Ba201 chapter -1-complex number

B2001/UNIT 14/1
NOMBOR KOMPLEKS
NOMBOR KOMPLEKS
OBJEKTIF
Objektif Am : Memahami konsep nombor kompleks
Objektif Khusus : Di akhir unit ini, anda dapat :
Menyatakan perbezaan di antara nombor nyata dan nombor
khayal.
Menyatakan bahawa nombor kompleks adalah gabungan
bahagian nyata dan bahagian khayal.
Menerangkan bahawa nombor khayal boleh ditambah dan
ditolak dari nombor-nombor khayal yang lain.
Menerangkan bahawa hasil darab dua nombor khayal ialah
nombor nyata.
Menerangkan dan menghuraikan operasi-operasi tambah,
tolak, darab, bahagi, konjugat kompleks dan kesamaan
nombor kompleks.
UNIT 14
download@
http://math2ever.blogspot.com

B2001/UNIT 14/2
NOMBOR KOMPLEKS
14.0 DEFINISI NOMBOR KOMPLEKS
Jika nombor 1, 2 , 3 , …….. ditakrifkan sebagai nombor nyata, maka nombor-
nombor seperti 1− , 16− dikenali sebagai nombor khayal .
Bagi sesuatu persamaan kuadratik ax2
+ bx + c =0, punca-puncanya boleh
diperolehi dengan menggunakan formula berikut:
Pertimbangkan persamaan kuadratik x2
– 4x +13 =0, maka dengan
menggunakan formula di atas,
a = 1, b = -4, c = 13 dan punca-punca persamaan adalah
)1(2
)13)(1(4164 −±−
−=x
INPUT
a
acbb
x
2
42
−±
−=
Dalam kehidupan seharian,
konsep nombor kompleks sering
digunakan di dalam bidang-
bidang sains dan kejuruteraan
umpamanya di dalam analisis
vektor ( Kejuruteraan Awam) dan
dalam mencari nilai arus atau
voltan dalam litar arus ulang alik
(Kejuruteraan Elektrik)
download@

B2001/UNIT 14/3
NOMBOR KOMPLEKS
a. 9− b. 50−
132
2
364
−±=
−±
=x
Adalah tidak mungkin untuk mencari nilai 1− dalam bentuk nombor nyata, tetapi
jika 1− ditulis sebagai i di mana i2
= ( 1− )2
= -1 maka jawapan boleh ditulis
sebagai i32 ± . Nombor dalam bentuk sedemikian dikenali sebagai NOMBOR
KOMPLEKS di mana 2 adalah bahagian nyata dan 3i bahagian khayal.
Secara am Nombor Kompleks ialah nombor yang berbentuk a + ib di mana a dan b
adalah nombor nyata.
Contoh 14.1
Permudahkan bentuk nombor-nombor berikut:
a. 9− = )1(9 − = 2
9i = 3i
b. 50− = )1(50 − = 2
50i = 5 2 i
Secara amnya,
2
a− = )1(2
−a = 22
ia = ai
Untuk mencari nilai gandaan dalam bentuk i n
, 3 perkara yang perlu diingati iaitu
i 2
= -1
(-1)nombor genap
= 1
(-1)nombor ganjil
= -1
Nombor Nyata : 1 , 2 , 3, …..
Nombor Kompleks : 1 + 2i , 2 –
i
iaitu a + ib
download@

B2001/UNIT 14/4
NOMBOR KOMPLEKS
Contoh 14.2
Dapatkan nilai-nilai bagi nombor kompleks berikut:
a. i 8
b. i 15
c. 3 i34
- i 13
d. –2 i 3
+ 2 i 18
- 3 i 51
Penyelesaian
a. i 8
= i 2 (4)
= (-1) = 1
b. i 15
= i 2(7)
i = (-1) 7
i = (-1) i = -i
c. 3 i34
- i 13
= 3 i 2(17)
- i2(6)
i
= 3 (-1) 17
- (-1)6
i
= 3 (-1) – 1 i
= -3 - i
d. –2 i 3
+ 2 i 18
- 3 i 51
= -2 i2
i + 2 i 2(9)
- 3 i 2(25)
i
= -2 (-1) i + 2 (-1) 9
- 3 (-1) 25
i
= 2 i + 2 (-1) – 3 (-1) i
= 2 i – 2 +3 i
= 5 i - 2
download@

