ในการจัดทำโครงการปลูกต้นกล้าเสริมสร้างความรู้ กลุ่มของข้าพเจ้าได้ทำโครงการนี้ก็เพื่อที่ว่าจะได้นำความรู้ที่เคยได้ผ่านมาหรือได้ร่ำเรียนมาแล้วนั้น มาส่งต่อความรู้และสอนให้กับรุ่นน้องๆให้น้องๆได้มีความรู้และความเข้าใจเพิ่มมากขึ้น เนื่องจากปัจจุบันโลกของการศึกษาเปิดกว้างและก้าวหน้าไปไวมาก

1. บทที่2
เอกสารและโครงงานที่เกี่ยวข้อง
ในการจัดทาโครงการปลูกต้นกล้าเสริมสร้างความรู้
กลุ่มของข้าพเจ้าได้ทาโครงการนี้ก็เพื่อที่ว่าจะได้นาความรู้ที่เคยได้ผ่านมาหรือได้ร่าเรียนมาแล้วนั้น
มาส่งต่อความรู้และสอนให้กับรุ่นน้องๆให้น้องๆได้มีความรู้และความเข้าใจเพิ่มมากขึ้น
เนื่องจากปัจจุบันโลกของการศึกษาเปิดกว้างและก้าวหน้าไปไวมาก
เอกสารที่เกี่ยวข้อง วิชาคณิตศาสตร์
จานวนเต็ม
จานวนนับที่รู้จักเป็นครั้งแรก คือ 1, 2, 3, 4, ... หรือเรียกว่าจานวนเต็มบวก
1 เป็นจานวนนับที่น้อยที่สุด จานวนนับอื่นๆ เกิดจากดังนี้
1 + 1 แทนด้วย 2
2 + 1 แทนด้วย 3
3 + 1 แทนด้วย 4
เส้นจานวน แสดงได้ดังนี้แบ่งแต่ละช่องให้ท่ากัน จะแบ่งกี่ช่องก็ได้ขึ้นอยู่กับจานวน
เต็มที่ต้องการในการเขียนเส้นจานวน
เขียนลูกษรทั้ง2ข้างเพื่อแสดงว่ายังมีจานวนอื่นๆที่มากกว่าหรือน้อยกว่าจานวนที่เขียนแสด
งไว้
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
สามารถใช้จุดบนเส้นจานวนแทนจานวนเต็มแต่ล่ะจานวนได้ดังนี้
1. จานวนเต็มที่อยู่ทางด้านขวามือของศูนย์บนเส้นจานวนเรียกว่าจานวนเต็มบวก
ด้านขวามือของศูนย์
0 1 2 3 4 5

2. 2. จานวนเต็มที่อยู่ทางด้านซ้ายมือของศูนย์ เรียกว่าจานวนเต็มลบ
ด้านซ้ายมือของศูนย์
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
3. จานวนศูนย์บนเส้นจานวนเรียกว่าจานวนศูนย์
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
การเปรียบเทียบจานวนเต็ม
เส้นจานวน แสดงได้ ดังนี้แบ่งแต่ละช่องให้เท่ากัน จะแบ่งกี่ช่องก็ได้ขึ้นอยู่กับจานวน เต็ม
ที่ต้องการในกรเขียนเส้นจานวน เขียนหัวลูกศรทั้งสองข้างเพื่อแสดงว่ายังมี จานวนอื่นๆ ที่มีมากว่า
หรือน้อยกว่าจานวนที่เขียนแสดงไว้
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
การเปรียบเทียบจานวนเต็มถ้าพิจารณาจานวนเต็มบวก
จะได้ว่า 7 มากกว่า 2
นั่นคือ 7 อยู่ทางขวามือ และ 2อยู่ทางซ้ายมือ
จะเห็นได้ว่าจานวนเต็มที่อยู่ที่อยู่ทางขวามือมากกว่า จานวนที่อยู่ทางซ้ายมือเสมอ เช่น
4มากกกว่า 2 เขียนแทนด้วย 4 > 2
3 มากกกว่า -1 เขียนแทนด้วย 3 > -1
-2มากกกว่า -5 เขียนแทนด้วย -2> -5
-5 น้อยกกว่า 3 เขียนแทนด้วย -5< 3

