Логик илэрхийлэл ба түүний утгыг бодох ............................. 9
1.3.1 Хамгийн дотор талын илэрхийллийг тогтоох . . . 11
1.4 Логик үйлдлүүдийн эрэмбэ .................................................... 14
1.5 Илэрхийллийн утгыг товч бичиж бодох ................................. 18
1.6 Булийн функц, түүний утгын хүснэгт ..................................... 20
1.7 Тавтолог .......................................................................................... 24
1.8 Хэллэгийн логикийн хуулиуд .................................................... 26
1.9 Хүснэгтээр өгөгдсөн функцийг томъёолох ............................. 32
1.10 Илэрхийллийн нормаль хэлбэр .................................................. 36
1.11 Нэгдүгээр бүлгийн бодлого, дасгал.......................................... 41
2 Хэллэгийг томъёолох 53
2.1 Конъюнкцээр илэрхийлэх хэллэг.............................................. 54
2.2 Үгүйсгэлээр илэрхийлэх хэллэг ................................................ 56
2.3 Дизъюнкцээр илэрхийлэх хэллэг .............................................. 59
2.4 Нөхцөлт хэллэг.............................................................................. 62
2.5 Эквиваленцээр илэрхийлэх хэллэг............................................ 66
2.6 Зайлшгүй, хүрэлцээтэй нөхцелүүд........................................... 67
2.6.1 Зайлшгүй нөхцөл ............................................................. 67
2.6.2 Хүрэлцээтэй нөхцөл .................................................... 68
2.6.3 Зайлшгүй, хүрэлцээтэй нөхцөлийн үгүйсгэл . . . . 69
2.6.4 Зайлшгүй ба хүрэлцээтэй нөхцөл ................................ 72
2.7 Нийлмэл хэллэгийг томъёолох .................................................. 73
-4-
- 5. Математик логик
vi Агуулга
2.8 Хоёрдугаар бүлгийн бодлого, дасгал........................................ 78
3 Компьютерийн ухаанд хэрэглэгддэг үйлдлүүд ...........85
3.1 хог үйлдэл ....................................................................................... 85
3.2 nor үйлдэл ....................................................................................... 87
3.3 nand үйлдэл ................................................................................. 88
3.4 nor, nand үйлдлүүдийн шинж..................................................... 88
3.5 Логик үйлдлүүдийг хэрэглэх .................................................. 91
3.6 Гуравдугаар бүлгийн бодлого, дасгал...................................... 96
4 Оюун дүгнэлт, түүнийг шалгах аргууд 99
4.1 Оюун дүгнэлтийн тухай ойлголт .............................................. 99
4.2 Оюун дүгнэлтийг хүснэгтээр шалгах ............ »................... 104
4.3 Оюун дүгнэлтийг шалгах Уангийн арга ................................. 109
4.4 Дөрөвдүгээр бүлгийн бодлого, дасгал...................................... 116
5 Оюун дүгнэлтийн гаргалгаа 125
5.1 Гаргалгааны формаль систем..................................................... 125
5.2 Гаргалгааны хоёр дүрэм, гаргалгааг бичих ........................... 128
5.3 Гаргалгааны үндсэн дүрмүүд..................................................... 133
5.4 "Үзүүл" дүрэм ба шууд гаргалгаа.............................................. 138
5.5 Эсрэгээс батлах нзгдүгээр дүрэм .............................................. 143
5.6 Эсрэгээс батлах хоёрдугаар дүрэм............................................ 148
5.7 Импликац үүсгэх дүрэм ........................................................... 152
5.8 Конъюнкц, эквиваленцтэй томъёо гаргах............................... 156
5.9 Гаргалгааны системийн дүрмийн гүйцэд чанар...................... 160
5.10 Орлуулах дүрэм............................................................................. 161
5.11 Шийдлийн дүрэм ........................................................................... 164
5.12 Теорем, түүний баталгаа............................................................. 166
5.13 Тавдугаар бүлгийн бодлого, дасгал ...................................... 170
6 Предикатын логик .................................................................... 175
6.1 Предикатын тухай ойлголт......................................................... 176
-5-
- 6. Математик логик
6.2 Предикат дээр хийх логикийн үйлдэл....................................... 178
6.3 Кванторын тухай ойлголт ........................................................... 180
6.3.1 Хоёрбайрт предикатад квантор хэрэглэх . . . . . . 184
6.4 Логикийн томъёо ........................................................................... 188
6.5 Кванторуудын зарим чанар......................................................... 189
6.6 Предикат логикийн гаргалгааны дүрмүүд............................... 191
6.6.1 Ерөнхийллийн квантораас ялгах дүрэм....................... 195
6.6.2 Оршихуйн квантор үүсгэх дүрэм .................................. 199
6.6.3 Ерөнхийллийн квантор үүсгэх дүрэм ........................... 202
6.6.4 Оршихуйн квантораас ялгах дүрэм .............................. 209
6.6.5 Кванторын үгүйсгэлтзй томъёо бүхий гаргалгаа . 217
6.7 Тэнцүү байх чанар, түүнийг хэрэглэх 222
6.7.1 Тэнцүү байх чанар........................................................... 223
6.7.2 Тэнцүү байх чанарыг хэрэглэх жишээ.................. '. . 228
6.8 Зургаадугаар бүлгийн бодлого, дасгал................................... 230
7 Предикаттай нотолгоог томъёолох 237
7.1 Предикатыг томъёолох................................................................ 237
7.2 Энгийн нотолгоог томъёолох..................................................... 239
7.3 Нийлмэл нотолгоог томъёолох.................................................. 245
7.4 Төгсгөлийн үг ................................................................................ 252
7.5 Долдугаар бүлгийн бодлого, дасгал .................................... 253
Номзүй 259
-6-
- 7. Математик логик
Бүлэг 1
Хэллэгийн логик
Энэ бүлэгт логикийн үндсэн ойлголтуудын нэг болох хэллэгийн тухай, хэллэг дээр
хийх логикийн үйлдлүүд болон логик илэрхийлэл, логик функцийн шинж чгшарыг
судална.
1.1 Хэллэгийн тухай ойлголт
Математик, физик гэх мэт шинжлэх ухаанд болон өдөр тутмын амьд-ралд ямар
нэгэн юмыг нотлон хэлсэн хүүрнэх өгүүлбэр байнга хэрэглэг-дэж байдаг.
Жишээ 1.1.1. Дараах өгццлбэрццдийг авч цзье.
1. Аливаа ромбын диагналууд харилцан перпендикуляр байна.
2. Тэгш өнцөгтийн диагналууд хоорондоо тэнцүү.
3. Монгол улсын нийслэл-Улаанбаатар хот.
4. 17 гуравт 3 -т хуваагдана.
5. 21 анхны тоо.
6. Дархан хот-Монголын хамгийн том хот.
7. Би худалч хүн.
8. х тоо нэгээс хэтрэхгүй.
Ийм төрлийн, аливаа фактыг нотолсон хүүрнэх өгүүлбэрийг цаашид бид нотолгоо
гэж нэрлэе. Дээрх жишээнүүд дотор эхний гурван но-толгоо нь "үнэн" утгатай, ө.х.
нотолгоо өгүүлбэрийн агуулга нь үнэн байхад, 4 -өөс 6 -р нотолгоо "худал" утгатай
болох нь мэдэгдэж байна.
-7-
- 8. Математик логик
Харин 7 -р нотолгоог тусгайлан авч үзье. Энэ хүн 'үнэн хэлж бай-гаа' эсвэл
'худал хэлж байгаа' гэсэн хоёр тохиолдол энд байх боломж-той. Дээрх нотолгоог
хэлсэн хүн хэрэв цнэн хэлж. байгаа, ө.х. тэр хүн үнэхээр худалч хүн бол тэр энэ удаа
өөрийнхөө худалч гэдгийг үнэн-чээр хэлж байгаа үнэнч (ө.х. худалч биш) хүн болох
учир худалч хүн маань худалч биш болж байна. Харин хэрэв тэр хүн 'би худалч
хүн' гэж хэлэх үедээ худал хэлж байгаа худалч хүн бол түүний хэлж байгаа
нотолгоо нь худал учраас тэр хүн худалч биш (үнэнч) хүн болж таарна, ө.х. бас л
худалч мөн үнэнч болж байна. Иймээс аль ч тохиолдолд тэр хүн нэгэн зэрэг худалч
бас худалч биш хүн болж байна. Ийм учраас, энэ нь байх боломжгүй зерчилтэй
нотолгоо байна.