B2001/UNIT 14/5
NOMBOR KOMPLEKS
Aktiviti 14.0
UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT
SELANJUTNYA…!
1. Ringkaskan kuasa bagi i yang berikut:
a. i7
b. i 12
c. i 20
d i 36
e. 7i 56
– i 3 6
f. 8i 59
+ 5i 97
2. Cari punca-punca bagi persamaan
a. x2
– 6x +10 = 0
b. 2x2
+ 9x + 7 = 0
c. 5x2
– 6x + 5 = 0
Nombor Kompleks= Bahagaian Nyata+i (Bahagian Khayal)
= a + ib
download@

B2001/UNIT 14/6
NOMBOR KOMPLEKS
Maklum Balas Aktiviti 14.0
1. a. i 7
= i 2 (3)
i = (-1)i = -i
b. i 12
= i 2 (6)
= (-1) = 1
c. i 20
= i 2 (10)
= (-1) = 1
d. i 36
= i 2 (18)
= (-1) = 11
e. 7i + 1
f. 8 - i
2. a. 3 + i , 3 - i
b.
4
59 i+−
,
4
59 i−−
c.
5
53 i+
,
5
53 i−
download@

B2001/UNIT 14/7
NOMBOR KOMPLEKS
14.1 OPERASI ALGEBRA PADA NOMBOR KOMPLEKS
(a) Penambahan dan Penolakan
Jika z = x + iy dan w = u + iv ialah 2 nombor kompleks dimana x, y , u dan v ∈
R , maka z + w = x + iy + u + iv
= ( x + u ) + ( y + v)
dan z – w = x + iy - ( u + v
= (x – u) + ( y – v ) i
Ini bermakna ( 4 + 5i ) + ( 6 + 7i) = ( 4 + 6 ) + (5 + 7 )i
= 10 + 12i
Dan ( 4 + 5i ) - ( 6 + 7i) = ( 4 – 6 ) + ( 5 – 7 )i
= -2 - 2i
INPUT
Bagi penambahan dan penolakan
nombor kompleks , bahagian nyata
dan khayal di olah secara
berasingan
download@

B2001/UNIT 14/8
NOMBOR KOMPLEKS
i2
= 1
(b) Pendaraban
Jika z = 3 + 4i dan w = 2 – 3i, maka
zw = (3 + 4i )( 2 – 3i )
= 3(2) + ( 4i) (-3i ) + ( 4i ) (2 ) – 3( 3i )
= 6 – 12i2
+ 8i - 9i
= 6 - i + 12
= 18 – i
Jika z = x + iy dan w = x - iy ialah 2 nombor kompleks di mana x dan y ∈ R,
maka
zw = ( x + iy) ( x – iy )
= x 2
- (yi)2
= x 2
+ y2
dan w dikenali sebagai konjugat kompleks bagi z
Contoh 14.3
Tuliskan konjugat bagi
a. 2 + 3i b. –3 + 4i
Penyelesaian
a. (2 + 3i)( 2 – 3i) = 4 – 9i2
= 4 + 9 = 13
Maka konjugat bagi 2 + 3i ialah = 2 – 3i
b. (–3 + 4i)(-3-4i) = 9 –16i
= 9 + 16 = 25
Maka konjugat bagi –3 + 4i ialah -3 – 4i
download@

B2001/UNIT 14/9
NOMBOR KOMPLEKS
Untuk menjadi sebagai nombor
nyata, darabkan Pengangka
dengan Konjugat Kompleks
(c) Pembahagian
Pembahagian suatu nombor kompleks boleh dilakukan jika penyebutnya dijadikan
suatu nombor nyata
Misalnya
i
i
ii 43
43
43
2
43
2
−
−
×
+
=
+
=
25
86 i−
=
25
8
25
6 i
−
(d) Kesamaan Nombor Kompleks
Katakan z = x + iy dan w = u + iv ialah 2 nombor kompleks dengan z = w,
maka
x + iy = u + iv
Dengan menyamakan bahagian nyata dan bahagian khayal di kedua-dua
belah, maka
x + yi = 9 – 7i
Menyamakan bahagian nyata dan khayal, maka x = 9 dan y = -7
Jika z = x + iy maka
konjugat z ialah x - iy
dimana konjugat ditulis
sebagai z = x – iy
dan z z = x2
+ y2
download@

B2001/UNIT 14/10
NOMBOR KOMPLEKS
Aktiviti 14.1
SELANJUTNYA…!
1. Ungkapkan yang berikut dalam bentuk a + ib
a. 3 + 9− b. 2 + 8− c. 8 - 16−
2. Ringkaskan setiap yang berikut:
a. ( 3 + 4i) + ( 5 – 2i) b. ( 7 + 6i) – ( -4 – 3i)
3. Ungkapkan yang berikut dalam bentuk a + ib:
a.
i+1
2
b.
i
i
21
2
−
+
4. Dalam setiap kes berikut, cari nilai x dan y.
a. x + iy = ( 3 + i )(2 – 3i) b. ( x + iy ) ( -2 + 7i ) = -11 – 4i
c. x + iy =
i
i
−
+
1
52
download@

