Integral

1. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Aplikasi Integral
Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS
Livia Owen
Universitas Katolik Parahyangan
February 28, 2011
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

2. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Integral
Latihan
Luas daerah
1 Sketsa grafik dan tentukan batas integral, misalkan a sampai b
2 Potong secara vertikal atau horizontal
3 Hampiri dengan luas persegi panjang ∆A = (f (x) − g(x))∆x
4 Integralkan A =
R b
a (f (x) − g(x))dx
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

3. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Integral
Latihan
Luas daerah : Luas di atas dan di bawah sumbu x
Tentukan luas daerah yang dibatasi y = x3 − 3x2 − x + 3,
sumbu-x, x = −1 sampai x = 2.
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

4. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Integral
Latihan
Pemilihan pemotongan vertikal atau horizontal
Tentukan luas daerah yang dibatasi y2 = 4x dan 4x − 3y = 4.
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

5. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Integral
Latihan
Pemilihan pemotongan vertikal atau horizontal
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

6. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Integral
Latihan
Latihan Luas daerah
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

7. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Integral
Cakram Cincin
Kulit tabung
Volume benda putar : metode cakram dan cincin
Figure: Volume = Luas alas × tinggi
Figure: ∆V = A(x)∆x ⇒ V =
R b
a
A(x)dx
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

8. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Integral
Cakram Cincin
Kulit tabung
Volume benda putar metode cakram
Tentukan volume benda yang dibatasi y =
√
x, sumbu x, x = 0
sampai x = 4 dan diputar 360◦ terhadap sumbu x.
Figure: Pemutaran terhadap sumbu x
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

9. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Integral
Cakram Cincin
Kulit tabung
Volume benda putar metode cakram
Diketahui D luas daerah yang dibatasi x = 3
√
y, sumbu y, y = 0
sampai y = 3. Tentukan volume benda putar yang dibentuk jika
daerah D diputar 360◦ terhadap sumbu y.
Figure: Pemutaran terhadap sumbu y
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

10. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Integral
Cakram Cincin
Kulit tabung
Volume benda putar metode cincin
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

11. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Integral
Cakram Cincin
Kulit tabung
Volume benda putar metode cincin
Tentukan volume benda yang dibatasi y =
√
8x, y = x2 diputar
360◦ terhadap sumbu x.
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

12. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Integral
Cakram Cincin
Kulit tabung
Volume benda putar metode cincin
Tentukan volume benda yang dibatasi lingkaran x2 + y2 = 4 pada
kuadran I dan IV, diputar 360◦ terhadap garis x = −1.
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

13. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Integral
Cakram Cincin
Kulit tabung
Volume benda putar : metode kulit tabung
Figure: Volume = 2π× jari-jari × tinggi × tebal
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

14. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Integral
Cakram Cincin
Kulit tabung
Volume benda putar : metode kulit tabung
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

15. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Integral
Cakram Cincin
Kulit tabung
Metode kulit tabung VS Metode cakram
Figure: Metode cakram
Figure: Metode kulit tabung
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

16. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Integral
Cakram Cincin
Kulit tabung
Volume benda putar : metode kulit tabung
Tentukan volume benda putar yang dibatasi y = 2 − x2, y = x2 di
kuadran I dan diputar 360◦ terhadap sumbu x.
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

17. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Integral
Contoh
Panjang kurva
Panjang kurva implisit x = f (t) dan y = g(t) untuk a ≤ t ≤ b
L =
Z b
a
q
(f 0(t))2 + (g0(t))2dt =
Z b
a
s
dx
dt
2
+
dy
dt
2
dt
Panjang kurva y = f (x) untuk a ≤ x ≤ b
L =
Z b
a
s
1 +
dy
dx
2
dx
Panjang kurva x = f (y) untuk a ≤ y ≤ b
L =
Z b
a
s
1 +
dx
dy
2
dy
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

18. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Integral
Contoh
Contoh soal Panjang kurva
y = x
3
2
dy
dx
=
3
2
x
1
2
L =
Z 4
1
s
1 +
3
2
x
1
2
2
dx
=
Z 4
1
r
1 +
9
4
xdx
=
8
27
1 +
9
4
x
3
2
#4
1
≈ 7, 6
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

19. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Pusat Massa di dimensi 1
Pusat Massa di dimensi 2
Pusat Massa di dimensi 1
Secara umum
(x1 − x̄)m1 + (x2 − x̄)m2 + . . . + (xn − x̄)mn = 0
x1m1 + x2m2 + . . . + xnmn = x̄(m1 + m2 + . . . + mn)
x̄ =
x1m1 + x2m2 + . . . + xnmn
m1 + m2 + . . . + mn
x̄ =
Pn
i=1 xi mi
Pn
i=1 mi
=
M
m
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

20. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Pusat Massa di dimensi 1
Pusat Massa di dimensi 2
Pusat Massa di dimensi 1
x̄ =
0 · 4 + 1 · 2 + 2 · 6 + 4 · 7
4 + 2 + 6 + 7
=
42
19
≈ 2, 2
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

21. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Pusat Massa di dimensi 1
Pusat Massa di dimensi 2
Distribusi massa yang kontinu pada suatu garis
Misalkan kepadatan suatu kawat berbeda-beda bergantung dari
posisi (x) yaitu δ(x) gram per cm. Maka pusat massa kawat
x̄ =
M
m
=
R b
a xδ(x) dx
R b
a δ(x) dx
Contoh :
Kepadatan suatu kawat diukur dari titik ujungnya adalah
δ(x) = 3x2 gram per cm. Tentukan pusat massa kawat antara
x = 0 dan x = 10.
x̄ =
R 10
0 x · 3x2 dx
R 10
0 3x2 dx
=
7500
1000
= 7, 5cm
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

22. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Pusat Massa di dimensi 1
Pusat Massa di dimensi 2
Pusat Massa di dimensi 2
Misalkan n titik bermassa m1, m2, . . . , mn di koordinat
(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn). Maka momen terhadap sumbu y
My =
n
X
i=1
xi mi
dan momen terhadap sumbu x
Mx =
n
X
i=1
yi mi
Pusat massa
x̄ =
My
m
=
Pn
i=1 xi mi
Pn
i=1 mi
, ȳ =
Mx
m
=
Pn
i=1 yi mi
Pn
i=1 mi
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

23. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Pusat Massa di dimensi 1
Pusat Massa di dimensi 2
Pusat Massa di dimensi 2
Misalkan kepadatan bidang di setiap titik konstan δ gram per
satuan luas
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

24. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Pusat Massa di dimensi 1
Pusat Massa di dimensi 2
Pusat Massa di dimensi 2
∆m ≈ δ · luas = δ(f (x) − g(x))∆x
m = δ
Z b
a
(f (x) − g(x))∆x
∆My ≈ mi xi = δx(f (x) − g(x))∆x
My = δ
Z b
a
x(f (x) − g(x)) dx
∆Mx ≈ mi yi = δ
(f (x) + g(x))
2
(f (x) − g(x))∆x
Mx =
δ
2
Z b
a
(f 2
(x) − g2
(x)) dx
Pusat massa x̄ =
My
m , ȳ = Mx
m
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

25. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Pusat Massa di dimensi 1
Pusat Massa di dimensi 2
Contoh soal Pusat Massa di dimensi 2
Tentukan pusat massa dari daerah yang dibatasi y =
√
x dan
y = x3
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS

26. Luas
Volume
Panjang kurva
Momen dan Pusat massa
Pusat Massa di dimensi 1
Pusat Massa di dimensi 2
GOOD LUCK UTS
Livia Owen Aplikasi Integral Kalkulus 2 TI, TK, Matematika 2 TS