Ийм төрлийн, биелэх боломжгүй зөрчилтэй нотолгоог парадокс (хачин зүйл гэсэн
утгатай латин үг) гэж нэрлэдэг.
Наймдугаар өгүүлбэрийн "худал" эсвэл "үнэн" утгатай байх нь х -ийн утгаас
хамаарна. Өөрөөр хэлбэл, хувьсагчийн зарим утганд "үнэн" байхад зарим утганд
"худал" байх учраас тодорхойгүй байна. Ийм төр-лийн, хувьсагчийн тодорхой
утганд "худал" эсвэл "үнэн" утгатай байх нотолгоог предикат гэж нэрлэдэг бөгөөд
энэ номын зугаадугаар бүлэгт предпикатын тухай бид үзнэ.
Тодорхойлолт 1.1.1 (хэллэг). Нотолгоо өгүүлбэрийн агуулга нь үнэн юмуу эсвэл
худал байвал түүнийг хэллэг (statement) гэж нэрлэнэ.
Дээрх жишээнд өгөгдсөн эхний зургаан нотолгоо нь хэллэг болох ба харин долоо ба
наймдугаар нотолгоо нь хэллэг биш байна (1.1 Хүс-нэгтийг үз).
Дээрх тодорхойлолтоос дурын хэллэг нь үнэн юмуу эсвэл худал ут-гатай байна,
харин ямар ч хэллэг нэгэн зэрэг үнэн, худал байхгүй гэж ойлгох ёстой. Логикт
"үнэн" ба "худал" гэсэн хоёр тогтмол утга ашиглагддаг "ба тэдгээрийг англи хэлэнд
болон програмчлалын хэлүү-дэд харгалзан true ба false гэж бичдэг. Харин бид
"үнэн" утгыг үнэн, "худал" утгыг худал гэж бичнэ. Мөн ^өгөгдсөн хэллэг "үнэн"
утгатай' гэсэн өгүүлбэрийг 'өгөгдсөн хэллэг үнэн', харин 'өгөгдсөн хэллэг "ху-дал"
-8-
- 9. Математик логик
утгатпай' гэсэн өгүүлбэрийг 'өгөгдсөн хэллэг худал' гэж товчилж бичнэ. Мөн логик
үйлдлүүд, аливаа логик илэрхийллийн утгын хүс-нэгтийг зохиож бичихдээ үнэн
утгыг 1 - ээр, худал утгыг 0 (цифр) -ээр тус тус тэмдэглэж бичнэ.
Жишээ 1.1.1 -д өгөгдсөн (1..6) хэллэгүүдийн хувьд утга нь үнэн эсвэл худал болохыг
нь шууд хэлж болж байна. Гзвч ямар ч хзллэгийн хувьд
-9-
- 11. Математик логик
2. 7-р сарын 11-ээс өөр өдөр ойн наадмыг хийдэг болчихсон
байх,
3. баяр наадам болсон ч өөр нэр, агуулагатай наадам болчих-
сон байх
гэх мэт тохиолдол байж болно.
Математик логикийн, хэллэгийг судалдаг салбарыг хэллэгийн логик гэж нэрлэдэг.
Хэллэгийн логикт, үнэн юмуу эсвэл худал нь мэдэгдэж байх хэллэгүүдийн олонлог байна
гэж тооцох ба ийм хэллэгүүдийг эн-гийн хэллэг буюу (цаашаа задрахгүй энгийн гэсэн утгар)
атпом хэллэг гэнэ. Тэгэхдээ ямар нэг энгийн хэллэг чухам яагаад үнэн эсвэл худал утгатай
байгаа юм бэ гэсэн асуудлыг логикт авч үздэггүй юм.
Жишээлбэл, 'гурвалжны дотоод енцгийн нийлбэр 180 градустай тэнцүү' гэсэн хэллэгийн
үнэний чанарыг математик логикт биш харин геометрт тогтоодог ба дунд сургуульд бидний
судалдаг Евклидийн геометрт энэ хэллэг үнэн утгатай гэдгийг баталдаг. Өөрөөр хэлбэл, энэ
асуудлын яагаад үнэн эсвэл худал утгатай байгааг геометрт судална.
Математик логикт аливаа хэллэгийн хувьд үнэн байх эсвэл худал байх гэсэн хоёр
боломжит төлвийн зөвхөн нэгд нь байх тэр чанарыг (энэ чанарыг бид цнэний чанар гэж доор
нэрлэнэ) нь авч үздэг. Ингэснээр, энгийн хэллэгүүдийг логикийн үйлдэл-холбоосоор холбож
(зүйрлэвэл, монгол хэлэнд энгийн өгүүлбэрүүдийг холбоос үгийн тусламжтайгаар холбож
илүү нийлмэл утга санааг илэрхийлсэн нийлмэл өгүүлбэр үүо гэдэгтэй адил) нийлмэл
хэллэгийг үүсгэж түүнийг судлах боломжтой болдог. Нийлмэл хэллэгийн үнэний чанар нь
түүнийг бүтээж байгаа энгийн хэллэгүүдийн үнэний чанар болон холбоос-үйлдлээс хамааран
нэгэн утгатай тодорхойлогддог байна.
1.2 Хэллэгийн логикийн үндсэн үйлдлүуд
Хэллэгүүдийг холбож нийлмэл хэллэгийг үүсгэхэд хэрэглэгддэг (мон-гол хэлэнд
©гүүлбэрүүдийг холбож нийлмэл егүүлбэр үүсгэхэд хэрэглэ-дэг үгийг холбоос гэж
нэрлэдэгтэй төстэй) холбоос буюу хэллэгийн логикийн үндсэн таван үйлдлийг энд үзнэ.
Үүний тулд аливаа энгийн буюу атом хэллэгийг латин цагаан толгойн дармал том үсгээр
болон индекстэй үсгээр А, В, С, ... А, А2 гэх мэт тэмдэглэнэ.
1.2.1 Үгүйсгэл
-11-
- 12. Математик логик
Дурын өгөгдсөн А хэллэгийн хувьд 'Л биш' гэсэн нотолгоог шинээр зо-хиож болно.
Жишээлбэл, А ='гурвалжны дотоод өнцгийн нийлбэр 180
-12-
- 20. Математик логик
1. тоолуурын утга тэгээс эхлэнэ,
2. нээсэн хаалт дээгүүр өнгөрөхөд тоолуурыг 1-ээр нэмэгдүүлж, хаа-
сан хаалтыг өнгөрөхдөө тоолуурын утгыг 1-ээр багасгана, харин
бусад тэмдэгтээр өнгөрөхөд тоолуурын утгыг өөрчлөхгүй.
тавдугаар алхам: Илэрхийллийг уншиж дуусахад хэрэв тоолуурын утга тэг байвал
тоолуур максимум утгадаа хүрсэн нээх хаалтаар хам-гийн дотор талын дэд илэрхийлэл
эхэлж, энэ утгаас нэгээр бага ут-гатай болж байгаа хаах хаалтаар төгссөн байна гэж ол
(ийм илэр-хийлэл нэгэзс олон байж болно). Хэрэв тоолуурын утга тэгээс ялгаатай бол
нээсэн, хаасан хаалтын тоо тэнцүү биш, ө.х. алдаатай илэрхийлэл өгөгдсөн гэдгийг заана.
Тэгэхдээ, хэрэв тоолуурын утга сөрөг rap-Ban хаасан хаалт илэрхийлэлд илүү бичигдсэн,
харин тоолуурын утга тэгээс их байвал нээсэн хаалт илүү бичигдсэн гэдгийг үзүүлдэг.
Иймд энэ тохиолдолд анхны өгөгдсөн илэрхийллийг шалгаж алдааг нь засаад алгоритмын
нэгдүгээр алхамд шилж.