B2001/UNIT 14/11
NOMBOR KOMPLEKS
1. a. 3 + 3i
b. 2 + 2 2 i
c. 8 – 4i
2. a. 8 + 2i
b. 11 + 9i
3. a 1 – i
b (1 + 3i)/5
4. a. x = 9, y = -7
b. x = 6/53 , y = 85/53
c. x = -3/2 , y = 7/2
download@

B2001/UNIT 14/12
NOMBOR KOMPLEKS
PENILAIAN KENDIRI 14
Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba semua soalan dalam penilaian kendiri
ini dan semak jawapan anda pada maklum balas yang disediakan.
Jika ada masalah yang timbul, sila berbincang dengan pensyarah anda.
Selamat mencuba dan semoga berjaya.
1. Selesaikan persamaan berikut
a. x2
+ 6x + 13 = 0
b. 3x2
- 2x + 5 = 0
2. Ringkaskan
a. i3
b. i9
c. 2
2
i
d. 5
3
i
3. Ringkaskan setiap yang berikut dan berikan jawapan dalam bentuk x + iy
a. ( 7 – 5i ) + ( -4 – 2i )
b. ( -8 + 11i ) – ( 6 – 5i )
c. ( 8 – 3i )( 7 + 4i )
d.
i
i
23
9
+−
−
4. Cari bahagian nyata dan khayal bagi setiap yang berikut
a.
i
i
32
3
−
+
b.
i
ii
43
)32)(1(
+
+−
download@

B2001/UNIT 14/13
NOMBOR KOMPLEKS
Maklum Balas Penilaian Kendiri 14
Adakah anda telah mencuba dahulu????? Jika “YA”…, sila semak jawapan anda.
1. a. –3 ± 2i
b. 0.33 ± 1.25i
2. a. – i
b. – i
c. –2
d. –3i
3. a. 3 – 7i
b. –14 +16i
c. 44 –23i
d.
13
1529 i−+−
4. a.
13
113 i+
b.
25
1719 i−
TAHNIAH!!!!…..Semoga
kejayaan sentiasa
mengiringi kehidupan
anda….
download@

B2001/UNIT 15/1
NOMBOR KOMPLEKS
UNIT 15
RAJAH ARGAND
OBJEKTIF
Objektif Am : Memahami konsep penggunaan pembezaan
Menerangkan perwakilan graf nombor kompleks melalui
rajah Argand.
Menggunakan rajah Argand untuk mewakilkan operasi
penambahan dan penolakan.
download@

B2001/UNIT 15/2
NOMBOR KOMPLEKS
y
Paksi khayal
15.0 RAJAH ARGAND
Setelah mengetahui bentuk dan cara-cara mengolah operasi tambah, tolak, darab
dan bahagi bagi nombor kompleks, sekarang marilah kita melihat bagaimana
nombor kompleks boleh diwakilkan secara geometrik.
Perwakilan geometri nombor kompleks
Disebut sebagai garis terarah dalam satah
dua matra dengan asalan disebut kutub dan
paksi –x sebagai paksi nyata dan paksi-y
sebagai paksi khayalan. ( Rajah 16.1)
Dengan menyatakan nombor kompleks
sebagai pasangan tertib ( x , y ),
sistem koordinat Cartesan menjadi sesuai
untuk perwakilan geometri dan penggunaan ciri-ciri vektor.
Rajah 15.2 menunjukkan titik P(x, y) mewakili nombor kompleks z = x + iy dan
titik P1
( x , - y). Selain itu, kedudukan P dan P1
boleh juga dinyatakan sebagai
OP dan
1
OP masing-masing. Rajah sedemikian dikenali sebagai Rajah
Argand.
INPUT
O !!!
Gambar rajah Argand ni lebih
kurang sama seperti sistem
koordinat biasalah ye !!!! …..
Paksi nyata
Rajah 15.1
download@

B2001/UNIT 15/3
NOMBOR KOMPLEKS
xO
P 1
( x , -y)
15.1 MODULUS DAN HUJAH NOMBOR KOMPLEKS
Jika P mewakili ( x + iy ) pada rajah Argand, jarak OP dikenali sebagai Modulus
dan ditulis sebagai ⎢z ⎢ = ⎢x + iy ⎢dan adalah sentiasa positif.
Dengan menggunakan Teorem Pythagoras
⎢z ⎢ = ⎢x + yi ⎢= r = 22
yx +
dan oleh kerana zz*
= x2
+ y2
,
maka, zz*
= ⎢z ⎢2
P( x, y )
Rajah 15.2
( x +iy)(x-iy)= x2
+ y2
z* ialah konjugat z
O
x
P( x, y )
y
r
θ
x
y
Rajah 15.3
download@