3. สรุปการเปรียบเทียบจานวนเต็มบนเส้นจานวนได้ดังนี้
มีค่าน้อย มีค่ามาก
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
เลขยกกาลัง
1. ความหมายของเลขยกกาลัง
นิยาม ถ้า a เป็นจานวนใด ๆ และ n เป็นจานวนเต็มบวก “ a ยกกาลัง n “ หรือ “ a กาลัง n “
เขียนแทนด้วย a
n
มีความหมายดังนี้ a
n
= a a a a a ….. a (a คูณกัน n ตัว)
จากนิยาม จะเรียก a
n
ว่าเลขยกกาลัง เรียก a ว่า ฐาน และเรียก n ว่า เลขชี้กาลัง
ตัวอย่าง เช่น 1) 34
= 3 3 3 3 มี 3 เป็น ฐาน และ มี 4 เป็นเลขชี้กาลัง
2) (-5)3
= -5 -5 -5 มี -5 เป็น ฐาน และ มี 3 เป็นเลขชี้กาลัง
3) 





2
1
2
= 2
1

2
1
มี 2
1
เป็น ฐาน และ มี 2 เป็นเลขชี้กาลัง
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนจานวนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปของเลขยกกาลัง
วิธีทา 1) 8  16 = (2 2 2)  (2 2 2 2)
= 2 2 2  2 2 2 2
= 27
2) 75  15 = (3 5 5)  (3 5)
= 3 5 5 3 5
= 32
 53

4. 2. สมบัติของเลขยกกาลัง
ถ้า a ,b เป็นจานวนจริงใด ๆ และ m , n เป็นจานวนเต็มบวก
1) การคูณเลขยกกาลัง ถ้าเลขยกกาลังมีฐานเหมือนกัน เมื่อคูณกัน
ให้นาเลขชี้กาลังของตัวคูณแต่ละตัวมาบวกกัน โดยใช้ฐานตัวเดิม นั่นคือ am
 an
= a
nm 
เช่น 23
 24
= 2 43 
=27
2) การหารเลขยกกาลัง ถ้าเลขยกกาลังมีฐานเหมือนกัน เมื่อหารกัน
ให้นาเลขชี้กาลังของตัวหารไปลบเลขชี้กาลังของตัวตั้ง โดยใช้ฐานตัวเดิม นั่นคือ am
 an
=a
nm 
เช่น 37
 34
= 3 47 
= 33
3) เลขยกกาลังซ้อน ให้นาเลขชี้กาลังมาคูณกัน
นั่นคือ (am
)n
= amn
เช่น (34
)2
= 38
4) เลขยกกาลังของผลคูณ สามารถกระจายเป็นผลคูณของเลขยกกาลังแต่ละตัว
เมื่อมีฐานคงเดิม นั่นคือ (ab)n
= an
bn
เช่น (3p)7
= 37
p7
5) เลขยกกาลังของผลหาร สามารถกระจายเป็นผลหารของเลขยกกาลังแต่ละตัว
เมื่อมีฐานคงเดิม นั่นคือ 





b
a
n
= n
n
b
a
เช่น 





4
3
5
=
4 5
3 5
6) เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนลบ สามารถเขียนให้เป็นส่วนกลับของ
เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนบวกได้ นั่นคือ a n
=
an
1
เช่น x 4
=
x 4
1
7) เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นศูนย์(0) เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นศูนย์ (0)
มีค่าเท่ากับ 1 เสมอ นั่นคือ a0
= 1 เมื่อ a  0 เช่น 50
= 1
3.การบวก ลบ เลขยกกาลัง
การบวก ลบ เลขยกกาลัง จะทาได้ก็ต่อเมื่อ เลขยกกาลังนั้นมีฐานเท่ากันและมีเลขชี้กาลังเท่ากัน
โดยการนาสัมประสิทธิ์ของเลขยกกาลังนั้นมาบวกหรือลบกัน ตัวอย่าง เช่น
1) จงทาให้เป็นผลสาเร็จ 2x2
+ 5x2
= (2+5) x2
= 7x2
2) จงทาให้เป็นผลสาเร็จ a4
+9a4
-5a4
= ( 1+9-5) a4