зургаадугаар алхам: Дээр тодорхойлсон ёсоор, дэд илэрхийлэл бүр нь
(утгах*
хэлбэртэй (энд утга, утга2 G {0,1} ба * G {Л,V , — »,=} байна) байх ёстой учраас
олдсон дэд илэрхийлэл зөв эсэхийг шалга.
Жишээлбэл, алгоритмын эхний хоёр алхмын дараа (( -, о) л (0 ->
((1 V 0) - 0)))
гэсэн тоон илэрхийлэл гарсан гэе. Тэгвэл, гуравдугаар алхам ёсоор энд байгаа (->0)
илэрхийллийг утгаар нь соливол
(( - о) л (о - ( ( 1 v о) - о)))
(1 Л (0 - ((1 V 0) - 0)))
болно. Одоо хамгийн дотор талын илэрхийллийг олохын тулд тоолуур гүйлгэж
утгыг нь бичнэ.
( 1 Л ( 0 - ( ( l V 0 ) - 0 ) ) ) тоолуур:
0 1 1 1 2 2 2 3 4 4 4 4 3 3 3 2 1 0
Эндээс тоолуурын утга 4 болж эхлээд 3 болж буурч байгаа тэр байранд хамгийн
-20-
- 21. Математик логик
дотор талын илэрхийлэл оршино гэж олно. Мөн олдсон илэр-хийлзл нь (1 V 0)
байгаа учраас зөв болж түүний утгыг шууд бичих боломжтой болно.
-21-
- 24. Математик логик
--, Л, V, -», =
гэж (хамгийн өндөр эрэмбэтэй, ө.х. түрүүлж биелэгдэх үйлдэл нь -> болно) зццнээс баруун
тпийш буурах дарааллаар эрэмблэгдсэн бөгөөд цйлдэл бцр тццнд хамгийн ойр бичигдсэн зөө
дэд илэрхийлэлд хамаардаг гэсэн цндсэн дээр сэргээж болох хос хаалтуудыг бичихгцй байж
болно.
Тэгэхдээ үгүйсгэл үйлдэл нь түүний ард бичигдсэн хамгийн богино дэд илэрхийлэлд
хамаардаг, түүнээс бусад үйлдэл нь үйлдлийн тэмдгийн хоёр талд байгаа хамгийн богино
илэрхийлэлд хамаарна гэж тооцно.
Дцрэм 1.4.4. Хаалтанд бичигдсэн аливаа үйлдэл нь бусад үйлдлүүдээс өмнө биелэгдэнэ
Дцрэм 1.4.5. Илэрхийлэлд орсон ижил үйлдлүүд зүүнээс баруун тийш буюу бичигдсэн
дарааллаараа биелэгдэнэ.
Жишээ 1.4.1. (((В V В) V А) V (С V А)) илэрхийллийг хаалтгүй бич. Эхлээд гадна талын
хаалтыг нь бичихгүй байж болох тул
((£ V В) V A) v [C v A)
болно. Энд дизъюнкц үйлдэл (V) дөрвөн удаа оржээ:
12 3 4 {{В V В) V А) V [С V )
1 ба 4 дэхь тэмдгүүдийн зүүн талд хаалттай илэрхийлэл байхгүй байгаа тул
зөвхөн 2 ба 3-р тэмдгийг авч үзнэ. Хоёр-дугаар дүрмийг хэрэглэн 2-р тэмдгийн
зүүн талын дэд илэр-хийллийн гаднах хаалтыг бичихгүй бол илэрхийлэл дараах
хэлбэртэй болно.
12 3 4
{В V В V А) V (С V А)
Одоо 3-р тэмдгийн хоёр талд хаалттай илэрхийлэл байгаа боловч хоёрдугаар
дүрэм ёсоор зөвхөн зүүн талын илэрхийл-лийн хаалтыг орхиж болох учраас
дээрх илэрхийллийг В V В V ,4V (СV А) хэлбэртэй бичиж болно.
-24-
- 25. Математик логик
Жишээ 1.4.2. (((Л -> В) -+ С) -> й) илэрхийллийг нэг ба хоёрдугаар дүрмээр
хялбарчилж A —> В —* С —> D гэж бичиж болно.
Жишээ 1.4.3. Дээрх дүрмүүдийг баримтлан хаалтгүй бичсэн
12 3 4 BV BV AV С V
илэрхийллийн хаалтуудыг сэргээж бич.
Дээрх дүрмүүд ёсоор (V) тэмдэг бүрийн зүүн талын илэр-хийллийн гаднах
хаалтыг бичээгүй байгаа. 1 -р тэмдгийн зүүн талд атом үсэг байгаа учраас
түүнийг хаалтанд бичихгүй. Иймд эхлээд 2-р тэмдгийн зүүн талын
илэрхийллийг хаал-танд бичвэл
1 2 3 4
{ В / В ) У А У С / А
болно. Үүнтэй адил 3, 4-р тэмдгүүдийн зүүн талд байгаа илэрхийллийг
хаалтанд бичвэл
12 3 4 (((В V В) V А) V С) V A
болох ба илэрхийллийн хамгийн гаднах хаалтыг бичвэл дараах хэлбэртэй болно.
12 3 4( ( ( ( В V В) V А) V С) V А)
Жишээ 1.4.4. A V -iJ5 —> С = А илэрхийлэлд хаалтыг сэргээж бич.
Эхлээд илэрхийлэлд байгаа үйлдлүүдийг биелэх дарааллаар нь дугаарлая.
Үүний тулд баримталбал зохих дүрмүүдийг хураангуйлан дор сануулая:
1. Хаалтан дотор бичигдсэн дэд илэрхийллийн үйлдлүүдийг
түрүүлж биелүүлнэ.
2. Үйлдлүүдийн эрэмбийг баримтлан өндөр эрэмбэтэй үйлд-
лийг бусдаас нь түрүүлж биелүүлнэ.
3. Нэг ижил үйлдлүүдийг зүүнээс баруун тийш биелүүлнэ
Иймд ©гөгдсөн илэрхийлэлд орсон үйлдлүүд нь
-25-
- 32. Математик логик
өгөгдсөн функц гэж нэрлэдэг. Үүнтэй адил логик илэрхийлэл нь логик функцийн аналитик
хэлбэр юм.
у = f(A) гэсэн нэг аргументтай, ө.х. нэг атом үсгээс хамаарсан функцийг авч үзье. А
үсэг (хэллэг) 0 ба 1 гэсэн зевхөн хоёр ялгаатай утга авах учир энэ функц зөвхөн 2 утганд
тодорхойлогдсон функц байна.
у — f(A, В) гэсэн функцийн хувьд аргумент бүр нь мөн 0 ба 1 гэсэн утгаавах тул
аргументын (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) гзсэн дөрвөн ялгаатай утганд тодорхойлогдоно. Иймд
хоёр атом үсэг агуулсан илэрхийлэл нь дервөн (4 = 22
) утганд тодорхойлогдсон функцийг
өгнө.
Хэрэв у = f(A, B, С) функцийг авбал эхний A, B хоёр үсгийн ял-гаатай дөрвөн хос
бүрийн хувьд С үсэг 0 ба 1 гэсэн утгатай байж болох учир бүгд (4*2 = 8) 23
тооны ялгаатай
утганд тодорхойлогдсон функц байиа.
Иймд бид дараах дүгнэлтийг хийж болно. Дцгнэлт 1.6.1. п тооны атом үсэг агуулсан
илэрхийлэл нь атом үс-гүүдийн 2П
тооны ялгаатай комбинац4
утганд тодорхойлогдсон логик
функцийгөгнө. Аливаа функцийг томъёогоор, графикаар, хүснэгтээр дүрсэлж болно. Тэгэхдээ
аргументын төгсгөлег тооны утганд тодорхойлогдсон функц байвал түүний бүх утгыг
хүснэгтээр өгөх боломжтой болдог. Мөн түүнч-лэн, булийн функцийн утга нь зөвхөн үнэн
эсвэл худал (хоёрхон ял-гаатай утга) байх учраас булийн функцийн хувьд "өсөн, буурах".