B2001/UNIT 15/4
NOMBOR KOMPLEKS
Hujah nombor kompleks z = x + iy ialah sudut θ yang dicangkum
oleh garis OP dengan paksi x dan ditulis sebagai huj z = sudut θ di mana
θ dinyatakan dalam radian.
Daripada rajah di atas tan θ = y/x
θ = tan –1
( y/x)
Secara amnya, jika z = x + iy , x , y ∈ R ,
Maka Modulus z = ⎢z ⎢ = 22
yx +
dan Huj z = tan –1
( y/x)
Daripada rajah 15.3, kita juga boleh menyatakan x dan y dalam sebutan sin dan
kos iaitu x = r kos θ dan y = r sin θ
Ini bermakna
z = ( x + iy ) = r ( kos θ + i sin θ )
Ringkasnya ia ditulis sebagai r ∠ θ dimana r ialah modulus z dan
θ ialah hujah z.
θ diukur mengikut
arah lawan jam
hipotenus
sebelahan
kos
hipotenus
ganten
=
=
θ
θ
tan
sin
Nilai θ diukur dari -π < θ < π . Oleh
itu jika suatu titik yang terletak
disukuan ketiga atau empat , θakan
diukur mengikut arah jam mewakili .
dimana sudutnya adalah negatif
download@

B2001/UNIT 15/5
NOMBOR KOMPLEKS
y
x
(1, -1)
y
x
(-3 , 4)
Contoh 15.1
Cari modulus dan hujah bagi setiap nombor kompleks berikut
a. 1 – i b. –3 + 4i
Penyelesaian
a. ⎢z ⎢ = 22
11( + = 2
Huj z = tan –1
(-1/1)
= tan –1(
-1)
= - 45 °
b. ⎢z ⎢ = 22
)4()3( +− = 25 = 5
Huj z = tan –1
(4/-3)
= 53° 8′
= 126° 52′
download@

B2001/UNIT 15/6
NOMBOR KOMPLEKS
Aktiviti 15. 1
SELANJUTNYA…!
1. Plotkan setiap nombor kompleks berikut pada rajah Argand yang berasingan
dan dapatkan modulus dan hujah dalam setiap kes
a. 3i
b. 1 + 2i
c. 3 – 5i
d. –5 + 12i
INGAT !!!!!
Untuk lakar Gambar rajah Argand
Paksi – x : bahagian nyata
Paksi – y : bahagian khayal
Modulus :
22
yx +
Hujah : tan-1
(y/x)
download@

B2001/UNIT 15/7
NOMBOR KOMPLEKS
x
y
_
(0,3)
(1,2)
(3, -5 )
(-5 , 12 )
x
x
y
y
1. a. b.
huj = π/2
mod = 3 mod = 5
huj = π/2 huj = tan –1
(2)
c. d.
mod = 34 mod = 13
huj = tan-1
( -5/3) huj = tan –1
( 12/-5)
x
y
download@

B2001/UNIT 15/8
NOMBOR KOMPLEKS
x
y
P1 (x 1 , y1)
Z1
P2 ( x2 , y2 )
Z2
P3 ( x1 + x2 , y1 + y2 )
Z1 + Z
O
15.2 PERWAKILAN OPERASI PENAMBAHAN DAN PENOLAKAN
NOMBOR KOMPLEKS PADA RAJAH ARGAND
Sepertimana yang telah dibincang di atas, suatu nombor kompleks z = x + iy juga
boleh diwakili oleh vektor OP pada gambarajah Argand dengan P berkoordinat
(x, y).
a. Operasi Penambahan,
Katakan z1 = x1 +i y1 dan z2 = x2 + iy2 ialah 2 nombor kompleks yang masing-
masing diwakili oleh OP1 dan OP2 , maka OP3 = OP1 + OP2 boleh diwakili di
atas gambar rajah Argand seperti dalam rajah 15.4 dan 15.5 di bawah
dan jika z2 = ( -x2 , -y2 ) , maka
OP4 = OP1 + (-OP2 )
OP4 = OP1 - OP2
= z1 – z2
INPUT
Rajah 15. 4
download@