5. = 5a4
ข้อสังเกต ถ้าเลขยกกาลังที่มีฐานเท่ากัน แต่เลขชี้กาลังต่างกัน
จะนาสัมประสิทธิ์ของเลขยกกาลังมาบวกหรือลบกันไม่ได้ จะต้องใช้วิธีแยกตัวประกอบ ตัวอย่าง
เช่น
1) จงทาให้เป็นผลสาเร็จ 2x2
+5x3
- 10x4
= 2x2
+(5x)x2
-(10x2
)x2
= (2 + 5x – 10x2
)x2
2) จงทาให้เป็นผลสาเร็จ 6a4
- 3a7
+7a9
= 6a4
- 3a4
a3
+7a4
a5
= (6 –3a3
+7a5
)a4
เอกสารที่เกี่ยวข้อง วิชาภาษอังกฤษ
Tense
Simple
• Present Simple เป็นแบบที่เราเรียนกันมาง่ายๆ เลย
(เติม s/es เมื่อประธานเป็นเอกพจน์)
• PastSimple ก็ง่ายอีก “Sub + V2” ไปเลย ในเมื่อ V2 มันก็คือกริยาที่ใช้สาหรับในอดีตอยู่แล้ว
• Future Simpleเอา “Sub + will + Vinf” โดยที่คาว่า will
แปลว่า "จะ" มันจะทาหน้าที่เป็นกริยาช่วยในประโยคตามด้วย Vinf ก็คือ Verb
ที่ไม่เปลี่ยนไม่เติมอะไรใดๆ ทั้งสิ้น หรือแบบที่เราจากันมาตลอดว่า Sub + will + V1 นั้นแหละ
เราก็จาว่า ถ้าจะบอกว่า จะทานู้น จะไปนี่ จะเอานั่น เราก็แค่ใช้ “will + verb”
ข้างหลังที่ไม่ต้องไปเติมไรให้มันอีก เพราะ will บอกไปหมดแล้วว่ามันเป็นอนาคต
เราเหลือแค่ต้องบอกว่าจะทาอะไร แค่นั้นพอ อย่าเยอะ!
Continuous

6. • Present Continuous ก็เลยจะเป็น Sub + is/am/are + Ving ดังนั้นเมื่อไหร่เจอ I'm kicks.
I'm loves. ผิดทันที!!! แต่ถ้าเจอ I'm kicked. I'm loved. อาจจะไม่ผิดนะ เป็นรูปประโยคแบบ
Passive Voice ต้องแปลความหมายเอา แต่พวก I'm said....ผิดทันที
• Past Continuous รูปประโยคแบบเดิมเปี๊ยบแต่เราผันตัวis/am/are ให้กลายเป็นอดีตไปซะ
ก็จะได้เป็น Sub + was/were + Ving
• Future Continuous พอเป็นอนาคต เราก็ต้องใช้ “will” มาบอกว่าเรา "จะทา" แล้วหลัง will
มันต้องไม่เปลี่ยน ไม่เติมอะไร เราก็เลยได้เป็น “Sub + will + be + Ving” และ “be”
ตรงกลางนั่นก็มาจาก V. to be ไง จาได้มั้ยรูปประโยคต้องเป็น V.to be + Ving ตลอด
Perfect
• Present Perfect ก็เลยเป็น "Sub + has/have + V3" ถ้าประธานเป็นเอกพจน์ (He, She,I t,
คน สัตว์ ของ 1 อัน) ก็ใช้ "has" ถ้าเป็นพหูพจน์ (You, We, They, คน สัตว์ ของมากกว่า 1) ก็ใช้
"have"
• Past Perfect แบบประโยคเหมือนเดิม แต่เราต้องทา has/haveให้มันเป็น ช่อง 2 เพราะ V2 คือ V
ที่บอกอดีต แล้วช่อง 2 ของ has/have ก็คือ had เราเลยได้เป็น "Sub + had + V3"
• Future Perfect พอเป็นอนาคตก็ต้องบอกว่า "จะ..." เหมือนเดิม ได้เป็น
"Sub + will + have + V3" เพราะหลัง will บอกแล้วว่า verb มันต้องธรรมดา ไม่เติม ไม่เปลี่ยน
เลยต้องกลับมาใช้ have ธรรมดา แล้วก็ตามด้วย V3 ซะ ได้Perfect ด้วย แล้วยังเป็น Future
อีกต่างหาก
Perfect Continuous
• Present Perfect Continuous จากรูปแบบมันเราเลยได้เป็น
"Sub + has/have + been + Ving" โดย has/havebeen ก็บอกความเป็น perfect ส่วน Ving
ก็บอกความเป็น Continuous จับมาต่อกัน
• Past Perfect Continuous จับ has/haveมาทาเป็นอดีตซะ ที่เหลือไม่ต้องเปลี่ยน ก็ได้เป็น

7. “Sub + had + been + Ving” ซึ่ง had ก็บอกว่าเป็นอดีต แล้ว had+been ก็บอกความเป็น
perfect แล้ว Ving ก็บอกความเป็น Continuousครบ!!!
• Future Perfect Continuous เป็น future เมื่อไหร่ ใช้ will เมื่อนั้น! มี will เมื่อไหร่หลัง will
เป็น have เท่านั้น เราก็เลยได้ว่า “Sub + will + have + been + Ving” โดย wil
บอกความเป็นอนาคต have been บอกความเป็น perfect แล้ว Ving ก็บอกความเป็น Continuous
!!