"хам-гийн, хамгийн бага утга" гэх мэт шинжийг ярих шаардлагагүй болдог. Харин
аргументын ямар утганд үнэн, ямар утганд худал утгатай бай-гаа болон аргументын бүх
утганд үнэн утгатай байгаа эсэх нь булийн функцийн үндсэн шинж болдог. Ийм учраас
булийн функцийг хүс-нэгтээр өгөх, томъёогоор өгөгдсөн функцийн утгын хүснэгтийг
зохиож судлах аргыг өргөн хэрэглэдэг юм. Булийн функцийн утгын хүснэгт нь,
математикт судалдаг тоон функцийн утгын хүснэгт, график хоёрыг "хамт" агуулсан
байдаг гэж хэлж болно. Учир нь булийн функцийн утгын хүснэгтээс аргументын тодорхой
утганд функц ямар утгатай бай-гааг шууд мэдэж болохоос гадна функцийн дээр дурьдсан
шинжүүдийг ч шууд харах боломжтой байдаг юм.
4
Комбинац гэдэг нь монгол хэлний хос, гурвал, дөрввл, тавт г. м. нийлэн зохиц-сон
гэсэн утгатай үгүүдтэй ижил утгатай ерөнхийлсөн уг юм.
-32-
- 64. Математик логик
Бүлэг 2
Хэллэгийг томъёолох
Үнэн эсвэл худал утгатай байх нотолгоо өгүүлбэрийг хэллэг гэнэ гэж дээр тодорхойлсон
билээ. Амьдрал практикт, жишээлбэл монгол хэлний энгийн өгүүлбэрээр бичигдсэн энгийн
хэллэгийг ашиглахын зэрэгцээ энгийн хэллэгүүдийг янз бүрийн холбоос үгээр холбож
нийлмэл өгүүл-бэрээр бичсэн хэллэгийг ч бас өргөн ашигладаг байна. Түүнчлэн, нийл-мэл
хэллэгүүд болон холбоос үгээр зохион бичсэн нийлмэл хэллэгийг ч мөн ашигладаг. Ийм
учраас нийлмэл өгүүлбэрээр өгөгдсөн хэллэгийг логикийн тусламжтайгаар судлахын тулд
түүнийг хэллэгийн логикийн илэрхийлэл болгон зөв томъёолох асуудал гардаг. Нийлмэл
хэллэгийг логикийн илэрхийллээр илэрхийлснээр түүнийг аналитик аргаар суд-лах боломж
бүрддэг.
Хэллэгийн логикт "ба". "буюу", ':
хэрэө ... бол", "тэнцщ чанартай", "биш" гэсэн таван
стандарт холбоосыг бид ашигладаг. Гэтэл, мон-гол хэлэнд "бөгөөд", "гэвч", "эсвэл",
"ядаж нэг", "харин", гэх мэт олон тооны холбоос үгээр нийлмэл өгүүлбэрийг зохион бичиж
болно (бу-сад хэлэнд ч эдгээртэй төстэй холбоос үг байдаг байна). Сүүлчийн энэ холбоос
үгүүдийг стпандартп бус холбоос гэж нэрлэе. Математик логикийг алгебр хэлбэрт (тэмдэг,
тэмдэглээ хэрэглэдэг болгосон учраас тпэмдэгтпийн логик гэж заримдаа ярьдаг) оруулж
хөгжүүлсэн эрдэмтэн мэргэд л дээрх таван стандарт холбоосыг хамгийн ашигтай гэж тооцон
сонгож авсан хэрэг юм.
Хэллэгийг тпомъёолно гэдэг нь төрөлх хэлээр хэлэгдсэн хэллэгийг атом үсэг болон логик
үйлдлийн тэмдгүүдийн зөв дараалал болгон, ө.х. хэллэгийн логикийн илэрхийлэл болгон
хөрвүүлнэ гэсэн үг юм. Үүнийг хийхийн тулд
нэгдугээртп, өгөгдсөн хэллэгт хэлэгдэж байгаа стандарт бус хол-боостой хэллэг бүрийг,
түүнтэй тэнцүү чанартай бөгөөд зевхөн стан-
-64-
- 110. Математик логик
Аливаа оюун дүгнэлтэнд 'ийм байна' гэж нотолж байгаа хэллэгийг оюун дцгнэлтийп
дцгнэлт гэж нэрлэнэ. Харин дүгнэлтийг хийхэд үндэс-лэл болон ашиглагдаж байгаа хэллэг
бүрийг оюун дцгпэлтийп нөхцөл гэж нэрлэнэ.
Өгөгдсөн нөхцөл дээр үндэслэн зөв дүгнэлт гаргах чадвар нь дээд зэргийн зохион
байгуулалттай матери гэж тооцогддог (хүний) уураг тархины үйл ажиллагаа, зевхөн түүнд
байх чанар юм. Өөрөөр хэлбэл сэтгэн бодох; хүрээлэн байгаа орчны тухай мэдлэг болон
нөхцөл болж өгөгдөж байгаа орчны тухай мэдээ, мэдээлэл дээр үндэслэн дүгнэлт хийх
чадвар зөвхөн оюун ухаант хүнд байгалиас заяагдсан байна. Харин зарим амьтныг, тухайлбал
нохой, адуу (сайн морь орон нутагтаа хол газраас гүйгээд ирдэг, эзнээ орхиж явдаггүй г.м.
яриа, жишээ байдаг), дельфин загасыг ухаантай гэж ярьдаг боловч энэ нь 'эдгээр амътан
сэтгэн боддог" гэж хэлж байгаа хэрэг биш юм. Миний бодлоор, эдгээр амьтан маш өндөр
мэдрэхүйтэй (магадгүй олон талын ой тогтоолт-той) байдаг бөгөөд түүнийхээ үндсэн дээр
(төрөлхийн болон олон дав-тах үйлдлээр тогтсон) рефлексээрээ тухайн нөхцөл байдалд
тохирсон үйлдэл хийдэг.
Сүүлийн хагас зуун жилд, секундзд хэдэн арван сая үйлдэл хийх хурдтай, хүний тархитай
зүйрлэшгүй их хэмжээний мэдээллийг санаж хадгалах ойтой компьютер гэдэг тех.никийг
зохион бүтээж хэрэглэх болс-ноор тодорхой төрлийн шийдвэр гаргах програмын системийг
зохион амжилттай хэрэглэх болжээ. Ийм системүүдийг хиймэл оюуны систем гэж нэрлэдэг.
Жишээлбэл, АНУ-ын нэгэн компаний зохион бүтээсэн шатар тоглодог Deep Blue гэдэг
систем дэлхийн тэргүүн зэргийн шатар-чин ихмастер Гарри Каспаровыг хожиж шуугиан
тарьсан билээ. Зарим хүн 'техник хүнийг анх удаа хожлоо' гэж ярьж, бичсэн нь буруу юм.
Үнэн хэрэгтээ бол хүний оюун ухаанаар зохиогдсон техник, програмын систем хүнийг
хожсон, ө.х. (бүлэг) хүний оюун ухаан л өөр нэг хүнийг тухайн үед хожсон хэрэг юмаа.
Хүн болон хиймэл оюуны системийн аль нь ч аливаа дүгнэлтийг хийхдээ логик гаргалгааны
тодорхой дүрмүүдийг үндэс болгон баримталдаг ба эдгээр дүрмийг бид энэ бүлэгт судална.
Одоо оюун дүгнэлтийн тухай ойлголтыг цааш нь гүнзгийрүүлж үзье. Зарим нөхцөл нь
тухайн оюун дүгнэлтийн хувьд илт илэрхий, ө.х. орч-ны тухай мэдлэг болж тогтоогдсон
байх тул түүнийг өгөегүй байж болно. Жишээлбэл, дээрх 4.1.1 жишээнд Улаанбаатар ба
Ховд хо-тууд нь, өмгөөлүүлэгч Ө гэрчү'үдэд мэдэгдэхгүйгээр Улаанбаатар хотод очоод
буцаж ирэх боломжгүй хол гэдгийг нөхцөлд дурьдаагүй байна. Гэтэл Монголын газар зүйг
сайн мэдэхгүй гадаадын хуульч хүнд энэ
-110-
- 111. Математик логик
нөхцөл нь илэрхий биш байж болно. Ийм үед оюун дүгнэлтэд бичилгүй орхисон бүх
нөхцөлийг гүйцээж бичих нь чухал болно.