B2001/UNIT 15/9
NOMBOR KOMPLEKS
Rajah 15. 5
x
y
P1 (x 1 , y1)
Z1
P2 ( x2 , y2
)
Z2 Z
P2 ( -x2 , -y2 )
-Z2
O
P4 ( x1 – x2 , y1 – y2 )
y
A ( 3 , 1
)
x
B′ ( 2 , -4 )
O
B ( -2 , 4 )
C ( 1 , 5 )
D ( 5 , - 3 )
Modulus ⎢OP3 ⎢ = ⎜ z1 + z2 ⎜= 2
21
2
21 )()( yyxx +++
Dan Modulus ⎢OP4 ⎢= ⎜ z1 - z2 ⎜= 2
21
2
21 )()( yyxx −+−
Contoh 15.2
Jika z1 = 3 + i dan z2 = -2 + 4i, tunjukkan pada satu gambar rajah Argand, garis-
garis yang mewakili z1 , z2 , z1 + z2 dan z1 - z2
Penyelesaian
download@

B2001/UNIT 15/10
NOMBOR KOMPLEKS
OA = z1 = 3 + I dan ⎜ z1 + z2 ⎜= 22
51 +
OB = z2 = -2 + 4I = 26
OC = z 1 + z2 = 1 + 5i Huj ( z1 + z2 ) = tan –1
( 5/1 )
OD = z1 - z2 = 5 - 3I
⎜ z1 - z2 ⎜= 22
)3(5 −+ = 34
Huj ( z1 - z2 ) = tan –1
(-3/5 )
download@

B2001/UNIT 15/11
NOMBOR KOMPLEKS
Aktiviti 15.2
SELANJUTNYA…!
Jika z1 = 2 + 3i, z2 = -3 + 5i , z3 = -4 – 3i dan z4 = 5 – 4i, wakilkan setiap yang
berikut di atas rajah Argand dan tuliskan koordinat setiap titik.
a. z1 , z2 , z3 , z 4
b. z1 + z2
c. z3 + z 4
d. z1 - z2
e. z4 - z 1
f. z3 - z 2
Untuk penyelesaian, sila rujuk
kepada contoh-contoh di atas
dengan teliti.
download@

B2001/UNIT 15/12
NOMBOR KOMPLEKS
a. ( 2,3 ) , ( -3 , 5 ) , ( -4 , -3 ) , ( 5 , - 4 )
b. ( -1 , 8 )
c. ( -1 , - 7 )
d. ( 5 , - 2 )
e. ( 3 , - 7 )
f. ( -1 , -8 )
download@

B2001/UNIT 15/13
NOMBOR KOMPLEKS
Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba semua soalan dalam penilaian
kendiri ini dan semak jawapan anda pada maklum balas yang disediakan.
Selamat mencuba dan semoga berjaya!!!…
1. Jika z1 = 2 + 3i, z2 = -3 + 5i , z3 = -4 – 3i dan z4 = 5 – 4i, wakilkan setiap
yang berikut dengan garislurus pada rajah Argand, dengan menunjukkan arah
bagi setiap garis dengan anak panah.
a. z2 – z4
b. z1 + z3
2. Jika z1 = 3 – 2i dan z2 = 2 + 4i, tunjukkan pada rajah Argand titik-titik yang
mewakili setiap yang berikut:
a. ½ ( z1 + z2 )
b. 3z1 + 2z2
download@

B2001/UNIT 15/14
NOMBOR KOMPLEKS
y
x
2,3
-4 , -3
Z 1
Z3
Z1 + Z3
y
x
Z4
Z2
z2 – z4
x
2.5 , 1
y
1. a. –8 + 9i
b. -2
2. a.
download@

B2001/UNIT 15/15
NOMBOR KOMPLEKS
y
x
4 , 8
13 , 23z1 + 2z2
2z2
3z1
9 , -6
b.
TAHNIAH!!!!…..Semoga
kejayaan sentiasa
mengiringi kehidupan
anda….
download@

B2001/UNIT16/1
NOMBOR KOMPLEKS
NOMBOR KOMPLEKS
OBJEKTIF
Objektif Am : Memahami konsep nombor kompleks dalam bentuk
Berlainan.
Mentakrifkan nombor kompleks dalam bentuk kutub dan
eksponen.
Menyelesaikan pendaraban dan pembahagian nombor
kompleks dalam bentuk kutub.
Mentakrifkan dan menggunakan Teorem De Moivre.
UNIT 16
download@

