Persamaan Kuadrat

1. Persamaan Kuadrat
Menyelesaikan Akar Persamaan Kuadrat
Bentuk umum : ax² + bx + c = 0
x variabel; a,b,c konstanta ; a ¹ 0
Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK)
tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Suatu bilangan disebut akar dari suatu persamaan berarti
bilangan tersebut memenuhi persamaan.
Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka x1 dan x2 dapat ditentukan dengan cara
1. Memfaktorkan
ax² + bx + c = 0 ® ax² + bx + c = 0 ® a (x + p/a) (x + p/a) = 0
® x1 = - p/a dan x2 = - q/a
dengan p.q = a.c dan p + q = b
2. Melengkapkan bentuk kuadrat
persamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi
(x + p)² = q² ® x + p = ± q
x1 = q - p dan x2 = - q - p
3. Rumus ABC
ax² + bx + c = 0 ® X1,2 = ( [-b ± Ö(b²-4ac)]/2a
bentuk (b² - 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D) sehingga
sehingga X1,2 = (-b ± ÖD)/2a
Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan
1. D > 0
x1 = (-b+ÖD)/2a ; x2 = (-b-ÖD)/2a
PK mempunyai dua akar nyata berbeda
2. D = 0
x1 = x2 = -b/2a

2. PK mempunyai dua akar nyata yang sama
tt
3. D < 0
Tidak ada harga x yang memenuhi, PK tidak mempunyai akar nyata.
syarat akar nyata/ada/riil : D ³ 0
Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat
Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan x1 dan x2 adalah akar-akarnya.
Dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat dari rumus ABC, yaitu:
X1 = (-b+ÖD)/2a dan X2 = (-b-ÖD)/2a
didapat hubungan
X1 + X2 = -b/a X1.X2 = c/a X1 - X2 = ÖD/a
Perluasan Untuk Akar-Akar Nyata
1. Kedua akar nyata berlawanan
Maksudnya : X1 = -X2
syarat : D > 0
X1 + X2 = 0 ® b = 0
Ket: X1 + X2 = 0 ® -b/a = 0 ® b = 0
2. Kedua akar nyata berkebalikan
Maksudnya : X1 = 1/X2
syarat : D ³ 0
X1 . X2 = 1 ® a = c
Ket: X1 . X2 = 1 ® c/a = 1 ® a = c
3. Kedua akar nyata positif
Maksudnya : X1 > 0 ; X2 > 0

3. syarat : D ³ 0
X1 + X2 > 0
X1 . X2 > 0
4. Kedua akar nyata negatif
maksudnya : X1 < 0 ; X2 < 0
syarat: D ³ 0
X1 + X2 < 0
X1 . X2 > 0
5. Kedua akar nyata berlainan tanda
Maksudnya : X1 > 0 ; X2 < 0
syarat : D > 0
X1 . X2 < 0
Ket: bentuk X1 + X2 bukan merupakan syarat karena hasil dari X1 + X2 tandanya tidak pasti
6. Kedua akar rasional
Maksudnya : X1 dan X2 bukan berbentuk Ö
syarat : D = bentuk kuadrat
D = (0,1,4,9,16,25...)
Ket: D= bentuk kuadrat akan menghilangkan tanda Ö , sehingga X1 dan X2 rasional
Bnetuk-Bentuk Simetris Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Suatu bentuk aljabar disebut simetris, seperti x² + y², jika x dan y dipertukarkan tempatnya menjadi
y² + x², maka nilainya sama dengan bentuk semula.
Dalam hal ini kita merubah bentuk yang diberikan menjadi bentuk (X1+X2) atau (X1.X2)
1. X1² + X2² = (X1 + X2)² - 2X1.X2
= (-b/a)² + 2(c/a)
2. X1³ + X2³ = (X1+X2)³ - 3X1X2(X1+X2)
= (-b/a)³ - 3(c/a)(-b/a)
3. X14 + X24 = (X1²+X2²)² -(X1²X2²)
= [(X1+X2)² - 2X1X2]² - 2(X1X2)²

4. = [(-b/a)² - 2(c/a)]² - 2(c/a)²
4. X1²X2 + X1X2² = X1X2(X1+X2)
= c/a (-b/c)
5. 1/X1 + 1/X2 = (X1+X2)/X1+X2
= (-b/a)/(c/a)
= -b/c
6. X1/X2 + X2/X1 = (X1²+X2²)/X1X2
= ((X1+X2)²-2X1X2)/X1X2
7. (X1-X2)² = (X1+X2)² - 4X1X2 atau [ÖD/a]² = D/a²
8. X1² - X1² = (X1+X2)(X1-X2)
= (-b/a)(ÖD/a)
Bedakan Istilah
Jumlah Kuadrat : (X1²+X2²)
dengan
Kuadrat Jumlah (X1+X2)²
Menyusun Persamaan Kuadrat
KEDUA AKARNYA KUADRAT
Andaikan akar-akarnya X1 dan X2
1. Mengisikan akar-akarnya kedalam bentuk (X - X1)(X - X2) = 0
2. Menggunakan sifat akar X² - (X1+X2)X + X1 . X2 = 0
KEDUA AKARNYA MEMPUNYAI HUBUNGAN DENGAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

5. YANG DIKETAHUI
Andaikan X1 dan X2 adalah akar-akar persamaan kuadrat aX²+bX+c=0 yang diketahui
1. Hubungan tidak beraturan [y1 = f(X1,X2) dan y2 = f(X1,X2)]
Andaikan y1 dan y2 adalah akar-akar persamaan kuadrat baru.
Langkah:
Cari terlebih dahulu nilai dari (y1 + y2) dan (y1 . y2) yang masing-masing merupakan fungsi
dari (X1 + X2) atau (X1 . X2) dimana nilai dari (X1 + X2) dan (X1 . X2) didapat dari persamaan
kuadrat yang diketahui.
Persamaan Kuadrat baru : y² - (y1 + y2)y + (y1 . y2) = 0
2. Hubungan beraturan (hal khusus)
Akar-akar baru Hubungan PK Baru
p lebihnya
(X1+p) dan (X2+p)
y = X + p
® X = y-p
a(y-p)² + b(y-p) + c =0
p kurangnya
(X1-p) dan (X2-p)
y = X - p
® X = y + p
a(y+p)² + b(y+p) + c = 0
p kali
pX1 dan pX2
y = pX
® X = y/p
a(y/p)²+b(y/p)+c=0
kebalikannya
1/X1 dan 1/X2
y=1/X
X= 1/y
a(y/p)² + b(1/y) + c = 0
atau
cy²+by+a = 0
kuadratnya
X1² dan X2²
y = X²
® X = Öy
a(Öy)² + b(Öy) + c = 0
atau
a²y + (2ay-b²)y + c² = 0