Ямар нэг оюун дүгнэлт өгөгдсөн гэе. Тэгвэл энэ оюун дүгнэлт зөв үү гэдгийг яаж
мэдэх вэ? Өөрөөр хэлбэл ямар оюун дүгнэлтийг зев гэх вэ гэсэн асуулт гарна.
Тодорхойлолт 4.1.2. Оюун дүгнэлтийн дүгнэлт нь өгөгдсөн нөхцөлөөс зайлшгүй мөрдөж
гардаг, ө.х. нөхцөлүүд нь үнэн байхад дүгнэлт нь мөн үнэн байх тийм логик холбоо нөхцөл
болон дүгнэлт хоёрын хооронд байвал оюун дүгнэлтийг логикийн хувьд зөө (эсрэг
тохиолдолд логи-кийн хувьд зөв биш) оюун дцгнэлт гэж нэрлэнэ.
Логикийн хувьд зөв оюун дүгнэлтийн хувьд түүний нөхцөлийг үнэн гэж итгэвэл түүний
дүгнэлтэнд итгэж болно, ө.х. нехцөл нь дүгнэлтийн хувьд сайн үндэслэл болно гэсэн үг
юм.
Ямар үед оюун дүгнэлт буруу байх вэ?
1. Түүний дүгнэлт нь нөхцөлөөсөө мөрдөж гарахгүй, е.х. логикийн
хувьд зөв биш оюун дүгнэлт байх,
2. Оюун дүгнэлтийн нэг юм уу хэд хэдэн нөхцөл нь үнэн биш (ө.х.
худал) байх гэсэн хоёр тохиолдолд оюун дүгнэлт буруу болно.
Тодорхойлолт 4.1.3. Оюун дүгнэлтийн нэг юмуу хэд хэдэн нөхцөл нь худал байвал түүнийг
цндэс мь буруу оюун дцгнэлт (эсрэгээр хэрэв оюун дүгнэлтийн бүх нөхцөл нь үнэн бол
цндэс мь зөв оюун дцгнэлт) гэнэ. Мэдээж худал нөхцөлөөс гаргасан дүгнэлтэнд итгэх
боломжгүй. Ийм учраас өгсөн оюун дүгнэлтийн зөв байх нэг чухал шалгуур нь нөх-
цөлүүд үнэн байна уу гэдгийг тогтоох явдал юм. Гэтэл нөхцөлийн үнэн эсвэл худлыг
тогтооход хэцүү тохиолдолууд байдаг. Жишээлбэл, 4.1.1 жишээнд гэрчүүдийн мэдүүлэг
үнэн үү гэдгийг тогтоох нь хүндрэлтэй байж болно. Иймд нөхцөл үнэн эсвэл худал утгатай
байна уу гэдгийг тогтоохгүйгээр оюун дүгнэлтийн зөв эсэхийг тогтоох арга шаардла-гатай
болдог байна. Оюун дүгнэлтийн нөхцөл ямар утгатай байгааг мэдэхгүй үед уг оюун
дүгнэлт логикийн хувьд зөв эсэхийг тогтоох нь илүү ашигтай байдаг. Дээр тодорхойлсон
ёсоор оюун дүгнэлтийн нөх-цөл үнэн байхад дүгнэлт бас үнэн байх тийм логик холбоо
нөхцөл ба
-111-
- 112. Математик логик
дүгнэлт хоёрын хооронд байгааг тогтоох аргыг дедуктив арга гэнэ.
Логикийн хувьд зөв оюун дүгнэлт гэдгийг логик болон бусад шинжлэх ухаанд үндэслэлтэй
оюун дүгнэлт гэж ярьдаг юм. Иймд үндэслэлтэй оюун дүгнэлтийн тухай дараах
тодорхойлолтыг бичье.
Тодорхойлолтп 4.1.4. Оюун дүгнэлтийн бүх нөхцөл нь үнэн байхад дүг-нэлт худал байх
боломжгүй бол оюун дүгнэлттийг ундэслэлтпэй (valid), эсрэг тохиолдолд цндэслэлгцй
(invalid) оюун дцгнэлтп гэнэ.
Энэ тодорхойлолтыг зөв ойлгох хэрэгтэй. Үндэслэлтэй оюун дүгнэл-тийн нөхцөл үнэн
байна гэж хэлж байгаа биш, мөн түүний дүгнэлт үнэн байх ёстой гэж хэлж ч байгаа биш
юм. Харин үндэслэлтэй оюун дүгнэлтийн хувьд хэрэв нөхцөл нь үнэн бол дүгнэлт нь бас
үнэн байх ёстой гэдгийг нотолж байгаа юм. Үндэс нь зөв бөгөөд үндэслэлтэй, ө.х. нөхцөл нь
үнэн бөгөөд дүгнэлт нь нөхцөлеөсөө мөрдөн гардаг оюун дүгнэлт хамгийн сайн (зөв) оюун
дүгнэлт болно. Тодорхойлолтп 4.1.5. Нөхцөл нь үнэн бөгөөд үндэслэлтэй оюун дүгнэл-тийг
зөв (sound), эсрэг тохиолдолд зөв биш (unsound) оюун дцгнэлтп гэж нэрлэнэ.
Жишээ 4.1.3. Квадрат бүр ромбо мөн. Ромбо бүр параллелограмм болно. Иймд квадрат
бүр параллелограмм болно.
Хэрвээ олонлогийн тухай ойлголтыг хэрэглэвэл дээрх оюун дүгнэлт нь
"квадратуудын олонлог ромбуудын олонлогийн дэд олонлог болно мөн
ромбуудын олонлог параллелограм-муудын олонлогийн дэд олонлог болно"
иймээс "квадратуу-дын олонлог параллелограммуудын олонлогийн дэд олонлог
болно" гэсэн утгатай байна (4.1 Зургийг үз). Ийм учраас К олонлогт орж
байгаа дурын дүрс нь, ө.х. квадрат нь нэгдүгээр нөхцөлөөр R олонлогт
харъяалагдана. Нөгөө та-лаас (хоёрдугаар нехцөлөөр) R олонлог нь Р олонлогийн
дэд олонлог болно гэж өгөгдсөн учраас R олонлогт харъяалаг-даж байгаа дүрс
нь (квадрат нь) Р олонлогт мөн харъяалаг-дана гэж дүгнэж байгаа учраас
дүгнэлт нь нөхцөлүүдээс мөрдөж гарч байна. Иймд өгегдсен оюун дүгнэлт
үндэс-лэлтэй болно. Хавтгайн геометрт үздэг ёсоор дээрх оюун дүгнэлтийн
нөхцөлүүд нь үнэн. Иймд үнэн нөхцөлтэй бегөөд үндэслэлтэй оюун дүгнэлт
болох учраас өгөгдсөн оюун дүг-нэлт зөв болно.
-112-
- 123. Математик логик
гэсэн хоёр тохиолдлыг үргэлжлүүлэн шинжилнэ. Энд хоёр тохиолдолд хоёуланд
нь зүүн ба баруун жагсаалтад ижил атом үсэг бичигдсэн байгаа учир анхны
оюун дүгнэлт үндэс-лэлтэй болно.
Энэ жишээн дээр үндэслэн дараах гурван дүрмийг бичиж болно. Дцрэм 4.3.5. Тэмдгийн
зүүн талд дизъюнкц үйлдлээр холбогдсон илэр-хийлэл гарвал уг илэрхийллийг түүний нэг
нэмэгдэхүүнээр нь сольсон хоёр шинэ жагсаалт үүсгэж тэдгээрийг тус тусад нь үргэлжлүүлэн
шал-гана.
Дцрэм 4.3.6. Тэмдгийн баруун талд конъюнкц үйлдлээр холбогдсон илэр-хийлэл гарвал
түүнийг нэг үржигдхүүнээр нь сольсон хоёр шинэ жаг-саалт зохиож тус тусад нь цааш
үргэлжлүүлэн шалгана.
Дцрэм 4.3.7. 5 ба 6 -р дүрмээр хоёр салаалах үед аль нэг салаанд үндэс-лэлгүй оюун дүгнэлт
гарвал анхны оюун дүгнэлт үндэслэлгүй болно. Харин бүх салаанд үндэслэлтэй оюун
дүгнэлт байвал анхны оюун дүг-нэлт үндэслэлтэй байна.