B2001/UNIT16/2
NOMBOR KOMPLEKS
16.0 BENTUK KUTUB DAN BENTUK EKSPONEN
Selain dari apa yang telah dibincangkan di dalam unit terdahulu iaitu perwakilan
nombor kompleks dalam bentuk Cartesian dan rajah Argand, nombor kompleks
juga boleh diwakilkan dalam bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen.
Jika R adalah modulus dan θ adalah hujah bagi suatu nombor kompleks, maka
Bentuk Cartesian a + b i
Bentuk Kutub (Polar) R ( kos θ + i sin θ)
= R ∠ θ
Bentuk Eksponen Rejθ
( θ dinyatakan dalam
radian)
Contoh 16.1
1. Tukarkan nombor kompleks z = -5 + 2i ke dalam bentuk Kutub dan
Eksponen.
2. Tukarkan nombor kompleks z = 2.5 (kos 189° + i sin 189 °) ke dalam
bentuk Cartesian, Kutub dan Eksponen.
INPUT
download@

B2001/UNIT16/3
NOMBOR KOMPLEKS
(-5,2)
Penyelesaian
1. z = -5 + 2i
Lakarkan pada rajah Argand nombor kompleks tersebut bagi memastikan
kedudukannya
modulus z = ⎢z⎮=R = ( -5)2
+ 22
= 425 + = 29 = 5.39
dan huj = α = tan –1
(
x
y
)
= tan –1
(
5
2
−
) = tan –1
( -0.4) = 21.8° atau .38 rad
Oleh kerana ia terletak di sukuan ke 2, maka
dan huj = θ = 180 - α = 180 - 21.8° = 158.2°
Jadi dalam bentuk Kutub, R ∠ θ ialah 5.39 ∠ 158.2°
Dan bentuk Eksponen Rejθ
ialah 5.39 e i (- 0..38 )
= 5.39 e - i 0..38
2. z = 2.5 ( kos 189° + i sin 189 ° )
Untuk mendapatkan bentuk Cartesian,
dapatkan nilai kos 189 ° dan sin 189° dari kalkulator
maka, z = 2.5 [ - 0.988 + i( - 0.156 ) ]
= 2.5 [ - 0.988 - i 0.156 ]
= - 2.47 – 0.39 i atau - 2.47 - 0.39i
y
x
download@

B2001/UNIT16/4
NOMBOR KOMPLEKS
Untuk mendapatkan bentuk Kutub
z = 2.5 ( kos 189° + i sin 189 ° )
Gantikan R = 2.5 dan θ = 189° ke bentuk R ∠ θ
Maka, z = 2.5 ∠ 189°
Untuk mendapatkan bentuk Eksponen
z = 2.5 (kos 189° + i sin 189 ° )
Gantikan R = 2.5 dan θ = 189° ke bentuk Re iθ
Oleh kerana θ ditulis dalam radian maka 189° = 0.157 rad
Maka z = 2.5 e i 0.157
download@

B2001/UNIT16/5
NOMBOR KOMPLEKS
Aktiviti 16.0
SELANJUTNYA…!
1. Tukarkan nombor kompleks berikut ke dalam bentuk Cartesian, Kutub
dan Eksponen.
a. z = 4 ( kos 54 + i sin 54 )
b. z = 15 (kos 200 + i sin 200 )
2. Tukarkan nombor kompleks berikut ke bentuk Trigonometri, Kutub dan
Eksponen.
a. 3 + 3i
b. –5 + 2i
c. –3 – 3i
d. 5 – 2i
download@

B2001/UNIT16/6
NOMBOR KOMPLEKS
1. (a) z = 2.36 + i 3.24
z = 4 ∠ 54°
z = 4e i 1..37
(b) z = -14.1 – i 5.1
z = 15 ∠ 200°
z = 15e i 0.36
2. (a) z = 4.24 ( kos 45° + i sin 45° )
z = 4.24 ∠ 45°
z = 4.24 e i 1.62
(b) z = 4.47 ( kos 116.57 °+ i sin 116.57°)
z = 4.47 ∠ 116.57°
z = 4.47 e i 0.343
(c) z = 4.24 ( kos 225° + i sin 225° )
z = 4.24 ∠ 225°
z = 4.42 e –i 2.53
(d) z = 4.47 ( kos 296.57° + i sin 296.57° )
z = 4.47 ∠ 296.57°
z = 4.47 e i 3.12
download@

B2001/UNIT16/7
NOMBOR KOMPLEKS
16.1 TEOREM DE MOIVRE
Jika Z1 = Z2 = Z3 = ……. = kos θ + i sin θ
Maka Z1. Z2 = ( kos θ + i sin θ ) ( kos θ + i sin θ )
= kos ( θ + θ ) + i sin ( θ + θ )
iaitu ( kos θ + i sin θ )2
= kos 2 θ + i sin 2 θ
Z1 . Z2 . Z3 = = ( kos θ + i sin θ ) ( kos θ + i sin θ )( kos θ + i sin θ )
= kos ( θ + θ + θ ) + i sin ( θ + θ + θ )
Pada amnya , jika Z1 . Z2 . Z3 . …….Zn = ( kos θ + i sin θ ) ( kos θ +
i sin θ) sehingga n
= kos ( θ + θ +……ke n ) +
i sin ( θ + θ … ke n )
iaitu
dan keputusan ini disebut Teorem De Moivre
Contoh 16.2
1. Ungkapkan dalam dalam sebutan kos nθ dan sin nθ:
a. ( kos θ - i sin θ )4
b. 1
kos 2 θ + i sin 2θ
Penyelesaian
1. a. ( kos θ - i sin θ )4
= kos 4 θ - i sin 4 θ
b. 1
kos 2 θ + i sin 2θ = ( kos 2 θ + i sin 2 θ )-1
= kos (-2 θ) + i sin(-2 θ )
= kos 2 θ - i sin 2 θ
INPUT
( kos θ + i sin θ ) n
= kos n θ + i sin n θ
download@

B2001/UNIT16/8
NOMBOR KOMPLEKS
Contoh 16.3
1. Dapatkan nilai bagi
(a) (8 – 5i )3
(b) (-5 + 2i)1/4
Penyelesaian
1 (a) Z = ( 8 – 5i )3
Dapatkan modulus dan hujah bagi z = 8 – 5i
Modulus z = | z | = R = 89256458 22
=+=+ = 9.43
Dan hujah = 360° – tan –1
( 5/8 )
= 360° – 32° = 328°
∴ 8 – 5i = 9.43 ( kos 328° + i sin 328° )
Menggunakan Teorem De Moivre
Maka ( 8 – 5i )3
= 9.43 3
[kos 3(328° ) + i sin 3 (328°) ]
= 838.56 ( kos 984° + i sin 984° )
= 838.56 [ kos ( 984° - 720° ) + i sin ( 984°- 720° )]
= 838.56 ( kos 264° + i sin 264° )
(b) ( -5 + 2i )1/4
Dapatkan modulus dan hujah bagi Z = – 5 + 2i
Modulus z = | z | = R = 425 + = 29 = 5.39
Dan hujah = 180° – tan –1
( 5/5 )
= 180° – 21.8° = 158.2°
∴ -5 + 2i = 5.39 ( kos 158.2° + i sin 158.2° )
Menggunakan Teorem De Moivre
Maka ( -5 + 2i )1/4
= 5.391/4
[kos (158.2°+ 360k )/4 + i sin ( 158.2° +
360k)/4 ]
= 1.52 [kos (158.2°+ 360k )/4 + i sin ( 158.2° +
360k)/4 ]
= 1.52 [kos (158.2°+ 360k )/4 + i sin ( 158.2° +
360k)/4 ]
-5 + 2i terletak
disukuan ke 2
8 - 5i terletak di sukuan 4
∴hujah dibaca sebagai
360 - θ
download@

B2001/UNIT16/9
NOMBOR KOMPLEKS
Bagi k = 0
( -5 + 2i )1/4
= 1.52 (kos 39.6°+ i sin 39.6°)
Bagi k = 1
( -5 + 2i )1/4
= 1.52 [kos (158.2°+ 360° )/4 + i sin ( 158.2° +
360° )/4 ]
= 1.52 ( kos 129.6° + i sin 129.6°)
Bagi k = 2
( -5 + 2i )1/4
= 1.52 [kos (158.2°+ 720° )/4 + i sin ( 158.2° +
720°)/4 ]
= 1.52 ( kos 219.6° + i sin 219.6°)
Bagi k = 3
( -5 + 2i )1/4
= 1.52 [kos (158.2°+ 1080° )/4 + i sin ( 158.2° +
1080°)/4 ]
= 1.52 ( kos 309.6° + i sin 309.6°)
Bagi k = 4
( -5 + 2i )1/4
= 1.52 [kos (158.2°+1440° )/4 + i sin ( 158.2° +
1440°)/4 ]
= 1.52 ( kos 339.6° + i sin 339.6°)
Bila k = 4, jawapan tidak diterima kerana hujah telah melebihi 360°
TEOREM DE MOIVRE
(kos θ + i sin θ ) n
download@