Хэллэгийн логикийн -1, Л, V үйлдлүүдээр томъёолж бичсэн али-ваа оюун дүгнэлтийг
дээрх долоон дүрмийг ашиглан шинжилж болно. Харин —■>, = үйлдэл орсон илэрхийлэлтэй
оюун дүгнэлтийг шалгахын тулд дараах хоёр дүрмийг хэрэглэн эдгээр үйлдлээс чөлөөлж,
дараа нь гарсан жагсаалтыг үндсэн дүрмүүдээр үргэлжлүүлэн шалгана.
Дцрэм 4.3.8. Хэрэв импликац үйлдлээр холбогдсон илэрхийлэл тэмд-гийн зүүн болон баруун
талд гарвал түүнийг A —■»• В = ->А V В томъёо ашиглан ->А V В хэлбэрийн илэрхийллээр
сольж бичнэ.
Дцрэм 4.3.9. Хэрэв эквиваленц үйлдлзэр холбогдсон илэрхийлэл тэмд-гийн зүүн, баруун талд
гарвал түүнийг Р = Q — (Р —> Q) Л (Q —^ Р) адилтгал томъёо ашиглан хувиргаж бичнэ.
Эдгээр дүрмийг хэрэглэн оюун дүгнэлтийг шалгах аргыг Уангийн арга гэдэг1
. Уангийн
аргыг ашиглаж оюун дүгнэлтийг шалгах жишээ үзье.
Жишээ 4.3.5. Дараах оюун дүгнэлтийг шалга.
х
Хао Уанг (Нао Wang, 1921-1995) нь Хятад, Америкийн математикч, логикч,
философч.
-123-
- 126. Математик логик
болно. Энд тэмдгийн хоёр талд ялгаатай атом үсэг үлд-сэн учраас өгөгдсөн
оюун дүгнэлт үндэслэлгүй. Тухайлбал, У{В) = 1 бөгөөд У(А) — 0 байхад оюун
дүгнэлтийн нөх-цөлүүд үнэн, дүгнэлт нь худал утгатай болно. Нэгэнт эхний
тохиолдолд үндэслэлгүй гэж гарсан тул хоёр дахь салааг шалгах шаардлагагүй ба
анхны оюун дүгнэлт үндэслэлгүй болно.
4.4 Дөрөвдүгээр бүлгийн бодлого, дасгал
Дасгал 1. Доорх өгүүлбэрүүдийн үнэн худлыг тодорхойл
1. Дурын оюун дүгнэлтийн нөхцелүүд нь ямагт үнэн байдаг.
2. Дурын оюун дүгнэлтийн дүгнэлт нь ямагт үнэн байдаг.
3. Хэрэв оюун дүгнэлтийн нөхцөлүүд нь бүгд үнэн бол дүгнэлт нь
мөн үнэн байна.
4. Үндэс нь зөв оюун дүгнэлтийн нөхцөлүүд нь бүгд үнэн.
5. Үндэс нь зөв оюун дүгнэлтийн дүгнэлт нь үнэн байдаг.
6. Зөв оюун дүгнэлтийн нөхцөлүүд нь бүгд үнэн байдаг.
7. Зөв оюун дүгнэлтийн нөхцөл нь үнэн байна.
8. Зөв оюун дүгнэлт бүр үндэс нь зөв байна.
9. Зөв оюун дүгнэлт бүр үндэслэлтэй.
10. Үндэс нь зөв оюун дүгнэлт бүр үндэслэлтэй.
11. Үндэс нь зөв оюун дүгнэлт бүр зөв.
12. Үндэслэлтэй оюун дүгнэлт бүр үндэс нь зөв байна.
13. Үндэслэлтэй оюун дүгнэлт бүр зөв байна.
14. Үндэслэлтэй оюун дүгнэлт бүр үнэн дүгнэлттэй байдаг.
15. Үндэс нь зөв оюун дүгнэлт бүр үнэн дүгнэлттэй байдаг.
16. Зөв оюун дүгнэлт бүр үнэн дүгнэлттэй байдаг.
17. Хэрэв оюун дүгнэлт үндэслэлтэй байгаад худал дүгнэлттэй бол
ядаж нэг нөхцөл нь худал байна.
18. Хэрэв оюун дүгнэлт үндэслэлтэй байгаад үнэн дүгнэлттэй бол бух
нөхцөл нь үнэн байна.
-126-
- 127. Математик логик
19. Хэрэв оюун дүгнэлт үндэслэлтэй байгаад ядаж нэг худал нөх-
цөлтэй бол дүгнэлт нь худал байна.
20. Хэрэв оюун дүгнэлт үндэслэлтэй байгаад бүх нөхцөл нь үнэн бол
дүгнэлт нь мөн үнэн байна.
Дасгал 2. а) Үндэслэлгцй бөгөөд үнэн дүгнэлттэй гэж итгэж байгаа, б)
щдэслэлтэп бөгөөд худал дүгнэлттэй гэж итгэж байгаа дурын оюун дүгнэлтийг
монгол хэлээр бичээд тайлбарла.
Дасгал 3. Үнэн гэдгийг 1 -ээр, худал -0, цндэслэлтэй - V, цндэслэлгцй -1, зөв - S,
зөв биш - U, мэдэгдэхгцй гэдгийг асуултын (?) тэмдгээр тус тус тэмдэглэсэн бол 4.5
Хүснэгтийн беглөгдөөгүй нүдүүдийг нь бөглөж бич. Жишээлбэл, уг хүснэгтийн 1-р
мөрт үнэн нехцөлтэй бөгөөд үндэс-лэлтэй, е. х. зөв оюун дүгнэлт өгөгдсөн байгаа
учраас түүний дүгнэлт мөн үнэн байх ёстой болохоор уг мөрийн 4-р баганад 1
бичих ёстой. Харин 2-р мөрт худал нөхцөлтэй бөгеөд үндэслэлтэй оюун дүгнэлт гэж
өгөгдсөн байгаа учир тэр нь зөв биш байх тул 3-р баганад U бичих ба ийм оюун
дүгнэлтийн дүгнэлт ямар ч байж болох тул 4-р баганад ? тэмдгийг бичнэ.
Дасгал 4. Доор егөгдсөн оюун дүгнэлтүүдийг шинжилж
1. Оюун дүгнэлтийн үндэс нь зөв үү?
2. Оюун дүгнэлт үндэслэлтэй юу?
3. Оюун дүгнэлт зөв үү?
гэсэн асуултад хариул. Зарим тохиолдолд "мэдэгдэхгуй" гэж хариулж болно. Жишээ
нь оюун дүгнэлтийн нөхцөлийн үнэн эсвэл худал нь мэдэгдэхгүй үед түүний үндэс
нь зөв эсэхийг тодорхойлох боломжгүй ба иймээс зөв, зөв бишийг нь мөн хэлэх
боломжгүй болно.
1. Бүх нохой бол шавьж
Бүх шавьж харь гаригийх
Иймээс бүх нохой хар гаригийх
2. Зарим нохой бол глуур
Бүх муур бол хөхтөн амьтан
Иймд зарим нохой нь хөхтөн амьтан юм.
-127-
- 128. Математик логик
3. Бүх нохой амьтан
Зарим нохой бөөстэй
Иймд зарим амьтан бөөстэй
4. Бүх нохой амьтан
Зарим амьтан бөөстэй
Иймд зарим нохой бөөстэй
-128-
- 135. Математик логик
Бүлэг 5
Оюун дүгнэлтийн гаргалгаа
Өмнөх бүлэгт оюун дүгнэлтэд өгөгдсөн илэрхийллүүдийн утгын хүс-нэгтийг зохиож оюун
дүгнэлтийг шалгах болон оюун дүгнэлтийг тодор-хой дүрмээр хувиргаж түүний үндэслэлтэй
эсэхийг тогтоох Уангийн арга гэсэн хоёр аргыг үзсэн. Энэ аргууд нь их бичлэг шаарддаг
учраас зарим тохиолдолд цаг хугацаа, цаас их зарцуулахад хүрдэг юм. Иймд оюун
дүгнэлтийн нөхцөлөөс дүгнэлтийг мөрдөлгөө болгон гаргах гар-галгааны аргыг математик
логик, компьютерийн ухаанд өргөн хэрэг-лэдэг. Оюун дүгнэлтэнд орсон атом үсгүүд
(хэллэгүүд)-ийн үнэн эсвэл худал байгааг тооцохгүй, харин гаргалгааны зөв дүрмийг
ашиглан оюун дүгнэлт үндэслэлтэй байгааг харуулахад гаргалгааны системийн гол зорилго
оршдог.