B2001/UNIT16/10
NOMBOR KOMPLEKS
Aktiviti 16.1
SELANJUTNYA…!
1. Kembangkan sin 4θ dalam sebutan sin θ dan kos θ.
2. Nyatakan kos 4
θ dalam sebutan kos nθ.
3. Dengan menggunakan Teorem De Moivre, selesaikan operasi nombor
kompleks berikut:
a. ( -2 – 3i )3
b. ( -2 –3i )1/3
c. ( 2 – 3i )4
d. ( 2 – 3i )1/2
INGAT !!!!!!
Bentuk Cartes : a + bi
Bentuk Kutub : R ( kos θ + i sin θ )
Bentuk Eksponen : Re iθ
download@

B2001/UNIT16/11
NOMBOR KOMPLEKS
1. sin 4 θ = 4 sin θ kos θ - 8 kos 3
θ kos θ
2. kos 3
θ = 1/8 ( kos 4θ + 4 kos 2θ + 3 )
3. a. ( -2 – 3i )3
= 3.6 3
[kos 3(236.3° ) + i sin 3 (236.3°) ]
= 46.66( kos 348.9° + i sin 348.9° )
b. (-2 – 3i )1/3
= 3.6 1/3
[kos (236.3° + 360k )/3 + i sin (236.3° + 360k)/ 3]
Bila k = 0 ,
( -2 – 3i )1/3
= 1.53 ( kos 78.77 + i sin 78.77)
Bila k = 1 ,
( -2 – 3i )1/3
= 1.53 ( kos 198.8 + i sin 198.8 )
Bila k = 2 ,
( -2 – 3i )1/3
= 1.53 ( kos 318.8 + i sin 318.8 )
Bila k = 3 , ia tidak diterima kerana nilai hujah melebihi 360
c. ( 2 – 3i )4
= 3.6 4
[kos 4( 303.69° ) + i sin 4 ( 3033.69°) ]
= 1167.96 ( kos 134.76° + i sin 134.76° )
d. ( 2 – 3i )1/2
= 3.6 1/2
[kos (236.3°+360k )/2 + i sin 3 (236.3°+360k)/2 ]
Bila k = 0 ,
( 2 – 3i )1/2
= 1.9 ( kos 151.8° + i sin 151.8°
Bila k = 1
( 2 – 3i )1/2
= 1.9 ( kos 298.15° + i sin 298.15° )
Bila k = 2 , ia tidak diterima kerana nilai hujah melebihi 360
download@

B2001/UNIT16/12
NOMBOR KOMPLEKS
Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba semua soalan dalam penilaian kendiri
ini dan semak jawapan anda pada maklum balas yang disediakan.
Selamat mencuba dan semoga berjaya!!!…
1. Nyatakan dalam bentuk polar (kutub) bagi z = - 5 – i3
2. Jika z = 2 ( kos 25 + I sin 72 ) , nilaikan z3
dalam bentuk polar (kutub)
3. Jika z1 = 12 ( kos 125 + I sin 125 ) dan z2 = 3 ( kos 72 + I sin 72),
carikan nilai
a. z1 z2 b.
2
1
z
z
dengan menyatakan jawapan dalam bentuk polar.
4. Dengan menggunakan Teorem De Moivre, huraikan kos 3θ dan sin 3θ
dalam sebutan sin dan kos
5. Dengan menggunakan Teorem De Moivre , selesaikan operasi nombor
kompleks berikut
a. ( 3 + 4i)4
b. ( -1 – i ) 5
6. Nyatakan 2 + i3 dan 1 – i2 dalam bentuk polar dan dengan menggunakan
Teorem De Moivre, nilaikan
21
32
i
i
−
+
. Tuliskan jawapan anda dalam bentuk
a + ib dan bentuk Eksponen.
download@

B2001/UNIT16/13
NOMBOR KOMPLEKS
Adakah anda telah mencuba dahulu????..Jika “YA”, sila semak jawapan anda.
1. 5.831 ∠ 210° 58″
2. 8 ∠ 75°
3. a. 36 ∠ 197° b. 4 ∠ 53°
4. kos 3θ = kos 3
θ - 3 kos θ sin 2
θ
sin 3θ = 3 kos 2
θ sin θ – sin 3
θ
5. a) 625 ( kos 212 + i sin 212 )
b) 5.65( kos 45 + i sin 45 )
6. 3.606∠ 56° 19″ , 2.236 ∠ 296 ° 34″
24.2 - I 71.6 , 75.6 e –i1.244
TAHNIAH!!!!…..Semoga kejayaan
sentiasa mengiringi kehidupan
anda….
download@

Ba201 chapter -1-complex number

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Ba201 chapter -1-complex number

Similar to Ba201 chapter -1-complex number (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Ba201 chapter -1-complex number