Энэ бүлэгт хэллэгийн логикийн гаргалгааны дүрмүүд, оюун дүгнэл-тийг гаргалгаагаар
шалгах аргыг судална.
5.1 Гаргалгааны формаль систем
Оюун дүгнэлтийн гаргалгааны тухай ярихын өмнө формаль систем, формаль систем дэх
гаргалгааны тухай ерөнхий ойлголтуудыг тодор-хойлъё.
Тодорхойлолтп 5.1.1 (формаль систем). Доорх дөрвөн нөхцөл хангагд-сан байвал формаль
систем тодорхойлогдсон байна гэж ярина. Үүнд:
1. Системийн тпэмдэгтп гэж нэрлэх, тэмдэгтүүдийн ямар нэг олонлог өгөгдсөн.
Тэмдэгтүүдийн аливаа төгсгөлөг дарааллыг илэрхийлэл гэж нэр-лэнэ.
-135-
- 137. Математик логик
болох томъёонуудаас зөвшөөрөгдсөн дүрмүүдээр уг өгөгдсөн томъёо гарна гэдгийг
гаргалгаа үзүүлдэг. Тэгэхдээ энд уг системийн гаргал-гааны дүрмүүдийг зөвхөн хэрэглэх
ёстой байдаг.
Гаргалгаа ба томъёоны гаргалгаа гэсэн ойлголтыг доор тодорхойлъё.
Тодорхойлолтп 5.1.2 (гаргалгаа). С - формаль системд томъёонуудын ямар нэг А, А-2-, ■ •.,
Ап дарааллын хувьд Ai (i — 1,п) томъёо бүр нь С системийн аксиом юмуу эсвэл i -ээс
өмнөх дугаартай, ө.х. А, Az, ... , Ai- томъёонуудаас гаргалгааны тодорхой нэг дүрмээр
мөрдөлгө© болж гарсан байвал Ai, A2, ■ •., Ап дарааллыг гаргалгаа гэж нэрлэнэ.
Тодорхойлолтп 5.1.3 (томъёоны гаргалгаа). Формаль системд өгөгдсөн А томъёоны хувьд
сүүлчийн томъёо нь А байх, ө.х. ямар нэг А, Ai, ... , А гэсэн гаргалгаа байвал түүнийг
өгөгдсөн А тпомъёоны гаргалгаа гэнэ.
Бид формаль системийн тухай ойлголтыг дээр тодорхойллоо. Одоо гар-галгааны формаль
системийн тухай ойлголтыг тодорхойлъё.
Тодорхойлолт 5.1.4 (логик гаргалгааны формаль систем). Формаль сис-темийн хувьд
1. системийн аливаа томъёо нь логикийн зев илэрхийлэл байдаг,
2. гаргалгааны дүрэм бүр нь өмнө байгаа (томъёо) илэрхийллүүдээс
логикийн хувьд зөв илэрхийллийг үүсгэдэг
бол уг системийг хэллэгийн логикийн гаргалгааны формаль систем гэнэ. Гаргалгааны
формаль системийн гаргалгааны дүрмийн гол зориулалт нь хэд хэдэн илэрхийллээс өөр
ямар нэг илэрхийллийг дүгнэлт болгон гаргах явдал юм. Тэгэхдээ, дээрх тодорхойлолтод
заасан ёсоор логи-кийн хувьд зөв, ө.х. анхны илэрхийллүүд нь үнэн утгатай байвал гар-
галгааны дүрмээр гарсан дүгнэлт - илэрхийлэл нь мөн унэн байх ёстой байна. Гаргалгааны
дүрмийн энэ шинжийг цнэнийг хадгалах шинж гэж нэрлэдэг. Иймд дээрх тодорхойлолтоос
үзвэл гаргалгааны формаль сис-темийн дүрэм бүр нь үнэнийг хадгалдаг байх ёстой байна.
Үнэнийг хадгалдаг дүрэм нь үнэн илэрхийллээс худал илэрхийллийг хэзээ ч үүсгэхгүй учир
аливаа үндэслэлтэй дүгнэлт гаргах боломжийг бидэнд өгдөг байна.
Гаргалгааны формаль системийг гүйцэд тодорхойлохын тулд
-137-
- 186. Математик логик
Бүлэг 6
Предикатын логик
Бид өмнөх бүлэгт хэллэгийн логикт оюун дүгнэлтийг батлах асуудлыг судалсан билээ.
Гэтэл хэллэгийн логикийн гаргалгааны аргаар бат-лах боломжгүй оюун дүгнэлтүүд
шинжлэх ухаанд болон өдөр дутмын амьдрал, практикт тааралддаг байна. Ийм учраас
хэллэгийн логикийг цааш өргөтгөн хөгжүүлэх шаардлага гарчээ. Үүнийг харуулахын тулд
дараах оюун дүгнэлтүүдийг авч үзье.
1. Батын найз бүр Доржийн найз болно. Пүрэв Доржийн найз биш.
Иймд Пүрэв Батын найз биш.
2. Бүх хүн үхэшгүй мөнх. Сократ - хүн. Иймээс Сократ үхэшгүй
мөнх.
3. Улс төрч бүр уран илтгэгч байдаг. Улс төрч эмэгтэй бий. Иймд
уран илтгэгч эмэгтэй байна.
Эдгээр оюун дүгнэлтийн дүгнэлт нь нөхцөлөөсөө логикийн хувьд мөрдөгдөн гарна. Учир
нь оюун дүгнэлтийн нөхцөлд, өгөгдсөн олон-логийн бүх элементүүд тодорхой нэг шинжтэй ба
энэ олонлогийн тодор-хой нэг элемент (буюу нэг объект) эсвэл дэд олонлог өгөгдөж байгаа
учраас энэ элемент эсвэл энэ дэд олонлогийн элементүүд бүгд мен тэр шинжтэй байх нь үнэн
байна. Жишээлбэл, гуравдугаар оюун дүгнэлтэд улс төрчид уран илтгэгч байдаг ба улс төрч
эмэгтэйчүүд байдаг гэж өгөгджээ. Энэ өгөгдсөн нөхцөлийг, бцх улс төрчдийн олонлогийн
эле-мент бцр а
уран илтпгэгч" гэсэн шинжтпэй ба улс тпөрч эмэгтпэйчщдийн олонлог мь бцх улс
төрчдийн олонлогийн дэд олонлог болно гэж то-мъёолж болно. Нэгэнт улс төрч эмэгтэй
байдаг гэж өгөгдсөн учраас энэ олонлог хоосон биш байна. Дэд олонлогийн элемент бүр нь
үндсэн олонлогийн элементтэй ижил шинжтэй байх учраас дэд олонлогийн эле-мент бүр нь,
ө.х. улс төрч эмэгтэй бүр нь уран илтгэгч байх нь үнэн болно.
-186-
- 247. Математик логик
Предикаттай нотолгоог томъёолох
Үзэгдэл, юмсын шинж чанар, харьцааг предикатаар илэрхийлдэг. Ин-гэснээр тодорхой
шинжтэй объектуудын тЬоны тухай "бух", "ядаж нэг" гэх мэт үгээр зохиосон нотолгоог
ерөнхийллийн болон оршихуйн кван-тор ашиглаж илэрхийлж томъёолдог. Ийм учраас,
ердийн хэлээр бичсэн нотолгоог томъёолохын тулд түүнд өгөгдсөн предикатуудыг болон
тэнд хэлэгдэж байгаа тоог заасан утгыг зөв ойлгох явдал маш чухал болдог. 2 -р бүлэгт
нийлмэл хэллэгийг томъёолох асуудлыг нилээд дэлгэрэнгүй судалсан билээ. Одоо энд
монгол хэлээр бичигдсэн бөгөөд предикат болон кванторыг ашиглан томъёолох
нотолгооны тухай товч үзнэ.
7.1 Предикатыг томъёолох
" Предикат" гэдэг нь өгүүлэхүүн гэсэн үг гэж дээр хэлж байсан. Ийм учраас, өгөгдсөн
нотолгоонд юун тухай өгүүлж байгааг эхлээд тогтоох шаардлагатай байдаг. Бр нь монгол
хэлний өгүүлбэр бүр нь өгүүлэг-дэхүүний ба өгүүлэхүүний бүлэг гэсэн хоёр хэсгээс
тогтоно. Нийлмэл өгүүлбэр нь хэд хэдэн энгийн өгүүлбэрээс тогтсон байдаг. Иймд энгийн
болон нийлмэл өгүүлбэрээр бичигдсэн предикаттай аливаа нотолгоог томъёолохын тулд
нотолгоонд өгөгдсөн предикатуудыг ялгаж тэмдэг-лэх шаардлагатай болдог. Үүний тулд
дараах алгоритмыг хэрэглэж болно.
нэгдугээр алхам: Нотолгоонд егөгдсөн өгүүлбэрүүдийн өгүүлэгдэхүүний болон өгүүлэхүүний
бүлгүүдийг ялгаж тэмдэглэ. Үүний тулд, жишээл-бэл егүүлэгдэхүүний бүлгийг нэг
зураасаар, өгүүлэхүүний бүлгийг хоёр зураасаар зурж тэмдэглэж болно. Жишээлбэл,
-247-
- 250. Математик логик
бцх ядаж нэг
гэсэн хоёр стандарт квантор үгийг хэрэглэх учир энэ хоёр үгээр бичсэн нотолгоог томъёолох
тухай цаашид авч үзнэ. Стандарт биш холбоосоор зохиосон нотолгоог стандарт хэлбэр лүү
эхэлж хөрвүүлээд дараа нь түүнийгээ томъёолдог.
Бцх, ядаж нэг гэсэн үгүүдийг нэр үгтэй хослуулан хэрэглэж
... бүх оюутан ...
... ядаж нэг оюутан ...
... бүх хүн ...
... ядаж нэг хүн ...
... бүх юм ...
... ядаж нэг юм ...
... бүх амьтан ...
... ядаж нэг амьтан ...
гэх мэтээр нотолгоог бичдэг байна. Жишээлбэл,
Бцх хцн ухаантай
Нэгдцгээр курст ядаж нэг оюутан байна
Ангийн бцх оюутпан Доржоос өндөр
Дэлхийн бцх хопг Хойтп тпуйлаас өмнө зцгт оршдог
Бцх ном ядаж нэг зохиогчтой байна
Оюутан бцр ядаж нэг кодтпой байна
Нэг талаас монгол хэлэнд "бцх", "бцр", "бцгд" гэсэн үгүүд тэр болгон ижил утгатай
байдаггүй байна. Жишээлбэл, Ююутан бцр ядаж нэг кодтой байна' нотолгоо нь "оюутан
бүр өөрийн кодтой" гэсэн утгатай байна, гэтэл 1
бцх оюутан ядаж нэг кодтпой байна' гэвэл
"оюутнууд ядаж нэг ерөнхий кодтой" гэсэн утгатай болж болох юм. " Монголчууд буруу
ярьж зөв ойлгож сурсан байдаг" гэдэг. Гэтэл логикт бүх юмыг нэг утгатай томъёолохыг
шаардана. Ийм учраас " буруу хэлэгдсэн" но-толгоог зөв томъёолохын тулд түүнийг зөв
болгож хөрвүүлэх шаардла-гатай болдог. Нөгөө талаас предикат логикийн хэлэнд, төрөлх
хэлтэй адил олон ба ганц тоо, өнгөрсөн, одоо ба ирээдүй цагийн нөхцөл гэж байдаггүй
учраас аливаа предикатад объектыг ганц тоон дээр хэлж, өгүүлэхүүнийг үргэлж одоо
-250-
цагаар бичиж хөрвүүлэх хэрэгтэй байдаг. Иймээс, " бцх", " бцгд" гэсэн үгээр бичигдсэн
- 264. Математик логик
компьютерийн ухаанд хэрэглэгддэг математик логикийн үндсийг оюу-тан сурагч,
компьютерийн ухааны мэргэжилтнүүдэд таниулж хүргэх зорилготой бичсэн энэхүү
номыг нэгдүгээр эрэмбийн предикат логикоор хязгаарлан төгсгөж байна.
7.5 Долдугаар бүлгийн бодлого, дасгал
Дасгал 1. Доорх өгүүлбэрүүдийг тохирох предикат болон квантор ашиглан
томьёолж бич.
1. Болд Амараас өндөр.
2. Болд Амараас ухаантай биш.
3. Болд Амарыг Цэцэгээд танилцуулсан.
4. Болд Цэцэгээг Амарт танилцуулаагүй.
5. Болд Цэцэгээ хоёр хоорондоо гэрлэсэн.
6. Болд ба Цэцэгээ гэрлэсэн.
7. Болд Цэцэгээ хоёр аль аль нь гэрлэсэн ч тэд хоорондоо гэрлээгүй.
8. Бүх зүйл боломжтой.
9. Зарим зүйл л боломжтой.
10. Бүх зүйл боломжгүй.
11. Зарим зүйл л боломжгүй.
12. Бүх зүйл боломжтой биш.
13. Зарим зүйл л боломжтой биш.
14. Бүх зүйл боломжгүй биш.
15. Зарим зүйл боломжгүй биш.
16. Хэн ч бай үнэнч бол тэр улстөрч биш.
17. Дайчин чанаргүй бол тэр хүн тамирчин биш.
18. Ядаж нэг үнэнч улстөрч олдоно.
19. Амраагүй байгаа бүх хүн ажиллаж байна.
20. Бүх ухаантай оюутнууд зорилготой байдаг.
21. Бүх зорилготой оюутнууд ухаантай байдаг.
22. Бүх оюутнууд ухаантай ба зорилготой.
-264-
- 265. Математик логик
23. Зарим ухаантай оюутнууд зорилгогүй.
24. Зорилготой хүн бүр ухаантай оюутан байх албагүй.
25. Ухаантай оюутан бүр зорилготой биш.
26. Зөвхөн клубийн гишүүн хүн л орох эрхтэй.
27. Зөвхөн бүртгүүлсэн иргэд л саналаа өгөх эрхтэй.
28. Зөвхөн хортой могойнууд нь л аюултай юм.
29. Даваа гаригт болон бороотой өдрүүдэд хүмүүс сэтгэлээр их уна-
даг.
30. Энд зөвхөн клубийн гишүүд болон урилгатай зочид л байна.
31. Энд ямарч нохой, муур зардаггүй.
32. Энд вакцинжуулаагүй ямарч нохой болон муур зардаггүй.
33. Хэрэв зарим могой хоргүй бол бүх могойнууд аюултай гэдэг нь
худал байна.
34. Зарим могой хэрэв зөвхөн хоргүй л бол аюулгүй.
35. Хэрэв Болд чиний машиныг засч чадахгүй бол хэн ч чадахгүй.
36. Хэрэв бүгд шалгалтандаа унавал бүгд баярлахгүй.
37. Хэрэв хэн нэгэн шалгалтандаа тэнцвэл бүгд баярлах болно.
38. Хэрэв алиалагч орж ирвэл бүгд гайхах болно.
39. Хэрэв алиалагчийг орж ирэхэд хэн ч гайхахгүй бол тэр сэтгэлээр
унана.
40. Хэрэв а бүхэл тоо бол а 3-т хуваагддаггүй ба а? — 1 3-т хуваагдах
хоёр ижил.
Дасгал 2. Доорх өгүүлбэрүүдийг тохирох квантор болон предикат ашиглан
томьёолж бич.
1. Хүн бүр бүх хүнийг хүндэлдэг.
2. Хүн бүр бүх хүнээр хүндлүүлдэг.
3. Бүх хүн хэн нэгнийг хүндэлдэг.
-265-
